Resolviendo la derivada para tontos: definición, cómo encontrar, ejemplos de soluciones. Derivadas de funciones elementales básicas Derivadas de funciones elementales de la demostración

Aquí hay una tabla de resumen para mayor comodidad y claridad al estudiar el tema.

Constantey=c Función potencia y = x p (x p)" = p x p - 1	Funcion exponencialy = x (a x)" = a x ln a En particular, cuandoun = mitenemos y = e x (e x)" = e x
función logarítmica (log a x) " = 1 x ln a En particular, cuandoun = mitenemos y = registro x (ln x)" = 1 x	Funciones trigonométricas (sen x) "= cos x (cos x)" = - sen x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sen 2 x
Funciones trigonométricas inversas (a r c sen x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Funciones hiperbólicas (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analicemos cómo se obtuvieron las fórmulas de la tabla indicada o, en otras palabras, probaremos la derivación de fórmulas para derivadas para cada tipo de función.

Derivada de una constante

Prueba 1

Para derivar esta fórmula, tomamos como base la definición de la derivada de una función en un punto. Usamos x 0 = x, donde X toma el valor de cualquier número real, o, en otras palabras, X es cualquier número del dominio de la función f (x) = C . Escribamos el límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento como ∆ x → 0:

lím ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lím ∆ x → 0 C - C ∆ x = lím ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Tenga en cuenta que la expresión 0 ∆ x cae bajo el signo de límite. No es la incertidumbre de “cero dividido por cero”, ya que el numerador no contiene un valor infinitesimal, sino cero. En otras palabras, el incremento de una función constante siempre es cero.

Entonces, la derivada de la función constante f (x) = C es igual a cero en todo el dominio de definición.

Ejemplo 1

Dadas funciones constantes:

F 1 (x) = 3 , F 2 (x) = un , un ∈ R , F 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Decisión

Describamos las condiciones dadas. En la primera función vemos la derivada del número natural 3 . En el siguiente ejemplo, debe tomar la derivada de un, donde un- cualquier número real. El tercer ejemplo nos da la derivada del número irracional 4 . 13 7 22 , el cuarto - la derivada de cero (cero es un número entero). Finalmente, en el quinto caso, tenemos la derivada de la fracción racional - 8 7 .

Responder: las derivadas de las funciones dadas son cero para cualquier real X(en todo el dominio de definición)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivada de función de potencia

Pasamos a la función potencia y la fórmula de su derivada, que tiene la forma: (x p) " = p x p - 1, donde el exponente pag es cualquier número real.

Prueba 2

Aquí está la prueba de la fórmula cuando el exponente es un número natural: p = 1 , 2 , 3 , ...

De nuevo, nos basamos en la definición de derivada. Escribamos el límite de la razón del incremento de la función potencia al incremento del argumento:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Para simplificar la expresión en el numerador, usamos la fórmula binomial de Newton:

(x + ∆ x) pags - x pags = C pags 0 + x pags + C pags 1 x pags - 1 ∆ x + C pags 2 x pags - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C pags - 1 x (∆ x) pags - 1 + C pags (∆ x) pags - x pags = = C pags 1 x pags - 1 ∆ x + C pags 2 x pags - 2 (∆ x) 2 + . . . + C pags - 1 x (∆ x) pags - 1 + C pags (∆ x) pags

Por lo tanto:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C pags 2 x pags - 2 (∆ x) 2 + . . . + C pags - 1 x (∆ x) pags - 1 + C pags (∆ x) pags) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C pags 1 x pags - 1 + C pags 2 x pags - 2 ∆ x + . . . + C pags - 1 x (∆ x) pags - 2 + C pags (∆ x) pags - 1) = = C pags 1 x pags - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = pag! 1! (pag - 1)! x pag - 1 = pag x pag - 1

Entonces, probamos la fórmula para la derivada de una función de potencia cuando el exponente es un número natural.

Prueba 3

Para dar prueba para el caso cuando pag- cualquier número real distinto de cero, usamos la derivada logarítmica (aquí debemos entender la diferencia de la derivada de la función logarítmica). Para tener una comprensión más completa, es deseable estudiar la derivada de la función logarítmica y, además, tratar con la derivada de una función dada implícitamente y la derivada de una función compleja.

Considere dos casos: cuando X positivo y cuando X son negativos.

Entonces x > 0 . Entonces: x p > 0 . Tomamos el logaritmo de la igualdad y \u003d x p a la base e y aplicamos la propiedad del logaritmo:

y = x pags ln y = pags ln y = pags ln x

En esta etapa, se ha obtenido una función implícitamente definida. Definamos su derivada:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Ahora consideramos el caso cuando X- un número negativo

Si el indicador pag es un número par, entonces la función de potencia también está definida para x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Entonces xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

si un pag es un número impar, entonces la función de potencia está definida para x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) pags - 1 = pags x pags - 1

La última transición es posible porque si pag es un número impar, entonces pag-1 ya sea un número par o cero (para p = 1), por lo tanto, para negativo X la igualdad (- x) p - 1 = x p - 1 es verdadera.

Entonces, hemos probado la fórmula para la derivada de una función de potencia para cualquier p real.

Ejemplo 2

Funciones dadas:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Determinar sus derivadas.

Decisión

Transformamos parte de las funciones dadas en una forma tabular y = x p , según las propiedades del grado, y luego usamos la fórmula:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivada de la función exponencial

Prueba 4

Derivamos la fórmula para la derivada, basándonos en la definición:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Tenemos incertidumbre. Para expandirlo, escribimos una nueva variable z = a ∆ x - 1 (z → 0 como ∆ x → 0). En este caso a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Para la última transición se utiliza la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo.

Realicemos una sustitución en el límite original:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lím ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Recuerda el segundo límite maravilloso y luego obtenemos la fórmula para la derivada de la función exponencial:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Ejemplo 3

Las funciones exponenciales están dadas:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Necesitamos encontrar sus derivadas.

Decisión

Usamos la fórmula para la derivada de la función exponencial y las propiedades del logaritmo:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivada de una función logarítmica

Prueba 5

Presentamos la demostración de la fórmula de la derivada de la función logarítmica para cualquier X en el dominio de definición y cualquier valor válido de la base a del logaritmo. Basándonos en la definición de la derivada, obtenemos:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Se puede ver a partir de la cadena de igualdades especificada que las transformaciones se construyeron sobre la base de la propiedad del logaritmo. El límite de igualdad ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e es verdadero de acuerdo con el segundo límite notable.

Ejemplo 4

Se dan funciones logarítmicas:

f 1 (x) = logaritmo logaritmo 3 x , f 2 (x) = logaritmo x

Es necesario calcular sus derivadas.

Decisión

Apliquemos la fórmula derivada:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Entonces la derivada del logaritmo natural es uno dividido por X.

Derivadas de funciones trigonométricas

Prueba 6

Usamos algunas fórmulas trigonométricas y el primer límite maravilloso para derivar la fórmula de la derivada de una función trigonométrica.

De acuerdo con la definición de la derivada de la función seno, obtenemos:

(sen x) " = lim ∆ x → 0 sen (x + ∆ x) - sen x ∆ x

La fórmula para la diferencia de senos nos permitirá realizar las siguientes acciones:

(sen x) " = lim ∆ x → 0 sen (x + ∆ x) - sen x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sen x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lím ∆ x → 0 sen ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lím ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2

Finalmente, usamos el primer límite maravilloso:

sen "x = cos x + 0 2 lím ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Entonces la derivada de la función pecado x será porque x.

También probaremos la fórmula para la derivada del coseno de la misma manera:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sen x + ∆ x - x 2 sen x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 sen x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sen x + 0 2 lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2 = - sen x

Aquellas. la derivada de la función cos x será – pecado x.

Derivamos las fórmulas para las derivadas de la tangente y la cotangente según las reglas de diferenciación:

t g "x = sen x cos x" = sen "x cos x - sen x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sen x (- sen x) cos 2 x = sen 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sen x" = cos "x sen x - cos x sen "x sen 2 x = = - sen x sen x - cos x cos x sen 2 x = - sen 2 x + cos 2 x sen 2 x = - 1 sen 2 x

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

La sección sobre la derivada de funciones inversas brinda información completa sobre la prueba de las fórmulas para las derivadas del arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente, por lo que no duplicaremos el material aquí.

Derivadas de funciones hiperbólicas

Prueba 7

Podemos derivar fórmulas para las derivadas del seno, coseno, tangente y cotangente hiperbólicos usando la regla de diferenciación y la fórmula para la derivada de la función exponencial:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

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Las fórmulas 3 y 5 pruébense a sí mismos.

REGLAS BÁSICAS DE DIFERENCIACIÓN

Usando el método general de encontrar la derivada usando el límite, puede obtener las fórmulas de diferenciación más simples. Permitir u=u(x),v=v(x) son dos funciones derivables de una variable X.

Las fórmulas 1 y 2 pruébense a sí mismos.

Prueba de Fórmula 3.

Permitir y = u(x) + v(x). Por valor de argumento X+Δ X tenemos y(X+Δ X)=tu(X+Δ X) + v(X+Δ X).

Δ y=y(X+Δ X) – y(x) = tu(x+Δ X) + v(x+Δ X) – tu(x) – v(x) = Δ tu +Δ v.

Por lo tanto,

Prueba de fórmula 4.

Permitir y=u(x)v(x). Entonces y(X+Δ X)=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X), Es por eso

Δ y=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X) – tu(X)· v(X).

Tenga en cuenta que dado que cada una de las funciones tu y v diferenciable en un punto X, entonces son continuas en este punto, y por lo tanto tu(X+Δ X)→tu(x), v(X+Δ X)→v(x), para Δ X→0.

Por lo tanto, podemos escribir

Con base en esta propiedad, se puede obtener una regla para diferenciar el producto de cualquier número de funciones.

Deje, por ejemplo, y=u v w. Entonces,

y " = tu "·( v w) + tu·( v w) "= tu "· v w + tu·( v" w + v w ") = tu "· v w + tu· v" w + tu v w".

Prueba de Fórmula 5.

Permitir . Entonces

En la prueba, usamos el hecho de que v(x+Δ X)→v(x) en Δ X→0.

Ejemplos.

TEOREMA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA

Permitir y = f(u), un tu= tu(X). Obtenemos una función y, dependiendo del argumento X: y = f(u(x)). La última función se llama función de una función, o función compleja.

Alcance de la función y = f(u(x)) es todo el alcance de la función tu=tu(X) o aquella parte de ella en la que se determinan los valores tu, no fuera del alcance de la función y= f(tu).

La operación "función a partir de función" se puede realizar no una vez, sino cualquier número de veces.

Establezcamos una regla para diferenciar una función compleja.

Teorema. Si la función tu= tu(X) tiene en algún momento x0 derivada y toma el valor en este punto tu 0 = tu(x0), y la función y=f(tu) tiene en el punto tu 0 derivado y"tu= F "(tu 0), entonces la función compleja y = f(u(x)) en el punto especificado x0 también tiene una derivada, que es igual a y"x= F "(tu 0)· tu "(x0), donde en lugar de tu la expresión debe ser sustituida tu= tu(X).

Así, la derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio tu a la derivada del argumento intermedio con respecto a X.

Prueba. Por un valor fijo X 0 tendremos tu 0 =tu(X 0), en 0 =f(tu 0 ). Para el nuevo valor del argumento x0+Δ X:

Δ tu= tu(x0 + Δ X) – tu(X 0), Δ y=F(tu 0+Δ tu) – F(tu 0).

Porque tu– diferenciable en un punto x0, entonces tu es continua en este punto. Por lo tanto, para Δ X→0 Δ tu→0. Del mismo modo, para Δ tu→0 Δ y→0.

Por condición . De esta relación, usando la definición del límite, obtenemos (para Δ tu→0)

donde α→0 en Δ tu→0 y, en consecuencia, para Δ X→0.

Reescribamos esta ecuación como:

Δ y=y"tú ∆ tu+α·Δ tu.

La igualdad resultante también es válida para Δ tu=0 para α arbitrario, ya que se convierte en la identidad 0=0. En Δ tu=0 supondremos α=0. Divide todos los términos de la igualdad resultante por Δ X

.

Por condición . Por lo tanto, pasando al límite en Δ X→0, obtenemos y"x= y"tu" x. El teorema ha sido probado.

Entonces, para derivar una función compleja y = f(u(x)), necesitas tomar la derivada de la función "externa" F, tratando su argumento simplemente como una variable y multiplicando por la derivada de la función "interna" con respecto a la variable independiente.

Si la función y=f(x) se puede representar como y=f(u), u=u(v), v=v(x), luego la búsqueda de la derivada y " x se realiza por aplicación sucesiva del teorema anterior.

De acuerdo con la regla probada, tenemos y"x= y"tú · tu x. Aplicando el mismo teorema a tu x obtenemos, es decir

y"x= y" X tu"v · v"x= F"tu( tu)· tu"v( v)· v"X( X).

Ejemplos.

EL CONCEPTO DE LA FUNCIÓN INVERSA

Comencemos con un ejemplo. Considere la función y=x3. Consideraremos la igualdad y= x3 como una ecuación para X. Esta es la ecuación para cada valor. en define un solo valor X: . Geométricamente, esto significa que cualquier línea paralela al eje Buey corta la gráfica de la función y=x3 solo en un punto. Por lo tanto podemos considerar X como una función de y. La función se llama la inversa de la función. y=x3.

Antes de pasar al caso general, introducimos definiciones.

Función y = f(x) llamado creciente en un cierto intervalo, si el valor mayor del argumento X de este segmento corresponde a un valor mayor de la función, es decir Si X 2 >X 1, entonces f(x 2 ) > f(x 1 ).

Del mismo modo, la función se llama menguante, si el valor menor del argumento corresponde al valor mayor de la función, es decir Si X 2 < X 1, entonces f(x 2 ) > f(х 1 ).

Entonces, dada una función creciente o decreciente y=f(x), definido en algún intervalo [ un; b]. Para definir, consideraremos una función creciente (para una función decreciente, todo es similar).

Considere dos valores diferentes X 1 y X 2. Permitir y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). De la definición de una función creciente se sigue que si X 1 <X 2, entonces en 1 <en 2. Por lo tanto, dos valores diferentes X 1 y X 2 corresponden a dos valores de función diferentes en 1 y en 2. Lo contrario también es cierto, es decir. Si en 1 <en 2, entonces de la definición de una función creciente se sigue que X 1 <X 2. Aquellas. de nuevo a dos valores diferentes en 1 y en 2 corresponde a dos valores diferentes X 1 y X 2. Así, entre valores X y sus valores correspondientes y se establece una correspondencia uno a uno, es decir, la ecuacion y=f(x) para todos y(tomado del rango de la función y=f(x)) define un solo valor X, y podemos decir que X tener alguna función de argumento y: x=g(y).

Esta función se llama contrarrestar para la función y=f(x). Obviamente, la función y=f(x) es la inversa de la función x=g(y).

Tenga en cuenta que la función inversa x=g(y) se encuentra resolviendo la ecuación y=f(x) relativamente X.

Ejemplo. Deja que la función y= e x . Esta función aumenta en –∞< X <+∞. Она имеет обратную функцию X=ln y. Dominio de la función inversa 0< y < + ∞.

Hagamos algunos comentarios.

Observación 1. Si una función creciente (o decreciente) y=f(x) continua en el intervalo [ un; b], y f(a)=c, f(b)=d, entonces la función inversa es definida y continua en el segmento [ C; d].

Observación 2. Si la función y=f(x) no es ni creciente ni decreciente en algún intervalo, entonces puede tener varias funciones inversas.

Ejemplo. Función y=x2 definido en –∞<X<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤X<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <X≤ 0 la función es decreciente y su inversa.

Observación 3. si funciones y=f(x) y x=g(y) son mutuamente inversas, entonces expresan la misma relación entre las variables X y y. Por lo tanto, el gráfico es la misma curva. Pero si denotamos el argumento de la función inversa de nuevo por X, y la función a través de y y los construimos en el mismo sistema de coordenadas, obtenemos dos gráficos diferentes. Es fácil ver que las gráficas serán simétricas con respecto a la bisectriz del primer ángulo coordenado.

TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

Demostremos un teorema que nos permita encontrar la derivada de la función y=f(x) conocer la derivada de la función inversa.

Teorema. Si por la función y=f(x) hay una función inversa x=g(y), que en algún momento en 0 tiene una derivada gramo "(v0) distinto de cero, entonces en el punto correspondiente x0=gramo(x0) función y=f(x) tiene una derivada F "(x0) igual a , es decir fórmula correcta.

Prueba. Porque x=g(y) diferenciable en un punto 0, entonces x=g(y) es continua en este punto, por lo que la función y=f(x) continuo en el punto x0=gramo(0). Por lo tanto, para Δ X→0 Δ y→0.

Demostremos que .

Permitir . Entonces por la propiedad del límite . Pasemos en esta igualdad al límite en Δ y→0. Entonces Δ X→0 y α(Δx)→0, es decir .

Por lo tanto,

,

QED

Esta fórmula se puede escribir como .

Consideremos la aplicación de este teorema con ejemplos.

Damos sin demostración la fórmula de las derivadas de las funciones elementales básicas:

1. Función de potencia: (x n)` =nx n -1 .

2. Una función exponencial: (a x)` = a x lna (en particular, (e x)` = e x).

3. Función logarítmica: (en particular, (lnx)` = 1/x).

4. Funciones trigonométricas:

(cosx)` = -senx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sen 2 x

5. Funciones trigonométricas inversas:

Se puede probar que para derivar una función exponencial es necesario usar dos veces la fórmula de la derivada de una función compleja, es decir, derivarla tanto como función exponencial compleja como función exponencial compleja, y sumar la resultados: (f (x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  (x) *lnf(x)* (x)`.

Derivados de órdenes superiores

Dado que la derivada de una función es en sí misma una función, también puede tener una derivada. El concepto de derivada, que se discutió anteriormente, se refiere a una derivada de primer orden.

derivadonorte-th orden se llama la derivada de la derivada de (n-1)-ésimo orden. Por ejemplo, f``(x) = (f`(x))` - derivada de segundo orden (o segunda derivada), f```(x) = (f``(x))` - derivada de tercer orden ( o tercera derivada), etc. A veces, los números arábigos romanos entre paréntesis se utilizan para indicar derivadas superiores, por ejemplo, f (5) (x) o f (V) (x) para una derivada de quinto orden.

El significado físico de las derivadas de orden superior se define de la misma forma que para la primera derivada: cada una de ellas representa la tasa de cambio de la derivada de orden anterior. Por ejemplo, la segunda derivada es la tasa de cambio de la primera, es decir velocidad velocidad Para el movimiento rectilíneo, significa la aceleración de un punto a la vez.

Función elasticidad

Función elasticidad E x (y) es el límite de la razón del incremento relativo de la función y al incremento relativo del argumento x con este último tendiendo a cero:
.

La elasticidad de una función muestra aproximadamente cuánto por ciento cambiará la función y \u003d f (x) cuando la variable independiente x cambie en un 1%.

En el sentido económico, la diferencia entre este indicador y el derivado es que el derivado tiene unidades de medida, y por tanto su valor depende de las unidades en que se miden las variables. Por ejemplo, si la dependencia del volumen de producción con el tiempo se expresa en toneladas y meses, respectivamente, entonces la derivada mostrará el aumento marginal del volumen en toneladas por mes; sin embargo, si estos indicadores se miden, por ejemplo, en kilogramos y días, tanto la función en sí como su derivada serán diferentes. La elasticidad es esencialmente un valor adimensional (medido en porcentajes o fracciones) y por lo tanto no depende de la escala de los indicadores.

Teoremas básicos sobre funciones diferenciables y sus aplicaciones

teorema de Fermat. Si una función diferenciable en un intervalo alcanza su valor máximo o mínimo en un punto interior de ese intervalo, entonces la derivada de la función en ese punto es igual a cero.

Sin pruebas.

El significado geométrico del teorema de Fermat es que en el punto del mayor o menor valor alcanzado dentro del espacio, la tangente a la gráfica de la función es paralela al eje de abscisas (Figura 3.3).

teorema de rolle. Deje que la función y \u003d f (x) satisfaga las siguientes condiciones:

2) derivable en el intervalo (a, b);

3) toma valores iguales en los extremos del segmento, es decir f(a)=f(b).

Entonces hay al menos un punto dentro del segmento donde la derivada de la función es igual a cero.

Sin pruebas.

El significado geométrico del teorema de Rolle es que hay al menos un punto en el que la tangente a la gráfica de la función será paralela al eje de abscisas (por ejemplo, hay dos de esos puntos en la figura 3.4).

Si f(a) =f(b) = 0, entonces el teorema de Rolle se puede formular de otra forma: entre dos ceros sucesivos de una función diferenciable hay al menos un cero de la derivada.

El teorema de Rolle es un caso especial del teorema de Lagrange.

teorema de lagrange. Deje que la función y \u003d f (x) satisfaga las siguientes condiciones:

1) es continua en el segmento [a, b];

2) es diferenciable en el intervalo (a, b).

Entonces dentro del segmento hay al menos uno de esos puntos c en el que la derivada es igual al cociente del incremento de las funciones dividido por el incremento del argumento en este segmento:
.

Sin pruebas.

Para entender el significado físico del teorema de Lagrange, notamos que
no es más que la tasa de cambio promedio de la función en todo el intervalo [a, b]. Por lo tanto, el teorema establece que dentro del segmento hay al menos un punto en el que la tasa de cambio "instantánea" de la función es igual a la tasa promedio de su cambio en todo el segmento.

El significado geométrico del teorema de Lagrange se ilustra en la figura 3.5. Nótese que la expresión
es la pendiente de la recta sobre la que se encuentra la cuerda AB. El teorema establece que hay al menos un punto en el gráfico de una función en el que la tangente será paralela a esta cuerda (es decir, la pendiente de la tangente, la derivada, será la misma).

Corolario: si la derivada de una función es igual a cero en algún intervalo, entonces la función es idénticamente constante en ese intervalo.

De hecho, tomemos un intervalo en este intervalo. Por el teorema de Lagrange, hay un punto c en este intervalo para el cual
. Por lo tanto f(a) - f(x) = f`(с)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = const.

Regla de L´Hopital. El límite de la razón de dos funciones infinitamente pequeñas o infinitamente grandes es igual al límite de la razón de sus derivadas (finitas o infinitas), si esta última existe en el sentido indicado.

En otras palabras, si hay una incertidumbre de la forma
, entonces
.

Sin pruebas.

La aplicación de la regla de L'Hospital para encontrar límites se tratará en ejercicios prácticos.

Una condición suficiente para el aumento (decremento) de una función. Si la derivada de una función derivable es positiva (negativa) dentro de algún intervalo, entonces la función crece (decrece) en ese intervalo.

Prueba. Considere dos valores x 1 y x 2 del intervalo dado (sea x 2 > x 1). Por el teorema de Lagrand, en [x 1 , x 2 ] hay un punto c en el que
. Por lo tanto, f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Entonces, para f`(c) > 0, el lado izquierdo de la desigualdad es positivo, es decir, f(x 2) > f(x 1), y la función es creciente. En f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

El teorema ha sido probado.

Interpretación geométrica de la condición de monotonicidad de la función: si las tangentes a la curva en un cierto intervalo están dirigidas en ángulos agudos al eje de abscisas, entonces la función aumenta, y si en ángulos obtusos, entonces disminuye (ver Figura 3.6) .

Observación: la condición necesaria para la monotonicidad es más débil. Si la función aumenta (disminuye) en cierto intervalo, entonces la derivada es no negativa (no positiva) en este intervalo (es decir, en algunos puntos, la derivada de una función monótona puede ser igual a cero).

Al derivar la primera fórmula de la tabla, procederemos de la definición de la derivada de una función en un punto. vamos a donde X- cualquier número real, es decir, X– cualquier número del área de definición de función. Escribamos el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento en:

Cabe señalar que bajo el signo del límite se obtiene una expresión que no es la incertidumbre de cero dividida por cero, ya que el numerador no contiene un valor infinitesimal, sino precisamente cero. En otras palabras, el incremento de una función constante siempre es cero.

Por lo tanto, derivada de una función constantees igual a cero en todo el dominio de definición.

Derivada de una función potencia.

La fórmula para la derivada de una función potencia tiene la forma , donde el exponente pag es cualquier número real.

Primero demostremos la fórmula para el exponente natural, es decir, para pag = 1, 2, 3, ...

Usaremos la definición de derivada. Escribamos el límite de la razón del incremento de la función potencia al incremento del argumento:

Para simplificar la expresión en el numerador, recurrimos a la fórmula binomial de Newton:

Por lo tanto,

Esto prueba la fórmula para la derivada de una función de potencia para un exponente natural.

Derivada de la función exponencial.

Derivamos la fórmula de la derivada basándonos en la definición:

Llegó a la incertidumbre. Para expandirlo, introducimos una nueva variable , y para . Entonces . En la última transición, usamos la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo.

Realicemos una sustitución en el límite original:

Si recordamos el segundo límite notable, llegamos a la fórmula para la derivada de la función exponencial:

Derivada de una función logarítmica.

Probemos la fórmula de la derivada de la función logarítmica para todo X del alcance y todos los valores base válidos un logaritmo. Por definición de la derivada, tenemos:

Como notaron, en la demostración, las transformaciones se realizaron utilizando las propiedades del logaritmo. Igualdad es válida debido al segundo límite notable.

Derivadas de funciones trigonométricas.

Para derivar fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas, tendremos que recordar algunas fórmulas de trigonometría, así como el primer límite notable.

Por definición de la derivada de la función seno, tenemos .

Usamos la fórmula para la diferencia de senos:

Queda por volver al primer límite notable:

Entonces la derivada de la función pecado x hay porque x.

La fórmula para la derivada del coseno se demuestra exactamente de la misma manera.

Por lo tanto, la derivada de la función porque x hay –sin x.

La derivación de fórmulas para la tabla de derivadas de la tangente y la cotangente se realizará utilizando las reglas probadas de diferenciación (derivada de una fracción).

Derivadas de funciones hiperbólicas.

Las reglas de diferenciación y la fórmula para la derivada de la función exponencial de la tabla de derivadas nos permiten derivar fórmulas para las derivadas del seno, coseno, tangente y cotangente hiperbólicos.

Derivada de la función inversa.

Para que no haya confusión en la presentación, denotemos en el índice inferior el argumento de la función por la cual se realiza la diferenciación, es decir, es la derivada de la función f(x) sobre X.

Ahora formulamos Regla para hallar la derivada de la función inversa.

Deja que las funciones y = f(x) y x = g(y) mutuamente inversas, definidas en los intervalos y respectivamente. Si en un punto existe una derivada finita distinta de cero de la función f(x), entonces en el punto existe una derivada finita de la función inversa g(y), y . en otra entrada .

Esta regla se puede reformular para cualquier X del intervalo , entonces obtenemos .

Vamos a comprobar la validez de estas fórmulas.

Encontremos la función inversa para el logaritmo natural (aquí y es una función y X- argumento). Resolviendo esta ecuación para X, obtenemos (aquí X es una función y y su argumento). Es decir, y funciones mutuamente inversas.

De la tabla de derivadas vemos que y .

Asegurémonos de que las fórmulas para encontrar derivadas de la función inversa nos lleven a los mismos resultados:

Como puedes ver, obtuvimos los mismos resultados que en la tabla de derivadas.

Ahora tenemos el conocimiento para probar fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas inversas.

Comencemos con la derivada del arcoseno.

. Entonces, por la fórmula de la derivada de la función inversa, obtenemos

Queda por llevar a cabo la transformación.

Como el rango del arcoseno es el intervalo , entonces (ver el apartado de funciones elementales básicas, sus propiedades y gráficas). Por lo tanto, no consideramos.

Por lo tanto, . El dominio de definición de la derivada del arcoseno es el intervalo (-1; 1) .

Para el arcocoseno, todo se hace exactamente de la misma manera:

Encuentra la derivada del arco tangente.

Porque la función inversa es .

Expresamos el arco tangente a través del arco coseno para simplificar la expresión resultante.

Permitir arcotanx = z, entonces

Por lo tanto,

De manera similar, se encuentra la derivada de la tangente inversa:

El cálculo de la derivada se encuentra a menudo en las asignaciones USE. Esta página contiene una lista de fórmulas para encontrar derivadas.

Reglas de diferenciación

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivada de una función compleja. Si y=F(u) y u=u(x), entonces la función y=f(x)=F(u(x)) se llama función compleja de x. Es igual a y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivada de una función implícita. La función y=f(x) se denomina función implícita dada por la relación F(x,y)=0 si F(x,f(x))≡0.
6. Derivada de la función inversa. Si g(f(x))=x, entonces la función g(x) se llama función inversa para la función y=f(x).
7. Derivada de una función dada paramétricamente. Sean x e y como funciones de la variable t: x=x(t), y=y(t). Se dice que y=y(x) es una función definida paramétricamente en el intervalo x∈ (a;b) si en este intervalo la ecuación x=x(t) se puede expresar como t=t(x) y la función y=y(t(x))=y(x).
8. Derivada de la función exponencial. Se encuentra llevando el logaritmo a la base del logaritmo natural.

Le recomendamos que guarde el enlace, ya que esta tabla puede ser necesaria muchas veces más.