El principio de los posibles desplazamientos es mecánica teórica desde cero. Cálculo de la reacción del soporte según el principio de los desplazamientos posibles
Como se sabe por el curso de la mecánica teórica, la condición de equilibrio de un objeto puede tener una formulación de fuerza o energía. La primera opción es la condición de igualdad a cero del vector principal y el momento principal de todas las fuerzas y reacciones que actúan sobre el cuerpo. El segundo enfoque (variacional), denominado principio de los posibles desplazamientos, resultó ser muy útil para resolver una serie de problemas de mecánica estructural.
Para un sistema de cuerpos absolutamente rígidos, el principio de los posibles desplazamientos se formula de la siguiente manera: si un sistema de cuerpos absolutamente rígidos está en equilibrio, entonces la suma del trabajo de todas las fuerzas externas sobre cualquier posible desplazamiento infinitesimal es igual a cero. Se llama movimiento posible (o virtual) al que no viola las conexiones cinemáticas y la continuidad de los cuerpos. Para el sistema de la Fig. 3.1, solo es posible la rotación de la varilla con respecto al soporte. Al girar en un ángulo pequeño arbitrario, las fuerzas y el trabajo 
De acuerdo con el principio de los posibles desplazamientos, si el sistema está en equilibrio, entonces debe haber 
. Sustituyendo aquí las relaciones geométricas 
obtenemos la condición de equilibrio en la formulación de fuerzas
El principio de los posibles desplazamientos de cuerpos elásticos se formula de la siguiente manera: si un sistema de cuerpos elásticos está en equilibrio, entonces la suma del trabajo de todas las fuerzas externas e internas sobre cualquier posible desplazamiento infinitesimal es igual a cero. Este principio se basa en el concepto de la energía total de un sistema elástico deformado P. Si la estructura se carga estáticamente, entonces esta energía es igual al trabajo realizado por las fuerzas externas U e internas W cuando el sistema se transfiere del estado deformado. al inicial:
Con esta traslación, las fuerzas externas no cambian de valor y realizan un trabajo negativo U= -F . En este caso, las fuerzas internas disminuyen a cero y realizan un trabajo positivo, ya que estas son las fuerzas de adherencia de las partículas del material y están dirigidas en dirección opuesta a la carga externa:
donde 
- energía potencial específica de deformación elástica; V es el volumen del cuerpo. Para un sistema lineal , donde . Según el teorema de Lagrange-Dirichlet, el estado de equilibrio estable corresponde al mínimo de la energía potencial total del sistema elástico, es decir
La última igualdad corresponde plenamente a la formulación del principio de los posibles desplazamientos. Los incrementos de energía dU y dW se pueden calcular sobre cualquier posible desplazamiento (desviación) del sistema elástico del estado de equilibrio. Para calcular estructuras que cumplan con los requisitos de linealidad, el desplazamiento infinitamente pequeño posible d puede reemplazarse por un desplazamiento final muy pequeño, que puede ser cualquier estado deformado de la estructura creado por un sistema de fuerzas elegido arbitrariamente. Con esto en mente, la condición de equilibrio resultante debe escribirse como
El trabajo de las fuerzas externas.
Considere el método para calcular el trabajo de fuerzas externas sobre el desplazamiento real y posible. El sistema de varillas está cargado con fuerzas y (Fig. 3.2, a), que actúan simultáneamente, y en cualquier momento la relación permanece constante. Si consideramos la fuerza generalizada, entonces por el valor en cualquier momento puede calcular todas las demás cargas (en este caso, ). La línea discontinua muestra el desplazamiento elástico real que surge de estas fuerzas. Denotemos este estado con el índice 1. Denotemos el desplazamiento de los puntos de aplicación de fuerzas y en la dirección de estas fuerzas en el estado 1 y .
En el proceso de cargar un sistema lineal con fuerzas y, las fuerzas aumentan y los desplazamientos aumentan proporcionalmente a ellos (Fig. 3.2, c). El trabajo real de las fuerzas y sobre los desplazamientos que crean es igual a la suma de las áreas de los gráficos, es decir 
. Escribiendo esta expresión como 
, obtenemos el producto de la fuerza generalizada y el desplazamiento generalizado . En este formulario, puede enviar
el trabajo de las fuerzas bajo cualquier carga, si todas las cargas cambian sincrónicamente, es decir, la relación de sus valores permanece constante.
A continuación, considere el trabajo de fuerzas externas sobre un posible desplazamiento. Como posible desplazamiento tomaremos, por ejemplo, el estado deformado del sistema resultante de la aplicación de una fuerza en un punto determinado (Fig. 3.2, b). Este estado, correspondiente al desplazamiento adicional de los puntos de aplicación de fuerzas y por una distancia y , se denotará por 2. Las fuerzas y , sin cambiar su valor, realizan un trabajo virtual sobre los desplazamientos y (Fig. 3.2, c):
Como puede ver, en la notación de desplazamiento, el primer índice muestra el estado en el que se especifican los puntos y direcciones de estos desplazamientos. El segundo índice muestra el estado en el que están actuando las fuerzas que provocan este movimiento.
El trabajo de una fuerza unitaria F 2 sobre el desplazamiento real
Si consideramos el estado 1 como un posible desplazamiento de la fuerza F 2, entonces su trabajo virtual sobre el desplazamiento
El trabajo de las fuerzas internas.
Encontremos el trabajo de las fuerzas internas del estado 1, es decir, de las fuerzas y , sobre los desplazamientos virtuales del estado 2, es decir, resultantes de la aplicación de la carga F 2 . Para hacer esto, seleccione un elemento de varilla de longitud dx (Fig. 3.2 y 3.3, a). Dado que el sistema considerado es plano, en las secciones del elemento sólo actúan dos fuerzas S y Q z y un momento flector Mu. Estas fuerzas para el elemento cortado son externas. Las fuerzas internas son fuerzas cohesivas que proporcionan resistencia al material. Tienen el mismo valor que los externos, pero están dirigidos en la dirección opuesta a la deformación, por lo que su trabajo bajo carga es negativo (Fig. 3.3, b-d, mostrada en gris). Calculemos secuencialmente el trabajo realizado por cada factor de fuerza.
El trabajo de las fuerzas longitudinales en el desplazamiento, que es creado por las fuerzas S 2 que surgieron como resultado de la aplicación de la carga F 2 (Fig. 3.2, b, 3.3, b),
Encontramos el alargamiento de una barra con una longitud dx usando la conocida fórmula
donde A es el área de la sección de la varilla. Sustituyendo esta expresión en la fórmula anterior, encontramos
De manera similar, definimos el trabajo que realiza el momento de flexión sobre el desplazamiento angular creado por el momento (Fig. 3.3, c):
Encontramos el ángulo de rotación como
donde J es el momento de inercia de la sección de la varilla con respecto al eje y. Después de la sustitución, obtenemos
Encontremos el trabajo de la fuerza transversal en el desplazamiento (Fig. 3.3, d). Las tensiones tangenciales y los cambios de la fuerza cortante Q z no se distribuyen linealmente sobre la sección de la barra (en contraste con las tensiones y alargamientos normales en los casos de carga anteriores). Por lo tanto, para determinar el trabajo cortante, es necesario considerar el trabajo realizado por los esfuerzos cortantes en las capas de la barra.
Las tensiones tangenciales de la fuerza Q z, que actúan en una capa que se encuentra a una distancia z del eje neutral (Fig. 3.3, e), se calculan mediante la fórmula de Zhuravsky
donde Su es el momento estático de la parte del área de la sección transversal que se encuentra por encima de esta capa, en relación con el eje y; b es el ancho de la sección al nivel de la capa en consideración. Estos esfuerzos crean un corte de la capa por un ángulo que, de acuerdo con la ley de Hooke, se define como 
- módulo de corte. Como resultado, el final de la capa se desplaza por
El trabajo total de los esfuerzos cortantes del primer estado que actúan sobre el extremo de esta capa, sobre los desplazamientos del segundo estado se calcula integrando el producto sobre el área de la sección transversal
Después de sustituir aquí las expresiones por y obtenemos
Sacamos de debajo los valores integrales que no dependen de z, multiplicamos y dividimos esta expresión por A, obtenemos
Aquí, se introduce el coeficiente adimensional,
dependiendo únicamente de la configuración y la relación de las dimensiones de las secciones. Para un rectángulo \u003d 1.2, para vigas en I y secciones de caja (A c - área de sección de la pared o en una sección de caja - dos paredes).
Dado que el trabajo de cada uno de los componentes de carga considerados (S, Q, M) sobre los desplazamientos causados por otros componentes es igual a cero, entonces el trabajo total de todas las fuerzas internas para el elemento considerado de la barra de longitud dx
| (3.3) |
En la sección de un elemento de un sistema espacial de varillas, actúan seis fuerzas internas (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), por lo tanto, para ello, la expresión para el trabajo total de fuerzas internas será como ,
Aquí M x - torque en la varilla; J T es el momento de inercia de la barra en torsión libre (rigidez torsional geométrica). En el integrando, se omiten los índices "y".
En las fórmulas (3.3) y (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 denotan las expresiones analíticas de los diagramas de fuerzas internas a partir de la acción de las fuerzas F (y F (, aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - descripciones de diagramas de fuerzas internas de la fuerza F 2 .
Teoremas sobre sistemas elásticos
La estructura de las fórmulas (3.3) y (3.4) muestra que son “simétricas” con respecto a los estados 1 y 2, es decir, el trabajo de las fuerzas internas del estado 1 sobre los desplazamientos del estado 2 es igual al trabajo de las fuerzas internas fuerzas del estado 2 sobre los desplazamientos del estado 1 Pero según (3.2) 
Por lo tanto, si el trabajo de las fuerzas internas es igual, entonces el trabajo de las fuerzas externas es igual. Esta afirmación se denomina teorema del trabajo de reciprocidad (teorema de Betty, 1872).
Para un sistema de varillas cargado con una fuerza F 1 (Fig. 3.4, a), tomamos como posible desplazamiento el estado deformado que surgió cuando se cargó con una fuerza F 2 (Fig. 3.4, b). Para este sistema, según el teorema de Betti 1- Si ponemos , entonces obtenemos
| (3.5) |
Esta fórmula expresa el teorema de Maxwell (1864) sobre la reciprocidad de los desplazamientos: el desplazamiento del punto de aplicación de la primera unidad de fuerza en su dirección, provocado por la acción de la segunda unidad de fuerza, es igual al desplazamiento del punto de aplicación de la segunda unidad de fuerza en su dirección, causada por la acción de la primera unidad de fuerza. Este teorema también se puede aplicar al sistema de la Fig. 3.2. Si establecemos = 1 N (sección 3.1.2), entonces obtenemos la igualdad de desplazamientos generalizados 
.
Considere un sistema estáticamente indeterminado con soportes a los que se les puede dar el desplazamiento requerido, tomado como posible (Fig. 3.4, c, d). En el primer estado, cambiamos el soporte 1 a y en el segundo, establecemos la rotación del empotramiento en un ángulo. En este caso, las reacciones ocurrirán en el primer estado y , y en el segundo - i . De acuerdo con el teorema de la reciprocidad del trabajo, escribimos Si establecemos 
(aquí la dimensión = m, y el valor es adimensional), entonces obtenemos
Esta igualdad es numérica, ya que la dimensión de la reacción = H, a = N-m. Por lo tanto, la reacción R 12 en el enlace fijo 1, que ocurre cuando el enlace 2 se mueve en uno, es numéricamente igual a la reacción que ocurre en el enlace 2 con una unidad de desplazamiento del enlace 1. Este enunciado se denomina teorema de reciprocidad de reacción.
Los teoremas presentados en esta sección se utilizan para el cálculo analítico de sistemas estáticamente indeterminados.
Definición de desplazamientos
Fórmula general de desplazamiento
Para calcular los desplazamientos que se producen en el sistema de varillas bajo la acción de una carga dada (estado 1), es necesario formar un estado auxiliar del sistema en el que actúa una unidad de fuerza, realizando trabajo sobre el desplazamiento requerido (estado 2) . Esto significa que al determinar el desplazamiento lineal, es necesario especificar una fuerza unitaria F 2 = 1 N aplicada en el mismo punto y en la misma dirección en la que se desea determinar el desplazamiento. Si se requiere determinar el ángulo de rotación de cualquier sección, entonces se aplica un solo momento F 2 = 1 N m en esta sección Después de eso, se compila la ecuación de energía (3.2), en la que se toma el estado 2 como el principal, y el deformado
 |
el estado 1 se trata como un movimiento virtual. A partir de esta ecuación, se calcula el desplazamiento deseado.
Encontremos el desplazamiento horizontal del punto B para el sistema de la fig. 3.5, a. Para que el desplazamiento deseado D 21 caiga en la ecuación de trabajo (3.2), tomamos como estado principal el desplazamiento del sistema bajo la acción de una fuerza unitaria F 2 - 1 N (estado 2, Fig. 3.5, b). Consideraremos el estado deformado real de la estructura como un posible desplazamiento (Fig. 3.5, a).
El trabajo de las fuerzas externas del estado 2 sobre los desplazamientos del estado 1 se encuentra como De acuerdo con (3.2),
por lo tanto, el desplazamiento deseado
Dado que (sección 3.1.4), el trabajo de las fuerzas internas del estado 2 sobre los desplazamientos del estado 1 se calcula mediante la fórmula (3.3) o (3.4). Sustituyendo en (3.7) la expresión (3.3) por el trabajo de las fuerzas internas de un sistema de varillas planas, encontramos
Para un mayor uso de esta expresión, es recomendable introducir el concepto de diagramas únicos de factores de fuerza interna, es decir de los cuales los dos primeros son adimensionales, y la dimensión . el resultado será
Estas integrales deben sustituirse por expresiones para los diagramas de distribución de las fuerzas internas correspondientes de la carga actuante y y de fuerzas F 2 = 1. La expresión resultante se llama fórmula de Mohr (1881).
Al calcular los sistemas de barras espaciales, se debe usar la fórmula (3.4) para calcular el trabajo total de las fuerzas internas, luego resultará
Es bastante obvio que las expresiones para diagramas de fuerzas internas S, Q y , Q z , M x, M y, M g y los valores de las características geométricas de las secciones A, J t, Jy, J, para el correspondiente n-ésima sección se sustituyen en las integrales. Para abreviar la notación en la notación de estas cantidades, se omite el índice "i".
3.2.2. Casos particulares de determinación de desplazamientos
La fórmula (3.8) se usa en el caso general de un sistema de barras planas, pero en algunos casos se puede simplificar significativamente. Considere casos especiales de su implementación.
1. Si se pueden despreciar las deformaciones por fuerzas longitudinales, lo cual es típico de los sistemas de vigas, entonces la fórmula (3.8) se escribirá como
2. Si un sistema plano consiste solo en vigas dobladas de pared delgada con una relación l / h> 5 para consolas o l / h> 10 para vanos (I y h son la longitud de la viga y la altura de la sección), entonces, como regla general , la energía de deformación por flexión excede significativamente la energía de deformación de las fuerzas longitudinales y transversales, por lo que pueden ignorarse en el cálculo de los desplazamientos. Entonces la fórmula (3.8) toma la forma
3. Para armaduras, cuyas varillas, bajo carga nodal, experimentan principalmente fuerzas longitudinales, podemos suponer M = 0 y Q = 0. Luego, el desplazamiento del nodo se calcula mediante la fórmula
La integración se realiza sobre la longitud de cada barra y la suma se realiza sobre todas las barras. Teniendo en cuenta que la fuerza Su en la varilla i-ésima y el área de la sección transversal no cambian a lo largo de su longitud, podemos simplificar esta expresión:
A pesar de la aparente sencillez de esta fórmula, el cálculo analítico de los desplazamientos en armaduras es muy laborioso, ya que requiere determinar los esfuerzos en todas las barras de armadura a partir de la carga actuante () y de una fuerza unitaria () aplicada en el punto cuyo desplazamiento necesita para ser encontrado.
3.2.3. Metodología y ejemplos para la determinación de desplazamientos
Considere el cálculo de la integral de Mohr por el método de A. N. Vereshchagin (1925). La integral de Mohr tiene la forma (3.8), donde como D 1 , D 2 pueden aparecer diagramas de momentos flectores, fuerzas longitudinales o transversales. Al menos uno de los diagramas () en el integrando es lineal o lineal por partes, ya que se construye a partir de una sola carga. Por lo tanto, para
 |
La primera de las integrales es numéricamente igual al área del subgráfico (sombreado en la Fig. 3.6), y la segunda es el momento estático de esta área con respecto al eje. El momento estático se puede escribir como , donde es la coordenada de la posición del centro de gravedad del área (punto A). En vista de lo dicho, obtenemos
(3.13)
La regla de Vereshchagin se formula de la siguiente manera: si al menos uno de los diagramas es lineal en la gráfica, entonces la integral de Mohr se calcula como el producto del área de un arbitrariamente
Al calcular estructuras en el entorno de Mathcad, no es necesario utilizar la regla de Vereshchagin, ya que puede calcular la integral mediante integración numérica.
Ejemplo 3.1(Fig. 3.7, a). La viga está cargada con dos fuerzas ubicadas simétricamente. Encuentre los desplazamientos de los puntos de aplicación de fuerzas.
1. Construyamos un diagrama de momentos de flexión M 1 a partir de fuerzas F 1 . Reacciones de apoyo 
Momento flector máximo bajo fuerza
2. Dado que el sistema es simétrico, las deflexiones bajo las fuerzas serán las mismas. Como estado auxiliar, tomamos la carga de la viga por dos fuerzas unitarias F 2 = 1 N, aplicadas en los mismos puntos que las fuerzas F 1
(Fig. 3.7, b). El diagrama de momentos flectores para esta carga es similar al anterior, y el momento flector máximo M 2max = 0,5 (L-b).
3. La carga del sistema por dos fuerzas del segundo estado se caracteriza por la fuerza generalizada F 2 y el desplazamiento generalizado , que crean el trabajo de fuerzas externas sobre el desplazamiento del estado 1, igual a 
. Calculemos el desplazamiento usando la fórmula (3.11). Multiplicando los diagramas por secciones de acuerdo con la regla de Vereshchagin, encontramos
Después de sustituir los valores 
obtenemos
Ejemplo 3.2. Encuentre el desplazamiento horizontal del soporte móvil del marco en forma de U cargado con la fuerza F x (Fig. 3.8, a).
1. Construyamos un diagrama de momentos flectores a partir de la fuerza F 1 Reacciones en los soportes 
. Momento flector máximo bajo fuerza F 1
2. Como estado auxiliar, tomamos la carga de la viga con una unidad de fuerza horizontal F 2 aplicada en el punto B (Fig. 3.8, b). Construimos un diagrama de momentos de flexión para este caso de carga. Reacciones de soporte A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Momento de flexión máximo.
3. Calculamos el desplazamiento según la fórmula (3.11). En secciones verticales, el producto es cero. En una sección horizontal, la trama M 1 no es lineal, pero la trama es lineal. Multiplicando los diagramas por el método Vereshchagin, obtenemos
El producto es negativo, ya que los diagramas se encuentran en lados opuestos. El valor de desplazamiento negativo obtenido indica que su dirección real es opuesta a la dirección de la fuerza unitaria.
Ejemplo 3.3(Figura 3.9). Encuentre el ángulo de rotación de la sección de la viga de dos soportes bajo la fuerza y encuentre la posición de la fuerza en la que este ángulo será máximo.
1. Construyamos un diagrama de los momentos de flexión M 1 a partir de la fuerza F 1. Para hacer esto, encontraremos la reacción del soporte A 1. De la ecuación de equilibrio para el sistema como un todo 
encontrar El momento flector máximo bajo la fuerza Fj
2. Como estado auxiliar, tomamos la carga de la viga con un solo momento F 2 \u003d 1 Nm en la sección cuya rotación debe determinarse (Fig. 3.9, b). Construimos un diagrama de momentos de flexión para este caso de carga. Reacciones de soporte A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, momentos de flexión
Ambos momentos son negativos, ya que están dirigidos en el sentido de las manecillas del reloj. Los diagramas se construyen sobre una fibra estirada.
3. Calculamos el ángulo de giro según la fórmula (3.11), realizando la multiplicación en dos tramos,
Denotando , puede obtener esta expresión en una forma más conveniente:
El gráfico de la dependencia del ángulo de rotación de la posición de la fuerza F 1 se muestra en la fig. 3.9, c. Al diferenciar esta expresión, de la condición encontramos la posición de la fuerza en la que el ángulo de inclinación de la viga debajo de ella será el mayor en valor absoluto. Esto sucederá en valores iguales a 0,21 y 0,79.
Pasemos a la consideración de otro principio de la mecánica, que establece una condición general para el equilibrio de un sistema mecánico. Por equilibrio (ver § 1) entendemos el estado del sistema en el que todos sus puntos bajo la acción de fuerzas aplicadas están en reposo con respecto al marco de referencia inercial (consideramos el llamado equilibrio "absoluto"). Al mismo tiempo, consideraremos que todas las comunicaciones superpuestas en el sistema son estacionarias, y no lo estipularemos específicamente cada vez en el futuro.
Introduzcamos el concepto de trabajo posible como trabajo elemental que podría realizar la fuerza que actúa sobre un punto material con un desplazamiento que coincide con el desplazamiento posible de dicho punto. Denotaremos el posible trabajo de la fuerza activa con el símbolo , y el posible trabajo de la reacción del enlace N con el símbolo
Demos ahora una definición general del concepto de enlaces ideales, que ya hemos utilizado (ver § 123): los enlaces se llaman ideales si la suma de los trabajos elementales de sus reacciones en cualquier posible desplazamiento del sistema es igual a cero , es decir.
Dada en el § 123 y expresada por la igualdad (52), la condición de idealidad de los enlaces, cuando son simultáneamente estacionarios, corresponde a la definición (98), ya que en los enlaces estacionarios cada desplazamiento real coincide con uno de los posibles . Por tanto, serán ejemplos de conexiones ideales todos los ejemplos dados en el § 123.
Para determinar la condición de equilibrio necesaria, demostramos que si un sistema mecánico con restricciones ideales está en equilibrio por la acción de fuerzas aplicadas, entonces para cualquier posible desplazamiento del sistema, la igualdad
donde es el ángulo entre la fuerza y el posible desplazamiento.
Designemos las resultantes de todas las fuerzas activas (tanto externas como internas) y reacciones de los enlaces que actúan en algún punto del sistema, respectivamente, a través de . Entonces, dado que cada uno de los puntos del sistema está en equilibrio y, en consecuencia, la suma del trabajo de estas fuerzas para cualquier movimiento del punto también será igual a cero, es decir. Compilando tales igualdades para todos los puntos del sistema y sumándolas término por término, obtenemos
Pero como las conexiones son ideales, representan posibles desplazamientos de los puntos del sistema, entonces la segunda suma según la condición (98) será igual a cero. Entonces la primera suma también es igual a cero, es decir, se cumple la igualdad (99). Así, hemos probado que la igualdad (99) expresa la condición necesaria para el equilibrio del sistema.
Demostremos que esta condición también es suficiente, es decir, que si se aplican fuerzas activas que satisfacen la ecuación (99) a los puntos de un sistema mecánico en reposo, entonces el sistema permanecerá en reposo. Supongamos lo contrario, es decir, que el sistema comenzará a moverse y algunos de sus puntos realizarán desplazamientos reales. Entonces las fuerzas realizarán trabajo sobre estos desplazamientos y, según el teorema del cambio de energía cinética, será:
donde, obviamente, ya que el sistema estaba inicialmente en reposo; por lo tanto, y . Pero con conexiones estacionarias, los desplazamientos reales coinciden con algunos de los desplazamientos posibles, y estos desplazamientos también deben tener algo que contradiga la condición (99). Así, cuando las fuerzas aplicadas satisfacen la condición (99), el sistema no puede salir del estado de reposo, y esta condición es condición suficiente para el equilibrio.
De lo probado se sigue el siguiente principio de posibles desplazamientos: para el equilibrio de un sistema mecánico con restricciones ideales, es necesario y suficiente que la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas que actúan sobre él para cualquier posible desplazamiento del sistema sea igual a cero. La condición de equilibrio formulada matemáticamente se expresa mediante la igualdad (99), que también se denomina ecuación de trabajos posibles. Esta igualdad también se puede representar en forma analítica (ver § 87):
El principio de los desplazamientos posibles establece una condición general para el equilibrio de un sistema mecánico, que no requiere la consideración del equilibrio de las partes individuales (cuerpos) de este sistema y permite, con enlaces ideales, excluir de la consideración todas las reacciones previamente desconocidas de cautiverio.
Es necesario y suficiente que la suma del trabajo , de todas las fuerzas activas aplicadas al sistema sobre cualquier posible desplazamiento del sistema, sea igual a cero.
El número de ecuaciones que se pueden compilar para un sistema mecánico, basado en el principio de los posibles desplazamientos, es igual al número de grados de libertad de este mismo sistema mecánico.
Literatura
- Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. proc. para colegios técnicos - 10ª ed., revisada. y adicional - M.: Superior. escuela, 1986.- 416 p., il.
- El curso principal de mecánica teórica (primera parte) N. N. Bukhgolts, editorial "Nauka", Consejo editorial principal de literatura física y matemática, Moscú, 1972, 468 páginas.
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El principio de los posibles movimientos.: para el equilibrio de un sistema mecánico con conexiones ideales, es necesario y suficiente que la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas que actúan sobre él para cualquier posible desplazamiento sea igual a cero. o en proyecciones: .
El principio de los desplazamientos posibles da de forma general las condiciones de equilibrio para cualquier sistema mecánico, da un método general para resolver problemas de estática.
Si el sistema tiene varios grados de libertad, entonces la ecuación del principio de los posibles desplazamientos se realiza para cada uno de los desplazamientos independientes por separado, es decir habrá tantas ecuaciones como grados de libertad tenga el sistema.
El principio de los posibles desplazamientos es conveniente porque al considerar un sistema con conexiones ideales, no se toman en cuenta sus reacciones y es necesario operar solo con fuerzas activas.
El principio de los posibles movimientos se formula de la siguiente manera:
a la madre el sistema, sujeto a restricciones ideales, estaba en reposo, es necesario y suficiente que la suma de los trabajos elementales realizados por las fuerzas activas sobre los posibles desplazamientos de los puntos del sistema sea positiva
Ecuación de dinámica general- cuando un sistema se mueve con conexiones ideales en cualquier momento dado, la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas aplicadas y todas las fuerzas de inercia en cualquier movimiento posible del sistema será igual a cero. La ecuación utiliza el principio de los posibles desplazamientos y el principio de d'Alembert y le permite componer ecuaciones diferenciales de movimiento de cualquier sistema mecánico. Da un método general para resolver problemas de dinámica.
Secuencia de compilación:
a) las fuerzas especificadas que actúan sobre él se aplican a cada cuerpo, y también las fuerzas y momentos de pares de fuerzas de inercia se aplican condicionalmente;
b) informar al sistema de posibles movimientos;
c) componer las ecuaciones del principio de los posibles desplazamientos, considerando el sistema en equilibrio.
Cabe señalar que la ecuación general de la dinámica también se puede aplicar a sistemas con enlaces no ideales, solo que en este caso las reacciones de enlaces no ideales, como, por ejemplo, la fuerza de fricción o el momento de fricción por rodadura, deben clasificarse como fuerzas activas.
El trabajo sobre el posible desplazamiento de las fuerzas activas y de inercia se busca de la misma forma que el trabajo elemental sobre el desplazamiento real:
Posible trabajo de fuerza: .
Posible trabajo del momento (par de fuerzas): .
Las coordenadas generalizadas de un sistema mecánico son parámetros mutuamente independientes q 1 , q 2 , …, q S de cualquier dimensión, que determinan de manera única la posición del sistema en cualquier momento.
El número de coordenadas generalizadas es S - el número de grados de libertad del sistema mecánico. La posición de cada ν-ésimo punto del sistema, es decir, su radio vector, en el caso general, siempre se puede expresar en función de coordenadas generalizadas:
La ecuación general de la dinámica en coordenadas generalizadas se parece a un sistema de S ecuaciones de la siguiente manera:
……..………. ;
………..……. ;
aquí está la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada generalizada:
a es la fuerza de inercia generalizada correspondiente a la coordenada generalizada:
El número de posibles desplazamientos independientes del sistema se denomina número de grados de libertad de este sistema. Por ejemplo. la pelota en el plano puede moverse en cualquier dirección, pero cualquier movimiento posible puede obtenerse como la suma geométrica de dos movimientos a lo largo de dos ejes perpendiculares entre sí. Un cuerpo rígido libre tiene 6 grados de libertad.
Fuerzas generalizadas. Para cada coordenada generalizada, se puede calcular la fuerza generalizada correspondiente Qk.
El cálculo se realiza de acuerdo con esta regla.
Para determinar la fuerza generalizada Qk correspondiente a la coordenada generalizada qk, debe aumentar esta coordenada (aumentar la coordenada en esta cantidad), dejando todas las demás coordenadas sin cambios, calcular la suma del trabajo de todas las fuerzas aplicadas al sistema en los desplazamientos correspondientes de los puntos y dividirlo por el incremento de la coordenada:
donde esta el desplazamiento i-ese punto del sistema, obtenido cambiando k-ésima coordenada generalizada.
La fuerza generalizada se determina usando trabajo elemental. Por lo tanto, esta fuerza se puede calcular de manera diferente:
Y dado que hay un incremento del radio vector debido al incremento de las coordenadas con las coordenadas restantes y el tiempo sin cambios t, la relación se puede definir como una derivada parcial de . Entonces
donde las coordenadas de los puntos son funciones de las coordenadas generalizadas (5).
Si el sistema es conservativo, es decir, el movimiento ocurre bajo la acción de fuerzas de campo potenciales, cuyas proyecciones son , donde , y las coordenadas de los puntos son funciones de coordenadas generalizadas, entonces
La fuerza generalizada de un sistema conservativo es una derivada parcial de la energía potencial con respecto a la correspondiente coordenada generalizada con signo menos.
Por supuesto, al calcular esta fuerza generalizada, la energía potencial debe definirse como una función de las coordenadas generalizadas
PAG = PAG( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).
Comentarios.
Primero. Al calcular las fuerzas de reacción generalizadas, no se tienen en cuenta los enlaces ideales.
Segundo. La dimensión de la fuerza generalizada depende de la dimensión de la coordenada generalizada.
Ecuaciones de Lagrange del segundo tipo se derivan de la ecuación general de la dinámica en coordenadas generalizadas. El número de ecuaciones corresponde al número de grados de libertad:
Para componer la ecuación de Lagrange del segundo tipo, se eligen coordenadas generalizadas y se encuentran velocidades generalizadas . Se encuentra la energía cinética del sistema, que es una función de las velocidades generalizadas , y, en algunos casos, coordenadas generalizadas. Se realizan las operaciones de derivación de la energía cinética previstas por los lados izquierdos de las ecuaciones de Lagrange, las expresiones resultantes se equiparan a fuerzas generalizadas, para lo cual, además de las fórmulas (26), se suelen utilizar las siguientes cuando resolviendo problemas:
En el numerador del lado derecho de la fórmula - la suma del trabajo elemental de todas las fuerzas activas sobre el posible desplazamiento del sistema, correspondiente a la variación de la i-ésima coordenada generalizada - . Con este posible desplazamiento, todas las demás coordenadas generalizadas no cambian. Las ecuaciones resultantes son ecuaciones diferenciales de movimiento de un sistema mecánico con S grados de libertad.
Elementos de la mecánica analítica
En sus intentos por conocer el mundo circundante, la naturaleza humana tiende a esforzarse por reducir el sistema de conocimiento en un área dada al menor número de posiciones iniciales. Esto se aplica principalmente a los campos científicos. En mecánica, este deseo ha llevado a la creación de principios fundamentales a partir de los cuales se siguen las ecuaciones diferenciales básicas de movimiento para varios sistemas mecánicos. Esta sección del tutorial pretende presentar al lector algunos de estos principios.
Comencemos el estudio de los elementos de la mecánica analítica considerando el problema de la clasificación de las conexiones que ocurren no solo en estática, sino también en dinámica.
Clasificación de relaciones
Conexión – cualquier tipo de restricciones impuestas a las posiciones y velocidades de los puntos de un sistema mecánico.
Las relaciones se clasifican:
Por cambio en el tiempo:
- comunicaciones no estacionarias, aquellas. cambiando con el tiempo. Un soporte que se mueve en el espacio es un ejemplo de una conexión no estacionaria.
- comunicaciones fijas, aquellas. sin cambiar con el tiempo. Los enlaces estacionarios incluyen todos los enlaces discutidos en la sección "Estadísticas".
Por el tipo de restricciones cinemáticas impuestas:
- conexiones geométricas imponer restricciones a las posiciones de los puntos en el sistema;
- cinemático, o conexiones diferenciales imponer restricciones a la velocidad de los puntos en el sistema. Si es posible, reduzca un tipo de relación a otro:
- integrable, o holonómico(sencillo) conexión, si la conexión cinemática (diferencial) se puede representar como una geometría. En tales conexiones, las dependencias entre las velocidades pueden reducirse a la dependencia entre las coordenadas. Un cilindro que rueda sin deslizarse es un ejemplo de conexión diferencial integrable: la velocidad del eje del cilindro está relacionada con su velocidad angular según la conocida fórmula , o , y después de la integración se reduce a una relación geométrica entre el desplazamiento del eje y el ángulo de rotación del cilindro en la forma
- no integrable, o conexión no holonómica– si la conexión cinemática (diferencial) no se puede representar como una geometría. Un ejemplo es el rodamiento de una pelota sin deslizarse durante su movimiento no rectilíneo.
Si es posible, "liberar" de la comunicación:
- sosteniendo lazos, bajo las cuales se conservan siempre las restricciones impuestas por ellos, por ejemplo, un péndulo suspendido de una varilla rígida;
- lazos de no retención - las restricciones pueden ser violadas para cierto tipo de movimiento del sistema, por ejemplo, un péndulo suspendido de un hilo arrugado.
Introduzcamos varias definiciones.
· Posible(o virtual) Moviente(denotado) es elemental (infinitamente pequeño) y es tal que no viola las restricciones impuestas al sistema.
Ejemplo: un punto, estando sobre la superficie, en la medida de lo posible tiene un conjunto de desplazamientos elementales en cualquier dirección a lo largo de la superficie de referencia, sin separarse de ella. El movimiento de un punto, que conduce a su desprendimiento de la superficie, rompe la conexión y, de acuerdo con la definición, no es un movimiento posible.
Para sistemas estacionarios, el desplazamiento elemental real (real) habitual se incluye en el conjunto de desplazamientos posibles.
· Número de grados de libertad de un sistema mecánico. – es el número de sus posibles desplazamientos independientes.
Entonces, cuando un punto se mueve en un plano, cualquier posible movimiento del mismo se expresa en términos de sus dos componentes ortogonales (y por lo tanto independientes).
Para un sistema mecánico con restricciones geométricas, el número de coordenadas independientes que determinan la posición del sistema coincide con el número de sus grados de libertad.
Así, un punto en un plano tiene dos grados de libertad. Punto material libre - tres grados de libertad. Un cuerpo libre tiene seis (se suman las vueltas en los ángulos de Euler), etc.
· posible trabajo – es el trabajo elemental de una fuerza sobre un posible desplazamiento.
El principio de los posibles movimientos.
Si el sistema está en equilibrio, entonces para cualquiera de sus puntos se cumple la igualdad, donde están las resultantes de las fuerzas activas y las fuerzas de reacción que actúan sobre el punto. Entonces la suma del trabajo de estas fuerzas para cualquier desplazamiento también es igual a cero 
. Resumiendo para todos los puntos, obtenemos: 
. El segundo término para enlaces ideales es igual a cero, de donde formulamos principio de los posibles movimientos
:
| . | (3.82) |
En condiciones de equilibrio de un sistema mecánico con conexiones ideales, la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas que actúan sobre él para cualquier posible desplazamiento del sistema es igual a cero.
El valor del principio de los posibles desplazamientos radica en la formulación de condiciones de equilibrio para un sistema mecánico (3.81), en el que no aparecen reacciones de restricciones desconocidas.
PREGUNTAS PARA LA AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Qué movimiento de un punto se llama posible?
2. ¿Cómo se llama el trabajo posible de la fuerza?
3. Formular y escribir el principio de los posibles movimientos.
principio de d'Alembert
Reescribamos la ecuación de la dinámica. paraº punto del sistema mecánico (3.27), transfiriendo el lado izquierdo al derecho. Introduzcamos en consideración la cantidad
Las fuerzas de la ecuación (3.83) forman un sistema equilibrado de fuerzas.
Extendiendo esta conclusión a todos los puntos del sistema mecánico, llegamos a la formulación principio de d'Alembert, llamado así por el matemático y mecánico francés Jean Leron D'Alembert (1717–1783), Fig. 3.13:
Figura 3.13
Si a todas las fuerzas que actúan en un sistema mecánico dado se le suman todas las fuerzas de inercia, el sistema de fuerzas resultante estará equilibrado y se le podrán aplicar todas las ecuaciones de la estática.
De hecho, esto significa que de un sistema dinámico, sumando fuerzas de inercia (fuerzas de D'Alembert), se pasa a un sistema pseudoestático (casi estático).
Utilizando el principio de d'Alembert, se puede obtener la estimación vector principal de fuerzas de inercia y momento principal de inercia con respecto al centro como:
Reacciones dinámicas que actúan sobre el eje de un cuerpo giratorio.
Considere un cuerpo rígido que gira uniformemente con una velocidad angular ω
alrededor del eje fijado en los rodamientos A y B (Fig. 3.14). Conectamos con el cuerpo los ejes Axyz que giran con él; la ventaja de tales ejes es que con respecto a ellos las coordenadas del centro de masa y los momentos de inercia del cuerpo serán valores constantes. Deje que las fuerzas dadas actúen sobre el cuerpo. Denotemos las proyecciones del vector principal de todas estas fuerzas en el eje Axyz a través de
(
etc.), y sus momentos principales sobre los mismos ejes - a través
( 
etc.); mientras tanto, desde ω
= constante, entonces =
0.
Figura 3.14
Para determinar las respuestas dinámicas X A, Y A, Z A, XB, YB rodamientos, es decir reacciones que ocurren durante la rotación del cuerpo, agregamos a todas las fuerzas dadas que actúan sobre el cuerpo y las reacciones de los enlaces de la fuerza de inercia de todas las partículas del cuerpo, llevándolas al centro A. Entonces las fuerzas de inercia estará representado por una fuerza igual a
y aplicado en el punto A ,
y un par de fuerzas con un momento igual a 
.
Proyecciones de este momento sobre el eje. para y en estarán: 
, 
;
aqui otra vez ,
como ω
= constante
Ahora, componiendo las ecuaciones (3.86) de acuerdo con el principio de d'Alembert en proyecciones sobre el eje Axyz y estableciendo AB =b, obtenemos
 .
| (3.87) |
Última ecuación 
se satisface de forma idéntica, ya que 
.
El principal vector de fuerzas de inercia. , donde t- peso corporal (3,85). En ω = centro constante de masa C tiene solo aceleración normal , donde es la distancia del punto C al eje de rotación. Por lo tanto, la dirección del vector coincidir con la dirección del sistema operativo . Cálculo de proyecciones en los ejes de coordenadas y teniendo en cuenta que , donde - coordenadas del centro de masa, encontramos:
Para determinar y , considere alguna partícula del cuerpo con masa metro k , separados del eje a una distancia hk para ella en ω
=const la fuerza de inercia también tiene solo un componente centrífugo 
,
cuyas proyecciones, así como vectores R", son iguales.
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