مطالب نظری §6 مشتقات جزئی توابع مختلط چند متغیر حل مشتقات جزئی مختلط

1 درجه مورد یک متغیر مستقل. اگر z=f(x,y) یک تابع متمایز پذیر از آرگومان های x و y باشد که به نوبه خود توابع متمایزپذیر متغیر مستقل هستند. تی:، سپس مشتق تابع مختلط با فرمول قابل محاسبه است

مثال. پیدا کن اگر کجا

تصمیم گیری طبق فرمول (1) داریم:

مثال. مشتق جزئی و مشتق کل را بیابید اگر .

تصمیم گیری .

بر اساس فرمول (2) بدست می آوریم .

2°. مورد چند متغیر مستقل.

بگذار باشد z=f(ایکس؛y) -تابع دو متغیر ایکسو y،که هر کدام تابعی از متغیر مستقل هستند t: x =ایکس (t)، y =y (ت).در این مورد، تابع z=f(ایکس (t)؛y (ت))یک تابع پیچیده از یک متغیر مستقل است t;متغیرها x و y متغیرهای میانی هستند.

قضیه. اگر یک z == f(ایکس؛ y) -قابل تمایز در یک نقطه M(x; y)Dعملکرد و x =ایکس (ت)و در =y (ت) -توابع متمایز متغیر مستقل تی،سپس مشتق تابع مختلط z(ت) == f(ایکس (t)؛y (ت))با فرمول محاسبه می شود

مورد خاص:z = f(ایکس؛ y)جایی که y = y (x)،آن ها z= f(ایکس؛y (ایکس)) -تابع مختلط یک متغیر مستقل ایکس.این مورد به مورد قبلی و نقش متغیر کاهش می یابد تینمایشنامه ایکس.طبق فرمول (3) داریم:

.

آخرین فرمول نامیده می شود فرمول های مشتق کل

حالت کلی:z = f(ایکس؛y)جایی که x =ایکس (تو ;v)y=y (تو ;v).سپس z = f(ایکس (تو ;v)؛y (تو ;v))-تابع پیچیده متغیرهای مستقل وو vمشتقات جزئی آن را می توان با استفاده از فرمول (3) به شرح زیر یافت. تثبیت vما در آن با مشتقات جزئی مربوطه جایگزین می کنیم

بنابراین مشتق تابع مرکب (z) نسبت به هر متغیر مستقل (وو v)برابر است با مجموع مشتقات جزئی این تابع (z) نسبت به متغیرهای میانی آن (x و y)به مشتقات آنها با توجه به متغیر مستقل مربوطه (u و v).

در تمام موارد در نظر گرفته شده، فرمول

(خاصیت تغییرناپذیری دیفرانسیل کل).

مثال. پیدا کنید و اگر z = f(x،y)، که در آن x =uv، .

تصمیم گیری با استفاده از فرمول های (4) و (5) به دست می آوریم:

مثال. نشان دهید که تابع معادله را برآورده می کند .

تصمیم گیری تابع از طریق یک آرگومان میانی به x و y بستگی دارد، بنابراین

با جایگزینی مشتقات جزئی در سمت چپ معادله، داریم:

یعنی تابع z معادله داده شده را برآورده می کند.

مشتق در جهت معین و گرادیان یک تابع

1 درجه مشتق تابع در جهت معین. مشتقتوابع z= f(x,y) در این راستاتماس گرفت ، جایی که و مقادیر تابع در نقاط و هستند. اگر تابع z قابل تمایز باشد، فرمول

زوایای بین جهت کجاست لو محورهای مختصات مربوطه. مشتق در یک جهت معین میزان تغییر تابع را در این جهت مشخص می کند.

مثال. مشتق تابع z \u003d 2x 2 - Zu 2 را در نقطه P (1؛ 0) در جهتی که زاویه 120 درجه با محور OX ایجاد می کند، پیدا کنید.

تصمیم گیری بیایید مشتقات جزئی این تابع و مقادیر آنها را در نقطه P پیدا کنیم.

مثال. پیدا کن اگر کجا

تصمیم گیری طبق فرمول (1) داریم:

مثال. مشتق جزئی و مشتق کل را بیابید اگر .

تصمیم گیری .

بر اساس فرمول (2) بدست می آوریم .

2°. مورد چند متغیر مستقل.

بگذار باشد z = f(x;y) -تابع دو متغیر ایکسو y،که هر کدام یک تابع هستند

متغیر مستقل t: x = x (t)، y = y (t).در این مورد، تابع z=f(x(t);y(t))هست یک

تابع مختلط یک متغیر مستقل t;متغیرها x و y متغیرهای میانی هستند.

قضیه. اگر یک z == f(ایکس؛ y) -قابل تمایز در یک نقطه M(x; y) Dعملکرد

و x = x(t)و در =y (t) -توابع متمایز متغیر مستقل تی،

سپس مشتق تابع مختلط z(t) == f(x(t);y(t))با فرمول محاسبه می شود

(3)

مورد خاص: z = f (x; y)جایی که y = y (x)،آن ها z= f(x;y(x)) -عملکرد پیچیده از

متغیر مستقل ایکس.این مورد به مورد قبلی و نقش متغیر کاهش می یابد

تینمایشنامه ایکس.طبق فرمول (3) داریم:

.

آخرین فرمول نامیده می شود فرمول های مشتق کل

حالت کلی: z = f(x;y)جایی که x = x(u;v)، y=y(u;v).سپس z = f(x(u;v);y(u;v)) -مجتمع

تابع متغیرهای مستقل وو vمشتقات جزئی آن را می توان یافت

با استفاده از فرمول (3) به شرح زیر. تثبیت vدر آن جایگزین کنید

مشتقات جزئی مربوطه

بنابراین مشتق تابع مرکب (z) نسبت به هر متغیر مستقل (وو v)

برابر است با مجموع مشتقات جزئی این تابع (z) نسبت به حد واسط آن

متغیرها (x و y)به مشتقات آنها با توجه به متغیر مستقل مربوطه (u و v).

در تمام موارد در نظر گرفته شده، فرمول

(خاصیت تغییرناپذیری دیفرانسیل کل).

مثال. پیدا کنید و اگر z= f(x,y)، که در آن x=uv، .

§ 5. مشتقات جزئی توابع مختلط. دیفرانسیل توابع پیچیده

1. مشتقات جزئی یک تابع مختلط.

اجازه دهید تابعی از دو متغیر باشد که آرگومان های آنها و ، خود تابعی از دو یا چند متغیر هستند. به عنوان مثال، اجازه دهید
,
.

سپس اراده تابع پیچیده متغیرهای مستقل و ، متغیرها و برای آن خواهد بود متغیرهای میانی در این مورد، نحوه یافتن مشتقات جزئی یک تابع با توجه به و

البته می توان مستقیماً به صورت و بیان کرد:

و مشتقات جزئی تابع حاصل را جستجو کنید. اما بیان می تواند بسیار پیچیده باشد و مشتقات جزئی را پیدا کند , پس از آن به تلاش زیادی نیاز دارد.

اگر توابع
,
,
قابل تمایز هستند، سپس پیدا کنید و می توان بدون توسل به بیان مستقیم از طریق و . در این صورت فرمول ها معتبر خواهند بود

(5.1)

در واقع ما استدلال می کنیم افزایش
, - ثابت سپس توابع
و افزایشی دریافت خواهد کرد

و تابع افزایش خواهد یافت

جایی که , بی نهایت کوچک هستند
,
. تمام عبارات آخرین تساوی را بر تقسیم کنید. ما گرفتیم:

از آنجایی که توابع و با فرض قابل تمایز هستند، پیوسته هستند. بنابراین، اگر
، سپس و . بنابراین، با عبور از آخرین برابری به حد مجاز، می‌گیریم:

(از آنجایی که برای , بی نهایت کوچک هستند).

برابری دوم در (5.1) به طور مشابه ثابت شده است.

مثال. بگذار باشد
، جایی که
,
. سپس یک تابع پیچیده از متغیرهای مستقل و . برای یافتن مشتقات جزئی آن از فرمول (5.1) استفاده می کنیم. ما داریم

با جایگزینی (5.1)، به دست می آوریم

,

فرمول های (5.1) به طور طبیعی به مورد تابعی از تعداد بیشتری از آرگومان های مستقل و میانی تعمیم می دهند. یعنی اگر

………………………

و تمام توابع در نظر گرفته شده قابل تمایز هستند، سپس برای هر
یک برابری وجود دارد

همچنین ممکن است که آرگومان های تابع توابع تنها یک متغیر باشند، یعنی.

,
.

سپس تابع پیچیده ای از تنها یک متغیر خواهد بود و می توان سؤال یافتن مشتق را مطرح کرد . اگر توابع
,
قابل تمایز هستند، سپس می توان آن را با فرمول پیدا کرد
(5.2)

مثال. بگذار باشد
، جایی که
,
. در اینجا یک تابع پیچیده از یک متغیر مستقل است. با استفاده از فرمول (5.2) بدست می آوریم

.

و در نهایت، این مورد زمانی امکان پذیر است که نقش متغیر مستقل توسط , i.e. ،

جایی که
.

سپس از فرمول (5.2) بدست می آوریم

(5.3)

(مانند
). مشتق ، در فرمول (5.3) در سمت راست مشتق جزئی تابع با توجه به . با مقدار ثابتی محاسبه می شود. مشتق در سمت چپ فرمول (5.3) نامیده می شود مشتق کل تابع . هنگام محاسبه آن، در نظر گرفته می شود که به دو صورت بستگی دارد: مستقیم و از طریق آرگومان دوم.

مثال. یافتن و برای تابع
، جایی که
.

ما داریم
.

برای یافتن از فرمول (5.3) استفاده می کنیم. گرفتن

.

و برای نتیجه‌گیری این بخش، متذکر می‌شویم که فرمول‌های (5.2) و (5.3) را می‌توان به راحتی در مورد توابع با تعداد زیادی آرگومان میانی تعمیم داد.

2. دیفرانسیل یک تابع مختلط.

به یاد بیاورید که اگر

تابعی قابل تفکیک از دو متغیر مستقل است، سپس طبق تعریف

, (5.4)

یا به شکل دیگری
. (5.5)

مزیت فرمول (5.5) این است که حتی زمانی که یک تابع پیچیده است درست باقی می ماند.

در واقع، اجازه دهید، کجا، . اجازه دهید فرض کنیم که توابع , , قابل تمایز هستند. سپس تابع مختلط نیز قابل تفکیک خواهد بود و دیفرانسیل کل آن با فرمول (5.5) برابر خواهد بود

.

با استفاده از فرمول (5.1) برای محاسبه مشتقات جزئی یک تابع مختلط، به دست می آوریم

از آنجایی که مجموع دیفرانسیل توابع و داخل پرانتز هستند، در نهایت داریم

بنابراین دیدیم که هم در مورد وقتی و هم متغیرهای مستقل هستند و هم در مورد وقتی و متغیرهای وابسته هستند، دیفرانسیل تابع را می توان به شکل (5.5) نوشت. در این راستا به این شکل از نوشتن دیفرانسیل کل می گویند ثابت . شکل نوشتن دیفرانسیل پیشنهادی در (5.4) ثابت نخواهد بود، فقط زمانی می توان از آن استفاده کرد که متغیرهای مستقل باشند. شکل نوشتن دیفرانسیل نیز ثابت نخواهد بود - مرتبه به یاد بیاورید که قبلاً نشان دادیم که تفاوت ترتیب است توابع دو متغیر را می توان با فرمول پیدا کرد

. (4.12)

اما اگر و متغیرهای مستقل نیستند، فرمول (4.12) برای
دیگر حقیقت ندارد

بدیهی است که تمام آرگومان های انجام شده در این بخش برای تابعی از دو متغیر در مورد تابعی با آرگومان های بیشتر قابل تکرار هستند. بنابراین، برای یک تابع، دیفرانسیل را نیز می توان به دو شکل نوشت:

که در آن نماد دوم ثابت خواهد بود، یعنی. منصفانه حتی اگر
متغیرهای مستقل نیستند، بلکه آرگومان های میانی هستند.

§ 6. تمایز توابع ضمنی

در مورد روش های تعریف تابع یک و چند متغیر، اشاره کردیم که تعریف تحلیلی یک تابع می تواند صریح یا ضمنی باشد. در حالت اول، مقدار تابع از مقادیر شناخته شده آرگومان ها پیدا می شود. در مورد دوم، مقدار تابع و آرگومان های آن با معادله ای مرتبط هستند. با این حال، ما زمان معادلات را مشخص نکردیم

و

به ترتیب توابع تعریف شده ضمنی را تعریف کنید. شرایط کافی مناسب برای وجود یک تابع ضمنی متغیرها (
) در قضیه زیر موجود است.

قضیه6.1 . (وجود یک تابع ضمنی) اجازه دهید تابع
و مشتقات جزئی آن
در برخی از همسایگی های نقطه تعریف شده و پیوسته هستند. اگر یک
و
، پس چنین محله ای وجود دارد نقطه ای که در آن معادله

تابع پیوسته را تعریف می کند و

1) معادله را در نظر بگیرید
. شرایط قضیه برای مثال در هر همسایگی نقطه ارضا می شود
. بنابراین، در برخی از محله های نقطه
این معادله به عنوان یک تابع ضمنی از دو متغیر و . یک عبارت صریح برای این تابع با حل معادله زیر به راحتی بدست می آید:

2) معادله را در نظر بگیرید
. دو تابع از دو متغیر و . در واقع، شرایط قضیه، به عنوان مثال، در هر همسایگی نقطه برقرار است

، که در آن معادله داده شده یک تابع پیوسته را تعریف می کند که مقدار را در نقطه می گیرد
.

از سوی دیگر، شرایط قضیه در هر همسایگی نقطه برقرار است
. بنابراین، در برخی از همسایگی های نقطه، معادله یک تابع پیوسته را تعریف می کند که مقدار را در نقطه می گیرد
.

از آنجایی که یک تابع نمی تواند در یک نقطه دو مقدار را بگیرد، به این معنی است که در اینجا در مورد دو تابع متفاوت صحبت می کنیم.
و به همین ترتیب اجازه دهید عبارات صریح آنها را پیدا کنیم. برای انجام این کار، معادله اصلی را با توجه به . گرفتن

3) معادله را در نظر بگیرید
. بدیهی است که شرایط قضیه در هر همسایگی نقطه برقرار است
. بنابراین، چنین همسایگی نقطه وجود دارد
، که در آن معادله به عنوان یک تابع ضمنی از متغیر تعریف می کند. به دست آوردن یک عبارت صریح برای این تابع غیرممکن است، زیرا معادله را نمی توان با توجه به .

4) معادله
هیچ تابع ضمنی را تعریف نمی کند، زیرا چنین جفتی از اعداد واقعی وجود ندارد و آن را برآورده می کند.

عملکرد
، توسط معادله داده می شود
طبق قضیه 6.1، مشتقات جزئی پیوسته با توجه به همه آرگومان های یک همسایگی نقطه دارد. بیایید دریابیم که چگونه می توانید آنها را بدون داشتن مشخصات عملکرد صریح پیدا کنید.

اجازه دهید تابع
شرایط قضیه 6.1 را برآورده می کند. سپس معادله
عملکرد پیوسته
. یک تابع پیچیده را در نظر بگیرید
، جایی که . تابع یک تابع پیچیده از یک متغیر است و اگر
، سپس

(6.1)

از طرفی طبق فرمول (5.3) مشتق کل را محاسبه کنید
(6.2)

از (6.1) و (6.2) به دست می آوریم که اگر، پس

(6.3)

اظهار نظر.تقسیم بر ممکن است، زیرا طبق قضیه 6.1
در هر نقطه از محله

مثال. مشتق تابع ضمنی داده شده توسط معادله را بیابید و مقدار آن را در محاسبه کنید
.

,
.

با جایگزینی مشتقات جزئی به فرمول (6.3)، به دست می آوریم

.

علاوه بر این، با جایگزینی معادله اصلی، دو مقدار پیدا می کنیم:
و
.

بنابراین، در همسایگی یک نقطه، معادله دو تابع را تعریف می کند:
و
، جایی که
,
. مشتقات آنها در برابر خواهد بود

و
.

حالا معادله را بگذارید
در برخی از همسایگی های نقطه تعریف می کند
عملکرد . بیایید پیدا کنیم. به یاد بیاورید که در واقع، این مشتق معمولی یک تابع است که به عنوان تابعی از یک متغیر در مقدار ثابت . بنابراین، می‌توانیم از فرمول (6.3) برای یافتن آن استفاده کنیم، آن را یک تابع، یک آرگومان، - یک ثابت در نظر بگیریم. گرفتن

. (6.4)

به طور مشابه، با در نظر گرفتن یک تابع، - یک آرگومان، - یک ثابت، طبق فرمول (6.3) پیدا می کنیم

. (6.5)

مثال. مشتقات جزئی تابعی که با معادله داده شده است را بیابید
.

,
,
.

با استفاده از فرمول های (6.4) و (6.5) به دست می آوریم

,
.

در نهایت، حالت کلی را در نظر بگیرید که در آن معادله است

تابعی از متغیرها را در همسایگی نقطه تعریف می کند. با تکرار استدلال انجام شده برای یک تابع به طور ضمنی از دو متغیر، به دست می آوریم

,
, …,
.

§ 7. مشتق جهت دار

1. مشتق جهت دار.

اجازه دهید یک تابع از دو متغیر در یک دامنه تعریف شود
سطح
، نقطه منطقه است، یک بردار در هر جهت است. از اصل مطلب برویم
به نقطه ای در جهت بردار . سپس تابع افزایش می یابد

افزایش تابع را تقسیم می کنیم
با طول بخش افست
. نسبت دریافتی
میانگین نرخ تغییر تابع در نمودار را نشان می دهد
. سپس حد این رابطه در
(اگر وجود داشته باشد و متناهی باشد) نرخ تغییر تابع در نقطه خواهد بود
در جهت بردار . او تماس گرفته است مشتق تابع در نقطه ای در جهت بردار و نشان دهند
یا
.

علاوه بر مقدار نرخ تغییر تابع، به شما امکان می دهد ماهیت تغییر تابع را در نقطه ای در جهت بردار تعیین کنید. (صعودی یا نزولی):

این ادعاها مانند ادعاهای مشابه برای تابعی از یک متغیر ثابت می شوند.

توجه داشته باشید که مشتقات جزئی یک تابع مورد خاصی از مشتق جهت دار هستند. برای مثال،
مشتق تابع نسبت به جهت بردار است (جهت محور
)، مشتق تابع نسبت به جهت بردار است (جهت محور
).

فرض کنید که تابع در نقطه قابل تفکیک است. سپس

جایی که بی نهایت کوچک است
.

) قبلاً بارها با مشتقات جزئی توابع پیچیده مانند و نمونه های دشوارتر مواجه شده ایم. پس دیگر چه می توانید بگویید؟ ... و همه چیز مانند زندگی است - چنین پیچیدگی ای وجود ندارد که نتوان آن را پیچیده کرد =) اما ریاضیات همان چیزی است که ریاضیات برای آن است تا تنوع دنیای ما را در چارچوب های دقیق قرار دهد. و گاهی می توان آن را با یک جمله انجام داد:

به طور کلی تابع مختلط دارای فرم است ، جایی که، حداقل یکیاز حروف است عملکرد، که ممکن است بستگی به دلخواهتعداد متغیرها

کوچکترین و ساده ترین نسخه، تابع پیچیده شناخته شده یک متغیر است، مشتق آن ما یاد گرفتیم که ترم گذشته را پیدا کنیم. شما همچنین مهارت هایی برای متمایز کردن عملکردها دارید (به همین ویژگی ها نگاهی بیندازید ) .

بنابراین، اکنون ما فقط به مورد علاقه مند خواهیم بود. به دلیل تنوع زیاد توابع پیچیده، فرمول های کلی مشتقات آنها بسیار دست و پا گیر و هضم ضعیفی دارند. در این راستا، من خودم را به مثال‌های خاصی محدود می‌کنم که از آنها می‌توانید اصل کلی یافتن این مشتقات را درک کنید:

مثال 1

با توجه به یک تابع پیچیده، که در آن . ضروری:
1) مشتق آن را پیدا کنید و دیفرانسیل کل مرتبه 1 را بنویسید.
2) مقدار مشتق را در .

تصمیم: ابتدا به خود تابع می پردازیم. به ما یک تابع بسته به و ارائه می شود که به نوبه خود توابع هستندیک متغیر:

ثانیاً، بیایید به خود وظیفه توجه دقیق داشته باشیم - ما ملزم به یافتن هستیم مشتقیعنی اصلاً از مشتقات جزئی صحبت نمی کنیم که به یافتن آن عادت کرده ایم! از آنجایی که تابع در واقع فقط به یک متغیر بستگی دارد، سپس کلمه "مشتق" به معنی است مشتق کل. چگونه آن را پیدا کنیم؟

اولین چیزی که به ذهن می رسد جایگزینی مستقیم و تمایز بیشتر است. جایگزین به یک تابع:
، پس از آن هیچ مشکلی با مشتق مورد نظر وجود ندارد:

و بر این اساس، دیفرانسیل کل:

این راه حل از نظر ریاضی درست است، اما یک نکته کوچک این است که وقتی مسئله به روشی که فرمول بندی شده است، هیچکس از شما انتظار چنین وحشیگری را ندارد =) اما جدی، شما واقعاً می توانید در اینجا ایراد بگیرید. تصور کنید که این تابع پرواز یک زنبور عسل را توصیف می کند و عملکردهای تو در تو بسته به دما تغییر می کنند. انجام تعویض مستقیم ، ما فقط می گیریم اطلاعات خصوصی، که پرواز را مشخص می کند، مثلاً، فقط در هوای گرم. علاوه بر این، اگر به فردی که در زنبورها مسلط نیست، یک نتیجه تمام شده ارائه شود و حتی بگوید چه نوع عملکردی دارد، در این صورت چیزی در مورد قانون اساسی پرواز نمی‌آموزد!

و بنابراین، کاملاً غیرمنتظره، برادر وزوز ما به درک معنا و اهمیت فرمول جهانی کمک کرد:

به نماد "دو طبقه" مشتقات عادت کنید - در کار مورد بررسی، آنها هستند که در حال استفاده هستند. در عین حال باید باشد خیلی مرتبدر ثبت: مشتقات با علامت مستقیم "د" هستند کل مشتقات، و مشتقات با علائم گرد هستند مشتقات جزئی. بیایید با دومی شروع کنیم:

خوب، با "دم" به طور کلی، همه چیز ابتدایی است:

مشتقات یافت شده را در فرمول خود جایگزین می کنیم:

هنگامی که یک تابع در ابتدا به صورت پیچیده پیشنهاد می شود، منطقی خواهد بود (و در بالا توضیح داده شد!)نتایج را همانطور که هستند بگذارید:

در عین حال، در پاسخ های "فانتزی"، بهتر است از ساده سازی های حداقلی خودداری کنید. (در اینجا، برای مثال، التماس برای حذف 3 منهای)- و شما کار کمتری برای انجام دادن دارید، و دوست پشمالوی شما خوشحال است که کار را آسان تر بررسی می کند.

با این حال، یک بررسی خشن اضافی نخواهد بود. جایگزین مشتق یافت شده را وارد کنید و ساده سازی ها را انجام دهید:


(در آخرین مرحله که استفاده کردیم فرمول های مثلثاتی , )

در نتیجه، همان نتیجه ای که در روش حل «بربر» انجام شد، به دست آمد.

بیایید مشتق را در نقطه محاسبه کنیم. اول، پیدا کردن مقادیر "ترانزیت" راحت است (مقادیر تابع ) :

اکنون محاسبات نهایی را ترسیم می کنیم که در این مورد به روش های مختلف قابل انجام است. من از یک تکنیک جالب استفاده می کنم که در آن 3 و 4 "طبقه" نه بر اساس آن ساده شده است قوانین معمول، و به صورت ضریب دو عدد تبدیل می شوند:

و البته، این گناه است که با استفاده از نمادهای فشرده تر بررسی نکنید :

پاسخ:

این اتفاق می افتد که کار به شکل "نیمه عمومی" پیشنهاد می شود:

"مشتق تابع را پیدا کنید، جایی که »

یعنی تابع "اصلی" داده نشده است، اما "درج" آن کاملا مشخص است. پاسخ را باید به همین سبک داد:

علاوه بر این، شرایط را می توان کمی رمزگذاری کرد:

"مشتق یک تابع را بیابید »

در این مورد، شما نیاز دارید بدون کمک دیگریتوابع تو در تو را با حروف مناسب نشان دهید، به عنوان مثال، through و از همان فرمول استفاده کنید:

به هر حال، در مورد تعیین حروف. من مکرراً اصرار کرده ام که به عنوان راه نجات "به حروف نچسبیم" و اکنون این به ویژه صادق است! با تجزیه و تحلیل منابع مختلف در مورد این موضوع، من به طور کلی این تصور را داشتم که نویسندگان "از مسیر خود خارج شدند" و شروع به پرتاب بی رحمانه دانش آموزان به ورطه طوفانی ریاضیات کردند =) پس من را ببخش :))

مثال 2

مشتق تابع را بیابید ، اگر

نامگذاری های دیگر نباید منجر به سردرگمی شود! هر بار که با چنین کاری روبرو می شوید، باید به دو سوال ساده پاسخ دهید:

1) تابع "اصلی" به چه چیزی بستگی دارد؟در این حالت، تابع "z" به دو تابع ("y" و "ve") بستگی دارد.

2) توابع تو در تو به چه متغیرهایی بستگی دارند؟در این مورد، هر دو "درج" فقط به "x" بستگی دارند.

بنابراین، در تطبیق فرمول با این مشکل هیچ مشکلی ندارید!

راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

نمونه های اضافی از نوع اول را می توان در کتاب مسئله ریابوشکو (IDZ 10.1)خوب، ما به سمت تابع سه متغیر :

مثال 3

با توجه به تابعی که در آن .
محاسبه مشتق در یک نقطه

فرمول مشتق یک تابع مختلط، همانطور که بسیاری از مردم حدس می زنند، یک شکل مرتبط دارد:

تصمیم بگیرید که آیا آن را حدس زده اید =)

در هر صورت، فرمول کلی تابع را می‌دهم:
، اگرچه در عمل بعید است چیزی طولانی تر از مثال 3 ببینید.

علاوه بر این، گاهی اوقات لازم است یک نسخه "قطع" را متمایز کنید - به عنوان یک قاعده، تابعی از فرم یا . من این سوال را برای شما می گذارم تا خودتان مطالعه کنید - چند مثال ساده بیاورید، فکر کنید، آزمایش کنید و فرمول های کوتاه شده برای مشتقات را استخراج کنید.

اگر چیزی وجود دارد که متوجه نمی شوید، لطفاً وقت خود را برای خواندن مجدد و درک قسمت اول درس اختصاص دهید، زیرا اکنون کار دشوارتر می شود:

مثال 4

مشتقات جزئی یک تابع مختلط را پیدا کنید، جایی که

تصمیم: این تابع به شکل است و پس از جایگزینی مستقیم، تابع معمول دو متغیر را بدست می آوریم:

اما چنین ترسی چیزی نیست که پذیرفته نشده باشد، بلکه فرد حتی نمی خواهد تفکیک کند =) بنابراین از فرمول های آماده استفاده خواهیم کرد. برای اینکه بتوانید سریع الگو را بگیرید، نکاتی را یادداشت می کنم:

با دقت به تصویر از بالا به پایین و از چپ به راست نگاه کنید ....

ابتدا، مشتقات جزئی تابع "اصلی" را پیدا می کنیم:

اکنون مشتقات "X" از "درج" را پیدا می کنیم:

و مشتق نهایی "X" را بنویسید:

به طور مشابه با "بازی":

و

می توانید به سبک دیگری پایبند باشید - بلافاصله تمام "دم ها" را پیدا کنید و سپس هر دو مشتق را بنویسید.

پاسخ:

در مورد تعویض من اصلاً فکر نمی کنم =) =)، اما می توانید نتایج را کمی شانه کنید. اما باز هم چرا؟ - فقط بررسی را برای معلم سخت تر کنید.

در صورت نیاز، پس دیفرانسیل کل در اینجا طبق فرمول معمول نوشته شده است و اتفاقاً فقط در این مرحله لوازم آرایشی سبک مناسب می شوند:


این ...... تابوت روی چرخ است.

با توجه به محبوبیت تنوع در نظر گرفته شده از یک عملکرد پیچیده، چند کار برای یک راه حل مستقل وجود دارد. یک مثال ساده تر به شکل "نیمه عمومی" - برای درک خود فرمول ;-):

مثال 5

مشتقات جزئی تابع را پیدا کنید، جایی که

و مشکل تر - با اتصال تکنیک های تمایز:

مثال 6

دیفرانسیل کامل یک تابع را پیدا کنید ، جایی که

نه، من اصلاً سعی نمی کنم "تو را به ته" بفرستم - همه نمونه ها از کار واقعی گرفته شده اند و "در دریاهای آزاد" می توانید با هر نامه ای که دوست دارید روبرو شوید. در هر صورت، باید عملکرد را تجزیه و تحلیل کنید (پس از پاسخ به 2 سوال - بالا را ببینید)، آن را به صورت کلی ارائه کنید و فرمول های مشتق جزئی را با دقت اصلاح کنید. شاید الان کمی گیج شده باشید، اما اصل طراحی آنها را متوجه خواهید شد! چون کار واقعی تازه شروع شده :)

مثال 7

مشتقات جزئی را بیابید و دیفرانسیل کل یک تابع مختلط را بسازید
، جایی که

تصمیم: تابع "اصلی" شکل دارد و همچنان به دو متغیر - "x" و "y" بستگی دارد. اما در مقایسه با مثال 4، یک تابع تو در تو اضافه شده است، و بنابراین فرمول های مشتق جزئی نیز طولانی تر می شوند. مانند آن مثال، برای دید بهتر الگو، مشتقات جزئی "اصلی" را در رنگ های مختلف برجسته می کنم:

و دوباره - رکورد را از بالا به پایین و از چپ به راست به دقت مطالعه کنید.

از آنجایی که مسئله به شکل "نیمه کلی" فرموله شده است، تمام کار ما اساساً به یافتن مشتقات جزئی توابع تو در تو محدود می شود:

دانش آموز کلاس اولی انجام خواهد داد:

و حتی دیفرانسیل کامل نیز بسیار زیبا بود:

من عمداً هیچ عملکرد خاصی را به شما پیشنهاد نکردم - به طوری که انبوه های غیر ضروری با درک خوب مفهوم مشکل تداخل نداشته باشند.

پاسخ:

اغلب اوقات می توانید سرمایه گذاری های "مختلفی" پیدا کنید، به عنوان مثال:

در اینجا، تابع "اصلی"، اگرچه شکل دارد، اما همچنان به "x" و "y" بستگی دارد. بنابراین، همان فرمول ها کار می کنند - فقط برخی از مشتقات جزئی برابر با صفر خواهند بود. علاوه بر این، این برای توابعی مانند نیز صادق است ، که در آن هر "درج" به یک متغیر بستگی دارد.

وضعیت مشابهی در دو مثال پایانی درس رخ می دهد:

مثال 8

دیفرانسیل کل یک تابع مرکب را در یک نقطه بیابید

تصمیم: شرط به روش "بودجه" فرموله شده است و ما باید توابع تودرتو را خودمان تعیین کنیم. به نظر من انتخاب خوبی است:

در "درج" وجود دارد ( توجه!) سه حرف "x-y-z" خوب قدیمی هستند، به این معنی که تابع "اصلی" در واقع به سه متغیر بستگی دارد. می توان آن را به صورت رسمی بازنویسی کرد، و مشتقات جزئی در این مورد با فرمول های زیر تعریف می شوند:

اسکن می کنیم، می کاوشیم، می گیریم ....

در وظیفه ما: