Muchos factores diferentes que relaciones binarias

(es decir, que tiene las siguientes propiedades: cada elemento del conjunto es equivalente a sí mismo; si X equivalente a y, entonces y equivalente a X; Si X equivalente a y, un y equivalente a z, entonces X equivalente a z ).

Entonces el conjunto de todas las clases de equivalencia se llama conjunto de factores y se denota. La partición de un conjunto en clases de elementos equivalentes se denomina factorización.

Mostrar desde X en el conjunto de clases de equivalencia se llama mapeo de factores.

Ejemplos

Es razonable utilizar la factorización de conjuntos para obtener espacios normados a partir de espacios semi-normados, espacios con producto interior a partir de espacios con producto casi interior, etc. Para ello se introduce la norma de una clase, respectivamente, igual a la norma de un elemento arbitrario de él, y el producto escalar de clases como el producto escalar de elementos arbitrarios de clases. A su vez, la relación de equivalencia se introduce de la siguiente manera (por ejemplo, para formar un espacio de cociente normado): se introduce un subconjunto del espacio semi-normativo original, formado por elementos con semi-norma cero (por cierto, es lineal , es decir, es un subespacio) y se considera que dos elementos son equivalentes si su diferencia pertenece a este mismo subespacio.

Si para la factorización de un espacio lineal se introducen algunos de sus subespacios y se supone que si la diferencia de dos elementos del espacio original pertenece a este subespacio, entonces estos elementos son equivalentes, entonces el conjunto factorial es un espacio lineal y es llamado espacio factorial.

Ejemplos

ver también

Fundación Wikimedia. 2010 .

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Se pueden demostrar los siguientes teoremas.

Teorema 1.4. Una función f tiene una función inversa f -1 si y solo si f es biyectiva.

Teorema 1.5. La composición de funciones biyectivas es una función biyectiva.

Arroz. 1.12 muestran diferentes relaciones, todas menos la primera son funciones.

actitud, pero

inyección, pero

sobreyección, pero

no es una función

no es una sobreyección

no una inyección

Sea f : A→ B una función, y los conjuntos A y B sean conjuntos finitos, sea A = n , B = m . El principio de Dirichlet establece que si n > m, entonces al menos un valor de f ocurre más de una vez. En otras palabras, hay un par de elementos a i ≠ a j , a i , a j A para los cuales f(a i )= f(a j ).

El principio de Dirichlet es fácil de demostrar, por lo que se lo dejamos al lector como un ejercicio trivial. Considere un ejemplo. Que haya más de 12 estudiantes en el grupo. Entonces es obvio que al menos dos de ellos cumplen años en el mismo mes.

§ 7. Relación de equivalencia. Conjunto de factores

Una relación binaria R sobre un conjunto A se llama relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva.

La relación de igualdad sobre el conjunto de los números tiene las propiedades indicadas, por tanto es una relación de equivalencia.

La relación de semejanza de triángulos es obviamente una relación de equivalencia.

La relación de desigualdad no estricta (≤ ) sobre el conjunto de los números reales no será una relación de equivalencia, porque no es simétrica: de 3 ≤ 5 no se sigue que 5 ≤ 3.

Una clase de equivalencia (coset) generada por un elemento a para una relación de equivalencia dada R es el subconjunto de aquellos x A que están en relación R con a. La clase de equivalencia especificada se denota por [a] R, por lo tanto, tenemos:

[a] R = (x A: a, x R).

Considere un ejemplo. Se introduce una relación de semejanza en el conjunto de triángulos. Está claro que todos los triángulos equiláteros caen en una clase lateral, ya que cada uno de ellos es similar, por ejemplo, a un triángulo, cuyos lados tienen la unidad de longitud.

Teorema 1.6. Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A y [a] R una clase lateral, es decir [a] R = (x A: a, x R), entonces:

1) para cualquier a A : [a] R ≠ , en particular, a [a] R ;

2) clases laterales diferentes no se cruzan;

3) la unión de todas las clases laterales coincide con todo el conjunto A;

4) el conjunto de diferentes clases laterales forman una partición del conjunto A.

Prueba. 1) Debido a la reflexividad de R, obtenemos que para cualquier a, a A, tenemos a, a R , por lo tanto a [ a] R y [ a] R ≠ ;

2) supongamos que [a] R ∩ [b] R ≠ , es decir hay un elemento c de A y c [a] R ∩ [b] R . Entonces de (cRa)&(cRb), debido a la simetría de R, obtenemos (aR c)&(cRb), y de la transitividad de R tenemos aRb.

Para cualquier х [а] R tenemos: (хRa)&(аRb) , luego debido a la transitividad de R obtenemos хRb, es decir x[b]R, entonces [a]R[b]R. De manera similar, para cualquier y, y [b] R , tenemos: (уRb)&(аRb) , y debido a la simetría de R obtenemos que (уRb)&(bR а), entonces, debido a la transitividad de R , obtenemos que yR a , es decir año[a]r y

entonces [b] R [a] R . De [a] R [b] R y [b] R [a] R obtenemos [a] R = [b] R, es decir, si las clases laterales se cruzan, entonces coinciden;

3) para cualquier a, a A, como se demuestra, tenemos a [ a] R , entonces es obvio que la unión de todas las clases laterales coincide con el conjunto A.

La afirmación 4) del Teorema 1.6 se sigue de 1)–3). El teorema ha sido probado. Podemos demostrar el siguiente teorema.

Teorema 1.7. Diferentes relaciones de equivalencia sobre un conjunto A generan diferentes particiones de A.

Teorema 1.8. Cada partición del conjunto A genera una relación de equivalencia sobre el conjunto A, y diferentes particiones generan diferentes relaciones de equivalencia.

Prueba. Sea dada una partición В= (B i ) del conjunto A. Definamos la relación R : a,b R si y sólo si existe un B i tal que ayb pertenecen ambos a este B i . Es obvio que la relación introducida es reflexiva, simétrica y transitiva, por lo que R es una relación de equivalencia. Se puede demostrar que si las particiones son diferentes, entonces las relaciones de equivalencia generadas por ellas también son diferentes.

El conjunto de todas las clases laterales de un conjunto A con respecto a una relación de equivalencia dada R se denomina conjunto cociente y se denota por A/R. Los elementos del conjunto factorial son clases laterales. La clase lateral [ a ] R , como saben, consta de elementos A que están en relación entre sí R .

Considere un ejemplo de una relación de equivalencia en el conjunto de números enteros Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).

Dos números enteros a y b se llaman módulo m comparable (congruente) si m es un divisor del número a-b, es decir, si tenemos:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

En este caso, escribe a≡ b(mod m) .

Teorema 1.9. Para cualquier número a , b , c y m>0 tenemos:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) si a ≡ b(mod m), entonces b ≡ a(mod m);

3) si a ≡ b(mod m) y b ≡ c(mod m), entonces a ≡ c(mod m).

Prueba. Las afirmaciones 1) y 2) son obvias. Probemos 3). Sea a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , entonces a=c+(k 1 +k 2 )m , es decir un ≡ c(mod m) . El teorema ha sido probado.

Por lo tanto, la relación de comparabilidad módulo m es una relación de equivalencia y divide el conjunto de números enteros en clases de números que no se superponen.

Construyamos una espiral que se desenrolla infinitamente, que en la Fig. 1.13 se representa con una línea continua, y una espiral infinitamente retorcida, representada con una línea discontinua. Sea dado un entero no negativo m. Colocamos todos los números enteros (elementos del conjunto Z) en los puntos de intersección de estas espirales con m rayos, como se muestra en la Fig. 1.13.

Para la relación de comparabilidad módulo m (en particular, para m = 8) la clase de equivalencia son los números que se encuentran en el rayo. Obviamente, cada número cae en una y sólo una clase. Se puede obtener que para m= 8 tenemos:


[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};

[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

El factor de conjunto de un conjunto Z con respecto al módulo de comparación m se denota como Z/mo como Zm. Para el caso en consideración, m = 8

obtenemos que Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

Teorema 1.10. Para cualquier número entero a, b, a * , b * , k y m :

1) si a ≡ b(mod m), entonces ka ≡ kb(mod m);

2) si a ≡ b(mod m) y a* ≡ b* (mod m), entonces:

a) a + a * ≡ b + b * (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).

Presentamos la prueba para el caso 2b). Sean a ≡ b(mod m) y a * ≡ b * (mod m) , luego a=b+sm y a * =b * +tm para algunos enteros s y t . multiplicando,

obtenemos: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Por lo tanto,

aa* ≡ bb* (mod m).

Por lo tanto, las comparaciones de módulo se pueden sumar y multiplicar término por término, es decir, operan exactamente de la misma manera que con las igualdades. Por ejemplo,

∼ (\ estilo de visualización \ sim). Entonces el conjunto de todas las clases de equivalencia se llama conjunto de factores y se denota. La partición de un conjunto en clases de elementos equivalentes se denomina factorización.

Mostrar desde X (\ estilo de visualización X) en el conjunto de clases de equivalencia X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) llamado mapeo de factores. Debido a las propiedades de la relación de equivalencia, la partición en conjuntos es única. Esto significa que las clases que contienen ∀ x , y ∈ X (\displaystyle \forall x,\;y\in X) no se cortan o coinciden completamente. Para cualquier elemento x ∈ X (\displaystyle x\in X) alguna clase se define de forma única a partir de X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ), en otras palabras, existe un mapeo sobreyectivo de X (\ estilo de visualización X) en X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). La clase que contiene x (\ estilo de visualización x), a veces denotado [ x ] (\ estilo de visualización [x]).

Si el conjunto está provisto de una estructura, a menudo el mapeo X → X / ∼ (\displaystyle X\to X/\!\sim ) se puede utilizar para proporcionar un conjunto de factores X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) la misma estructura, como la topología. En este caso, el conjunto X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) con la estructura inducida se llama espacio cociente.

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✪ 3. Clases de equivalencia

✪ Clase de teoría de conjuntos 3, parte 1

✪ Teoría de conjuntos Clase 3 Parte 2

✪ Teoría de conjuntos Clase 3 Parte 3

subtítulos

Factorizar espacio por subespacio

A menudo, la relación de equivalencia se presenta de la siguiente manera. Permitir X (\ estilo de visualización X)- espacio lineal , y L (\ estilo de visualización L) es un subespacio lineal. Entonces dos elementos x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\in X) tal que x − y ∈ L (\displaystyle x-y\en L), son llamados equivalente. esto se denota x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim ))\,y). El espacio obtenido como resultado de la factorización se llama espacio cociente por subespacio L (\ estilo de visualización L). si un X (\ estilo de visualización X) se expande en una suma directa X = L ⊕ METRO (\displaystyle X=L\oplus M), entonces hay un isomorfismo de M (\ estilo de visualización M) en X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))). si un X (\ estilo de visualización X) es un espacio de dimensión finita, entonces el espacio cociente X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))) también es de dimensión finita y tenue ⁡ X / ∼ L = tenue ⁡ X − tenue ⁡ L (\displaystyle \dim X/\,(\overset (L)(\sim ))=\dim X-\dim L).

Ejemplos

. Podemos considerar el conjunto de factores X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Función f (\ estilo de visualización f) establece una correspondencia uno a uno natural entre X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) y Y (\ estilo de visualización Y).

Sea G=(p 0 =e, p 1 , …, p r ) algún grupo de permutaciones definido en el conjunto X = (1, 2, …, n) con identidad e=p 0 por la permutación idéntica. Definimos la relación x~y haciendo x~y, lo que equivale a decir que existe una p perteneciente a G(p(x)=y). La relación introducida es una relación de equivalencia, es decir, satisface tres axiomas:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

Sea A un conjunto arbitrario.
Definición: Una relación binaria δ=A*A es una relación de equivalencia (denotada a ~ b) si cumplen los siguientes axiomas:
∀ un, segundo, c ∈ UN
1) a ~ a - reflexividad;
2) a ~ b ⇒ b ~ a - conmutatividad;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - transitividad

denotado por a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b

Definición: Una partición de un conjunto A es una familia de subconjuntos separados por pares de A, en unión (en suma) dando todo A.
А= ∪А yo , А yo ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

Los subconjuntos A i se llaman clases laterales de la partición.

Teorema: cada relación de equivalencia definida sobre A corresponde a alguna partición del conjunto A. Cada partición del conjunto A corresponde a alguna relación de equivalencia sobre el conjunto A.

Brevemente: existe una correspondencia uno a uno entre las clases de todas las relaciones de equivalencia definidas en el conjunto A y la clase de todas las particiones del conjunto A.

Prueba: sea σ una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Sea a ∈ A.

Construyamos un conjunto: К a =(x ∈ A,: x~a ) – todos los elementos equivalentes a a. El conjunto (notación) se denomina clase de equivalencia con respecto a la equivalencia σ. Nótese que si b pertenece a K a , entonces b~a. Demostremos que a~b⇔K a =K b . De hecho, sea a~b. Tome un elemento arbitrario que c pertenezca a K a . Entonces c~a, a~b, c~b, c pertenecen a K b y por lo tanto K b pertenece a K a . El hecho de que K a pertenezca a K b se muestra de manera similar. Por lo tanto, Kb =Ka.
Sea ahora K b =K a . Entonces a pertenece a K a = K b , a pertenece a K b , a~b. Que es lo que había que mostrar.

Si 2 clases K a y K b tienen un elemento común c, entonces K a = K b . En efecto, si c pertenece a K a y K b , entonces b~c, c~a, b~a => K a = K b .

Por lo tanto, diferentes clases de equivalencia no se cruzan o se cruzan y luego coinciden. Cada elemento c de A pertenece a una sola clase de equivalencia K c. Por lo tanto, el sistema de clases de equivalencia que no se superponen en la intersección da el conjunto completo A. Y, por lo tanto, este sistema es una partición del conjunto A en clases de equivalencia.

Recíprocamente: Sea A = sum over o sea A i una partición de A. Introduzcamos la relación a~b sobre A, ya que a~b ⇔ a,b pertenecen a la misma clase de partición. Esta relación satisface los siguientes axiomas:

1) a ~ a (están en la misma clase);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, es decir la relación introducida ~ es una relación de equivalencia.

Comentario:
1) la partición del conjunto A en subconjuntos de un elemento y la partición de A, que consta únicamente del conjunto A, se denomina partición trivial (impropia).

2) La división de A en subconjuntos de un elemento corresponde a la relación de equivalencia, que es igualdad.

3) La partición A, que consta de una clase A, corresponde a una relación de equivalencia que contiene A x A.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ — cualquier relación de equivalencia definida en algún conjunto divide este conjunto en clases separadas por pares llamadas clases de equivalencia.

Definición: El conjunto de clases de equivalencia del conjunto A se denomina conjunto factorial A/σ del conjunto A por la equivalencia σ.

Definición: Un mapeo p:A→A/σ tal que p(A)=[a] σ se llama mapeo canónico (natural).

Cualquier relación de equivalencia definida en un conjunto divide este conjunto en clases disjuntas por pares, llamadas clases de equivalencia.

Sea R una relación binaria sobre un conjunto X. La relación R se llama reflexivo , si (x, x) О R para todo x О X; simétrico – si (x, y) О R implica (y, x) О R; el número transitivo 23 corresponde a la variante 24 si (x, y) Î R e (y, z) Î R implican (x, z) Î R.

Ejemplo 1

Diremos que x í X tiene en común con elemento y í X si el conjunto
x Ç y no está vacío. La relación de tener en común será reflexiva y simétrica, pero no transitiva.

Relación de equivalencia en X se llama relación reflexiva, transitiva y simétrica. Es fácil ver que R Í X ´ X será una relación de equivalencia si y sólo si se dan las inclusiones:

Id X Í R (reflexividad),

R -1 Í R (simetría),

R° R Í R (transitividad).

De hecho, estas tres condiciones son equivalentes a las siguientes:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

terrible el conjunto X es un conjunto A de subconjuntos disjuntos a pares a í X tales que UA = X. Con cada partición de A, podemos asociar una relación de equivalencia ~ en X estableciendo x ~ y si x e y son elementos de algún a í A .

A cada relación de equivalencia ~ sobre X le corresponde una partición A, cuyos elementos son subconjuntos, cada uno de los cuales consta de los de la relación ~. Estos subconjuntos se denominan clases de equivalencia . Esta partición A se denomina conjunto factorial del conjunto X con respecto a ~ y se denota: X/~.

Definamos la relación ~ sobre el conjunto w de números naturales haciendo x ~ y si los residuos de dividir x e y por 3 son iguales. Entonces w/~ consta de tres clases de equivalencia correspondientes a los residuos 0, 1 y 2.

relación de orden

Una relación binaria R en un conjunto X se llama antisimétrico , si de x R y y y R x se sigue: x = y. Una relación binaria R en un conjunto X se llama relación de orden , si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Es fácil ver que esto es equivalente a las siguientes condiciones:

1) Id X Í R (reflexividad),

2) R Ç R -1 (antisimetría),

3) R° R Í R (transitividad).

Un par ordenado (X, R) que consta de un conjunto X y una relación de orden R en X se llama conjunto parcialmente ordenado .

Ejemplo 1

Sea X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Dado que R satisface las condiciones 1–3, entonces (X, R) es un conjunto parcialmente ordenado. Para los elementos x = 2, y = 3, ni x R y ni y R x son verdaderos. Tales elementos se denominan incomparable . Por lo general, la relación de orden se denota por £. En el ejemplo anterior, 0 £ 1 y 2 £ 2, pero no es cierto que 2 £ 3.

Ejemplo 2

Permitir< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Los elementos x, y О X de un conjunto parcialmente ordenado (X, £) se denominan comparable , si x £ y o y £ x.

El conjunto parcialmente ordenado (X, £) se llama ordenado linealmente o cadena si dos de sus elementos son comparables. El conjunto del Ejemplo 2 se ordenará linealmente, pero el conjunto del Ejemplo 1 no.

Un subconjunto A Í X de un conjunto parcialmente ordenado (X, £) se llama delimitado desde arriba , si existe un elemento x í X tal que a £ x para todo a í A. Un elemento x í X se llama mayor en X si y £ x para todo y О X. Un elemento x О X se llama maximal si no hay elementos y О X diferentes de x para los cuales x £ y. En el ejemplo 1, los elementos 2 y 3 serán los máximos, pero no los más grandes. Él restricción inferior subconjuntos, elementos mínimos y mínimos. En el ejemplo 1, el elemento 0 sería tanto el menor como el mínimo. En el ejemplo 2, 0 también tiene estas propiedades, pero (w, t) no tiene ni el elemento mayor ni el máximo.