Problemas modernos de la ciencia y la educación. Ondas longitudinales y transversales Vibraciones longitudinales
DEFINICIÓN
Onda longitudinal- esta es una onda, durante cuya propagación se produce el desplazamiento de las partículas del medio en la dirección de propagación de la onda (Fig. 1, a).
La causa de la aparición de una onda longitudinal es la compresión/extensión, es decir, la resistencia de un medio a un cambio en su volumen. En líquidos o gases, tal deformación va acompañada de rarefacción o compactación de las partículas del medio. Las ondas longitudinales pueden propagarse en cualquier medio: sólido, líquido y gaseoso.
Ejemplos de ondas longitudinales son las ondas en una barra elástica o las ondas de sonido en los gases.
ondas transversales
DEFINICIÓN
onda transversal- esta es una onda, durante cuya propagación se produce el desplazamiento de las partículas del medio en la dirección perpendicular a la propagación de la onda (Fig. 1b).
La causa de una onda transversal es la deformación cortante de una capa del medio con respecto a otra. Cuando una onda transversal se propaga en un medio, se forman crestas y valles. Los líquidos y los gases, a diferencia de los sólidos, no tienen elasticidad con respecto al corte de la capa, es decir, no te resistas al cambio de forma. Por lo tanto, las ondas transversales solo pueden propagarse en sólidos.
Ejemplos de ondas transversales son las ondas que viajan a lo largo de una cuerda estirada oa lo largo de una cuerda.
Las ondas en la superficie de un líquido no son ni longitudinales ni transversales. Si lanzas un flotador sobre la superficie del agua, puedes ver que se mueve, balanceándose sobre las olas, de forma circular. Así, una onda sobre una superficie líquida tiene componentes transversales y longitudinales. En la superficie de un líquido, también pueden ocurrir ondas de un tipo especial, las llamadas ondas superficiales. Surgen como resultado de la acción y fuerza de la tensión superficial.
Ejemplos de resolución de problemas
EJEMPLO 1
| Ejercicio | Determine la dirección de propagación de la onda transversal si el flotador en algún momento tiene la dirección de velocidad indicada en la figura. |
| Decisión | Hagamos un dibujo. Dibujemos la superficie de la ola cerca del flotador después de un cierto intervalo de tiempo, considerando que durante este tiempo el flotador bajó, ya que en ese momento estaba dirigido hacia abajo. Continuando la línea hacia la derecha y hacia la izquierda, mostramos la posición de la onda en el tiempo . Comparando la posición de la onda en el momento inicial (línea continua) y en el momento (línea discontinua), concluimos que la onda se propaga hacia la izquierda. |
Debajo de la varilla nos referimos al cilindro П=0х[О, /], cuando YO" diamD. Aquí D- área en el plano de coordenadas Ox 2 x 3 (Fig. 62). El material de la barra es homogéneo e isótropo, y el eje Ox pasa por el centro de gravedad de la sección. D. El campo de fuerzas externas del cuerpo f(r, YO)\u003d / (X |, /) e, donde e, es el vector unitario del eje Ox. Deje que las fuerzas superficiales externas en la superficie lateral del cilindro sean iguales a cero, es decir Real academia de bellas artes= 0 en dd X
Entonces de (4.8) se sigue para 1=0 igualdad
Formularios propios X k(j) es conveniente normalizar usando la norma del espacio /^() al que pertenece la función v(s, yo), ya que en cada momento del tiempo existe y está limitado por el funcional de energía cinética
donde S- área de la región D. Tenemos
X*(s) = Jj- sen^-l en el espacio de velocidades R 0 = ji)(s, /): v(s,t)e
Como resultado, obtenemos una base ortonormal |l r *(^)| ,
donde b a „- Símbolo de Kronecker: Funciones X k *(s), k= 1,2, son las formas normales de las oscilaciones naturales, y u*, k= 1, 2, ..., - frecuencias de oscilación natural del sistema con un número infinito de grados de libertad.
En conclusión, notamos que la función u(s, /) pertenece al espacio de configuración del sistema H, = (v(s, t): v(s, t)) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) \u003d 0), donde U ^ "OO, /]) es el espacio de funciones de Sobolev sumadas junto con los cuadrados de las primeras derivadas en el segmento . El espacio R, es el dominio de definición de la energía potencial funcional de deformaciones elásticas
y contiene soluciones generalizadas del problema bajo consideración.
Ondas longitudinales
Definición 1
Onda en la que se producen oscilaciones en la dirección de su propagación. Un ejemplo de una onda longitudinal es una onda de sonido.
Figura 1. Onda longitudinal
Las ondas longitudinales mecánicas también se denominan ondas de compresión o de compresión porque producen compresión a medida que se mueven a través de un medio. Las ondas mecánicas transversales también se denominan "ondas T" u "ondas de corte".
Las ondas longitudinales incluyen ondas acústicas (la velocidad de las partículas que se propagan en un medio elástico) y ondas P sísmicas (creadas como resultado de terremotos y explosiones). En las ondas longitudinales, el desplazamiento del medio es paralelo a la dirección de propagación de la onda.
ondas sonoras
En el caso de las ondas sonoras armónicas longitudinales, la frecuencia y la longitud de onda se pueden describir mediante la fórmula:
$y_0-$ amplitud de oscilación;\textit()
$\omega -$ frecuencia angular de onda;
$c-$ velocidad de onda.
La frecuencia habitual $\left((\rm f)\right)$ de la onda viene dada por
La velocidad de propagación del sonido depende del tipo, la temperatura y la composición del medio a través del cual se propaga.
En un medio elástico, una onda longitudinal armónica viaja en dirección positiva a lo largo del eje.
ondas transversales
Definición 2
onda transversal- una onda en la que la dirección de las moléculas de las vibraciones del medio es perpendicular a la dirección de propagación. Un ejemplo de ondas transversales es una onda electromagnética.
Figura 2. Ondas longitudinales y transversales
Las ondas en un estanque y las ondas en una cuerda son fáciles de imaginar como ondas transversales.
Figura 3. Las ondas de luz son un ejemplo de onda transversal.
Las ondas de corte son ondas que oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación. Hay dos direcciones independientes en las que pueden ocurrir movimientos ondulatorios.
Definición 3
Las ondas de corte 2D exhiben un fenómeno llamado polarización.
Las ondas electromagnéticas se comportan de la misma manera, aunque es un poco más difícil de ver. Las ondas electromagnéticas también son ondas transversales bidimensionales.
Ejemplo 1
Demostrar que la ecuación de onda plana no amortiguada $(\rm y=Acos)\left(\omega t-\frac(2\pi )(\lambda )\right)x+(\varphi )_0$ para la onda que se muestra en la figura , se puede escribir como $(\rm y=Asen)\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x$. Comprueba esto sustituyendo los valores de la coordenada $\\x$, que son iguales a $\frac(\lambda)(4)$; $\frac(\lambda)(2)$; $\frac(0.75)(\lambda)$.
Figura 4
La ecuación $y\left(x\right)$ para una onda plana no amortiguada no depende de $t$, lo que significa que el tiempo $t$ se puede elegir arbitrariamente. Elegimos el tiempo $t$ tal que
\[\omega t=\frac(3)(2)\pi -(\varphi )_0\] \
Sustituye este valor en la ecuación:
\ \[=Acos\left(2\pi -\frac(\pi )(2)-\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x\right)=Acos\left(2\ pi -\left(\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x+\frac(\pi )(2)\right)\right)=\] \[=Acos\left(\left (\frac(2\pi )(\lambda )\right)x+\frac(\pi )(2)\right)=Asen\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x\] \ \ \[(\mathbf x)(\mathbf =)\frac((\mathbf 3))((\mathbf 4))(\mathbf \lambda )(\mathbf =)(\mathbf 18),(\mathbf 75)(\mathbf \ cm,\ \ \ )(\mathbf y)(\mathbf =\ )(\mathbf 0),(\mathbf 2)(\cdot)(\mathbf sin)\frac((\mathbf 3 ))((\mathbf 2))(\mathbf \pi )(\mathbf =-)(\mathbf 0),(\mathbf 2)\]
Respuesta: $Asin\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x$
Oscilaciones libres de sistemas con parámetros distribuidos
La característica principal del proceso de oscilaciones libres de sistemas con un número infinito de grados de libertad se expresa en la infinidad del número de frecuencias naturales y modos de oscilación. Esto también está relacionado con las características de naturaleza matemática: en lugar de ecuaciones diferenciales ordinarias que describen las oscilaciones de sistemas con un número finito de grados de libertad, aquí se trata de ecuaciones diferenciales parciales. Además de las condiciones iniciales que determinan los desplazamientos y velocidades iniciales, es necesario tener en cuenta las condiciones de contorno que caracterizan la fijación del sistema.
6.1. Vibraciones longitudinales de varillas
Al analizar las vibraciones longitudinales de una barra rectilínea (Fig. 67, a), supondremos que las secciones transversales permanecen planas y que las partículas de la barra no realizan movimientos transversales, sino que se mueven solo en la dirección longitudinal.
Permitir tu - desplazamiento longitudinal de la sección actual de la varilla durante las vibraciones; este desplazamiento depende de la ubicación de la sección (coordenadas x) y del tiempo t. Entonces hay una función de dos variables; su definición es la tarea principal. El movimiento de una sección infinitamente cercana es igual, por lo tanto, el alargamiento absoluto de un elemento infinitamente pequeño es (Fig. 67, b), y su alargamiento relativo es .
En consecuencia, la fuerza longitudinal en la sección con la coordenada X se puede escribir en la forma
,(173)
donde es la rigidez a la tracción (compresión) de la varilla. La fuerza N también es una función de dos argumentos: las coordenadas X y tiempo t.
Considere un elemento de barra ubicado entre dos secciones infinitamente cercanas (Fig. 67, c). Se aplica una fuerza N al lado izquierdo del elemento y una fuerza al lado derecho. Si se denota por la densidad del material de la varilla, entonces la masa del elemento bajo consideración es . Por lo tanto, la ecuación de movimiento en la proyección sobre el eje X
,
Considerando(173) y suponiendo UN= const , obtenemos
Siguiendo el método de Fourier, estamos buscando una solución particular de la ecuación diferencial (175) en la forma
,(177)
aquellas. Supongamos que en movimiento tu se puede representar como un producto de dos funciones, una de las cuales depende solo del argumento X, y el otro sólo del argumento t . Entonces, en lugar de definir una función de dos variables u (x, t), es necesario definir dos funciones X(x) y T(t), cada una de las cuales depende de una sola variable.
Sustituyendo (177) en (174), obtenemos
donde los números primos denotan la operación de derivación con respecto a X y puntos en t. Reescribamos esta ecuación así:
Aquí el lado izquierdo depende solo de x, y el lado derecho depende solo de t. Para el idéntico cumplimiento de esta igualdad (para cualquier X y t ) es necesario que cada una de sus partes sea igual a una constante, lo que denotamos por:
; .(178)
De aquí se siguen dos ecuaciones:
;
.(179)
La primera ecuación tiene solución:
,(180)
indicando un carácter oscilatorio, y de (180) es claro que la cantidad desconocida tiene el significado de la frecuencia de oscilaciones libres.
La segunda de las ecuaciones (179) tiene solución:
,(181)
determinar la forma de las vibraciones.
La ecuación de frecuencia que determina el valor de , se compila utilizando las condiciones de contorno. Esta ecuación es siempre trascendental y tiene un número infinito de raíces. Así, el número de frecuencias naturales es infinito, y cada valor de frecuencia corresponde a su propia función T n (t), determinada por la dependencia (180), ya su propia función Xn (x), determinada por la dependencia (181). La solución (177) es solo parcial y no da una descripción completa del movimiento. La solución completa se obtiene superponiendo todas las soluciones particulares:
.
Las funciones X n (x ) se llaman funciones propias tareas y describir sus propios modos de oscilación. No dependen de las condiciones iniciales y satisfacen la condición de ortogonalidad, que para A=const tiene la forma
, Si .
Consideremos algunas variantes de las condiciones de contorno.
Extremo de barra fijo(Fig. 68, a). En la sección final, el desplazamiento u debe ser igual a cero; por lo que se sigue que en esta sección
X=0(182)
Extremo de barra libre(Figura 68b). En la sección final, la fuerza longitudinal
(183)
debe ser idénticamente igual a cero, lo cual es posible si X"=0 en la sección final.
fijado elásticamente varilla final(Fig. 68, c).
al moverse tu de la barra final, se produce una reacción elástica del soporte 
, donde C sobre - la rigidez del soporte. Teniendo en cuenta (183) para la fuerza longitudinal, obtenemos la condición de frontera
si el soporte está ubicado en el extremo izquierdo de la varilla (Fig. 68, c), y
si el soporte está ubicado en el extremo derecho de la varilla (Fig. 68, d).
Masa concentrada al final de la barra.
La fuerza de inercia desarrollada por la masa:
.
Dado que, de acuerdo con la primera de las ecuaciones (179), , entonces la fuerza de inercia se puede escribir como . Obtenemos la condición de frontera
,
si la masa está en el extremo izquierdo (Fig. 68, e), y
, (184)
si la masa está conectada al extremo derecho (Fig. 68, f).
Determinemos las frecuencias naturales de la barra en voladizo (Fig. 68, a").
De acuerdo con (182) y (183), las condiciones de frontera
X=0 en x=0;
X"=0 cuando x= .
Sustituyendo estas condiciones una por una en la solución (181), obtenemos
La condición C0 conduce a la ecuación de frecuencia:
Las raíces de esta ecuación
(n=1,2,…)
determinar frecuencias naturales:
(n=1,2,…).(185)
Primera frecuencia (la más baja) en n=1:
.
Segunda frecuencia (cuando n=2):
Determinemos las frecuencias naturales de la barra con masa al final (Fig. 68, f).
De acuerdo con (182) y (184), tenemos
X=0 en x=0;
en x=.
Sustituyendo estas condiciones en la solución (181), obtenemos:
D=0; 
.
En consecuencia, la ecuación de frecuencia, teniendo en cuenta (176), tiene la forma
.
Aquí, el lado derecho es la relación entre la masa de la varilla y la masa de la carga final.
Para resolver la ecuación trascendental resultante, es necesario utilizar algún método aproximado.
Para y los valores de la raíz más baja más importante serán 0,32 y 0,65 respectivamente.
Con una relación pequeña, la carga tiene una influencia decisiva y se obtienen buenos resultados mediante una solución aproximada
.
Para barras de sección transversal variable, es decir, en Аconst , de (173) y (174) se obtiene la ecuación de movimiento en la forma
.
Esta ecuación diferencial no se puede resolver en forma cerrada. Por lo tanto, en tales casos, se debe recurrir a métodos aproximados para determinar las frecuencias naturales.
6.2. vibraciones torsionales de los ejes
Las vibraciones torsionales del eje con una masa distribuida continuamente (Fig. 69, a) se describen mediante ecuaciones que coinciden completamente en estructura con las ecuaciones de vibraciones longitudinales de las varillas dadas anteriormente.
Torque M en sección con abscisas X está relacionado con el ángulo de rotación por una dependencia diferencial similar a (173):
donde jp es el momento polar de inercia de la sección transversal.
En una sección a distancia dx, el par es (Fig. 69, b):
Denotando a través de (donde es la densidad del material del eje) la intensidad del momento de inercia de la masa del eje en relación con su eje (es decir, el momento de inercia de una unidad de longitud), la ecuación de movimiento de una sección elemental del eje se puede escribir de la siguiente manera:
,
o como (174):
.
Sustituyendo la expresión (186) aquí, con jp=const obtenemos, de manera similar a (175):
, (187)
La solución general de la ecuación (187), así como la ecuación (175), tiene la forma
,
(188)
Las frecuencias propias y las funciones propias están determinadas por condiciones de contorno específicas.
En los principales casos de fijación de los extremos, al igual que en el caso de las vibraciones longitudinales, obtenemos
a) extremo fijo (=0): X=0;
b) extremo libre (M=0): X”=0;
en) fijado elásticamente extremo izquierdo: СoХ=GJpX "(Coeficiente de rigidez);
GRAMO) fijado elásticamente extremo derecho: -CoX=GJpX ";
e) disco en el extremo izquierdo: 
(Jo es el momento de inercia del disco con respecto al eje de la barra);
f) disco en el extremo derecho: 
.
Si el eje está fijo en el extremo izquierdo (x=0), y el extremo derecho (x= ) está libre, entonces X=0 en x=0 y X"=0 en x= ; las frecuencias naturales se determinan de manera similar (185 ):
(n=1,2,…).
Si el extremo izquierdo está fijo y hay un disco en el extremo derecho, obtenemos la ecuación trascendental:
.
Si ambos extremos del eje están fijos, entonces las condiciones de contorno serán X=0 en x=0 y x= . En este caso, de (188) obtenemos
aquellas.
(n=1,2,…),
a partir de aquí encontramos las frecuencias naturales:
Si el extremo izquierdo del eje está libre y hay un disco en el extremo derecho, entonces X"=0 en x=0; Jo X=GJpX" en x=.
Usando (188), encontramos
C=0; 
,
o la ecuación de frecuencia trascendental:
.
6.3 Vibraciones de flexión de vigas
6.3.1 Ecuación básica
A partir de la evolución de la resistencia de los materiales, se conocen dependencias diferenciales para las vigas a flexión:
donde EJ - rigidez a la flexión; y \u003d y (x, t) - desviación; M=M(x, t) - momento flector; q es la intensidad de la carga distribuida.
Combinando (189) y (190), obtenemos
.(191)
En el problema de las oscilaciones libres, la carga para el esqueleto elástico son las fuerzas de inercia distribuidas:
donde m es la intensidad de masa del haz (masa por unidad de longitud), y la ecuación (191) se convierte en
.
En el caso especial de una sección transversal constante, cuando EJ = const , m = const , tenemos:
.(192)
Para resolver la ecuación (192), asumimos, como arriba,
y=X( X )× T( t ).(193)
Sustituyendo (193) en (192), llegamos a la ecuación:
.
Para que esta igualdad sea idéntica es necesario que cada una de las partes de la igualdad sea constante. Denotando esta constante por , obtenemos dos ecuaciones:
.(195)
La primera ecuación indica que el movimiento es oscilatorio con frecuencia.
La segunda ecuación define la forma de las oscilaciones. La solución de la ecuación (195) contiene cuatro constantes y tiene la forma
Es conveniente utilizar la variante de escribir la solución general propuesta por A.N. Krylov:
(198)
son funciones de A. N. Krylov.
Prestemos atención al hecho de que S=1, T=U=V=0 en x=0. Las funciones S, T, U, V están interconectadas de la siguiente manera:
Por lo tanto, las expresiones derivadas (197) se escriben en la forma
(200)
En problemas de la clase bajo consideración, el número de frecuencias propias es infinitamente grande; cada uno de ellos tiene su propia función temporal T n y su propia función fundamental X n . La solución general se obtiene imponiendo soluciones parciales de la forma (193)
.(201)
Para determinar las frecuencias naturales y las fórmulas, es necesario considerar las condiciones de contorno.
6.3.2. Condiciones fronterizas
Para cada extremo de la barra, se pueden especificar dos condiciones de contorno .
Extremo de barra libre(Fig. 70, a). La fuerza transversal Q=EJX"""T y el momento flector M=EJX""T son iguales a cero. Por lo tanto, las condiciones de contorno tienen la forma
X""=0; X"""=0 .(202)
Extremo articulado de la varilla(Figura 70b). La deflexión y=XT y el momento flector M=EJX""T son iguales a cero. Por lo tanto, las condiciones de contorno son:
X=0 ; X""=0 .(203)
extremo pellizcado(Fig. 70, c). La desviación y=XT y el ángulo de rotación son iguales a cero. Condiciones fronterizas:
X=0; X"=0 . (204)
Al final de la varilla hay una masa puntual(Figura 70d). Su fuerza de inercia 
se puede escribir usando la ecuación (194) como sigue: ; debe ser igual a la fuerza transversal Q=EJX"""T , por lo que las condiciones de contorno toman la forma
; X""=0 .(205)
En la primera condición, se acepta el signo más en el caso de que el peso puntual esté conectado al extremo izquierdo de la varilla, y el signo menos cuando esté conectado al extremo derecho de la varilla. La segunda condición se deriva de la ausencia de un momento de flexión.
Extremo de la varilla soportado elásticamente(Fig. 70, e). Aquí el momento flector es igual a cero, y la fuerza transversal Q=EJX"""T es igual a la reacción del soporte 
(C o -coeficiente de rigidez del soporte).
Condiciones fronterizas:
X""=0 ; (206)
(se toma el signo menos cuando se deja el soporte elástico, y el signo más cuando se deja el soporte elástico).
6.3.3. Ecuación de frecuencia y formas propias
Un registro ampliado de las condiciones de contorno conduce a ecuaciones homogéneas para las constantes C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Para que estas constantes no sean iguales a cero, el determinante compuesto por los coeficientes del sistema debe ser igual a cero; esto conduce a una ecuación de frecuencia. Durante estas operaciones, se descubren las relaciones entre C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , es decir, Se determinan los modos propios de las oscilaciones (hasta un factor constante).
Rastreemos la compilación de ecuaciones de frecuencia usando ejemplos.
Para una viga con extremos articulados según (203) tenemos las siguientes condiciones de contorno: X=0; X""=0 cuando x=0 y x= . Con la ayuda de (197)-(200) obtenemos de las dos primeras condiciones: C 1 =C 3 =0. Las dos condiciones restantes se pueden escribir como
Para que C 2 y C 4 no sean iguales a cero, el determinante debe ser igual a cero:
.
Por lo tanto, la ecuación de frecuencia tiene la forma
.
Sustituyendo las expresiones T y U, obtenemos
Como , entonces la ecuación de frecuencia final se escribe de la siguiente manera:
. (207)
Las raíces de esta ecuación son:
,(n=1,2,3,...).
Teniendo en cuenta (196), obtenemos
.(208)
Pasemos a definir nuestras propias formas. De las ecuaciones homogéneas escritas arriba, se sigue la siguiente relación entre las constantes C 2 y C 4:
.
En consecuencia, (197) toma la forma
Según (207), tenemos
,(209)
donde es una nueva constante, cuyo valor permanece indeterminado hasta que se introducen las condiciones iniciales en consideración.
6.3.4. Definición de movimiento por condiciones iniciales
Si se requiere determinar el movimiento que sigue a la perturbación inicial, entonces es necesario especificar tanto los desplazamientos iniciales como las velocidades iniciales para todos los puntos de la viga:
(210)
y usamos la propiedad de ortogonalidad de las formas propias:
.
Escribimos la solución general (201) de la siguiente manera:
.(211)
La velocidad está determinada por la expresión
.(212)
Sustituyendo en las partes derechas de las ecuaciones (211) y (212), y en las partes izquierdas - los desplazamientos y velocidades iniciales conocidas asumidas, obtenemos
.
Multiplicando estas expresiones por e integrando sobre toda la longitud, tenemos
(213)
Las sumas infinitas de los lados derechos han desaparecido debido a la propiedad de ortogonalidad. De (213) se siguen fórmulas para las constantes y
(214)
Ahora estos resultados deben sustituirse en la solución (211).
Nuevamente, enfatizamos que la elección de la escala de formas adecuadas no es esencial. Si, por ejemplo, en la expresión de su propia forma (209) en vez de tomar un valor veces mayor, entonces (214) dará resultados veces menores; después de la sustitución en la solución (211), estas diferencias se anulan entre sí. Sin embargo, a menudo se utilizan funciones propias normalizadas, eligiendo su escala de modo que los denominadores de las expresiones (214) sean iguales a uno, lo que simplifica las expresiones y .
6.3.5. Influencia de la fuerza longitudinal constante
Consideremos el caso en que la viga oscilante experimenta la acción de una fuerza longitudinal N, cuyo valor no cambia durante el proceso de oscilación. En este caso, la ecuación de flexión estática se vuelve más complicada y toma la forma (asumiendo que la fuerza de compresión se considera positiva)
.
Suponiendo y asumiendo que la rigidez es constante, obtenemos la ecuación de vibraciones libres
.(215)
Todavía tomamos una solución particular en la forma
Entonces la ecuación (215) se divide en dos ecuaciones:
La primera ecuación expresa la naturaleza oscilatoria de la solución, la segunda determina la forma de las oscilaciones y también te permite encontrar las frecuencias. Reescribámoslo así:
(216)
donde k está determinada por la fórmula (196), y
La solución de la ecuación (216) tiene la forma
Considere el caso en que ambos extremos de la varilla tienen soportes articulados. Condiciones en el extremo izquierdo 
dar . Satisfaciendo las mismas condiciones en el extremo derecho, obtenemos
Igualando a cero el determinante, compuesto por los coeficientes en los valores y , llegamos a la ecuación
Las raíces de esta ecuación de frecuencia son:
Por lo tanto, la frecuencia natural se determina a partir de la ecuación
.
Por lo tanto, teniendo en cuenta (217), encontramos
.(219)
Cuando se estira, la frecuencia aumenta, cuando se comprime, disminuye. Cuando la fuerza de compresión N se acerca a un valor crítico, la raíz tiende a cero.
6.3.6. Efecto de las fuerzas de la cadena
Anteriormente, la fuerza longitudinal se consideraba dada e independiente de los desplazamientos del sistema. En algunos problemas prácticos, la fuerza longitudinal que acompaña al proceso de vibraciones transversales surge debido a la flexión de la viga y está en la naturaleza de la reacción del soporte. Considere, por ejemplo, una viga sobre dos soportes fijos con bisagras. Cuando se dobla, se producen reacciones horizontales de los apoyos, provocando que la viga se estire; la fuerza horizontal correspondiente se llama fuerza de la cadena. Si la viga hace vibraciones transversales, entonces la fuerza de la cadena cambiará con el tiempo.
Si en un instante t las deflexiones de la viga están determinadas por la función , entonces el alargamiento del eje se puede encontrar por la fórmula
.
La fuerza de la cadena correspondiente se puede encontrar usando la ley de Hooke
.
Sustituimos este resultado en (215) en lugar de la fuerza longitudinal N (teniendo en cuenta el signo)
.(220)
El resultado no lineal integro-diferencial la ecuación se simplifica sustituyendo
,(221)
donde es una función adimensional del tiempo, cuyo valor máximo puede ser igual a cualquier número, por ejemplo, uno; amplitud de oscilación.
Sustituyendo (221) en (220), obtenemos la ecuación diferencial ordinaria
,(222)
cuyos coeficientes tienen los siguientes valores:
;.
La ecuación diferencial (222) no es lineal, por lo tanto, la frecuencia de las oscilaciones libres depende de su amplitud.
La solución exacta para la frecuencia de las vibraciones transversales tiene la forma
donde está la frecuencia de las oscilaciones transversales, calculada sin tener en cuenta las fuerzas de la cadena; factor de corrección que depende de la relación entre la amplitud de oscilación y el radio de giro de la sección transversal; el valor se da en la literatura de referencia.
Cuando la amplitud y el radio de giro de la sección transversal son comparables, la corrección de la frecuencia se vuelve significativa. Si, por ejemplo, la amplitud de oscilación de una barra de sección transversal circular es igual a su diámetro, entonces , y la frecuencia es casi dos veces mayor que en el caso de desplazamiento libre de los soportes.
El caso corresponde al valor cero del radio de inercia, cuando la rigidez a la flexión de la viga es extremadamente pequeña: una cuerda. En este caso, la fórmula para da una incertidumbre. Revelando esta incertidumbre, obtenemos una fórmula para la frecuencia de vibraciones de la cuerda.
.
Esta fórmula se refiere al caso en que, en la posición de equilibrio, la tensión es cero. El problema de las vibraciones de las cuerdas a menudo se plantea bajo otros supuestos: se supone que los desplazamientos son pequeños y que la fuerza de tracción está dada y permanece sin cambios durante las vibraciones.
En este caso, la fórmula de la frecuencia tiene la forma
donde N es una fuerza de tracción constante.
6.4. Influencia de la fricción viscosa
Previamente se suponía que el material de las varillas es idealmente elástico y no existe fricción. Considere el efecto de la fricción interna, asumiendo que es viscoso; entonces la relación entre tensiones y deformaciones está descrita por las relaciones
;
.(223)
Deje que una barra con parámetros distribuidos realice vibraciones longitudinales libres. En este caso, la fuerza longitudinal se escribirá en la forma
De la ecuación de movimiento del elemento varilla se obtuvo la relación (174)
Sustituyendo (224) aquí, llegamos a la ecuación diferencial principal
,(225)
que difiere de (175) por el segundo término, que expresa la influencia de fuerzas de fricción viscosas.
Siguiendo el método de Fourier, estamos buscando una solución a la ecuación (225) en la forma
,(226)
donde la función es solo las coordenadas x y la función es solo el tiempo t.
En este caso, cada miembro de la serie debe satisfacer las condiciones de contorno del problema y la suma total también debe satisfacer las condiciones iniciales. Sustituyendo (226) en (225) y exigiendo que se satisfaga la igualdad para cualquier número r, obtenemos
,(227)
donde los primos denotan diferenciación con respecto a la coordenada X, y los puntos son diferenciación con respecto al tiempo t.
Dividiendo (227) por el producto 
, llegamos a la igualdad
,(228)
el lado izquierdo, que solo puede depender de la coordenada X, y el correcto, solo desde el tiempo t. Para el cumplimiento idéntico de la igualdad (228), es necesario que ambas partes sean iguales a la misma constante, que denotamos por .
De aquí se siguen las ecuaciones
(229)
.(230)
La ecuación (229) no depende del coeficiente de viscosidad K y, en particular, permanece igual en el caso de un sistema perfectamente elástico, cuando . Por lo tanto, los números coinciden completamente con los encontrados anteriormente; sin embargo, como se mostrará a continuación, el valor da solo un valor aproximado de la frecuencia natural. Tenga en cuenta que las formas propias son completamente independientes de las propiedades viscosas de la barra, es decir las formas de las oscilaciones libres amortiguadas coinciden con las formas de las oscilaciones libres no amortiguadas.
Ahora pasemos a la ecuación (230), que describe el proceso de oscilaciones amortiguadas; su solución parece
.(233)
La expresión (232) determina la tasa de amortiguamiento y (233) determina la frecuencia de oscilación.
Por lo tanto, la solución completa de la ecuación del problema
.(234)
Constante y siempre se puede encontrar con las condiciones iniciales dadas. Deje que los desplazamientos iniciales y las velocidades iniciales de todas las secciones de varilla se den como sigue:
;
,(235)
donde y son funciones conocidas.
Entonces para , según (211) y (212), tenemos
multiplicando ambas partes de estas igualdades por e integrando sobre toda la longitud de la barra, obtenemos
(236)
De acuerdo con la condición de ortogonalidad de las formas propias, todos los demás términos incluidos en el lado derecho de estas igualdades desaparecen. Ahora es fácil encontrar a partir de las igualdades (236) para cualquier número r.
Considerando (232) y (234), notamos que cuanto mayor sea el número del modo de vibraciones, más rápido será su amortiguamiento. Además, los términos en (234) describen oscilaciones amortiguadas si hay un número real. Se puede ver a partir de (233) que esto ocurre solo para unos pocos valores iniciales de r siempre que la desigualdad
Para valores suficientemente grandes r se viola la desigualdad (237) y la cantidad se vuelve imaginaria. En este caso, los términos correspondientes de la solución general (234) ya no describirán oscilaciones amortiguadas, sino que representarán un movimiento amortiguado aperiódico. En otras palabras, las fluctuaciones, en el sentido usual de la palabra, expresan solo una parte finita de la suma (234).
Todas estas conclusiones cualitativas se aplican no solo al caso de vibraciones longitudinales, sino también a los casos de vibraciones de torsión y flexión.
6.5. Vibraciones de barras de sección transversal variable
En aquellos casos en que la masa distribuida y la sección transversal de la barra sean variables a lo largo de su longitud, en lugar de la ecuación de vibraciones longitudinales (175), se debe partir de la ecuación
.(238)
La ecuación de vibración torsional (187) debe ser reemplazada por la ecuación
,(239)
y la ecuación de oscilaciones transversales (192) - por la ecuación
.(240)
Las ecuaciones (238)-(240) con la ayuda de sustituciones del mismo tipo ;; pueden reducirse a ecuaciones diferenciales ordinarias para la función
ISSN: 2310-7081 (en línea), 1991-8615 (impreso) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3
PROBLEMA DE VIBRACIONES LONGITUDINALES DE BARRA CARGADA ELÁSTICAMENTE FIJA
AB Beilin
Universidad Técnica Estatal de Samara, Rusia, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244.
anotación
Se consideran vibraciones longitudinales unidimensionales de una varilla corta y gruesa fijada en los extremos con la ayuda de masas concentradas y resortes. Como modelo matemático, se utiliza un problema de valor de frontera inicial con condiciones de frontera dinámicas para una ecuación hiperbólica de cuarto orden. La elección de este modelo en particular se debe a la necesidad de tener en cuenta los efectos de la deformación de la barra en la dirección transversal, cuyo descuido, como lo muestra Rayleigh, conduce a un error, que es confirmado por el moderno no- concepto local de estudio de las vibraciones de los sólidos. Se prueba la existencia de un sistema de funciones propias del problema de estudio ortogonal a la carga y se obtiene su representación. Las propiedades establecidas de las funciones propias permitieron aplicar el método de separación de variables y probar la existencia de una única solución al problema.
Palabras clave: condiciones de contorno dinámicas, vibraciones longitudinales, ortogonalidad de carga, modelo de Rayleigh.
Introducción. En cualquier sistema mecánico en funcionamiento ocurren procesos oscilatorios, los cuales pueden ser generados por diversas razones. Los procesos oscilatorios pueden ser consecuencia de las características de diseño del sistema o de la redistribución de cargas entre varios elementos de una estructura que funciona normalmente.
La presencia de fuentes de procesos oscilatorios en el mecanismo puede dificultar el diagnóstico de su estado e incluso conducir a una violación de su modo de funcionamiento y, en algunos casos, a la destrucción. Varios problemas asociados con una violación de la precisión y el rendimiento de los sistemas mecánicos como resultado de la vibración de algunos de sus elementos a menudo se resuelven experimentalmente en la práctica.
Al mismo tiempo, los procesos oscilatorios pueden ser muy útiles, por ejemplo, para procesar materiales, montar y desmontar juntas. Las vibraciones ultrasónicas permiten no solo intensificar los procesos de corte (taladrado, fresado, rectificado, etc.) de materiales de alta dureza (aceros al tungsteno, al carburo de titanio, etc.),
© 2016 Universidad Técnica Estatal de Samara. Ejemplo de cita
Beilin, A.B., El problema de las vibraciones longitudinales de una barra cargada fijada elásticamente, Vestn. Mí mismo. Expresar tecnología Universidad Ser. Phys.-Math. Nauki, 2016. V. 20, No. 2. Pág. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Sobre el Autor
Alexander Borisovich Beilin (Ph.D., Asociado; [correo electrónico protegido]), Profesor Asociado, Depto. sistemas automáticos de máquinas y herramientas.
pero en algunos casos se convierten en el único método posible para procesar materiales quebradizos (germanio, silicio, vidrio, etc.). El elemento del dispositivo (guía de ondas), que transmite vibraciones ultrasónicas desde la fuente (vibrador) a la herramienta, se denomina concentrador y puede tener diferentes formas: cilíndrica, cónica, escalonada, exponencial, etc. Su propósito es transmitir fluctuaciones de la amplitud requerida al instrumento.
Así, las consecuencias de la ocurrencia de procesos oscilatorios pueden ser diferentes, así como las causas que los provocan, por lo que surge naturalmente la necesidad de un estudio teórico de los procesos de oscilación. El modelo matemático de propagación de ondas en varillas sólidas relativamente largas y delgadas, que se basa en una ecuación de onda de segundo orden, ha sido bien estudiado y se ha convertido en un clásico desde hace mucho tiempo. Sin embargo, como lo muestra Rayleigh, este modelo no es del todo consistente con el estudio de las vibraciones de una barra gruesa y corta, mientras que muchos detalles de los mecanismos reales pueden interpretarse como barras cortas y gruesas. En este caso, también se deben tener en cuenta las deformaciones de la varilla en la dirección transversal. El modelo matemático de las oscilaciones longitudinales de una barra corta y gruesa, que tiene en cuenta los efectos del movimiento transversal de la barra, se denomina barra de Rayleigh y se basa en una ecuación hiperbólica de cuarto orden.
^ ^ - IX (a(x) e) - dx (b(x)) =; (xL (1)
cuyos coeficientes tienen un significado físico:
g(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x),
donde A(x) es el área de la sección transversal, p(x) es la densidad de masa de la barra, E(x) es el módulo de Young, V(x) es la relación de Poisson, 1P(x) es el momento polar de inercia , u(x, b) - desplazamientos longitudinales a determinar.
Las ideas de Rayleigh han encontrado su confirmación y desarrollo en trabajos modernos dedicados a los procesos de vibraciones, así como a la teoría de la plasticidad. El artículo de revisión corrobora las deficiencias de los modelos clásicos que describen el estado y comportamiento de los sólidos bajo carga, en los que a priori el cuerpo se considera un continuo ideal. El nivel moderno de desarrollo de las ciencias naturales requiere la construcción de nuevos modelos que describan adecuadamente los procesos en estudio, y los métodos matemáticos desarrollados en las últimas décadas brindan esta oportunidad. En este camino, en el último cuarto del siglo pasado, se propuso un nuevo enfoque para el estudio de muchos procesos físicos, incluidos los mencionados anteriormente, basado en el concepto de no localidad (ver el artículo y la lista de referencias en él). Una de las clases de modelos no locales identificados por los autores se denomina "débilmente no local". Los modelos matemáticos pertenecientes a esta clase pueden implementarse introduciendo derivadas de alto orden en la ecuación que describe un determinado proceso, lo que permite tener en cuenta, en alguna aproximación, la interacción de los elementos internos del objeto de estudio. Por lo tanto, el modelo de Rayleigh es relevante en nuestro tiempo.
1. Planteamiento del problema. Sean los extremos de la barra x = 0, x = I unidos a una base fija con la ayuda de masas concentradas N1, M2 y resortes, cuyas rigideces son K1 y K2. Supondremos que la varilla es un cuerpo de revolución alrededor del eje 0x y el momento inicial está en reposo en la posición de equilibrio. Entonces llegamos al siguiente problema de valor de frontera inicial.
Tarea. Encuentra en el área Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1, T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным
u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) y condiciones de contorno
a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu(1, r) + K2u(1, r) + M2uu(1, r) = 0. ()
El artículo considera algunos casos especiales del problema (1)-(2) y da ejemplos en los que los coeficientes de la ecuación tienen una forma explícita y M\ = M2 = 0. El artículo prueba la inequívoca y débil solución del problema en general. caso.
Las condiciones (2) están determinadas por el método de fijación de la varilla: sus extremos se unen a bases fijas con la ayuda de algunos dispositivos que tienen masas M1, M2 y resortes con rigidez K1, K2, respectivamente. La presencia de masas y el margen para desplazamientos transversales conduce a condiciones de la forma (2) que contienen derivadas temporales. Las condiciones de contorno que incluyen derivadas temporales se denominan dinámicas. Pueden surgir en varias situaciones, las más simples se describen en un libro de texto y las mucho más complejas en una monografía.
2. Estudio de las oscilaciones naturales de la varilla. Considere una ecuación homogénea correspondiente a la ecuación (1). Como los coeficientes dependen solo de x, podemos separar las variables representando u(x, z) = X(x)T(z). Obtenemos dos ecuaciones:
m""(r) + \2m(r) = 0,
((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)
La ecuación (3) va acompañada de condiciones de contorno
(a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0,
(a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4)
Así, hemos llegado al problema de Sturm-Liouville, que se diferencia del clásico en que el parámetro espectral Λ está incluido en el coeficiente de la derivada más alta de la ecuación, así como en las condiciones de contorno. Esta circunstancia no nos permite referirnos a resultados conocidos de la literatura, por lo que nuestro objetivo inmediato es estudiar el problema (3), (4). Para la implementación exitosa del método de separación de variables, necesitamos información sobre la existencia y ubicación de valores propios, sobre cualitativa
propiedades de las funciones propias: ¿tienen la propiedad de ortogonalidad?
Demostremos que A2 > 0. Supongamos que este no es el caso. Sea X(x) una función propia del problema (3), (4) correspondiente al valor A = 0. Multiplicamos (3) por X(x) e integramos la igualdad resultante en el intervalo (0,1). Integrando por partes y aplicando las condiciones de contorno (4), tras transformaciones elementales obtenemos
1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2)dx+
N\X 2(0) + M2X 2(1)
Yo aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo
Notamos que del significado físico de las funciones a(x), b(x), g(x) son positivas, Kr, Mr no son negativas. Pero luego de la igualdad resultante se deduce que X "(x) \u003d 0, X (0) \u003d X (1) \u003d 0, por lo tanto, X (x) \u003d 0, lo que contradice la suposición hecha. Por lo tanto, la suposición de que cero es un valor propio del problema (3), (4) es falsa.
La representación de la solución de la ecuación (3) depende del signo de la expresión a(x) - - A2b(x). Demostremos que a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1). Fijamos arbitrariamente x e (0, 1) y encontramos los valores en este punto de las funciones a(x), b(x), g(x). Escribimos la ecuación (3) en la forma
X "(x) + VX (x) \u003d 0, (5)
donde marcamos
en el punto fijo elegido, y las condiciones (4) se pueden escribir en la forma
X "(0) - aX (0) \u003d 0, X" (1) + bX (I) \u003d 0, (6)
donde a, b son fáciles de calcular.
Como es sabido, el problema clásico de Sturm-Liouville (5), (6) tiene un conjunto numerable de funciones propias para V > 0, de donde, debido a la arbitrariedad de x, se sigue la desigualdad buscada.
Las funciones propias del problema (3), (4) tienen la propiedad de ortogonalidad con la carga , expresada por la relación
I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о
M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn(I) = 0, (7)
que se puede obtener de forma estándar (ver, por ejemplo, ), cuya implementación en el caso del problema en consideración está asociada con cálculos elementales pero minuciosos. Presentemos brevemente su derivación, omitiendo el argumento de las funciones Xr(x) para evitar engorros.
Sean λm, λn diferentes valores propios, λm, λn las funciones propias del problema (3), (4) correspondientes a ellos. Entonces
((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0, ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0.
Multiplicamos la primera de estas ecuaciones por Xn, y la segunda por Xm, y restamos la segunda de la primera. Después de transformaciones elementales, obtenemos la igualdad
(Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) "- LP (bXtX" p) "- (aX "tXp)" + Rt (bXtXp)",
que integramos en el intervalo (0,1). Como resultado, teniendo en cuenta (4) y reduciendo por (Лт - Лп), obtenemos la relación (7).
Los enunciados probados sobre las propiedades de los valores propios y las funciones propias del problema de Sturm-Liouville (3), (4) nos permiten aplicar el método de separación de variables para encontrar una solución al problema.
3. Solubilidad del problema. Denotar
C(CT) = (u: u e C(St) P C2(St), uixx e C^m)).
Teorema 1. Sea a, b e C1 , e C. Entonces existe como máximo una solución u e C(m) del problema (1), (2).
Prueba. Supongamos que hay dos soluciones diferentes al problema (1), (2), u1(x, z) y u2(x, z). Entonces, debido a la linealidad del problema, su diferencia u = u1 - u2 es una solución al problema homogéneo correspondiente a (1), (2). Demostremos que su solución es trivial. Notamos de antemano que, a partir del significado físico de los coeficientes de la ecuación y las condiciones de contorno, las funciones a, b, q son positivas en todo Qm, mientras que M^, K^ no son negativas.
Multiplicando la igualdad (1) por u e integrando sobre el dominio Qt, donde t e y arbitrariamente, después de transformaciones simples, obtenemos
/ (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o
K1u2(0, metro) + M1u2(0, metro) + K2u2(1, metro) + M2u2(1, metro) = 0,
de donde, en virtud de la arbitrariedad de m, se sigue inmediatamente la afirmación del teorema. □
Probemos la existencia de una solución para el caso de coeficientes constantes.
Teorema 2. Sea<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, tiene una derivada continua por partes de tercer orden en (0,1), φ e C 1, φ(0) = φ(1) = 0, y tiene una derivada continua por partes de segundo orden en ( 0,1), f e C(C^m), entonces la solución al problema (1), (2) existe y se puede obtener como la suma de una serie de funciones propias.
Prueba. Como de costumbre, buscaremos una solución al problema en forma de una suma
donde el primer término es la solución del problema formulado para la ecuación homogénea correspondiente a (1), el segundo es la solución de la ecuación (1) que satisface cero condiciones iniciales y de contorno. Usemos los resultados de los estudios realizados en el párrafo anterior y escribamos la solución general de la ecuación (3):
X(x) = Cr cos A J-+ C2 sen Aw-^rrx.
\¡ a - A2b \¡ a - A2b
Aplicando las condiciones de contorno (4), llegamos a un sistema de ecuaciones para Cj!
(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,
(-A(a - A2b) sen Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+
Igualando su determinante a cero, obtenemos la ecuación espectral ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (ocho) b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2)) Averigüemos si esta ecuación trascendental tiene solución. Para ello, considere las funciones que se encuentran en sus partes izquierda y derecha, y examine su comportamiento. Sin limitar demasiado la generalidad, establecemos Mi = M2 = M, Kg = K2 = K, lo que simplificará ligeramente los cálculos necesarios. La ecuación (8) toma la forma x I q , Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" ¡y escribe la ecuación espectral en nueva notación! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql Un análisis de las funciones de las partes izquierda y derecha de la última ecuación nos permite afirmar que existe un conjunto contable de sus raíces y, por lo tanto, un conjunto contable de funciones propias del problema de Sturm-Liouville (3), (4) , que, teniendo en cuenta la relación obtenida del sistema con respecto a c¿, se puede escribir v / l l yo q K - x2pm. yo q Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sen XnJ-myx. Va - A2b AnVa - ftb^q Va - A2b Ahora pasamos a encontrar una solución que también satisfaga las condiciones iniciales. Ahora podemos encontrar fácilmente la solución del problema para la ecuación homogénea en forma de serie u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x), cuyos coeficientes se pueden encontrar a partir de los datos iniciales usando la propiedad de ortogonalidad de las funciones Xn(x), cuya norma se puede obtener de la relación (7): ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo El proceso de encontrar la función v(x,t) también es esencialmente estándar, pero aún notamos que, buscando una solución en la forma tradicional v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), obtenemos dos ecuaciones. De hecho, teniendo en cuenta la forma de las funciones propias, especifiquemos la estructura de la serie en la que estamos buscando una solución: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~sen X^ GAirx). (nueve) v JXnVa - xnb^q V a - xn" Para satisfacer las condiciones iniciales cero y(x, 0) = y^x, 0) = 0, requerimos que Yn(0) = Yn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. f( x, d) en una serie de Fourier con respecto a las funciones propias Xn(x), encontramos los coeficientes ¡n(b) y dn(b). Sustituyendo (9) en la ecuación (1), escrita con respecto a y(x, b), después de una serie de transformaciones, obtenemos ecuaciones para encontrar Yn(b) y Shn(b): uc® + >&pYu = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Teniendo en cuenta las condiciones iniciales Yn(0) = Y,(0) = 0, Shn(0) = W,(0) = 0, llegamos a los problemas de Cauchy para cada una de las funciones Yn(b) y Shn( b), cuya única solución está garantizada por las condiciones del teorema. Las propiedades de los datos iniciales formulados en el teorema no dejan lugar a dudas sobre la convergencia de todas las series que han surgido en el transcurso de nuestra investigación y, por tanto, sobre la existencia de una solución al problema. □ Conclusión. Se prueba la existencia de un sistema de funciones propias del problema de estudio ortogonal a la carga y se obtiene su representación. Las propiedades establecidas de las funciones propias permitieron probar la existencia de una única solución al problema. Tenga en cuenta que los resultados obtenidos en el artículo se pueden utilizar tanto para estudios teóricos adicionales de problemas con condiciones de contorno dinámicas como para fines prácticos, es decir, para calcular las vibraciones longitudinales de una amplia gama de objetos técnicos. Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 REFERENCIAS 1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Procesamiento y ensamblaje mecánico ultrasónico. Samara: Editorial de libros de Samara, 1995. 191 p. 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Procesamiento dimensional ultrasónico de materiales. Barnaul: Universidad Técnica de Altai im. yo Polzunova, 1997. 120 págs. 3. Kumabe D. Corte por vibración. 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Rayleigh demostró que el descuido de una deformación transversal conduce a un error. Esto está confirmado por la moderna teoría no local de la vibración. Probamos la existencia de autofunciones ortogonales con carga y derivamos su representación. Las propiedades establecidas de las funciones propias hacen posible usar el método de separación de variables y encontrar una solución única del problema. Palabras clave: condiciones de contorno dinámicas, vibración longitudinal, ortogonalidad cargada, modelo de Rayleigh. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 págs. (en ruso) 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 págs. (en ruso) 3. Kumabe J. Corte por vibración. Tokio, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (en japonés). 4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. 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