materia teorica. §6 Derivadas parciales de funciones complejas de varias variables Solución de derivadas parciales complejas

1°. Caso de una variable independiente. Si z=f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que a su vez son funciones diferenciables de la variable independiente t: , entonces la derivada de la función compleja se puede calcular con la formula

Ejemplo. Encuentra si, dónde.

Decisión. De acuerdo con la fórmula (1) tenemos:

Ejemplo. Encuentre la derivada parcial y la derivada total si .

Decisión. .

Con base en la fórmula (2), obtenemos .

2°. El caso de varias variables independientes.

Permitir z=F(X;y)- función de dos variables X y y, cada uno de los cuales es una función de la variable independiente t : x =X (t ), y =y (t). En este caso, la función z=F(X (t);y (t)) es una función compleja de una variable independiente t; Variables xey son variables intermedias.

Teorema. si un z == F(X; y) - diferenciable en un punto M(x; y)D función y x =X (t) y en =y (t) - funciones diferenciables de la variable independiente yo, entonces la derivada de la función compleja z(t) == F(X (t);y (t)) calculado por la fórmula

Caso especial:z = F(X; y), donde y = y(x), aquellas. z= F(X;y (X)) - función compleja de una variable independiente X. Este caso se reduce al anterior, y el papel de la variable t obras de teatro X. De acuerdo con la fórmula (3) tenemos:

.

La última fórmula se llama fórmulas para la derivada total.

Caso general:z = F(X;y ), donde x =X (tu;v ),y=y (tu;v ). Entonces z = F(X (tu;v);y (tu;v))- función compleja de variables independientes y y v. Sus derivados parciales y se pueden encontrar usando la fórmula (3) de la siguiente manera. Fijación v, reemplazamos en él con las derivadas parciales correspondientes

Entonces la derivada de la función compuesta (z) con respecto a cada variable independiente (y y v) es igual a la suma de productos de derivadas parciales de esta función (z) con respecto a sus variables intermedias (X y Y) a sus derivadas con respecto a la correspondiente variable independiente (u y v).

En todos los casos considerados, la fórmula

(propiedad de invariancia del diferencial total).

Ejemplo. Encuentre y si z = F(x ,y ), donde x = uv , .

Decisión. Aplicando las fórmulas (4) y (5), obtenemos:

Ejemplo. Demostrar que la función satisface la ecuación .

Decisión. La función depende de x e y a través de un argumento intermedio, por lo que

Sustituyendo las derivadas parciales en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos:

Es decir, la función z satisface la ecuación dada.

Derivada en una dirección dada y gradiente de una función

1°. Derivada de una función en una dirección dada. derivado funciones z= F(x,y) en esta dirección llamado , donde y son los valores de la función en los puntos y . Si la función z es diferenciable, entonces la fórmula

donde estan los angulos entre la direccion yo y ejes de coordenadas correspondientes. La derivada en una dirección dada caracteriza la tasa de cambio de la función en esta dirección.

Ejemplo. Encuentre la derivada de la función z \u003d 2x 2 - Zu 2 en el punto P (1; 0) en la dirección que forma un ángulo de 120 ° con el eje OX.

Decisión. Encontremos las derivadas parciales de esta función y sus valores en el punto P.

Ejemplo. Encuentra si, dónde.

Decisión. De acuerdo con la fórmula (1) tenemos:

Ejemplo. Encuentre la derivada parcial y la derivada total si .

Decisión. .

Con base en la fórmula (2), obtenemos .

2°. El caso de varias variables independientes.

Permitir z = f(x;y) - función de dos variables X y y, cada una de las cuales es una función

variable independiente t: x = x(t), y = y(t). En este caso, la función z=f(x(t);y(t)) es un

función compleja de una variable independiente t; Variables xey son variables intermedias.

Teorema. si un z == F(X; y) - diferenciable en un punto M(x; y) D función

y x = x(t) y en =y(t)- funciones diferenciables de la variable independiente yo,

entonces la derivada de la función compleja z(t) == F(x(t);y(t)) calculado por la fórmula

(3)

Caso especial: z = f(x; y), donde y = y(x), aquellas. z= f(x;y(x)) - función compleja de

variable independiente X. Este caso se reduce al anterior, y el papel de la variable

t obras de teatro X. De acuerdo con la fórmula (3) tenemos:

.

La última fórmula se llama fórmulas para la derivada total.

Caso general: z = f(x;y), donde x = x(u;v), y=y(u;v). Entonces z = f(x(u;v);y(u;v)) - complejo

función de variables independientes y y v. Sus derivadas parciales se pueden encontrar

usando la fórmula (3) como sigue. Fijación v, reemplazar en él

derivadas parciales correspondientes

Entonces la derivada de la función compuesta (z) con respecto a cada variable independiente (y y v)

es igual a la suma de productos de derivadas parciales de esta función (z) con respecto a su intermedia

Variables (X y Y) a sus derivadas con respecto a la correspondiente variable independiente (u y v).

En todos los casos considerados, la fórmula

(propiedad de invariancia del diferencial total).

Ejemplo. Hallar y si z= F(x,y), donde x=uv, .

§ 5. Derivadas parciales de funciones complejas. diferenciales de funciones complejas

1. Derivadas parciales de una función compleja.

Sea una función de dos variables cuyos argumentos y , son funciones de dos o más variables. Por ejemplo, deja
,
.

Entonces será función compleja variables independientes y , variables y será para ello variables intermedias. En este caso, ¿cómo encontrar las derivadas parciales de una función con respecto a y ?

Uno puede, por supuesto, expresar directamente en términos de y:

y busque las derivadas parciales de la función resultante. Pero la expresión puede ser muy complicada y encontrar derivadas parciales , entonces requeriría mucho esfuerzo.

si funciones
,
,
son diferenciables, luego encuentra y se puede hacer sin recurrir a una expresión directa a través de y . En este caso, las fórmulas serán válidas.

(5.1)

De hecho, damos el argumento incremento
, – const. Entonces las funciones
y recibirá incrementos

y la función se incrementará

donde , son infinitamente pequeños en
,
. Divide todos los términos de la última igualdad entre . Obtenemos:

Dado que las funciones y son derivables por suposición, son continuas. Por lo tanto, si
, entonces y . Entonces, pasando la última igualdad al límite en obtenemos:

(ya que , son infinitesimales para , ).

La segunda igualdad en (5.1) se demuestra de manera similar.

EJEMPLO. Permitir
, donde
,
. Entonces es una función compleja de variables independientes y . Para encontrar sus derivadas parciales, usamos la fórmula (5.1). Tenemos

Sustituyendo en (5.1), obtenemos

,

Las fórmulas (5.1) se generalizan naturalmente al caso de una función de un mayor número de argumentos independientes e intermedios. Es decir, si

………………………

y todas las funciones consideradas son diferenciables, entonces para cualquier
hay una igualdad

También es posible que los argumentos de la función sean funciones de una sola variable, es decir

,
.

Entonces será una función compleja de una sola variable y se puede plantear la cuestión de encontrar la derivada . Si las funciones
,
son diferenciables, entonces se puede encontrar mediante la fórmula
(5.2)

EJEMPLO. Permitir
, donde
,
. Aquí hay una función compleja de una variable independiente. Usando la fórmula (5.2), obtenemos

.

Y, finalmente, el caso es posible cuando el papel de la variable independiente lo juega , es decir ,

donde
.

De la fórmula (5.2) obtenemos entonces

(5.3)

(como
). Derivado , de pie en la fórmula (5.3) a la derecha está la derivada parcial de la función con respecto a . Se calcula con un valor fijo de . Derivado en el lado izquierdo de la fórmula (5.3) se llama derivada total de la función . A la hora de calcularlo se tiene en cuenta que depende de dos formas: directamente y a través del segundo argumento.

EJEMPLO. Encontrar y para la función
, donde
.

Tenemos
.

Para encontrar, usamos la fórmula (5.3). Conseguir

.

Y para concluir esta subsección, notemos que las fórmulas (5.2) y (5.3) se pueden generalizar fácilmente al caso de funciones con una gran cantidad de argumentos intermedios.

2. Diferencial de una función compleja.

Recuerda que si

es una función diferenciable de dos variables independientes, entonces por definición

, (5.4)

o en otra forma
. (5.5)

La ventaja de la fórmula (5.5) es que sigue siendo verdadera incluso cuando es una función compleja.

De hecho, vamos , donde , . Supongamos que las funciones , , son diferenciables. Entonces la función compleja también será diferenciable y su diferencial total por la fórmula (5.5) será igual a

.

Aplicando la fórmula (5.1) para calcular las derivadas parciales de una función compleja, obtenemos

Como las diferenciales totales de las funciones y están entre paréntesis, finalmente tenemos

Entonces, hemos visto que tanto en el caso en que y son variables independientes como en el caso en que y son variables dependientes, la función diferencial se puede escribir en la forma (5.5). En este sentido, esta forma de escribir el diferencial total se llama invariante . La forma de escribir la diferencial propuesta en (5.4) no será invariante, solo se puede usar cuando y son variables independientes. La forma de escribir el diferencial tampoco será invariante -th orden. Recuerde que mostramos anteriormente que el diferencial de orden Las funciones de dos variables se pueden encontrar mediante la fórmula

. (4.12)

Pero si y no son variables independientes, entonces la fórmula (4.12) para
deja de ser verdad.

Es obvio que todos los argumentos realizados en este apartado para una función de dos variables pueden repetirse en el caso de una función con más argumentos. Por lo tanto, para una función, el diferencial también se puede escribir de dos formas:

donde la segunda notación será invariante, es decir justo incluso si
no son variables independientes, sino argumentos intermedios.

§ 6. Diferenciación de funciones implícitas

Hablando de los métodos para definir una función de una y varias variables, notamos que la definición analítica de una función puede ser explícita o implícita. En el primer caso, el valor de la función se encuentra a partir de los valores conocidos de los argumentos; en el segundo, el valor de la función y sus argumentos están relacionados por alguna ecuación. Sin embargo, no especificamos cuando las ecuaciones

y

definir funciones implícitamente definidas y respectivamente. Condiciones suficientes convenientes para la existencia de una función implícita Variables (
) están contenidas en el siguiente teorema.

TEOREMA6.1 . (la existencia de una función implícita) Sea la función
y sus derivadas parciales
son definidas y continuas en alguna vecindad del punto. si un
y
, entonces existe tal vecindario el punto en el que la ecuación

define una función continua y

1) Considere la ecuación
. Las condiciones del teorema se cumplen, por ejemplo, en cualquier vecindad del punto
. Por lo tanto, en alguna vecindad del punto
esta ecuación se define como una función implícita de dos variables y . Una expresión explícita para esta función es fácil de obtener resolviendo la ecuación para:

2) Considere la ecuación
. Define dos funciones de dos variables y . De hecho, las condiciones del teorema se cumplen, por ejemplo, en cualquier vecindad del punto

, en la que la ecuación dada define una función continua que toma el valor en el punto
.

Por otra parte, las condiciones del teorema se cumplen en cualquier vecindad del punto
. Por lo tanto, en alguna vecindad del punto, la ecuación define una función continua que toma el valor en el punto
.

Dado que una función no puede tomar dos valores en un punto, significa que aquí estamos hablando de dos funciones diferentes.
y correspondientemente. Encontremos sus expresiones explícitas. Para ello, resolvemos la ecuación original con respecto a . Conseguir

3) Considere la ecuación
. Obviamente, las condiciones del teorema se cumplen en cualquier vecindad del punto
. Por lo tanto, existe tal vecindad del punto
, en la que la ecuación se define como una función implícita de la variable . Es imposible obtener una expresión explícita para esta función, ya que la ecuación no se puede resolver con respecto a .

4) Ecuación
no define ninguna función implícita, ya que no existen tales pares de números reales y que la satisfagan.

Función
, dada por la ecuación
, según el Teorema 6.1, tiene derivadas parciales continuas con respecto a todos los argumentos en una vecindad del punto. Veamos cómo puede encontrarlos sin tener una especificación de función explícita.

Deja que la función
satisface las condiciones del teorema 6.1. Entonces la ecuación
función continua
. Considere una función compleja
, donde . La función es una función compleja de una variable, y si
, entonces

(6.1)

Por otra parte, según la fórmula (5.3), para calcular la derivada total
(6.2)

De (6.1) y (6.2) se obtiene que si , entonces

(6.3)

Comentario. Dividido por es posible, ya que de acuerdo con el Teorema 6.1
en cualquier punto del barrio.

EJEMPLO. Encuentre la derivada de la función implícita dada por la ecuación y calcule su valor en
.

,
.

Sustituyendo las derivadas parciales en la fórmula (6.3), obtenemos

.

Además, sustituyendo en la ecuación original, encontramos dos valores:
y
.

Por tanto, en la vecindad de un punto, la ecuación define dos funciones:
y
, donde
,
. Sus derivadas en serán iguales

y
.

Ahora deja la ecuación
define en alguna vecindad del punto
función . Encontremos . Recuérdese que, de hecho, esta es la derivada ordinaria de una función considerada como función de una variable en un valor constante de . Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula (6.3) para encontrarlo, considerándolo una función, - un argumento, - una constante. Conseguir

. (6.4)

De manera similar, considerando una función, - un argumento, - una constante, según la fórmula (6.3) encontramos

. (6.5)

EJEMPLO. Encuentra las derivadas parciales de la función dada por la ecuación
.

,
,
.

Usando las fórmulas (6.4) y (6.5), obtenemos

,
.

Finalmente, considere el caso general donde la ecuación

define una función de variables en alguna vecindad del punto. Repitiendo el razonamiento realizado para una función implícitamente dada de dos variables, obtenemos

,
, …,
.

§ 7. Derivada direccional

1. Derivada direccional.

Sea una función de dos variables definida en algún dominio
avión
, es el punto del área , es un vector en cualquier dirección. Vamos desde el punto
a un punto en la dirección del vector . A continuación, la función se incrementará.

Dividimos el incremento de la función
por la longitud del segmento desplazado
. Proporción recibida
da la tasa de cambio promedio de la función en la gráfica
. Entonces el límite de esta relación en
(si existe y es finito) será la tasa de cambio de la función en el punto
en la dirección del vector. Él ha llamado derivada de una función en un punto en la dirección del vector y denota
o
.

Además del valor de la tasa de cambio de la función, también te permite determinar la naturaleza del cambio en la función en un punto en la dirección del vector (ascendente o descendente):

Estas afirmaciones se prueban de la misma manera que afirmaciones similares para una función de una variable.

Tenga en cuenta que las derivadas parciales de una función son un caso especial de la derivada direccional. A saber,
es la derivada de la función con respecto a la dirección del vector (dirección del eje
), es la derivada de la función con respecto a la dirección del vector (dirección del eje
).

Suponga que la función es derivable en el punto . Entonces

donde es infinitamente pequeño en
.

) ya hemos encontrado repetidamente derivadas parciales de funciones complejas como y ejemplos más difíciles. Entonces, ¿qué más puedes decir? … Y todo es como en la vida: no existe tal complejidad que no pueda ser complicada =) Pero las matemáticas son para lo que son las matemáticas, para encajar la diversidad de nuestro mundo en marcos estrictos. Y a veces se puede hacer con una sola frase:

En general, la función compleja tiene la forma , donde, al menos uno de letras es función, que puede depender de arbitrario el número de variables.

La versión más pequeña y simple es la conocida función compleja de una variable, cuya derivada aprendimos a encontrar el semestre pasado. También tienes las habilidades para diferenciar funciones. (eche un vistazo a las mismas características ) .

Por lo tanto, ahora nos interesará solo el caso. Debido a la gran variedad de funciones complejas, las fórmulas generales de sus derivados son muy engorrosas y poco digeribles. En este sentido, me limitaré a ejemplos específicos a partir de los cuales puedes entender el principio general de encontrar estos derivados:

Ejemplo 1

Dada una función compleja, donde . Requerido:
1) encuentre su derivada y anote el diferencial total de 1er orden;
2) calcular el valor de la derivada en .

Decisión: Primero, tratemos la función en sí. Se nos ofrece una función dependiente de y , que a su vez son funciones una variable:

En segundo lugar, prestemos mucha atención a la tarea en sí: debemos encontrar derivado, es decir, ¡no estamos hablando de derivadas parciales en absoluto, que estamos acostumbrados a encontrar! Dado que la función realmente depende de una sola variable, entonces la palabra "derivado" significa derivada total. ¿Cómo encontrarlo?

Lo primero que viene a la mente es la sustitución directa y la posterior diferenciación. Sustituto en una función:
, después de lo cual no hay problemas con la derivada deseada:

Y, en consecuencia, el diferencial total:

Esta solución es matemáticamente correcta, pero un pequeño matiz es que cuando el problema se formula de la forma en que se formula, nadie espera tal barbarie de tu parte =) Pero en serio, realmente puedes encontrar fallas aquí. Imagina que la función describe el vuelo de un abejorro, y las funciones anidadas cambian según la temperatura. Realización de sustitución directa , solo obtenemos información privada, que caracteriza el vuelo, digamos, solo en climas cálidos. Además, si a una persona que no está versada en abejorros se le presenta un resultado final e incluso se le dice qué tipo de función es, ¡entonces no aprenderá nada sobre la ley fundamental del vuelo!

Y así, inesperadamente, nuestro hermano zumbido ayudó a darse cuenta del significado y la importancia de la fórmula universal:

Acostúmbrese a la notación de "dos pisos" de los derivados: en la tarea en cuestión, son ellos los que están en uso. Al mismo tiempo, debe ser muy aseado en el expediente: los derivados con signos directos "de" son derivados totales, y los derivados con signos redondeados son Derivadas parciales. Comencemos con este último:

Bueno, con las "colas" en general, todo es elemental:

Sustituimos las derivadas encontradas en nuestra fórmula:

Cuando inicialmente se propone una función de forma enrevesada, será lógico (¡y explicado arriba!) dejar los resultados como estan:

Al mismo tiempo, en respuestas "elegantes", es mejor abstenerse incluso de simplificaciones mínimas. (aquí, por ejemplo, pide eliminar 3 menos)- y tienes menos trabajo que hacer, y tu amigo peludo está feliz de revisar la tarea más fácilmente.

Sin embargo, un control aproximado no será superfluo. Sustituto en la derivada encontrada y realizar simplificaciones:


(en el último paso usamos fórmulas trigonométricas , )

Como resultado, se obtuvo el mismo resultado que con el método de solución "bárbaro".

Calculemos la derivada en el punto . En primer lugar, es conveniente averiguar los valores de "tránsito" (valores de función ) :

Ahora elaboramos los cálculos finales, que en este caso se pueden realizar de diferentes maneras. Utilizo una técnica interesante en la que se simplifican 3 y 4 "pisos" no según reglas usuales, y se convierten como cociente de dos números:

Y, por supuesto, es un pecado no verificar usando una notación más compacta :

Responder:

Sucede que la tarea se propone en forma "semigeneral":

"Encuentra la derivada de la función , donde »

Es decir, no se da la función "principal", pero sus "insertos" son bastante específicos. La respuesta se debe dar en el mismo estilo:

Además, la condición se puede cifrar ligeramente:

"Encontrar la derivada de una función »

En este caso, necesita por propia cuenta denota funciones anidadas con algunas letras adecuadas, por ejemplo, a través de y usa la misma fórmula:

Por cierto, sobre las designaciones de letras. He instado repetidamente a no “aferrarse a las letras” como un salvavidas, ¡y ahora esto es especialmente cierto! Al analizar varias fuentes sobre el tema, en general tuve la impresión de que los autores "hicieron todo lo posible" y comenzaron a arrojar a los estudiantes sin piedad al tormentoso abismo de las matemáticas =) Así que perdóname :))

Ejemplo 2

Encontrar la derivada de una función , Si

¡Otras denominaciones no deben inducir a confusión! Cada vez que te encuentres con una tarea como esta, debes responder dos preguntas simples:

1) ¿De qué depende la función “principal”? En este caso, la función "z" depende de dos funciones ("y" y "ve").

2) ¿De qué variables dependen las funciones anidadas? En este caso, ambos "insertos" dependen únicamente de "x".

Por lo tanto, ¡no debería tener dificultad en adaptar la fórmula a esta tarea!

Solución corta y respuesta al final de la lección.

Ejemplos adicionales del primer tipo se pueden encontrar en libro de problemas Ryabushko (IDZ 10.1), bueno, nos dirigimos hacia función de tres variables :

Ejemplo 3

Dada una función donde .
Calcular la derivada en un punto

La fórmula para la derivada de una función compleja, como mucha gente supone, tiene una forma relacionada:

Decide si lo has adivinado =)

Por si acaso, daré la fórmula general para la función:
, aunque en la práctica es poco probable que vea algo más largo que el Ejemplo 3.

Además, a veces es necesario diferenciar una versión "truncada" - por regla general, una función de la forma tampoco. Dejo esta pregunta para que la estudie por su cuenta: proponga algunos ejemplos simples, piense, experimente y obtenga fórmulas abreviadas para derivadas.

Si hay algo que no entiende, tómese su tiempo para releer y comprender la primera parte de la lección, porque ahora la tarea se volverá más difícil:

Ejemplo 4

Hallar las derivadas parciales de una función compleja, donde

Decisión: esta función tiene la forma , y después de la sustitución directa y obtenemos la función habitual de dos variables:

Pero tal miedo no es algo que no se acepte, pero uno no quiere ni siquiera diferenciar =) Por lo tanto, usaremos fórmulas preparadas. Para que pueda captar rápidamente el patrón, tomaré algunas notas:

Fíjate bien en la imagen de arriba a abajo y de izquierda a derecha....

Primero, encontremos las derivadas parciales de la función "principal":

Ahora encontramos las derivadas "X" de los "insertos":

y escribe la derivada "X" final:

Del mismo modo con el "juego":

y

Puede adherirse a otro estilo: encuentre inmediatamente todas las "colas" y luego escribe ambas derivadas.

Responder:

Acerca de la sustitución de alguna manera no creo en absoluto =) =), pero puedes peinar un poco los resultados. Pero de nuevo, ¿por qué? - Solo haz que sea más difícil para el maestro verificar.

Si es necesario, entonces diferencial total aquí está escrito de acuerdo con la fórmula habitual y, por cierto, solo en este paso, los cosméticos ligeros se vuelven apropiados:


Esto es... .... un ataúd con ruedas.

En vista de la popularidad de la variedad considerada de una función compleja, un par de tareas para una solución independiente. Un ejemplo más simple en una forma "semi-general" - para entender la fórmula en sí ;-):

Ejemplo 5

Encuentre las derivadas parciales de la función , donde

Y más difícil - con la conexión de técnicas de diferenciación:

Ejemplo 6

Hallar la diferencial completa de una función , donde

No, no estoy tratando de "enviarte al fondo" en absoluto: todos los ejemplos están tomados de un trabajo real, y "en alta mar" puedes encontrar las letras que quieras. En cualquier caso, es necesario analizar la función. (habiendo respondido 2 preguntas - ver arriba), preséntelo en forma general y modifique cuidadosamente las fórmulas de derivadas parciales. Puede que ahora esté un poco confundido, ¡pero comprenderá el principio mismo de su diseño! Porque el verdadero trabajo apenas comienza :)

Ejemplo 7

Encuentra derivadas parciales y compone el diferencial total de una función compleja
, donde

Decisión: la función "principal" tiene la forma y aún depende de dos variables: "x" e "y". Pero en comparación con el Ejemplo 4, se ha agregado una función anidada más y, por lo tanto, las fórmulas de derivadas parciales también se alargan. Como en ese ejemplo, para una mejor visión del patrón, resaltaré las derivadas parciales "principales" en diferentes colores:

Y nuevamente: estudie cuidadosamente el registro de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

Dado que el problema está formulado en una forma "semigeneral", todo nuestro trabajo se limita esencialmente a encontrar derivadas parciales de funciones anidadas:

Un niño de primer grado hará:

E incluso el diferencial completo resultó ser bastante agradable:

Deliberadamente no le ofrecí ninguna función específica, para que los montones innecesarios no interfieran con una buena comprensión del concepto del problema.

Responder:

Muy a menudo puede encontrar inversiones "varias", por ejemplo:

Aquí, la función "principal", aunque tiene la forma , todavía depende tanto de "x" como de "y". Por lo tanto, funcionan las mismas fórmulas: solo algunas derivadas parciales serán iguales a cero. Además, esto también es cierto para funciones como , en el que cada "inserción" depende de alguna variable.

Una situación similar ocurre en los dos ejemplos finales de la lección:

Ejemplo 8

Encuentra la diferencial total de una función compuesta en un punto

Decisión: la condición está formulada en forma de "presupuesto", y debemos designar las funciones anidadas nosotros mismos. Creo que es una buena elección:

En los "insertos" hay ( ¡ATENCIÓN!) TRES letras son las viejas "x-y-z", lo que significa que la función "principal" en realidad depende de tres variables. Se puede reescribir formalmente como , y las derivadas parciales en este caso se definen mediante las siguientes fórmulas:

Escaneamos, ahondamos, atrapamos....

En nuestra tarea: