اصل جابجایی های ممکن مکانیک نظری از ابتدا است. محاسبه واکنش تکیه گاه با توجه به اصل جابجایی های احتمالی

همانطور که از درس مکانیک نظری مشخص است، شرایط تعادل یک جسم می تواند دارای فرمول نیرو یا انرژی باشد. گزینه اول شرط برابری صفر بردار اصلی و ممان اصلی تمامی نیروها و واکنش های وارد بر جسم است. رویکرد دوم (تغییر)، به نام اصل جابجایی های ممکن، برای حل تعدادی از مسائل در مکانیک سازه بسیار مفید بود.

برای سیستمی از اجسام کاملا صلب، اصل جابجایی های ممکن به صورت زیر فرموله می شود: اگر سیستمی از اجسام کاملا صلب در تعادل باشد، مجموع کار همه نیروهای خارجی بر روی هر جابجایی بینهایت کوچک ممکن برابر با صفر است. حرکت ممکن (یا مجازی) نامیده می شود که اتصالات سینماتیکی و تداوم اجسام را نقض نمی کند. برای سیستم در شکل 3.1، فقط چرخش میله نسبت به تکیه گاه امکان پذیر است. هنگام چرخش از طریق یک زاویه کوچک دلخواه، نیرو وارد می کند و کار می کند با توجه به اصل جابجایی های ممکن، اگر سیستم در حالت تعادل باشد، باید وجود داشته باشد . جایگزینی در اینجا روابط هندسی ما شرایط تعادل را در فرمول نیرو به دست می آوریم

اصل جابجایی های ممکن برای اجسام الاستیک به صورت زیر است: اگر سیستمی از اجسام الاستیک در حالت تعادل باشد، مجموع کار همه نیروهای خارجی و داخلی بر روی هر جابجایی بی نهایت کوچک ممکن برابر با صفر است. این اصل بر اساس مفهوم انرژی کل یک سیستم تغییر شکل الاستیک P است. اگر سازه به صورت ایستا بارگذاری شود، این انرژی برابر با کار انجام شده توسط نیروهای U و W داخلی در هنگام انتقال سیستم از حالت تغییر شکل یافته است. به اولیه:

با این ترجمه، نیروهای خارجی مقدار خود را تغییر نمی دهند و کار منفی U= -F را انجام می دهند. در این حالت، نیروهای داخلی به صفر می رسد و کار مثبت انجام می دهند، زیرا این نیروهای چسبندگی ذرات ماده هستند و در جهت مخالف بار خارجی هدایت می شوند:

جایی که - انرژی پتانسیل خاص تغییر شکل الاستیک؛ V حجم بدن است. برای یک سیستم خطی , که در آن . طبق قضیه لاگرانژ- دیریکله، حالت تعادل پایدار با حداقل انرژی پتانسیل کل سیستم الاستیک مطابقت دارد، یعنی.

آخرین برابری به طور کامل با فرمول بندی اصل جابجایی های ممکن مطابقت دارد. افزایش انرژی dU و dW را می توان بر روی هر گونه جابجایی (انحراف) احتمالی سیستم الاستیک از حالت تعادل محاسبه کرد. برای محاسبه سازه هایی که الزامات خطی بودن را برآورده می کنند، جابجایی بی نهایت کوچک ممکن d را می توان با یک جابجایی نهایی بسیار کوچک جایگزین کرد، که می تواند هر حالت تغییر شکل سازه ایجاد شده توسط یک سیستم نیروها به طور دلخواه باشد. با در نظر گرفتن این موضوع، شرط تعادل حاصل باید به صورت نوشته شود

کار نیروهای خارجی

روش محاسبه کار نیروهای خارجی بر روی جابجایی واقعی و احتمالی را در نظر بگیرید. سیستم میله ای با نیروها و (شکل 3.2، a) بارگذاری می شود که به طور همزمان عمل می کنند و در هر زمان نسبت ثابت می ماند. اگر نیروی تعمیم یافته را در نظر بگیریم، با مقدار در هر زمان می توانید تمام بارهای دیگر را محاسبه کنید (در این مورد، ). خط چین جابجایی الاستیک واقعی ناشی از این نیروها را نشان می دهد. بیایید این حالت را با شاخص 1 نشان دهیم. جابجایی نقاط اعمال نیروها و در جهت این نیروها را در حالت 1 و .

در فرآیند بارگذاری یک سیستم خطی با نیروها و نیروها به تناسب آنها افزایش و جابجایی و افزایش می یابد (شکل 3.2، ج). کار واقعی نیروها و روی جابجایی هایی که ایجاد می کنند برابر است با مجموع مساحت نمودارها، یعنی. . با نوشتن این عبارت به عنوان حاصل ضرب نیروی تعمیم یافته و جابجایی تعمیم یافته را بدست می آوریم. در این فرم می توانید ارسال کنید

کار نیروها تحت هر بارگذاری، اگر همه بارها به طور همزمان تغییر کنند، یعنی نسبت مقادیر آنها ثابت می ماند.

در مرحله بعد، کار نیروهای خارجی را بر روی یک جابجایی احتمالی در نظر بگیرید. به عنوان یک جابجایی احتمالی، برای مثال، حالت تغییر شکل سیستم را که در نتیجه اعمال یک نیرو در یک نقطه خاص ایجاد می شود، در نظر می گیریم (شکل 3.2، b). این حالت، مربوط به جابجایی اضافی نقاط اعمال نیروها و با فاصله و با 2 نشان داده خواهد شد.

همانطور که می بینید، در نماد جابجایی، شاخص اول وضعیتی را نشان می دهد که در آن نقاط و جهت این جابجایی ها مشخص شده است. شاخص دوم حالتی را نشان می دهد که نیروهایی که باعث این حرکت می شوند در چه وضعیتی عمل می کنند.

کار یک واحد نیروی F 2 بر روی جابجایی واقعی

اگر حالت 1 را به عنوان یک جابجایی احتمالی برای نیروی F 2 در نظر بگیریم، کار مجازی آن بر روی جابجایی

کار نیروهای داخلی

اجازه دهید کار نیروهای داخلی حالت 1 را پیدا کنیم، یعنی از نیروها و روی جابجایی های مجازی حالت 2، یعنی حاصل از اعمال بار F 2. برای انجام این کار، یک عنصر میله ای به طول dx را انتخاب کنید (شکل 3.2 و 3.3، a). از آنجایی که سیستم مورد نظر مسطح است، تنها دو نیروی S و Qz و یک لنگر خمشی Mu در مقاطع المان وارد می شوند که این نیروها برای عنصر برش خارجی هستند. نیروهای داخلی نیروهای منسجمی هستند که استحکام مواد را تامین می کنند. آنها از نظر ارزش برابر با خارجی هستند، اما در جهت مخالف تغییر شکل هدایت می شوند، بنابراین کار آنها تحت بارگذاری منفی است (شکل 3.3، b-d، به رنگ خاکستری نشان داده شده است). اجازه دهید کار انجام شده توسط هر عامل نیرو را به ترتیب محاسبه کنیم.

کار نیروهای طولی بر جابجایی، که توسط نیروهای S 2 ایجاد می شود که در نتیجه اعمال بار F 2 ایجاد می شود (شکل 3.2، b، 3.3، b)،

با استفاده از فرمول معروف، کشیدگی میله ای با طول dx را پیدا می کنیم

که در آن A سطح مقطع میله است. با جایگزینی این عبارت به فرمول قبلی، متوجه می شویم

به طور مشابه، کاری را که لنگر خمشی روی جابجایی زاویه ای ایجاد شده توسط ممان انجام می دهد، تعریف می کنیم (شکل 3.3، ج):

زاویه چرخش را به عنوان پیدا می کنیم

که در آن J گشتاور اینرسی مقطع میله نسبت به محور y است. پس از تعویض، می گیریم

بیایید کار نیروی عرضی در جابجایی را پیدا کنیم (شکل 3.3، د). تنش‌های مماسی و جابجایی‌های نیروی برشی Qz به‌طور خطی بر روی بخش میله توزیع نمی‌شوند (برخلاف تنش‌ها و کشیدگی‌های معمولی در موارد بارگذاری قبلی). بنابراین برای تعیین کار برشی باید کار انجام شده توسط تنش های برشی در لایه های میله را در نظر گرفت.

تنش های مماسی ناشی از نیروی Qz که در لایه ای در فاصله z از محور خنثی عمل می کند (شکل 3.3، e)، با فرمول ژوراوسکی محاسبه می شود.

که در آن سو، گشتاور ساکن بخشی از سطح مقطع است که در بالای این لایه قرار دارد، نسبت به محور y گرفته شده است. b عرض مقطع در سطح لایه مورد نظر است. این تنش ها توسط یک زاویه برشی از لایه ایجاد می کنند که طبق قانون هوک به این صورت تعریف می شود. - مدول برشی. در نتیجه انتهای لایه جابجا می شود

کل کار تنش های برشی حالت اول که در انتهای این لایه اعمال می شود، روی جابجایی های حالت دوم با ادغام محصول در سطح مقطع محاسبه می شود.

پس از جایگزینی در اینجا عبارات for و دریافت می کنیم

از زیر مقادیر انتگرالی که به z بستگی ندارند خارج می کنیم، این عبارت را ضرب و تقسیم بر A می کنیم، به دست می آوریم.

در اینجا، ضریب بی بعد معرفی می شود،

فقط به پیکربندی و نسبت ابعاد بخش ها بستگی دارد. برای یک مستطیل \u003d 1.2، برای بخش I-beam و جعبه (A c - سطح مقطع دیوار یا در یک بخش جعبه - دو دیوار).

از آنجایی که کار هر یک از مولفه های بارگذاری در نظر گرفته شده (S, Q, M) بر روی جابجایی های ناشی از اجزای دیگر برابر با صفر است، بنابراین مجموع کار تمام نیروهای داخلی برای عنصر در نظر گرفته شده میله به طول dx

(3.3)

کل نیروهای داخلی حالت 1 روی جابجایی های حالت 2 برای یک سیستم میله ای مسطح با ادغام عبارت حاصل در بخش هایی به طول 1 Z که در آن نمودارها توابع قابل ادغام هستند و جمع کردن تمام بخش ها به دست می آید:

در بخش یک عنصر از یک سیستم میله فضایی، شش نیروی داخلی (S، Q، Q z، M x، Mu، M 2) عمل می کنند، بنابراین، برای آن، بیان کل نیروهای داخلی به نظر می رسد. ،

در اینجا M x - گشتاور در میله؛ J T لحظه اینرسی میله در پیچش آزاد (سفت پیچشی هندسی) است. در انتگرال، شاخص های "و" حذف می شوند.

در فرمول های (3.3) و (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 بیان تحلیلی نمودارهای نیروهای داخلی از عمل نیروهای F (و F (, aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - شرح نمودارهای نیروهای داخلی از نیروی F 2 .

قضایای سیستم های الاستیک

ساختار فرمول های (3.3) و (3.4) نشان می دهد که آنها با توجه به حالت های 1 و 2 "متقارن" هستند، یعنی کار نیروهای داخلی حالت 1 بر روی جابجایی های حالت 2 با کار داخلی برابر است. نیروهای حالت 2 بر جابجایی های حالت 1 اما طبق (3.2)

بنابراین، اگر کار نیروهای داخلی مساوی باشد، کار نیروهای خارجی برابر است - این عبارت را قضیه متقابل کار می نامند (قضیه بتی، 1872).

برای یک سیستم میله ای که با نیروی F 1 بارگذاری شده است (شکل 3.4، a)، حالت تغییر شکلی را که هنگام بارگذاری با نیروی F 2 رخ می دهد، به عنوان جابجایی احتمالی در نظر می گیریم (شکل 3.4، b). برای این سیستم، با توجه به قضیه بتی 1- اگر قرار دهیم، به دست می آید

(3.5)

این فرمول قضیه ماکسول (1864) را در رابطه متقابل جابجایی ها بیان می کند: جابجایی نقطه اعمال نیروی واحد اول در جهت آن، ناشی از عمل نیروی واحد دوم، برابر با جابجایی نقطه اعمال است. نیروی واحد دوم در جهت خود، ناشی از عمل نیروی واحد اول است. این قضیه را می توان برای سیستم در شکل 1 نیز اعمال کرد. 3.2. اگر 1 N را تنظیم کنیم (بخش 3.1.2)، آنگاه برابری جابجایی های تعمیم یافته را به دست می آوریم. .

یک سیستم استاتیکی نامعین با تکیه گاه هایی را در نظر بگیرید که می توان جابجایی مورد نیاز را تا حد امکان در نظر گرفت (شکل 3.4، c، d). در حالت اول، تکیه گاه 1 را به حالت دوم تغییر می دهیم - چرخش embedment را با یک زاویه تنظیم می کنیم - در این حالت، واکنش ها در حالت اول و و در حالت دوم - i رخ می دهد. با توجه به قضیه تقابل کار، If we set را می نویسیم (در اینجا بعد = m، و مقدار بدون بعد است)، سپس دریافت می کنیم

این برابری عددی است، زیرا بعد واکنش = H، a = N-m. بنابراین، واکنش R 12 در پیوند ثابت 1، که زمانی رخ می دهد که پیوند 2 توسط یک جابجا شود، از نظر عددی برابر است با واکنشی که در پیوند 2 با جابجایی واحد پیوند 1 رخ می دهد. این عبارت قضیه واکنش متقابل نامیده می شود.

قضایای ارائه شده در این بخش برای محاسبه تحلیلی سیستم های استاتیکی نامعین استفاده می شود.

تعریف جابجایی ها

فرمول جابجایی عمومی

برای محاسبه جابجایی هایی که در سیستم میله ای تحت تأثیر یک بار معین (وضعیت 1) رخ می دهد، لازم است یک حالت کمکی از سیستم تشکیل شود که در آن یک واحد نیرو عمل می کند و کار را روی جابجایی مورد نظر انجام می دهد (حالت 2). . این بدان معنی است که هنگام تعیین جابجایی خطی، لازم است یک واحد نیروی F 2 = 1 N اعمال شده در همان نقطه و در همان جهتی که جابجایی در آن تعیین می شود، مشخص شود. در صورت نیاز به تعیین زاویه چرخش هر مقطع، در این قسمت یک ممان F 2 = 1 نیوتن متر اعمال می شود و پس از آن معادله انرژی (3.2) تدوین می شود که در آن حالت 2 به عنوان حالت در نظر گرفته می شود. اصلی، و تغییر شکل یافته است

حالت 1 به عنوان یک حرکت مجازی در نظر گرفته می شود. از این معادله، جابجایی مورد نظر محاسبه می شود.

اجازه دهید جابجایی افقی نقطه B را برای سیستم در شکل پیدا کنیم. 3.5، الف. برای اینکه جابجایی مورد نظر D 21 در معادله کارها (3.2) قرار گیرد، جابجایی سیستم را تحت تأثیر نیروی واحد F 2 - 1 N به عنوان حالت اصلی در نظر می گیریم (وضعیت 2، شکل 3.5، ب). ما حالت تغییر شکل واقعی سازه را به عنوان یک جابجایی احتمالی در نظر خواهیم گرفت (شکل 3.5، a).

کار نیروهای خارجی حالت 2 بر روی جابجایی های حالت 1 مطابق با (3.2) یافت می شود.

بنابراین، جابجایی مورد نظر

از آنجایی که (بخش 3.1.4)، کار نیروهای داخلی حالت 2 روی جابجایی های حالت 1 با فرمول (3.3) یا (3.4) محاسبه می شود. با جایگزینی (3.7) عبارت (3.3) برای کار نیروهای داخلی یک سیستم میله ای تخت، متوجه می شویم

برای استفاده بیشتر از این عبارت، توصیه می شود مفهوم نمودارهای منفرد عوامل نیروی داخلی را معرفی کنیم. که دو مورد اول بدون بعد هستند و بعد . نتیجه خواهد شد

این انتگرال ها باید با عباراتی برای نمودارهای توزیع نیروهای داخلی مربوطه از بار عامل جایگزین شوند. و و ازنیروهای F 2 = 1. عبارت حاصل فرمول Mohr نامیده می شود (1881).

هنگام محاسبه سیستم های میله ای فضایی، باید از فرمول (3.4) برای محاسبه کل نیروهای داخلی استفاده شود، سپس معلوم می شود

کاملاً بدیهی است که عباراتی برای نمودارهای نیروهای داخلی S، Q y، Q z، M x، My، Mg و مقادیر مشخصه های هندسی مقاطع A، J t، Jy، J، برای بخش n-ام مربوطه به انتگرال ها جایگزین می شوند. برای کوتاه کردن نماد در نماد این مقادیر، شاخص "i" حذف شده است.

3.2.2. موارد خاص تعیین جابجایی ها

فرمول (3.8) در حالت کلی سیستم میله ای مسطح استفاده می شود، اما در برخی موارد می توان آن را به طور قابل توجهی ساده کرد. موارد خاص اجرای آن را در نظر بگیرید.

1. اگر بتوان از تغییر شکل نیروهای طولی که برای سیستم های تیر معمولی است چشم پوشی کرد، فرمول (3.8) به صورت نوشته می شود.

2. اگر یک سیستم تخت فقط از تیرهای جدار نازک خم شده با نسبت l / h> 5 برای کنسول یا l / h> 10 برای دهانه ها (I و h طول تیر و ارتفاع مقطع هستند) تشکیل شده باشد، به عنوان یک قاعده انرژی کرنش خمشی به طور قابل توجهی بیشتر از انرژی تغییر شکل نیروهای طولی و عرضی است، بنابراین می توان آنها را در محاسبه جابجایی نادیده گرفت. سپس فرمول (3.8) شکل می گیرد

3. برای خرپاهایی که میله های آنها تحت بارگذاری گرهی، عمدتاً نیروهای طولی را تجربه می کنند، می توانیم M = 0 و Q = 0 را فرض کنیم. سپس جابجایی گره با فرمول محاسبه می شود.

ادغام در طول هر میله انجام می شود و جمع بر روی همه میله ها انجام می شود. با توجه به اینکه نیروی S u در میله i و سطح مقطع در طول آن تغییر نمی کند، می توانیم این عبارت را ساده کنیم:

با وجود سادگی ظاهری این فرمول، محاسبه تحلیلی جابجایی ها در خرپاها بسیار پر زحمت است، زیرا مستلزم تعیین نیروها در همه میله های خرپا از بار عامل () و از نیروی واحد () اعمال شده در نقطه ای است که جابجایی آن نیاز دارد. یافت می شود.

3.2.3. روش شناسی و مثال هایی برای تعیین جابجایی ها

محاسبه انتگرال Mohr را با روش A.N. Vereshchagin (1925) در نظر بگیرید. انتگرال Mohr شکل (3.8) دارد، که در آن به عنوان D 1، D 2 ممکن است نمودار لنگرهای خمشی، نیروهای طولی یا عرضی ظاهر شود. حداقل یکی از نمودارهای () در انتگرال خطی یا تکه ای خطی است، زیرا از یک بار ساخته شده است. بنابراین، برای

حل انتگرال، ترفند زیر را می توان اعمال کرد. فرض کنید در بخش در نظر گرفته شده به طول I، نمودار اول D 1 شکل دلخواه و دومی خطی است: (شکل 3.6). با جایگزینی این به انتگرال Mohr، متوجه می‌شویم

اولین انتگرال از نظر عددی برابر با مساحت زیرگراف است (در شکل 3.6 سایه دار شده است) و دومی گشتاور ساکن این ناحیه نسبت به محور است. لحظه ایستا را می توان به صورت , که مختصات موقعیت مرکز ثقل ناحیه است (نقطه A) نوشت. با توجه به آنچه گفته شد، دریافتیم

(3.13)

قاعده Vereshchagin به شرح زیر است: اگر حداقل یکی از نمودارها در نمودار خطی باشد، انتگرال Mohr به عنوان حاصلضرب مساحت یک به طور دلخواه محاسبه می شود.

طرح بر روی منتخب قطعه خطی، واقع در زیر مرکز ثقل این ناحیه. اگر هر دو نمودار در یک سمت محور قرار گیرند، آنگاه حاصلضرب مثبت است، اگر از طرف های مختلف باشد، منفی است. این روش را می توان برای محاسبه هر یک از انتگرال های عبارت (3.8) و (3.9) به کار برد.

هنگام محاسبه ساختارها در محیط Mathcad، نیازی به استفاده از قانون Vereshchagin نیست، زیرا می توانید انتگرال را با یکپارچه سازی عددی محاسبه کنید.

مثال 3.1(شکل 3.7، الف). تیر با دو نیروی متقارن بارگذاری می شود. جابجایی نقاط اعمال نیرو را بیابید.

1. بیایید نمودار گشتاورهای خمشی M 1 را از نیروهای F 1 بسازیم. واکنش های حمایتی حداکثر گشتاور خمشی تحت نیرو

2. از آنجایی که سیستم متقارن است، انحرافات تحت نیروها یکسان خواهد بود. به عنوان یک حالت کمکی، بارگذاری تیر را توسط دو واحد نیروی F 2 = 1 N می گیریم که در همان نقاط اعمال شده با نیروهای F 1 اعمال می شود.

(شکل 3.7، ب). نمودار لنگرهای خمشی برای این بارگذاری مشابه قبلی است و حداکثر ممان خمشی M 2max = 0.5 (L-b).

3. بارگذاری سیستم توسط دو نیروی حالت دوم با نیروی تعمیم یافته F 2 و جابجایی تعمیم یافته مشخص می شود که باعث ایجاد کار نیروهای خارجی بر روی جابجایی حالت 1 می شود. . اجازه دهید جابجایی را با استفاده از فرمول (3.11) محاسبه کنیم. با ضرب نمودارها در بخش ها طبق قانون Vereshchagin، متوجه می شویم

پس از جایگزینی مقادیر ما گرفتیم

مثال 3.2.جابجایی افقی تکیه گاه متحرک قاب U شکل بارگذاری شده با نیروی F x را بیابید (شکل 3.8، a).

1. بیایید نموداری از گشتاورهای خمشی از نیروی F 1 واکنش های پشتیبانی بسازیم . حداکثر گشتاور خمشی تحت نیروی F 1

2. به عنوان یک حالت کمکی، بارگذاری تیر را با نیروی افقی واحد F 2 در نقطه B اعمال می کنیم (شکل 3.8، b). ما نمودار لحظه های خمشی را برای این مورد بارگذاری می سازیم. واکنش‌های پشتیبانی A 2y \u003d B 2y \u003d 0، A 2x \u003d 1. حداکثر لحظه خمشی.

3. جابجایی را طبق فرمول (3.11) محاسبه می کنیم. در مقاطع عمودی، محصول صفر است. در یک مقطع افقی، نمودار M 1 خطی نیست، اما نمودار خطی است. با ضرب نمودارها به روش Vereshchagin، به دست می آوریم

محصول منفی است، زیرا نمودارها در طرف مقابل قرار دارند. مقدار جابجایی منفی بدست آمده نشان می دهد که جهت واقعی آن خلاف جهت نیروی واحد است.

مثال 3.3(شکل 3.9). زاویه چرخش مقطع تیر دو تکیه تحت نیرو را پیدا کنید و موقعیت نیرویی را که در آن این زاویه حداکثر خواهد بود را بیابید.

1. بیایید نموداری از ممان های خمشی M 1 از نیروی F 1 بسازیم. برای انجام این کار، واکنش پشتیبانی A 1 را خواهیم یافت. از معادله تعادل برای سیستم به عنوان یک کل حداکثر گشتاور خمشی تحت نیروی Fj

2. به عنوان یک حالت کمکی، بارگذاری تیر را با یک لحظه F 2 \u003d 1 Nm در مقطعی که چرخش آن باید تعیین شود، می گیریم (شکل 3.9، b). ما نمودار لحظه های خمشی را برای این مورد بارگذاری می سازیم. واکنش های پشتیبانی A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L، لحظات خمشی

هر دو لحظه منفی هستند، زیرا در جهت عقربه های ساعت هستند. نمودارها بر روی یک فیبر کشیده ساخته شده اند.

3. ما زاویه چرخش را طبق فرمول (3.11) محاسبه می کنیم، ضرب را در دو بخش انجام می دهیم.

با نشان دادن، می توانید این عبارت را به شکل راحت تری دریافت کنید:

نمودار وابستگی زاویه چرخش به موقعیت نیروی F 1 در شکل نشان داده شده است. 3.9، ج. با تمایز این عبارت، از شرایطی که موقعیت نیرویی را پیدا می کنیم که در آن زاویه میل تیر زیر آن از نظر مقدار مطلق بزرگترین باشد. این در مقادیر برابر با 0.21 و 0.79 اتفاق می افتد.

بیایید به بررسی اصل دیگری از مکانیک بپردازیم که یک شرط کلی برای تعادل یک سیستم مکانیکی ایجاد می کند. منظور ما از تعادل (نگاه کنید به بند 1) حالتی از سیستم است که در آن تمام نقاط آن تحت تأثیر نیروهای اعمال شده نسبت به چارچوب مرجع اینرسی در حال سکون هستند (ما به اصطلاح تعادل "مطلق" را در نظر می گیریم). در عین حال، ما تمام ارتباطات سوار بر سیستم را ثابت در نظر خواهیم گرفت و هر بار در آینده به طور خاص این موضوع را تصریح نخواهیم کرد.

اجازه دهید مفهوم کار ممکن را به عنوان کار ابتدایی معرفی کنیم که نیروی وارد بر یک نقطه مادی می تواند در جابجایی منطبق با جابجایی احتمالی این نقطه انجام دهد. کار احتمالی نیروی فعال را با نماد و کار احتمالی واکنش پیوند N را با نماد نشان خواهیم داد.

اکنون اجازه دهید تعریفی کلی از مفهوم پیوندهای ایده آل ارائه دهیم که قبلاً از آن استفاده کرده ایم (نگاه کنید به بند 123): پیوندها در صورتی ایده آل نامیده می شوند که مجموع کارهای اولیه واکنش های آنها در هر جابجایی احتمالی سیستم برابر با صفر باشد. ، یعنی

با توجه به بند 123 و با برابری (52) بیان شده است، شرط ایده آل بودن پیوندها، زمانی که همزمان ساکن باشند، با تعریف (98) مطابقت دارد، زیرا با پیوندهای ساکن، هر جابجایی واقعی با یکی از موارد ممکن منطبق است. . بنابراین، نمونه‌هایی از اتصالات ایده‌آل، تمام مثال‌های ارائه‌شده در § 123 خواهند بود.

برای تعیین شرایط تعادل لازم، ثابت می‌کنیم که اگر یک سیستم مکانیکی با محدودیت‌های ایده‌آل با اعمال نیروهای وارده در تعادل باشد، برای هر گونه جابجایی احتمالی سیستم، برابری

زاویه بین نیرو و جابجایی احتمالی کجاست.

اجازه دهید نتایج همه نیروهای فعال (اعم از خارجی و داخلی) و واکنش های پیوندهایی را که در نقطه ای از سیستم عمل می کنند، به ترتیب از طریق . سپس چون هر یک از نقاط سیستم در حالت تعادل هستند و در نتیجه مجموع کار این نیروها برای هر حرکت نقطه نیز برابر با صفر خواهد بود، یعنی . با جمع آوری چنین برابری هایی برای تمام نقاط سیستم و جمع آنها ترم به ترم، به دست می آوریم

اما از آنجایی که اتصالات ایده آل هستند، نشان دهنده جابجایی های احتمالی نقاط سیستم هستند، پس جمع دوم مطابق شرط (98) برابر با صفر خواهد بود. سپس مجموع اول نیز برابر با صفر است، یعنی برابری (99) برقرار است. بنابراین، ثابت کردیم که برابری (99) شرط لازم برای تعادل سیستم را بیان می کند.

اجازه دهید نشان دهیم که این شرط نیز کافی است، یعنی اگر نیروهای فعالی که معادله (99) را برآورده می کنند به نقاط یک سیستم مکانیکی در حالت سکون اعمال شود، آنگاه سیستم در حالت سکون باقی می ماند. اجازه دهید برعکس را فرض کنیم، یعنی سیستم شروع به حرکت کند و برخی از نقاط آن جابجایی واقعی ایجاد کنند. سپس نیروها روی این جابجایی ها کار می کنند و با توجه به قضیه تغییر انرژی جنبشی به صورت زیر خواهد بود:

بدیهی است که از آنجایی که سیستم در ابتدا در حالت استراحت بود. از این رو، و . اما در اتصالات ثابت، جابجایی های واقعی با برخی از جابجایی های احتمالی منطبق است و این جابجایی ها نیز باید دارای چیزی باشد که با شرط مغایرت داشته باشد (99). بنابراین، هنگامی که نیروهای اعمال شده شرط (99) را برآورده می کنند، سیستم نمی تواند از حالت سکون خارج شود و این شرط شرط کافی برای تعادل است.

اصل زیر از جابجایی های احتمالی از اثبات شده نتیجه می گیرد: برای تعادل یک سیستم مکانیکی با محدودیت های ایده آل، لازم و کافی است که مجموع کارهای اولیه همه نیروهای فعال وارد بر آن برای هر جابجایی احتمالی سیستم برابر باشد. به صفر شرط تعادل فرموله شده ریاضی با برابری (99) بیان می شود که به آن معادله مشاغل ممکن نیز می گویند. این برابری را می توان به شکل تحلیلی نیز نشان داد (به بند 87 مراجعه کنید):

اصل جابجایی های احتمالی یک شرایط کلی را برای تعادل یک سیستم مکانیکی ایجاد می کند که نیازی به در نظر گرفتن تعادل تک تک اجزا (بدن) این سیستم ندارد و با پیوندهای ایده آل اجازه می دهد تا تمام واکنش های ناشناخته قبلی را از بررسی حذف کند. اوراق قرضه.

لازم و کافی است که مجموع کار، تمام نیروهای فعال وارد شده به سیستم در هر جابجایی احتمالی سیستم، برابر با صفر باشد.

تعداد معادلاتی که می توان برای یک سیستم مکانیکی بر اساس اصل جابجایی های ممکن جمع آوری کرد، برابر با تعداد درجات آزادی این سیستم مکانیکی است.

ادبیات

• Targ S. M. دوره کوتاهی در مکانیک نظری. Proc. برای دانشکده های فنی - ویرایش دهم، بازبینی شده. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 1986.- 416 ص.، ill.
• دوره اصلی مکانیک نظری (بخش اول) N. N. Bukhgolts ، انتشارات Nauka ، هیئت تحریریه اصلی ادبیات فیزیکی و ریاضی ، مسکو ، 1972 ، 468 صفحه.

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

ببینید "اصل حرکات ممکن" در فرهنگ های دیگر چیست:

اصل حرکات ممکن

یکی از اصول تغییر مکانیک که شرایط کلی تعادل مکانیکی را تعیین می کند. سیستم های. طبق V. p. p.، برای تعادل مکانیکی. سیستم‌هایی با محدودیت‌های ایده‌آل (به اتصالات مکانیکی مراجعه کنید) لازم و کافی است تا مجموع کارها dAi… … دایره المعارف فیزیکی

فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

اصل حرکات ممکن، برای تعادل یک سیستم مکانیکی لازم و کافی است که مجموع نیروهای وارد بر سیستم برای هر گونه جابجایی احتمالی سیستم برابر با صفر باشد. اصل جابجایی ممکن زمانی اعمال می شود که …… فرهنگ لغت دایره المعارفی

یکی از اصول تغییر مکانیک (به اصول متغیر مکانیک مراجعه کنید)، که یک شرط کلی برای تعادل یک سیستم مکانیکی ایجاد می کند. با توجه به V. p. p.، برای تعادل یک سیستم مکانیکی با اتصالات ایده آل (به اتصالات ... ... مراجعه کنید. دایره المعارف بزرگ شوروی

اصل سرعت های مجازی، اصل تغییرات دیفرانسیل مکانیک کلاسیک، که عمومی ترین شرایط را برای تعادل سیستم های مکانیکی محدود شده توسط اتصالات ایده آل بیان می کند. با توجه به V. p. p. mechan. سیستم در تعادل است ... دایره المعارف ریاضی

برای تعادل یک سیستم مکانیکی لازم و کافی است که مجموع کار تمام نیروهای وارد بر سیستم برای هر جابجایی احتمالی سیستم برابر با صفر باشد. اصل جابجایی های احتمالی در مطالعه شرایط تعادل به کار می رود ... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

برای تعادل مکانیکی در سیستم لازم و کافی است که مجموع کار تمام نیروهای وارد بر سیستم برای هر جابجایی احتمالی سیستم برابر با صفر باشد. V. p. p. در مطالعه شرایط تعادل برای مکانیک پیچیده استفاده می شود. سیستم های… … علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

اصل جابجایی های مجازی- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. اصل vok جابجایی مجازی Prinzip der virtuellen Verschiebungen، n rus. اصل جابجایی های مجازی، m. اصل حرکات ممکن، m pranc. اصل دس … Fizikos Terminų žodynas

یکی از اصول تغییر مکانیک، طبق نظر روما برای یک کلاس معین از حرکات مکانیکی در مقایسه با یکدیگر است. سیستم برای کدام فیزیکی معتبر است. ارزش، نامیده می شود عمل، دارای کوچکترین (به طور دقیق تر، ثابت) است ... ... دایره المعارف فیزیکی

کتاب ها

• مکانیک نظری. در 4 جلد. جلد 3: دینامیک. مکانیک تحلیلی. متون سخنرانی. کرکس وزارت دفاع فدراسیون روسیه، بوگوماز ایرینا ولادیمیرونا. کتاب درسی شامل دو بخش از یک درس واحد در مکانیک نظری است: دینامیک و مکانیک تحلیلی. در قسمت اول، مسائل اول و دوم دینامیک به تفصیل در نظر گرفته شده است، همچنین ...

اصل حرکات ممکن: برای تعادل یک سیستم مکانیکی با اتصالات ایده آل لازم و کافی است که مجموع کارهای ابتدایی تمامی نیروهای فعال وارد بر آن برای هر جابجایی احتمالی برابر با صفر باشد. یا در پیش بینی ها: .

اصل جابجایی های ممکن به صورت کلی شرایط تعادل را برای هر سیستم مکانیکی ارائه می دهد و روشی کلی برای حل مسائل استاتیکی ارائه می دهد.

اگر سیستم دارای چندین درجه آزادی باشد، معادله اصل جابجایی های ممکن برای هر یک از جابجایی های مستقل به طور جداگانه ساخته می شود، یعنی. معادلات به تعداد درجات آزادی سیستم وجود خواهد داشت.

اصل جابجایی های احتمالی راحت است زیرا هنگام در نظر گرفتن سیستمی با اتصالات ایده آل، واکنش آنها در نظر گرفته نمی شود و لازم است فقط با نیروهای فعال عمل کرد.

اصل حرکات ممکن به شرح زیر است:

به مادر. سیستم با توجه به محدودیت های ایده آل در حالت سکون بود، لازم و کافی است که مجموع کارهای اولیه انجام شده توسط نیروهای فعال بر روی جابجایی های احتمالی نقاط سیستم مثبت باشد.

معادله دینامیک عمومی- هنگامی که یک سیستم با اتصالات ایده آل در هر لحظه از زمان حرکت می کند، مجموع کارهای اولیه همه نیروهای فعال اعمال شده و تمام نیروهای اینرسی در هر حرکت احتمالی سیستم برابر با صفر خواهد بود. این معادله از اصل جابه‌جایی‌های ممکن و اصل d'Alembert استفاده می‌کند و به فرد اجازه می‌دهد معادلات دیفرانسیل حرکت را برای هر سیستم مکانیکی بسازد. یک روش کلی برای حل مسائل دینامیک ارائه می دهد.

دنباله تالیف:

الف) نیروهای مشخصی که بر آن وارد می شود به هر جسم اعمال می شود و همچنین نیروها و گشتاورهای جفت نیروی اینرسی به طور مشروط اعمال می شود.

ب) سیستم را از حرکات احتمالی اطلاع دهید.

ج) با در نظر گرفتن تعادل سیستم، معادلات اصل جابجایی های ممکن را بسازید.

لازم به ذکر است که معادله کلی دینامیک را می توان برای سیستم هایی با پیوندهای غیر ایده آل نیز اعمال کرد، فقط در این حالت باید واکنش های پیوندهای غیر ایده آل مانند نیروی اصطکاک یا گشتاور اصطکاک غلتشی انجام شود. به عنوان نیروهای فعال طبقه بندی شوند.

کار بر روی جابجایی احتمالی نیروهای فعال و اینرسی به همان روشی که کار ابتدایی بر روی جابجایی واقعی جستجو می‌شود:

کار احتمالی زور: .

کار احتمالی لحظه (جفت نیرو): .

مختصات تعمیم یافته یک سیستم مکانیکی پارامترهای مستقل متقابل q 1 , q 2 , ..., q S از هر بعد هستند که به طور منحصر به فرد موقعیت سیستم را در هر زمان تعیین می کنند.

تعداد مختصات تعمیم یافته است اس - تعداد درجات آزادی سیستم مکانیکی. موقعیت هر n نقطه سیستم، یعنی بردار شعاع آن، در حالت کلی، همیشه می تواند به عنوان تابعی از مختصات تعمیم یافته بیان شود:

معادله کلی دینامیک در مختصات تعمیم یافته شبیه سیستم معادلات S به صورت زیر است:

……..………. ;

………..……. ;

در اینجا نیروی تعمیم یافته مربوط به مختصات تعمیم یافته است:

a نیروی اینرسی تعمیم یافته مربوط به مختصات تعمیم یافته است:

تعداد جابجایی های ممکن مستقل سیستم را تعداد درجات آزادی این سیستم می گویند. مثلا. توپ روی هواپیما می تواند در هر جهتی حرکت کند، اما هر حرکت ممکنی را می توان به صورت مجموع هندسی دو حرکت در امتداد دو محور متقابل عمود بر هم بدست آورد. یک بدنه سفت آزاد 6 درجه آزادی دارد.

نیروهای تعمیم یافتهبرای هر مختصات تعمیم یافته می توان نیروی تعمیم یافته مربوطه را محاسبه کرد Qk.

محاسبه طبق این قانون انجام می شود.

برای تعیین نیروی تعمیم یافته Qkمربوط به مختصات تعمیم یافته است q k، باید به این مختصات یک افزایش بدهید (مختصات را به این مقدار افزایش دهید)، همه مختصات دیگر را بدون تغییر رها کنید، مجموع کار همه نیروهای وارد شده به سیستم را بر روی جابجایی متناظر نقاط محاسبه کنید و آن را بر افزایش تقسیم کنید. از مختصات:

جابجایی کجاست من-آن نقطه از سیستم که با تغییر به دست می آید ک-مین مختصات تعمیم یافته

نیروی تعمیم یافته با استفاده از کار ابتدایی تعیین می شود. بنابراین، این نیرو را می توان به طور متفاوت محاسبه کرد:

و از آنجایی که بردار شعاع به دلیل افزایش مختصات با مختصات باقیمانده و زمان بدون تغییر وجود دارد. تی، نسبت را می توان به عنوان یک مشتق جزئی از تعریف کرد. سپس

که در آن مختصات نقاط تابع مختصات تعمیم یافته است (5).

اگر سیستم محافظه کار باشد، یعنی حرکت تحت عمل نیروهای میدانی بالقوه رخ می دهد، که پیش بینی های آنها عبارتند از، جایی که، و مختصات نقاط تابع مختصات تعمیم یافته هستند، سپس

نیروی تعمیم یافته یک سیستم محافظه کار مشتق جزئی انرژی پتانسیل با توجه به مختصات تعمیم یافته مربوطه با علامت منفی است.

البته هنگام محاسبه این نیروی تعمیم یافته، انرژی پتانسیل باید تابعی از مختصات تعمیم یافته تعریف شود.

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

ملاحظات.

اولین. هنگام محاسبه نیروهای واکنش تعمیم یافته، پیوندهای ایده آل در نظر گرفته نمی شوند.

دومین. بعد نیروی تعمیم یافته به بعد مختصات تعمیم یافته بستگی دارد.

معادلات لاگرانژ از نوع دوماز معادله کلی دینامیک در مختصات تعمیم یافته به دست می آیند. تعداد معادلات با تعداد درجات آزادی مطابقت دارد:

برای ایجاد معادله لاگرانژ از نوع دوم، مختصات تعمیم یافته انتخاب شده و سرعت های تعمیم یافته پیدا می شود. . انرژی جنبشی سیستم پیدا می شود که تابعی از سرعت های تعمیم یافته است , و در برخی موارد مختصات تعمیم یافته. عملیات تمایز انرژی جنبشی که توسط سمت چپ معادلات لاگرانژ ارائه شده است انجام می شود. حل مسایل:

در صورت حساب سمت راست فرمول - مجموع کار اولیه همه نیروهای فعال بر روی جابجایی احتمالی سیستم، مربوط به تغییر مختصات تعمیم یافته i - . با این جابجایی احتمالی، همه مختصات تعمیم یافته دیگر تغییر نمی کنند. معادلات حاصل معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی با اس درجه آزادی.

عناصر مکانیک تحلیلی

طبیعت انسان در تلاش برای شناخت جهان پیرامون، تلاش می‌کند تا سیستم دانش را در یک حوزه معین به کمترین تعداد موقعیت‌های اولیه کاهش دهد. این در درجه اول در زمینه های علمی صدق می کند. در مکانیک، این تمایل به ایجاد اصول اساسی منجر شده است که از آن معادلات دیفرانسیل حرکتی برای سیستم های مکانیکی مختلف پیروی می کنند. این بخش از آموزش قصد دارد تا خواننده را با برخی از این اصول آشنا کند.

بیایید مطالعه عناصر مکانیک تحلیلی را با در نظر گرفتن مشکل طبقه بندی اتصالات که نه تنها در استاتیک، بلکه در دینامیک رخ می دهد، شروع کنیم.

طبقه بندی روابط

ارتباط – هر نوع محدودیتی که بر موقعیت و سرعت نقاط یک سیستم مکانیکی اعمال شود.

روابط طبقه بندی می شوند:

با تغییر در طول زمان:

- ارتباطات غیر ثابت, آن ها در طول زمان تغییر می کند. تکیه گاه در حال حرکت در فضا نمونه ای از اتصال غیر ثابت است.

- ارتباطات ثابت, آن ها در طول زمان تغییر نمی کندپیوندهای ثابت شامل تمام پیوندهایی است که در بخش "ایستا" بحث شده است.

بر اساس نوع محدودیت های سینماتیکی تحمیلی:

- اتصالات هندسی اعمال محدودیت در موقعیت نقاط در سیستم;

- حرکتی، یا اتصالات دیفرانسیل محدودیت هایی در سرعت نقاط در سیستم اعمال می کند. در صورت امکان، یک نوع رابطه را به نوع دیگر کاهش دهید:

- قابل ادغام، یا هولونومیک(ساده) ارتباط, اگر ارتباط سینماتیکی (دیفرانسیل) را بتوان به صورت هندسی نشان داد. در چنین اتصالاتی، وابستگی بین سرعت ها را می توان به وابستگی بین مختصات کاهش داد. نورد سیلندر بدون لغزش نمونه ای از اتصال دیفرانسیل یکپارچه است: سرعت محور سیلندر مطابق فرمول معروف به سرعت زاویه ای آن مربوط می شود و پس از ادغام به یک رابطه هندسی بین جابجایی محور کاهش می یابد. و زاویه چرخش سیلندر در فرم

- غیر قابل ادغام، یا اتصال غیرهولونومیک– اگر اتصال سینماتیکی (دیفرانسیل) را نتوان به صورت هندسی نشان داد. به عنوان مثال می توان به غلتیدن یک توپ بدون لغزش در حین حرکت غیرمستقیم آن اشاره کرد.

در صورت امکان، "رهایی" از ارتباط:

- داشتن کراوات, که تحت آن محدودیت های اعمال شده توسط آنها همیشه حفظ می شود،به عنوان مثال، آونگ آویزان از یک میله سفت و سخت.

- عدم حفظ روابط - محدودیت ها را می توان برای نوع خاصی از حرکت سیستم نقض کردمثلاً آونگی که روی نخی مچاله شده آویزان است.

اجازه دهید چند تعریف را معرفی کنیم.

· ممکن است(یا مجازی) در حال حرکت(نشان داده شده) ابتدایی است (بی نهایت کوچک) و به گونه ای است که محدودیت های اعمال شده بر سیستم را نقض نمی کند..

مثال: نقطه ای که روی سطح قرار دارد، تا حد امکان دارای مجموعه ای از جابجایی های اولیه در هر جهتی در امتداد سطح مرجع است، بدون اینکه از آن جدا شود. حرکت یک نقطه که منجر به جدا شدن آن از سطح می شود، اتصال را قطع می کند و طبق تعریف، حرکت ممکنی نیست.

برای سیستم های ثابت، جابجایی اولیه واقعی (واقعی) معمول در مجموعه جابجایی های ممکن گنجانده شده است.

· تعداد درجات آزادی یک سیستم مکانیکی – تعداد جابجایی های ممکن مستقل آن است.

بنابراین، هنگامی که یک نقطه در یک صفحه حرکت می کند، هر حرکت احتمالی آن بر حسب دو جزء متعامد (و بنابراین مستقل) آن بیان می شود.

برای یک سیستم مکانیکی با محدودیت‌های هندسی، تعداد مختصات مستقلی که موقعیت سیستم را تعیین می‌کنند با تعداد درجات آزادی آن منطبق است.

بنابراین، یک نقطه در یک هواپیما دو درجه آزادی دارد. نقطه مادی آزاد - سه درجه آزادی. یک جسم آزاد شش عدد دارد (چرخش در زوایای اویلر اضافه می شود) و غیره.

· کار ممکن – کار اولیه یک نیرو بر روی یک جابجایی احتمالی است.

اصل حرکات ممکن

اگر سیستم در تعادل باشد، برای هر یک از نقاط آن تساوی برقرار است، در کجا حاصل نیروهای فعال و نیروهای واکنشی است که روی نقطه عمل می کنند. سپس مجموع کار این نیروها برای هر جابجایی نیز برابر با صفر است . با جمع بندی تمام نکات، به این نتیجه می رسیم: . جمله دوم برای پیوندهای ایده آل برابر با صفر است که از آنجا فرمول می کنیم اصل حرکات ممکن :

.

(3.82)

در شرایط تعادل یک سیستم مکانیکی با اتصالات ایده‌آل، مجموع کارهای اولیه تمام نیروهای فعال وارد بر آن برای هر جابجایی احتمالی سیستم برابر با صفر است.

ارزش اصل جابجایی های احتمالی در فرمول بندی شرایط تعادل برای یک سیستم مکانیکی نهفته است (3.81)، که در آن واکنش های ناشناخته محدودیت ها ظاهر نمی شود.

سوالاتی برای خودآزمایی

1. چه حرکت نقطه ای ممکن نامیده می شود؟

2. کار ممکن نیرو را چه می نامند؟

3. اصل حرکات ممکن را فرموله و یادداشت کنید.

اصل دالامبر

بیایید معادله دینامیک را دوباره بنویسیم بهنقطه ام سیستم مکانیکی (3.27)، انتقال سمت چپ به راست. اجازه دهید مقدار را در نظر بگیریم

نیروهای موجود در معادله (3.83) یک سیستم متعادل از نیروها را تشکیل می دهند.

با تعمیم این نتیجه به تمام نقاط سیستم مکانیکی، به فرمولاسیون می رسیم اصل دالامبر، به نام ریاضیدان و مکانیک فرانسوی ژان لرون دالامبر (1717-1783)، شکل 3.13:

شکل 3.13

اگر تمام نیروهای اینرسی به تمام نیروهای وارد شده در یک سیستم مکانیکی معین اضافه شود، سیستم نیروهای حاصل متعادل می شود و می توان تمام معادلات استاتیک را روی آن اعمال کرد.

در واقع این بدان معناست که از یک سیستم دینامیکی با افزودن نیروهای اینرسی (نیروهای دالامبر) به یک سیستم شبه استاتیک (تقریباً ایستا) منتقل می شود.

با استفاده از اصل d'Alembert می توان برآورد را بدست آورد بردار اصلی نیروهای اینرسیو لحظه اصلی اینرسی در مورد مرکزمانند:

واکنش های دینامیکی که روی محور یک جسم در حال چرخش عمل می کنند

جسم صلب را در نظر بگیرید که به طور یکنواخت با سرعت زاویه ای می چرخد ω حول محور ثابت در یاتاقان های A و B (شکل 3.14). محورهای Axyz را که با آن می چرخند به بدن متصل می کنیم؛ مزیت این گونه محورها این است که نسبت به آنها مختصات مرکز جرم و ممان اینرسی بدن مقادیر ثابت خواهد بود. اجازه دهید نیروهای داده شده روی بدن عمل کنند. اجازه دهید پیش بینی های بردار اصلی همه این نیروها را روی محور Axyz از طریق نشان دهیم ( و غیره)، و لحظات اصلی آنها در مورد همان محورها - از طریق ( و غیره.)؛ در همین حال، زیرا ω = const، پس = 0.

شکل 3.14

برای تعیین پاسخ های پویا X A، Y A، Z A, X B، Y Bبلبرینگ، یعنی واکنش هایی که در حین چرخش جسم رخ می دهد، به تمام نیروهای داده شده وارد بر جسم و واکنش های پیوندهای نیروی اینرسی همه ذرات بدن اضافه می کنیم و آنها را به مرکز A می آوریم. سپس نیروهای اینرسی را می آوریم. با یک نیروی برابر با و در نقطه A اعمال شد , و یک جفت نیرو با گشتاور برابر با . پیش بینی های این لحظه در محور بهو درخواهد بود: , ; اینجا دوباره , مانند ω = ثابت

اکنون معادلات (3.86) مطابق با اصل d’Alembert در پیش بینی ها بر روی محور Axyz و تنظیم AB انجام می شود. =b،ما گرفتیم

.

(3.87)

آخرین معادله به طور یکسان راضی است، زیرا .

بردار اصلی نیروهای اینرسی , جایی که تی -وزن بدن (3.85). در ω = مرکز جرم C فقط شتاب معمولی دارد , فاصله نقطه C از محور چرخش کجاست. بنابراین جهت بردار منطبق با جهت سیستم عامل . پیش بینی های محاسباتی در محورهای مختصات و با در نظر گرفتن این که، کجا - مختصات مرکز جرم را می یابیم:

برای تعیین و مقداری از ذرات بدن را با جرم در نظر بگیرید متر k ، با فاصله از محور فاصله دارد h k .برای او در ω =const نیروی اینرسی نیز فقط یک جزء گریز از مرکز دارد , پیش بینی های آن، و همچنین بردارها R",برابر هستند.