Representación geométrica de números complejos y operaciones sobre ellos. Forma trigonométrica de un número complejo
considérese el conjunto R2 de todos los pares ordenados posibles (x» Y) de números reales xxy € R. Para tales pares (a, b) = (c, d) si y sólo si a = cyb - d. Introduzcamos en este conjunto R2 las leyes internas de composición en forma de operaciones de suma y multiplicación. Definimos la suma por la igualdad £faa la operación es asociativa y conmutativa; tiene (según la Definición 4.5) un elemento neutro (0, 0) y, según la Definición 4.6, para cada par (a, 6) se puede especificar un elemento simétrico (opuesto) (-a, -6). En efecto, V(a, 6) £ R2 Además, o El campo de los números complejos. Definimos la multiplicación por igualdad Es fácil comprobar que la operación así introducida es asociativa, conmutativa y distributiva con respecto a la suma. Esta operación tiene un elemento neutro, que es el par (1, 0), ya que Así, con respecto a las operaciones de suma y multiplicación introducidas, el conjunto R2 es un anillo abeliano con unidad (ver Tabla 4.1). u* Entre el conjunto de pares (x, 0) € R2 y el conjunto de números reales x G R es fácil establecer una correspondencia uno a uno (x, 0) x) de donde se sigue que, El campo de números complejos. aquellas. la suma y la multiplicación de dichos pares se realizan de la misma manera que para los números reales. Reemplacemos pares de la forma (x, 0) con números reales, es decir en lugar de (x, 0) simplemente escribiremos x, en particular, en lugar de (1, 0), simplemente escribiremos 1. El par (0, 1) ocupa un lugar especial en el conjunto R2. De acuerdo con (4.3), tiene las propiedades y ha recibido una designación especial i, y Entonces, teniendo en cuenta (4.2) y (4.3), cualquier par (x, y) ∈ R2 puede representarse como el cuerpo de los números complejos . Denote z. El elemento z se llama complejo conjugado del elemento z. Teniendo en cuenta (4.3) z-z = x2 -by2. Si z no coincide con el elemento neutro (0, 0), es decir si x e y no son iguales a 0 al mismo tiempo (denotan 2^0), entonces x2 + + y2 φ 0. Entonces el inverso (simétrico, opuesto con respecto a la operación de multiplicación - ver 4.1) al elemento z \u003d x + iy será un elemento r "1, que zz~l = 1 o zzz~l = z, es decir (x2 + y2)z~l = x - y Por lo tanto, -1_ X 2 Y \ Por lo tanto, cualquier elemento de gf O tiene un inverso de svb con respecto a la operación de multiplicación, y el conjunto R2 con las operaciones de suma y multiplicación unidas en él de acuerdo con (4.1) y (4.3) es, por lo tanto, un cuerpo (ver Tabla 4.1 ) Se denomina campo (o conjunto) de números complejos y se denota C. B En virtud de la anterior correspondencia biunívoca (r, 0) € R2 ++ x € R a la fracción de números complejos es un Ampliación del campo de los números reales. Cualquier elemento r en C se llama número complejo, y su representación en la forma z = x + iy> donde x, y £ R e i2 = -l, - representan el número complejo en forma algebraica. En este caso, £ se denomina parte real del número complejo y se denota por Re z, ey se denomina parte imaginaria y se denota por Imz (t se denomina unidad imaginaria). Tenga en cuenta que la parte imaginaria de un número complejo es un número real. El nombre de y no es del todo acertado, pero como tributo a la tradición histórica, se ha mantenido hasta el día de hoy. El término "número complejo"44 fue introducido en 1803 por el matemático francés JI. Carnot (1753-1823), pero K. Gauss comenzó a utilizar este término sistemáticamente a partir de 1828 para sustituir al menos exitoso “número imaginario”44. En la literatura matemática rusa del siglo XIX. utilizó el término "número compuesto"44. Ya en R. Descartes se oponen las partes real e imaginaria de un número complejo. Más tarde, las primeras letras de las palabras francesas reele (real) e imagimaire (imaginario) se convirtieron en las designaciones de estas partes, aunque muchos matemáticos consideraban que la esencia de las cantidades imaginarias era poco clara e incluso misteriosa y mística. Así, I. Newton no los incluyó en el concepto de número, y G. Leibniz pertenece a la Frase: “Los números imaginarios son un maravilloso y maravilloso refugio del espíritu divino, casi un anfibio del ser con el no ser44. Dado que el conjunto R2 de todos los pares posibles de números reales se puede identificar con puntos en el plano, cada número complejo z =? x + iy corresponde al punto y) (Fig. 4.1), lo que nos permite hablar de la forma geométrica de la representación de un número complejo. Cuando los números complejos se identifican con puntos del plano, se denomina plano complejo o plano de los números complejos. Los números reales se colocan en el eje x, es decir, números z, para los cuales lmz = y = 0, y en el eje Oy - números z = iy, llamados puramente imaginarios, para los cuales Re r = x = 0. Poeto-Fig. 4.1, los ejes de coordenadas en el plano complejo se denominan real e imaginario, respectivamente. Los puntos del plano correspondientes a los elementos complejos conjugados z y z (números complejos conjugados) son simétricos respecto al eje real, y los puntos que representan z y -z son simétricos respecto al origen. Distancia Campo de números complejos. El punto M(x, y), que representa un número complejo z = x + iy en el plano, desde el origen se llama módulo del número complejo y se denota \z\ o r. El ángulo que forma el radio vector del el punto M con la dirección positiva del eje Ox se llama argumento de un número complejo y denota Argz o (p (ver Fig. 4.1). El ángulo se mide como en trigonometría: la dirección positiva del cambio de ángulo se considera que es la dirección contraria a las manecillas del reloj. Es claro que Arg z no está unívocamente definido, pero hasta un término que es múltiplo de 2n.z - 0, el valor de Args no está definido. El punto correspondiente a este número (el origen) se caracteriza solo por el condición \z\ = r = 0. Así, a cada número complejo z en el plano complejo le corresponde el radio vector del punto M(x, y), que puede ser fijado por coordenadas polares: el radio polar r ^ 0 , igual al módulo del número complejo, y el ángulo polar coincidente con el valor principal del argumento de este número complejo. Según las definiciones de funciones trigonométricas y sus inversas conocidas del curso escolar de trigonometría (ver punto z en la plano complejo tenemos x=rcosy>= X Teniendo en cuenta las restricciones impuestas al valor principal del argumento del número complejo, obtenemos si x > 0, si x 0, si x = 0 y y.De (4.6) se sigue que pr la notación + tsiny> es avomérica), (4.8) Se llama la forma trigonométrica de la representación de un número complejo. Para la transición de la forma algebraica de representación a la forma trigonométrica, use (4.5) y (4.7) ”y para la transición inversa - (4.6). Tenga en cuenta que dos números complejos distintos de cero son iguales si y solo si sus módulos son iguales y los argumentos difieren en términos que son múltiplos de 2n. De acuerdo con (4.1), la suma de los números complejos z \ y r2 será un número complejo y su diferencia - De estas fórmulas se deduce que la suma (o resta) de números complejos es similar a la suma (o resta) de vectores en el plano complejo de acuerdo con la regla del paralelogramo (Fig. 4.2) (mientras que las coordenadas correspondientes de los vectores se suman o restan). Por lo tanto, para los módulos de los números complejos, las desigualdades triangulares a son válidas en la forma (la longitud de cualquier lado de un triángulo no es mayor que la suma de las longitudes de sus otros dos lados). Sin embargo, aquí es donde termina la analogía entre números complejos y vectores. La suma o diferencia de números complejos puede ser un número real (por ejemplo, la suma de números complejos conjugados r-f z = = 2x, x = Rez e R). De acuerdo con (4.3), el producto de los números complejos z\ y z2 es un número complejo. el cociente Z1/22 para V*2 φ 0 se entiende como un número complejo -r que satisface la igualdad z^z = z\. Después de multiplicar ambas partes de esta igualdad por 22, obtenemos: Elevar un número complejo z a la potencia n € N es multiplicar z por sí mismo n veces, teniendo en cuenta que para k 6 N es el campo de los números complejos. La notación trigonométrica (4.8) hace posible simplificar la multiplicación, división y exponenciación de números complejos. Entonces, para z\ \u003d r\ (cos (p\ + isiny?i) y Z2 \u003d Г2 (co + -f isin no (4.3) se puede establecer que En el plano complejo (Fig. 4.3) la multiplicación corresponde a la rotación del segmento OM por ángulo (en sentido contrario a las manecillas del reloj en 0) y un cambio en su longitud por r2 = \z2\ veces; exponenciación n £ N como multiplicar z por sí mismo n veces, semi-nay En honor al matemático inglés A de Moivre (1667-1754), esta relación se llama fórmula de Moivre para elevar un número complejo a una potencia entera positiva. /n, q € Q, m € Z, n6N, está relacionada con elevar este número a la potencia 1 /n, o, como dicen, extrayendo la raíz n-ésima de un número complejo grado, es decir, = w, si wn = z. Sea) Entonces de (4.13) tenemos y, teniendo en cuenta la igualdad de los números complejos, tenemos obtener De la expresión (4.14), llamamos derivado de la fórmula de Moivre para extraer la raíz de una potencia entera positiva de un número complejo) se deduce que entre los posibles valores de y/z, n valores correspondientes a k = 0, n - 1 serán diferentes. Todos los n valores diferentes para $fz tienen el mismo módulo y sus argumentos difieren en ángulos que son múltiplos de 2jr/n. Los valores corresponden a los puntos del plano complejo en los vértices de un n-ágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1/f con centro en el origen. En este caso, el radio vector de uno de los vértices forma un ángulo (p/n) con el eje Ox. De (4.13) y (4.14) se sigue la fórmula para elevar el número complejo z/0 a una potencia racional g € Q. Beli g = m/n, donde m € Z y n € N, teniendo en cuenta (4.7) obtenemos (Por tanto, en forma trigonométrica. Según (4.11) y (4.12) encontramos: Utilizando (4.13) , elevamos z\ a la potencia n = 4, aplicando (4.14), extraemos la raíz de grado n = 3 de z2 Los resultados de los cálculos se muestran en la Fig. 4.4 Tres valores de la raíz de tercer grado de zi corresponden a los vértices de un triángulo regular ABC inscrito en un círculo de radio y los ángulos polares de estos vértices \u003d i * / 18, 4\u003e v \u003d 13m / 18 y \u003d 25m / 18 (o \u003d - 11 ^/18).
Axiomas de campo. El campo de los números complejos. Notación trigonométrica de un número complejo.
Un número complejo es un número de la forma , donde y son números reales, los llamados unidad imaginaria. el numero se llama parte real ( ) número complejo, el número se llama parte imaginaria ( ) Número complejo.
Un montón de mismo números complejos generalmente denotado por una letra "negrita" o gruesa
Los números complejos se muestran en plano complejo:
El plano complejo consta de dos ejes:
– eje real (x)
– eje imaginario (y)
El conjunto de los números reales es un subconjunto del conjunto de los números complejos
Operaciones con números complejos
Para sumar dos números complejos, suma sus partes real e imaginaria.
Resta de números complejos
La acción es similar a la suma, la única característica es que el sustraendo debe tomarse entre paréntesis y luego, como estándar, abrir estos paréntesis con un cambio de signo.
Multiplicación de números complejos
paréntesis abiertos según la regla de la multiplicación de polinomios
División de números complejos
La división de números se lleva a cabo. multiplicando el denominador y el numerador por la expresión conjugada del denominador.
Los números complejos tienen muchas de las propiedades de los números reales, de los cuales destacamos los siguientes, llamados principal.
1) (un + b) + C = un + (b + C) (asociatividad de suma);
2) un + b = b + un (conmutatividad de la suma);
3) un + 0 = 0 + un = un (existencia de un elemento neutro por adición);
4) un + (−un) = (−un) + un = 0 (la existencia de un elemento opuesto);
5) un(b + C) = abdominales + C.A ();
6) (un + b)C = C.A + antes de Cristo (distributividad de la multiplicación con respecto a la suma);
7) (abdominales)C = un(antes de Cristo) (asociatividad de multiplicación);
8) abdominales = licenciado en Letras (conmutatividad de la multiplicación);
9) un∙1 = 1∙un = un (existencia de un elemento neutro por multiplicación);
10) para cualquier un≠ 0 b, qué abdominales = licenciado en Letras = 1 (existencia del elemento inverso);
11) 0 ≠ 1 (sin nombre).
El conjunto de objetos de naturaleza arbitraria, sobre los que se definen las operaciones de suma y multiplicación, que tienen las 11 propiedades indicadas (que en este caso son axiomas), se denomina campo.
El campo de los números complejos puede entenderse como una extensión del campo de los números reales en los que el polinomio tiene raíz
Cualquier número complejo (excepto el cero) se puede escribir en forma trigonométrica: 
, Dónde está módulo de número complejo, un - argumento de número complejo.
El módulo de un número complejo. es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto correspondiente del plano complejo. Simplemente pon, módulo es la longitud radio vector, que está marcado en rojo en el dibujo.
El módulo de un número complejo generalmente se denota por: o
Usando el teorema de Pitágoras, es fácil derivar una fórmula para encontrar el módulo de un número complejo: . Esta fórmula es válida para cualquier significados "un" y "ser".
El argumento de un número complejo llamado inyección Entre eje positivo el eje real y el radio vector trazados desde el origen hasta el punto correspondiente. El argumento no está definido para singular: .
El argumento de un número complejo generalmente se denota por: o
Sea y φ = arg z. Entonces, por la definición del argumento, tenemos:
Anillo de matrices sobre el campo de los números reales. Operaciones básicas sobre matrices. Propiedades de la operación.
Matriz tamaño m´n, donde m es el número de filas, n es el número de columnas, se denomina tabla de números dispuestos en un orden determinado. Estos números se denominan elementos de matriz. El lugar de cada elemento está determinado únicamente por el número de la fila y la columna en la intersección de la cual se encuentra. Los elementos de la matriz se denotan aij, donde i es el número de fila y j es el número de columna.
Definición. Si el número de columnas de la matriz es igual al número de filas (m=n), entonces la matriz se llama cuadrado.
Definición. Ver matriz:
= mi,
llamado matriz de identidad.
Definición. si un un mn = un nanómetro, entonces la matriz se llama simétrico.
Ejemplo. 
- matriz simétrica
Definición.
Matriz de vista cuadrada 
llamado diagonal matriz.
Multiplicar una matriz por un número
Multiplicar una matriz por un número(notación: ) es construir una matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada elemento de la matriz por este número, es decir, cada elemento de la matriz es igual a
Propiedades de la multiplicación de matrices por un número:
· once UN = UN;
2. (λβ)A = λ(βA)
3. (λ+β)A = λA + βA
· 4. λ(A+B) = λA + λB
Adición de matriz
Adición de matriz es la operación de encontrar una matriz, cuyos elementos son todos iguales a la suma por pares de todos los elementos correspondientes de las matrices y, es decir, cada elemento de la matriz es igual a
Propiedades de la suma de matrices:
1. conmutatividad: A+B = B+A;
2.asociatividad: (A+B)+C =A+(B+C);
3. suma con matriz cero: A + Θ = A;
4.existencia de la matriz opuesta: A+(-A)=Θ;
Todas las propiedades de las operaciones lineales repiten los axiomas de un espacio lineal, y por lo tanto es válido el siguiente teorema:
El conjunto de todas las matrices del mismo tamaño. metro X norte con elementos del campo PAG(campos de todos los números reales o complejos) forma un espacio lineal sobre el campo P (cada una de esas matrices es un vector de este espacio). Sin embargo, principalmente para evitar confusiones terminológicas, las matrices en contextos comunes se evitan sin necesidad (que no es en las aplicaciones estándar más comunes) y especificación clara del uso del término para llamar vectores.
Multiplicación de matrices
Multiplicación de matrices(notación: , rara vez con el signo de multiplicación) - hay una operación para calcular una matriz, cada elemento de la cual es igual a la suma de los productos de los elementos en la fila correspondiente del primer factor y la columna del segundo.
El número de columnas de la matriz debe coincidir con el número de filas de la matriz, en otras palabras, la matriz debe ser acordado con una matriz. Si la matriz tiene dimensión , - , entonces la dimensión de su producto es .
Propiedades de multiplicación de matrices:
1.asociatividad (AB)C = A(BC);
2.no conmutatividad (generalmente): ABBA;
3. El producto es conmutativo en el caso de multiplicaciones con matriz identidad: IA=IA;
4.distributividad: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
5. asociatividad y conmutatividad con respecto a la multiplicación por un número: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
Transposición de matriz.
Encontrar la matriz inversa.
Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es no singular, es decir, su determinante no es igual a cero. Para matrices no cuadradas y matrices degeneradas no existen matrices inversas.
Teorema del rango de la matriz
El rango de la matriz A es el orden máximo de un menor distinto de cero
El menor que determina el rango de la matriz se denomina Base Menor. Las filas y columnas que forman el BM se denominan filas y columnas básicas.
Notación: r(A), R(A), Rang A.
Comentario. Obviamente, el valor del rango de una matriz no puede exceder a la menor de sus dimensiones.
Para cualquier matriz, sus rangos menores, de fila y de columna son los mismos.
Prueba. Sea el rango menor de la matriz UN es igual r . Demostremos que el rango de la fila también es igual a r . Para ello, podemos suponer que el menor reversible METRO pedido r esta en el primero r filas de matriz UN . De esto se sigue que la primera r filas de matriz UN son linealmente independientes y el conjunto de filas menores METRO independiente linealmente. Permitir un -- cadena de longitud r , compuesto por elementos i -ésima fila de la matriz, que se encuentran en las mismas columnas que el menor METRO . Desde las cuerdas menores METRO formar la base de k r , entonces un -- combinación lineal de cuerdas menores METRO . Restar de i -ésima línea UN la misma combinación lineal de la primera r filas de matriz UN . Si el resultado es una cadena que contiene un elemento no nulo en la columna con el número t , entonces considere el menor METRO 1 pedido r+1 matrices UN , sumando a las filas del menor la fila th de la matriz UN y a las columnas menores -ésima columna de la matriz UN (dicen que menor METRO 1 recibió ribete menor METRO a través de i -ésima línea y t -ésima columna de la matriz UN ). Por nuestra elección t , este menor es invertible (basta restar de la última fila de este menor la combinación lineal del primero r filas, y luego expanda su determinante sobre la última fila para asegurarse de que este determinante, hasta un factor escalar distinto de cero, coincida con el determinante del menor METRO . un priorato r tal situación es imposible y, por lo tanto, después de la transformación i -ésima línea UN se convertirá en cero. En otras palabras, el original i -ésima fila es una combinación lineal de la primera r filas de matriz UN . Hemos demostrado que la primera r las filas forman la base del conjunto de filas de la matriz UN , es decir, el rango en minúsculas UN es igual r . Para demostrar que el rango de la columna es r , es suficiente intercambiar "filas" y "columnas" en el razonamiento anterior. El teorema ha sido probado.
Este teorema demuestra que no tiene sentido distinguir entre tres rangos de una matriz, y en lo que sigue, por rango de una matriz, entenderemos el rango de fila, recordando que es igual tanto a la columna como a los rangos menores (el notación r(UN) -- rango de la matriz UN ). También notamos que de la prueba del teorema del rango se sigue que el rango de una matriz coincide con la dimensión de cualquier menor invertible de la matriz tal que todos los menores que la rodean (si es que existen) son degenerados.
Teorema de Kronecker-Capelli
Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es consistente si y solo si el rango de su matriz principal es igual al rango de su matriz extendida, y el sistema tiene solución única si el rango es igual al número de incógnitas, y un número infinito de soluciones si el rango es menor que el número de incógnitas.
Necesidad
Que el sistema sea consistente. Entonces hay números tales que . Por tanto, la columna es una combinación lineal de las columnas de la matriz. Del hecho de que el rango de una matriz no cambiará si se elimina una fila (columna) del sistema de sus filas (columnas) o una fila (columna) que es una combinación lineal de otras filas (columnas) sigue eso.
Adecuación
Permitir . Tomemos algunos menores básicos en la matriz. Ya que, entonces también será la base menor de la matriz. Entonces, según el teorema menor de la base, la última columna de la matriz será una combinación lineal de las columnas de la base, es decir, las columnas de la matriz. Por tanto, la columna de miembros libres del sistema es una combinación lineal de las columnas de la matriz.
Consecuencias
· El número de variables principales del sistema es igual al rango del sistema.
· Se definirá un sistema compatible (su solución es única) si el rango del sistema es igual al número de todas sus variables.
Teorema menor de la base.
Teorema. En una matriz A arbitraria, cada columna (fila) es una combinación lineal de columnas (filas) en las que se encuentra la base menor.
Por lo tanto, el rango de una matriz arbitraria A es igual al número máximo de filas (columnas) linealmente independientes en la matriz.
Si A es una matriz cuadrada y detA = 0, entonces al menos una de las columnas es una combinación lineal de las otras columnas. Lo mismo es cierto para las cadenas. Esta afirmación se deriva de la propiedad de dependencia lineal con el determinante igual a cero.
7. solución SLU. Método de Cramer, método matricial, método de Gauss.
método de Cramer.
Este método también es aplicable sólo en el caso de sistemas de ecuaciones lineales, donde el número de variables coincide con el número de ecuaciones. Además, es necesario introducir restricciones en los coeficientes del sistema. Es necesario que todas las ecuaciones sean linealmente independientes, es decir ninguna ecuación sería una combinación lineal de las otras.
Para ello, es necesario que el determinante de la matriz del sistema no sea igual a 0.
De hecho, si cualquier ecuación del sistema es una combinación lineal de las demás, entonces si los elementos de cualquier fila se suman a los elementos de otra, multiplicados por algún número, utilizando transformaciones lineales, se puede obtener una fila cero. El determinante en este caso será igual a cero.
Teorema. (Regla de Cramer):
Teorema. Sistema de n ecuaciones con n incógnitas
si el determinante de la matriz del sistema no es igual a cero, tiene solución única y esta solución se encuentra mediante las fórmulas:
x i = D i /D, donde
D = det A, y D i es el determinante de la matriz obtenida a partir de la matriz del sistema reemplazando la columna i por una columna de miembros libres b i .
re yo = 
Método matricial para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
El método matricial es aplicable a la resolución de sistemas de ecuaciones donde el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El método es conveniente para resolver sistemas de bajo orden.
El método se basa en aplicar las propiedades de la multiplicación de matrices.
Sea el sistema de ecuaciones dado:
Componer matrices: A = 
; B = ; X = .
El sistema de ecuaciones se puede escribir: A×X = B.
Hagamos la siguiente transformación: A -1 ×A×X = A -1 ×B, porque A -1 × A = E, luego E × X = A -1 × B
X \u003d A -1 × B
Para aplicar este método, es necesario encontrar la matriz inversa, lo que puede estar asociado con dificultades computacionales para resolver sistemas de alto orden.
Definición. El sistema de m ecuaciones con n incógnitas generalmente se escribe de la siguiente manera:
, (1)
donde a ij son coeficientes y b i son constantes. Las soluciones del sistema son n números que, al ser sustituidos en el sistema, convierten cada una de sus ecuaciones en una identidad.
Definición. Si un sistema tiene al menos una solución, entonces se llama junta. Si el sistema no tiene solución, entonces se llama incompatible.
Definición. El sistema se llama determinado si tiene una sola solución y incierto si mas de uno.
Definición. Para un sistema de ecuaciones lineales de la forma (1), la matriz
un = 
se llama la matriz del sistema, y la matriz
A*= 
se llama la matriz aumentada del sistema
Definición. Si b 1 , b 2 , …,b m = 0, entonces el sistema se llama homogéneo. sistema homogéneo es siempre consistente.
Transformaciones elementales de sistemas.
Las transformaciones elementales son:
1) La suma a ambas partes de una ecuación de las partes correspondientes de la otra, multiplicadas por un mismo número, distinto de cero.
2) Permutación de ecuaciones en lugares.
3) Eliminación del sistema de ecuaciones que son identidades para todo x.
El método de Gauss es un método clásico para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE). Este es un método de eliminación sucesiva de variables, cuando, con la ayuda de transformaciones elementales, el sistema de ecuaciones se reduce a un sistema equivalente de forma triangular, a partir del cual todas las demás variables se encuentran secuencialmente, comenzando por la última (por número ) variables
Deje que el sistema original se vea así
La matriz se llama matriz principal del sistema, la columna de miembros libres.
Entonces, de acuerdo con la propiedad de las transformaciones elementales sobre filas, la matriz principal de este sistema se puede reducir a una forma escalonada (las mismas transformaciones se deben aplicar a la columna de miembros libres):
Entonces las variables se llaman variables principales. Todos los demás se llaman gratis.
Si al menos un número , donde , entonces el sistema bajo consideración es inconsistente, es decir ella no tiene solución.
Deja para cualquier .
Transferimos las variables libres más allá de los signos de igual y dividimos cada una de las ecuaciones del sistema por su coeficiente en la más a la izquierda ( , donde es el número de línea):
Si asignamos todos los valores posibles a las variables libres del sistema (2) y resolvemos el nuevo sistema con respecto a las principales incógnitas de abajo hacia arriba (es decir, de la ecuación inferior a la superior), entonces obtendremos todas las soluciones de esta SLAE. Como este sistema se obtuvo por transformaciones elementales sobre el sistema original (1), entonces por el teorema de equivalencia bajo transformaciones elementales, los sistemas (1) y (2) son equivalentes, es decir, los conjuntos de sus soluciones coinciden.
Consecuencias:
1: Si en un sistema conjunto todas las variables son principales, entonces dicho sistema es definitivo.
2: Si el número de variables en el sistema excede el número de ecuaciones, entonces dicho sistema es indeterminado o inconsistente.
Algoritmo
El algoritmo para la resolución de SLAE por el método de Gauss se divide en dos etapas.
En la primera etapa, se lleva a cabo el llamado movimiento directo, cuando, mediante transformaciones elementales sobre filas, el sistema se lleva a una forma escalonada o triangular, o se establece que el sistema es inconsistente. Es decir, entre los elementos de la primera columna de la matriz, se elige uno distinto de cero, se mueve a la posición más alta permutando las filas, y la primera fila obtenida después de la permutación se resta de las filas restantes, multiplicándola por un valor igual a la razón del primer elemento de cada una de estas filas al primer elemento de la primera fila, poniendo así a cero la columna debajo de ella. Luego de realizadas las transformaciones indicadas, se tachan mentalmente la primera fila y la primera columna y se continúa hasta que quede una matriz de tamaño cero. Si en algunas de las iteraciones entre los elementos de la primera columna no se encontró uno distinto de cero, vaya a la siguiente columna y realice una operación similar.
En la segunda etapa, se lleva a cabo el llamado movimiento inverso, cuya esencia es expresar todas las variables básicas resultantes en términos de variables no básicas y construir un sistema fundamental de soluciones o, si todas las variables son básicas, luego exprese numéricamente la única solución al sistema de ecuaciones lineales. Este procedimiento comienza con la última ecuación, a partir de la cual se expresa la variable básica correspondiente (y allí sólo hay una) y se sustituye en las ecuaciones anteriores, y así sucesivamente, subiendo los “pasos”. Cada línea corresponde exactamente a una variable básica, por lo que en cada paso, a excepción del último (superior), la situación repite exactamente el caso de la última línea.
Vectores. Conceptos básicos. Producto escalar, sus propiedades.
Vector se llama segmento dirigido (un par ordenado de puntos). También se aplica a los vectores. nulo un vector cuyo inicio y final son iguales.
Longitud (módulo) vector es la distancia entre el principio y el final del vector.
Los vectores se llaman colineal si están situados en la misma línea o en líneas paralelas. El vector cero es colineal a cualquier vector.
Los vectores se llaman coplanario si existe un plano al cual son paralelas.
Los vectores colineales siempre son coplanares, pero no todos los vectores coplanares son colineales.
Los vectores se llaman igual si son colineales, tienen la misma dirección y tienen el mismo valor absoluto.
Cualquier vector se puede reducir a un origen común, es decir, construir vectores correspondientemente iguales a los datos y que tengan un origen común. De la definición de igualdad vectorial se sigue que cualquier vector tiene infinitos vectores iguales.
Operaciones lineales sobre vectores se llama suma y multiplicación por un número.
La suma de vectores es el vector - 
Trabaja - 
, siendo colineal.
El vector es codireccional con el vector ( ) si a > 0.
El vector es opuesto al vector ( ¯ ) si a< 0.
Propiedades vectoriales.
1) + = + - conmutatividad.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b) – asociatividad
6) (a + b) = a + b - distributividad
7) un( + ) = un + un
1) Base en el espacio se denominan 3 vectores no coplanares cualquiera, tomados en un cierto orden.
2) Base en el plano hay 2 vectores no colineales tomados en cierto orden.
3)Base cualquier vector distinto de cero se llama en la línea.
si un 
es una base en el espacio y , entonces los números a, b y g se llaman componentes o coordenadas vectores en esta base.
Al respecto, podemos escribir lo siguiente propiedades:
vectores iguales tienen las mismas coordenadas,
cuando un vector se multiplica por un número, sus componentes también se multiplican por ese número,
cuando se suman vectores, se suman sus componentes correspondientes.
; 
;
Dependencia lineal de vectores.
Definición.
Vectores 
llamado linealmente dependiente, si existe tal combinación lineal , si a i no es igual a cero al mismo tiempo, es decir 
.
Si solo se satisface a i = 0, entonces los vectores se llaman linealmente independientes.
Propiedad 1. Si hay un vector nulo entre los vectores, estos vectores son linealmente dependientes.
Propiedad 2. Si se agregan uno o más vectores al sistema de vectores linealmente dependientes, entonces el sistema resultante también será linealmente dependiente.
Propiedad 3. Un sistema de vectores es linealmente dependiente si y solo si uno de los vectores se descompone en una combinación lineal de los otros vectores.
Propiedad 4. Cualquier 2 vectores colineales son linealmente dependientes y, a la inversa, cualquier 2 vectores linealmente dependientes son colineales.
Propiedad 5. Cualquier 3 vector coplanar es linealmente dependiente y, a la inversa, cualquier 3 vector linealmente dependiente es coplanar.
Propiedad 6. Cualesquiera 4 vectores son linealmente dependientes.
Longitud del vector en coordenadas definida como la distancia entre los puntos inicial y final del vector. Si se dan dos puntos en el espacio A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), entonces .
Si el punto M(x, y, z) divide el segmento AB en la razón l/m, entonces las coordenadas de este punto se definen como:
En un caso particular, las coordenadas medio del segmento se encuentran como:
x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.
Operaciones lineales sobre vectores en coordenadas.
Rotación de ejes de coordenadas
Por debajo doblar Los ejes de coordenadas entienden una transformación de coordenadas de este tipo en la que ambos ejes giran el mismo ángulo, mientras que el origen y la escala permanecen sin cambios.
Sea obtenido un nuevo sistema O 1 x 1 y 1 rotando el sistema Oxy un ángulo α.
Sea Μ un punto arbitrario del plano, (x; y) - sus coordenadas en el sistema antiguo y (x"; y") - en el nuevo sistema.
Introducimos dos sistemas de coordenadas polares con un polo común O y ejes polares Ox y Οx 1 (la escala es la misma). El radio polar r es el mismo en ambos sistemas, y los ángulos polares son respectivamente α + j y φ, donde φ es el ángulo polar en el nuevo sistema polar.
De acuerdo con las fórmulas para la transición de coordenadas polares a rectangulares, tenemos
Pero rcosj = x" y rsinφ = y". Asi que
Las fórmulas resultantes se llaman fórmulas de rotación de ejes . Permiten determinar las antiguas coordenadas (x; y) de un punto M arbitrario en función de las nuevas coordenadas (x”; y”) del mismo punto M, y viceversa.
Si el nuevo sistema de coordenadas O 1 x 1 y 1 se obtiene del antiguo Oxy mediante la transferencia paralela de los ejes de coordenadas y la posterior rotación de los ejes en un ángulo α (ver Fig. 30), entonces es fácil introducir un sistema auxiliar para obtener las fórmulas
expresar las antiguas coordenadas x e y de un punto arbitrario en términos de sus nuevas coordenadas x" e y".
Elipse
Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos
hasta dos puntos dados es constante. Estos puntos se denominan focos y
son designados F1 y F2, la distancia entre ellos 2s, y la suma de las distancias de cada punto a
trucos - 2a(por condición 2a>2c). Construimos un sistema de coordenadas cartesianas tal que F1 y F2 estaban en el eje x, y el origen coincidía con la mitad del segmento F1F2. Derivamos la ecuación de la elipse. Para hacer esto, considere un punto arbitrario M(x, y) elipse. A-priorato: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).
|F1M|=(X+ C)2 + y 2 ; |F2M| = (X- C)2 + y 2
(X+ C)2 + y 2 + (X- C)2 + y 2 =2a(5)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(X- C)2 + y 2 +x2-2cx+c2+y2
4cx-4a2=4a(X- C)2 + y 2
a2-cx=a(X- C)2 + y 2
a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)
como 2a>2c(la suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado), entonces a2-c2>0.
Permitir a2-c2=b2
Los puntos con coordenadas (a, 0), (−a, 0), (b, 0) y (−b, 0) se denominan vértices de la elipse, el valor a es el semieje mayor de la elipse, y el valor b es su semieje menor. Los puntos F1(c, 0) y F2(−c, 0) se llaman focos
elipse, y el foco F1 se llama derecho, y el foco F2 se llama izquierdo. Si el punto M pertenece a la elipse, entonces las distancias |F1M| y |F2M| se denominan radios focales y se denotan por r1 y r2, respectivamente. El valor e \u003d c / a se llama excentricidad de la elipse. Líneas rectas con ecuaciones x =a/e
yx = −a/e se llaman directrizes de la elipse (para e = 0, no hay directriz de la elipse).
Ecuación general del plano
Considere una ecuación general de primer grado con tres variables x, y y z:
Suponiendo que al menos uno de los coeficientes A, B o C no es igual a cero, por ejemplo, reescribimos la ecuación (12.4) en la forma
Definiciones . Permitir un, b son números reales, i es algún símbolo. Un número complejo es un registro de la forma un+bi.
Suma y multiplicación números en el conjunto de números complejos: (un+bi)+(C+di)=(un+C)+(b+d) yo,
(un+bi)(c+di)=(C.A–bd)+(anuncio+bc) yo. .
Teorema 1 . Conjunto de números complejos Con con las operaciones de suma y multiplicación se forma un campo. Propiedades de adición
1) conmutatividad b: (un+bi)+(C+di)=(un+C)+(b+d) yo=(C+di)+(un+bi).
2) Asociatividad :[(un+bi)+(C+di)]+(mi+fi)=(un+C+mi)+(b+d+f)yo=(un+bi)+[(C+di)+(mi+fi)].
3) Existencia elemento neutro :(un+bi)+(0 +0i)=(un+bi). Número 0 +0 i llamaremos cero y denotaremos 0 .
4) Existencia elemento opuesto : (un+bi)+(–un–bi)=0 +0i=0 .
5) Conmutatividad de la multiplicación : (un+bi)(c+di)=(C.A–bd)+(antes de Cristo+anuncio) yo=(C+di)(un+bi).
6) Asociatividad de la multiplicación :Si z1=un+bi, z2=C+di, z3=mi+fi, entonces (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).
7) Distributividad: Si z1=un+bi, z2=C+di, z3=mi+fi, entonces z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.
8) Elemento neutro para la multiplicación :(un+bi)(1+0i)=(un 1–segundo 0)+(un 0+b 1) yo=un+bi.
9) Número 1 +0i=1 - unidad.
9) Existencia elemento inverso : "z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .
Permitir z=un+bi. Numeros reales un, llamado válido, un b - partes imaginarias Número complejo z. Se utilizan notaciones: un=Rez, b=imz.
si un b=0 , entonces z=un+ 0i=un es un número real. Por tanto, el conjunto de los números reales R es parte del conjunto de los números complejos C: RÍ C.
Nota: yo 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Usando esta propiedad de número i, además de las propiedades de las operaciones demostradas en el Teorema 1, se pueden realizar operaciones con números complejos de acuerdo con las reglas usuales, reemplazando yo 2 sobre el - 1 .
Comentario. Las relaciones £, ³ (“menor que”, “mayor que”) para números complejos no están definidas.
2 Notación trigonométrica .
La notación z = a+bi se llama algebraico notación de un número complejo . Considere un plano con un sistema de coordenadas cartesianas elegido. representemos el numero z punto con coordenadas (a, b). Entonces los números reales un=un+0i estará representado por puntos del eje BUEY- se llama válido eje. Eje OY llamado imaginario eje, sus puntos corresponden a números de la forma bi, que a veces se denominan puramente imaginario . Todo el plano se llama plano complejo .El número se llama módulo números z: ,
ángulo polar j llamado argumento números z: j=argumento.
El argumento se determina hasta el término 2kp; valor por el cual - pag< j £ p , se llama importancia principal argumento. Números r, j son las coordenadas polares del punto z. Está claro que un=r cosj, b=r sinj, y obtenemos: z=un+b yo=r (cosj+Yo sinj). forma trigonométrica notación de un número complejo.
Números conjugados . Un número complejo se llama conjugado de un número.z = un + bi . Está claro que . Propiedades : .
Comentario. La suma y el producto de números conjugados son números reales:
Def. El sistema de los números complejos es el campo min-ésimo, que es una extensión del campo de los números reales y en el que hay un elemento i (i 2 -1 = 0)
Def.Álgebra<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>llamados sys-th comp-th números, si emite las siguientes condiciones (axiomas):
1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m
2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)
3. a,b∊ℂa+b=b+a
4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a
5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0
6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n
7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)
8. a,b∊ℂa∙b=b∙a
9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a
10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1
11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc
12.
13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b
14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0
15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ y (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ
St. va ℂ números:
1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i
2. El campo de los números comp no se puede ordenar linealmente, es decir α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-imposible.
3. El teorema fundamental del álgebra: El campo ℂ de números es algebraicamente cerrado, es decir, cualquier pl. grados sobre el campo ℂ de números tiene al menos un conjunto. raíz
El siguiente del principal. teoremas alg.: Todo plural posit. grados sobre el campo de los números complejos se pueden descomponer en un producto... de primer grado con un coeficiente positivo.
A continuación: cualquier cuadrado ur-e tiene 2 raíces: 1) D>0 2-a diff. acción raíz 2)D=0 2-a real. raíz x coincidente 3)D<0 2-а компл-х корня.
4. Axiomas. la teoría de los números complejos es categórica y consistente
Metodología.
En las clases de educación general no se considera el concepto de número complejo, se limitan únicamente al estudio de los números reales. Pero en los grados superiores, los escolares ya tienen una educación matemática bastante madura y son capaces de comprender la necesidad de ampliar el concepto de número. Desde el punto de vista del desarrollo general, el conocimiento sobre los números complejos se utiliza en las ciencias naturales y la tecnología, lo cual es importante para un estudiante en el proceso de elección de una futura profesión. Los autores de algunos libros de texto incluyen el estudio de este tema como obligatorio en sus libros de texto sobre álgebra y los principios del análisis matemático para niveles especializados, lo cual está previsto por la norma estatal.
Desde el punto de vista metodológico, el tema “Números Complejos” desarrolla y profundiza las ideas sobre polinomios y números planteadas en el curso de matemática básica, en cierto sentido, completando el desarrollo del concepto de número en la escuela secundaria.
Sin embargo, incluso en la escuela secundaria, muchos escolares tienen un pensamiento abstracto poco desarrollado, o es muy difícil imaginar una unidad "imaginaria, imaginaria", para comprender las diferencias entre los planos coordinados y complejos. O viceversa, el estudiante opera con conceptos abstractos aislados de su contenido real.
Después de estudiar el tema "Números complejos", los estudiantes deben tener una comprensión clara de los números complejos, conocer las formas algebraicas, geométricas y trigonométricas de un número complejo. Los estudiantes deben poder realizar sumas, multiplicaciones, restas, divisiones, elevar a una potencia, extraer una raíz de un número complejo en números complejos; traducir números complejos de forma algebraica a trigonométrica, tener una idea sobre el modelo geométrico de números complejos
En el libro de texto para clases de matemáticas de N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartburd "Álgebra y el comienzo del análisis matemático", el tema "Números complejos" se presenta en el grado 11. El estudio del tema se ofrece en la segunda mitad del grado 11 después de que se estudió la sección de trigonometría en el grado 10, y en el grado 11: las ecuaciones integrales y diferenciales, funciones exponenciales, logarítmicas y de potencia, polinomios. En el libro de texto, el tema "Números complejos y operaciones con ellos" se divide en dos secciones: Números complejos en forma algebraica; Forma trigonométrica de los números complejos. La consideración del tema "Números complejos y operaciones con ellos" comienza con una consideración del problema de resolver ecuaciones cuadráticas, ecuaciones de tercer y cuarto grado y, como resultado, se revela la necesidad de introducir un "nuevo número i". Los conceptos de números complejos y las operaciones sobre ellos se dan de inmediato: encontrar la suma, el producto y el cociente de números complejos. A continuación, se da una definición rigurosa del concepto de número complejo, propiedades de las operaciones de suma y multiplicación, resta y división. La siguiente subsección trata sobre los números complejos conjugados y algunas de sus propiedades. A continuación, consideramos la cuestión de extraer raíces cuadradas de números complejos y resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos. El siguiente párrafo trata de: representación geométrica de números complejos; sistema de coordenadas polares y forma trigonométrica de números complejos; multiplicación, exponenciación y división de números complejos en forma trigonométrica; la fórmula de de Moivre, la aplicación de números complejos a la prueba de identidades trigonométricas; extraer una raíz de un número complejo; el teorema fundamental del álgebra polinomial; números complejos y transformaciones geométricas, funciones de variable compleja.
En el libro de texto S.M. Nikolsky, MK Potapova, N. N. Reshetnikova, A. V. Shevkin "Álgebra y los comienzos del análisis matemático", el tema "Números complejos se considera en el grado 11 después de estudiar todos los temas, es decir. al final del curso de álgebra escolar. El tema se divide en tres secciones: forma algebraica e interpretación geométrica de números complejos; Forma trigonométrica de números complejos; Raíces de polinomios, forma exponencial de números complejos. El contenido de los párrafos es bastante voluminoso, contiene muchos conceptos, definiciones, teoremas. El párrafo "Forma algebraica e interpretación geométrica de números complejos" contiene tres secciones: la forma algebraica de un número complejo; números complejos conjugados; interpretación geométrica de un número complejo. El párrafo "Forma trigonométrica de un número complejo" contiene definiciones y conceptos necesarios para introducir el concepto de forma trigonométrica de un número complejo, así como un algoritmo para cambiar de una forma algebraica de notación a una forma trigonométrica de un número complejo. En el último párrafo “Raíces de polinomios. La forma exponencial de los números complejos” contiene tres secciones: raíces de números complejos y sus propiedades; raíces de polinomios; Forma exponencial de un número complejo.
El material del libro de texto se presenta en un volumen pequeño, pero suficiente para que los estudiantes comprendan la esencia de los números complejos y dominen los conocimientos mínimos sobre ellos. El libro de texto tiene una pequeña cantidad de ejercicios y no aborda el tema de elevar un número complejo a una potencia y la fórmula de De Moivre.
En el libro de texto A.G. Mordkovich, P. V. Semenov "Álgebra y los comienzos del análisis matemático", nivel de perfil, grado 10, el tema "Números complejos" se introduce en la segunda mitad del grado 10 inmediatamente después de estudiar los temas "Números reales" y "Trigonometría". Esta ubicación no es casual: tanto el círculo numérico como las fórmulas trigonométricas se utilizan activamente en el estudio de la forma trigonométrica de un número complejo, la fórmula de Moivre, al extraer raíces cuadradas y cúbicas de un número complejo. El tema "Números complejos" se presenta en el capítulo 6 y se divide en 5 secciones: números complejos y operaciones aritméticas sobre ellos; números complejos y plano de coordenadas; forma trigonométrica de escribir un número complejo; números complejos y ecuaciones cuadráticas; elevar un número complejo a una potencia, extraer la raíz cúbica de un número complejo.
Se introduce el concepto de número complejo como una extensión del concepto de número y la imposibilidad de realizar ciertas operaciones en números reales. El libro de texto contiene una tabla con los principales conjuntos numéricos y las operaciones permitidas en ellos. Se enumeran las condiciones mínimas que deben cumplir los números complejos y luego se introduce el concepto de unidad imaginaria, la definición de número complejo, la igualdad de los números complejos, su suma, diferencia, producto y cociente.
Del modelo geométrico del conjunto de los números reales se pasa al modelo geométrico del conjunto de los números complejos. La consideración del tema "Forma trigonométrica de escribir un número complejo" comienza con la definición y las propiedades del módulo de un número complejo. A continuación, consideramos la forma trigonométrica de escribir un número complejo, la definición del argumento de un número complejo y la forma trigonométrica estándar de un número complejo.
A continuación, estudiamos la extracción de la raíz cuadrada de un número complejo, la solución de ecuaciones cuadráticas. Y en el último párrafo, se presenta la fórmula de Moivre y se deriva un algoritmo para extraer la raíz cúbica de un número complejo.
También en el libro de texto en consideración, en cada párrafo, en paralelo con la parte teórica, se consideran varios ejemplos que ilustran la teoría y dan una percepción más significativa del tema. Se dan breves hechos históricos.
Número complejo z llamado expresión, donde un y en- numeros reales, i es una unidad imaginaria o un signo especial.
Se siguen los siguientes acuerdos:
1) con la expresión a + bi se pueden realizar operaciones aritméticas según las reglas que se aceptan para las expresiones literales en álgebra;
5) la igualdad a+bi=c+di, donde a, b, c, d son números reales, se cumple si y sólo si a=c y b=d.
El número 0+bi=bi se llama imaginario o puramente imaginario.
Cualquier número real a es un caso especial de un número complejo, porque se puede escribir como a=a+ 0i. En particular, 0=0+0i, pero si a+bi=0, entonces a+bi=0+0i, por lo tanto, a=b=0.
Así, un número complejo a+bi=0 si y sólo si a=0 yb=0.
Las leyes de transformación de números complejos se derivan de las convenciones:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;
Vemos que la suma, diferencia, producto y cociente (donde el divisor no es igual a cero) de números complejos, a su vez, es un número complejo.
Número un llamado parte real de un numero complejo z(denotado) en es la parte imaginaria del número complejo z (indicado por ).
Un número complejo z con parte real cero se llama. puramente imaginario, con cero imaginario - puramente real.
Se llaman dos números complejos. igual, si tienen la misma parte real e imaginaria.
Se llaman dos números complejos. conjugado si tienen sustancias. las partes coinciden y las imaginarias difieren en signos. , entonces el conjugado a él .
La suma de los números conjugados es el número de sustancias, y la diferencia es un número puramente imaginario. Sobre el conjunto de los números complejos, las operaciones de multiplicación y suma de números están naturalmente definidas. Es decir, si y son dos números complejos, entonces la suma es: ; trabaja: .
Ahora definimos las operaciones de resta y división.
Tenga en cuenta que el producto de dos números complejos es el número de sustancias.
(porque i=-1). Este número se llama módulo cuadrado números. Por lo tanto, si es un número, entonces su módulo es un número real.
A diferencia de los números reales, para los números complejos no se introduce el concepto de "más", "menos".
Representación geométrica de números complejos. Los números reales se representan por puntos en la recta numérica:
Aquí está el punto UN significa número -3, punto B es el número 2, y O- cero. Por el contrario, los números complejos se representan mediante puntos en el plano de coordenadas. Para ello, elegimos coordenadas rectangulares (cartesianas) con las mismas escalas en ambos ejes. Entonces el número complejo un + bi estará representado por un punto P con abscisa a y ordenada b(arroz.). Este sistema de coordenadas se llama plano complejo.
módulo número complejo se llama la longitud del vector OP, representando un número complejo en la coordenada ( integral) avión. Módulo de número complejo un + bi denotado por | un + bi| o carta r y es igual a:
Los números complejos conjugados tienen el mismo módulo. __
Argumento número complejo es el ángulo entre el eje BUEY y vectores OP que representa este número complejo. Por lo tanto, tan = b / un .
Forma trigonométrica de un número complejo. Además de escribir un número complejo en forma algebraica, también se usa otro, llamado trigonométrico.
Sea el número complejo z=a+bi representado por el vector ОА con coordenadas (a,b). Designemos la longitud del vector OA como r: r=|OA|, y el ángulo que forma con la dirección positiva del eje Ox a través del ángulo φ.
Usando las definiciones de las funciones sinφ=b/r, cosφ=a/r, el número complejo z=a+bi se puede escribir como z=r(cosφ+i*sinφ), donde , y el ángulo φ se determina a partir de las condiciones
forma trigonométrica el número complejo z es su representación en la forma z=r(cosφ+i*sinφ), donde r y φ son números reales y r≥0.
De hecho, el número r se llama módulo número complejo y se denota por |z|, y el ángulo φ se denota por el argumento del número complejo z. El argumento φ de un número complejo z se denota por Arg z.
Operaciones con números complejos representados en forma trigonométrica:
Es famoso fórmula Moivre.
8 .Espacio vectorial. Ejemplos y propiedades simples de espacios vectoriales. Dependencia e independencia lineal del sistema de vectores. Base y rango de un sistema finito de vectores
espacio vectorial - concepto matemático que generaliza el concepto de la totalidad de todos los vectores (libres) del espacio tridimensional ordinario.
Para vectores en el espacio tridimensional, se dan las reglas para sumar vectores y multiplicarlos por números reales. Aplicado a cualquier vector x, y, z y cualquier número α, β estas reglas satisfacen las siguientes condiciones:
1) X+en=en+X(conmutatividad de la suma);
2)(X+en)+z=X+(y+z) (asociatividad de la suma);
3) hay un vector cero 0 (o vector nulo) que satisface la condición X+0 =X: para cualquier vector X;
4) para cualquier vector X hay un vector opuesto en tal que X+en =0 ,
5) 1x=X,donde 1 es la unidad de campo
6) α (x)=(αβ )X(asociatividad de la multiplicación), donde el producto αβ es el producto de escalares
7) (α +β )X=αх+x(propiedad distributiva con respecto a un factor numérico);
8) α (X+en)=αх+ay(propiedad distributiva con respecto al factor vectorial).
Un espacio vectorial (o lineal) es un conjunto R, que consta de elementos de cualquier naturaleza (llamados vectores), que define las operaciones de sumar elementos y multiplicar elementos por números reales que satisfacen las condiciones 1-8.
Ejemplos de tales espacios son el conjunto de números reales, el conjunto de vectores en el plano y en el espacio, matrices, etc.
Teorema “Las propiedades más simples de los espacios vectoriales”
1. Solo hay un vector nulo en un espacio vectorial.
2. En un espacio vectorial, cualquier vector tiene un opuesto único.
4. .
Doc-en
Sea 0 el vector cero del espacio vectorial V. Entonces . Sea otro vector cero. Entonces . Tomemos en el primer caso , y en el segundo - . Entonces y , de donde se sigue que , p.t.d.
Primero probamos que el producto de un escalar cero y cualquier vector es igual a un vector cero.
Permitir . Entonces, aplicando los axiomas del espacio vectorial, obtenemos:
Con respecto a la suma, un espacio vectorial es un grupo abeliano y la ley de cancelación se cumple en cualquier grupo. Aplicando la ley de reducción, se sigue de la última igualdad 0 * x \u003d 0
Probamos ahora la afirmación 4). Sea un vector arbitrario. Entonces
Esto implica inmediatamente que el vector (-1)x es el opuesto del vector x.
Sea ahora x=0. Entonces, aplicando los axiomas del espacio vectorial, obtenemos:
Supongamos que. Como , donde K es un campo, existe . Multipliquemos la igualdad de la izquierda por: , lo que implica 1*x=0 o x=0
Dependencia e independencia lineal del sistema de vectores. Un conjunto de vectores se llama sistema vectorial.
Un sistema de vectores se llama linealmente dependiente si hay números, no todos iguales a cero al mismo tiempo, tales que (1)
Un sistema de k vectores se llama linealmente independiente si la igualdad (1) solo es posible para , es decir cuando la combinación lineal del lado izquierdo de la igualdad (1) es trivial.
Notas:
1. Un vector también forma un sistema: para linealmente dependiente y para linealmente independiente.
2. Cualquier parte de un sistema de vectores se llama subsistema.
Propiedades de los vectores linealmente dependientes y linealmente independientes:
1. Si el sistema de vectores incluye un vector cero, entonces es linealmente dependiente.
2. Si hay dos vectores iguales en un sistema de vectores, entonces es linealmente dependiente.
3. Si hay dos vectores proporcionales en el sistema de vectores, entonces es linealmente dependiente.
4. Un sistema de k>1 vectores es linealmente dependiente si y sólo si al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los demás.
5. Cualquier vector incluido en un sistema linealmente independiente forma un subsistema linealmente independiente.
6. Un sistema de vectores que contiene un subsistema linealmente dependiente es linealmente dependiente.
7. Si el sistema de vectores es linealmente independiente, y después de agregarle un vector resulta ser linealmente dependiente, entonces el vector se puede expandir en vectores y, además, de una manera única, es decir los coeficientes de expansión se encuentran de forma única.
Probemos, por ejemplo, la última propiedad. Dado que el sistema de vectores es linealmente dependiente, hay números que no son todos iguales a 0, que es. en esta igualdad. De hecho, si, entonces. Esto significa que una combinación lineal no trivial de vectores es igual al vector cero, lo que contradice la independencia lineal del sistema. Por lo tanto, y luego, es decir, vector es una combinación lineal de vectores. Queda por mostrar la singularidad de tal representación. Supongamos lo contrario. Sean dos expansiones y , y no todos los coeficientes de expansión son respectivamente iguales entre sí (por ejemplo, ).
Entonces de la igualdad obtenemos .
Por lo tanto, la combinación lineal de vectores es igual al vector nulo. Como no todos sus coeficientes son iguales a cero (al menos ), esta combinación no es trivial, lo que contradice la condición de independencia lineal de los vectores . La contradicción resultante confirma la unicidad de la descomposición.
Rango y base del sistema de vectores. El rango de un sistema de vectores es el número máximo de vectores linealmente independientes del sistema.
La base del sistema de vectores. es el máximo subsistema linealmente independiente del sistema de vectores dado.
Teorema. Cualquier vector del sistema se puede representar como una combinación lineal de vectores base del sistema. (Cualquier vector del sistema se puede descomponer en vectores base). Los coeficientes de expansión se determinan de manera única para un vector dado y una base dada.
Doc-en:
Que el sistema tenga una base.
1 caso Foto de archivo - Desde la base. Por lo tanto, es igual a uno de los vectores base, digamos . Entonces = .
2do caso. El vector no es de la base. Entonces r>k.
Considere un sistema de vectores. Este sistema es linealmente dependiente, ya que es una base, es decir subsistema máximo linealmente independiente. Por lo tanto, hay números con 1 , con 2 , …, con k , con, no todos iguales a cero, tales que
Es obvio que (si c=0, entonces la base del sistema es linealmente dependiente).
Probemos que la expansión de un vector en términos de una base es única. Suponga lo contrario: hay dos expansiones del vector en términos de la base.
Restando estas igualdades, obtenemos
Teniendo en cuenta la independencia lineal de los vectores base, obtenemos
Por tanto, la expansión de un vector en términos de una base es única.
El número de vectores en cualquier base del sistema es el mismo e igual al rango del sistema de vectores.
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