sistema de Lorenz. Atractor de Lorentz

Los atractores extraños caóticos corresponden al comportamiento impredecible de sistemas que no tienen una dinámica estrictamente periódica, esta es una imagen matemática de procesos deterministas no periódicos. Los atractores extraños están estructurados y pueden tener configuraciones muy complejas e inusuales en el espacio tridimensional.

Arroz. uno.

y retratos de fase (fila inferior) para tres sistemas diferentes

(Gleik, 2001)

Aunque en los trabajos de algunos matemáticos se establecía previamente la posibilidad de la existencia de atractores extraños, por primera vez se llevó a cabo la construcción de un atractor extraño (Fig. 2) como solución a un sistema de ecuaciones diferenciales en un trabajo sobre modelado por computadora de termoconvección y turbulencia en la atmósfera por el meteorólogo estadounidense E. Lorentz (E. Lorentz, 1963) . El estado final del sistema de Lorentz es extremadamente sensible al estado inicial. El término "atractor extraño" apareció más tarde, en el trabajo de D. Ruelle y F. Takens (D. Ruelle, F. Takens, 1971: ver Ruelle, 2001) sobre la naturaleza de la turbulencia en un fluido; los autores notaron que la dimensión de un atractor extraño es diferente de la habitual, o topológica.Más tarde, B. Mandelbrot identificó atractores extraños, cuyas trayectorias, durante los cálculos secuenciales por computadora, se estratifican infinitamente, se dividen con fractales.

Arroz. 2. (Trayectorias caóticas en el sistema de Lorentz). Atractor de Lorenz (Kronover, 2000)

Lorenz (1963) descubrió que incluso un sistema simple de tres ecuaciones diferenciales no lineales puede conducir a trayectorias caóticas.-segundos armónicos:

donde s, r y b son algunos números positivos, parámetros del sistema. Habitualmente los estudios del sistema de Lorenz se realizan a s =10, r =28 yb =8/3 (valores de los parámetros).

Así, los sistemas cuyo comportamiento está determinado por reglas que no incluyen la aleatoriedad muestran imprevisibilidad en el tiempo debido al crecimiento, amplificación, amplificación de pequeñas incertidumbres, fluctuaciones. Una imagen visual de un sistema con incertidumbre creciente es el llamado billar de Ya.G. Sinaí: una secuencia suficientemente grande de colisiones de bolas conduce inevitablemente a un aumento de las pequeñas desviaciones de las trayectorias calculadas (debido a la superficie esférica no ideal de las bolas reales, la superficie uniforme no ideal de la tela) y la imprevisibilidad del sistema. comportamiento.

En tales sistemas, "la aleatoriedad se crea de la misma manera que se mezcla la masa o se barajan las cartas" (Crutchfield et al., 1987). La llamada "transformación del panadero" con sucesivos estiramientos y plegados, plegados sin fin, es uno de los modelos para el surgimiento de la transición del orden al caos; en este caso, el número de transformaciones puede servir como medida del caos. Está el Atractor de Aizawa, que es un caso especial del atractor de Lorenz.

donde a = 0,95, B = 0,7, c = 0,6, d = 3,5, e = 0,25, F = 0,1. Cada coordenada anterior se ingresa en las ecuaciones, el valor resultante se multiplica por los valores de tiempo.

Ejemplos de otros atractores extraños

Atractor WangSun

Aquí a, b, d, e?R, c> 0 y f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

Atractor de Rössler

Donde a,b,c= constantes positivas. Con valores de parámetro a=b=0.2 y

resumen

Por disciplina: Matemáticas

„ Atractor de Lorentz“

Atractor de Lorentz

solución del sistema enr =0,3

solución del sistema enr =1,8

solución del sistema enr =3,7

solución del sistema enr =10

solución del sistema enr =16

solución del sistema enr =24,06

solución del sistema enr =28 — de hecho, este es el atractor de Lorentz

solución del sistema enr =100 - el modo de auto-oscilaciones en el sistema es visible

Atractor de Lorentz (De inglés.para atraer - atraer) es un conjunto invariante en un liso tridimensional, que tiene una cierta estructura topológica compleja y es asintóticamente estable, él y todas las trayectorias de algún vecindario tiende a en (de ahí el nombre).

El atractor de Lorentz se encontró en experimentos numéricos que investigaban el comportamiento de las trayectorias de un sistema no lineal:

con los siguientes valores de parámetro: σ=10,r =28, b =8/3. Este sistema se introdujo por primera vez como el primero no trivial para el problema del agua de mar en una capa plana, lo que motivó la elección de los valores de σ,r yb , pero también surge en otras cuestiones y modelos físicos:

convección en circuito cerrado;

rotación de la rueda hidráulica;

modelo monomodo;

disipativo con no linealidad inercial.

Sistema hidrodinámico inicial de ecuaciones:

donde - velocidad de flujo, - temperatura del líquido, - temperatura del límite superior (en el inferior, ), - densidad, - presión, - gravedad, - respectivamente, y cinemática.

En el problema de la convección, el modelo surge cuando la velocidad del flujo y la temperatura se descomponen en dos dimensiones y sus posteriores "cortes" hasta los armónicos primero-segundo. Además, el sistema completo de ecuaciones dado está escrito en . El recorte de las filas está justificado hasta cierto punto, ya que Soltsman en su trabajo demostró la ausencia de características interesantes en el comportamiento de la mayoría de los armónicos.

Aplicabilidad y conformidad con la realidad

Designemos el significado físico de las variables y parámetros en el sistema de ecuaciones en relación con los problemas mencionados.

Convección en una capa plana. AquíX responsable de la velocidad de rotación de los ejes de agua,y yz - para la distribución de la temperatura horizontal y verticalmente,r - normalizado , σ - (la relación entre el coeficiente cinemático y el coeficiente ),b contiene información sobre la geometría de la celda convectiva.

Convección en circuito cerrado. AquíX - velocidad de flujo,y - desviación de la temperatura del promedio en un punto a 90 ° del punto inferior del bucle,z - Lo mismo, pero en el punto inferior. El calor se suministra en el punto más bajo.

Rotación de la rueda de agua. Se considera el problema de una rueda en cuyo borde se fijan cestas con agujeros en el fondo. parte superior de la ruedasimétricamente una corriente continua de agua fluye alrededor del eje de rotación. La tarea es equivalente a la anterior, invertida, con la sustitución de la temperatura por la densidad de distribución de la masa de agua en los cestos a lo largo del borde.

láser monomodo. AquíX - la amplitud de las ondas en el láser,y - , z - inversión de la población,b y σ son las relaciones entre los coeficientes de inversión y de campo y el coeficiente de relajación de polarización,r - intensidad.

Vale la pena señalar que, aplicado al problema de la convección, el modelo de Lorentz es una aproximación muy aproximada, muy alejada de la realidad. Existe una correspondencia más o menos adecuada en la región de los regímenes regulares, donde las soluciones estables reflejan cualitativamente la imagen observada experimentalmente de rodillos convectivos que giran uniformemente (). El régimen caótico inherente al modelo no describe la convección turbulenta debido al importante recorte de la serie trigonométrica original.

De interés es la precisión significativamente mayor del modelo con algunas de sus modificaciones, que se utiliza, en particular, para describir la convección en una capa sujeta a vibración en la dirección vertical o a efectos térmicos variables. Tales cambios en las condiciones externas conducen a la modulación de los coeficientes en las ecuaciones. En este caso, los componentes de temperatura y velocidad de Fourier de alta frecuencia se suprimen significativamente, mejorando la concordancia entre el modelo de Lorentz y el sistema real.

Cabe destacar la suerte de Lorenz al elegir el valor del parámetro , ya que el sistema viene a solo para valores mayores a 24.74, para valores menores el comportamiento es completamente diferente.

Comportamiento de la solución del sistema

Consideremos cambios en el comportamiento de la solución al sistema de Lorentz para diferentes valores del parámetro r. Las ilustraciones del artículo muestran los resultados de la simulación numérica para puntos con coordenadas iniciales (10,10,10) y (-10,-10,10). El modelado se llevó a cabo usando el programa a continuación, escrito en el lenguaje, trazando de acuerdo con las tablas resultantes, debido a las débiles capacidades gráficas de Fortran usando Compaq Array Viewer.

r <1 - el origen de coordenadas es el atractor, no hay otros puntos estables.

1< r <13,927 - las trayectorias se acercan en espiral (esto corresponde a la presencia de oscilaciones amortiguadas) a dos puntos, cuya posición está determinada por las fórmulas:

Estos puntos determinan los estados del régimen de convección estacionario, cuando se forma en la capa una estructura de rollos de fluido giratorios.

r ≈13,927 - si la trayectoria sale del origen, luego de haber hecho una revolución completa alrededor de uno de los puntos estables, volverá al punto de partida - surgen dos bucles homoclínicos. conceptotrayectoria homoclínica significa que sale y llega a la misma posición de equilibrio.

r >13,927 - Dependiendo de la dirección, la trayectoria llega a uno de dos puntos estables. Los bucles homoclínicos se regeneran en ciclos límite inestables, y también surge una familia de trayectorias complejamente dispuestas, que no es un atractor, sino que, por el contrario, repele las trayectorias de sí mismo. A veces, por analogía, esta estructura se denomina "repelente extraño" (ing.repeler - repeler).

r ≈24,06 - las trayectorias ya no conducen a puntos estables, sino que se acercan asintóticamente a ciclos límite inestables - aparece el atractor de Lorentz real. Sin embargo, ambos puntos estables se conservan hasta los valoresr ≈24,74.

Para valores grandes del parámetro, la trayectoria sufre cambios serios. Shilnikov y Kaplan demostraron que para valores muy grandesr el sistema entra en el modo de auto-oscilación, y si se reduce el parámetro, se observará una transición al caos a través de una secuencia de duplicaciones del período de oscilación.

Importancia del modelo

El modelo de Lorentz es un ejemplo físico real con comportamiento caótico, en contraste con varios mapeos construidos artificialmente ( , etc.).

Programas que simulan el comportamiento del sistema Lorenz

Borland C

#incluir

vacío principal()

doble x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;

doble dt = 0,0001;

int a = 5, b = 15, c = 1;

int gd=DETECTAR, gm;

initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");

hacer(

X1 = x + a*(-x+y)*dt;

Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

X=x1; y=y1; z = z1;

Putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

(int)(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);

) mientras (!kbhit());

closegraph();

Matemática

datos = tabla[

Con [(N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1),

ListaNido &,

(3.051522, 1.582542, 15.62388), norte

(j, 0, 5)];

[correo electrónico protegido][(Tono], Punto[#1]) &, datos]

Borland Pascual

Programa Lorenz;

Utiliza CRT, Gráfico;

constante

dt = 0,0001;

a = 5;

b = 15;

c = 1;

Var

gd, gm: Entero;

x1, y1, z1, x, y, z: reales;

Empezar

gd:=Detectar;

InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");

x:= 3.051522;

y:= 1.582542;

z:= 15,62388;

Mientras no se presione una tecla, comience

x1:= x + a*(-x+y)*dt;

y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;

x:= x1;

y:= y1;

z:= z1;

PutPixel(Redondo(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

Ronda (-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);

fin;

Cerrar gráfico;

Leer la clave;

fin.

FORTRAN

programa LorenzSystem

real,parámetro::sigma=10

real,parámetro::r=28

real,parámetro::b=2.666666

real,parámetro::dt=.01

entero,parámetro::n=1000

reales x, y, z

abrir (1, archivo = "resultado.txt", formulario = "formateado", estado = "reemplazar", acción = "escribir")

x=10.;y=10.;z=10.

doi=1,n,1

x1=x+sigma*(y-x)*dt

y1=y+(r*x-x*z-y)*dt

z1=z+(x*y-b*z)*dt

x=x1

y=y1

z=z1

escribe(1,*)x,y,z

terminar hacer

imprimir *,"Hecho"

cerrar(1)

programa final LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 COMO SENCILLO

DIM a, b, c COMO ENTERO

x = 3,051522: y = 1,582542: z = 15,62388: dt = 0,0001

a=5: b=15: c=1

PANTALLA 12

IMPRIMIR "Presione Esc para salir"

MIENTRAS ENTRA $<>CHR$(27)

x1 = x + a * (-x + y) * dt

y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt

z1 = z + (-c * z + x * y) * dt

x=x1

y = y1

z = z1

PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9

ENCAMINARSE A

FIN

JavaScript y HTML5

var cnv = documento.getElementById("cnv");

var cx = cnv.getContext("2d");

var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;

vardt = 0,0001;

var a = 5, b = 15, c = 1;

var h = parseInt(cnv.getAttribute("altura"));

var w = parseInt(cnv.getAttribute("ancho"));

id de var = cx.createImageData(w, h);

varrd = Matemáticas.ronda;

var idx = 0;

yo=1000000; mientras yo--) (

x1 = x + a*(-x+y)*dt;

y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

x = x1; y=y1; z = z1;

idx=4*(rd(19.3*(y - x*0.292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0.292893) + 392)*w);

id.datos = 255;

cx.putImageData(id, 0, 0);

IDL

PRO Lorenz

n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.

PARA i=0.,n-2. DO r=r + [ a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0.0001

plot,19.3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.

FIN

Literatura

Kuznetsov SP , Clase 3. Sistema de Lorentz; Tema 4. Dinámica del sistema de Lorentz. // - M.: Fizmatlit, 2001.

saltzman b . Convección libre de amplitud finita como problema de valor inicial. // Diario de la ciencia atmosférica, No. 7, 1962 - p. 329-341.

Lorenz E. . Movimiento no periódico determinista // Atractores extraños. - M., 1981. - S. 88-116.

Suelen decir eso caos es una forma superior de orden, pero es más correcto considerar el caos como otra forma de orden; inevitablemente, en cualquier sistema dinámico, el orden en su sentido habitual es seguido por el caos, y el orden sigue al caos. Si definimos el caos como desorden, entonces en tal desorden definitivamente podremos ver nuestra propia forma especial de orden. Por ejemplo, humo de cigarrillos al principio se eleva en forma de columna ordenada bajo la influencia del entorno externo, adquiere contornos cada vez más extraños y sus movimientos se vuelven caóticos. Otro ejemplo de aleatoriedad en la naturaleza es hoja de cualquier árbol. Se puede argumentar que encontrará muchas hojas similares, como el roble, pero ni un solo par de letras idénticas. La diferencia está determinada por la temperatura, el viento, la humedad y muchos otros factores externos además de las causas puramente internas (por ejemplo, la diferencia genética).

Teoría del caos

El paso del orden al caos y viceversa, aparentemente, es la esencia del Universo, que no hemos estudiado contribuyendo a su manifestación. Incluso en el cerebro humano, los principios ordenados y caóticos están presentes al mismo tiempo. El primero corresponde al hemisferio izquierdo del cerebro, y el segundo al derecho. El hemisferio izquierdo es responsable del comportamiento consciente de una persona, del desarrollo de reglas y estrategias lineales en el comportamiento humano, donde "si ... entonces ..." está claramente definido. En el hemisferio derecho reina la no linealidad y el caos. La intuición es una de las manifestaciones del hemisferio derecho del cerebro. Teoría del caos estudia el orden de un sistema caótico que parece aleatorio, desordenado. Al mismo tiempo, la teoría del caos ayuda a construir un modelo de dicho sistema, sin establecer la tarea de predecir con precisión el comportamiento de un sistema caótico en el futuro.

Historia de la teoría del caos

Los primeros elementos de la teoría del caos aparecieron en el siglo XIX, pero esta teoría recibió un verdadero desarrollo científico en la segunda mitad del siglo XX, junto con los trabajos eduardo lorenz(Edward Lorenz) del Instituto Tecnológico de Massachusetts y el matemático franco-estadounidense Benoit B. Mandelbrot (Benoit B. Mandelbrot). Edward Lorenz en un momento (principios de los años 60 del siglo XX, trabajo publicado en 1963) consideró cuál es la dificultad en la predicción del tiempo. Por el trabajo de Lorenz, dos opiniones dominaron el mundo de la ciencia con respecto a la posibilidad de un pronóstico del tiempo preciso para un período infinitamente largo. Primer enfoque formulado en 1776 por un matemático francés Pedro Simón Laplace. Laplace afirmó que "...si concebimos una mente que en un momento dado comprendiera todas las conexiones entre los objetos del universo, entonces sería capaz de determinar las respectivas posiciones, movimientos y efectos generales de todos estos objetos en cualquier momento". en o pasado en el futuro". Este enfoque suyo era muy similar a las famosas palabras de Arquímedes: "Dame un punto de apoyo y pondré el mundo entero patas arriba". Así, Laplace y sus seguidores decían que para predecir con precisión el clima, solo es necesario recopilar más información sobre todas las partículas del universo, su ubicación, velocidad, masa, dirección del movimiento, aceleración, etc. Laplace creía que cuanto más sabía una persona, más preciso sería su pronóstico sobre el futuro. Segundo enfoque a la posibilidad de pronosticar el tiempo fue formulada más claramente por otro matemático francés, Jules Henri Poincaré. En 1903, dijo: “Si conociéramos exactamente las leyes de la naturaleza y la posición del universo en el momento inicial, podríamos predecir con precisión la posición del mismo universo en un momento posterior. Pero incluso si las leyes de la naturaleza nos revelaran todos sus secretos, incluso entonces podríamos conocer la posición inicial solo aproximadamente. Si esto nos permitiera predecir la posición posterior con la misma aproximación, eso sería todo lo que necesitáramos, y podríamos decir que el fenómeno estaba predicho, que estaba regido por leyes. Pero no siempre ocurre que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales provoquen diferencias muy grandes en el fenómeno final. Un pequeño error en el primero producirá un gran error en el segundo. La predicción se vuelve imposible y estamos ante un fenómeno que se desarrolla por casualidad”. En estas palabras de Poincaré encontramos el postulado de la teoría del caos sobre la dependencia de las condiciones iniciales. El desarrollo posterior de la ciencia, especialmente de la mecánica cuántica, refutó el determinismo de Laplace. En 1927 un físico alemán Werner Heisenberg descubierto y formulado principio de incertidumbre. Este principio explica por qué algunos fenómenos aleatorios no obedecen al determinismo laplaciano. Heisenberg demostró el principio de incertidumbre utilizando como ejemplo la desintegración radiactiva de un núcleo. Entonces, por el tamaño tan pequeño del núcleo, es imposible conocer todos los procesos que ocurren en su interior. Por lo tanto, no importa cuánta información recopilemos sobre el núcleo, es imposible predecir exactamente cuándo se desintegrará este núcleo.

Herramientas de la teoría del caos.

¿Qué herramientas tiene la teoría del caos? En primer lugar, estos son atractores y fractales. Attractor (del inglés. Para atraer - atraer) - una estructura geométrica que caracteriza el comportamiento en el espacio de fase al final de un largo tiempo. Es decir atractor- esto es lo que el sistema se esfuerza por lograr, por lo que se siente atraído. El tipo más simple de atractor es un punto. Tal atractor es típico de un péndulo en presencia de fricción. Independientemente de la velocidad y la posición iniciales, dicho péndulo siempre se detendrá, es decir, exactamente. El siguiente tipo de atractor es el ciclo límite, que tiene la forma de una línea curva cerrada. Un ejemplo de tal atractor es un péndulo, que no se ve afectado por la fuerza de fricción. Otro ejemplo de un ciclo límite es el latido del corazón. La frecuencia de pulsación puede disminuir y aumentar, pero siempre tiende a su atractor, su curva cerrada. El tercer tipo de atractor es un toro. En la figura 1, el toro se muestra en la esquina superior derecha.

Figura 1 - Principales tipos de atractores En la parte superior se muestran tres atractores simples y predecibles. A continuación se muestran tres atractores caóticos. A pesar de la complejidad del comportamiento de los atractores caóticos, a veces llamados atractores extraños, el conocimiento del espacio de fase permite representar el comportamiento del sistema en forma geométrica y, en consecuencia, predecirlo. Y aunque la permanencia del sistema en un punto particular del tiempo en un punto particular del espacio de fase es prácticamente imposible, el área donde se ubica el objeto y su tendencia al atractor son predecibles.

Atractor de Lorenz

El primer atractor caótico fue el atractor de Lorenz.

Figura 2 - Atractor caótico de Lorenz Atractor de Lorentz calculado sobre la base de solo tres grados de libertad: tres ecuaciones diferenciales ordinarias, tres constantes y tres condiciones iniciales. Sin embargo, a pesar de su simplicidad, el sistema de Lorenz se comporta de manera pseudoaleatoria (caótica). Habiendo simulado su sistema en una computadora, Lorentz identificó la razón de su comportamiento caótico: la diferencia en las condiciones iniciales. Incluso una desviación microscópica de dos sistemas al comienzo del proceso de evolución condujo a una acumulación exponencial de errores y, en consecuencia, a su desacuerdo estocástico. Al mismo tiempo, cualquier atractor tiene dimensiones límite, por lo que la divergencia exponencial de dos trayectorias de diferentes sistemas no puede continuar indefinidamente. Tarde o temprano, las órbitas volverán a converger y pasar una al lado de la otra o incluso coincidir, aunque esto último es muy poco probable. Por cierto, la coincidencia de trayectorias es la regla de comportamiento de los atractores predecibles simples. convergencia divergencia(también llamados composición y extensión, respectivamente) de un atractor caótico elimina sistemáticamente la información inicial y la reemplaza con información nueva. Al ascender, las trayectorias se acercan y comienza a aparecer el efecto de la miopía: aumenta la incertidumbre de la información a gran escala. Cuando las trayectorias divergen, por el contrario, divergen y el efecto hipermetropía aparece cuando aumenta la incertidumbre de la información a pequeña escala. Como resultado de la constante convergencia-divergencia del atractor caótico, la incertidumbre crece rápidamente, lo que nos imposibilita hacer predicciones precisas con cada momento del tiempo. De lo que la ciencia está tan orgullosa -la capacidad de establecer conexiones entre causas y efectos- es imposible en sistemas caóticos. No existe una relación causal entre el pasado y el futuro en el caos. También debe señalarse aquí que la tasa de convergencia-divergencia es una medida del caos, es decir una expresión numérica de cuán caótico es el sistema. Otra medida estadística del caos es la dimensión del atractor. Así, se puede notar que la principal propiedad de los atractores caóticos es la convergencia-divergencia de las trayectorias de diferentes sistemas, que aleatoriamente se mezclan de manera gradual e infinita.

Izv. universidades “PND”, v. 15, No. 1, 2007 UDC 517.9

ATRACTOR DE LORENTZ EN FLUJOS DE CORTE

SOY. Mujamedov

En el marco del modelo de dinámica caótica de un medio continuo propuesto anteriormente, se obtiene una realización del régimen tridimensional de fluctuaciones de la velocidad del flujo correspondiente a un atractor tipo Lorentz. La solución es un conjunto de estructuras que determinan la geometría del colector estratificado reducido al caso tridimensional, formado por pulsaciones de las velocidades del flujo medio. La dinámica del propio atractor de Lorentz se manifiesta en forma de una dependencia temporal de las fluctuaciones de velocidad a lo largo de las líneas de corriente del flujo medio.

Como es sabido, uno de los ejemplos clásicos de caos determinista, el atractor de Lorentz, descubierto como resultado de la investigación hidrodinámica aplicada, aún no ha sido adecuadamente reproducido en el formalismo de la mecánica turbulenta existente. En los trabajos del autor, se expresó la hipótesis de que la solución hidrodinámica clásica de este problema no se puede obtener en principio, y se propuso una justificación para tal conclusión. Se basó en el entendimiento de que los modelos de atracción de la dinámica caótica afectan el nivel mesoscópico de movimiento de un medio continuo, y que este nivel no está representado en las ecuaciones clásicas de Navier-Stokes. Esto llevó a la propuesta de ampliar las opciones para resolver el problema del atractor de Lorentz mediante la inclusión explícita de mesoestructuras adicionales en el formalismo matemático de la hidrodinámica, que llevan el aparato de esta teoría más allá del marco de las operaciones clásicas con las ecuaciones de Navier-Stokes.

En la actualidad, los regímenes de atracción de la dinámica de los medios continuos se construyen en el marco de modelos que son abstracciones de largo alcance del movimiento de un medio continuo, casi sin utilizar el concepto de interacciones mecánicas de las partículas del medio entre sí. . En algunos casos, estas abstracciones reflejan las propiedades de los operadores de tipo evolutivo que actúan en una jerarquía de espacios de Hilbert anidados. En otros casos, reflejan la dinámica de sistemas de dimensión finita que reproducen cambios en los estados del entorno, pero en este caso, cada uno de los estados está representado en realidad por solo un punto de la variedad de fase correspondiente. Tal modelado no corresponde al propósito aplicado de la hidromecánica, que requiere la reproducción de todas las estructuras esenciales directamente, es decir, en el espacio ocupado por un medio continuo. Si tenemos en cuenta los argumentos de los datos teóricos y experimentales a favor de

existencia de tal representación, entonces la reproducción de atractores en el contexto de la dinámica de las características espacio-temporales del entorno parece ser una necesidad urgente.

En este artículo, el atractor de Lorentz se construye en el marco de la dinámica turbulenta propuesta en el modelo. Según este modelo, los espacios de fase de los regímenes turbulentos son estratificaciones de chorros de fluctuaciones de cantidades hidrodinámicas. Se supone que la geometría de los paquetes fluctuantes es arbitraria a priori, determinada por las características modeladas de los regímenes caóticos correspondientes. El objeto principal de la simulación es una estructura caótica, que es un complejo de trayectorias inestables de movimiento de puntos en el medio. Se supone que cada régimen turbulento establecido corresponde a una estructura caótica bien definida. En la trayectoria de una estructura caótica, se identificaron con el conjunto de curvas integrales de una distribución tipo Pfaff no integrable (no holonómica) definida sobre un haz de fluctuaciones de variables dinámicas.

Un rasgo característico del modelo propuesto es el método de Lagrange para describir el movimiento de un medio que, en el caso general, no se reduce a describir el movimiento en términos de las variables de Euler. Al mismo tiempo, resultó que la descripción de Lagrange está admirablemente adaptada para reflejar la dinámica de los sistemas con atractores extraños. En lugar de las estrictas restricciones del paradigma de Euler, la descripción de Lagrange impone condiciones mucho más suaves que sirven para determinar los objetos geométricos de las correspondientes distribuciones no holonómicas. Tal cambio en el énfasis del modelado hace posible reproducir varios atractores en la dinámica de haces de partículas en medios continuos.

1. Establezcamos las ecuaciones para la dinámica de pulsaciones del régimen de tres modos.

(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)

donde xk e yz forman los conjuntos de coordenadas espaciales y dinámicas de la estratificación de pulsaciones, y los objetos mkk(x, yt)(xk y Ar(x, yt)M determinan la naturaleza de las interacciones entre modos del régimen. Estos objetos y la ecuación (1) en sí misma puede considerarse como las reglas para la formación de derivadas de coordenadas dinámicas con respecto a las coordenadas espaciales y el tiempo, determinadas por la evolución turbulenta real. El significado geométrico invariable de estos objetos es que en el haz de pulsaciones determinan el objeto de conexión interna y el campo vectorial vertical, respectivamente.

Supongamos que las coordenadas dinámicas introducidas anteriormente tienen el significado de fluctuaciones en la velocidad del flujo del medio, es decir, la velocidad real del medio se puede expandir al campo de velocidad del flujo medio y las fluctuaciones de acuerdo con la fórmula

u (x, y) = u0 (x) + y. (2)

Tomaremos las ecuaciones de balance de masa y cantidad de movimiento en la forma de la ecuación de continuidad estándar y la ecuación de Navier-Stokes

Cr + udi. (4)

Este sistema de ecuaciones aún no está completo, ya que la ecuación (4) incluye la presión, que es una variable termodinámica, cuya dinámica, en el caso general, va más allá del ámbito de la cinemática. Para describir las fluctuaciones de presión, se requieren nuevas coordenadas dinámicas, lo que aumenta el número de grados de libertad requeridos para describir el régimen de movimiento turbulento correspondiente. Introducimos una nueva variable dinámica que tiene el significado de fluctuaciones de presión, es decir, tomamos

p(x,y)= po(x) + y4. (5)

Por lo tanto, el conjunto inicial de coordenadas dinámicas requeridas para mostrar el movimiento de un medio continuo es de cuatro dimensiones.

La posibilidad de reducción a un sistema tridimensional con dinámica similar a la dinámica del sistema de Lorentz radica en que la presión entra en la ecuación (4) en forma de gradiente. Por lo tanto, se deduce que la reducción a la dinámica tridimensional de las fluctuaciones de velocidad se puede realizar si el gradiente de presión que entra en la ecuación (4) contiene solo las tres primeras coordenadas dinámicas. Para ello basta con exigir que en las ecuaciones de la dinámica para la cuarta coordenada

dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)

los coeficientes de las formas de conexión w4(x,yj)dxk dependían únicamente de las tres primeras coordenadas dinámicas. Tenga en cuenta que el régimen tridimensional puede resultar inestable desde el punto de vista de una descripción más completa, que incluye la consideración de todos los grados de libertad excitados. Sin embargo, nos limitaremos a modelar precisamente esta posible dinámica a priori.

Consideremos las condiciones impuestas por las ecuaciones de equilibrio (3), (4) sobre las expresiones de las incógnitas wk(x,yj)dxk y Ai(x,yj)dt incluidas en la ecuación dinámica (1). Para hacer esto, sustituimos (2) y (5) en (3) y (4), y usamos las ecuaciones (1) y (6). Para simplificar las expresiones resultantes, asumimos que las coordenadas espaciales xk son cartesianas. En este caso, no se puede distinguir entre superíndices y subíndices, subiéndolos y bajándolos según sea necesario para escribir expresiones covariantes. Entonces obtenemos las siguientes ecuaciones para los coeficientes de la ecuación (1)

dkuk - wj = 0, (7)

Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (ocho)

donde se introduce la notación Dj = dj - wk^y.

Para lo que sigue, concretamos la formulación del problema. Consideraremos un régimen cuyo campo de velocidad promedio describe el flujo de una cizalla simple

uk = Ax3à\. (nueve)

Además, hacemos suposiciones sobre la geometría del espacio de pulsación fibroso. Suponemos que el paquete está conectado como una función lineal en coordenadas dinámicas, es decir, w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). En este caso, se sigue inmediatamente de la ecuación (8) que el segundo objeto adquiere una estructura que es polinomial en coordenadas dinámicas. Es decir, el campo vectorial vertical se convierte en un polinomio de segundo orden en coordenadas dinámicas, es decir,

Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.

Así, las funciones desconocidas que determinan la ecuación para la dinámica de pulsaciones del régimen de tres modos bajo consideración son los coeficientes waak(x), Ar0(x), Ark(x), y A3k(x), para los cuales tenemos ecuaciones (3) y (4). Tenga en cuenta que la ecuación (4) esencialmente se reduce a determinar los coeficientes del campo vectorial vertical, mientras que la elección de los coeficientes de conexión limita solo la ecuación de continuidad (3). Esta ecuación deja una considerable arbitrariedad en la determinación de los coeficientes de conectividad, dejando así la amplitud de modelar la estructura espacial de la dinámica de fluctuación consistente con el flujo promedio elegido.

2. Considere la posibilidad de obtener un atractor de tipo Lorentz en este problema. Para este propósito, en primer lugar, discutiremos la expansión de los valores reales de la velocidad en la velocidad promedio y las fluctuaciones alrededor del promedio.

De acuerdo con el significado de las pulsaciones, su promedio de tiempo debe ser igual a cero, es decir

(y)t - 0. (10)

Al mismo tiempo, las pulsaciones se definen como desviaciones de los valores de velocidad reales del valor promedio. Si se supone que se da el flujo medio, entonces la circunstancia señalada no nos permite elegir un sistema arbitrario de ecuaciones con dinámica caótica como modelo de ecuación de caos. Para que las variables del sistema modelo de ecuaciones sean consideradas como pulsaciones de cantidades hidromecánicas reales, se deben cumplir las condiciones (10). Si (10) no se cumple, entonces esto significa la existencia de una deriva no contabilizada en la dinámica de pulsación. En consecuencia, el sistema modelo adoptado resulta inconsistente, ya sea con los factores de actuación tomados en cuenta, o con la estructura del caudal medio permitido.

Además, la ecuación (1) es, en el caso general, un sistema tipo Pfaff no completamente integrable. La propiedad de no integrabilidad de esta ecuación es fundamentalmente importante, correspondiendo a una característica característica del movimiento turbulento. Es decir, en el proceso de movimiento, cualquier formación turbulenta macroscópicamente pequeña, partículas, polillas, glóbulos, pierde su individualidad. Esta característica se tiene en cuenta por la no integrabilidad de la ecuación (1). En esencia, (1) describe un conjunto de posibles trayectorias de movimiento de los puntos de un continuo formado por un medio continuo. Estas trayectorias se definen en el haz de fluctuaciones. Sus proyecciones sobre el espacio ocupado por un medio continuo determinan la dinámica del desarrollo de las fluctuaciones a lo largo de las correspondientes curvas espaciales. Tenga en cuenta que este último puede elegirse arbitrariamente, determinando la posibilidad de considerar la dinámica de las fluctuaciones a lo largo de cualquier curva espacial.

Consideremos, para mayor precisión, la dinámica de las fluctuaciones a lo largo de las líneas de corriente del flujo medio. Entonces tenemos las siguientes ecuaciones dinámicas:

xr = u0, (11)

y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)

Antes de considerar este sistema, lo transformamos a variables adimensionales. Para ello, en la ecuación original (4), en lugar del coeficiente de viscosidad, introducimos

número de Reynolds. Luego elimine la dependencia explícita de este número reemplazando

<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)

Omitiendo el guión bajo sobre las variables, de (12) obtenemos

y \u003d DiO - y! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)

Analicemos (13). Tenga en cuenta que el modelo utilizado asume turbulencia desarrollada, es decir, el número de Reynolds debe considerarse lo suficientemente grande. Entonces, si las cantidades adimensionales tienen valores del orden de la unidad, entonces las cantidades dimensionales reales de acuerdo con (13) indicarán la escala de la manifestación de la dinámica. En particular, se sigue de (13) que las escalas espaciales resultan ser pequeñas. Por tanto, el modelo utilizado debe ser considerado, en primer lugar, como un modelo de procesos de mezcla turbulenta al nivel mesoscópico de resolución de un medio continuo.

Pasemos ahora al análisis de (11) y (12). Es fácil ver que para el flujo medio elegido, la ecuación (11) tiene integrales simples. Las ecuaciones aerodinámicas de corriente media correspondientes son líneas rectas paralelas al eje de coordenadas x1. Eliminando las coordenadas espaciales, de (12) obtenemos en el caso general un sistema de ecuaciones diferenciales no autónomas. En este caso, si los coeficientes de conectividad y el gradiente de presión no dependen de la coordenada x1, entonces el sistema (14) se vuelve autónomo, conteniendo las restantes coordenadas espaciales x2 y x3 como parámetros. En este caso, se abre un camino real para el modelado directo de la dinámica de pulsaciones cuasi-estacionarias espacialmente no homogéneas. A continuación se dará un ejemplo de tal simulación.

Como conclusión de este párrafo, notamos que la aparición de una distribución no holonómica dada por el sistema de Pfaff (1), (6) es una consecuencia de la suposición de que en el estado de turbulencia fuerte constante, la clase de posibles trayectorias de movimiento de las partículas del medio es una formación estable. Una condición necesaria para esta nueva estabilidad es el requisito de inestabilidad de las trayectorias de movimiento de los puntos, lo que, a su vez, implica valores elevados del número de Reynolds. Un intento de extender el enfoque a valores pequeños del número Re es infundado.

3. Volvamos a la construcción de un ejemplo en el que las fluctuaciones de velocidad a lo largo de las trayectorias del caudal medio se describen mediante un sistema canónico tipo Lorentz. Para simplificar, supondremos que todos los coeficientes de conexión son constantes. En este caso, obtenemos una dinámica que es espacialmente homogénea a lo largo de las líneas de corriente del flujo medio, pero, sin embargo, a lo largo de líneas arbitrarias no es espacialmente homogénea. Llamaremos a esta suposición la aproximación cuasi-homogénea.

Nuestra tarea es dar a la ecuación (14) la forma del sistema canónico de Lorentz. El primer obstáculo visible para ello es la incertidumbre de identificar las coordenadas dinámicas y las variables correspondientes.

del sistema canónico. Suponiendo que varios tipos de mecanismos de interacciones entre modos harán posible simular cualquiera de estas identificaciones, elegiremos la siguiente opción. Sea la estructura de la ecuación (14) de la siguiente forma:

y1 = a(-y1 + y2), (15)

y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)

y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)

donde se destaca explícitamente el término regular que, de acuerdo con lo dicho en el apartado 2, debe ser excluido de la expresión para pulsaciones.

x \u003d o (-x + y), y \u003d rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (Dieciocho)

Para ello, suponemos que existen promedios temporales para las variables del sistema (18). Basado en la invariancia de este sistema con respecto a las transformaciones

x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)

es natural esperar que las medias de las dos primeras variables sean cero. Entonces la sustitución

x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)

en (18) da el sistema de ecuaciones (15) - (17).

Al respecto, notamos que para varios valores de los parámetros del sistema de Lorentz, las soluciones son posibles tanto con valores promedio cero como distintos de cero de las dos primeras variables. Con esto en mente, restringimos nuestra consideración posterior a la primera de estas posibilidades. Además, notamos que la sustitución (20) también se puede realizar en el caso en que el término en la tercera expresión (20) no tenga el significado del promedio de tiempo. En este caso, puede ser necesaria una nueva definición del procedimiento de promediación para su interpretación posterior. En el caso general, una definición adecuada requerirá un refinamiento de las escalas de tiempo de los fenómenos bajo consideración. Está claro que tales redefiniciones requerirán una consideración más detallada tanto de los datos iniciales como de las variaciones en los parámetros del sistema. El conocido efecto de la interacción de atractores caóticos muestra cómo pueden surgir ambigüedades en la determinación de los promedios para pequeñas variaciones en los parámetros de movimiento.

Volvamos a nuestra consideración. Comparando los coeficientes del sistema (15) -(17) y (14), obtenemos

(DiO - u£dki0 - c/ro) =

(-3]u0 + - dkyu] + u^) =

V -U (g)) (-o

g - (g) -1 0 V 0 0 -y

Además, de (7) tenemos

dk u0 = 0, 0.

Considere (21) y (24). Sustituyendo la expresión (9), es fácil ver que (24) se cumple de manera idéntica, y (21) se reduce solo a la determinación del gradiente de presión promedio. En este caso, el gradiente resulta ser perpendicular a la velocidad promedio del flujo, lo cual es consecuencia de la identificación elegida de las variables del sistema canónico de Lorentz y los componentes de fluctuación de la velocidad.

Pasemos a las ecuaciones (23) y (25). De (23) obtenemos expresiones de un solo valor para los componentes simetrizados en subíndices del objeto de conexión. La parte antisimétrica se determina a partir de (25) con cierta arbitrariedad. La solución general de estas ecuaciones viene dada por la siguiente expresión:

/ ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \

eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)

Pasemos a la ecuación restante (22). Esta ecuación matricial es un sistema de 9 ecuaciones algebraicas cuadráticas

b2 - c(p + /) +

ae - pb + Yur \u003d r - (r),

eb - a/ + o43 = 0,

ae - pb + b + 1021 = o,

C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,

Ec + ab + u43 = 0,

A/ + eb + a - A + u31 = 0,

Ec + ab + u42 = 0,

Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.

Las incógnitas que contiene son 6 coeficientes de conectividad (26), 9 componentes del tensor de presión, 1 coeficiente que determina el valor de la velocidad media y 3 parámetros del sistema de Lorentz. De ahí se sigue que la solución de este sistema se determina con considerable arbitrariedad paramétrica. En el régimen tridimensional bajo consideración, el tensor de gradiente de presión ω > 4r es arbitrario, y debido a su concretización, es posible simular la dinámica deseada para cualquier elección preestablecida de coeficientes de conectividad. Para regímenes multidimensionales, los componentes del tensor de presión se incluyen en un sistema de ecuaciones más completo que tiene en cuenta la dinámica de todos los grados de libertad excitados. En este caso, el tensor de presión ya no puede ser arbitrario. En este sentido, es interesante considerar varias opciones particulares para determinar el tensor de presión, asumiendo que supuestos físicamente razonables deberían encontrar sus representaciones en ecuaciones más completas que tomen en cuenta dinámicas multidimensionales. Supondremos que el tensor de gradiente de presión es diagonal con componente cero correspondiente a la coordenada y2. En este caso, (22) tiene la siguiente solución analítica exacta:

o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)

K - a t Ka, K - a AK

a \u003d A, b \u003d a - K, c \u003d - -.1, p \u003d -, f \u003d - K, e \u003d - - -. (28)

Considere la solución resultante (27), (28). Las cantidades A, r, a, y, que determinan la magnitud del gradiente de velocidad de la corriente media, y tres parámetros del sistema modelo de Lorentz permanecieron arbitrarios en él. Todas las demás características de movimiento se expresan como funciones del conjunto anterior de cantidades. Debido a la elección de ciertos valores de estas cantidades, es posible variar la dinámica de las fluctuaciones y usar las fórmulas (26), (27) para encontrar los valores correspondientes de los componentes del objeto de conectividad. Si tenemos en cuenta que cada objeto determina la naturaleza de las interacciones de las pulsaciones, entonces es posible variar los diferentes tipos de interacciones. En particular, para variar la magnitud de los componentes del tensor de presión. Cabe señalar que, en algunos casos, estos componentes pueden volverse idénticos a cero. Una característica de las soluciones (27), (28) es que resulta imposible convertir los componentes del tensor de presión a cero, mientras permanece en el rango de aquellos valores de los parámetros del sistema para los cuales surge la dinámica de Lorentz. (Sin embargo, esto es bastante posible en la región de aquellos valores de parámetros para los cuales la dinámica de pulsación es regular).

Hagamos algunas estimaciones. Deje que los parámetros del sistema modelo correspondan al atractor de Lorentz con parámetros a = 10, r = 28, y = 8/3. En este caso, los cálculos muestran que las pulsaciones tienen un tiempo característico t ~ 0,7. Dentro del intervalo de tiempo calculado b = 0 + 50, los valores de pulsación pertenecen a los intervalos y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 e y3 = -23,2 + 23,7.

Comparemos los valores absolutos de las fluctuaciones de velocidad y el gradiente de velocidad promedio. De (13) se deduce que las pulsaciones se obtienen dividiendo los valores relativos por el número l/d, mientras que el gradiente medio de velocidad permanece invariable. Tomemos para el gradiente de velocidad un valor igual a la unidad en orden de magnitud, entonces

es A ~ 1. Entonces, al valor de Re = 2000, es decir, al valor crítico inferior de , para pulsaciones obtenemos un orden de magnitud igual al 50% del valor del gradiente. Para el caso Re=40000, las fluctuaciones de velocidad alcanzan solo el 10%% del valor de gradiente de velocidad promedio aceptado. Esto muestra que solo se pueden asegurar proporciones razonables entre la velocidad media y las pulsaciones en un cierto rango de números Re.

4. Se revelan nuevos datos al considerar el movimiento de puntos en el medio. Para la dinámica de Lorentz en la aproximación cuasi-homogénea, las ecuaciones de movimiento de los puntos tienen la forma

r -(z) -l 0 0 0 -Y

Aox3 -A(r - (z))x3

Este sistema resulta ser lineal con coeficientes constantes. Su solución general se puede obtener fácilmente por integración elemental. Por lo tanto, notamos solo las características cualitativas de las trayectorias de movimiento de los puntos. De la ecuación característica para las velocidades, encontramos que hay dos raíces negativas y una positiva. Así, en cada punto del espacio se distinguen dos direcciones de compresión y una de tracción. Estas características de la dinámica son características invariantes que pueden usarse para clasificar los atractores correspondientes a flujos con la misma velocidad promedio.

Como se desprende de la solución general del sistema (29) y (30), los posibles desplazamientos de los puntos medios en direcciones transversales a las líneas de corriente del flujo medio no están limitados. Es decir, se produce una deriva regular en la proyección sobre el eje x3. En este caso, los puntos, moviéndose perpendicularmente a las líneas de corriente de la corriente media, caen en la región de altas velocidades. En este caso, el número Re aumenta, lo que conduce a una disminución de la magnitud relativa de las fluctuaciones. En el marco de la aproximación cuasi-homogénea realizada, este efecto conduce a una disminución relativa de las fluctuaciones y, en última instancia, a su degeneración en fluctuaciones.

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Universidad Estatal de Kazan Recibido el 23 de enero de 2006

Universidad Técnica Revisado 15/08/2006

ATRACTOR LORENZ EN FLUJOS DE SIMPLE Shift

En el marco de un modelo dado anteriormente para la simulación de la dinámica caótica del medio continuo se representa el atractor de Lorenz. La simulación se da con la ayuda de las estructuras que definen la geometría de un haz de fibras asociado con un régimen tridimensional de pulsaciones de velocidad. La dinámica de Lorenz aparece como una dependencia del tiempo de las pulsaciones a lo largo de las líneas de flujo promedio.

Mukhamedov Alfarid Mavievich - nació en Kazan (1953). Graduado de la Facultad de Física de la Universidad Estatal de Kazan en el Departamento de Gravedad y Teoría de la Relatividad (1976). Estudiante de doctorado del Departamento de Mecánica Teórica y Aplicada de la Universidad Técnica Estatal de Kazan que lleva el nombre de V.I. A. N. Tupolev. Autor de 12 artículos sobre este tema, así como de la monografía "Búsqueda científica y metodología de las matemáticas" (Kazan: KSTU Publishing House, 2005, en coautoría con G.D. Tarzimanova). Área de interés científico: modelos matemáticos de dinámica caótica, geometría de variedades fibrosas, metodología de las matemáticas modernas.

SISTEMA LORENTZ

El sistema de tres diferenciales no lineales. ur-ciones de primer orden:

soluciones a-enjambre en una amplia gama de parámetros son funciones irregulares de tiempo y muchos otros. sus características son indistinguibles del azar. L. s. fue obtenido por E. Lorenz a partir de las ecuaciones de la hidrodinámica como modelo para describir la convección térmica en una capa horizontal de líquido calentado desde abajo ( R r - número de Prandtl, - reducido Número de reley, b- está determinada por la elección en la expansión de Fourier del campo de velocidad y temperatura).

Arroz. 1. Ilustración de bifurcaciones sucesivas en el sistema de Lorentz con parámetro creciente r: un) ; b) ; c) d) e) f)

L. s. es uno de los ejemplos sistema dinámico, tener un físico simple significado; demuestra estocástico. comportamiento del sistema. EN espacio de fase este sistema en el rango de parámetros mostrado en la Fig. 1 existe atractor extraño, el movimiento del punto representativo en el krom corresponde a un flujo turbulento de fluido "aleatorio" durante la convección térmica.

Arroz. 2. Bucle convectivo: un modelo físico para el cual se derivan las ecuaciones de Lorentz.

L. s. (en b=l) describe, en particular, el movimiento de un fluido en un circuito convectivo ubicado en un plano vertical en una cavidad toroidal de gravedad homogénea llena de fluido (Fig. 2). Se mantiene una temperatura independiente del tiempo (pero dependiente del ángulo) en las paredes de la cavidad. T(); más bajo parte del bucle está más caliente que la parte superior. Las ecuaciones para el movimiento de un fluido en un bucle convectivo se reducen a L. s., donde x(t)- velocidad del fluido, y(t)- temp-pa en el punto norte, un z(t)- temp-pa en el punto METRO en general t. Con crecimiento GRAMO la naturaleza del movimiento del fluido cambia: primero (en r<1) неподвижна, далее (при ) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещё больших r todo el flujo se vuelve sensible a pequeños cambios al principio. condiciones, la tasa de circulación del líquido ya cambia de manera irregular: el líquido gira a veces en el sentido de las agujas del reloj, a veces en el sentido contrario a las agujas del reloj.

A valores comúnmente usados PR=10, b= 8/3 CV posee . propiedades: ur-ción L. s. invariantes de transformación, el volumen de fase se reduce de post. velocidad

por unidad de tiempo, el volumen se reduce 10 6 veces. Con el crecimiento de g en L. s. ocurrir lo siguiente. principal bifurcaciones. 1) cuando el único estado de equilibrio es el nodo estable en el origen O(O, O, 0). 2) En , donde r 1 \u003d 13.92, L. s. excepto por el mencionado trivial ( O) tiene dos equilibrios más , . Estado de equilibrio O es una silla con bidimensional estable y unidimensional inestable, que consta de O y dos separatrices y que tiende a y (Fig. 1, a). 3) cuando r=r 1 cada una de las separatrices se vuelve doblemente asintótica a la silla de montar O(Fig. 1, b). Durante la transición r a través de r 1 a partir de bucles cerrados de separatrices nacen inestables (silla de montar) periódicas. movimientos - ciclos límite L 1 y L 2 . Junto a estos ciclos inestables nace un límite de organización muy compleja; sin embargo, no es atractivo (atractor), y en (Fig. 1, en), donde r 2 = 24,06, todas las trayectorias todavía tienden a . Esta situación difiere de la anterior en que ahora las separatrices _ y pasan a estados de equilibrio "no propios" y respectivamente. 4) En, donde = 24,74, en L. s. junto con los estados de equilibrio estables, también hay un conjunto de atracción caracterizado por un comportamiento complejo de trayectorias, el atractor de Lorentz (Fig. 1 , d iris. 3). 5) Cuando se monta en bicicleta L 1 y L 2 se contraen a estados de equilibrio y , que pierden su estabilidad en

el gesto de L. s. es el atractor de Lorenz. Por lo tanto, si buscamos k desde el lado de los valores más pequeños, entonces la estocasticidad en L. s. surge inmediatamente, abruptamente, es decir, hay un inicio fuerte de estocasticidad.

Arroz. 3. Trayectoria que reproduce el atractor de Lorentz (saliendo del origen); el plano horizontal corresponde r = = 27, r=28.

A L. s. reduce no sólo ur-ción, que describe el movimiento convectivo del fluido, sino también otros físicos. modelos (tres niveles, dinamo de disco, etc.).

Lit.: Lorenz E., Deterministic nonperiodic flow, "J. Atmos. Sci.", 1963, v. 20, pág. 130; en ruso trad., en el libro: Extraños atractores, M., 1981, p. 88; Gaponov - Grekhov A. V., Rabinovich M. I., Sistemas simples caóticos, "Naturaleza", 1981, No. 2, p. 54; Afraimovich V. S., Bykov V. V., Shilnikov L. P., Sobre la atracción de conjuntos de límites no aproximados del tipo de atractor de Lorentz, Actas de la Sociedad Matemática de Moscú, 1982, v. 44, p. 150; Rabinovich M. I., Trubetskov D. I., Introducción a la teoría de las oscilaciones y ondas, M., 1984. V. G. Shejov.

Enciclopedia física. En 5 tomos. - M.: Enciclopedia soviética. Editor en jefe A. M. Prokhorov. 1988 .

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