Una secuencia es un conjunto numérico altamente ordenado formado de acuerdo con una ley dada. El término "serie" denota el resultado de sumar los términos de la secuencia correspondiente. Para varias sucesiones numéricas, podemos encontrar la suma de todos sus miembros o el número total de elementos hasta un límite dado.

subsecuencia

Este término se refiere a un conjunto dado de elementos del espacio numérico. A cada objeto matemático se le da una fórmula determinada para determinar el elemento común de la secuencia, y para la mayoría de los conjuntos numéricos finitos existen fórmulas simples para determinar su suma. Nuestro programa es una colección de 8 calculadoras en línea diseñadas para calcular las sumas de los conjuntos numéricos más populares. Comencemos con lo más simple: la serie natural, que usamos en la vida cotidiana para contar objetos.

secuencia natural

Cuando los estudiantes aprenden números, lo primero que aprenden es a contar objetos, como manzanas. Los números naturales surgen naturalmente al contar objetos, y todo niño sabe que 2 manzanas son siempre 2 manzanas, ni más ni menos. La serie natural viene dada por una ley simple que se parece a n. La fórmula dice que el miembro n del conjunto de números es igual a n: el primero es 1, el segundo es 2, el cuatrocientos cincuenta y uno es 451, y así sucesivamente. El resultado de sumar los n primeros números naturales, es decir, a partir de 1, se determina mediante una sencilla fórmula:

∑ = 0,5n × (n+1).

Cálculo de la suma de la serie natural

Para los cálculos, deberá seleccionar la fórmula de la serie natural n en el menú de la calculadora e ingresar el número de términos en la secuencia. Calculemos la suma de la serie natural de 1 a 15. Al especificar n = 15, obtendrás el resultado en la forma de la secuencia misma:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

y la suma de las series naturales igual a 120.

Es fácil verificar la exactitud de los cálculos utilizando la fórmula anterior. Para nuestro ejemplo, el resultado de la suma será 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Así es.

Secuencia de cuadrados

Una sucesión cuadrática se forma a partir de una natural elevando al cuadrado cada término. Se forma una cantidad de cuadrados de acuerdo con la ley n 2, por lo tanto, el n-ésimo miembro de la secuencia será igual a n 2: el primero - 1, el segundo - 2 2 \u003d 4, el tercero - 3 2 \ u003d 9 y así sucesivamente. El resultado de sumar los n elementos iniciales de la sucesión cuadrática se calcula según la ley:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

Con esta fórmula, puede calcular fácilmente la suma de los cuadrados de 1 a n para n arbitrariamente grande. Es obvio que esta sucesión también es infinita, ya medida que n crece, también lo hará el valor total del conjunto numérico.

Cálculo de la suma de una serie cuadrada

En este caso, deberá seleccionar la ley de la secuencia cuadrada n 2 en el menú del programa y luego seleccionar el valor de n. Calculemos la suma de los diez primeros términos de la sucesión (n=10). El programa dará la secuencia en sí:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

así como una cantidad igual a 385.

serie cúbica

Una fila de cubos es una secuencia de números naturales al cubo. La ley de formación de un elemento común de la secuencia se escribe como n 3 . Así, el primer miembro de la serie es 1 3 = 1, el segundo es 2 3 = 8, el tercero es 3 3 = 27 y así sucesivamente. La suma de los primeros n elementos de la serie cúbica está determinada por la fórmula:

∑ = (0.5n × (n+1)) 2

Como en los casos anteriores, los elementos del espacio numérico tienden a infinito, y cuanto mayor sea el número de términos, mayor será el resultado de la suma.

Cálculo de la suma de la serie cúbica

Para comenzar, seleccione la ley de la serie cúbica n 3 en el menú de la calculadora y establezca cualquier valor de n. Determinemos la suma de una serie de 13 términos. La calculadora nos dará el resultado en forma de secuencia:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

y la suma de las series que le corresponden, igual a 8281.

Secuencia de números impares

El conjunto de los números naturales contiene un subconjunto de elementos impares, es decir, aquellos que no son divisibles por 2 sin resto. La sucesión de números impares está determinada por la expresión 2n - 1. Según la ley, el primer término de la sucesión será igual a 2 × 1 - 1 = 1, el segundo - 2 × 2 - 1 = 3, el tercero - 2 × 3 - 1 = 5 y así sucesivamente. La suma de los n elementos iniciales de una fila impar se calcula usando una fórmula simple:

Considere un ejemplo.

Cálculo de la suma de números impares

Primero, seleccione la ley de formación de la serie impar 2n−1 en el menú del programa, luego ingrese n. Averigüemos los primeros 12 términos de la serie impar y su suma. La calculadora dará instantáneamente el resultado como un conjunto de números:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

así como la suma de las series impares, que es 144. Y de hecho, 12 2 = 144. Así es.

Números rectangulares

Los números rectangulares pertenecen a la clase de números rizados, que son una clase de elementos numéricos necesarios para construir formas geométricas y sólidos. Por ejemplo, para construir un triángulo necesitas 3, 6 o 10 puntos, un cuadrado - 4, 9 o 16 puntos, y para diseñar un tetraedro necesitas 4, 10 o 20 bolas o cubos. Los rectángulos son fáciles de construir usando dos números consecutivos, por ejemplo, 1 y 2, 7 y 8, 56 y 57. Los números rectangulares se expresan como el producto de dos números naturales consecutivos. La fórmula para el término común de la serie es n × (n+1). Los primeros diez elementos de dicho conjunto numérico se ven así:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

Con un aumento en n, el valor de los números rectangulares también aumenta, por lo tanto, la suma de dicha serie también aumentará.

secuencia inversa

Para números rectangulares, existe una secuencia inversa definida por la fórmula 1 / (n × (n+1)). El conjunto de números se transforma en un conjunto de fracciones y se ve así:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

La suma de una serie de fracciones está determinada por la fórmula:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Obviamente, a medida que aumenta el número de elementos de la serie, el valor de la fracción 1/(n + 1) tiende a cero y el resultado de la suma se acerca a uno. Considere ejemplos.

La suma de una serie rectangular y su inversa

Calculemos el valor de una secuencia rectangular para n = 20. Para hacer esto, seleccione la ley para especificar un miembro común del conjunto numérico n × (n + 1) en el menú de la calculadora en línea y especifique n. El programa devolverá el resultado instantáneo como 3080. Para calcular la serie inversa, cambie la ley a 1 / (n × (n+1)). La suma de los elementos numéricos recíprocos será igual a 0,952.

Serie de productos de tres números consecutivos

Un conjunto de números rectangulares se puede modificar agregándole otro multiplicador consecutivo. Por tanto, la fórmula para calcular el n-ésimo miembro del conjunto se transformará en n × (n+1) × (n+2). De acuerdo con esta fórmula, los elementos de una serie se forman como el producto de tres números consecutivos, por ejemplo, 1 × 2 × 3 o 10 × 11 × 12. Los primeros diez elementos de dicha serie se ven así:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Este es un conjunto numérico que crece rápidamente, y la suma de la serie correspondiente tiende al infinito a medida que n crece.

secuencia inversa

Como en el caso anterior, podemos invertir la fórmula del enésimo término y obtener la expresión 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Luego, el conjunto de valores enteros se transformará en una serie de fracciones, cuyo denominador será el producto de tres números consecutivos. El comienzo de tal conjunto se ve así:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

La suma de la serie correspondiente está determinada por la fórmula:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Obviamente, a medida que aumenta el número de elementos, la fracción 1 / ((n + 1) × (n + 2)) tiende a cero, y la suma de la serie se acerca al valor 0,5 × 0,5 = 0,25. Considere ejemplos.

Una serie de productos de tres números consecutivos y su inverso

Para trabajar con este conjunto, debe elegir la ley para determinar el elemento común n × (n + 1) × (n + 2) y establecer n, por ejemplo, 100. La calculadora también le dará la secuencia en sí. como el valor del resultado de sumar centenas de números, igual a 26 527 650. Si elegimos la ley inversa 1 / (n × (n + 1) × (n + 2)), la suma de una serie de 100 términos será igual a 0.250.

Conclusión

Conceptos básicos y definiciones

Sea dada una sucesión de números infinitos:

, … (1.1)

El año pasado definimos una secuencia de números como una función de un argumento natural. Esto significa que cada miembro de la secuencia es una función de su número PAG: . En lo que sigue, algunas veces consideraremos PAG igual a cero, por lo que la secuencia numérica se definirá como una función entero argumento (de las palabras "entero").

Definición 1. Expresión

(1.2)

llamado recta numérica sin fin, o, en resumen, cerca. Miembros de secuencia ,… son llamados miembros de un numero; expresión con índice PAG- miembro común de la serie.

Es fácil distinguir una secuencia de una serie: los miembros de la secuencia se escriben separados por comas, los miembros de la serie están conectados por signos más.

Así, el concepto de serie es una generalización de la sumatoria al caso de un número infinito de términos.

Una serie se considera dada si se conoce (dada) la fórmula de su término común. El término común de la serie (1.2) coincide con el término común de la sucesión (1.1) y también es función del argumento entero norte, es decir. . Por ejemplo, si un término común se da como

, (1.3)

entonces, poniendo en esta fórmula norte= 1, 2, 3,..., uno puede encontrar cualquier miembro de la serie, y por lo tanto toda la serie:

- miembros de secuencia o miembros de serie,

(1.4)

Fila de números.

Definición. Suma norte los primeros miembros de la serie se llama norte- Oh suma parcial de una serie y se denota con el símbolo:

Se puede escribir así: .

En particular,

A partir de todas las sumas parciales de la serie (1.2) componemos una secuencia numérica:

(1.7)

Se llama secuencia de sumas parciales. Como cualquier secuencia numérica, puede tener un límite, es decir, convergen, o no tienen límite, es decir, divergir. El límite de una sucesión de sumas parciales, si existe, se denotará con la letra S.

Definición. la fila se llama convergente(hilera converge) si la sucesión de sumas parciales de esta serie converge. Al mismo tiempo, el límite S secuencias de sumas parciales se llama la suma de esta serie, es decir.

. (1.8)

Para una serie convergente con suma S, podemos escribir formalmente la igualdad:

Una serie que no tiene suma (1.8) se llama divergente. En particular, si , entonces decimos que la serie diverge a , y en este caso usamos la igualdad simbólica

.

Comentario. De la igualdad (1.6) se sigue que cualquier miembro de la serie puede representarse como la diferencia entre las sumas parciales y :

. (1.10)

Representemos geométricamente la sucesión de sumas parciales. En la Fig. 1.1, a y b, la serie converge, en la Fig. 1.1, c diverge.

Figura 1.1

Observación 3. A veces, el número de un miembro de la serie comienza desde cero: .

Ejemplos de series de números. Calcular la suma de una serie

Ejemplo 1º.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Aquí , .

Esta serie diverge Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .=+¥.

Ejemplo 2º .

Como es habitual, la alternancia de los signos + y - se especifica mediante el grado (-1). Aquí la sucesión de sumas parciales tiene la forma:

aquellas. el valor de la suma parcial depende de la paridad del número PAG:

Así, las sumas parciales pares e impares tienden a dos límites diferentes:

par a cero, impar a uno:

Figura 1.2

Por lo tanto, la secuencia no tiene límite y la serie dada diverge.

Ejemplo 3º .

1 + 2 + 3 + ... + norte + ...

Esta es una progresión aritmética con una diferencia. Recuérdese que el nombre "aritmética" proviene del hecho de que cada término de esta progresión, a partir del segundo, es igual a significado aritmetico miembros vecinos:

.

En esta progresión , y la sucesión de sumas parciales tiene la forma:

Ejemplo 6º.

.

La salida se dará a continuación. Aquí, el denominador son solo números impares.

Ejemplo 7º.

. La salida se dará a continuación.

Ejemplo 8º.

La salida se dará a continuación. La suma de la serie es igual al número mi- la base del logaritmo natural.

La suma de una serie no siempre es fácil de calcular e incluso no siempre es posible. Por lo tanto, en la teoría de series, a menudo se resuelve un problema más simple: averiguar si la serie converge o diverge. Se llama el estudio de la convergencia de la serie.

AGENCIA FEDERAL PARA LA EDUCACIÓN

institución educativa estatal

educación profesional superior

"MATI" - UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL ESTADO DE RUSIA IM. K.E. TSIOLKOVSKY

Departamento de Modelado de Sistemas y Tecnologías de la Información

Serie de números

Instrucciones metódicas para ejercicios prácticos.

en la disciplina "Matemáticas Superiores"

compiladores: Egorova Yu.B.

Mamonov I. M.

Kornienko L. I.

Moscú 2005 introducción

Las instrucciones metodológicas están destinadas a los estudiantes de los departamentos diurnos y vespertinos de la facultad No. 14, especialidades 071000, 130200, 220200.

1. Conceptos básicos

Permitir tu 1 , tu 2 , tu 3 , …, tu norte, …  una secuencia numérica infinita. Expresión
llamado recta numérica sin fin, numeros tu 1 , tu 2 , tu 3 , …, tu norte- miembros de la serie;
se llama término común de la serie. Una serie a menudo se escribe en forma abreviada (doblada):

La suma de los primeros norte Los miembros de la serie numérica se denotan por y llama norte -ésima suma parcial de la serie:

la fila se llama convergente si se norte-ésima suma parcial con incremento ilimitado norte tiende al límite final, es decir Si
Número llamado la suma de la serie.

Si norte-ésima suma parcial de la serie en
no tiende a un límite finito, entonces la serie se llama divergente.

Ejemplo 1 Encontrar la suma de una serie
.

Decisión. Tenemos
. Como:

,

Por lo tanto,

Como
, entonces la serie converge y su suma es igual a
.

2. Teoremas básicos sobre series numéricas

Teorema 1. Si la serie converge
entonces la serie converge obtenido de la serie dada descartando la primera
miembros (esta última fila se llama
-m resto de la serie original). Por el contrario, de la convergencia
El resto de la serie implica la convergencia de esta serie.

Teorema 2. Si la serie converge
y su suma es el numero , entonces la serie converge
donde la suma de la última fila es igual a
.

Teorema 3. Si las filas convergen

teniendo sumas S y Q, respectivamente, entonces la serie converge, y la suma de la última serie es igual a
.

Teorema 4 (Un criterio necesario para la convergencia de una serie). si la fila
converge, entonces
, es decir. en
el límite del término común de la serie convergente es igual a cero.

Consecuencia 1. si un
, entonces la serie diverge.

consecuencia 2. si un
, entonces es imposible determinar la convergencia o divergencia de la serie utilizando el criterio necesario para la convergencia. Una serie puede ser convergente o divergente.

Ejemplo 2 Investigue la convergencia de la serie:

Decisión. Encontrar un término común de la serie
. Como:

aquellas.
, entonces la serie diverge (no se cumple la condición de convergencia necesaria).

3. Criterios para la convergencia de series con términos positivos

3.1. Signos de comparación

Los criterios de comparación se basan en comparar la convergencia de una serie dada con una serie cuya convergencia o divergencia se conoce. Las siguientes filas se utilizan para la comparación.

Hilera
compuesta por los términos de cualquier progresión geométrica decreciente, es convergente y tiene la suma

Hilera
compuesto por miembros de una progresión geométrica creciente, es divergente.

Hilera
es divergente

Hilera
se llama serie de Dirichlet. Para >1, la serie de Dirichlet converge, para <1- расходится.

Con =1 fila
llamado armónico. La serie armónica diverge.

Teorema. El primer signo de comparación. Sean dadas dos series con términos positivos:

(2)

además, cada término de la serie (1) no excede al término correspondiente de la serie (2), es decir,
(norte= 1, 2, 3, …). Entonces, si la serie (2) converge, entonces la serie (1) también converge; si la serie (1) diverge, entonces la serie (2) también diverge.

Comentario. Este criterio sigue siendo válido si la desigualdad
no se realiza para todos , pero solo a partir de algún número norte= norte, es decir. para todos norte norte.

Ejemplo 3 Investigar la convergencia de una serie.

Decisión. Los miembros de una serie dada son más pequeños que los miembros correspondientes de la serie.
compuesto por miembros de una progresión geométrica infinitamente decreciente. Como esta serie converge, la serie dada también converge.

Teorema. El segundo signo de comparación (la forma límite del signo de comparación). Si hay un límite finito distinto de cero
, entonces ambas filas y convergen o divergen al mismo tiempo.

Ejemplo 4 Investigar la convergencia de una serie.

Decisión. Compara la serie con la serie armónica.
Encuentre el límite de la razón de miembros comunes de la serie:

Como la serie armónica diverge, la serie dada también diverge.

Sea dada una secuencia de números R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,…. La expresión R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… se llama interminable cerca, o simplemente cerca, y los números R 1 , R 2 , R 3 ,… - miembros de un numero. Al mismo tiempo, significan que la acumulación de la suma de la serie comienza con sus primeros integrantes. La suma S n = se llama suma parcial hilera: para n=1 - la primera suma parcial, para n=2 - la segunda suma parcial, y así sucesivamente.

llamado serie convergente, si la secuencia de sus parciales sumas tiene un límite, y divergente- de lo contrario. El concepto de la suma de una serie se puede ampliar, y entonces algunas series divergentes también tendrán sumas. Exactamente extendido comprensión montos hilera se utilizará en el desarrollo de algoritmos con el siguiente enunciado del problema: la acumulación de la suma debe realizarse hasta que el siguiente término de la serie sea mayor en valor absoluto que el valor dado ε.

En el caso general, todos o parte de los miembros de la serie pueden estar dados por expresiones dependiendo del número del miembro de la serie y de las variables. Por ejemplo,

Entonces surge la pregunta de cómo minimizar la cantidad de cálculos: calcular el valor del siguiente miembro de la serie por la fórmula general de un miembro de la serie(en el ejemplo dado, está representado por una expresión bajo el signo de suma), por una fórmula recursiva (su derivación se presenta a continuación), o use fórmulas recursivas solo para partes de la expresión de un miembro de la serie (ver más abajo).

Derivación de una fórmula recursiva para calcular un término de una serie

Sea necesario encontrar una serie de números R 1 , R 2 , R 3 ,…, calculándolos secuencialmente según las fórmulas

,
, …,

Para acortar los cálculos en este caso, es conveniente utilizar recurrente fórmula clase
, permitiendo calcular el valor de R N para N>1, conociendo el valor del miembro anterior de la serie R N-1 , donde
- una expresión que se puede obtener después de simplificar la relación de la expresión en la fórmula (3.1) para N a la expresión para N-1:

Por lo tanto, la fórmula recursiva tomará la forma
.

Una comparación de la fórmula general para el término de la serie (3.1) y la recursiva (3.2) muestra que la fórmula recursiva simplifica mucho los cálculos. Apliquémoslo para N=2, 3 y 4 sabiendo que
:

Métodos para calcular el valor de un miembro de una serie

Para calcular el valor de un miembro de la serie, dependiendo de su tipo, puede ser preferible usar la fórmula general de un miembro de la serie, o una fórmula recursiva, o método mixto para calcular el valor de un miembro de una serie, cuando se utilizan fórmulas recurrentes para una o más partes de un miembro de la serie, y luego sus valores se sustituyen en la fórmula general de un miembro de la serie. Por ejemplo, - para una serie, es más fácil calcular el valor de un miembro de la serie
según su fórmula general
(Comparar con
- fórmula recurrente); - por una fila
es mejor usar la formula recursiva
; - para una serie, se debe aplicar un método mixto, calculando A N \u003d X 3N usando la fórmula recursiva
, N=2, 3,… con A 1 =1 y B N =N! - también por la fórmula recursiva
, N=2, 3,… en B 1 =1, y luego - un miembro de la serie
- según la fórmula general, que tomará la forma
.

Ejemplo 3.2.1 ejecución de tareas

Calcular con precisión ε para 0 o  X  45 o

usando una fórmula recursiva para calcular un término de una serie:

,

el valor exacto de la función cos X,

errores absolutos y relativos del valor aproximado.

programa Proyecto1;

($APPTYPE CONSOLA)

K=Pi/180; //Factor para convertir de grados a radianes

Eps: Extendido=1E-8;

X: Extendida=15;

R, S, Y, D: Extendido;

($IFNDEF DBG) //Declaraciones no utilizadas para la depuración

Write("Ingrese la precisión requerida: ");

Write("Ingrese el valor del angulo en grados: ");

D:=Sqr(K*X); // Convertir X a radianes y elevar al cuadrado

//Establecer valores iniciales para las variables

//Bucle para calcular los miembros de la serie y acumular su suma.

//Ejecutar mientras el módulo del siguiente miembro de la serie sea mayor que Eps.

mientras que Abs(R)>Eps hacen

si N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Salida de los resultados del cálculo:

WriteLn(N:14," = Número de pasos alcanzados",

"precisión especificada");

WriteLn(S:14:11," = Valor aproximado de la función");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Valor exacto de la función");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Error absoluto");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = error relativo");

Encuentra la suma de una serie de números. Si no es posible encontrarlo, entonces el sistema calcula la suma de la serie con cierta precisión.

Convergencia de series

Esta calculadora puede determinar si una serie converge y también muestra qué signos de convergencia funcionan y cuáles no.

También sabe cómo determinar la convergencia de series de potencias.

También se construye un gráfico de serie, donde se puede ver la tasa de convergencia de la serie (o divergencia).

Reglas para ingresar expresiones y funciones

Las expresiones pueden consistir en funciones (las notaciones se dan en orden alfabético): absoluto(x) Valor absoluto X
(módulo X o |x|) arc cos(x) Función - arco coseno de X arcocosh(x) Arco coseno hiperbólico de X arcosen(x) arcoseno de X arcsenh(x) Arcoseno hiperbólico de X arco(x) Función - arco tangente desde X arctgh(x) El arco tangente es hiperbólico a partir de X mi mi un número que es aproximadamente igual a 2.7 exp(x) Función - exponente de X(cual es mi^X) registro (x) o registro (x) Logaritmo natural de X
(Para obtener registro7(x), debe ingresar log(x)/log(7) (o, por ejemplo, para registro10(x)=registro(x)/registro(10)) Pi El número es "Pi", que es aproximadamente igual a 3,14 pecado(x) Función - Seno de X porque(x) Función - Coseno de X sen(x) Función - Seno hiperbólico de X efectivo (x) Función - Coseno hiperbólico de X sqrt(x) La función es la raíz cuadrada de X cuadrado(x) o x^2 Función - Cuadrado X tg(x) Función - Tangente desde X tgh(x) Función - Tangente hiperbólica de X cbrt(x) La función es la raíz cúbica de X piso(x) Función - redondeo X abajo (ejemplo piso(4.5)==4.0) signo(x) Función - Signo X fe(x) Función de error (Laplace o integral de probabilidad)

Puede utilizar las siguientes operaciones en expresiones: Numeros reales ingresa en el formulario 7.5 , no 7,5 2x- multiplicación 3/x- división x ^ 3- exponenciación x + 7- suma x - 6- resta