Vibraciones longitudinales. Métodos para resolver vibraciones longitudinales de una varilla.

Considere una barra con una longitud yo, que en la posición de equilibrio está a lo largo del eje x. Sus vibraciones longitudinales están descritas por la función Q(x,t), que en cada instante de tiempo t es el desplazamiento longitudinal de la punta de la varilla, cuya coordenada en la posición de equilibrio era igual a x. Se supone que la tensión en la barra obedece la ley de Hooke. Entonces la ecuación que describe la vibración longitudinal de la barra tiene la forma:

donde a es la velocidad de la onda, m/s;

f (x, t) - fuerza específica, m / s 2.

La velocidad de onda de la barra se determina de acuerdo con la expresión:

, (2.16)

donde k es el coeficiente de elasticidad, N;

ρ – densidad lineal (masa por unidad de longitud de la barra), kg/m.

El coeficiente de elasticidad k se puede encontrar de la siguiente manera:

, (2.17)

E - Módulo de Young (tensión que surge en la muestra cuando su longitud se duplica (reduce) en otras condiciones sin cambios), N / m 2.

Para una varilla homogénea k=const, ρ=const. De lo contrario k(х), ρ(х).

La fuerza específica, a su vez, se puede representar como:

, (2.18)

donde g(x,t) es la densidad lineal de la fuerza externa longitudinal (fuerza que actúa por unidad de longitud), N/m.

Las condiciones iniciales se dan en la forma:

– perfil de desplazamientos iniciales:

– perfil de velocidad inicial:

. (2.20)

Las condiciones de contorno se pueden especificar para los siguientes casos:

1) El primer problema de valores en la frontera (condiciones de frontera del 1er tipo):

donde μ 1 (t), μ 2 (t) son funciones de tiempo que describen la ley

movimiento del extremo de la varilla.

Para un extremo rígidamente fijo μ(t)=0.

2) El segundo problema de valores en la frontera (condiciones de frontera del segundo tipo):

; (2.23)

, (2.24)

donde T 1, T 2 - fuerza de tensión aplicada al extremo de la varilla, N.

En el caso de un extremo libre, no hay tensión de la varilla cerca de él (g(t)=0).

3) El tercer problema de valores en la frontera (condiciones de frontera del 3er tipo):

. (2.25)

Estas condiciones se formulan en el caso de la sujeción elástica de la varilla, en la que el extremo de la varilla puede moverse, pero surge una fuerza elástica que tiende a devolver el extremo desplazado a su posición anterior.

Formule un problema de valores en la frontera sobre las vibraciones longitudinales de una varilla cilíndrica homogénea, cuyo extremo está fijo, y en el otro extremo se aplica una fuerza F(t)=A·sin(ωt), cuya dirección coincide con la eje de la varilla.

La función Q(x,t), que describe las oscilaciones longitudinales de la barra, está determinada por la ecuación:

Las condiciones iniciales son cero:

;

Las condiciones de contorno se dan como:

;

donde S es el área de la sección transversal de la varilla, m 2;

E es el módulo de Young del material de la barra, Pa (ver Apéndice).

Observaciones generales.

1) Si consideramos el proceso oscilatorio de una cuerda (varilla), cuyos extremos están lo suficientemente lejos y la influencia de los extremos aún no tiene tiempo de manifestarse por un corto intervalo de tiempo, entonces podemos considerar que la cuerda es infinita . En este caso, se considera un problema en el que -∞

2) Si la sección de la cuerda (varilla) en consideración está cerca de uno de sus extremos y lejos del otro, entonces se considera el problema de una cuerda semi-infinita cuando 0≤x<+∞ и граничные условия формулируются только на одном ее конце.

ISSN: 2310-7081 (en línea), 1991-8615 (impreso) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

PROBLEMA DE VIBRACIONES LONGITUDINALES DE BARRA CARGADA ELÁSTICAMENTE FIJA

AB Beilin

Universidad Técnica Estatal de Samara, Rusia, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244.

anotación

Se consideran vibraciones longitudinales unidimensionales de una varilla corta y gruesa fijada en los extremos con la ayuda de masas concentradas y resortes. Como modelo matemático, se utiliza un problema de valor de frontera inicial con condiciones de frontera dinámicas para una ecuación hiperbólica de cuarto orden. La elección de este modelo en particular se debe a la necesidad de tener en cuenta los efectos de la deformación de la barra en la dirección transversal, cuyo descuido, como lo muestra Rayleigh, conduce a un error, que es confirmado por el moderno no- concepto local de estudio de las vibraciones de los sólidos. Se prueba la existencia de un sistema de funciones propias del problema de estudio ortogonal a la carga y se obtiene su representación. Las propiedades establecidas de las funciones propias permitieron aplicar el método de separación de variables y probar la existencia de una única solución al problema.

Palabras clave: condiciones de contorno dinámicas, vibraciones longitudinales, ortogonalidad de carga, modelo de Rayleigh.

Introducción. En cualquier sistema mecánico en funcionamiento ocurren procesos oscilatorios, los cuales pueden ser generados por diversas razones. Los procesos oscilatorios pueden ser consecuencia de las características de diseño del sistema o de la redistribución de cargas entre varios elementos de una estructura que funciona normalmente.

La presencia de fuentes de procesos oscilatorios en el mecanismo puede dificultar el diagnóstico de su estado e incluso conducir a una violación de su modo de funcionamiento y, en algunos casos, a la destrucción. Varios problemas asociados con una violación de la precisión y el rendimiento de los sistemas mecánicos como resultado de la vibración de algunos de sus elementos a menudo se resuelven experimentalmente en la práctica.

Al mismo tiempo, los procesos oscilatorios pueden ser muy útiles, por ejemplo, para procesar materiales, montar y desmontar juntas. Las vibraciones ultrasónicas permiten no solo intensificar los procesos de corte (taladrado, fresado, rectificado, etc.) de materiales de alta dureza (aceros al tungsteno, al carburo de titanio, etc.),

Beilin, A.B., El problema de las vibraciones longitudinales de una barra cargada fijada elásticamente, Vestn. Mí mismo. Expresar tecnología Universidad Ser. Phys.-Math. Nauki, 2016. V. 20, No. 2. Pág. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Sobre el Autor

Alexander Borisovich Beilin (Ph.D., Asociado; [correo electrónico protegido]), Profesor Asociado, Depto. sistemas automáticos de máquinas y herramientas.

pero en algunos casos se convierten en el único método posible para procesar materiales quebradizos (germanio, silicio, vidrio, etc.). El elemento del dispositivo (guía de ondas), que transmite vibraciones ultrasónicas desde la fuente (vibrador) a la herramienta, se denomina concentrador y puede tener diferentes formas: cilíndrica, cónica, escalonada, exponencial, etc. Su propósito es transmitir fluctuaciones de la amplitud requerida al instrumento.

Así, las consecuencias de la ocurrencia de procesos oscilatorios pueden ser diferentes, así como las causas que los provocan, por lo que surge naturalmente la necesidad de un estudio teórico de los procesos de oscilación. El modelo matemático de propagación de ondas en varillas sólidas relativamente largas y delgadas, que se basa en una ecuación de onda de segundo orden, ha sido bien estudiado y se ha convertido en un clásico desde hace mucho tiempo. Sin embargo, como lo muestra Rayleigh, este modelo no es del todo consistente con el estudio de las vibraciones de una barra gruesa y corta, mientras que muchos detalles de los mecanismos reales pueden interpretarse como barras cortas y gruesas. En este caso, también se deben tener en cuenta las deformaciones de la varilla en la dirección transversal. El modelo matemático de las oscilaciones longitudinales de una barra corta y gruesa, que tiene en cuenta los efectos del movimiento transversal de la barra, se denomina barra de Rayleigh y se basa en una ecuación hiperbólica de cuarto orden.

^ ^ - IX (a(x) e) - dx (b(x)) =; (xL (1)

cuyos coeficientes tienen un significado físico:

g(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x),

donde A(x) es el área de la sección transversal, p(x) es la densidad de masa de la barra, E(x) es el módulo de Young, V(x) es la relación de Poisson, 1P(x) es el momento polar de inercia , u(x, b) - desplazamientos longitudinales a determinar.

Las ideas de Rayleigh han encontrado su confirmación y desarrollo en trabajos modernos dedicados a los procesos de vibraciones, así como a la teoría de la plasticidad. El artículo de revisión corrobora las deficiencias de los modelos clásicos que describen el estado y comportamiento de los sólidos bajo carga, en los que a priori el cuerpo se considera un continuo ideal. El nivel moderno de desarrollo de las ciencias naturales requiere la construcción de nuevos modelos que describan adecuadamente los procesos en estudio, y los métodos matemáticos desarrollados en las últimas décadas brindan esta oportunidad. En este camino, en el último cuarto del siglo pasado, se propuso un nuevo enfoque para el estudio de muchos procesos físicos, incluidos los mencionados anteriormente, basado en el concepto de no localidad (ver el artículo y la lista de referencias en él). Una de las clases de modelos no locales identificados por los autores se denomina "débilmente no local". Los modelos matemáticos pertenecientes a esta clase pueden implementarse introduciendo derivadas de alto orden en la ecuación que describe un determinado proceso, lo que permite tener en cuenta, en alguna aproximación, la interacción de los elementos internos del objeto de estudio. Por lo tanto, el modelo de Rayleigh es relevante en nuestro tiempo.

1. Planteamiento del problema. Sean los extremos de la barra x = 0, x = I unidos a una base fija con la ayuda de masas concentradas N1, M2 y resortes, cuyas rigideces son K1 y K2. Supondremos que la varilla es un cuerpo de revolución alrededor del eje 0x y el momento inicial está en reposo en la posición de equilibrio. Entonces llegamos al siguiente problema de valor de frontera inicial.

Tarea. Encuentra en el área Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1, T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) y condiciones de contorno

a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu(1, r) + K2u(1, r) + M2uu(1, r) = 0. ()

El artículo considera algunos casos especiales del problema (1)-(2) y da ejemplos en los que los coeficientes de la ecuación tienen una forma explícita y M\ = M2 = 0. El artículo prueba la inequívoca y débil solución del problema en general. caso.

Las condiciones (2) están determinadas por el método de fijación de la varilla: sus extremos se unen a bases fijas con la ayuda de algunos dispositivos que tienen masas M1, M2 y resortes con rigidez K1, K2, respectivamente. La presencia de masas y el margen para desplazamientos transversales conduce a condiciones de la forma (2) que contienen derivadas temporales. Las condiciones de contorno que incluyen derivadas temporales se denominan dinámicas. Pueden surgir en varias situaciones, las más simples se describen en un libro de texto y las mucho más complejas en una monografía.

2. Estudio de las oscilaciones naturales de la varilla. Considere una ecuación homogénea correspondiente a la ecuación (1). Como los coeficientes dependen solo de x, podemos separar las variables representando u(x, z) = X(x)T(z). Obtenemos dos ecuaciones:

m""(r) + \2m(r) = 0,

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

La ecuación (3) va acompañada de condiciones de contorno

(a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0,

(a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4)

Así, hemos llegado al problema de Sturm-Liouville, que se diferencia del clásico en que el parámetro espectral Λ está incluido en el coeficiente de la derivada más alta de la ecuación, así como en las condiciones de contorno. Esta circunstancia no nos permite referirnos a resultados conocidos de la literatura, por lo que nuestro objetivo inmediato es estudiar el problema (3), (4). Para la implementación exitosa del método de separación de variables, necesitamos información sobre la existencia y ubicación de valores propios, sobre cualitativa

propiedades de las funciones propias: ¿tienen la propiedad de ortogonalidad?

Demostremos que A2 > 0. Supongamos que este no es el caso. Sea X(x) una función propia del problema (3), (4) correspondiente al valor A = 0. Multiplicamos (3) por X(x) e integramos la igualdad resultante en el intervalo (0,1). Integrando por partes y aplicando las condiciones de contorno (4), tras transformaciones elementales obtenemos

1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2)dx+

N\X 2(0) + M2X 2(1)

Yo aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

Notamos que del significado físico de las funciones a(x), b(x), g(x) son positivas, Kr, Mr no son negativas. Pero luego de la igualdad resultante se deduce que X "(x) \u003d 0, X (0) \u003d X (1) \u003d 0, por lo tanto, X (x) \u003d 0, lo que contradice la suposición hecha. Por lo tanto, la suposición de que cero es un valor propio del problema (3), (4) es falsa.

La representación de la solución de la ecuación (3) depende del signo de la expresión a(x) - - A2b(x). Demostremos que a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1). Fijamos arbitrariamente x e (0, 1) y encontramos los valores en este punto de las funciones a(x), b(x), g(x). Escribimos la ecuación (3) en la forma

X "(x) + VX (x) \u003d 0, (5)

donde marcamos

en el punto fijo elegido, y las condiciones (4) se pueden escribir en la forma

X "(0) - aX (0) \u003d 0, X" (1) + bX (I) \u003d 0, (6)

donde a, b son fáciles de calcular.

Como es sabido, el problema clásico de Sturm-Liouville (5), (6) tiene un conjunto numerable de funciones propias para V > 0, de donde, debido a la arbitrariedad de x, se sigue la desigualdad buscada.

Las funciones propias del problema (3), (4) tienen la propiedad de ortogonalidad con la carga , expresada por la relación

I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о

M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn(I) = 0, (7)

que se puede obtener de forma estándar (ver, por ejemplo, ), cuya implementación en el caso del problema en consideración está asociada con cálculos elementales pero minuciosos. Presentemos brevemente su derivación, omitiendo el argumento de las funciones Xr(x) para evitar engorros.

Sean λm, λn diferentes valores propios, λm, λn las funciones propias del problema (3), (4) correspondientes a ellos. Entonces

((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0, ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0.

Multiplicamos la primera de estas ecuaciones por Xn, y la segunda por Xm, y restamos la segunda de la primera. Después de transformaciones elementales, obtenemos la igualdad

(Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) "- LP (bXtX" p) "- (aX "tXp)" + Rt (bXtXp)",

que integramos en el intervalo (0,1). Como resultado, teniendo en cuenta (4) y reduciendo por (Лт - Лп), obtenemos la relación (7).

Los enunciados probados sobre las propiedades de los valores propios y las funciones propias del problema de Sturm-Liouville (3), (4) nos permiten aplicar el método de separación de variables para encontrar una solución al problema.

3. Solubilidad del problema. Denotar

C(CT) = (u: u e C(St) P C2(St), uixx e C^m)).

Teorema 1. Sea a, b e C1 , e C. Entonces existe como máximo una solución u e C(m) del problema (1), (2).

Prueba. Supongamos que hay dos soluciones diferentes al problema (1), (2), u1(x, z) y u2(x, z). Entonces, debido a la linealidad del problema, su diferencia u = u1 - u2 es una solución al problema homogéneo correspondiente a (1), (2). Demostremos que su solución es trivial. Notamos de antemano que, a partir del significado físico de los coeficientes de la ecuación y las condiciones de contorno, las funciones a, b, q son positivas en todo Qm, mientras que M^, K^ no son negativas.

Multiplicando la igualdad (1) por u e integrando sobre el dominio Qt, donde t e y arbitrariamente, después de transformaciones simples, obtenemos

/ (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o

K1u2(0, metro) + M1u2(0, metro) + K2u2(1, metro) + M2u2(1, metro) = 0,

de donde, en virtud de la arbitrariedad de m, se sigue inmediatamente la afirmación del teorema. □

Probemos la existencia de una solución para el caso de coeficientes constantes.

Teorema 2. Sea<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, tiene una derivada continua por partes de tercer orden en (0,1), φ e C 1, φ(0) = φ(1) = 0, y tiene una derivada continua por partes de segundo orden en ( 0,1), f e C(C^m), entonces la solución al problema (1), (2) existe y se puede obtener como la suma de una serie de funciones propias.

Prueba. Como de costumbre, buscaremos una solución al problema en forma de una suma

donde el primer término es la solución del problema formulado para la ecuación homogénea correspondiente a (1), el segundo es la solución de la ecuación (1) que satisface cero condiciones iniciales y de contorno. Usemos los resultados de los estudios realizados en el párrafo anterior y escribamos la solución general de la ecuación (3):

X(x) = Cr cos A J-+ C2 sen Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

Aplicando las condiciones de contorno (4), llegamos a un sistema de ecuaciones para Cj!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,

(-A(a - A2b) sen Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

Igualando su determinante a cero, obtenemos la ecuación espectral

ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (ocho)

b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

Averigüemos si esta ecuación trascendental tiene solución. Para ello, considere las funciones que se encuentran en sus partes izquierda y derecha, y examine su comportamiento. Sin limitar demasiado la generalidad, establecemos

Mi = M2 = M, Kg = K2 = K,

lo que simplificará ligeramente los cálculos necesarios. La ecuación (8) toma la forma

x I q , Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b"

¡y escribe la ecuación espectral en nueva notación!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

Un análisis de las funciones de las partes izquierda y derecha de la última ecuación nos permite afirmar que existe un conjunto contable de sus raíces y, por lo tanto, un conjunto contable de funciones propias del problema de Sturm-Liouville (3), (4) , que, teniendo en cuenta la relación obtenida del sistema con respecto a c¿, se puede escribir

v / l l yo q K - x2pm. yo q

Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sen XnJ-myx.

Va - A2b AnVa - ftb^q Va - A2b

Ahora pasamos a encontrar una solución que también satisfaga las condiciones iniciales. Ahora podemos encontrar fácilmente la solución del problema para la ecuación homogénea en forma de serie

u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x),

cuyos coeficientes se pueden encontrar a partir de los datos iniciales usando la propiedad de ortogonalidad de las funciones Xn(x), cuya norma se puede obtener de la relación (7):

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo

El proceso de encontrar la función v(x,t) también es esencialmente estándar, pero aún notamos que, buscando una solución en la forma tradicional

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

obtenemos dos ecuaciones. De hecho, teniendo en cuenta la forma de las funciones propias, especifiquemos la estructura de la serie en la que estamos buscando una solución:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~sen X^ GAirx). (nueve)

v JXnVa - xnb^q V a - xn"

Para satisfacer las condiciones iniciales cero y(x, 0) = y^x, 0) = 0, requerimos que Yn(0) = Yn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. f( x, d) en una serie de Fourier con respecto a las funciones propias Xn(x), encontramos los coeficientes ¡n(b) y dn(b). Sustituyendo (9) en la ecuación (1), escrita con respecto a y(x, b), después de una serie de transformaciones, obtenemos ecuaciones para encontrar Yn(b) y Shn(b):

uc® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales Yn(0) = Y,(0) = 0, Shn(0) = W,(0) = 0, llegamos a los problemas de Cauchy para cada una de las funciones Yn(b) y Shn( b), cuya única solución está garantizada por las condiciones del teorema. Las propiedades de los datos iniciales formulados en el teorema no dejan lugar a dudas sobre la convergencia de todas las series que han surgido en el transcurso de nuestra investigación y, por tanto, sobre la existencia de una solución al problema. □

Conclusión. Se prueba la existencia de un sistema de funciones propias del problema de estudio ortogonal a la carga y se obtiene su representación.

Las propiedades establecidas de las funciones propias permitieron probar la existencia de una única solución al problema. Tenga en cuenta que los resultados obtenidos en el artículo se pueden utilizar tanto para estudios teóricos adicionales de problemas con condiciones de contorno dinámicas como para fines prácticos, es decir, para calcular las vibraciones longitudinales de una amplia gama de objetos técnicos.

Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

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Recibido el 10/II/2016; en la versión final - 18/V/2016; aceptado para publicación - 27/V/2016.

Vestn. Sámar. va tecn. Unta. Ser. Phys.-mat. ciencia

2016, vol. 20, núm. 2, págs. 249-258 ISSN: 2310-7081 (en línea), 1991-8615 (impreso) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

UN PROBLEMA DE VIBRACIÓN LONGITUDINAL DE UNA BARRA CON FIJACIÓN ELÁSTICA

Universidad Técnica del Estado de Samara,

Molodogvardeyskaya 244, Samara, 443100, Federación Rusa.

En este artículo estudiamos la vibración longitudinal en una barra corta gruesa fijada por fuerzas puntuales y resortes. Para el modelo matemático, consideramos un problema de valores de contorno con condiciones de contorno dinámicas para una ecuación diferencial parcial de cuarto orden. La elección de este modelo depende de la necesidad de tener en cuenta el resultado de una deformación transversal. Rayleigh demostró que el descuido de una deformación transversal conduce a un error. Esto está confirmado por la moderna teoría no local de la vibración. Probamos la existencia de autofunciones ortogonales con carga y derivamos su representación. Las propiedades establecidas de las funciones propias hacen posible usar el método de separación de variables y encontrar una solución única del problema.

Palabras clave: condiciones de contorno dinámicas, vibración longitudinal, ortogonalidad cargada, modelo de Rayleigh.

Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 págs. (en ruso)

2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 págs. (en ruso)

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6. Rao J. S. Teoría avanzada de la vibración: vibración no lineal y estructuras unidimensionales. Nueva York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 págs.

Beylin AB Un problema de vibración longitudinal de una barra con fijación elástica, Vestn. Sámar. va Tecnología. Univ., Ser. Phys.-Mat. Ciencia, 2016, vol. 20, núm. 2, págs. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (En inglés) Detalles del autor:

Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [correo electrónico protegido]), Profesor Asociado, Depto. de Automatización de Máquinas Herramienta y Sistemas de Utillaje.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teoría de vibraciones libres y forzadas de una varilla rígida basada en el modelo de Rayleigh, Dokl. Phys., 2007, vol.52, no. 11, págs. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Bazant Z., Jirasek M. Formulaciones integrales no locales de plasticidad y daño: encuesta de progreso, J. Eng. Mech., 2002, vol.128, no. 11, págs. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

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10. Korpusov M. O. Razrushenie contra neklassicheskikh volnovykh uravneniakh. Moscú, URSS, 2010, 237 págs. (En ruso)

Recibido el 10/II/2016;

recibido en forma revisada 18/V/2016;

DEFINICIÓN

Onda longitudinal- esta es una onda, durante cuya propagación se produce el desplazamiento de las partículas del medio en la dirección de propagación de la onda (Fig. 1, a).

La causa de la aparición de una onda longitudinal es la compresión/extensión, es decir, la resistencia de un medio a un cambio en su volumen. En líquidos o gases, tal deformación va acompañada de rarefacción o compactación de las partículas del medio. Las ondas longitudinales pueden propagarse en cualquier medio: sólido, líquido y gaseoso.

Ejemplos de ondas longitudinales son las ondas en una barra elástica o las ondas de sonido en los gases.

ondas transversales

DEFINICIÓN

onda transversal- esta es una onda, durante cuya propagación se produce el desplazamiento de las partículas del medio en la dirección perpendicular a la propagación de la onda (Fig. 1b).

La causa de una onda transversal es la deformación cortante de una capa del medio con respecto a otra. Cuando una onda transversal se propaga en un medio, se forman crestas y valles. Los líquidos y los gases, a diferencia de los sólidos, no tienen elasticidad con respecto al corte de la capa, es decir, no te resistas al cambio de forma. Por lo tanto, las ondas transversales solo pueden propagarse en sólidos.

Ejemplos de ondas transversales son las ondas que viajan a lo largo de una cuerda estirada oa lo largo de una cuerda.

Las ondas en la superficie de un líquido no son ni longitudinales ni transversales. Si lanzas un flotador sobre la superficie del agua, puedes ver que se mueve, balanceándose sobre las olas, de forma circular. Así, una onda sobre una superficie líquida tiene componentes transversales y longitudinales. En la superficie de un líquido, también pueden ocurrir ondas de un tipo especial, las llamadas ondas superficiales. Surgen como resultado de la acción y fuerza de la tensión superficial.

Ejemplos de resolución de problemas

EJEMPLO 1

Ejercicio

Determine la dirección de propagación de la onda transversal si el flotador en algún momento tiene la dirección de velocidad indicada en la figura.

Decisión

Hagamos un dibujo.

Dibujemos la superficie de la ola cerca del flotador después de un cierto intervalo de tiempo, considerando que durante este tiempo el flotador bajó, ya que en ese momento estaba dirigido hacia abajo. Continuando la línea hacia la derecha y hacia la izquierda, mostramos la posición de la onda en el tiempo . Comparando la posición de la onda en el momento inicial (línea continua) y en el momento (línea discontinua), concluimos que la onda se propaga hacia la izquierda.

MECÁNICA

CDU 531.01/534.112

VIBRACIONES LONGITUDINALES DE UN PAQUETE DE BARRAS

SOY. Pavlov, A. N. Temnov

MSTU im. NORDESTE. Bauman, Moscú, Federación de Rusia Correo electrónico: [correo electrónico protegido]; [correo electrónico protegido]

En cuestiones de dinámica de cohetes de combustible líquido, el problema de la estabilidad del movimiento del cohete en caso de oscilaciones elásticas longitudinales juega un papel importante. La aparición de tales oscilaciones puede conducir al establecimiento de auto-oscilaciones que, si el cohete es inestable en la dirección longitudinal, puede conducir a su rápida destrucción. Se formula el problema de las oscilaciones longitudinales de un paquete cohete, se utiliza como modelo de cálculo un paquete de varillas. Se supone que el líquido en los tanques de los cohetes está "congelado", es decir no se tienen en cuenta los movimientos propios de los fluidos. Se formula la ley del balance de energía total para el problema bajo consideración y se da su declaración de operador. Se da un ejemplo numérico, para el cual se determinan las frecuencias y se construyen y analizan los modos propios.

Palabras clave: vibraciones longitudinales, frecuencia y forma de vibraciones, paquete de varillas, ley de balance de energía total, operador autoadjunto, espectro de vibraciones, POGO.

SISTEMA DE BARRAS VIBRACIONES LONGITUDINALES A.M. Pavlov, Al. Temnov

Universidad Técnica Estatal Bauman de Moscú, Moscú, Federación de Rusia Correo electrónico: [correo electrónico protegido]; [correo electrónico protegido]

En cuestiones de dinámica de cohetes de combustible líquido, el problema de la estabilidad del movimiento de este cohete tiene un papel importante con la aparición de vibraciones elásticas longitudinales. Una ocurrencia de este tipo de vibraciones puede provocar vibraciones propias que pueden causar la destrucción rápida del cohete en caso de inestabilidad del cohete en la dirección longitudinal. El problema de las vibraciones longitudinales del cohete de combustible líquido basado en el esquema de paquete se ha formulado utilizando varillas de paquete como modelo computacional. Se supone que el líquido en los tanques de los cohetes está "congelado", es decir No se incluyen los movimientos propios del líquido. Para este problema se formuló el principio de conservación de la energía y se da la puesta en escena de su operador. Hay un ejemplo numérico, para el cual se determinaron las frecuencias, se construyeron y analizaron formas de vibración Eigen.

Palabras clave: vibraciones de modos longitudinales, modos y frecuencias propias, modelo de barras, principio de conservación de energía, operador autoadjunto, espectro de vibración, POGO.

Introducción. En la actualidad, en Rusia y en el extranjero, para lanzar una carga útil a la órbita requerida, a menudo se utilizan vehículos de lanzamiento (LV) de un diseño de paquete con bloques laterales idénticos distribuidos uniformemente alrededor del bloque central.

Los estudios de oscilaciones de estructuras de paquetes encuentran ciertas dificultades asociadas con la acción dinámica de los bloques laterales y centrales. En el caso de la simetría del diseño del vehículo de lanzamiento, la interacción espacial compleja de los bloques de un diseño de paquete se puede dividir en un número finito de tipos de vibración, uno de los cuales son las vibraciones longitudinales de los bloques central y lateral. El modelo matemático de vibraciones longitudinales de un diseño similar en forma de paquete de varillas de paredes delgadas se considera en detalle en el trabajo. Arroz. 1. Esquema de la central

vibraciones significativas de un paquete de varillas, complementando el estudio realizado por A.A. Lamentable.

Formulación del problema. Considere otras vibraciones longitudinales de un paquete de varillas, que consta de una varilla central de longitud l0 y N varillas laterales de la misma longitud j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, sujetas en punto A (xA = l) (Fig. 1) con elementos de resorte centrales de rigidez k.

Introducimos un marco fijo de referencia ОХ y asumimos que la rigidez de las varillas EFj (x), la masa distribuida mj (x) y la perturbación q (x,t) son funciones acotadas de la coordenada x:

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

Deje que los desplazamientos Uj (x, t) aparezcan en las secciones transversales de las varillas con coordenada x, que están determinadas por las ecuaciones

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

condiciones de contorno para la ausencia de fuerzas normales en los extremos de las varillas

3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2,

0, x = 0, x = 10;

condiciones de igualdad de las fuerzas normales que surgen en las varillas,

EF-3 = Fx = l

fuerzas elásticas de los elementos de resorte

FпPJ = k (u (ha) - u (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

la condición de igualdad de desplazamientos en el punto xa de la barra central

W (ha-o) \u003d W (ha + o) y condiciones iniciales

W y (x, 0) - W (x); , _

u(x, 0) = u(x),

donde u(x, 0) = "q^1(x, 0).

La ley del balance de energía total. Multiplicamos la ecuación (2) por u(x, t), integramos sobre la longitud de cada varilla y sumamos los resultados usando las condiciones de contorno (3) y la condición de coincidencia (4). Como resultado, obtenemos

(( 1 ^ [ (diL 2

tz (x) "BT" (x +

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „ h 2 .. N „ i.

1 ⩽ Ã „„ , f dn3\ , 1 ⩽ Ãj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Yo N (x - -)(no - Uj)2 dx

= / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6)

donde 8(x - y) es la función delta de Dirac. En la ecuación (6), el primer término entre llaves es la energía cinética T (¿) del sistema, el segundo es la energía potencial Pr (£) debida a la deformación de las varillas y el tercero es la energía potencial Pk (£) de los elementos de resorte, que en presencia de varillas de deformación elástica se puede escribir como

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Ey.

La ecuación (6) muestra que el cambio en la energía total por unidad de tiempo del sistema mecánico considerado es igual a la potencia

influencia externa. En ausencia de una perturbación externa q (x,t), obtenemos la ley de conservación de la energía total:

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0).

Configuración del operador. La ley del balance de energía muestra que para cualquier tiempo t las funciones Uj (x, t) pueden ser consideradas como elementos del espacio de Hilbert L2j(; m3 (x)), definido en la longitud ¡i por el producto escalar

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

y la normativa correspondiente.

Introduzcamos el espacio de Hilbert H, que es igual a la suma ortogonal L2j, H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N, la función vectorial U = (uo, Ui,..., uN)m, y el operador A actuando en el espacio H según la relación

AU = diag(A00U0, A11U1, ..., Annun).

mj(x)dx\jdx"

operadores definidos en

conjunto B (A33) C H de funciones que satisfacen las condiciones (3) y (4).

El problema original (1)-(5) junto con las condiciones iniciales se puede escribir como

Au = f(*), u(0) = u0, 17(0) = u1, (7)

donde f (*) = (to (*) ,51 (*),..., Yam (¿)) es decir

Lema. 1. Si se cumplen las dos primeras condiciones (1), entonces el operador A en el problema de evolución (7) es un operador ilimitado, autoadjunto y definido positivo en el espacio H

(Au, K)n = (u, AK)n, (Au,u)n > c2 (u,u)n.

2. El operador A genera un espacio de energía HA con una norma igual al doble del valor de la energía potencial de oscilaciones del paquete de varillas

3\^I h)2 = 2n > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J E Fo (x) uo (x) v" (x) dx - E Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u "0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

De los resultados anteriores se deduce que la norma energética del operador A se expresa mediante la fórmula (8).

Solubilidad del problema evolutivo. Formulamos el siguiente teorema.

Teorema 1. Sean las condiciones

U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H),

entonces el problema (7) tiene una única solución débil U (t) en el segmento definido por la fórmula

U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sen (tA1/2) +/sen ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 en ausencia de una perturbación externa f (£), se cumple la ley de conservación de la energía

1 II A 1/2Uø2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Vibraciones naturales de un paquete de varillas. Supongamos que el campo de fuerzas externas no actúa sobre el sistema de varillas: f (t) = 0. En este caso, el movimiento de las varillas se denominará libre. Los movimientos libres de las varillas, que dependen del tiempo t según la ley exp (iwt), se denominarán autooscilaciones. Tomando en la ecuación (7) U (x, t) = U (x) eiWU, obtenemos el problema espectral para el operador A:

AU - AEU \u003d 0, L \u003d w2. (nueve)

Las propiedades del operador A nos permiten formular un teorema sobre el espectro y las propiedades de las funciones propias.

Teorema 2. El problema espectral (9) sobre oscilaciones naturales de un paquete de varillas tiene un espectro positivo discreto

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

y un sistema de funciones propias (Uk (x))^=0, completo y ortogonal en los espacios H y HA, y se cumplen las siguientes fórmulas de ortogonalidad:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Reino Unido= £/U^) d*+

K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j = yo

Investigación del problema espectral en el caso de un paquete homogéneo de varillas. Representando la función de desplazamiento m-(x, t) en la forma m-(x, t) = m-(x), luego de separar las variables, obtenemos problemas espectrales para cada barra:

^0u + LM = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

que escribimos en forma matricial

4 £ + Li = 0,

A = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t«

u = (u0, u1, u2,..., u') es decir

Solución y análisis de los resultados obtenidos. Designemos las funciones de desplazamiento para la barra central en la sección como u01 y en la sección como u02 (g). En este caso, para la función u02, movemos el origen de coordenadas al punto con coordenada /. Para cada barra, representamos la solución de la ecuación (10) en la forma

Para encontrar las constantes desconocidas en (11), usamos las condiciones de contorno formuladas anteriormente. A partir de condiciones de contorno homogéneas, se pueden determinar algunas constantes, a saber:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

Como resultado, resta encontrar N + 3 constantes: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Para hacer esto, resolvemos N + 3 ecuaciones para N + 3 incógnitas.

Escribimos el sistema resultante en forma matricial: (A) (C) = (0) . Aquí (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)m es el vector de incógnitas; (A) - matriz característica,

cos (L1) EF0 L sen (L1) +

L sen (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000Y

a \u003d k coe^^A-L^; c \u003d -k co8 ((.40-01L) 1 / 2 ^;

7 \u003d (A4 "-1 l) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + a los búhos ((A "1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ A = ^ A] ; A-- : 3 = 0.

Para encontrar una solución no trivial, tomamos como variable la constante C01 € M. Tenemos dos opciones: C01 = 0; C01 = 0.

Sea С01 = 0, luego С03 = С04 = 0. En este caso, se puede obtener una solución no trivial si 7 = 0 de (12) bajo la condición adicional

£ c-1 = 0, (13)

que se puede obtener de la tercera ecuación del sistema (12). Como resultado, obtenemos una ecuación de frecuencia simple

EP (A "1 L) 1/2 w ((A" 1 ^ 1/2 P +

zz y \ V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

coincidiendo con la ecuación de frecuencia para una varilla fijada elásticamente en un extremo, que puede considerarse como el primer sistema parcial.

En este caso, todas las posibles combinaciones de movimientos de las varillas laterales que satisfagan la condición (13) pueden dividirse condicionalmente en grupos correspondientes a diferentes combinaciones de fases (en el caso considerado, la fase está determinada por el signo de S.d). Si tomamos las varillas laterales idénticas, entonces tenemos dos opciones:

1) Cd \u003d 0, entonces el número de tales combinaciones n para diferentes N se puede calcular mediante la fórmula n \u003d N 2, donde es la función de división sin resto;

2) cualquiera (o cualquiera) de las constantes C es igual a 0, entonces el número de combinaciones posibles aumenta y puede determinarse mediante la fórmula

£ [(N - m) división 2].

Sea Coi = 0, luego Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t), donde cey son complejos en (12). Del sistema (12) también tenemos: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), es decir todas las constantes se expresan a través de C01. La ecuación de frecuencia toma la forma

EFo U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l)) -

K2 porque | ía!-,1 L

Como ejemplo, considere un sistema con cuatro varillas laterales. Además del método descrito anteriormente, para este ejemplo, puede escribir la ecuación de frecuencia para todo el sistema calculando el determinante de la matriz A e igualándolo a cero. Presentamos su forma

Y4 (L sen (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+

L cos (L (/ o - /)) (EFoL sen (L /) + 4v)) -

4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0.

Los gráficos de ecuaciones de frecuencia trascendental para los casos considerados anteriormente se muestran en la fig. 2. Se tomaron como datos iniciales los siguientes datos: EF = 2109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m; mes = 6000 kg/m; /=23; /o = 33 m Los valores de las tres primeras frecuencias de oscilación del esquema en consideración se dan a continuación:

norte.....................................

y, rad/s ................................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Arroz. 2. Gráficas de ecuaciones de frecuencia trascendental para Coi = 0 (i) y Coi = 0 (2)

Presentemos los modos de vibración correspondientes a las soluciones obtenidas (en el caso general, los modos de vibración no están normalizados). Las formas de onda correspondientes a las frecuencias primera, segunda, tercera, cuarta, 13 y 14 se muestran en la fig. 3. A la primera frecuencia de oscilación, las varillas laterales oscilan con la misma forma, pero en pares en antifase

Fig. 3. Modos de vibración de las varillas lateral (1) y central (2) correspondientes a la primera V = 3,20 Hz (a), la segunda V = 5,02 Hz (b), la tercera V = 10,11 Hz (c), la cuarta V = Frecuencias de 13,60 Hz (d), 13 V = 45,90 Hz (d) y 14 V = 50,88 Hz (e)

(Fig. 3, a), en el segundo, la barra central oscila y las laterales oscilan de la misma forma en fase (Fig. 3, b). Cabe señalar que las frecuencias de oscilación primera y segunda del sistema de varillas considerado corresponden a las oscilaciones de un sistema formado por cuerpos sólidos.

Cuando el sistema oscila con la tercera frecuencia natural, los nodos aparecen por primera vez (Fig. 3c). La tercera y siguientes frecuencias (Fig. 3d) corresponden a oscilaciones ya elásticas del sistema. Con un aumento en la frecuencia de las oscilaciones asociado con una disminución en la influencia de los elementos elásticos, las frecuencias y formas de las oscilaciones tienden a ser parciales (Fig. 3, e, f).

Las curvas de funciones, cuyos puntos de intersección con el eje de abscisas son soluciones de ecuaciones trascendentales, se muestran en la fig. 4. Según la figura, las frecuencias de oscilación natural del sistema se ubican cerca de las frecuencias parciales. Como se señaló anteriormente, a medida que aumenta la frecuencia, aumenta la convergencia de las frecuencias naturales con las parciales. Como resultado, las frecuencias a las que oscila todo el sistema se dividen condicionalmente en dos grupos: las cercanas a las frecuencias parciales de la varilla lateral y las frecuencias cercanas a las frecuencias parciales de la varilla central.

Recomendaciones. Se considera el problema de las vibraciones longitudinales de un paquete de varillas. Se describen las propiedades del problema de valores en la frontera formulado y el espectro de sus valores propios. Se propone una solución al problema espectral para un número arbitrario de barras laterales homogéneas. Para un ejemplo numérico, se encuentran los valores de las primeras frecuencias de oscilación y se construyen las formas correspondientes. También se revelaron algunas propiedades características de los modos de vibración construidos.

Arroz. 4. Curvas de funciones, cuyos puntos de intersección con el eje de abscisas son soluciones de ecuaciones trascendentales, para Cox = 0 (1), Cox = 0 (2) coinciden con el primer sistema parcial (barra lateral fijada en el elemento elástico en el punto x = I) y del segundo sistema parcial (5) (varilla central fijada sobre cuatro elementos elásticos en el punto A)

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El artículo fue recibido por los editores el 28 de abril de 2014

Pavlov Arseniy Mikhailovich - estudiante del departamento "Naves espaciales y vehículos de lanzamiento" de la Universidad Técnica Estatal de Moscú. NORDESTE. Bauman. Se especializa en el campo de la tecnología espacial y de cohetes.

MSTU im. NORDESTE. Baumash, Federación Rusa, 105005, Moscú, calle Baumanskaya 2, 5.

Pavlov A. M. - estudiante del departamento de "Naves espaciales y vehículos de lanzamiento" de la Universidad Técnica Estatal Bauman de Moscú. Especialista en el campo de la tecnología espacial y de cohetes. Universidad Técnica Estatal Bauman de Moscú, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscú, 105005 Federación Rusa.

Temnov Alexander Nikolaevich - Ph.D. Phys.-Math. Sci., Profesor Asociado, Departamento de Naves Espaciales y Vehículos de Lanzamiento, Universidad Técnica Estatal de Moscú. NORDESTE. Bauman. Autor de más de 20 artículos científicos en el campo de la mecánica de fluidos y gases y la tecnología espacial y de cohetes. MSTU im. NORDESTE. Baumash, Federación Rusa, 105005, Moscú, calle Baumanskaya 2, 5.

Temnov A. N. - Can. ciencia (Phys.-Math.), asoc. profesor del departamento de "Naves espaciales y vehículos de lanzamiento" de la Universidad Técnica Estatal Bauman de Moscú. Autor de más de 20 publicaciones en el campo de la mecánica de fluidos y gases y la tecnología espacial y de cohetes.

Universidad Técnica Estatal Bauman de Moscú, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscú, 105005 Federación Rusa.

Considere una barra homogénea de longitud l, es decir un cuerpo de forma cilíndrica o de otra forma, para estirarlo o doblarlo es necesario aplicar una fuerza conocida. Esta última circunstancia distingue incluso la varilla más delgada de la cuerda, que, como todos saben, se dobla libremente.

En el trabajo que he presentado, mostraré la aplicación del método de las características al estudio de las vibraciones longitudinales de una barra, y me limitaré a estudiar solo aquellas vibraciones en las que la sección transversal pq, moviéndose a lo largo del eje de la barra, permanece plano y paralelo entre sí. Tal suposición está justificada si las dimensiones transversales de la barra son pequeñas en comparación con su longitud.

Si la barra se estira o comprime un poco a lo largo del eje longitudinal, y luego se deja sola, se producirán vibraciones longitudinales en ella.

Habiendo dirigido el eje x a lo largo del eje de la barra, supondré que en reposo los extremos de la sección de la barra están en los puntos x=0 y x=l. Sea x la abscisa de alguna sección de la barra cuando esta última está en reposo. Permítanme introducir la notación, a través de u(x,t) el desplazamiento de esta sección en el tiempo t; entonces el desplazamiento de la sección con abscisa x+dx será igual a

De aquí es claro que el alargamiento relativo de la barra en la sección con la abscisa x se expresa por la derivada

Ahora, suponiendo que la varilla hace pequeñas vibraciones, podemos calcular la tensión T. Aplicando la ley de Hooke, obtenemos:

Donde E es el módulo de elasticidad del material de la barra y S es su área de sección transversal. Permítanme tomar un elemento de una barra encerrada entre dos secciones, cuyas abscisas en reposo son respectivamente iguales a x y x + dx. Las fuerzas de tensión aplicadas en estas secciones y dirigidas a lo largo del eje Ox actúan sobre este elemento. La resultante de estas fuerzas tiene el valor

ES - ES?ES (2) (Teorema de Lagrange)

Y también dirigido a lo largo. Por otro lado, la aceleración del elemento es igual, por lo que podemos escribir la igualdad

Donde es la densidad aparente de la varilla. Poniendo

Y reduciendo por, obtenemos la ecuación diferencial de vibraciones longitudinales de una varilla homogénea

La forma de esta ecuación muestra que las oscilaciones longitudinales de la varilla son de naturaleza ondulatoria, y la velocidad de propagación de las ondas longitudinales está determinada por la fórmula (4) Si la varilla también está sujeta a una fuerza externa calculada por unidad de su volumen , entonces en lugar de (3) obtenemos

Esta es la ecuación de las vibraciones longitudinales forzadas de la varilla.

Como en la dinámica en general, una ecuación de movimiento (6) no es suficiente para determinar completamente el movimiento de la barra. Es necesario establecer las condiciones iniciales, es decir, establecer el desplazamiento de las secciones de varilla y su velocidad en el momento inicial de tiempo

donde y F(x) son funciones dadas en el intervalo (0,l).

Además, se deben especificar las condiciones de contorno en los extremos de la barra. Por ejemplo:

1) La varilla está fija en ambos extremos. En este caso

u(0,t)=0, u(l,t)=0 (8)

en cualquier momento t.

2) Un extremo de la varilla está fijo, el otro está libre, es decir.

u(0,t)=0,=0 (9)

en cualquier momento t. En el extremo libre x=l, la tensión T=ES es igual a cero (sin fuerzas externas) y, por lo tanto, =0

3) Ambos extremos de la varilla están libres.

En cualquier momento en el tiempo

Así, el problema de las vibraciones longitudinales de una barra acotada homogénea se reduce a resolver la ecuación (6) que satisface la condición inicial (7) y una de las condiciones de contorno (8), (9), (10), etc. onda diferencial de oscilación longitudinal

Considere el problema de las vibraciones longitudinales de una varilla elástica homogénea de longitud l, cuando su extremo x=0 está fijo y el otro x=l está libre. Este problema se reduce a resolver la ecuación de onda.

Bajo condiciones de contorno

y condiciones iniciales

F(x) (0?x?l) (3)

De acuerdo con el método de Fourier, estamos buscando soluciones particulares a la ecuación (1) en la forma

u(x,t)=X(x) T(x) (4)

Sustituyo la ecuación (4) en (1) y obtengo

de donde obtenemos dos ecuaciones

Para que la función (4), que es diferente del cero idéntico, satisfaga las condiciones de contorno (2), obviamente, es necesario exigir el cumplimiento de las condiciones

X(x)=0, X(l)=0 (6)

Por lo tanto, llegué al problema de valor propio para la ecuación (5) bajo las condiciones de contorno (7). Integrando las ecuaciones (5) obtenemos

De las condiciones de contorno (6) tenemos

Contando encuentro =0, de donde

donde k es un entero

Por lo tanto, las soluciones no triviales al problema (4), (5) son posibles solo para los valores ??:

Los valores propios corresponden a las funciones propias

(x)= (k=1,2,…..)

Definido hasta un factor constante, que igualamos a uno (k- no será negativo)

Para ??= la solución general de la ecuación (5) tiene la forma

Donde son constantes arbitrarias. Debido a (3) obtenemos

Satisfaga (1) y las condiciones de contorno (2) para cualquiera. Hago fila.

para cumplir las condiciones iniciales (2) es necesario que

Suponiendo que las series (8), (9) convergen uniformemente, podemos determinar los coeficientes multiplicando por ambos lados de las igualdades e integrando sobre x en el rango de x=0 a x=l. Considerando,

Sustituyendo los valores encontrados de los coeficientes en la serie (7), quizás obtenga una solución al problema obtenido a partir de ella mediante una diferenciación doble término por término con respecto a x y t, uniformemente converger.

Habiendo considerado la solución (7), se puede ver que el movimiento oscilatorio de la barra es el resultado de la suma de vibraciones armónicas simples

Comprometidos con la amplitud y con las frecuencias

El tono fundamental obtenido en k=0 tiene un periodo de oscilación

Como la amplitud del tono fundamental es

Es obvio que se forma un nudo en el extremo fijo de la varilla x=0 y en el extremo libre x=l-antinodo.