El conjunto se cierra bajo la operación. Conjuntos abiertos y cerrados Tipos de conjuntos en la recta real

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Conjuntos abiertos y cerrados

Apéndice 1 . Conjuntos abiertos y cerrados

Un montón de METRO en línea recta se llama abierto, si cada uno de sus puntos está contenido en este conjunto junto con algún intervalo. Cerrado se llama conjunto que contiene todos sus puntos límite (es decir, tal que cualquier intervalo que contiene este punto intersecta con el conjunto al menos un punto más). Por ejemplo, un segmento es un conjunto cerrado, pero no es abierto, y un intervalo, por el contrario, es un conjunto abierto, pero no es cerrado. Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados (por ejemplo, un medio intervalo). Hay dos conjuntos que están cerrados y abiertos al mismo tiempo: este está vacío y todo Z(demostrar que no hay otros). Es fácil ver que si METRO abierto, entonces [` METRO] (o Z \ METRO- adición al conjunto METRO antes de Z) está cerrado. De hecho, si [` METRO] no está cerrado, entonces no contiene algunos de sus puntos límite metro. Pero entonces metro O METRO, y cada intervalo que contiene metro, intersecta con el conjunto [` METRO], es decir, tiene un punto que no está en METRO, lo que contradice el hecho de que METRO- abierto. Del mismo modo, también directamente de la definición, se prueba que si METRO cerrado, entonces [` METRO] abierto (¡comprobar!).

Ahora demostramos el siguiente teorema importante.

Teorema. Cualquier conjunto abierto METRO puede representarse como una unión de intervalos con extremos racionales (es decir, con extremos en puntos racionales).

Prueba . Considere la unión tu todos los intervalos con extremos racionales que son subconjuntos de nuestro conjunto. Probemos que esta unión coincide con todo el conjunto. De hecho, si metro- un punto de METRO, entonces hay un intervalo ( metro 1 , metro 2) m METRO, que contiene metro(esto se sigue del hecho de que METRO- abierto). Es posible encontrar un punto racional en cualquier intervalo. Dejar en ( metro 1 , metro) - Este metro 3, en ( metro, metro 2) es metro 4 . Entonces el punto metro cubierto por la unión tu, a saber, el intervalo ( metro 3 , metro 4). Así, hemos probado que cada punto metro desde METRO cubierto por la unión tu. Además, como se desprende de la construcción tu, ningún punto no contenido en METRO, descubierto tu. Significa, tu y METRO partido.

Una consecuencia importante de este teorema es el hecho de que cualquier conjunto abierto es contable combinando intervalos.

En ninguna parte conjuntos densos y conjuntos de medida~cero. conjunto cantor>

Anexo 2 . En ninguna parte conjuntos densos y conjuntos de medida cero. conjunto cantor

Un montón de UN llamado en ninguna parte apretado, si para cualquier punto diferente un y b hay un segmento [ C, d] M [ un, b], sin intersección con UN. Por ejemplo, el conjunto de puntos en la sucesión un norte = [ 1/(norte)] no es denso en ninguna parte, pero el conjunto de números racionales no lo es.

el teorema de Baer. Un segmento no puede representarse como una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte.

Prueba . Supongamos que hay una secuencia UN k en ninguna parte conjuntos densos tales que i UN i = [un, b]. Construyamos la siguiente secuencia de segmentos. Permitir yo 1 es un segmento anidado en [ un, b] y no se cruza con UN uno . Por definición, un conjunto denso en ninguna parte en el intervalo yo 1 hay un segmento que no interseca con el conjunto UN 2. llamémoslo yo 2. A continuación, en el segmento yo 2 tomar de manera similar el segmento yo 3 , sin intersección con UN 3, etc. La secuencia yo k Los segmentos anidados tienen un punto en común (esta es una de las propiedades básicas de los números reales). Este punto, por construcción, no pertenece a ninguno de los conjuntos UN k, por lo que estos conjuntos no cubren todo el segmento [ un, b].

Llamemos al conjunto METRO teniendo medida cero, si para cualquier e positivo existe una secuencia yo k intervalos con una longitud total menor que e, cubriendo METRO. Obviamente, cualquier conjunto contable tiene medida cero. Sin embargo, también hay conjuntos incontables que tienen medida cero. Construyamos uno de estos, muy conocido, llamado el de Cantor.

Hagamos un corte. Vamos a dividirlo en tres partes iguales. Deseche el segmento medio (Fig. 11, un). Habrá dos segmentos de la longitud total [ 2/3]. Con cada uno de ellos realizaremos exactamente la misma operación (Fig. 11, b). Habrá cuatro segmentos de la longitud total [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Continuando así (Fig. 11, en–mi) hasta el infinito, obtenemos un conjunto que tiene medida menor que cualquier medida positiva dada, es decir, medida cero. Se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos de este conjunto e infinitas secuencias de ceros y unos. Si durante el primer "lanzamiento" nuestro punto cayó en el segmento derecho, ponemos 1 al comienzo de la secuencia, si a la izquierda - 0 (Fig. 11, un). Además, después del primer "tirar", obtenemos una copia pequeña del segmento grande, con el que hacemos lo mismo: si nuestro punto después de tirar cae en el segmento derecho, ponemos 1, si en el izquierdo - 0, etc. (verifique la unicidad mutua), arroz. once, b, en. Dado que el conjunto de secuencias de ceros y unos tiene la cardinalidad del continuo, el conjunto de Cantor también tiene la cardinalidad del continuo. Además, es fácil probar que no es denso en ninguna parte. Sin embargo, no es cierto que tenga una medida estricta cero (ver la definición de una medida estricta). La idea detrás de la prueba de este hecho es la siguiente: tomar la secuencia un norte, tendiendo a cero muy rápidamente. Para esto, por ejemplo, la secuencia un norte = [ 1/(2 2 norte)]. Luego probamos que esta sucesión no puede cubrir el conjunto de Cantor (¡hazlo!).

Anexo 3 . Tareas

Operaciones sobre conjuntos

Conjuntos UN y B llamado igual si cada elemento del conjunto UN pertenece al conjunto B, y viceversa. Designacion: UN = B.

Un montón de UN llamado subconjunto conjuntos B si cada elemento del conjunto UN pertenece al conjunto B. Designacion: UN METRO B.

1. Para cada uno de los siguientes dos conjuntos, indique si uno es un subconjunto del otro:

2. Demostrar que el conjunto UN si y solo entonces es un subconjunto del conjunto B cuando cada elemento no pertenece B, no pertenecer UN.

3. Demostrar que para conjuntos arbitrarios UN, B y C

un) UN METRO UN; b) si UN METRO B y B METRO C, entonces UN METRO C;

en) UN = B, si y solo si UN METRO B y B METRO UN.

el conjunto se llama vacío si no contiene ningún elemento. Designación: Zh.

4. Cuantos elementos tiene cada uno de los siguientes conjuntos:

5. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de tres elementos?

6. ¿Puede un conjunto tener exactamente a) 0; b*) 7; c) 16 subconjuntos?

Asociación conjuntos UN y B X, qué X O UN o X O B. Designacion: UN Y B.

cruce conjuntos UN y B se llama un conjunto formado por tales X, qué X O UN y X O B. Designacion: UN W B.

diferencia conjuntos UN y B se llama un conjunto formado por tales X, qué X O UN y X PAG B. Designacion: UN \ B.

7. Se dan conjuntos UN = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Encuentra conjuntos:

8. Permitir UN es el conjunto de los números pares, y B es el conjunto de números divisible por 3. Encuentra UN W B.

9. Demostrar que para cualquier conjunto UN, B, C

un) UN Y B = B Y UN, UN W B = B W UN;

b) UN Y ( B Y C) = (UN Y B)Y C, UN Z ( B W C) = (UN W B)Z C;

en) UN Z ( B Y C) = (UN W B)Y ( UN W C), UN Y ( B W C) = (UN Y B)Z ( UN Y C);

GRAMO) UN \ (B Y C) = (UN \ B)Z ( UN \ C), UN \ (B W C) = (UN \ B)Y ( UN \ C).

10. ¿Es cierto que para cualquier conjunto UN, B, C

Establecer asignaciones

Si cada elemento X conjuntos X asignado a exactamente un elemento F(X) conjuntos Y, entonces dicen que dado mostrar F desde muchos X en la multitud Y. Al mismo tiempo, si F(X) = y, entonces el elemento y llamado camino elemento X cuando se muestra F, y el elemento X llamado prototipo elemento y cuando se muestra F. Designacion: F: X ® Y.

11. Dibuja todas las asignaciones posibles del conjunto (7,8,9) al conjunto (0,1).

Permitir F: X ® Y, y O Y, UN METRO X, B METRO Y. Preimagen completa de un elemento y cuando se muestra F se llama conjunto ( X O X | F(X) = y). Designacion: F - 1 (y). La imagen del conjunto UN METRO X cuando se muestra F se llama conjunto ( F(X) | X O UN). Designacion: F(UN). El prototipo del conjunto. B METRO Y se llama conjunto ( X O X | F(X) O B). Designacion: F - 1 (B).

12. Para mostrar F: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18) dada por la imagen, encuentre F({0,3}), F({1,3,4}), F - 1 (2), F - 1 ({2,5}), F - 1 ({5,18}).

13. Permitir F: X ® Y, UN 1 , UN 2 millones X, B 1 , B 2 millones Y. ¿Es siempre cierto que

un) F(X) = Y;

b) F - 1 (Y) = X;

en) F(UN 1 y UN 2) = F(UN 1) Y F(UN 2);

GRAMO) F(UN 1Z UN 2) = F(UN 1)Z F(UN 2);

mi) F - 1 (B 1 y B 2) = F - 1 (B 1) Y F - 1 (B 2);

mi) F - 1 (B 1Z B 2) = F - 1 (B 1)Z F - 1 (B 2);

g) si F(UN 1M F(UN 2), entonces UN 1M UN 2 ;

h) si F - 1 (B 1M F - 1 (B 2), entonces B 1M B 2 ?

Composición asignaciones F: X ® Y y gramo: Y ® Z se llama una asignación que se asigna a un elemento X conjuntos X elemento gramo(F(X)) conjuntos Z. Designacion: gramo° F.

14. Demuestre que para asignaciones arbitrarias F: X ® Y, gramo: Y ® Z y h: Z ® W se hace lo siguiente: h° ( gramo° F) = (h° gramo)° F.

15. Permitir F: (1,2,3,5) ® (0,1,2), gramo: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – asignaciones mostradas en la figura:

Haz dibujos para las siguientes pantallas:

un) gramo° F; b) h° gramo; en) F° h° gramo; GRAMO) gramo° h° F.

Mostrar F: X ® Y llamado biyectiva si por cada y O Y hay exactamente uno X O X tal que F(X) = y.

16. Permitir F: X ® Y, gramo: Y ® Z. ¿Es cierto que si F y gramo son biyectivas, entonces gramo° F biyectivamente?

17. Permitir F: (1,2,3) ® (1,2,3), gramo: (1,2,3) ® (1,2,3), son los mapeos que se muestran en la figura:

18. Para cada dos de los siguientes conjuntos, averigüe si hay una biyección del primero al segundo (suponga que cero es un número natural):

a) el conjunto de los números naturales;

b) el conjunto de los números naturales pares;

c) el conjunto de los números naturales sin el número 3.

espacio métrico llamado conjunto X con un dado métrico r: X× X ® Z

1) " X,y O X r( X,y) i 0, y r ( X,y) = 0 si y solo si X = y (no negatividad ); 2) " X,y O X r( X,y) = r ( y,X) (simetría ); 3) " X,y,z O X r( X,y) + r ( y,z) y r ( X,z) (desigualdad triangular ). 19 19. X

un) X = Z, r ( X,y) = | X - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,y 1),(X 2 ,y 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

en) X = C[un,bun,b] funciones,

abierto(respectivamente, cerrado) bola de radio r en el espacio X centrado en un punto X se llama conjunto tu r (X) = {y O X:r( X,y) < r) (respectivamente, B r (X) = {y O X:r( X,y) Ј r}).

punto interno conjuntos tu METRO X tu

abierto vecindario este punto.

punto límite conjuntos F METRO X F.

cerrado

20. Pruebalo

21. Pruebalo

b) unión de conjuntos UN cierre UN

Mostrar F: X ® Y llamado continuo

22.

23. Pruebalo

F (X) = INF y O F r( X,y

F.

24. Permitir F: X ® Y– . ¿Es cierto que su inversa es continua?

Mapeo continuo uno a uno F: X ® Y homeomorfismo. espacios X, Yhomeomorfo.

25.

26. para que parejas X, Y F: X ® Y, cual no se pega puntos (es decir, F(X) № F(y) en X № y inversiones)?

27*. homeomorfismo local(es decir, cada punto X avión y F(X) del toro, hay barrios tu y V, qué F mapea homeomórficamente tu sobre el V).

Espacios métricos y mapeos continuos

espacio métrico llamado conjunto X con un dado métrico r: X× X ® Z, satisfaciendo los siguientes axiomas:

1) " X,y O X r( X,y) i 0, y r ( X,y) = 0 si y solo si X = y (no negatividad ); 2) " X,y O X r( X,y) = r ( y,X) (simetría ); 3) " X,y,z O X r( X,y) + r ( y,z) y r ( X,z) (desigualdad triangular ). 28. Demostrar que los siguientes pares ( X,r ) son espacios métricos:

un) X = Z, r ( X,y) = | X - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,y 1),(X 2 ,y 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

en) X = C[un,b] es el conjunto de continuos en [ un,b] funciones,

abierto(respectivamente, cerrado) bola de radio r en el espacio X centrado en un punto X se llama conjunto tu r (X) = {y O X:r( X,y) < r) (respectivamente, B r (X) = {y O X:r( X,y) Ј r}).

punto interno conjuntos tu METRO X es un punto que está contenido en tu junto con alguna bola de radio distinto de cero.

Un conjunto cuyos puntos son todos interiores se llama abierto. Un conjunto abierto que contiene un punto dado se llama vecindario este punto.

punto límite conjuntos F METRO X un punto se llama tal, en cualquier vecindad del cual hay infinitos puntos del conjunto F.

Un conjunto que contiene todos sus puntos límite se llama cerrado(compare esta definición con la dada en el apéndice 1).

29. Pruebalo

a) un conjunto es abierto si y solo si su complemento es cerrado;

b) una unión finita y una intersección numerable de conjuntos cerrados es cerrada;

c) una unión contable y una intersección finita de conjuntos abiertos son abiertos.

30. Pruebalo

a) el conjunto de puntos límite de cualquier conjunto es un conjunto cerrado;

b) unión de conjuntos UN y el conjunto de sus puntos límite ( cierre UN) es un conjunto cerrado.

Mostrar F: X ® Y llamado continuo si la preimagen de todo conjunto abierto es abierta.

31. Demuestre que esta definición concuerda con la definición de continuidad de funciones en la línea.

32. Pruebalo

a) distancia al conjunto r F (X) = INF y O F r( X,y) es una función continua;

b) el conjunto de ceros de la función del punto a) coincide con la clausura F.

33. Permitir F: X ® Y

Mapeo continuo uno a uno F: X ® Y, cuya inversa también es continua, se llama homeomorfismo. espacios X, Y, para los que existe tal mapeo, se denominan homeomorfo.

34. Para cada par de los siguientes conjuntos, determina si son homeomorfos:

35. para que parejas X, Y espacios del problema anterior hay un mapa continuo F: X ® Y, cual no se pega puntos (es decir, F(X) № F(y) en X № y Este tipo de pantallas se denominan inversiones)?

36*. Piense en un mapeo plano-toroide continuo que sería homeomorfismo local(es decir, cada punto X avión y F(X) del toro, hay barrios tu y V, qué F mapea homeomórficamente tu sobre el V).

Lo completo. teorema de baer

Permitir X es un espacio métrico. subsecuencia X norte sus elementos se llama fundamental, Si

37. Demostrar que la sucesión convergente es fundamental. ¿Es cierto lo contrario?

El espacio métrico se llama completo si toda sucesión fundamental converge en ella.

38. ¿Es cierto que un espacio homeomorfo a un espacio completo es completo?

39. Demostrar que un subespacio cerrado de un espacio completo es en sí mismo completo; en él está cerrado un subespacio completo de un espacio arbitrario.

40. Demostrar que en un espacio métrico completo una secuencia de bolas cerradas anidadas con radios que tienden a cero tiene un elemento común.

41. ¿Es posible eliminar en el problema anterior la condición de completitud del espacio o de los radios de las bolas que tienden a cero?

Mostrar F espacio métrico X en sí mismo se llama compresivo, Si

42. Demuestre que el mapeo de contracción es continuo.

43. a) Demuestre que la aplicación de contracción de un espacio métrico completo en sí mismo tiene exactamente un punto fijo.

b) Se coloca un mapa de Rusia a escala 1:20 000 000 sobre un mapa de Rusia a escala 1:5 000 000. Demuestra que hay un punto cuyas imágenes en ambos mapas coinciden.

44*. ¿Existe un espacio métrico incompleto en el que el enunciado del problema sea verdadero, eh?

Un subconjunto de un espacio métrico se llama denso por todas partes si su cierre coincide con la totalidad del espacio; en ninguna parte apretado– si su clausura no tiene subconjuntos abiertos no vacíos (compare esta definición con la dada en el Apéndice 2).

45. a) Deja un, b, a , b О Z y un < a < b < b. Demostrar que el conjunto de funciones continuas en [ un,b], que son monótonos en , no es denso en ninguna parte en el espacio de todas las funciones continuas en [ un,b] con métrica uniforme.

b) dejar un, b, C, y O Z y un < b, C> 0, e > 0. Entonces el conjunto de funciones continuas en [ un,b], tal que

46. (Teorema de Baire generalizado .) Demuestre que un espacio métrico completo no puede representarse como la unión de un número contable de conjuntos densos en ninguna parte.

47. Demuestre que el conjunto de funciones continuas, no monótonas en cualquier intervalo no vacío y en ninguna parte diferenciables definidas en el intervalo es denso en todas partes en el espacio de todas las funciones continuas con métrica uniforme.

48*. Permitir F es una función diferenciable en el segmento . Demuestre que su derivada es continua en un conjunto de puntos denso en todas partes. Esta definición Lebesgue mide cero. Si el número contable de intervalos se reemplaza por uno finito, entonces obtenemos la definición jordano mide cero.

Probemos ahora algunas propiedades especiales de los conjuntos cerrados y abiertos.

Teorema 1. La suma de un número finito o numerable de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. El producto de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto,

Considere la suma de un número finito o contable de conjuntos abiertos:

Si , entonces P pertenece a al menos uno de Sea Dado que es un conjunto abierto, entonces algún -vecindario de P también pertenece a El mismo -vecindario de P también pertenece a la suma g, de donde se sigue que g es un conjunto abierto. Considere ahora el producto final

y sea P perteneciente a g. Probemos, como arriba, que algún -vecindario P pertenece a g. Como P pertenece a g, entonces P pertenece a todos. Dado que son conjuntos abiertos, entonces para cualquier hay algún -vecindario del punto que pertenece a . Si el número se toma igual al menor de los cuales es finito, entonces la vecindad del punto P pertenecerá a todos y, en consecuencia, a g. Tenga en cuenta que es imposible afirmar que el producto de un número contable de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Teorema 2. El conjunto CF es abierto y el conjunto CO es cerrado.

Probemos la primera afirmación. Sea P perteneciente a CF. Es necesario probar que algún vecindario P pertenece a CF. Esto se deduce del hecho de que si hubiera puntos F en cualquier -vecindad P, el punto P, que no pertenece por condición, sería el punto límite para F y, por su cercanía, tendría que pertenecer, lo que lleva a una contradicción

Teorema 3. El producto de un número finito o contable de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. La suma de un número finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Probemos, por ejemplo, que el conjunto

cerrado. Pasando a conjuntos adicionales, podemos escribir

Por el teorema, conjuntos abiertos y, por el teorema 1, el conjunto también es abierto y, por lo tanto, el conjunto complementario g es cerrado. Tenga en cuenta que la suma de un número contable de conjuntos cerrados también puede ser un conjunto no cerrado.

Teorema 4. Un conjunto es un conjunto abierto y un conjunto cerrado.

Es fácil comprobar las siguientes igualdades:

De ellos, en virtud de los teoremas anteriores, se sigue el Teorema 4.

Diremos que un conjunto g está cubierto por un sistema M de algunos conjuntos si todo punto g está incluido en al menos uno de los conjuntos del sistema M.

Teorema 5 (Borel). Si un conjunto cerrado acotado F está cubierto por un sistema infinito de conjuntos abiertos O, entonces de este sistema infinito se puede extraer un número finito de conjuntos abiertos que también cubren F.

Demostramos este teorema por el contrario. Supongamos que ningún número finito de conjuntos abiertos del sistema a cubre y reduzcamos esto a una contradicción. Como F es un conjunto acotado, entonces todos los puntos de F pertenecen a algún intervalo bidimensional finito. Dividamos este intervalo cerrado en cuatro partes iguales, dividiendo los intervalos por la mitad. Cada uno de los cuatro intervalos obtenidos se tomará cerrado. Aquellos puntos de F que caigan en uno de estos cuatro intervalos cerrados representarán, en virtud del Teorema 2, un conjunto cerrado, y al menos uno de estos conjuntos cerrados no puede ser cubierto por un número finito de conjuntos abiertos del sistema a. Tomamos uno de los cuatro intervalos cerrados anteriores donde se produce esta circunstancia. Dividimos nuevamente este intervalo en cuatro partes iguales y argumentamos de la misma manera que arriba. Así, obtenemos un sistema de intervalos anidados, de los cuales cada uno de los siguientes es la cuarta parte del anterior, y se da la siguiente circunstancia: el conjunto de puntos F pertenecientes a cualquier k no puede ser cubierto por un número finito de conjuntos abiertos del sistema A. Con un aumento infinito en k, los huecos se reducirán indefinidamente hasta algún punto P, que pertenece a todos los huecos. Dado que para cualquier k contienen un conjunto incontable de puntos, el punto P es un punto límite para y por lo tanto pertenece a F, ya que F es un conjunto cerrado. Así, el punto P está cubierto por algún conjunto abierto perteneciente al sistema a. Algún vecindario del punto P también pertenecerá al conjunto abierto O. Para valores suficientemente grandes de k, los intervalos D caerán dentro del vecindario anterior del punto P. Por lo tanto, estos estarán completamente cubiertos por solo uno conjunto abierto O del sistema a, y esto contradice el hecho de que los puntos pertenecientes a para cualquier k no pueden ser cubiertos por un número finito de conjuntos abiertos pertenecientes a a. Entonces el teorema esta probado.

Teorema 6. Un conjunto abierto se puede representar como la suma de un número contable de huecos semiabiertos en pares sin puntos comunes.

Recuerde que un espacio semiabierto en el plano es un espacio finito definido por desigualdades de la forma .

Pongamos en el plano una cuadrícula de cuadrados con lados paralelos a los ejes, y con una longitud de lado igual a uno. El conjunto de estos cuadrados es un conjunto contable. Elegimos de estos cuadrados aquellos cuadrados cuyos puntos pertenecen todos a un conjunto abierto O dado. El número de tales cuadrados puede ser finito o numerable, o puede no haber tales cuadrados en absoluto. Dividimos cada uno de los cuadrados restantes de la cuadrícula en cuatro cuadrados idénticos y, de los cuadrados recién obtenidos, seleccionamos nuevamente aquellos cuyos puntos todos pertenecen a O. Dividimos nuevamente cada uno de los cuadrados restantes en cuatro partes iguales y seleccionamos aquellos cuadrados cuyos puntos todos pertenecen a O, etc. Demostremos que cualquier punto P del conjunto O caerá en uno de los cuadrados elegidos, cuyos puntos pertenecen todos a O. De hecho, sea d una distancia positiva de P a la frontera de O. Cuando alcanzamos cuadrados cuya diagonal es menor que , podemos afirmar obviamente que el punto P ya ha caído en un cuadrado, cuyos volúmenes pertenecen todos a O. Si los cuadrados elegidos se consideran semiabiertos, entonces no tendrán por pares puntos comunes y se demuestra el teorema. El número de cuadrados seleccionados será necesariamente contable, ya que la suma finita de espacios semiabiertos obviamente no es un conjunto abierto. Denotando por DL ​​aquellos cuadrados semiabiertos que obtuvimos como resultado de la construcción anterior, podemos escribir

Sean dados dos conjuntos X e Y, coincidentes o no.

Definición. El conjunto de pares ordenados de elementos, de los cuales el primero pertenece a X y el segundo a Y, se denomina producto cartesiano de conjuntos y se denota.

Ejemplo. Permitir
,
, entonces

.

si un
,
, entonces
.

Ejemplo. Permitir
, donde R es el conjunto de todos los números reales. Entonces
es el conjunto de todas las coordenadas cartesianas de puntos en el plano.

Ejemplo. Permitir
es una cierta familia de conjuntos, entonces el producto cartesiano de estos conjuntos es el conjunto de todas las cadenas ordenadas de longitud n:

Si, entonces. artículos de
son vectores fila de longitud n.

Estructuras algebraicas con una operación binaria

1 Operaciones algebraicas binarias

Permitir
es un conjunto finito o infinito arbitrario.

Definición. binario algebraico operación ( ley interna de composición) sobre el
se llama un mapeo arbitrario pero fijo de un cuadrado cartesiano
en
, es decir.

(1)

(2)

Por lo tanto, cualquier par ordenado

. El hecho de que
, se escribe simbólicamente como
.

Como regla general, las operaciones binarias se denotan con símbolos
etc. Como antes, la operación
significa "suma", y la operación "" significa "multiplicación". Difieren en la forma de notación y, tal vez, en los axiomas, lo cual quedará claro por el contexto. Expresión
se llamará producto, y
- suma de elementos y .

Definición. Un montón de
se llama cerrado bajo la operación si para alguna .

Ejemplo. Considere el conjunto de enteros no negativos
. Como operaciones binarias en
consideraremos las operaciones usuales de suma
y multiplicaciones. Entonces los conjuntos
,
se cerrará bajo estas operaciones.

Comentario. Como sigue de la definición, la asignación de la operación algebraica * en
, es equivalente a la clausura del conjunto
en cuanto a esta operación. Si resulta que el conjunto
no es cerrada con respecto a la operación * dada, entonces en este caso decimos que la operación * no es algebraica. Por ejemplo, la operación de resta sobre el conjunto de los números naturales no es algebraica.

Permitir
y
dos conjuntos.

Definición. ley exterior composiciones En el set se llama mapeo

, (3)

aquellas. la ley por la cual cualquier elemento
y cualquier elemento
se asigna el elemento
. El hecho de que
, indicado por el símbolo
o
.

Ejemplo. Multiplicación de matrices
por número
es una ley externa de composición en el conjunto
. Multiplicación de números en
puede considerarse tanto como una ley interna de composición como externa.

distributivo en cuanto a la ley interna de composición * en
, Si

La ley externa de composición se llama distributivo con respecto a la ley interna de composición * en Y, si

Ejemplo. Multiplicación de matrices
por número
es distributivo tanto con respecto a la suma de matrices como con respecto a la suma de números, porque,.

1. Propiedades de las operaciones binarias

Operación algebraica binaria  en un conjunto
llamado:

Comentario. Las propiedades de conmutatividad y asociatividad son independientes.

Ejemplo. Considere el conjunto de números enteros. Operación en definir de acuerdo con la regla
. Elijamos números
y realiza la operación sobre estos números:

aquellas. La operación  es conmutativa, pero no asociativa.

Ejemplo. Considere el conjunto
son matrices cuadradas de dimensión
con coeficientes reales. Como una operación binaria * en
Consideremos las operaciones de multiplicación de matrices. Permitir
, entonces
, pero
, es decir. la operación de multiplicación sobre un conjunto de matrices cuadradas es asociativa pero no conmutativa.

Definición. Elemento
llamado soltero o neutral sobre la operación en cuestión  en
, Si

Lema. si un es el elemento identidad del conjunto
cerrado bajo la operación *, entonces es único.

Prueba . Permitir es el elemento identidad del conjunto
, cerrado bajo la operación *. Supongamos que en
hay un elemento mas
, entonces
, como es un solo elemento y
, como es un solo elemento. Por lo tanto,
es el único elemento de identidad del conjunto
.

Definición. Elemento
llamado contrarrestar o simétrico al elemento
, Si

Ejemplo. Considere el conjunto de números enteros con operación de adición
. Elemento
, entonces el elemento simétrico
habrá un elemento
. En realidad,.

Una de las tareas principales de la teoría de conjuntos de puntos es el estudio de las propiedades de varios tipos de conjuntos de puntos. Familiaricémonos con esta teoría en dos ejemplos y estudiemos las propiedades de los llamados conjuntos cerrados y abiertos.

el conjunto se llama cerrado si contiene todos sus puntos límite. Si un conjunto no tiene puntos límite, también se considera cerrado. Además de sus puntos límite, un conjunto cerrado también puede contener puntos aislados. el conjunto se llama abierto si cada uno de sus puntos es interno a él.

vamos a traer ejemplos de conjuntos cerrados y abiertos .

Todo segmento es un conjunto cerrado y todo intervalo (a, b) es un conjunto abierto. Intervalos medios inadecuados y cerrado, e intervalos impropios y abierto. Toda la línea es a la vez un conjunto cerrado y abierto. Es conveniente pensar en el conjunto vacío como cerrado y abierto al mismo tiempo. Cualquier conjunto finito de puntos en una línea es cerrado, ya que no tiene puntos límite.

Un conjunto formado por puntos:

cerrado; este conjunto tiene un solo punto límite x=0, que pertenece al conjunto.

La tarea principal es descubrir cómo funciona un conjunto abierto o cerrado arbitrario. Para hacer esto, necesitamos una serie de hechos auxiliares, que aceptaremos sin prueba.

• 1. La intersección de cualquier número de conjuntos cerrados es cerrada.
• 2. La suma de cualquier número de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
• 3. Si un conjunto cerrado está acotado por arriba, entonces contiene su cota superior. De manera similar, si un conjunto cerrado está acotado por debajo, entonces contiene su cota inferior.

Sea E un conjunto arbitrario de puntos sobre la recta. Llamamos al complemento del conjunto E y denotamos por CE el conjunto de todos los puntos de la recta que no pertenecen al conjunto E. Está claro que si x es un punto externo para E, entonces es un punto interno para el establecer CE y viceversa.

4. Si el conjunto F es cerrado, entonces su complemento CF es abierto y viceversa.

La proposición 4 muestra que existe una relación muy estrecha entre conjuntos cerrados y abiertos: uno es el complemento del otro. Debido a esto, es suficiente estudiar solo un conjunto cerrado o abierto. Conocer las propiedades de los conjuntos de un tipo le permite descubrir inmediatamente las propiedades de los conjuntos de otro tipo. Por ejemplo, cualquier conjunto abierto se obtiene eliminando algún conjunto cerrado de una línea.

Procedemos al estudio de las propiedades de los conjuntos cerrados. Introducimos una definición. Sea F un conjunto cerrado. Un intervalo (a, b) con la propiedad de que ninguno de sus puntos pertenece al conjunto F, mientras que los puntos a y b pertenecen a F, se llama intervalo adyacente del conjunto F.

Entre los intervalos adyacentes, incluiremos también los intervalos impropios o, si el punto a o el punto b pertenece al conjunto F, y los intervalos mismos no se cortan con F. Demostremos que si un punto x no pertenece a un conjunto cerrado F, entonces pertenece a uno de sus intervalos adyacentes.

Denótese por la parte del conjunto F situada a la derecha del punto x. Como el punto x en sí mismo no pertenece al conjunto F, se puede representar en forma de intersección:

Cada uno de los conjuntos F y es cerrado. Por lo tanto, por la Proposición 1, el conjunto es cerrado. Si el conjunto está vacío, entonces todo el semiintervalo no pertenece al conjunto F. Supongamos ahora que el conjunto no está vacío. Dado que este conjunto se encuentra completamente en el semiintervalo, está acotado por abajo. Denote por b su límite inferior. Según la Proposición 3, lo que significa Además, como b es el mínimo del conjunto, entonces el semiintervalo (x, b) que está a la izquierda del punto b no contiene puntos del conjunto y, por lo tanto, no contiene puntos del conjunto F. Así , hemos construido un semiintervalo (x, b) que no contiene puntos del conjunto F, y o bien el punto b pertenece al conjunto F. De manera similar, se construye un semiintervalo (a, x) que no contiene puntos del conjunto F, ni ni, ni. Ahora está claro que el intervalo (a, b) contiene el punto x y es un intervalo adyacente del conjunto F. Es fácil ver que si y son dos intervalos adyacentes del conjunto F, entonces estos intervalos o coinciden o no no intersectar.

De lo anterior se sigue que todo conjunto cerrado sobre la recta se obtiene quitando de la recta cierto número de intervalos, a saber, intervalos adyacentes del conjunto F. Como cada intervalo contiene al menos un punto racional, y todos los puntos racionales sobre la línea son un conjunto contable, es fácil asegurarse de que el número de todos los intervalos adyacentes sea como máximo contable. De aquí sacamos la conclusión final. Cualquier conjunto cerrado sobre una recta se obtiene eliminando de la recta como máximo un conjunto contable de intervalos disjuntos.

Por la Proposición 4, esto implica inmediatamente que cualquier conjunto abierto en la recta es, como mucho, una suma contable de intervalos disjuntos. En virtud de las Proposiciones 1 y 2, también es claro que cualquier conjunto dispuesto como se indicó anteriormente es, de hecho, cerrado (abierto).

Como se puede ver en el siguiente ejemplo, los conjuntos cerrados pueden tener una estructura muy compleja.