ارتعاشات طولی روش های حل ارتعاشات طولی میله

یک میله با طول را در نظر بگیرید ل، که در موقعیت تعادل در امتداد محور x قرار دارد. ارتعاشات طولی آن با تابع Q(x,t) توصیف می شود که در هر لحظه از زمان t، جابجایی طولی نقطه میله ای است که مختصات آن در موقعیت تعادل برابر با x بوده است. فرض بر این است که کشش در میله از قانون هوک پیروی می کند. سپس معادله ای که ارتعاش طولی میله را توصیف می کند به شکل زیر است:

که در آن a سرعت موج، m/s است.

f (x، t) - نیروی خاص، m / s 2.

سرعت موج میله با توجه به عبارت زیر تعیین می شود:

, (2.16)

که در آن k ضریب کشش، N است.

ρ – چگالی خطی (جرم در واحد طول میله)، کیلوگرم بر متر.

ضریب الاستیسیته k را می توان به صورت زیر یافت:

, (2.17)

E - مدول یانگ (تنش ایجاد شده در نمونه زمانی که طول آن در سایر شرایط بدون تغییر دوبرابر (کاهش) شود)، N/m2.

برای یک میله همگن k=const، ρ=const. در غیر این صورت k(х)، ρ(х).

نیروی خاص، به نوبه خود، می تواند به صورت زیر نمایش داده شود:

, (2.18)

که در آن g(x,t) چگالی خطی نیروی خارجی طولی (نیروی وارد بر واحد طول)، N/m است.

شرایط اولیه به شکل زیر آورده شده است:

– مشخصات جابجایی های اولیه:

– مشخصات سرعت اولیه:

. (2.20)

شرایط مرزی را می توان برای موارد زیر مشخص کرد:

1) اولین مسئله مقدار مرزی (شرایط مرزی از نوع اول):

که در آن μ 1 (t)، μ 2 (t) توابع زمانی داده می شود که قانون را توصیف می کند

حرکت انتهای میله

برای یک انتهای ثابت μ(t)=0.

2) دومین مسئله مقدار مرزی (شرایط مرزی از نوع دوم):

; (2.23)

, (2.24)

که در آن T 1، T 2 - نیروی کششی اعمال شده به انتهای میله، N.

در مورد انتهای آزاد، کششی میله در نزدیکی آن وجود ندارد (g(t)=0).

3) مسئله ارزش مرزی سوم (شرایط مرزی از نوع سوم):

. (2.25)

این شرایط در مورد اتصال الاستیک میله ایجاد می شود، که در آن انتهای میله می تواند حرکت کند، اما نیروی کشسانی ایجاد می شود که تمایل دارد انتهای جابجا شده را به موقعیت قبلی خود بازگرداند.

یک مسئله مقدار مرزی را بر روی ارتعاشات طولی یک میله استوانه ای همگن که یک سر آن ثابت است و به انتهای دیگر آن نیرویی F(t)=A·sin(ωt) وارد می شود که جهت آن با محور میله

تابع Q(x,t)، که نوسانات طولی میله را توصیف می کند، با معادله تعیین می شود:

شرایط اولیه صفر است:

;

شرایط مرزی به شرح زیر است:

;

که در آن S سطح مقطع میله است، m 2؛

E مدول یانگ ماده میله، Pa است (به پیوست مراجعه کنید).

نکات کلی.

1) اگر روند نوسانی یک رشته (میله ای) را در نظر بگیریم که انتهای آن به اندازه کافی دور است و تأثیر انتهای آن هنوز برای یک بازه زمانی کوتاه زمان ندارد، آنگاه می توانیم رشته را بی نهایت در نظر بگیریم. . در این صورت مسئله ای در نظر گرفته می شود که در آن -∞

2) اگر مقطع ریسمان (میله) مورد نظر نزدیک به یکی از انتهای آن و دور از انتهای دیگر باشد، مشکل یک رشته نیمه نامتناهی زمانی در نظر گرفته می شود که 0≤x باشد.<+∞ и граничные условия формулируются только на одном ее конце.

ISSN: 2310-7081 (آنلاین)، 1991-8615 (چاپ) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

مشکل در ارتعاشات طولی میله بارگذاری شده الاستیکی ثابت

A. B. Beilin

دانشگاه فنی دولتی سامارا، روسیه، 443100، سامارا، خ. Molodogvardeyskaya، 244.

حاشیه نویسی

ارتعاشات طولی یک بعدی یک میله کوتاه ضخیم که به کمک توده های متمرکز و فنرها در انتهای آن ثابت شده است در نظر گرفته می شود. به عنوان یک مدل ریاضی، یک مسئله مقدار مرزی اولیه با شرایط مرزی دینامیکی برای یک معادله هذلولی مرتبه چهارم استفاده می‌شود. انتخاب این مدل خاص به دلیل نیاز به در نظر گرفتن اثرات تغییر شکل میله در جهت عرضی است که غفلت از آن همانطور که توسط رایلی نشان داده است منجر به خطا می شود که توسط غیر مدرن تأیید می شود. مفهوم محلی مطالعه ارتعاشات جامدات. وجود سیستمی از توابع ویژه مسئله مورد مطالعه به صورت متعامد با بار ثابت شده و نمایش آنها به دست می آید. ویژگی های ایجاد شده از توابع ویژه امکان اعمال روش جداسازی متغیرها و اثبات وجود یک راه حل منحصر به فرد برای مشکل را فراهم می کند.

واژه‌های کلیدی: شرایط مرزی دینامیکی، ارتعاشات طولی، تعامد بار، مدل رایلی.

معرفی. در هر سیستم مکانیکی کاری، فرآیندهای نوسانی رخ می دهد که می تواند به دلایل مختلفی ایجاد شود. فرآیندهای نوسانی می تواند نتیجه ویژگی های طراحی سیستم یا توزیع مجدد بارها بین عناصر مختلف یک سازه منظم باشد.

وجود منابع فرآیندهای نوسانی در مکانیسم می تواند تشخیص وضعیت آن را دشوار کند و حتی منجر به نقض حالت عملکرد آن و در برخی موارد به تخریب شود. مشکلات مختلف مرتبط با نقض دقت و عملکرد سیستم های مکانیکی در نتیجه ارتعاش برخی از عناصر آنها اغلب به صورت تجربی در عمل حل می شود.

در عین حال، فرآیندهای نوسانی می توانند بسیار مفید باشند، به عنوان مثال، برای پردازش مواد، مونتاژ و جداسازی اتصالات. ارتعاشات اولتراسونیک نه تنها باعث تشدید فرآیندهای برش (حفاری، آسیاب، سنگ زنی و غیره) مواد با سختی بالا (فولادهای حاوی تنگستن، تیتانیوم کاربید و غیره) می شود.

بیلین، A.B.، مشکل ارتعاشات طولی یک میله بارگذاری شده الاستیک ثابت، وستن. خودم. دولت فن آوری دانشگاه سر فیزیک - ریاضی Nauki, 2016. V. 20, No. 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. درباره نویسنده

الکساندر بوریسوویچ بیلین (Ph.D. Assoc.; [ایمیل محافظت شده])، دانشیار گروه سیستم های ماشین و ابزار خودکار

اما در برخی موارد تنها روش ممکن برای پردازش مواد شکننده (ژرمانیوم، سیلیکون، شیشه و غیره) است. عنصر دستگاه (موج موج)، که ارتعاشات اولتراسونیک را از منبع (ویبراتور) به ابزار منتقل می کند، متمرکز کننده نامیده می شود و می تواند شکل متفاوتی داشته باشد: استوانه ای، مخروطی، پلکانی، نمایی و غیره. هدف آن انتقال نوسانات دامنه مورد نیاز به ابزار است.

بنابراین، پیامدهای وقوع فرآیندهای نوسانی و همچنین علل ایجاد آنها می تواند متفاوت باشد، بنابراین، به طور طبیعی نیاز به مطالعه نظری فرآیندهای نوسان وجود دارد. مدل ریاضی انتشار موج در میله های جامد نسبتا بلند و نازک که بر اساس یک معادله موج مرتبه دوم است، به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته و مدت هاست که به یک کلاسیک تبدیل شده است. با این حال، همانطور که توسط Rayleigh نشان داده شده است، این مدل کاملاً با مطالعه ارتعاشات یک میله کوتاه ضخیم سازگار نیست، در حالی که بسیاری از جزئیات مکانیسم های واقعی را می توان به عنوان میله های کوتاه و ضخیم تفسیر کرد. در این مورد، تغییر شکل میله در جهت عرضی نیز باید در نظر گرفته شود. مدل ریاضی نوسانات طولی یک میله کوتاه ضخیم که اثرات حرکت عرضی میله را در نظر می گیرد، میله ریلی نامیده می شود و بر اساس یک معادله هذلولی مرتبه چهارم است.

^ ^ - IX (a(x) e) - dx (b(x)) =; (xL (1)

که ضرایب آن معنای فیزیکی دارد:

g(x) = p(x)A(x)، a(x) = A(x)E(x)، b(x) = p(x)u2(x)1p(x)،

که در آن A(x) سطح مقطع، p(x) چگالی جرم میله، E(x) مدول یانگ، V(x) نسبت پواسون، 1P(x) گشتاور قطبی اینرسی است. ، u(x، b) - جابجایی های طولی باید تعیین شوند.

ایده های ریلی در آثار مدرنی که به فرآیندهای ارتعاشات و همچنین نظریه پلاستیسیته اختصاص یافته است، تأیید و توسعه یافته است. مقاله مروری کاستی‌های مدل‌های کلاسیک را که حالت و رفتار جامدات تحت بار را توصیف می‌کنند، اثبات می‌کند، که در آن‌ها بدن یک زنجیره ایده‌آل در نظر گرفته می‌شود. سطح مدرن توسعه علوم طبیعی مستلزم ساخت مدل های جدیدی است که به اندازه کافی فرآیندهای مورد مطالعه را توصیف کند و روش های ریاضی توسعه یافته در چند دهه اخیر این فرصت را فراهم می کند. در این مسیر، در ربع آخر قرن گذشته، رویکرد جدیدی برای مطالعه بسیاری از فرآیندهای فیزیکی، از جمله موارد ذکر شده در بالا، بر اساس مفهوم غیرمحلی (به مقاله و فهرست منابع موجود در آن مراجعه کنید) پیشنهاد شد. یکی از کلاس‌های مدل‌های غیر محلی که توسط نویسندگان شناسایی شده است، «ضعیف غیر محلی» نامیده می‌شود. مدل‌های ریاضی متعلق به این کلاس را می‌توان با وارد کردن مشتقات مرتبه بالا در معادله توصیف‌کننده یک فرآیند خاص، پیاده‌سازی کرد، که این امکان را فراهم می‌کند تا در تقریبی، تعامل عناصر داخلی موضوع مطالعه را در نظر بگیریم. بنابراین، مدل ریلی در زمان ما مرتبط است.

1. بیان مشکل. اجازه دهید انتهای میله x = 0، x = I با کمک جرم های متمرکز N1، M2 و فنرها به یک پایه ثابت متصل شود که سفتی آن K1 و K2 است. فرض می کنیم که میله یک بدنه چرخشی حول محور 0x است و لحظه اولیه زمان در وضعیت تعادل در حالت سکون است. سپس به مسئله مقدار مرز اولیه زیر می رسیم.

وظیفه. در ناحیه Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1, T پیدا کنید< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x، 0) = (p(x)، u(x، 0) = φ(x) و شرایط مرزی

a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu(1, r) + K2u(1, r) + M2uu(1, r) = 0. ()

این مقاله چند مورد خاص از مسئله (1)-(2) را در نظر می گیرد و مثال هایی ارائه می دهد که در آنها ضرایب معادله دارای شکل صریح و M\ = M2 = 0 هستند. مورد.

شرایط (2) با روش تثبیت میله تعیین می شود: انتهای آن با کمک برخی از وسایل دارای جرم های M1، M2 و فنرهایی با سفتی K1، K2 به پایه های ثابت متصل می شود. وجود جرم ها و مجاز برای جابجایی های عرضی منجر به شرایط شکل (2) حاوی مشتقات زمانی می شود. شرایط مرزی که مشتقات زمانی را شامل می شود پویا نامیده می شود. آنها می توانند در موقعیت های مختلفی ایجاد شوند که ساده ترین آنها در یک کتاب درسی و موارد بسیار پیچیده تر در یک تک نگاری توضیح داده شده است.

2. بررسی نوسانات طبیعی میله. یک معادله همگن مربوط به رابطه (1) را در نظر بگیرید. از آنجایی که ضرایب فقط به x بستگی دارند، می‌توانیم متغیرها را با نشان دادن u(x, z) = X(x)T(z) از هم جدا کنیم. دو معادله بدست می آوریم:

m""(r) + \2m(r) = 0،

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

معادله (3) با شرایط مرزی همراه است

(a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0،

(a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4)

بنابراین، ما به مسئله Sturm-Liouville رسیدیم، که با مشکل کلاسیک تفاوت دارد زیرا پارامتر طیفی Λ در ضریب بالاترین مشتق معادله و همچنین در شرایط مرزی گنجانده شده است. این شرایط به ما اجازه نمی دهد که به نتایج شناخته شده از ادبیات مراجعه کنیم، بنابراین هدف فوری ما بررسی مسئله (3)، (4) است. برای اجرای موفقیت آمیز روش تفکیک متغیرها، به اطلاعاتی در مورد وجود و مکان مقادیر ویژه، در مورد کیفی نیاز داریم.

ویژگی های توابع ویژه: آیا آنها خاصیت متعامد بودن را دارند؟

اجازه دهید نشان دهیم که A2 > 0. اجازه دهید فرض کنیم که این مورد نیست. فرض کنید X(x) تابع ویژه ای از مسئله (3)، (4) مربوط به مقدار A = 0 باشد. ما (3) را در X(x) ضرب می کنیم و برابری حاصل را در بازه (0،1) ادغام می کنیم. ادغام توسط قطعات و اعمال شرایط مرزی (4)، پس از تبدیل های اولیه به دست می آوریم

1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2)dx+

N\X 2(0) + M2X 2(1)

I aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

توجه می کنیم که از معنای فیزیکی توابع a(x)، b(x)، g(x) مثبت هستند، Kr، Mr غیر منفی هستند. اما سپس از برابری حاصل چنین نتیجه می‌شود که X "(x) \u003d 0، X (0) \u003d X (1) \u003d 0، بنابراین X (x) \u003d 0، که با فرض انجام شده در تضاد است. این فرض که صفر یک مقدار ویژه مسئله (3)، (4) است نادرست است.

نمایش حل معادله (3) به علامت عبارت a(x) - - A2b(x) بستگی دارد. اجازه دهید نشان دهیم که a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1). ما به طور دلخواه x e (0، 1) را ثابت می کنیم و مقادیر را در این نقطه از توابع a(x)، b(x)، g(x) می یابیم. معادله (3) را به شکل می نویسیم

X "(x) + VX (x) \u003d 0، (5)

جایی که علامت گذاری کردیم

در نقطه ثابت انتخاب شده، و شرایط (4) را می توان به شکل نوشت

X "(0) - aX (0) \u003d 0, X" (1) + bX (I) \u003d 0, (6)

که در آن a، b به راحتی قابل محاسبه است.

همانطور که مشخص است، مسئله کلاسیک Sturm-Liouville (5)، (6) دارای مجموعه ای از توابع ویژه قابل شمارش برای V > 0 است، که از آنجا، به دلیل دلبخواهی x، نابرابری مورد نظر به دنبال دارد.

توابع ویژه مسئله (3)، (4) دارای خاصیت متعامد بودن با بار هستند که با رابطه بیان می شود.

I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о

M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn (I) = 0، (7)

که می توان به روشی استاندارد به دست آورد (مثلاً به ) که اجرای آن در مورد مسئله مورد بررسی با محاسبات ابتدایی اما پر زحمت همراه است. اجازه دهید به طور مختصر مشتق آن را ارائه دهیم، و آرگومان توابع Xr(x) را حذف کنیم تا از دست و پا گیر بودن جلوگیری شود.

بگذارید λm، λn مقادیر ویژه متفاوت باشند، λm، λn توابع ویژه مسئله (3)، (4) مربوط به آنها باشند. سپس

((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0، ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0.

اولی از این معادلات را در Xn و دومی را در Xm ضرب می کنیم و دومی را از اولی کم می کنیم. پس از دگرگونی های ابتدایی، برابری را به دست می آوریم

(Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) "- LP (bXtX" p) "- (aX "tXp)" + Rt (bXtXp)"،

که در بازه (0،1) ادغام می کنیم. در نتیجه با در نظر گرفتن (4) و کاهش با (Лт - Лп) رابطه (7) را بدست می آوریم.

عبارات اثبات شده در مورد ویژگی های مقادیر ویژه و توابع ویژه مسئله Sturm-Liouville (3)، (4) به ما اجازه می دهد تا روش جداسازی متغیرها را برای یافتن راه حلی برای مشکل به کار ببریم.

3. حل شدنی بودن مسئله. مشخص کن

C(CT) = (u: u e C(St) P C2(St)، uixx e C^m)).

قضیه 1. فرض کنید a, b e C1 , e C. سپس حداکثر یک راه حل u e C(m) برای مسئله (1) و (2) وجود دارد.

اثبات فرض کنید برای مسئله (1)، (2)، u1 (x، z) و u2 (x، z) دو راه حل متفاوت وجود دارد. سپس به دلیل خطی بودن مسئله، تفاوت آنها u = u1 - u2 راه حلی برای مسئله همگن مربوط به (1)، (2) است. اجازه دهید نشان دهیم که راه حل آن بی اهمیت است. قبلاً متذکر می شویم که از نظر معنای فیزیکی ضرایب معادله و شرایط مرزی، توابع a، b، q در همه جای Qm مثبت هستند، در حالی که M^، K^ غیر منفی هستند.

با ضرب برابری (1) در u و ادغام بر روی دامنه Qt، جایی که t e و به طور دلخواه، پس از تبدیل های ساده، به دست می آوریم.

/ (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o

K1u2 (0، m) + M1u2 (0، m) + K2u2 (1، m) + M2u2 (1، m) = 0،

از این رو، به دلیل اختیاری بودن m، ادعای قضیه بلافاصله دنبال می شود. □

اجازه دهید وجود یک راه حل برای مورد ضرایب ثابت را ثابت کنیم.

قضیه 2. اجازه دهید<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0، دارای یک مشتق پیوسته تکه ای مرتبه سوم در (0،1)، φ e C 1، φ(0) = φ(1) = 0، و دارای یک مشتق پیوسته تکه ای مرتبه دوم در ( 0,1)، f e C(C^m)، سپس راه حل مسئله (1)، (2) وجود دارد و می توان آن را به عنوان مجموع یک سری از توابع ویژه به دست آورد.

اثبات ما طبق معمول به دنبال راه حل مشکل در قالب مبلغ خواهیم بود

که در آن جمله اول حل مسئله فرموله شده برای معادله همگن مربوط به (1) است، دومی حل معادله (1) است که شرایط اولیه و مرزی صفر را برآورده می کند. اجازه دهید از نتایج مطالعات انجام شده در پاراگراف قبل استفاده کرده و حل کلی معادله (3) را بنویسیم:

X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

با اعمال شرایط مرزی (4)، به سیستمی از معادلات برای Cj می رسیم!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0،

(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

با برابر کردن دترمینان آن با صفر، معادله طیفی را بدست می آوریم

ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (هشت)

b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

بیایید دریابیم که آیا این معادله ماورایی راه حلی دارد یا خیر. برای این کار توابعی که در قسمت چپ و راست آن قرار دارند را در نظر بگیرید و رفتار آنها را بررسی کنید. بدون اینکه کلیت را خیلی محدود کنیم، تنظیم کردیم

Mi = M2 = M، Kg = K2 = K،

که کمی محاسبات لازم را ساده می کند. معادله (8) شکل می گیرد

x I q ، Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b"

و معادله طیفی را با نماد جدید بنویسید!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2^2 (Kb - aM) 2/j.aql

تجزیه و تحلیل توابع قسمت‌های چپ و راست آخرین معادله به ما امکان می‌دهد ادعا کنیم که یک مجموعه قابل شمارش از ریشه‌های آن و بنابراین، یک مجموعه قابل شمارش از توابع ویژه مسئله Sturm-Liouville وجود دارد (3)، (4). که با در نظر گرفتن رابطه به دست آمده از سیستم نسبت به c¿ می توان آن را نوشت

v / l l I q K - x2pm. l i q

Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sin XnJ-myx.

V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b

اکنون به سراغ یافتن راه حلی می رویم که شرایط اولیه را نیز برآورده کند. اکنون می توانیم به راحتی حل مسئله معادله همگن را در قالب یک سری پیدا کنیم

u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x)،

که ضرایب آن را می توان از داده های اولیه با استفاده از خاصیت متعامد توابع Xn(x) یافت، که هنجار آن را می توان از رابطه (7) بدست آورد:

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■جو

فرآیند یافتن تابع v(x,t) نیز اساساً استاندارد است، اما ما همچنان متوجه می‌شویم که به دنبال راه‌حلی به شکل سنتی هستیم.

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x)،

دو معادله بدست می آوریم در واقع، با در نظر گرفتن شکل توابع ویژه، اجازه دهید ساختار سری که در آن به دنبال راه حل هستیم را مشخص کنیم:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~sin X^ GAirx). (نه)

v JXnVa - xnb^q V a - xn"

برای ارضای شرایط اولیه صفر y(x, 0) = y^x, 0) = 0، ما نیاز داریم که Yn(0) = Yn(0) = 0، Wn(0) = W(0) = 0. f(x,d) به یک سری فوریه با توجه به توابع ویژه Xn(x)، ضرایب ¡n(b) و dn(b) را پیدا می کنیم. با جایگزینی (9) به معادله (1) که با توجه به y(x,b) نوشته شده است، پس از یک سری تبدیل، معادلاتی برای یافتن Yn(b) و Shn(b) بدست می آوریم:

uc® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

با در نظر گرفتن شرایط اولیه Yn(0) = Y,(0) = 0، Shn(0) = W,(0) = 0، به مسائل کوشی برای هر یک از توابع Yn(b) و Shn( می رسیم. ب) که حلالیت منحصر به فرد آن توسط شرایط قضیه تضمین شده است. ویژگی‌های داده‌های اولیه فرمول‌بندی‌شده در قضیه هیچ شکی در مورد همگرایی تمام سری‌هایی که در جریان تحقیق ما به وجود آمده‌اند و بنابراین در مورد وجود راه‌حلی برای مشکل باقی نمی‌گذارد. □

نتیجه. وجود سیستمی از توابع ویژه مسئله مورد مطالعه به صورت متعامد با بار ثابت شده و نمایش آنها به دست می آید.

ویژگی‌های مشخص شده توابع ویژه، اثبات وجود یک راه‌حل منحصربه‌فرد برای مشکل را ممکن می‌سازد. توجه داشته باشید که نتایج به‌دست‌آمده در مقاله می‌تواند هم برای مطالعات نظری بیشتر در مورد مسائل با شرایط مرزی دینامیکی و هم برای اهداف عملی، یعنی برای محاسبه ارتعاشات طولی طیف وسیعی از اشیاء فنی مورد استفاده قرار گیرد.

الکساندر بوریسوویچ بیلین: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

منابع

1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. پردازش و مونتاژ مکانیکی اولتراسونیک. سامارا: انتشارات کتاب سامارا، 1995. 191 ص.

2. Khmelev V. N.، Barsukov R. V.، Tsyganok S. N. پردازش ابعادی اولتراسونیک مواد. Barnaul: دانشگاه فنی آلتای im. I.I. پولزونوا، 1997. 120 ص.

3. Kumabe D. برش ارتعاشی. M.: Mashinostroenie, 1985. 424 ص.

4. A. N. Tikhonov و A. A. Samarskii، معادلات فیزیک ریاضی. M.: Nauka، 2004. 798 ص.

5. Strett J. V. نظریه صدا. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 p.

6. Rao J. S. تئوری پیشرفته ارتعاش: ارتعاشات غیرخطی و ساختارهای یک بعدی. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 pp.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. نظریه ارتعاشات آزاد و اجباری یک میله جامد بر اساس مدل ریلی // DAN, 2007. V. 417, شماره 1. صص 56-61.

8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress// J. Eng. Mech., 2002. ج 128، شماره. 11.pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. A. B. Beilin و L. S. Pulkina، "مشکل ارتعاشات طولی یک میله با شرایط مرزی دینامیک"، Vestn. SamGU. علوم طبیعی Ser., 2014. شماره 3 (114). ص 9-19.

10. M. O. Korpusov، شکست در معادلات موج غیر کلاسیک. M.: URSS، 2010. 237 ص.

دریافت 1395/10/II; در نسخه نهایی - 18/V/2016; پذیرفته شده برای انتشار - 27/V/2016.

وستن سمر. می رود. فنی اونتا سر فیزیوتراپی علوم پایه

2016، ج. 20، شماره 2، صص 249-258 ISSN: 2310-7081 (آنلاین)، 1991-8615 (چاپ) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35، 35Q74

مشکل در ارتعاش طولی یک میله با اتصال الاستیک

دانشگاه فنی دولتی سامارا،

244، خیابان Molodogvardeyskaya، سامارا، 443100، فدراسیون روسیه.

در این مقاله، ارتعاش طولی را در یک میله کوتاه ضخیم ثابت شده توسط نیروهای نقطه‌ای و فنرها بررسی می‌کنیم. برای مدل ریاضی، ما یک مسئله مقدار مرزی را با شرایط مرزی دینامیکی برای یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه چهارم در نظر می گیریم. انتخاب این مدل به ضرورت در نظر گرفتن نتیجه یک کرنش عرضی بستگی دارد. ریلی نشان داد که غفلت از یک کرنش عرضی منجر به خطا می شود. این توسط نظریه مدرن غیر محلی ارتعاش تایید شده است. ما وجود توابع ویژه متعامد با بار را اثبات می کنیم و نمایش آنها را استخراج می کنیم. ویژگی‌های تثبیت‌شده توابع ویژه با استفاده از روش جداسازی متغیرها و یافتن راه‌حل منحصربه‌فرد برای مسئله امکان‌پذیر است.

واژه‌های کلیدی: شرایط مرزی دینامیکی، ارتعاش طولی، تعامد بارگذاری شده، مدل رایلی.

الکساندر بی. بیلین: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 pp. (به روسی)

2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 pp. (به روسی)

3. Kumabe J. برش لرزش. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (به ژاپنی).

4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. مسکو، ناوکا، 2004، 798 ص. (در روسی)

5. Strutt J. W. Theory of sound، ج. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 pp.

6. Rao J. S. تئوری پیشرفته ارتعاش: ارتعاشات غیرخطی و ساختارهای یک بعدی. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 pp.

بیلین A.B. مشکل در ارتعاش طولی میله با اتصال کشسان، وستن. سمر. می رود. فن آوری. دانشگاه، سر. فیزیک - تشک. علم، 1395، ج. 20، شماره 2، صص 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (به زبان انگلیسی) مشخصات نویسنده:

الکساندر بی. بیلین (Cand. Techn. Sci.; [ایمیل محافظت شده])، دانشیار گروه اتوماسیون ماشین ابزار و سیستم های ابزار.

7. فدوتوف I. A.، Polyanin A. D.، Shatalov M. Yu. تئوری ارتعاشات آزاد و اجباری یک میله صلب بر اساس مدل ریلی، Dokl. فیزیک، 1386، ج52، شماره. 11، صص. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress, J. Eng. Mech., 2002, ج128, No. 11، صص. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beylin A. B.، Pulkina L. S. Promlem در مورد ارتعاشات طولی یک میله با شرایط مرزی دینامیکی، Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser.، 2014، شماره. 3 (114)، صص. 919 (به روسی).

10. کورپوسوف م. او. مسکو، URSS، 2010، 237 ص. (در روسی)

دریافت 1395/10/II;

دریافت در فرم اصلاح شده 18/V/2016؛

تعریف

موج طولی- این یک موج است که در طی انتشار آن جابجایی ذرات محیط در جهت انتشار موج اتفاق می افتد (شکل 1، a).

علت وقوع یک موج طولی فشرده سازی / گسترش است، یعنی. مقاومت یک محیط در برابر تغییر حجم آن. در مایعات یا گازها، چنین تغییر شکلی با کمیاب شدن یا فشرده شدن ذرات محیط همراه است. امواج طولی می توانند در هر محیطی - جامد، مایع و گاز - منتشر شوند.

نمونه هایی از امواج طولی امواج در یک میله الاستیک یا امواج صوتی در گازها هستند.

امواج عرضی

تعریف

موج عرضی- این موجی است که در حین انتشار آن جابجایی ذرات محیط در جهت عمود بر انتشار موج رخ می دهد (شکل 1b).

علت موج عرضی تغییر شکل برشی یک لایه از محیط نسبت به لایه دیگر است. هنگامی که یک موج عرضی در یک محیط منتشر می شود، برآمدگی ها و فرورفتگی ها تشکیل می شوند. مایعات و گازها، بر خلاف جامدات، نسبت به برش لایه خاصیت ارتجاعی ندارند، یعنی. در برابر تغییر شکل مقاومت نکنید بنابراین امواج عرضی فقط در جامدات می توانند منتشر شوند.

نمونه هایی از امواج عرضی امواجی هستند که در امتداد یک طناب کشیده یا در امتداد یک رشته حرکت می کنند.

امواج روی سطح مایع نه طولی هستند و نه عرضی. اگر یک شناور را روی سطح آب پرتاب کنید، می بینید که حرکت می کند و روی امواج به صورت دایره ای تکان می خورد. بنابراین، موج روی سطح مایع دارای اجزای عرضی و طولی است. در سطح یک مایع، امواج از نوع خاصی نیز می تواند رخ دهد - به اصطلاح امواج سطحی. آنها در نتیجه عمل و نیروی کشش سطحی به وجود می آیند.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1

ورزش

جهت انتشار موج عرضی را در صورتی تعیین کنید که شناور در نقطه ای از زمان جهت سرعت نشان داده شده در شکل را داشته باشد.

تصمیم گیری

بیایید یک نقاشی بکشیم.

بیایید سطح موج را در نزدیکی شناور پس از یک بازه زمانی مشخص ترسیم کنیم، با توجه به اینکه در این مدت شناور پایین آمد، زیرا در لحظه زمان به سمت پایین هدایت می شد. با ادامه خط به سمت راست و چپ، موقعیت موج را در زمان نشان می دهیم. با مقایسه موقعیت موج در لحظه اولیه زمان (خط جامد) و در لحظه (خط چین) به این نتیجه می رسیم که موج به سمت چپ منتشر می شود.

مکانیک

UDC 531.01/534.112

ارتعاشات طولی یک بسته میله

صبح. پاولوف، A.N. تمنوف

MSTU im. N.E. ایمیل باومن، مسکو، فدراسیون روسیه: [ایمیل محافظت شده]; [ایمیل محافظت شده]

در مسائل دینامیک موشک های سوخت مایع، مشکل پایداری حرکت موشک در صورت وقوع نوسانات الاستیک طولی نقش مهمی ایفا می کند. ظهور چنین نوساناتی می تواند منجر به ایجاد خود نوساناتی شود که در صورت ناپایداری موشک در جهت طولی می تواند منجر به انهدام سریع آن شود. مشکل نوسانات طولی یک موشک بسته فرموله شده است؛ بسته ای از میله ها به عنوان مدل محاسباتی استفاده می شود. فرض بر این است که مایع موجود در مخازن موشک "یخ زده" است، یعنی. حرکات سیال مناسب در نظر گرفته نمی شود. قانون کل تعادل انرژی برای مسئله مورد بررسی فرموله شده و بیانیه عملگر آن ارائه شده است. یک مثال عددی داده شده است، که فرکانس‌ها برای آن تعیین می‌شوند و حالت‌های ویژه ساخته و تحلیل می‌شوند.

کلمات کلیدی: ارتعاشات طولی، فرکانس و شکل ارتعاشات، بسته میله ای، قانون تعادل انرژی کل، اپراتور خود الحاقی، طیف ارتعاش، POGO.

SYSTEM OF Rods ارتعاشات طولی A.M. پاولوف، آل. تمنوف

پست الکترونیکی دانشگاه فنی دولتی باومن مسکو، مسکو، فدراسیون روسیه: [ایمیل محافظت شده]; [ایمیل محافظت شده]

در مسائل دینامیک موشک های سوخت مایع، مشکل پایداری حرکت برای این موشک با ظهور ارتعاشات الاستیک طولی نقش مهمی دارد. وقوع چنین ارتعاشاتی می تواند ارتعاشات خود را برانگیزد که در صورت ناپایداری موشک در جهت طولی ممکن است باعث تخریب سریع موشک شود. مشکل ارتعاشات طولی موشک سوخت مایع بر اساس طرح بسته با استفاده از میله های بسته به عنوان یک مدل محاسباتی فرموله شده است. فرض بر این است که مایع موجود در مخازن موشک "یخ زده" است، یعنی. حرکات مناسب مایع گنجانده نشده است. برای این مسئله اصل بقای انرژی فرموله شد و مرحله بندی عملگر آن ارائه شده است. یک مثال عددی وجود دارد که فرکانس های آن تعیین شده است، اشکال ارتعاش Eigen ساخته و تجزیه و تحلیل شده است.

کلیدواژه‌ها: ارتعاشات حالت‌های طولی، حالت‌ها و فرکانس‌های خاص، مدل میله‌ها، اصل بقای انرژی، عملگر خود متصل، طیف ارتعاش، POGO.

معرفی. در حال حاضر، در روسیه و خارج از کشور، به منظور پرتاب محموله به مدار مورد نیاز، اغلب از وسایل نقلیه پرتاب (LV) با طرح بسته با بلوک های جانبی یکسان که به طور مساوی در اطراف بلوک مرکزی توزیع شده اند استفاده می شود.

مطالعات نوسانات سازه های بسته با مشکلات خاصی مرتبط با عمل دینامیکی بلوک های جانبی و مرکزی مواجه می شوند. در مورد تقارن چیدمان وسیله پرتاب، برهمکنش پیچیده و فضایی بلوک های طرح بسته را می توان به تعداد محدودی از انواع ارتعاش تقسیم کرد که یکی از آنها ارتعاشات طولی بلوک های مرکزی و جانبی است. مدل ریاضی ارتعاشات طولی طرحی مشابه به صورت بسته ای از میله های جدار نازک به تفصیل در کار در نظر گرفته شده است. برنج. 1. طرح مرکزی

ارتعاشات قابل توجه بسته ای از میله ها، تکمیل کننده مطالعه انجام شده توسط A.A. رقت انگیز

فرمول بندی مسئله. سایر ارتعاشات طولی بسته ای از میله ها را در نظر بگیرید که شامل یک میله مرکزی به طول l0 و میله های جانبی N با همان طول j = l، (l0 > lj)، j = 1، 2،...، N، بسته شده در نقطه A (xA = l) (شکل 1) با عناصر فنری مرکزی با سفتی k.

ما یک چارچوب مرجع ثابت OH را معرفی می کنیم و فرض می کنیم که صلبیت میله های EFj (x)، جرم توزیع شده mj (x) و اغتشاش q (x,t) توابع محدود مختصات x هستند:

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

اجازه دهید جابجایی های Uj (x, t) در مقاطع عرضی میله ها با مختصات x ظاهر شود که توسط معادلات تعیین می شود.

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

شرایط مرزی برای عدم وجود نیروهای عادی در انتهای میله ها

3 \u003d 0، x \u003d 0، ^ \u003d 1، 2،

0، x = 0، x = l0;

شرایط برابری نیروهای عادی ناشی از میله ها،

EF-3 = F x = l

نیروهای کشسان عناصر فنری

FпPJ = k (u (ha) - u (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

شرط برابری جابجایی ها در نقطه xa از میله مرکزی

W (ha-o) \u003d W (ha + o) و شرایط اولیه

W y (x، 0) - W (x); ، _

u(x، 0) = u(x)،

که در آن u(x، 0) = "q^1(x، 0).

قانون تعادل انرژی کل معادله (2) را در u(x,t) ضرب می کنیم، در طول هر میله ادغام می کنیم و نتایج را با استفاده از شرایط مرزی (3) و شرایط تطبیق (4) اضافه می کنیم. در نتیجه می گیریم

(( 1 ^ [ (diL 2

tz (x) "BT" (x +

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „h 2 .. N „i.

1 ⩽ Г „„, f dn3\ , 1 ⩽ Гj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Yo N (x - -)(no - Uj)2 dx

= / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6)

که در آن 8 (x - y) تابع دلتای دیراک است. در رابطه (6)، اولین عبارت در براکت های فرفری انرژی جنبشی T (¿) سیستم، دوم انرژی پتانسیل Pr (£) ناشی از تغییر شکل میله ها، و جمله سوم انرژی پتانسیل Pk است. (£) از عناصر فنری که در حضور تغییر شکل های الاستیک میله ها را می توان به صورت

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x، Cy = Ey.

رابطه (6) نشان می دهد که تغییر در کل انرژی در واحد زمان سیستم مکانیکی در نظر گرفته شده برابر با توان است.

نفوذ خارجی در غیاب اغتشاش خارجی q (x,t)، قانون بقای انرژی کل را بدست می آوریم:

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0).

تنظیمات اپراتور قانون تعادل انرژی نشان می دهد که برای هر زمان t، توابع Uj (x, t) را می توان به عنوان عناصر فضای هیلبرت L2j (؛ m3 (x)) در نظر گرفت، که در طول ¡i توسط حاصل ضرب اسکالر تعریف شده است.

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

و آیین نامه مربوطه

اجازه دهید فضای هیلبرت H را معرفی کنیم که برابر است با مجموع متعامد L2j، H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N، تابع برداری U = (uo, Ui,..., uN)m و عملگر. A که در فضای H با توجه به رابطه عمل می کند

AU = diag(A00U0، A11U1، ...، Annun).

mj(x)dx\jdx"

اپراتورهای تعریف شده در

مجموعه B (A33) C H از توابع برآورده کننده شرایط (3) و (4).

مسئله اصلی (1)-(5) همراه با شرایط اولیه را می توان به صورت نوشتاری نوشت

Au = f(*)، u(0) = u0، 17(0) = u1، (7)

که در آن f (*) = (به (*) ,51 (*)،..., Yam (¿)) i.e.

لما 1. اگر دو شرط اول (1) برآورده شود، عملگر A در مسئله تکامل (7) یک عملگر نامحدود، خود الحاقی، مثبت-معین در فضای H است.

(Au, K)n = (u, AK)n, (Au, u)n > c2 (u,u)n.

2. اپراتور A یک فضای انرژی HA با هنجار برابر دو برابر مقدار انرژی پتانسیل نوسانات بسته میله ها تولید می کند.

3 \ ^ I h)2 = 2n > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2P > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J E Fo (x) uo (x) v" (x) dx - E Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.،- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u "0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

از نتایج فوق به دست می آید که هنجار انرژی عملگر A با فرمول (8) بیان می شود.

حل شدنی بودن مسئله تکاملی قضیه زیر را فرموله می کنیم.

قضیه 1. اجازه دهید شرایط

U0 £ D (A1/2)، U0 £ H، f (t) £ C (; H)،

سپس مسئله (7) دارای یک راه حل ضعیف منحصر به فرد U (t) در قسمتی است که با فرمول تعریف شده است

U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 در صورت عدم وجود اغتشاش خارجی f (£)، قانون بقای انرژی برآورده می شود.

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

ارتعاشات طبیعی یک بسته میله. فرض کنید میدان نیروهای خارجی بر روی سیستم میله ای عمل نمی کند: f (t) = 0. در این حالت حرکت میله ها آزاد نامیده می شود. حرکات آزاد میله ها که طبق قانون exp (iwt) به زمان t بستگی دارد، نوسانات ویژه نامیده می شود. با در نظر گرفتن معادله (7) U (x, t) = U (x) eiWU، مسئله طیفی را برای عملگر A بدست می آوریم:

AU - AEU \u003d 0، L \u003d w2. (نه)

ویژگی های عملگر A به ما اجازه می دهد تا یک قضیه در مورد طیف و ویژگی های توابع ویژه فرموله کنیم.

قضیه 2. مسئله طیفی (9) در نوسانات طبیعی بسته ای از میله ها دارای یک طیف مثبت گسسته است.

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

و سیستمی از توابع ویژه (Uk (x))^=0، کامل و متعامد در فضاهای H و HA، و فرمول‌های متعامد زیر برقرار است:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Uk= £/U^) d*+

ک ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i

بررسی مسئله طیفی در مورد بسته همگن میله ها. با نمایش تابع جابجایی m-(x,t) به شکل m-(x,t) = m-(x)، پس از جداسازی متغیرها، مسائل طیفی برای هر میله بدست می آید:

^0u + LM = 0، ^ = 0،1،2،...، N (10)

که به صورت ماتریسی می نویسیم

4 پوند + لی = 0،

A = -،-،-،...،-

\ t0 t1 t2 t«

u = (u0، u1، u2،...، u') i.e.

حل و تجزیه و تحلیل نتایج به دست آمده. اجازه دهید توابع جابجایی میله مرکزی را در بخش u01 و در قسمت u02 (g) تعیین کنیم. در این حالت برای تابع u02 مبدا مختصات را به نقطه با مختصات / منتقل می کنیم. برای هر میله جواب معادله (10) را به شکل نمایش می دهیم

برای یافتن ثابت های مجهول در (11)، از شرایط مرزی فرموله شده در بالا استفاده می کنیم. از شرایط مرزی همگن، برخی از ثابت ها را می توان تعیین کرد، یعنی:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

در نتیجه، یافتن N + 3 ثابت باقی می ماند: C01، C03، C04، C11، C21، C31، C41،...، CN1. برای این کار معادلات N + 3 را برای N + 3 مجهول حل می کنیم.

سیستم حاصل را به صورت ماتریسی می نویسیم: (A) (C) = (0) . در اینجا (C) = (C01، C03، C04، C11، C21، C31، C41،...، Cn 1)m بردار مجهولات است. (A) - ماتریس مشخصه،

cos (L1) EF0 L sin (L1) +

L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000 Y

a \u003d k coe ^ ^A-L^; c \u003d -k co8 ((.40-01L) 1/2 ^;

7 \u003d (A4 "-1 لیتر) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + به جغدها ((A "1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ A = ^ A] ؛ A-- : 3 = 0.

برای یافتن یک راه حل غیر ضروری، ثابت C01 € M را به عنوان یک متغیر در نظر می گیریم.دو گزینه داریم: C01 = 0. C01 = 0.

اجازه دهید С01 = 0، سپس С03 = С04 = 0. در این مورد، اگر 7 = 0 از (12) تحت شرط اضافی، یک راه حل غیر ضروری به دست می آید.

£ c-1 = 0، (13)

که از معادله سوم سیستم (12) بدست می آید. در نتیجه یک معادله فرکانس ساده بدست می آوریم

EP (A "1 L) 1/2 w ((A" 1 ^ 1/2 P +

zz y \ V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0، j G ,

مصادف با معادله فرکانس برای میله ای که به صورت الاستیک در یک انتها ثابت شده است، که می تواند به عنوان اولین سیستم جزئی در نظر گرفته شود.

در این حالت، تمام ترکیب‌های ممکن حرکات میله‌های جانبی که شرط (13) را برآورده می‌کنند، می‌توانند به طور مشروط به گروه‌های مربوط به ترکیب‌های مختلف فازها تقسیم شوند (در مورد مورد بررسی، فاز با علامت S.d تعیین می‌شود). اگر میله های کناری را یکسان بگیریم، دو گزینه داریم:

1) Cd \u003d 0 ، سپس تعداد چنین ترکیباتی n برای N مختلف را می توان با فرمول n \u003d N 2 محاسبه کرد ، جایی که تابع تقسیم بدون باقی مانده است.

2) هر (یا هر) از ثابت های C برابر با 0 است، سپس تعداد ترکیب های ممکن افزایش می یابد و می توان با فرمول تعیین کرد.

£ [(N - m) div 2].

اجازه دهید Coi = 0، سپس Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t)، که در آن c و y مختلط در (12) هستند. از سیستم (12) نیز داریم: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /))، یعنی. همه ثابت ها از طریق C01 بیان می شوند. معادله فرکانس شکل می گیرد

EFo U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l)) -

K2 cos | ía!-، 1 L

به عنوان مثال، یک سیستم با چهار میله جانبی را در نظر بگیرید. علاوه بر روشی که در بالا توضیح داده شد، برای این مثال، می توانید معادله فرکانس کل سیستم را با محاسبه دترمینان ماتریس A و برابر کردن آن با صفر بنویسید. شکل آن را ارائه می دهیم

Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+

L cos (L (/ o - /)) (EFoL sin (L /) + 4v)) -

4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0.

نمودارهای معادلات فرکانس ماورایی برای موارد در نظر گرفته شده در بالا در شکل نشان داده شده است. 2. داده های زیر به عنوان داده های اولیه در نظر گرفته شد: EF = 2109 N; EF0 = 2.2 109 N; k = 7 107 نیوتن بر متر؛ متر = 5900 کیلوگرم بر متر؛ ماه = 6000 کیلوگرم بر متر؛ /=23; /o = 33 متر. مقادیر سه فرکانس نوسان اول طرح مورد بررسی در زیر آورده شده است:

n................................

و راد/س......................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

برنج. 2. نمودار معادلات فرکانس ماورایی برای Coi = 0 (i) و Coi = 0 (2)

اجازه دهید حالت های ارتعاش مربوط به راه حل های به دست آمده را ارائه کنیم (در حالت کلی، حالت های ارتعاش عادی نیستند). شکل موج های مربوط به فرکانس های اول، دوم، سوم، چهارم، سیزدهم و چهاردهم در شکل نشان داده شده است. 3. در فرکانس اول نوسان، میله های کناری با همان شکل اما به صورت جفت در پادفاز نوسان می کنند.

شکل 3. حالت های ارتعاش میله های جانبی (1) و مرکزی (2) مربوط به اولین V = 3.20 هرتز (a)، دوم V = 5.02 هرتز (b)، سوم V = 10.11 هرتز (c)، چهارم V = فرکانس های 13.60 هرتز (d)، ولت سیزدهم = 45.90 هرتز (d) و ولت چهاردهم = 50.88 هرتز (e)

(شکل 3، الف)، در مرحله دوم - میله مرکزی نوسان می کند، و میله های جانبی به همان شکل در فاز نوسان می کنند (شکل 3، ب). لازم به ذکر است که فرکانس های نوسان اول و دوم سیستم میله ای در نظر گرفته شده با نوسانات یک سیستم متشکل از اجسام جامد مطابقت دارد.

هنگامی که سیستم با سومین فرکانس طبیعی نوسان می کند، گره ها برای اولین بار ظاهر می شوند (شکل 3c). فرکانس سوم و بعدی (شکل 3d) مربوط به نوسانات الاستیک از قبل سیستم است. با افزایش فرکانس نوسانات مرتبط با کاهش تأثیر عناصر الاستیک، فرکانس ها و اشکال نوسانات تمایل به جزئی دارند (شکل 3، e، f).

منحنی توابع که نقاط تقاطع آنها با محور آبسیسا حل معادلات ماورایی است، در شکل نشان داده شده است. 4. مطابق شکل، فرکانس های نوسان طبیعی سیستم در نزدیکی فرکانس های جزئی قرار دارند. همانطور که در بالا ذکر شد، با افزایش فرکانس، همگرایی فرکانس های طبیعی با فرکانس های جزئی افزایش می یابد. در نتیجه، فرکانس هایی که کل سیستم در آن نوسان می کند به طور مشروط به دو گروه تقسیم می شوند: فرکانس های نزدیک به فرکانس های جزئی میله جانبی و فرکانس های نزدیک به فرکانس های جزئی میله مرکزی.

یافته ها مشکل ارتعاشات طولی یک بسته میله در نظر گرفته شده است. خصوصیات مسئله مقدار مرزی فرموله شده و طیف مقادیر ویژه آن تشریح شده است. یک راه حل از مسئله طیفی برای تعداد دلخواه میله های جانبی همگن پیشنهاد شده است. برای مثال عددی، مقادیر اولین فرکانس های نوسان پیدا شده و فرم های مربوطه ساخته می شوند. برخی از ویژگی های مشخصه حالت های ساخته شده ارتعاشات نیز آشکار شد.

برنج. 4. منحنی توابع که نقاط تقاطع آنها با محور آبسیسا راه حل معادلات ماورایی است، برای Cox = 0 (1)، Cox = 0 (2) با اولین سیستم جزئی (میله جانبی ثابت روی عنصر الاستیک) منطبق است. در نقطه x = I) و سیستم جزئی دوم (5) (میله مرکزی که روی چهار عنصر الاستیک در نقطه A ثابت شده است)

ادبیات

1. Kolesnikov K.S. دینامیک موشک M.: Mashinostroenie, 2003. 520 p.

2. موشک های بالستیک و وسایل پرتاب / O.M. علیفانوف، A.N. آندریف، V.N. گوشچین و همکاران: درفا، 2004. 511 ص.

3. Rabinovich B.I. مقدمه ای بر پویایی موشک های حامل فضاپیما. M.: Mashinostroenie, 1974. 396 p.

4. مطالعه پارامتر در مورد پایداری POGO موشک های مایع / Z. Zhao، G. Ren، Z. Yu، B. Tang، Q. Zhang // J. فضاپیما و موشک. 2011 جلد. 48. است. 3. ص 537-541.

5. Balakirev Yu.G. روش های تجزیه و تحلیل نوسانات طولی موشک های حامل با موتور مایع // کیهان نوردی و مهندسی موشک. 1995. شماره 5. S. 50-58.

6. Balakirev Yu.G. ویژگی های مدل ریاضی یک موشک سوخت مایع بسته بندی شده به عنوان یک شیء کنترلی // مسائل منتخب قدرت مهندسی مکانیک مدرن. 2008. S. 43-55.

7. Dokuchaev L.V. بهبود روشهای مطالعه دینامیک یک وسیله نقلیه پرتاب طراحی بسته با در نظر گرفتن تقارن آنها // مهندسی کیهان و موشک. 2005. شماره 2. S. 112-121.

8. پوژالوستین ع.ا. توسعه روش های تحلیلی تقریبی برای محاسبه ارتعاشات طبیعی و اجباری پوسته های الاستیک با سیال: Cand. ... دکتر فنی. علوم. م.، 2005. 220 ص.

9. کرین اس.جی. معادلات دیفرانسیل خطی در فضاهای باناخ. M.: Nauka، 1967. 464 ص.

10. Kopachevsky I.D. روش های عملگر فیزیک ریاضی. Simferopol: OOO "Forma"، 2008. 140 p.

کولسنیکوف K.S. موشک دینامیکا مسکو، انتشارات Mashinostroenie، 2003. 520 ص.

Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli. مسکو، انتشارات درفا، 2003. 511 ص.

رابینوویچ بی.آی. وودنیه و دینامو راکت-نوسیتلی کوسمیچسکیخ آپاراتوف. مسکو، انتشارات Mashinostroenie، 1974. 396 ص.

Zhao Z.، Ren G.، Yu Z.، Tang B.، Zhang Q. مطالعه پارامتری در مورد پایداری POGO موشک سوخت مایع. J. Spacecraft and Rockets, 2011, vol. 48، iss. 3، صص 537-541.

بالاکیرف یو.جی. روش‌های تحلیل ارتعاشات طولی وسایل نقلیه پرتاب با موتور پیشران مایع. کوسم. من rockettostr. ، 1995، شماره. 5، صص 50-58 (در روسیه).

بالاکیرف یو.جی. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob "ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". مسکو، انتشارات Fizmatlit، 2008. 204 ص.

دوکوچایف L.V. بهبود روش‌های مطالعه دینامیک پرتابگر خوشه‌ای با توجه به تقارن آنها. کوسم. من rockettostr. ، 2005، شماره. 2، صص 112-121 (به روسی).

پوژالوستین A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost "yu. Diss. doct. tekhn. nauk .

کرین اس.جی. Lineynye differentsial "nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p.

این مقاله در تاریخ 28 آوریل 2014 توسط ویراستاران دریافت شد

پاولوف آرسنی میخایلوویچ - دانشجوی بخش "سفینه فضایی و وسایل پرتاب" دانشگاه فنی دولتی مسکو. N.E. باومن. متخصص در زمینه موشک و فناوری فضایی.

MSTU im. N.E. باوماش، فدراسیون روسیه، 105005، مسکو، 2nd Baumanskaya، 5.

پاولوف A.M. - دانشجوی بخش "سفینه های فضایی و وسایل پرتاب" دانشگاه فنی دولتی باومان مسکو. متخصص در زمینه فناوری موشکی و فضایی. دانشگاه فنی دولتی باومان مسکو، 2-ya Baumanskaya ul. 5، مسکو، 105005 فدراسیون روسیه.

تمنوف الکساندر نیکولایویچ - Ph.D. فیزیک - ریاضی دانشیار، دانشیار گروه فضاپیما و وسایل پرتاب، دانشگاه فنی دولتی مسکو. N.E. باومن. نویسنده بیش از 20 مقاله علمی در زمینه مکانیک سیالات و گازها و فناوری موشک و فضایی. MSTU im. N.E. باوماش، فدراسیون روسیه، 105005، مسکو، 2nd Baumanskaya، 5.

تمنوف A.N. - کاندیدا علمی (فیزیک-ریاضی)، دانشیار. استاد بخش "سفینه های فضایی و وسایل پرتاب" دانشگاه فنی دولتی باومان مسکو. نویسنده بیش از 20 مقاله در زمینه مکانیک سیالات و گازها و فناوری موشک و فضا.

دانشگاه فنی دولتی باومان مسکو، 2-ya Baumanskaya ul. 5، مسکو، 105005 فدراسیون روسیه.

یک میله همگن به طول l را در نظر بگیرید، یعنی. بدنه ای استوانه ای یا شکل دیگر که برای کشش یا خمش آن باید نیروی مشخصی اعمال شود. شرایط اخیر حتی نازک ترین میله را از رشته متمایز می کند که همانطور که همه می دانند آزادانه خم می شود.

در کاری که ارائه کرده ام، کاربرد روش مشخصه ها را برای مطالعه ارتعاشات طولی میله نشان خواهم داد و تنها به مطالعه ارتعاشاتی که در آن مقطع pq در امتداد محور حرکت می کند، اکتفا می کنم. میله، صاف و موازی با یکدیگر باقی می ماند. اگر ابعاد عرضی میله در مقایسه با طول آن کوچک باشد، چنین فرضی موجه است.

اگر میله در امتداد محور طولی تا حدودی کشیده یا فشرده شود و سپس به حال خود رها شود، ارتعاشات طولی در آن ایجاد می شود.

با هدایت محور x در امتداد محور میله، فرض می‌کنم که در حالت سکون، انتهای بخش میله در نقاط x=0 و x=l هستند. فرض کنید x ابسیسا قسمتی از میله باشد زمانی که میله در حال استراحت است. اجازه دهید نماد را از طریق u(x,t) جابجایی این بخش در زمان t معرفی کنم. سپس افست مقطع با آبسیسا x+dx برابر خواهد بود

از اینجا مشخص است که ازدیاد طول نسبی میله در مقطع با آبسیسا x با مشتق بیان می شود.

حال، با فرض اینکه میله ارتعاشات کوچکی ایجاد می کند، می توانیم کشش T را محاسبه کنیم. با اعمال قانون هوک، به دست می آید:

جایی که E مدول الاستیسیته ماده میله و S سطح مقطع آن است. اجازه دهید عنصری از میله ای را انتخاب کنم که بین دو بخش محصور شده است که ابسیساهای آن در حالت استراحت به ترتیب برابر با x و x + dx هستند. نیروهای کششی اعمال شده در این مقاطع و هدایت شده در امتداد محور Ox بر روی این عنصر عمل می کنند. حاصل این نیروها ارزش دارد

ES - ES?ES (2) (قضیه لاگرانژ)

و همچنین کارگردانی شده است. از طرفی شتاب عنصر برابر است که در نتیجه می توانیم برابری را بنویسیم

چگالی ظاهری میله کجاست. قرار دادن

و با کاهش، معادله دیفرانسیل ارتعاشات طولی یک میله همگن را به دست می آوریم.

شکل این معادله نشان می دهد که نوسانات طولی میله ماهیت موجی دارد و سرعت انتشار امواج طولی با فرمول (4) تعیین می شود، در صورتی که میله نیز تحت یک نیروی خارجی محاسبه شده بر واحد حجم آن باشد. ، سپس به جای (3) دریافت می کنیم

این معادله ارتعاشات طولی اجباری میله است.

همانطور که در دینامیک به طور کلی، یک معادله حرکت (6) برای تعیین کامل حرکت میله کافی نیست. لازم است که شرایط اولیه را تنظیم کنید، یعنی. جابجایی بخش های میله و سرعت آنها را در لحظه اولیه زمان تنظیم کنید

که در آن و F(x) توابعی در بازه (0,l) داده شده است.

علاوه بر این، شرایط مرزی در انتهای میله باید مشخص شود. مثلا:

1) میله در دو انتها ثابت است. در این مورد

u(0,t)=0, u(l,t)=0 (8)

در هر زمان t.

2) یک سر میله ثابت است، دیگری آزاد است، یعنی.

u(0,t)=0,=0 (9)

در هر زمان t. در انتهای آزاد x=l، کشش T=ES برابر با صفر است (بدون نیروی خارجی) و بنابراین، = 0

3) هر دو سر میله آزاد است.

در هر لحظه از زمان

بنابراین، مشکل ارتعاشات طولی یک میله محدود همگن به حل معادله (6) کاهش می یابد که شرط اولیه (7) و یکی از شرایط مرزی (8)، (9)، (10) و غیره را برآورده می کند. موج دیفرانسیل نوسانات طولی

مشکل ارتعاشات طولی یک میله الاستیک همگن به طول l را در نظر بگیرید، زمانی که انتهای آن x=0 ثابت است و x=l دیگر آزاد است. این مسئله به حل معادله موج خلاصه می شود.

تحت شرایط مرزی

و شرایط اولیه

F(x) (0?x?l) (3)

با توجه به روش فوریه، ما به دنبال راه حل های خاصی برای معادله (1) در فرم هستیم

u(x,t)=X(x) T(x) (4)

معادله (4) را به (1) جایگزین می کنم و می گیرم

از آنجا دو معادله بدست می آوریم

برای اینکه تابع (4) که با صفر یکسان متفاوت است، شرایط مرزی (2) را برآورده کند، بدیهی است که نیاز به تحقق شرایط است.

X(x)=0، X(l)=0 (6)

بنابراین، من به مسئله مقدار ویژه برای معادله (5) در شرایط مرزی (7) رسیدم. با ادغام معادلات (5) بدست می آوریم

از شرایط مرزی (6) داریم

شمارش =0 را پیدا می کنم، از آنجاست

که در آن k یک عدد صحیح است

بنابراین، راه حل های غیر ضروری برای مسئله (4)، (5) فقط برای مقادیر ??:

مقادیر ویژه با توابع ویژه مطابقت دارند

(x)= (k=1،2،…..)

تا یک ضریب ثابت تعریف می شود که آن را برابر یک قرار می دهیم (k- منفی نخواهد بود)

برای ??= جواب کلی معادله (5) شکل دارد

ثابت های دلخواه کجا هستند. به دلیل (3) می گیریم

(1) و شرایط مرزی (2) را برای هر کدام برآورده کنید. ردیف می کنم

برای احراز شرایط اولیه (2) لازم است که

با فرض اینکه سری های (8)، (9) به طور یکنواخت همگرا شوند، می توانیم ضرایب را با ضرب در هر دو قسمت برابری ها در و ادغام بر روی x در محدوده x=0 تا x=l تعیین کنیم. با توجه به،

با جایگزینی مقادیر یافت شده ضرایب در سری (7)، من، شاید، یک راه حل برای مسئله به دست آمده از آن با تمایز دو برابری ترم به ترم با توجه به x و t، به طور یکنواخت همگرا کنم. .

با در نظر گرفتن جواب (7)، می توان دریافت که حرکت نوسانی میله حاصل افزودن ارتعاشات هارمونیک ساده است.

متعهد با دامنه و با فرکانس

تن بنیادی به دست آمده در k=0 دارای دوره نوسان است

از آنجایی که دامنه لحن بنیادی است

بدیهی است که یک گره در انتهای ثابت میله x=0 و در انتهای آزاد x=l-آنتیود تشکیل شده است.