Series numéricas: definiciones, propiedades, criterios de convergencia, ejemplos, soluciones. Convergencia en línea de series Por qué la serie 1 n diverge
Hay varias formas de comprobar la convergencia de la serie. Primero, simplemente puede encontrar la suma de la serie. Si como resultado obtenemos un número finito, entonces tal la serie converge... Por ejemplo, desde
entonces la serie converge. Si no pudiéramos encontrar la suma de la serie, entonces deberíamos usar otros métodos para verificar la convergencia de la serie.
Uno de esos métodos es Signo de d'Alembert
aquí y, respectivamente, los términos n-ésimo y (n + 1) -ésimo de la serie, y la convergencia está determinada por el valor de D: Si D< 1 - ряд сходится, если D >
Como ejemplo, investiguemos la convergencia de una serie utilizando la prueba de d'Alembert. Primero, escribamos expresiones para y. Ahora busquemos el límite correspondiente:
Porque, de acuerdo con el signo de d'Alembert, la serie converge.
Otro método para comprobar la convergencia de la serie es signo de Cauchy radical que está escrito de la siguiente manera:
aquí está el enésimo término de la serie, y la convergencia, como en el caso de la prueba de d'Alembert, está determinada por el valor de D: Si D< 1 - ряд сходится, если D >1 - diverge. Cuando D = 1, este signo no da una respuesta y se necesita investigación adicional.
Como ejemplo, investiguemos la convergencia de una serie usando la prueba radical de Cauchy. Primero, escribamos la expresión para. Ahora busquemos el límite correspondiente:
Dado que title = "15625/64> 1">, de acuerdo con el signo radical de Cauchy, la serie diverge.
Cabe señalar que junto a lo anterior, existen otros criterios para la convergencia de series, como la prueba integral de Cauchy, la prueba de Raabe, etc.
Nuestro calculadora online, construido sobre la base del sistema Wolfram Alpha, le permite probar la convergencia de la serie. Además, si la calculadora da un número específico como la suma de una serie, entonces la serie converge. De lo contrario, es necesario prestar atención al ítem "Prueba de convergencia de series". Si la frase "serie converge" está presente, entonces la serie converge. Si la frase "serie diverge" está presente, entonces la serie diverge.
A continuación se muestra una traducción de todos los valores posibles del elemento "Prueba de convergencia de series":
| Texto en idioma en Inglés | Texto en ruso |
|---|---|
| Por la prueba de la serie armónica, la serie diverge. | Al comparar la serie investigada con la serie armónica, la serie original diverge. |
| La prueba de razón no es concluyente. | La prueba de d'Alembert no puede dar una respuesta sobre la convergencia de la serie. |
| La prueba de raíz no es concluyente. | El criterio radical de Cauchy no puede dar una respuesta sobre la convergencia de la serie. |
| Mediante la prueba de comparación, la serie converge. | Sobre la base de la comparación, la serie converge |
| Por la prueba de razón, la serie converge. | Sobre la base de d'Alembert, la serie converge |
| Por la prueba de límite, la serie diverge. | Basado en el hecho de que title = "(! LANG: El límite del n-ésimo miembro de la serie en n-> oo no es igual a cero o no existe"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !} |
Encontremos la suma de una serie de números. Si no puede encontrarlo, el sistema calcula la suma de la serie con cierta precisión.
Convergencia de la serie
Esta calculadora puede determinar si una serie converge y también muestra qué signos de convergencia funcionan y cuáles no.
También sabe cómo determinar la convergencia de series de potencias.
También se construye un gráfico de series, donde puede ver la tasa de convergencia de la serie (o divergencia).
Reglas para ingresar expresiones y funciones
Las expresiones pueden constar de funciones (las designaciones se dan en orden alfabético): absoluto (x) Valor absoluto X
(módulo X o | x |)
arccos (x) Función - coseno inverso de X arccosh (x) Arccosine hiperbólico de X arcosen (x) Arco de X arcsinh (x) Arcoseno hiperbólico de X arctg (x) Función - arcotangente de X arctgh (x) Arctangent hiperbólico de X mi mi un número que es aproximadamente 2,7 exp (x) Función - exponente de X(como mi^X)
registro (x) o en (x) Logaritmo natural de X
(Para obtener log7 (x), debe ingresar log (x) / log (7) (o, por ejemplo, para log10 (x)= log (x) / log (10)) Pi El número es Pi, que es aproximadamente 3,14. pecado (x) Función - Seno de X cos (x) Función - Coseno de X sinh (x) Función: seno hiperbólico de X cosh (x) Función - Coseno hiperbólico de X sqrt (x) Función - Raíz cuadrada de X sqr (x) o x ^ 2 Función - Cuadrado X tg (x) Función - Tangente de X tgh (x) Función - Tangente hiperbólica de X cbrt (x) Función - raíz cúbica de X
Las siguientes operaciones se pueden utilizar en expresiones: Numeros reales entrar en el formulario 7.5
, no 7,5
2 * x- multiplicación 3 / x- división x ^ 3- exponenciación x + 7- adición x - 6- resta
Otras funciones: piso (x) Función - redondeo X hacia abajo (ejemplo piso (4.5) == 4.0) techo (x) Función - redondeo X hacia arriba (ejemplo techo (4.5) == 5.0) signo (x) Función - Signo X erf (x) Función de error (o integral de probabilidad) laplace (x) Función de Laplace
Serie armónica- la suma formada por un número infinito de términos, el recíproco de los números sucesivos de la serie natural:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\ Displaystyle \ sum _ (k = 1) ^ (\ mathcal (\ infty)) (\ frac (1 ) (k)) = 1 + (\ frac (1) (2)) + (\ frac (1) (3)) + (\ frac (1) (4)) + \ cdots + (\ frac (1) (k)) + \ cdots).YouTube colegiado
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✪ Prueba de la divergencia de la serie armónica
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✪ Consulta # 1. Estera. análisis. Serie de Fourier en el sistema trigonométrico. Propiedades más simples
✪ SERIE. Visión general
Subtítulos
La suma de los primeros n miembros de la serie
Los miembros individuales de la serie tienden a cero, pero su suma diverge. La n-ésima suma parcial s n de una serie armónica se llama n-ésimo número armónico:
sn = ∑ k = 1 norte 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 norte (\ Displaystyle s_ (n) = \ sum _ (k = 1) ^ (n) (\ frac (1) ) (k)) = 1 + (\ frac (1) (2)) + (\ frac (1) (3)) + (\ frac (1) (4)) + \ cdots + (\ frac (1) (norte)))Algunos valores de sumas parciales
| s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1.5 s 3 = 11 6 ≈ 1.833 s 4 = 25 12 ≈ 2.083 s 5 = 137 60 ≈ 2.283 (\ displaystyle (\ begin (matrix) s_ (1) & = & 1 \ \\\ s_ (2) & = & (\ frac (3) (2)) & = & 1 (,) 5 \\\\ s_ (3) & = & (\ frac (11) (6)) & \ approx & 1 (,) 833 \\\\ s_ (4) & = & (\ frac (25) (12)) & \ approx & 2 (,) 083 \\\\ s_ (5) & = & ( \ frac (137) (60)) & \ approx & 2 (,) 283 \ end (matriz))) | s 6 = 49 20 = 2.45 s 7 = 363140 ≈ 2.593 s 8 = 761280 ≈ 2.718 s 10 3 ≈ 7.484 s 10 6 ≈ 14.393 (\ displaystyle (\ begin (matrix) s_ (6) & = & (\ frac (49) (20)) & = & 2 (,) 45 \\\\ s_ (7) & = & (\ frac (363) (140)) & \ approx & 2 (,) 593 \\\\ s_ (8) & = & (\ frac (761) (280)) & \ approx & 2 (,) 718 \\\\ s_ (10 ^ (3)) & \ approx & 7 (,) 484 \\\\ s_ (10 ^ (6)) & \ approx & 14 (,) 393 \ end (matriz))) |
Fórmula de Euler
Cuando el valor ε n → 0 (\ Displaystyle \ varepsilon _ (n) \ rightarrow 0), por lo tanto, para grandes n (\ Displaystyle n):
s norte ≈ ln (norte) + γ (\ Displaystyle s_ (n) \ approx \ ln (n) + \ gamma)- Fórmula de Euler para la suma del primero n (\ Displaystyle n) miembros de la serie armónica.| n (\ Displaystyle n) | s norte = ∑ k = 1 norte 1 k (\ Displaystyle s_ (n) = \ sum _ (k = 1) ^ (n) (\ frac (1) (k))) | ln (n) + γ (\ Displaystyle \ ln (n) + \ gamma) | ε n (\ Displaystyle \ varepsilon _ (n)), (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Una fórmula asintótica más precisa para la suma parcial de una serie armónica:
sn ≍ ln (norte) + γ + 1 2 norte - 1 12 norte 2 + 1120 norte 4 - 1252 norte 6 ⋯ = ln (norte) + γ + 1 2 norte - ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 kn 2 k (\ Displaystyle s_ (n) \ asymp \ ln (n) + \ gamma + (\ frac (1) (2n)) - (\ frac (1) (12n ^ (2))) + (\ frac (1) (120n ^ (4))) - (\ frac (1) (252n ^ (6))) \ dots = \ ln (n) + \ gamma + (\ frac (1) (2n)) - \ sum _ (k = 1) ^ (\ infty) (\ frac (B_ (2k)) (2k \, n ^ (2k)))), dónde B 2 k (\ Displaystyle B_ (2k))- Números de Bernoulli.Esta serie diverge, pero el error de cálculo para ella nunca excede la mitad del primer término descartado.
Propiedades teóricas de números de sumas parciales
∀ norte> 1 s norte ∉ N (\ Displaystyle \ forall n> 1 \; \; \; \; s_ (n) \ notin \ mathbb (N))
Divergencia de la serie
S norte → ∞ (\ Displaystyle s_ (n) \ rightarrow \ infty) a n → ∞ (\ Displaystyle n \ rightarrow \ infty)
La serie armónica diverge muy lentamente (para que la suma parcial supere los 100, se necesitan alrededor de 10 43 elementos de la serie).
La divergencia de la serie armónica se puede demostrar comparándola con la serie telescópica:
vn = ln (norte + 1) - ln norte = ln (1 + 1 norte) ∼ + ∞ 1 norte (\ Displaystyle v_ (n) = \ ln (n + 1) - \ ln n = \ ln \ izquierda (1 + (\ frac (1) (n)) \ derecha) (\ underset (+ \ infty) (\ sim)) (\ frac (1) (n))),cuya suma parcial es obviamente igual a:
∑ yo = 1 norte - 1 v yo = ln norte ∼ s norte (\ Displaystyle \ sum _ (i = 1) ^ (n-1) v_ (i) = \ ln n \ sim s_ (n)).La prueba de Orem
La divergencia se puede demostrar agrupando los términos de la siguiente manera:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [1 2] + [1 3 + 1 4] + [1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8] + [1 9 + ⋯] + ⋯> 1 + [1 2] + [1 4 + 1 4] + [1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8] + [1 16 + ⋯] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯. (\ Displaystyle (\ begin (alineado) \ sum _ (k = 1) ^ (\ infty) (\ frac (1) (k)) & () = 1+ \ left [(\ frac (1) (2) ) \ derecha] + \ izquierda [(\ frac (1) (3)) + (\ frac (1) (4)) \ derecha] + \ izquierda [(\ frac (1) (5)) + (\ frac (1) (6)) + (\ frac (1) (7)) + (\ frac (1) (8)) \ derecha] + \ izquierda [(\ frac (1) (9)) + \ cdots \ derecha] + \ cdots \\ & ()> 1+ \ left [(\ frac (1) (2)) \ right] + \ left [(\ frac (1) (4)) + (\ frac (1) (4)) \ derecha] + \ izquierda [(\ frac (1) (8)) + (\ frac (1) (8)) + (\ frac (1) (8)) + (\ frac (1) (8)) \ derecha] + \ izquierda [(\ frac (1) (16)) + \ cdots \ derecha] + \ cdots \\ & () = 1+ \ (\ frac (1) (2)) \ \ \ + \ quad (\ frac (1) (2)) \ \ quad + \ \ qquad \ quad (\ frac (1) (2)) \ qquad \ \ quad \ + \ quad \ \ (\ frac (1) ) (2)) \ \ quad + \ \ cdots. \ End (alineado)))La última fila es, obviamente, divergente. Esta prueba pertenece al erudito medieval Nikolai Orem (c. 1350).
Prueba alternativa de divergencia
invitamos al lector a convencerse de la falacia de esta prueba
Diferencia entre n (\ Displaystyle n)-th número armónico y logaritmo natural n (\ Displaystyle n) converge a la constante de Euler-Mascheroni.
La diferencia entre diferentes números armónicos nunca es un número entero y ningún número armónico que no sea H 1 = 1 (\ Displaystyle H_ (1) = 1) no está completo.
Filas relacionadas
Serie Dirichlet
La serie armónica generalizada (o serie de Dirichlet) se llama serie
∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\ Displaystyle \ sum _ (k = 1) ^ (\ infty) (\ frac ( 1) (k ^ (\ alpha))) = 1 + (\ frac (1) (2 ^ (\ alpha))) + (\ frac (1) (3 ^ (\ alpha))) + (\ frac ( 1) (4 ^ (\ alpha))) + \ cdots + (\ frac (1) (k ^ (\ alpha))) + \ cdots).La serie armónica generalizada diverge en α ⩽ 1 (\ Displaystyle \ alpha \ leqslant 1) y converge en α> 1 (\ Displaystyle \ alpha> 1) .
La suma de la serie armónica generalizada de orden α (\ Displaystyle \ alpha) es igual al valor de la función zeta de Riemann:
∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\ Displaystyle \ sum _ (k = 1) ^ (\ infty) (\ frac (1) (k ^ (\ alpha))) = \ zeta (\ alpha ))Incluso, este valor se expresa explícitamente a través del número pi, por ejemplo, ζ (2) = π 2 6 (\ Displaystyle \ zeta (2) = (\ frac (\ pi ^ (2)) (6))), y ya para α = 3 su valor es analíticamente desconocido.
Otra ilustración de la divergencia de la serie armónica es la relación ζ (1 + 1 norte) ∼ norte (\ Displaystyle \ zeta (1 + (\ frac (1) (n))) \ sim n). Por tanto, dicen que dicha serie tiene una probabilidad de 1, y la suma de la serie es una variable aleatoria con propiedades interesantes. Por ejemplo, la función de densidad de probabilidad calculada en los puntos +2 o -2 tiene el siguiente valor:
0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,difiere de ⅛ en menos de 10 −42.
Serie armónica "diluida"
Serie Kempner (Inglés)Si consideramos la serie armónica, en la que solo quedan los términos, cuyos denominadores no contienen el número 9, resulta que la suma restante converge al número<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\ Displaystyle n), cada vez se toman menos términos para la suma de la serie "adelgazada". Es decir, al final, la inmensa mayoría de los miembros que forman la suma de la serie armónica se descartan para no exceder la progresión geométrica que delimita desde arriba.
Respuesta: la fila diverge.
Ejemplo No. 3
Encuentra la suma de la serie $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $.
Dado que el límite inferior de la suma es 1, el término común de la serie se escribe bajo el signo de suma: $ u_n = \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Compongamos la enésima suma parcial de la serie, es decir Resumamos los primeros $ n $ miembros de una serie numérica determinada:
$$ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ ldots + u_n = \ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Por qué escribo exactamente $ \ frac (2) (3 \ cdot 5) $, y no $ \ frac (2) (15) $, quedará claro en la narración posterior. Sin embargo, registrar una cantidad parcial no nos acercó ni un ápice a nuestro objetivo. Necesitamos encontrar $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $, pero si solo escribimos:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \ right), $$
entonces este registro, completamente correcto en su forma, no nos dará nada en esencia. Para encontrar el límite, primero se debe simplificar la expresión de la suma parcial.
Para ello, existe una transformación estándar, que consiste en expandir la fracción $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $, que representa el término común de la serie, en fracciones elementales. Se dedica un tema aparte al tema de la descomposición de fracciones racionales en elementales (ver, por ejemplo, el ejemplo # 3 en esta página). Expandiendo la fracción $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ en fracciones elementales, tendremos:
$$ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) = \ frac (A) (2n + 1) + \ frac (B) (2n + 3) = \ frac (A \ cdot (2n) +3) + B \ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Igualamos los numeradores de las fracciones en los lados izquierdo y derecho de la igualdad resultante:
$$ 2 = A \ cdot (2n + 3) + B \ cdot (2n + 1). $$
Hay dos formas de encontrar los valores de $ A $ y $ B $. Puede expandir los paréntesis y reorganizar los términos, o simplemente puede sustituir algunos valores adecuados por $ n $. Estrictamente para variar, en este ejemplo tomaremos el primer camino y el siguiente: sustituiremos los valores privados de $ n $. Al expandir los corchetes y reorganizar los términos, obtenemos:
$$ 2 = 2An + 3A + 2Bn + B; \\ 2 = (2A + 2B) n + 3A + B. $$
Hay un cero en el lado izquierdo de la igualdad antes de $ n $. Si lo desea, el lado izquierdo de la igualdad se puede representar como $ 0 \ cdot n + 2 $ para mayor claridad. Dado que en el lado izquierdo de la igualdad antes de $ n $ hay cero, y en el lado derecho de la igualdad antes de $ n $ hay $ 2A + 2B $, tenemos la primera ecuación: $ 2A + 2B = 0 $. Inmediatamente dividimos ambos lados de esta ecuación por 2, después de lo cual obtenemos $ A + B = 0 $.
Dado que el término libre es igual a 2 en el lado izquierdo de la igualdad, y el término libre es igual a $ 3A + B $ en el lado derecho de la igualdad, entonces $ 3A + B = 2 $. Entonces, tenemos un sistema:
$$ \ left \ (\ begin (alineado) & A + B = 0; \\ & 3A + B = 2. \ end (alineado) \ right. $$
La demostración se realizará por el método de inducción matemática. En el primer paso, es necesario verificar si la igualdad que se está probando es válida: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ para $ n = 1 $. Sabemos que $ S_1 = u_1 = \ frac (2) (15) $, pero la expresión $ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ dará el valor $ \ frac ( 2) (15) $, si sustituye $ n = 1 $? Vamos a revisar:
$$ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) = \ frac (5-3) (15) = \ frac (2) (15). $$
Entonces, para $ n = 1 $, la igualdad $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ se cumple. Esto completa el primer paso del método de inducción matemática.
Suponga que para $ n = k $ se cumple la igualdad, es decir, $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $. Demostremos que la misma igualdad es válida para $ n = k + 1 $. Para hacer esto, considere $ S_ (k + 1) $:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1). $$
Como $ u_n = \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) $, entonces $ u_ (k + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. De acuerdo con el supuesto anterior, $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $, por lo tanto, la fórmula $ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) $ toma la forma:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3). $$
Conclusión: la fórmula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ es correcta para $ n = k + 1 $. Por lo tanto, de acuerdo con el método de inducción matemática, la fórmula $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ es verdadera para cualquier $ n \ en N $. La igualdad está probada.
En el curso estándar de matemáticas superiores, por lo general se sienten satisfechos con "tachar" los términos de cancelación sin requerir ninguna prueba. Entonces, obtuvimos la expresión para la enésima suma parcial: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Encuentre el valor de $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
Conclusión: la serie dada converge y su suma es $ S = \ frac (1) (3) $.
La segunda forma de simplificar la fórmula para la suma parcial.
Honestamente, yo mismo prefiero este método :) Anotemos la suma parcial en forma abreviada:
$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$
Tenemos antes que $ u_k = \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) $, entonces:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right). $$
La suma de $ S_n $ contiene un número finito de términos, por lo que podemos reorganizarlos como queramos. Primero quiero sumar todos los términos de la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $, y solo luego ir a los términos de la forma $ \ frac (1) (2k + 3) $. Esto significa que representaremos el monto parcial de la siguiente forma:
$$ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) + \ frac (1) (5) - \ frac (1) (7) + \ frac (1) (7) - \ frac (1) (9) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (11) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \\ = \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ left (\ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 3) \ right) . $$
Por supuesto, la notación expandida es extremadamente inconveniente, por lo que la igualdad presentada anteriormente se puede formatear de manera más compacta:
$$ S_n = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \ sum \ limits_ ( k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3). $$
Ahora transformamos las expresiones $ \ frac (1) (2k + 1) $ y $ \ frac (1) (2k + 3) $ a la misma forma. Creo que conviene llevarlo a la forma de una fracción mayor (aunque es posible reducirlo, esto es cuestión de gustos). Como $ \ frac (1) (2k + 1)> \ frac (1) (2k + 3) $ (cuanto mayor sea el denominador, menor será la fracción), reduciremos la fracción $ \ frac (1) (2k + 3) $ a la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $.
Representaré la expresión en el denominador de la fracción $ \ frac (1) (2k + 3) $ de la siguiente manera:
$$ \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (2k + 2 + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$
Y la suma $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) $ ahora se puede escribir así:
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) ) +1) = \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1). $$
Si la igualdad $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $ no genera preguntas, entonces vayamos más allá. Si tiene alguna pregunta, amplíe la nota.
¿Cómo obtuvimos la cantidad convertida? mostrar ocultar
Teníamos una serie $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 ( k + 1) +1) $. Introduzcamos una nueva variable en lugar de $ k + 1 $, por ejemplo, $ t $. Entonces, $ t = k + 1 $.
¿Cómo cambió la antigua variable $ k $? Y cambió de 1 a $ n $. Averigüemos cómo cambiará la nueva variable $ t $. Si $ k = 1 $, entonces $ t = 1 + 1 = 2 $. Si $ k = n $, entonces $ t = n + 1 $. Entonces, la expresión $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) $ ahora es $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n +1 ) \ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ suma \ límites_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2t + 1). $$
Tenemos la suma $ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) $. La pregunta es: ¿realmente importa qué letra usar en esta cantidad? :) Triste escribiendo la letra $ k $ en lugar de $ t $, obtenemos lo siguiente:
$$ \ sum \ límites_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) = \ sum \ límites_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1). $$
Así es como obtenemos la igualdad $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $.
Por tanto, el importe parcial se puede representar de la siguiente manera:
$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1 ). $$
Tenga en cuenta que las sumas $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ y $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2k + 1) $ difieren solo en los límites de la suma. Hagamos que estos límites sean los mismos. Tomando el primer elemento de la suma $ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ tendremos:
$$ \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 1) + \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1). $$
Tomando el último elemento de la suma $ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $, obtenemos:
$$ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2 (n + 1) +1) = \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3). $$
Entonces la expresión para la suma parcial tomará la forma:
$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ límites_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Si omitimos todas las explicaciones, entonces el proceso de encontrar una fórmula abreviada para la enésima suma parcial tomará la siguiente forma:
$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \\ = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (3) + \ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ izquierda (\ suma \ límites_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Permítanme recordarles que redujimos la fracción $ \ frac (1) (2k + 3) $ a la forma $ \ frac (1) (2k + 1) $. Por supuesto, puede hacer lo contrario, es decir representar la fracción $ \ frac (1) (2k + 1) $ como $ \ frac (1) (2k + 3) $. La expresión final del importe parcial no cambiará. En este caso, ocultaré el proceso de encontrar la suma parcial debajo de una nota.
¿Cómo encontrar $ S_n $ si lo reducimos a otra fracción? mostrar ocultar
$$ S_n = \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ suma \ límites_ (k = 0) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ suma \ límites_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Entonces $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Encuentre el límite $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $:
$$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n = \ lim_ (n \ to \ infty) \ left (\ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) -0 = \ frac (1) (3). $$
La serie dada converge y su suma es $ S = \ frac (1) (3) $.
Respuesta: $ S = \ frac (1) (3) $.
La continuación del tema de encontrar la suma de una serie se considerará en la segunda y tercera partes.
Este artículo es una estructura y información detallada, que puede resultar útil durante el análisis de ejercicios y tareas. Examinaremos el tema de las series de números.
Este artículo comienza con definiciones y conceptos básicos. A continuación, analizaremos las opciones estándar y exploraremos las fórmulas básicas. Para consolidar el material, el artículo proporciona ejemplos y tareas básicos.
Tesis basicas
Para empezar, imaginemos el sistema: un 1, un 2. ... ... , un,. ... ... , donde a k ∈ R, k = 1, 2. ... ... ...
Por ejemplo, tome números como: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16 ,. ... ... ...
Definición 1
La serie numérica es la suma de los términos ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 +. ... ... + a n +. ... ... ...
Para comprender mejor la definición, considere este caso, en el que q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. ... ... = ∑ k = 1 ∞ (- 16) - 1 2 k.
Definición 2
a k es genérico o k th miembro de la serie.
Se parece a esto: 16 · - 1 2 k.
Definición 3
Suma parcial de una serie se parece a esto S n = a 1 + a 2 +. ... ... + una n, en la que norte-Cualquier número. S n es enésimo la suma de la serie.
Por ejemplo, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k es S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.
S 1, S 2 ,. ... ... , S n ,. ... ... forman una secuencia interminable de números.
Por un numero enésimo la suma se calcula mediante la fórmula S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n. Usamos la siguiente secuencia de sumas parciales: 8, 4, 6, 5 ,. ... ... , 16 3 1 - - 1 2 n ,. ... ... ...
Definición 4
La serie ∑ k = 1 ∞ a k es convergente si la secuencia tiene un límite finito S = lim S n n → + ∞. Si no hay límite o la secuencia es infinita, entonces la serie ∑ k = 1 ∞ a k se llama divergente.
Definición 5
La suma de las series convergentes∑ k = 1 ∞ a k es el límite de la secuencia ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S.
V este ejemplo lim S nn → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, la serie ∑ k = 1 ∞ (- 16) - 1 2 k converge. La suma es 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3.
Ejemplo 1
Un ejemplo de una serie divergente es la suma progresión geométrica con un denominador mayor que uno: 1 + 2 + 4 + 8 +. ... ... + 2 n - 1 +. ... ... = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.
La enésima suma parcial está determinada por la expresión S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1-2 n) 1-2 = 2 n - 1, y el límite de las sumas parciales es infinito: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞.
Otro ejemplo de una serie numérica divergente es una suma de la forma ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 +. ... ... ... En este caso, la enésima suma parcial se puede calcular como S n = 5 n. El límite de las sumas parciales es infinito lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.
Definición 6
Una suma similar a ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 +. ... ... + 1 n +. ... ... - este es armónico serie de números.
Definición 7
La suma ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. ... ... + 1 n s +. ... ... , dónde s- un número real, es una serie numérica armónica generalizada.
Las definiciones discutidas anteriormente le ayudarán con la mayoría de los ejemplos y problemas.
Para completar las definiciones, es necesario probar ciertas ecuaciones.
- ∑ k = 1 ∞ 1 k es divergente.
Actuamos por el método del contrario. Si converge, entonces el límite es finito. La ecuación se puede escribir como lim n → + ∞ S n = S y lim n → + ∞ S 2 n = S. Después de ciertas acciones, obtenemos la igualdad l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.
Contra,
S 2 norte - S norte = 1 + 1 2 + 1 3 +. ... ... + 1 norte + 1 norte + 1 + 1 norte + 2 +. ... ... + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. ... ... + 1 norte = 1 norte + 1 + 1 norte + 2 +. ... ... + 1 2 n
Se cumplen las siguientes desigualdades: 1 n + 1> 1 2 n, 1 n + 1> 1 2 n ,. ... ... , 1 2 n - 1> 1 2 n. Obtenemos que S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. ... ... + 1 2 norte> 1 2 norte + 1 2 norte +. ... ... + 1 2 norte = norte 2 norte = 1 2. La expresión S 2 n - S n> 1 2 indica que lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 no se alcanza. La fila es divergente.
- segundo 1 + segundo 1 q + segundo 1 q 2 +. ... ... + b 1 q n +. ... ... = ∑ k = 1 ∞ segundo 1 q k - 1
Es necesario confirmar que la suma de la secuencia de números converge para q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
De acuerdo con las definiciones anteriores, la cantidad norte los términos se determinan de acuerdo con la fórmula S n = b 1 · (q n - 1) q - 1.
Si q< 1 верно
lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = segundo 1 q - 1
Demostramos que la serie numérica converge.
Para q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. ... ... ∑ k = 1 ∞ segundo 1. Las sumas se pueden encontrar usando la fórmula S n = b 1 n, el límite es infinito lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 n = ∞. En la versión presentada, la fila diverge.
Si q = - 1, entonces la fila parece b 1 - b 1 + b 1 -. ... ... = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1. Las sumas parciales se ven como S n = b 1 para impares norte, y S n = 0 para pares norte... Habiendo considerado este caso, nos aseguraremos de que no haya límite y la serie sea divergente.
Para q> 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞
Demostramos que la serie numérica diverge.
- La serie ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge si s> 1 y diverge si s ≤ 1.
Para s = 1 obtenemos ∑ k = 1 ∞ 1 k, la serie diverge.
Para s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,número natural... Dado que la serie es divergente ∑ k = 1 ∞ 1 k, no hay límite. Después de esto, la secuencia ∑ k = 1 ∞ 1 k s es ilimitada. Concluimos que la fila seleccionada diverge en s< 1 .
Es necesario proporcionar evidencia de que la serie ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge para s> 1.
Representemos S 2 n - 1 - S n - 1:
S 2 norte - 1 - S norte - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. ... ... + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s +. ... ... + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. ... ... + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s +. ... ... + 1 (2 n - 1) s
Suponga que 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Representemos la ecuación para números que son naturales e incluso n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
Obtenemos:
∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. ... ... + 1 7 s + 1 8 s +. ... ... + 1 15 s +. ... ... = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. ... ...< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
Expresión 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. ... ... Es la suma de una progresión geométrica q = 1 2 s - 1. Según los datos iniciales en s> 1, luego 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s> 1 aumenta y se limita por encima de 1 1 - 1 2 s - 1. Imagina que hay un límite y la serie es convergente ∑ k = 1 ∞ 1 k s.
Definición 8
Serie ∑ k = 1 ∞ a k positivo en ese caso si sus términos> 0 a k> 0, k = 1, 2 ,. ... ... ...
Serie ∑ k = 1 ∞ b k alterno si los signos de los números son diferentes. Este ejemplo se presenta como ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k ak o ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 ak, donde ak> 0, k = 1, 2 ,. ... ... ...
Serie ∑ k = 1 ∞ b k alterno, ya que contiene muchos números, negativos y positivos.
La segunda fila de opciones es un caso especial de la tercera opción.
Demos ejemplos para cada caso, respectivamente:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
Para la tercera opción, también puede definir la convergencia absoluta y condicional.
Definición 9
La serie alterna ∑ k = 1 ∞ b k converge absolutamente si ∑ k = 1 ∞ b k también se supone que es convergente.
Echemos un vistazo más de cerca a varias opciones típicas.
Ejemplo 2
Si las filas son 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. ... ... y 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. ... ... se definen como convergentes, entonces es cierto suponer que 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. ... ...
Definición 10
Una serie alterna ∑ k = 1 ∞ b k se considera condicionalmente convergente si ∑ k = 1 ∞ b k es divergente, y la serie ∑ k = 1 ∞ b k se considera convergente.
Ejemplo 3
Analicemos en detalle la opción ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 +. ... ... ... La serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k, que consta de valores absolutos, se define como divergente. Esta opción se considera convergente porque es fácil de determinar. De este ejemplo, aprendemos que la serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 +. ... ... se considerará condicionalmente convergente.
Características de las series convergentes
Analicemos las propiedades para ciertos casos.
- Si ∑ k = 1 ∞ a k converge, entonces la serie ∑ k = m + 1 ∞ a k también se reconoce como convergente. Se puede observar que la fila sin metro los miembros también se consideran convergentes. Si sumamos varios números a ∑ k = m + 1 ∞ a k, entonces el resultado también convergerá.
- Si ∑ k = 1 ∞ a k converge y la suma = S, entonces la serie ∑ k = 1 ∞ A a k, ∑ k = 1 ∞ A a k = A S también converge, donde A-constante.
- Si ∑ k = 1 ∞ a k y ∑ k = 1 ∞ b k son convergentes, las sumas A y B también, entonces la serie ∑ k = 1 ∞ a k + b k y ∑ k = 1 ∞ a k - b k también convergen. Las cantidades serán iguales A + B y A - B respectivamente.
Determine que la serie converge ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3.
Cambia la expresión ∑ k = 1 ∞ 2 3 k k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 1 k 4 3. La serie ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 se considera convergente, ya que la serie ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge para s> 1... Según la segunda propiedad, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3.
Ejemplo 5
Determina si la serie ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 converge.
Transformamos la versión original ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2.
Obtenemos la suma ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 y ∑ n = 1 ∞ 1 n 2. Cada fila se reconoce como convergente según su propiedad. Dado que las filas convergen, también la versión original.
Ejemplo 6
Calcule si la serie 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + converge. ... ... y calcula la cantidad.
Expandamos la versión original:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. ... ... = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. ... ... - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. ... ... = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2
Cada fila converge, ya que es uno de los miembros secuencia numérica... Según la tercera propiedad, podemos calcular que la variante original también es convergente. Calculamos la suma: El primer término de la serie ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, y el denominador = 0. 5, esto es seguido por ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0. 5 = 2. El primer término es ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3, y el denominador de una secuencia numérica decreciente = 1 3. Obtenemos: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2.
Usamos las expresiones obtenidas anteriormente para determinar la suma 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. ... ... = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7
Condición necesaria para determinar si una serie es convergente
Definición 11Si la serie ∑ k = 1 ∞ a k es convergente, entonces su límite k-ésimo término = 0: lim k → + ∞ a k = 0.
Si marcamos alguna opción, entonces no debemos olvidarnos de la condición sine qua non. Si no se cumple, la serie diverge. Si lim k → + ∞ a k ≠ 0, entonces la serie es divergente.
Cabe aclarar que la condición es importante pero no suficiente. Si se cumple la igualdad lim k → + ∞ a k = 0, entonces esto no garantiza que ∑ k = 1 ∞ a k sea convergente.
Pongamos un ejemplo. Para una serie armónica ∑ k = 1 ∞ 1 k, la condición se cumple lim k → + ∞ 1 k = 0, pero la serie aún diverge.
Ejemplo 7
Determine la convergencia ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n.
Comprobemos la expresión original para la condición lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Límite enésimo miembro no es igual a 0. Hemos probado que la serie dada diverge.
Cómo determinar la convergencia de una serie positiva.
Si usa constantemente estos signos, tendrá que calcular constantemente los límites. Esta sección le ayudará a evitar complicaciones mientras resuelve ejemplos y problemas. Para determinar la convergencia de una serie positiva, existe una cierta condición.
Para la convergencia de un positivo ∑ k = 1 ∞ a k, a k> 0 ∀ k = 1, 2, 3 ,. ... ... es necesario definir una secuencia limitada de cantidades.
Cómo comparar rangos
Hay varios indicios de una comparación en serie. Comparamos la serie cuya convergencia se propone determinar con la serie cuya convergencia se conoce.
La primera señal
∑ k = 1 ∞ a k y ∑ k = 1 ∞ b k son series positivas. La desigualdad a k ≤ b k es válida para k = 1, 2, 3, ... De esto se deduce que de la serie ∑ k = 1 ∞ b k podemos obtener ∑ k = 1 ∞ a k. Dado que ∑ k = 1 ∞ a k diverge, la serie ∑ k = 1 ∞ b k puede definirse como divergente.
Esta regla se usa constantemente para resolver ecuaciones y es un argumento sólido que ayudará a determinar la convergencia. Las dificultades pueden residir en el hecho de que no es posible encontrar un ejemplo adecuado para comparar en todos los casos. Muy a menudo, la serie se selecciona de acuerdo con el principio de que el indicador k-ésimo término será igual al resultado de restar exponentes del numerador y denominador k-ésimo miembro de la serie. Suponga que a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, la diferencia será 2 – 3 = - 1 ... En este caso, se puede determinar que para la comparación, una serie con k-ésimo término b k = k - 1 = 1 k, que es armónico.
Para consolidar el material resultante, echemos un vistazo más de cerca a un par de opciones típicas.
Ejemplo 8
Determina cuál es la serie ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2.
Dado que el límite = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, realizamos condición necesaria... La desigualdad será válida 1 k< 1 k - 1 2 для k, que son naturales. De los párrafos anteriores, aprendimos que la serie armónica ∑ k = 1 ∞ 1 k es divergente. Según el primer criterio, se puede demostrar que la variante original es divergente.
Ejemplo 9
Determina si la serie es convergente o divergente ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1.
En este ejemplo, se cumple la condición necesaria, ya que lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Representamos como desigualdad 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k... La serie ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 es convergente, ya que la serie armónica ∑ k = 1 ∞ 1 k s converge para s> 1... Según el primer signo, podemos concluir que la serie numérica es convergente.
Ejemplo 10
Determina cuál es la serie ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k). lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0.
En esta opción, puede marcar el cumplimiento de la condición deseada. Definamos una serie para comparar. Por ejemplo, ∑ k = 1 ∞ 1 k s. Para determinar cuál es el grado, considere la secuencia (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. ... ... ... Miembros de la secuencia ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5) ,. ... ... aumenta hasta el infinito. Después de analizar la ecuación, se puede observar que, tomando N = 1619 como valor, los miembros de la secuencia son> 2. Para esta secuencia, la desigualdad 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
Segundo signo
Suponga que ∑ k = 1 ∞ a k y ∑ k = 1 ∞ b k son series numéricas positivas.
Si lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞, entonces la serie ∑ k = 1 ∞ b k converge, y ∑ k = 1 ∞ a k converge también.
Si lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, entonces dado que la serie ∑ k = 1 ∞ b k diverge, entonces ∑ k = 1 ∞ a k también diverge.
Si lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ y lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, entonces la convergencia o divergencia de una serie significa la convergencia o divergencia de otra.
Considere ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 usando la segunda característica. A modo de comparación, ∑ k = 1 ∞ b k tome una serie convergente ∑ k = 1 ∞ 1 k 3. Definimos el límite: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1
Según el segundo criterio, se puede determinar que la serie convergente ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 significa que la versión original también converge.
Ejemplo 11
Determina cuál es la serie ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5.
Analicemos la condición necesaria lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, que se satisface en esta variante. Según el segundo criterio, tome la serie ∑ k = 1 ∞ 1 k. Buscamos el límite: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4
Según las tesis anteriores, una serie divergente implica una divergencia de la serie original.
Tercer signo
Considere la tercera característica de la comparación.
Suponga que ∑ k = 1 ∞ a k y _ ∑ k = 1 ∞ b k son series numéricas positivas. Si se satisface la condición para algún número a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k, entonces la convergencia de esta serie ∑ k = 1 ∞ b k significa que la serie ∑ k = 1 ∞ a k también es convergente. La serie divergente ∑ k = 1 ∞ a k implica la divergencia ∑ k = 1 ∞ b k.
Signo de D'Alembert
Imagina que ∑ k = 1 ∞ a k es una serie de números positivos. Si lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, luego divergente.
Observación 1
La prueba de d'Alembert es válida si el límite es infinito.
Si lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞, entonces la serie es convergente, si lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞, entonces es divergente.
Si lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, entonces la prueba de d'Alembert no ayudará y se requerirán varios estudios más.
Ejemplo 12
Determine si la serie es convergente o divergente ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k mediante el criterio de d'Alembert.
Es necesario comprobar si se cumple la condición de convergencia necesaria. Calculamos el límite usando la regla de L'Hôpital: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0
Podemos ver que se cumple la condición. Usamos la prueba de d'Alembert: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1
La serie es convergente.
Ejemplo 13
¡Determina si la serie es divergente ∑ k = 1 ∞ k k k! ...
Usaremos la prueba de d'Alembert para determinar la divergencia de la serie: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1)! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k! k k (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e> 1
Por tanto, la serie es divergente.
Signo radical de Cauchy
Suponga que ∑ k = 1 ∞ a k es una serie positiva. Si lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, luego divergente.
Observación 2
Si lim k → + ∞ a k k = 1, entonces este atributo no proporciona ninguna información; se requiere un análisis adicional.
Esta característica se puede utilizar en ejemplos fáciles de definir. El caso será típico cuando un miembro de una serie numérica sea una expresión exponencial exponencial.
Para consolidar la información recibida, consideraremos varios ejemplos típicos.
Ejemplo 14
Determina si la serie positiva ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k es convergente.
La condición requerida se considera satisfecha, ya que lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0.
Según el criterio considerado anteriormente, obtenemos lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.
Ejemplo 15
¿Converge la serie numérica ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2?
Usamos la característica descrita en el párrafo anterior lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
Prueba de Cauchy integral
Suponga que ∑ k = 1 ∞ a k es una serie positiva. Es necesario denotar la función de argumento continuo y = f (x) que coincide con n = f (n). Si y = f (x) es mayor que cero, no se interrumpe y disminuye en [a; + ∞), donde a ≥ 1
Entonces en caso integral impropia∫ a + ∞ f (x) d x es convergente, entonces la serie considerada también converge. Si diverge, en el ejemplo que se examina, la serie también diverge.
Al verificar la función de disminución, puede usar el material discutido en las lecciones anteriores.
Ejemplo 16
Considere el ejemplo ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k para la convergencia.
Se considera cumplida la condición de convergencia de la serie, ya que lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0. Considere y = 1 x ln x. Es mayor que cero, no se interrumpe y disminuye en [2; + ∞). Los dos primeros puntos se conocen con certeza, pero el tercero debería extenderse con más detalle. Encuentre la derivada: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Es menor que cero en [2 ; + ∞) Esto prueba la tesis de que la función es decreciente.
En realidad, la función y = 1 x · ln x corresponde a las características del principio que consideramos anteriormente. Lo usamos: ∫ 2 + ∞ dxx ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞
Según los resultados obtenidos, el ejemplo original diverge, ya que la integral impropia es divergente.
Ejemplo 17
Demuestre la convergencia de la serie ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3.
Dado que lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, la condición se considera satisfecha.
A partir de k = 4, la expresión correcta es 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Si la serie ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 se considera convergente, entonces, de acuerdo con uno de los principios de comparación, la serie ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 también se considerará convergente. Por tanto, podemos determinar que la expresión original también es convergente.
Procedemos a la prueba ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3.
Dado que la función y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 es mayor que cero, no se interrumpe y disminuye en [4; + ∞). Usamos la función descrita en el párrafo anterior:
∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A re (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 en 28 2
En la serie convergente resultante, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, podemos definir que ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 también converge.
Signo de Raabe
Suponga que ∑ k = 1 ∞ a k es una serie de números de signo positivo.
Si lim k → + ∞ k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, luego converge.
Este método de determinación se puede utilizar si las técnicas descritas anteriormente no dan resultados visibles.
Estudio para la convergencia absoluta
Para la investigación tomamos ∑ k = 1 ∞ b k. Utilice el positivo ∑ k = 1 ∞ b k. Podemos usar cualquiera de los rasgos apropiados que describimos anteriormente. Si la serie ∑ k = 1 ∞ b k converge, entonces la serie original es absolutamente convergente.
Ejemplo 18
Investigar la serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 para la convergencia ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1.
La condición se cumple lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0. Usamos ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 y usamos la segunda característica: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3.
La serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 converge. La serie original también es absolutamente convergente.
Divergencia de series alternas
Si la serie ∑ k = 1 ∞ b k es divergente, entonces la correspondiente serie alterna ∑ k = 1 ∞ b k es divergente o condicionalmente convergente.
Solo la prueba de d'Alembert y la prueba de Cauchy radical ayudarán a sacar conclusiones sobre ∑ k = 1 ∞ b k a partir de la divergencia de los módulos ∑ k = 1 ∞ b k. La serie ∑ k = 1 ∞ b k también diverge si no se cumple la condición de convergencia necesaria, es decir, si lim k → ∞ + b k ≠ 0.
Ejemplo 19
Compruebe la divergencia 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6 ,. ... ... ...
Módulo k-ésimo término se representa como b k = k! 7 k.
Examinemos la serie ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k para la convergencia de d'Alembert: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1)! 7 k + 1 k! 7 k = 1 7 lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞.
∑ k = 1 ∞ segundo k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k diverge de la misma manera que la versión original.
Ejemplo 20
¿Es ∑ k = 1 ∞ (- 1) k k 2 + 1 ln (k + 1) convergiendo.
Considere la condición necesaria lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞. La condición no se cumple, por lo tanto, ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) es una serie divergente. El límite se calculó según la regla de L'Hôpital.
Pruebas de convergencia condicional
Signo de Leibniz
Definición 12Si los valores de los miembros de la serie alterna disminuyen b 1> b 2> b 3>. ... ... >. ... ... y el límite del módulo = 0 cuando k → + ∞, entonces la serie ∑ k = 1 ∞ b k converge.
Ejemplo 17
Considere ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) para la convergencia.
La serie se representa como ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1). Se cumple la condición requerida lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0. Considere ∑ k = 1 ∞ 1 k por el segundo criterio de comparación lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5
Obtenemos que ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) diverge. La serie ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) converge según el criterio de Leibniz: la secuencia 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1 ,. ... ... disminuye y lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0.
La serie converge condicionalmente.
Prueba de Abel-Dirichlet
Definición 13∑ k = 1 + ∞ u k v k converge si (u k) no aumenta y la secuencia ∑ k = 1 + ∞ v k está acotada.
Ejemplo 17
Explora 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. ... ... para la convergencia.
Imagina
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. ... ... = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k
donde (u k) = 1, 1 2, 1 3 ,. ... ... - no creciente, y la secuencia (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2 ,. ... ... acotado (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0 ,. ... ... ... La serie converge.
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