COS X P 2 HORARIO. Gráficos de funciones trigonométricas de múltiples esquinas.

Lección y presentación sobre el tema: "Función y \u003d cos (x). Definición y gráfica de la función"

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Lo que vamos a estudiar:
1. Definición.
2. Programa de función.
3. Las propiedades de la función y \u003d cos (x).
4. Ejemplos.

Definición de la función de coseno y \u003d cos (x)

Chicos, ya nos familiarizamos con la función y \u003d pecado (x).

Recordemos una de las fórmulas fantasmas: pecado (x + π / 2) \u003d cos (x).

Gracias a esta fórmula, podemos argumentar que los funciones SIN (X + π / 2) y COS (X) son idénticos, y sus gráficos de funciones coinciden.

La gráfica de la función SIN (x + π / 2) se obtiene del gráfico de la función SIN (X) Función transferencia paralela a las unidades π / 2 a la izquierda. Este será el gráfico de la función y \u003d cos (x).

La gráfica de la función y \u003d cos (x) también se llama sinusoide.

Propiedades de la función COS (X)

El área de definición es un número de números válidos.
La función es incluso. Recordemos la definición de una función uniforme. La función es incluso si se realiza la igualdad y (-x) \u003d y (x). Como recordamos de las fórmulas de fantasmas: COS (-X) \u003d - COS (X), se ejecutó la definición, entonces el coseno es una función uniforme.
La función y \u003d cos (x) disminuye en el segmento y aumenta en el segmento [π; 2π]. En esto podemos asegurarnos de que la tabla de nuestra función.
La función y \u003d cos (x) se limita a debajo y desde arriba. Esta propiedad sigue del hecho de que
-1 ≤ cos (x) ≤ 1
El menor valor de la función es -1 (en x \u003d π + 2πk). El mayor valor Funciones igual a 1 (en x \u003d 2πk).
La función y \u003d cos (x) es una función continua. Veamos el horario y asegúrese de que nuestra función no tenga roturas, significa continuidad.
La gama de segmentos [- 1; uno]. También se ve claramente a partir del horario.
La función y \u003d cos (x) es una función periódica. Veamos de nuevo en el horario y veamos que la función toma los mismos valores a través de algunos intervalos.

Ejemplos con la función COS (X)

1. Resuelva la ecuación de COS (x) \u003d (x - 2π) 2 + 1

Solución: Construir 2 gráficos de la función: y \u003d cos (x) y y \u003d (x - 2π) 2 + 1 (ver figura).

Y \u003d (x - 2π) 2 + 1 es una parábola, cambiada a la derecha a 2π y hacia arriba a 1. Nuestros gráficos se intersecan en un punto A (2π; 1), esta es la respuesta: x \u003d 2π.

2. Construye un gráfico de la función y \u003d cos (x) en x ≤ 0 e y \u003d sin (x) en x ≥ 0

Solución: Para construir el horario deseado, construyamos dos gráficos en "Piezas". Primera pieza: Y \u003d COS (X) AT X ≤ 0. SECUPCIÓN DE LA PIEZA: Y \u003d SIN (X)
en X ≥ 0. Vamos a mostrar ambas "piezas" en un horario.

3. Encuentra lo mejor y el valor más pequeño Funciones y \u003d cos (x) en el segmento [π; 7π / 4]

Solución: construye un programa de función y considere nuestro segmento [π; 7π / 4]. El gráfico muestra que los valores más grandes y más pequeños se logran en los extremos del segmento: en los puntos π y 7π / 4, respectivamente.
Respuesta: COS (π) \u003d -1 - El valor más pequeño, COS (7π / 4) \u003d el mayor valor.

4. Construye un gráfico de la función y \u003d cos (π / 3 - x) + 1

Solución: COS (-X) \u003d COS (X), luego la programación deseada se apagará transfiriendo la función de la función y \u003d cos (x) a π / 3 unidades a la derecha y 1 unidad.

Tareas para autoproducción

1) resolver la ecuación: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Para resolver la ecuación: cos (x) \u003d - (x - π) 2 - 1.
3) Construya un gráfico de la función y \u003d cos (π / 4 + x) - 2.
4) Construye un gráfico de la función y \u003d cos (-2π / 3 + x) + 1.
5) Encuentre el mayor y más pequeño valor de la función y \u003d cos (x) en el segmento.
6) Encuentre el valor más grande y más pequeño de la función y \u003d cos (x) en el segmento [- π / 6; 5π / 4].

"Gráficos de función y sus propiedades" - y \u003d ctg x. 4) Función limitada. 3) Función impar. (El gráfico de la función es simétrico en el inicio de las coordenadas). Y \u003d tg x. 7) La función es continua en cualquier intervalo de la especie (? K ;? +? K). La función y \u003d tg x es continua en cualquier intervalo de la especie. 4) La función disminuye en cualquier intervalo de la especie (? K ;? +? K). La función gráfico y \u003d tg x se llama tangente.

"Función gráfico y x" - Plantilla de parabola y \u003d x2. Para ver gráficos, haga clic. Ejemplo 2. Construimos un gráfico de la función y \u003d x2 + 1, según la función de la función y \u003d x2 (haga clic en el mouse). Ejemplo 3. Probamos que la gráfica de la función y \u003d x2 + 6x + 8 es parábola, y construiremos un horario. La gráfica de la función y \u003d (x - m) 2 es una parábola con un vértice en el punto (M; 0).

"Gráficos matemáticos" - ¿Cómo puedo construir gráficos? Las dependencias más funcionalmente funcionales se reflejan utilizando gráficos. Aplicación interesante: Dibujos, ... ¿Por qué estamos estudiando gráficos? Gráficos funciones elementales. ¿Qué puedes dibujar con los gráficos? Consideramos la aplicación de gráficos en temas de entrenamiento: Matemáticas, Física, ...

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"Gráficos con un módulo": muestra la parte "parte inferior" en el medio plano superior. El módulo del número real. Propiedades Función y \u003d | x |. | x |. Números. Algoritmo para construir una función gráfica. Algoritmo de construcción. Función y \u003d lxl. Propiedades. Trabajo independiente. Función cero. Consejos de los grandes. Decisión de trabajo independiente.

"La ecuación de tangente" es la ecuación de tangente. La ecuación es normal. Si, entonces las curvas se intersecan en ángulos rectos. Términos de paralelismo y perpendicularidad de dos líneas rectas. El ángulo entre los gráficos de funciones. Ecuación tangente para funcionar gráficos en el punto. Deje que la función se diferencie en el punto. Deja que la recta se dan por las ecuaciones y.

Total en el tema de 25 presentaciones.

Ahora consideraremos la pregunta de cómo construir gráficos. funciones trigonométricas múltiples esquinas ωx dónde ω - Algunos números positivos.

Para construir una función gráfica y \u003d pecado. ωx Compare esta función con la función ya estudiada por nosotros. y \u003d sin x. Supongamos que cuando x \u003d x. 0 función y \u003d sin x Toma un valor igual a 0. Luego

0 \u003d pecado x. 0 .

Transformamos esta relación de la siguiente manera:

En consecuencia, la función. y \u003d pecado. ωx por h. = x. 0 / ω toma el mismo valor w. 0 esa función y \u003d sin x por x \u003d x. 0 . Y esto significa que la función. y \u003d pecado. ωx repite tus significados en ω veces más a menudo que la función y \u003d sin x. Por lo tanto, la función es una función. y \u003d pecado. ωx Resulta mediante función de gráficos de "compresión" y \u003d sin x en ω Una vez a lo largo del eje x.

Por ejemplo, un horario de funciones. y \u003d sin 2x Resulta por "compresión" de sinusoides. y \u003d sin x reducido a la mitad a lo largo del eje de abscisa.

Función de calendario y \u003d sin x / 2 Resulta por "estiramiento" sinusoides y \u003d sin x dos veces (o "compresión" en 1 / 2 veces) a lo largo del eje x.

Desde la función y \u003d pecado. ωx repite tus significados en ω veces más a menudo que la función
y \u003d sin xLuego el período de ello en ω una vez menor que el período de función y \u003d sin x. Por ejemplo, la función de la función. y \u003d sin 2x Cuervo 2π / 2. = π y el periodo de la función y \u003d sin x / 2 Cuervo π / X / 2 = 4π. .

Interesante para estudiar el comportamiento de la función. y \u003d pecado hachaen el ejemplo de la animación, que es muy fácil de crear en el programa. Arce.:

De manera similar, se construyen gráficos y otras funciones trigonométricas de múltiples esquinas. La figura muestra un gráfico de una función. y \u003d cos 2xque resulta por "compresión" de coseno y \u003d cos x Dos veces por el eje de abscisa.

Función de calendario y \u003d cos x / 2 Resulta por el coseno de "estiramiento" y \u003d cos x dos veces a lo largo del eje x.

En la figura que ves un gráfico de la función. y \u003d tg 2xobtenido por "compresión" tangenteide y \u003d tg xreducido a la mitad a lo largo del eje de abscisa.

Función de calendario y \u003d tg. X / 2 obtenido por "estiramiento" tangenteides y \u003d tg x dos veces a lo largo del eje x.

Y finalmente, la animación realizada por el programa. Arce:

Ejercicios

1. Construye gráficos de estas funciones e indican las coordenadas de los puntos de intersección de estos gráficos con los ejes de coordenadas. Determinar los periodos de estas funciones.

pero). y \u003d pecado. 4x / 3 D). Y \u003d tg. 5x / 6 gramo). y \u003d cos. 2x / 3

b). y \u003d cos. 5x / 3 mi). y \u003d ctg. 5x / 3 h). y \u003d ctg. X / 3

en). Y \u003d tg. 4x / 3 mi). y \u003d pecado. 2x / 3

2. Determinar períodos de funciones. y \u003d pecado (π) y y \u003d tg. ( πh / 2.).

3. Dé dos ejemplos de funciones que tomen todos los valores de -1 a +1 (incluidos estos dos números) y cambian periódicamente con un período de 10.

4 * Traiga dos ejemplos de funciones que toman todos los valores de 0 a 1 (incluidos estos dos números) y cambian periódicamente con el período π / 2..

5. Traiga dos ejemplos de funciones que tomen todos los valores válidos y cambien periódicamente con un período de 1.

6 * Traiga dos ejemplos de funciones que tomen todos los valores negativos y cero, pero no tomen valores positivos y cambien periódicamente con un período de 5.