Cómo encontrar moda si los números no se repiten. Estadísticas

Moda y mediana- un tipo especial de promedios que se utilizan para estudiar la estructura de la serie de variación. A veces se les llama promedios estructurales, en contraste con los promedios de la ley de potencias discutidos anteriormente.

Moda- este es el valor de una característica (opción), que se encuentra con mayor frecuencia en una población determinada, es decir, tiene la frecuencia más alta.

La moda tiene una gran aplicación práctica y en algunos casos solo la moda puede caracterizar los fenómenos sociales.

Mediana Es una variación que se encuentra en medio de una serie de variaciones ordenadas.

La mediana muestra el límite cuantitativo del valor de una característica variable, que ha alcanzado la mitad de las unidades de la población. El uso de la mediana junto con la media o en lugar de ella es aconsejable si hay intervalos abiertos en la serie de variación, porque para calcular la mediana, no se requiere una configuración condicional de los límites de los intervalos abiertos y, por lo tanto, la falta de información sobre ellos no afecta la precisión del cálculo de la mediana.

La mediana también se utiliza cuando no se conocen las métricas que se utilizarán como ponderaciones. La mediana se utiliza en lugar de la media aritmética en los métodos estadísticos de control de calidad del producto. La suma de las desviaciones absolutas de las opciones de la mediana es menor que la de cualquier otro número.

Considere el cálculo de la moda y la mediana en una serie de variación discreta :

Determine la moda y la mediana.

Moda Moe = 4 años, ya que este valor corresponde a la frecuencia más alta f = 5.

Aquellos. mayor numero los trabajadores tienen 4 años de experiencia.

Para calcular la mediana, primero encontremos la mitad de la suma de frecuencias. Si la suma de frecuencias es un número impar, primero agregamos uno a esta suma y luego dividimos por la mitad:

La mediana será la octava opción.

Para encontrar qué opción será la octava en número, acumularemos frecuencias hasta que obtengamos la suma de frecuencias igual o mayor que la mitad de la suma de todas las frecuencias. La variante correspondiente será la mediana.

Me = 4 años.

Aquellos. la mitad de los trabajadores tiene menos de cuatro años de experiencia, la mitad más.

Si la suma de las frecuencias acumuladas contra una variante es igual a la mitad de la suma de las frecuencias, entonces la mediana se determina como la media aritmética de esta variante y la siguiente.

Cálculo de la moda y la mediana en la serie de variación de intervalo

La moda en la serie de variación de intervalo se calcula mediante la fórmula

dónde NS M0- el límite inicial del intervalo modal,

hmetro 0 - el valor del intervalo modal,

Fmetro 0 , Fmetro 0-1 , Fmetro 0+1 - frecuencia, respectivamente, del intervalo modal que precede al modal y subsiguiente.

Modal Se denomina intervalo al que corresponde la frecuencia más alta.

Ejemplo 1

Determine la moda y la mediana.

Espaciado modal, porque corresponde a la frecuencia más alta f = 35. Entonces:

HM 0 =6, fm 0 =35

Mediana es un valor de característica que divide la serie de distribución clasificada en dos partes iguales, con valores de característica menores que la mediana y con valores de característica mayores que la mediana. Para encontrar la mediana, necesita encontrar el valor de la característica, que está en el medio de la fila ordenada.

Ver la solución al problema de encontrar la moda y la mediana Usted puede

En rangos clasificados, datos desagrupados para encontrar la mediana se reducen a encontrar el número ordinal de la mediana. La mediana se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

donde Xm es el borde inferior del intervalo mediano;
im - intervalo mediano;
Sme es la suma de observaciones que se acumularon antes del comienzo del intervalo mediano;
fme es el número de observaciones en el intervalo mediano.

Propiedades medianas

1. La mediana no depende de aquellos valores de la característica que se ubican a ambos lados de la misma.
2. Las operaciones analíticas con la mediana son muy limitadas, por lo tanto, al combinar dos distribuciones con medianas conocidas, es imposible predecir de antemano el valor de la mediana de la nueva distribución.
3. La mediana posee propiedad de minimidad. Su esencia radica en el hecho de que la suma de las desviaciones absolutas de los valores de x, de la mediana es el valor mínimo en comparación con la desviación de X de cualquier otro valor

Definición gráfica de la mediana

Para determinar medianas gráficas utilice las frecuencias acumuladas sobre las que se construye la curva acumulada. Los vértices de las ordenadas correspondientes a las frecuencias acumuladas están conectados por segmentos de línea recta. Dividiendo el pop olam por la última ordenada, que corresponde a la suma total de frecuencias y trazando la perpendicular a ella de la intersección con la curva acumulada, encuentre la ordenada del valor mediano deseado.

Definición de moda en estadística

Moda: el significado de una característica, que tiene la frecuencia más alta en la serie de distribución estadística.

Definiendo la moda producido de diferentes maneras, y depende de si la característica variable se presenta en forma de serie discreta o de intervalo.

Encontrar moda y la mediana ocurre simplemente escaneando la columna de frecuencia. En esta columna, encuentre el número más grande que caracteriza la frecuencia más alta. Corresponde a un cierto valor del atributo, que es moda. En la serie de variación de intervalo, la moda se considera aproximadamente la variante central del intervalo con la frecuencia más alta. En tal fila de distribución la moda se calcula mediante la fórmula:

donde ХМо es el límite inferior del intervalo modal;
imo - intervalo modal;
fm0, fm0-1, fm0 + 1 - frecuencias en los intervalos modales modal, anterior y siguiente.

El espaciamiento modal está determinado por la frecuencia más alta.

La moda se utiliza ampliamente en la práctica estadística en el análisis de la demanda de compra, registro de precios, etc.

Relación entre media aritmética, mediana y moda

Para una serie de distribución simétrica unimodal, la mediana y la moda coinciden. No son iguales para distribuciones sesgadas.

K. Pearson, sobre la base de igualar varios tipos de curvas, determinó que para distribuciones moderadamente asimétricas, las siguientes relaciones aproximadas entre la media aritmética, la mediana y la moda son válidas:

Al estudiar la carga de estudio de los estudiantes, se identificó un grupo de 12 estudiantes de séptimo grado. Se les pidió que marcaran en un día específico el tiempo (en minutos) dedicado a su tarea de álgebra. Se recibieron los siguientes datos: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Al estudiar la carga de estudio de los alumnos, se identificó un grupo de 12 alumnos de séptimo grado. Se les pidió que marcaran en un día específico el tiempo (en minutos) dedicado a su tarea de álgebra. Obtuvimos los siguientes datos: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

La media aritmética de la serie. La media aritmética de una serie de números es el cociente de dividir la suma de estos números por el número de términos. La media aritmética de una serie de números es el cociente de dividir la suma de estos números por el número de términos. (): 12 = 27

La gama de la serie. El lapso de una serie es la diferencia entre el mayor y el menor de estos números. El lapso de una serie es la diferencia entre el mayor y el menor de estos números. El mayor consumo de tiempo es de 37 minutos y el menor de 18 minutos. Encuentre el rango de la serie: 37 - 18 = 19 (min)

Moda de fila. La moda de una serie de números es el número que aparece en esta serie con más frecuencia que en otros. La moda de una serie de números es el número que aparece en esta serie con más frecuencia que en otros. La moda de nuestra serie es el número - 25. La moda de nuestra serie es el número - 25. Una serie de números puede tener o no más de una moda. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 - dos modos 47 y 52.2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73.72 - sin moda.

La media aritmética, el rango y la moda encuentran aplicación en la estadística, una ciencia que se ocupa de obtener, procesar y analizar datos cuantitativos sobre diversos fenómenos de masas que ocurren en la naturaleza y la sociedad. La media aritmética, el rango y la moda encuentran aplicación en la estadística, una ciencia que se ocupa de obtener, procesar y analizar datos cuantitativos sobre diversos fenómenos de masas que ocurren en la naturaleza y la sociedad. Las estadísticas estudian el número de grupos individuales de la población del país y sus regiones, la producción y el consumo de varios tipos de productos, el transporte de mercancías y pasajeros. diferentes tipos transporte, Recursos naturales etc. Las estadísticas estudian el número de grupos individuales de la población de un país y sus regiones, producción y consumo de varios tipos de productos, transporte de mercancías y pasajeros por diversos modos de transporte, recursos naturales, etc.

1. Encuentre la media aritmética y el rango de una serie de números: a) 24,22,27,20,16,37; b) 30,5,23,5,28, Encuentre la media aritmética, el rango y la moda de varios números: a) 32,26,18,26,15,21,26; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; c) 61,64,64,83,61,71,70; c) 61,64,64,83,61,71,70; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, En la serie de números 3, 8, 15, 30, __, 24, falta un número, Encuéntrelo si: a) la media aritmética de la serie es 18; a) la media aritmética de la serie es 18; b) el rango de la serie es 40; b) el rango de la serie es 40; c) la moda de la serie es 24. c) la moda de la serie es 24.

4. En el certificado de educación secundaria de cuatro amigos - graduados de la escuela - se encontraron las siguientes notas: Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5, 4,4; Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Semyonov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Semyonov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. ¿De qué grado se graduó cada uno de estos graduados? Indique la nota más típica de cada uno de ellos en el certificado. ¿Qué características estadísticas usó al responder? ¿De qué grado se graduó cada uno de estos graduados? Indique la nota más típica de cada uno de ellos en el certificado. ¿Qué características estadísticas usó al responder?

Trabajo independiente Opción 1. Opción Dada una serie de números: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Halla la media aritmética, el rango y la moda de contento. 2. En la fila de los números 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25, falta un número. falta un número. Encuéntrelo si: Encuéntrelo si: a) la media aritmética a) la media aritmética es 19; algo es igual a 19; b) el rango de la serie - 41. b) el rango de la serie - 41. Variante Se dan varios números: 38, 42, 36, 45, 48, 45,45, 42. Encuentre la media aritmética, el rango y la moda se alegra. 2. Falta un número en la fila de los números 5, 10, 17, 32, _, 26. Encuéntrelo si: a) la media aritmética es 19; b) el rango de la serie es 41.

La mediana de una serie ordenada de números con un número impar de números es el número escrito en el medio, y la mediana de una serie ordenada de números con un número par de números es la media aritmética de dos números escritos en el medio. La mediana de una serie ordenada de números con un número impar de números es el número escrito en el medio, y la mediana de una serie ordenada de números con un número par de números es la media aritmética de dos números escritos en el medio. La tabla muestra el consumo de electricidad en enero de los inquilinos de nueve apartamentos: La tabla muestra el consumo de electricidad en enero de los inquilinos de nueve apartamentos:

Hagamos una fila ordenada: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, es la mediana de esta serie. 78 es la mediana de esta serie. Dada una fila ordenada: Dada una fila ordenada: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. (): 2 = 80 es la mediana. (): 2 = 80 - mediana.

1. Encuentre la mediana de una serie de números: a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. 2. Encuentre la media aritmética y la mediana de varios números: a) 27, 29, 23, 31,21,34; a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; c) 3.8, 7.2, 6.4, 6.8, 7.2; c) 3.8, 7.2, 6.4, 6.8, 7.2; d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. La tabla muestra el número de visitantes a la exposición en diferentes días de la semana: Encuentre la mediana de la serie de datos especificada. ¿En qué días de la semana el número de visitantes a la exposición fue superior a la mediana? Días de la semana lun lun mar mié mié jue jue vie vie sáb dom dom Cantidad de visitantes

4. A continuación se muestra el procesamiento de azúcar diario promedio (en miles de céntimos) por las fábricas de azúcar de una determinada región: (en miles de céntimos) por las fábricas de azúcar de una determinada región: 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4 , 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4, 14, 2, 17, ocho. 14, 2, 17,8. Para la serie presentada, encuentre la media aritmética, la moda, el rango y la mediana. Para la serie presentada, encuentre la media aritmética, la moda, el rango y la mediana. 5. La organización mantuvo un registro diario de las cartas recibidas durante el mes. Como resultado, obtuvimos la siguiente serie de datos: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40 , 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25 , 34, 0, 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Para la serie presentada, encuentre la media aritmética, la moda, el rango y la mediana. Para la serie presentada, encuentre la media aritmética, la moda, el rango y la mediana.

Tarea... En las competencias de patinaje artístico, el desempeño del atleta se evaluó con los siguientes puntos: En las competencias de patinaje artístico, el desempeño del atleta se evaluó con los siguientes puntos: 5.2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5.3. 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5.3. Para la serie de números resultante, encuentre la media aritmética, el rango y la moda. Para la serie de números resultante, encuentre la media aritmética, el rango y la moda.

PRUEBA

Sobre el tema: "Moda. Mediana. Métodos de cálculo"

Introducción

Los valores medios y los indicadores de variación asociados juegan un papel muy importante en la estadística, lo que se debe al objeto de su estudio. Por tanto, este tema es uno de los temas centrales del curso.

El promedio es un indicador de resumen muy común en las estadísticas. Esto se debe al hecho de que solo con la ayuda del promedio es posible caracterizar a la población en términos de características que varían cuantitativamente. El valor medio en estadística es una característica generalizadora de un conjunto de fenómenos del mismo tipo para algún atributo que varía cuantitativamente. El promedio muestra el nivel de este rasgo, referido a la unidad de la población.

Al estudiar los fenómenos sociales y tratar de identificar sus rasgos característicos y típicos en condiciones específicas de lugar y tiempo, los estadísticos utilizan ampliamente los promedios. Con la ayuda de promedios, las diferentes poblaciones se pueden comparar entre sí de acuerdo con diferentes características.

Los promedios que se utilizan en estadísticas pertenecen a la clase de promedios de potencia. De los promedios de potencia, la media aritmética es la que se utiliza con mayor frecuencia, y con menor frecuencia la media armónica; la media armónica se usa solo cuando se calculan las tasas promedio de dinámica, y el cuadrado medio, solo cuando se calculan los indicadores de variación.

La media aritmética es el cociente de dividir la suma de la variante por su número. Se utiliza en los casos en que el volumen de una característica variable para toda la población se forma como la suma de los valores de la característica para sus unidades individuales. La media aritmética es el tipo más común de promedios, ya que corresponde a la naturaleza de los fenómenos sociales, donde el volumen de atributos variables en el agregado se forma con mayor frecuencia precisamente como la suma de los valores del atributo en unidades individuales de el agregado.

De acuerdo con su propiedad definitoria, el promedio armónico debe usarse cuando el volumen total de la característica se forma como la suma de los valores recíprocos de la variante. Se utiliza cuando, dependiendo del peso del material, es necesario no multiplicar, sino dividir en opciones o, lo que es lo mismo, multiplicar por su valor inverso. La media armónica en estos casos es el recíproco de la media aritmética de los valores recíprocos del atributo.

La media armónica debe utilizarse en los casos en que las ponderaciones no sean las unidades agregadas, es decir, los portadores del atributo, sino el producto de estas unidades por el valor del atributo.

1. Determinación de moda y mediana en estadísticas.

Las medias aritméticas y armónicas son características generalizadoras de la población para uno u otro atributo variable. La moda y la mediana son características descriptivas auxiliares de la distribución de una característica variable.

La moda en las estadísticas es el valor de una característica (opción), que se encuentra con mayor frecuencia en una población determinada. En la serie de variaciones, esta será la variante con mayor frecuencia.

La mediana en las estadísticas es la variante que se encuentra en el medio de la serie de variaciones. La mediana divide la fila por la mitad, a cada lado (arriba y abajo) hay el mismo número de unidades de población.

La moda y la mediana, a diferencia de las medias de la ley de potencias, son características específicas, su valor tiene alguna variante particular en la serie de variación.

La moda se utiliza en aquellos casos en los que es necesario caracterizar el valor más frecuente de un rasgo. Si necesita, por ejemplo, averiguar el salario más común en la empresa, el precio en el mercado al que se vendió el mayor número bienes, la talla de los zapatos que tienen mayor demanda entre los consumidores, etc., en estos casos se recurre a la moda.

La mediana es interesante porque muestra el límite cuantitativo del valor del atributo variable, que ha sido alcanzado por la mitad de los miembros de la población. Deje que el salario promedio de los empleados bancarios sea de 650,000 rublos. por mes. Esta característica se puede complementar si decimos que la mitad de los trabajadores recibió un salario de 700.000 rublos. y superior, es decir damos la mediana. La moda y la mediana son características típicas cuando se toman poblaciones de grandes cantidades y homogéneas.

2. Encontrar la moda y la mediana en una serie variacional discreta

No es difícil encontrar la moda y la mediana en la serie de variación, donde los valores de la característica vienen dados por ciertos números. Considere la tabla 1. con la distribución de familias por número de hijos.

Tabla 1. Distribución de familias por número de hijos

Evidentemente, en este ejemplo, la moda será una familia con dos hijos, ya que el mayor número de familias corresponde a este valor de opciones. Puede haber distribuciones donde todas las variantes ocurren con la misma frecuencia, en este caso no hay moda, o, de lo contrario, podemos decir que todas las variantes son igualmente modales. En otros casos, no una, sino dos variantes pueden ser de la frecuencia más alta. Entonces habrá dos modos, la distribución será bimodal. Las distribuciones bimodales pueden indicar la heterogeneidad cualitativa de la población para el rasgo estudiado.

Para encontrar la mediana en una serie de variación discreta, debe dividir a la mitad la suma de frecuencias y agregar ½ al resultado. Entonces, en la distribución de 185 familias por el número de hijos, la mediana será: 185/2 + ½ = 93, es decir Opción 93, que biseca la fila ordenada. ¿Cuál es el significado de la opción 93? Para descubrir esto, debe acumular frecuencias, comenzando por las opciones más pequeñas. La suma de las frecuencias de la 1ª y 2ª opción es 40. Está claro que aquí no hay 93 opciones. Si sumamos la frecuencia de la tercera opción a 40, obtenemos la suma igual a 40 + 75 = 115. Por lo tanto, la opción 93 corresponde al tercer valor de la característica variable, y la mediana será una familia con dos hijos. .

Moda y mediana en este ejemplo coincidió. Si tuviéramos una suma par de frecuencias (por ejemplo, 184), entonces, aplicando la fórmula anterior, obtenemos el número de variantes medianas, 184/2 + ½ = 92.5. Dado que no hay opciones fraccionarias, el resultado indica que la mediana está a medio camino entre 92 y 93 opciones.

3. Cálculo de la moda y la mediana en la serie de variación de intervalo

El carácter descriptivo de la moda y la mediana se debe a que las desviaciones individuales no se extinguen en ellas. Siempre corresponden a una opción concreta. Por lo tanto, la moda y la mediana no requieren cálculos para su hallazgo, si se conocen todos los valores de la característica. Sin embargo, en la serie de variación de intervalo, para encontrar el valor aproximado de la moda y la mediana dentro de un cierto intervalo, recurren a cálculos.

Para calcular un cierto valor del valor modal de una característica encerrada en un intervalo, use la fórmula:

Mo = X Mo + i Mo * (f Mo - f Mo-1) / ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

Donde X Mo es el límite mínimo del intervalo modal;

i Mo es el valor del intervalo modal;

f Mo es la frecuencia del intervalo modal;

f Mo-1 es la frecuencia del intervalo que precede al modal;

f Mo + 1 es la frecuencia del intervalo que sigue al modal.

Muestremos el cálculo de la moda usando el ejemplo dado en la Tabla 2.

Cuadro 2. Distribución de trabajadores de la empresa según el cumplimiento de estándares de producción

Para encontrar una moda, primero definimos el espaciado modal de una fila determinada. El ejemplo muestra que la frecuencia más alta corresponde al intervalo donde la variante se encuentra en el rango de 100 a 105. Este es el intervalo modal. El valor del intervalo modal es 5.

Sustituyendo los valores numéricos de la tabla 2 en la fórmula anterior, obtenemos:

M aproximadamente = 100 + 5 * (104-12) / ((104-12) + (104-98)) = 108,8

El significado de esta fórmula es el siguiente: el valor de la parte del intervalo modal que debe agregarse a su límite mínimo se determina en función del valor de las frecuencias de los intervalos anteriores y posteriores. En este caso, sumamos 8.8 a 100, es decir más de la mitad del intervalo, porque la frecuencia del intervalo anterior es menor que la frecuencia del intervalo siguiente.

Calculemos ahora la mediana. Para encontrar la mediana en la serie de variación de intervalo, primero determinamos el intervalo en el que se encuentra (intervalo de mediana). Dicho intervalo será uno, cuya frecuencia acumulativa sea igual o superior a la mitad de la suma de las frecuencias. Las frecuencias acumuladas están formadas por la suma gradual de frecuencias, a partir del intervalo con el valor más pequeño firmar. La mitad de la suma de frecuencias que tenemos es igual a 250 (500: 2). Por lo tanto, de acuerdo con la tabla 3. el intervalo mediano será el intervalo con el valor de los salarios de 350.000 rublos. hasta 400.000 rublos

Tabla 3. Cálculo de la mediana en la serie de variación de intervalo

Antes de este intervalo, la suma de las frecuencias acumuladas era 160. Por lo tanto, para obtener el valor mediano, es necesario agregar otras 90 unidades (250 - 160).

Conceptos básicos

Para los datos experimentales obtenidos de la muestra, es posible calcular la serie características numéricas (medidas).

La moda es un valor numérico que ocurre con mayor frecuencia en una muestra. La moda a veces se conoce como Mes.

Por ejemplo, en el significado de la serie (2 6 6 8 9 9 9 10), la moda es 9, porque 9 ocurre con más frecuencia que cualquier otro número.

La moda es el valor más común (en este ejemplo, 9), no la frecuencia de ese valor (en este ejemplo, 3).

La moda se encuentra según las reglas.

1. En el caso de que todos los valores de la muestra se presenten con la misma frecuencia, generalmente se acepta que esta serie de muestras no tiene moda.

Por ejemplo, 556677: no hay moda en esta muestra.

2. Cuando dos valores adyacentes (adyacentes) tienen la misma frecuencia y su frecuencia es mayor que las frecuencias de cualquier otro valor, la moda se calcula como la media aritmética de estos dos valores.

Por ejemplo, en la muestra 1 2 2 2 5 5 5 6 las frecuencias de los valores adyacentes 2 y 5 coinciden y son iguales a 3. Esta frecuencia es mayor que la frecuencia de los otros valores 1 y 6 (para los cuales es igual a 1).

Por tanto, la moda de esta serie será la cantidad.

3) Si dos valores no adyacentes (no adyacentes) en la muestra tienen frecuencias iguales que son más altas que las frecuencias de cualquier otro valor, entonces se distinguen dos modos. Por ejemplo, en la serie 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17, los modos son los valores 11 y 14. En este caso, se dice que la muestra es bimodal.

También pueden existir las denominadas distribuciones multimodales con más de dos vértices (modos)

4) Si el modo es estimado por el conjunto de datos agrupados, entonces para encontrar el modo es necesario determinar el grupo con la frecuencia más alta de la característica. Este grupo se llama grupo modal.

Mediana: indicada por Me y se define como un valor en relación con el cual al menos el 50% del valor de la muestra es menor que él y al menos el 50% es mayor.

La mediana es el valor que divide a la mitad un conjunto ordenado de datos.

Problema 1. Encuentre la mediana de la muestra 9 3 5 8 4 11 13

Solución Primero, clasifiquemos la muestra de acuerdo con los valores incluidos en ella. Obtenemos, 3 4 5 8 9 11 13. Como hay siete elementos en la muestra, el cuarto elemento en orden tendrá un valor mayor que los tres primeros y menor que los tres últimos. Por lo tanto, la mediana será el cuarto elemento: 8

Problema 2. Encuentre la mediana de la muestra 20, 9, 13, 1, 4, 11.

Organicemos la muestra 1, 4, 9, 11, 13, 20 Dado que hay un número par de elementos, hay dos "puntos medios": 9 y 13 En este caso, la mediana se determina como la media aritmética de estos valores.

Promedio

La media aritmética de una serie de n valores numéricos calculado como

Para mostrar el engaño de este indicador, citemos un ejemplo bien conocido: una abuela de 60 años con cuatro nietos caben en un compartimento de un carruaje: uno - 4 años, dos - 5 años y uno - 6 años. La media aritmética de la edad de todos los pasajeros de este compartimento es 80/5 = 16. En otro compartimento hay un grupo de jóvenes: dos - 15 años, uno - 16 años y dos - 17- años de edad. La edad media de los pasajeros en este compartimento también es 80/5 = 16. Por tanto, la media aritmética de los pasajeros en estos compartimentos no difiere. Pero si nos dirigimos al indicador de la desviación estándar, resulta que el diferencial promedio en relación con la edad promedio en el primer caso será 24,6 y en el segundo caso 1.

Además, el promedio es bastante sensible a valores muy pequeños o muy grandes que difieren de los valores principales de las características medidas. Dejemos que 9 personas tengan un ingreso de 4500 a 5200 mil dólares por mes. Su ingreso promedio es de $ 4,900, si agregamos a este grupo una persona con un ingreso de $ 20,000 mil por mes, entonces el promedio de todo el grupo cambia y resulta ser igual a $ 6,410, aunque nadie de toda la muestra (excepto una persona) realmente recibe tal cantidad.

Está claro que se puede obtener un cambio similar, pero en la dirección opuesta, incluso si se agrega a este grupo una persona con un ingreso anual muy bajo.

Propagación de muestra

Propagar ( barrer) muestreo- la diferencia entre los valores máximo y mínimo de esta serie de variaciones en particular. Está designado por la letra R.

Oscilación = valor máximo - valor mínimo

Está claro que cuanto más varía la característica medida, mayor es el valor de R y viceversa.

Sin embargo, puede suceder que para dos series de muestras coincidan tanto las medias como el rango, sin embargo, la naturaleza de la variación de estas series será diferente Por ejemplo, se dan dos muestras

Dispersión

La dispersión es la medida de dispersión más utilizada. variable aleatoria(variable).

Varianza: la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable de su media.