معادله پارامتری هواپیما عبور از نقطه. هواپیما و مستقیم در فضا: معادله هواپیما عمومی و پارامتری

– معادله عمومی هواپیما در فضا

هواپیما بردار طبیعی

بردار عادی هواپیما یک بردار غیر صفر است که به هر بردار دروغ می گویند.

معادله هواپیما عبور از چرخش استاندارد طبیعی بردار

- معادله هواپیما عبور از نقطه m0 با یک بردار داده شده طبیعی

راهنمای بردار هواپیما

دو بردار غیر سمی، هواپیماهای موازی، بیایید با بردارهای راهنمای هواپیما تماس بگیریم

معادلات پارامتری هواپیما

- معادله پارامتری بردار هواپیما

- معادله پارامتری هواپیما در مختصات

معادله هواپیما از طریق یک نقطه مشخص شده و دو بردار راهنمای

نقطه ثابت

- فقط نقطه لول

- کامل، به معنی کار مخلوط آنها 0 است.

معادله هواپیما عبور از سه نقطه

- معادله هواپیما از طریق سه امتیاز

معادله هواپیما در بخش ها

- معادله هواپیما در بخش ها

شواهد و مدارک

برای شواهد، ما از آن استفاده می کنیم که هواپیما ما از طریق A، B، C و یک بردار طبیعی عبور می کند

مختصات نقطه و VECTORNUS معادله هواپیما را با یک بردار طبیعی جایگزین کنید

ما همه چیز را تقسیم می کنیم و دریافت می کنیم

پس می رود

معادله عادی هواپیما

- زاویه بین بردار طبیعی به هواپیما با چشم انداز O.

- زاویه بین بردار طبیعی به هواپیما با چشم انداز O.

- زاویه بین بردار طبیعی به هواپیما که از O.

- فاصله از ابتدای مختصات به هواپیما.

اثبات یا نوعی از huff

علامت در مقابل D.

شبیه به بقیه کوزین. پایان.

فاصله از نقطه به هواپیما

نقطه S، هواپیما

- فاصله گرا از نقطه هواپیما

اگر، Tsi اوه دروغ گفتن در طرف های مختلف هواپیما

اگر، Tosi یک راه دروغگو است

ضرب آن

محل متقابل دو فضا مستقیم

زاویه بین هواپیما

هنگامی که تقاطع، دو جفت زاویه دو نفره عمودی تشکیل می شود، کوچکترین زاویه بین هواپیماها نامیده می شود.

مستقیم در فضا

مستقیم در فضا می تواند خواسته شود

تقاطع دو هواپیما:

معادلات پارامتریک مستقیم هستند

- معادله پارامتری مستقیم در فرم بردار

- معادله پارامتری مستقیم در مختصات

معادله کانونیک

- معادله کانونی مستقیم.

معادله مستقیم عبور از طریق دو نقطه

- معادله کانونیکال مستقیم در فرم بردار؛

محل متقابل دو فضا مستقیم

محل متقابل مستقیم و هواپیما در فضا

زاویه بین راست و هواپیما

فاصله از نقطه به طور مستقیم در فضا

یک بردار راهنمایی در راستای ما.

- نقطه دلخواه متعلق به این مستقیم

- اشاره به آن ما به دنبال فاصله.

فاصله بین دو کشور صلیب مستقیم

فاصله بین دو موازی مستقیم

M1 - نقطه متعلق به اولین مستقیم

M2 - نقطه متعلق به دوم مستقیم

منحنی های دوم و سطوح دوم

بیضی به نام بسیاری از نقاط هواپیما نامیده می شود، مقدار فاصله هایی که تا دو نقطه مشخص شده (فوکوس) ارزش ثابت است.

معادله بیضوی کانونیکال

جایگزین کردن

ما تقسیم می کنیم

خواص بیضی

عبور از محورهای مختصات

تقارن با توجه به

1. شروع مختصات

بیضی یک منحنی دروغین در بخش محدودی از هواپیما است

بیضی می تواند از یک دایره به وسیله کشش آن یا فشرده سازی حاصل شود.

معادله بیضی پارامتر:

- DirectRess

هذلولی

هیپربول بسیاری از نقاط هواپیما نامیده می شود که ماژول تفاوت فاصله را به نقاط مشخص شده 2X (فوکوس) دائمی می کند (2A)

همین کار را با یک بیضی انجام دهید

ما جایگزین می کنیم

دلی

خواص هیپربول ها

;

- DirectRess

نامزدی

Asymptotta راست است، که منحنی نزدیک شدن به نامحدود، از بین بردن در بی نهایت است.

پارابولا

خواص پارابوتا

رابطه بیضی، هیپربولز و پارابولاس.

رابطه بین این منحنی ها یک توضیح جبری دارد: همه آنها معادلات درجه دوم را ارائه می دهند. در هر سیستم مختصات، معادله این منحنی ها فرم دارد: AX 2 + BXY + CY 2 + DX + EY + F \u003d 0، جایی که A، B، C، D، E، F - تعداد

تبدیل سیستم مختصات دکارتی مستطیل

انتقال موازی سیستم مختصات

-O 'در سیستم مختصات قدیمی

- Oordines امتیاز در سیستم مختصات قدیمی

-Amets امتیاز در سیستم مختصات جدید

مختصات نقطه در سیستم مختصات جدید.

چرخش در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی

سیستم مختصات جدید

ماتریس انتقال از مبنای قدیمی به جدید

- (زیر ستون اول من.’ ، زیر دوم - ج’ ) ماتریس انتقال پایه من.,جبه پایه من.’ ,ج’

عمومی

1 گزینه

1. سیستم مختصات را بچرخانید

گزینه 2

1. سیستم مختصات را بچرخانید

   انتقال موازی منشاء مختصات

معادله عمومی خطوط مرتبه دوم و پیوستن آن به کانونیک

– فرم عمومی معادلات منحنی دوم مرتبه

طبقه بندی منحنی های مرتبه دوم

بیضوی

بخش های بیضوی

- بیضی

- بیضی

بیضوی از چرخش

بیضوی از چرخش یا اسفروئید های مسطح یا بلند، بسته به آنچه چرخش می کند.

Hyperboloid تک چشم

بخش های هیپربوئید تک باند

- هیپربول با محور معتبر

- هیپربول با یک محور معتبر آه

این یک بیضی را با هر h تبدیل می کند. پس می رود

هیپربوئیدهای تک باند چرخش

هیپربولوئید چرخش تک درجه را می توان با چرخش هیپربول ها در اطراف محور خیالی خود به دست آورد.

هیپربولی بزرگ

بخش های هیپربوئیدی دو طرفه

- هیپربول با عمل axoz

- هیپربول با محور معتبر

مخروطی

- زن و شوهر تقاطع مستقیم

- زن و شوهر تقاطع مستقیم

پارابولوئید بیضوی

- Parabola

- Parabola

چرخش

اگر پارابولوئید بیضوی سطح چرخش است که توسط چرخش پارابولا در اطراف محور تقارن شکل می گیرد.

paraboloid hyperbolic

پارابولا

- Parabola

h\u003e 0 هیپربول با محور معتبر موازی آه

h.<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

زیر سیلندر، ما سطح را درک خواهیم کرد که در هنگام حرکت مستقیم در فضا به دست می آید که جهت آن را تغییر نمی دهد، اگر حرکت مستقیم نسبت به OZ، معادله سیلندر بخش مقطع PlanExoy است.

سیلندر بیضوی

سیلندر هیپربولیک

سیلندر پارابولیک

مستقیما سطوح مرتبه دوم را تشکیل می دهند

راست، به طور کامل دروغ می گویند بر روی سطح، به نام StraightFormer شکل تشکیل می شود.

سطح چرخش

fuck you loch

نمایش دادن

نمایش دادنما قانون را می نامیم که هر عنصر مجموعه A مطابق با یک یا چند عنصر مجموعه قرار می گیرد. اگر هر کس توسط تنها عنصر مجموعه تنظیم شده است، سپس نقشه برداری نامیده می شود دلیردر غیر این صورت چندگانه.

تبدیلمجموعه ها یک صفحه نمایش معتبر معتبر از مجموعه ای به خودشان نامیده می شوند

تزریق

تزریق یا نقشه برداری متقابل یکپارچه از مجموعه و مجموعه در

(عناصر مختلف A مربوط به عناصر مختلف B) به عنوان مثال y \u003d x ^ 2

زشت

انعطاف پذیری یا نقشه برداری مجموعه و بسیاری در

برای هر کدام در آنجا حداقل یک (به عنوان مثال سینوس)

هر عنصر مجموعه B مربوط به تنها یک عنصر مجموعه A است. (به عنوان مثال y \u003d x)

یکی از زمینه های موضوع "معادله مستقیم در هواپیما"، پرسش از آماده سازی معادلات پارامتری مستقیم در هواپیما در سیستم مختصات مستطیلی است. زیر شرح اصل تدوین چنین معادلات را با داده های شناخته شده خاص توصیف می کند. ما نشان می دهیم، به عنوان از معادلات پارامتری برای حرکت به معادلات نوع متفاوت؛ ما راه حل وظایف معمول را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

اگر شما مشخص کنید که نقطه خاصی است که متعلق به این خط مستقیم است و مستقیما بردار مستقیم تعریف می شود تعریف می شود.

فرض کنید ما یک سیستم مختصات مستطیلی o x y را داده ایم. و همچنین مشخص شده مستقیم و نشان دادن نکات دروغ گفتن بر روی آن m 1 (x 1، y 1) و بردار هدایت مستقیم مشخص شده است A → \u003d (A X، Y) . ما توصیف مستقیم را با استفاده از معادلات ارائه می دهیم.

ما از نقطه دلخواه m (x، y) استفاده می کنیم و یک بردار را دریافت می کنیم m 1 m →؛ من مختصات خود را با مختصات نقاط اصول و پایان محاسبه می کنم: m 1 m → \u003d (x - x 1، y - y 1). ما نتیجه را شرح می دهیم: Direct توسط تعدادی از نقاط M (X، Y) تنظیم شده است، از طریق نقطه m 1 (x 1، y 1) عبور می کند و دارای یک بردار راهنمای است A → \u003d (A X، Y) . مجموعه مشخص شده به طور مستقیم تنها زمانی مشخص می شود که بردارهای m 1 m → \u003d (x - x 1، y - y 1) و a → \u003d (a x، y) collinear هستند.

یک شرط لازم و کافی برای برخورد بردارها وجود دارد که در این مورد برای بردارها m 1 m → \u003d (x - x 1، y - y 1) و a → \u003d (ax، ay) را می توان در فرم نوشته شده است معادله:

m 1 m → \u003d λ · a →، جایی که λ چند عدد معتبر است.

تعریف 1

معادله m 1 m → \u003d λ λ → → معادله پارامتر بردار به طور مستقیم نامیده می شود.

در فرم مختصات، این فرم را دارد:

m 1 m → \u003d λ λ → → ⇔ x - x 1 \u003d λ · a x y - y 1 \u003d λ · a y ⇔ x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ

معادلات سیستم به دست آمده x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ نام معادلات پارامتر مستقیم در هواپیما در سیستم مختصات مستطیلی است. ماهیت نام به شرح زیر است: مختصات همه نقاط به طور مستقیم برای تعیین معادلات پارامتری در هواپیما فرم X \u003d x 1 + AX \u200b\u200b· λ y \u003d y 1 + AY · λ زمانی که مقادیر طولانی وجود دارد از پارامتر λ

با توجه به موارد فوق، معادلات پارامتری مستقیما در هواپیما x \u003d x 1 + ax λ y \u003d y 1 + a · λ هستند، آنها یک خط مستقیم را تعریف می کنند که در سیستم مختصات مستطیل شکل داده می شود، از نقطه m 1 عبور می کند (x 1، y 1) و یک بردار راهنمای دارد A → \u003d (A X، Y) . بنابراین، اگر مختصات برخی از نقاط مستقیم و مختصات بردار راهنمای آن داده شود، ممکن است بلافاصله معادلات پارامتری مستقیم را بنویسید.

مثال 1

لازم است معادلات پارامتری را مستقیما در هواپیما در سیستم مختصات مستطیل شکل، اگر نقطه M 1 (2، 3) و بردار راهنمای آن مشخص شود، ضروری است A → \u003d (3، 1).

تصمیم

بر اساس داده های منبع، ما دریافت می کنیم: x 1 \u003d 2، y 1 \u003d 3، x \u003d 3، y \u003d 1. معادلات پارامتری به نظر می رسد:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + 1 · λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + λ

وضوح تصویر:

پاسخ: x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + λ

لازم به ذکر است: اگر بردار A → \u003d (A X، Y) به طور مستقیم یک بردار راهنمای هدایت می کند و نقاط M 1 (x 1، y 1) و m 2 (x 2، y 2) متعلق به این راستا هستند، ممکن است آن را با تعیین معادلات پارامتری فرم تعیین کنید: x \u003d x 1 + تبر · λ y \u003d y 1 + AY · λ، و همچنین در این گزینه: x \u003d x 2 + تبر · λ y \u003d y 2 + ay λ.

به عنوان مثال، ما یک بردار راهنمای داده می شود A → \u003d (2، - 1)، و همچنین نقاط M 1 (1، - 2) و M 2 (3، 3) متعلق به این خط مستقیم. سپس معادلات پارامتری به طور مستقیم تعریف می شوند: x \u003d 1 + 2 · λ y \u003d - 2 - λ یا x \u003d 3 + 2 · λ y \u003d - 3 - λ.

شما باید به این واقعیت توجه کنید: اگر A → \u003d (A X، Y) - یک بردار راهنمای راهنمای، سپس ویکتام بردار راهنمای آن و هر یک از بردارها را هدایت کنید μ · a → \u003d (μ · a x، μ · μ · a y)، جایی که μ ε r، μ ≠ 0.

بنابراین، مستقیما و در هواپیما در سیستم مختصات مستطیلی می تواند با معادلات پارامتری تعیین شود: x \u003d x 1 + μ · a x · λ y \u003d y 1 + μ · a y · λ با هر مقدار μ، متفاوت از صفر است.

فرض کنید، مستقیم A توسط معادلات پارامتری x \u003d 3 + 2 · λ y \u003d - 2 - 5 · λ تنظیم شده است. سپس A → \u003d (2، - 5) - بردار مستقیم مستقیم و همچنین هر یک از بردارها μ → \u003d (μ · 2، μ · 5) \u003d 2 μ، - 5 μ، μ ∈ r، μ ≠ 0 تبدیل به بردار راهنمای برای مستقیم مشخص شده است. برای وضوح، ما یک بردار خاص را در نظر می گیریم - 2 · A → \u003d (- 4، 10)، آن را به μ \u003d - 2 مربوط می شود. در این مورد، مستقیم مشخص شده نیز می تواند توسط معادلات پارامتری x \u003d 3 - 4 · λ y \u003d - 2 + 10 · λ تعیین شود.

انتقال از معادلات پارامتری مستقیم بر روی هواپیما به معادلات دیگر مستقیم و عقب مشخص شده است

در حل برخی از مشکلات، استفاده از معادلات پارامتریک گزینه بهینه ترین نیست، پس نیاز به ترجمه معادلات پارامتری به خط مستقیم در معادله گونه های مستقیم مستقیم وجود دارد. در نظر بگیرید که چگونه این کار را انجام دهید.

معادلات پارامتریک فرم مستقیم x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ به معادله کانونی مستقیم در هواپیما X - X 1 A X \u003d Y - Y 1 A مربوط می شود.

هر یک از معادلات پارامتری نسبت به پارامتر λ را مجاز می دانیم، ما بخش های مناسب برابر را به دست می آوریم و معادله کانونی را از مستقیم مشخص می کنیم:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y

اگر X یا A Y صفر باشد، نباید اشتباه گرفته شود.

مثال 2

لازم است انتقال از معادلات پارامتری را مستقیما x \u003d 3 y \u003d - 2 - 4 · λ به معادله کانونیک انجام شود.

تصمیم

ما معادلات پارامتری را در فرم زیر بنویسیم: x \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 · λ

پارامتر λ را در هر یک از معادلات بیان کنید: x \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 · λ ⇔ λ \u003d x - 3 0 λ \u003d y + 2 - 4

ما قسمت های مناسب سیستم معادلات را به دست می آوریم و معادله کانونیکال مورد نیاز را مستقیما در هواپیما به دست می آوریم:

x - 3 0 \u003d y + 2 - 4

پاسخ: x - 3 0 \u003d y + 2 - 4

در مورد زمانی که لازم است معادله یک فرم مستقیم یک X + B Y + C \u003d 0 را بنویسید، در حالی که معادلات پارامتری به هواپیما می آیند، لازم است برای اولین بار انتقال به معادله کانونی، و سپس به معادله عمومی مستقیم. ما کل دنباله ای از اقدامات را بنویسیم:

x \u003d x 1 + ax λ y \u003d y 1 + ay λ λ λ \u003d x - x 1 ax λ \u003d y - y 1 AY ⇔ x - x 1 ax \u003d y - y 1 AY ⇔ ⇔ ⇔ · (x - x 1) \u003d تبر · (Y - Y 1) ⇔ AX + BY + C \u003d 0

مثال 3

لازم است معادله عمومی را به طور مستقیم ضبط کنید، اگر معادلات پارامتریک تعیین آن مشخص شود: x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ

تصمیم

برای شروع، ما انتقال را به معادله کانونی انجام می دهیم:

x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 3 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 3

نسبت به دست آمده برابر با برابری است - 3 · (x + 1) \u003d 2 · y. ما براکت ها را آشکار خواهیم کرد و معادله خط عمومی را به دست می آوریم: - 3 · X + 1 \u003d 2 · Y ⇔ 3 X + 2 Y + 3 \u003d 0.

پاسخ: 3 X + 2 Y + 3 \u003d 0

به دنبال منطق فوق اقدامات، برای به دست آوردن معادله مستقیم با ضریب زاویه ای، معادلات مستقیما در بخش ها یا یک معادله طبیعی هستند، لازم است یک معادله خطی عمومی بدست آورید، اما برای انجام انتقال بیشتر از آن ضروری است.

در حال حاضر اثر مخالف را در نظر بگیرید: ضبط معادلات پارامتری مستقیم با یک فرم مشخص مشخص از معادلات این خط مستقیم.

ساده ترین انتقال: از معادله کانونی به پارامتریک. اجازه دهید معادله کانونی از فرم: x - x 1 a x \u003d y - x 1 a y. هر یک از رابطه این برابری یک پارامتر برابر λ را می گیرد:

x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d λ ⇔ λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y y

معادلات به دست آمده را نسبت به متغیرهای X و Y انجام داد:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ

مثال 4

لازم است که معادلات پارامتری مستقیم را ثبت کنید، اگر معادله کانونی به هواپیما شناخته شود: x - 2 5 \u003d y - 2 2

تصمیم

ما بخشی از معادله شناخته شده را به پارامتر λ تقسیم می کنیم: x - 2 5 \u003d y - 2 2 \u003d λ. از برابری به دست آمده، معادلات پارامتری را به دست می آوریم: x - 2 5 \u003d y - 2 2 \u003d λ ⇔ λ \u003d x - 2 5 λ \u003d y - 2 5 ⇔ x \u003d 2 + 5 · λ y \u003d 2 + 2 · λ

پاسخ: x \u003d 2 + 5 · λ y \u003d 2 + 2 · λ

هنگامی که لازم است انتقال به معادلات پارامتری از یک معادله مشترک معمولی از خط مستقیم، معادله مستقیم با ضریب زاویه ای یا یک معادله مستقیم در بخش ها ضروری باشد، معادله اولیه لازم است که منجر به ایجاد کانونی و پس از آن شود انجام انتقال به معادلات پارامتری.

مثال 5

لازم است معادلات پارامتری را به خط مستقیم با یک معادله شناخته شده شناخته شده به این مستقیم بنویسید: 4 x - 3 y - 3 \u003d 0.

تصمیم

معادله عمومی مشخص شده به معادله یک نوع کانونی تبدیل می شود:

4 x - 3 y - 3 \u003d 0 ⇔ 4 x \u003d 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x \u003d 3 y + 1 3 ⇔ x 3 \u003d y + 1 3 4

ما هر دو بخش برابری را به پارامتر λ تقسیم می کنیم و معادلات پارامتری مورد نیاز را به دست می آوریم:

x 3 \u003d y + 1 3 4 \u003d λ ⇔ x 3 \u003d λ y + 1 3 4 \u003d λ ⇔ x \u003d 3 · λ y \u003d - 1 3 + 4 · λ

پاسخ: x \u003d 3 · λ y \u003d - 1 3 + 4 · λ

نمونه ها و وظایف با معادلات مستقیم پارامتری در هواپیما

اغلب انواع وظایف را با استفاده از معادلات پارامتری مستقیم در هواپیما در سیستم مختصات مستطیلی در نظر بگیرید.

1. در وظایف نوع اول، مختصات نقاط مربوط به معادلات پارامتری مشخص شده یا نه شرح داده شده است.

راه حل این وظایف بر اساس واقعیت زیر است: اعداد (x، y)، تعیین شده از معادلات پارامتری x \u003d x 1 + تبر λ y \u003d y 1 + ay λ با برخی از مقدار معتبر λ، مختصات از نقطه متعلق به خط مستقیم، که این معادلات پارامتری را توصیف می کند.

مثال 6

لازم است که مختصات نقطه را تعیین کنید، که بر روی معادلات پارامتری مشخص شده X \u003d 2 - 1 6 · λ y \u003d - 1 + 2 · λ در λ \u003d 3 قرار دارد.

تصمیم

ما در معادلات پارامتری داده شده شناخته شده مقدار شناخته شده λ \u003d 3 و پیاده سازی محاسبه مختصات دلخواه: x \u003d 2 - 1 6 · 3 y \u003d - 1 + 2 · 3 ⇔ x \u003d 1 1 2 y \u003d 5

پاسخ: 1 1 2 , 5

وظیفه بعدی نیز امکان پذیر است: اجازه دهید برخی از نقطه m 0 (x 0، y 0) در هواپیما در سیستم مختصات مستطیل شکل داده شود و شما باید تعیین کنید که آیا این نقطه متعلق به معادلات پارامتری به طور مستقیم توصیف شده X \u003d x 1 + AX \u200b\u200b· λ y \u003d y 1 + ay · λ.

برای حل چنین کاری، لازم است که مختصات یک نقطه مشخص به معادلات پارامتری شناخته شده را جایگزین کنید. اگر مشخص شود که این مقدار پارامتر λ \u003d λ 0 امکان پذیر است، که در آن هر دو معادلات پارامتریک درست خواهد بود، نقطه مشخص شده متعلق به مستقیم مشخص شده است.

مثال 7

امتیازات m 0 (4، - 2) و n 0 (- 2، 1). لازم است تعیین کنیم که آیا آنها متعلق به معادلات پارامتری مستقیم تعریف شده X \u003d 2 · λ y \u003d - 1 - 1 2 · λ.

تصمیم

ما مختصات نقطه M 0 (4، - 2) را به معادلات پارامتری مشخص جایگزین می کنیم:

4 \u003d 2 · λ - 2 \u003d - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ \u003d 2 λ \u003d 2 ⇔ λ \u003d 2

ما نتیجه گرفتیم که نقطه m 0 متعلق به یک خط مستقیم است، زیرا مربوط به مقدار λ \u003d 2 است.

2 \u003d 2 · λ 1 \u003d - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ \u003d - 1 λ \u003d - 4

بدیهی است، چنین پارامتر λ وجود ندارد، که به نقطه n 0 مربوط می شود. به عبارت دیگر، مستقیم مشخص شده از طریق نقطه n 0 (- 2، 1) عبور نمی کند.

پاسخ:نقطه M 0 متعلق به یک خط مستقیم است؛ نقطه n 0 متعلق به مستقیم مشخص نیست.

1. در اشیاء نوع دوم، لازم است معادلات پارامتری مستقیم بر روی هواپیما در سیستم مختصات مستطیلی ایجاد شود. ساده ترین مثال از این کار (با مختصات شناخته شده نقطه ای از بردار مستقیم و راهنمای هدایت) در نظر گرفته شد. در حال حاضر ما نمونه هایی را تحلیل خواهیم کرد که در آن شما ابتدا باید مختصات بردار راهنمای را پیدا کنید و سپس معادلات پارامتری را بنویسید.

نقطه M 1 1 2، 2 3 داده شده است. لازم است معادلات پارامتری از عبور مستقیم از طریق این نقطه و موازی مستقیم X 2 \u003d Y - 3 - 1 را انجام دهیم.

تصمیم

با شرایط مشکل، مستقیما، معادله ای که ما باید پیش رویم، به موازات مستقیم X 2 \u003d Y - 3 - 1. سپس، به عنوان بردار راهنمای، نقطه عبور مستقیم امکان استفاده از بردار مستقیم X 2 \u003d Y - 3 - 1 راهنمای، که در فرم نوشته شده است: a → \u003d (2، - 1). در حال حاضر تمام اطلاعات لازم برای جمع آوری معادلات پارامتری مورد نظر شناخته شده است:

x \u003d x 1 + ax λ y \u003d y 1 + ay λ λ ⇔ x \u003d 1 2 + 2 λ y \u003d 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x \u003d 1 2 + x · λ y \u003d 2 3 - λ

پاسخ: x \u003d 1 2 + x · λ y \u003d 2 3 - λ.

مثال 9

نقطه M 1 (0، - 7) تنظیم شده است. لازم است معادلات پارامتری خط مستقیم را ضبط کنید، از طریق این نقطه عمود بر خط 3 x - 2 y - 5 \u003d 0.

تصمیم

به عنوان یک بردار مستقیم، معادله آن باید ساخته شود، ممکن است خط بردار طبیعی 3 x - 2 y - 5 \u003d 0 باشد. مختصات آن (3، - 2). ما معادلات پارامتری مورد نیاز را مستقیما بنویسیم:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x \u003d 0 + 3 · λ y \u003d - 7 + (- 2) · λ ⇔ x \u003d 3 · λ y \u003d - 7 - 2 · λ

پاسخ: x \u003d 3 · λ y \u003d - 7 - 2 · λ

1. در وظایف نوع سوم، انتقال از معادلات پارامتری یک داده مستقیم به سایر معادلات تعیین شده مورد نیاز است. ما راه حل چنین نمونه هایی را در نظر گرفتیم، ما یکی دیگر را ارائه می دهیم.

دانا در هواپیما در سیستم مختصات مستطیلی، تعیین شده توسط معادلات پارامتری x \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ تعیین شده است. لازم است که مختصات هر بردار طبیعی این خط مستقیم را پیدا کنید.

تصمیم

برای تعیین مختصات مورد نظر بردار طبیعی، انتقال از معادلات پارامتری به معادله کل را انجام دهید:

x \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ ⇔ λ \u003d x - 1 - 3 4 λ \u003d y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 \u003d y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x - 1 \u003d - 3 4 · Y + 1 ⇔ X + 3 4 Y - 1 4 \u003d 0

ضرایب متغیرها X و Y مختصات مورد نیاز از بردار طبیعی را به ما می دهد. بنابراین، بردار طبیعی مستقیم X \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ مختصات 1، 3 4 را مختصات دارد.

پاسخ: 1 , 3 4 .

اگر اشتباه در متن را متوجه شوید، لطفا آن را انتخاب کنید و Ctrl + Enter را فشار دهید

تا کنون، معادله سطح را در فضا با محورهای مختصات X، Y، Z به صراحت فرم یا فرم ضمنی را در نظر گرفته ایم

شما می توانید معادلات سطح را در فرم پارامتری بنویسید، ابراز مختصات نقاط آن در قالب توابع دو متغیر مستقل از پارامترها و

ما فرض می کنیم که این توابع یکپارچه، مداوم هستند و مشتقات مداوم را به ترتیب دوم در محدوده مشخصی از تغییرات پارامتر دارند.

اگر ما این عبارات مختصات را از طریق U و V به سمت چپ معادله (37) جایگزین کنیم، باید هویت نسبت به هر دو و V را به دست آوریم. تمایز این هویت را بر روی یک متغیر مستقل و V، ما خواهیم داشت

با توجه به این معادلات به عنوان دو معادله همگن نسبتا و استفاده از یک لم جبری ذکر شده در آن، ما به دست آوردن

جایی که k برخی از ضریب تناسب است.

ما معتقدیم که چند برابر و حداقل یکی از تفاوت ها در قسمت های مناسب فرمول های دوم متفاوت از صفر است.

برای کوتاه بودن سه تفاوت را به صورت زیر نوشته شده است:

همانطور که شناخته شده است، معادله هواپیما مماس به سطح ما در برخی از نقطه آن (X، Y، Z) را می توان در فرم نوشته شده است

یا، جایگزینی مقادیر متناسب، می توانیم معادله هواپیما مماس را بازنویسی کنیم:

ضرایب این معادله شناخته شده است که متناسب با راهنماهای کوزین طبیعی به سطح است.

موقعیت متغیر نقطه m بر روی سطح با مقادیر پارامتر و V مشخص می شود و این پارامترها معمولا مختصات نقاط سطح یا پارامترهای مختصات نامیده می شوند.

دادن پارامترها و مقادیر ثابت V، ما دو خانواده از خطوط را بر روی سطح به دست می آوریم، که ما خطوط سطح مختصات را می نامیم: خطوط مختصات که در آن تنها V تغییر می کند، و خطوط مختصات در آن تنها تغییر می کند و تنها تغییر می کند. این دو خانواده از خطوط مختصات شبکه مختصات را روی سطح می دهند.

به عنوان مثال، حوزه را با مرکز در ابتدای مختصات در نظر بگیرید و معادلات Radius R. parametric از چنین حوزه را می توان در فرم نوشته شده است

هماهنگی، خطوط در این مورد هستند، به وضوح همبستگی و مریدین حوزه ما است.

نوشیدن از محورهای مختصات، ما می توانیم سطح را از طریق شعاع شعاع متغیر که از نقطه ثابت نقطه سطح ما در حال اجرا است، مشخص کنیم. مشتقات خصوصی از این پارامترهای شعاع بردار، بدیهی است، بردارها با هدف هماهنگی خطوط داده می شود. تشکیل این بردارها در محورها

با توجه به این، می توان دید که ضرایب در معادله هواپیما مماس (39) ماهیت جزء محصول بردار این محصول بردار یک بردار است، عمود بر ماسک هایی است که e است. یک بردار به وسیله سطح طبیعی کار می کند. مربع طول این بردار واضح است، بدیهی است، محصول اسکالر بردار به خودی خود، یعنی، به سادگی صحبت کردن، مربع این بردار 1). در آینده، نقش مهمی از یک بردار تک طبیعی به سطح را بازی خواهد کرد که ما می توانیم به وضوح در فرم بنویسیم

با تغییر نظم عوامل در یک محصول بردار نوشته شده، ما برای بردار (40) جهت مخالف دریافت می کنیم. ما همچنان به حل این روش برای چند ضلعی در آینده ادامه خواهیم داد، به همین ترتیب، ما قطعا جهت طبیعی را به سطح ثابت خواهیم کرد.

برخی از نقطه M را مصرف کنید و هر منحنی (L) را صرف کنید، از طریق این نقطه بر روی سطح قرار دهید. این منحنی، به طور کلی، یک خط مختص نیست، و در کنار آن تغییر خواهد کرد و همچنین v. جهت مماس به این منحنی توسط بردار تعیین می شود، اگر فرض شود که در کنار (L) در محله پارامتر نقطه V یک تابع از یک مشتق شده است. می توان دید که جهت مماس به منحنی صرف شده بر روی سطح در هر نقطه m از این منحنی، کاملا با ارزش در این نقطه مشخص می شود. هنگام تعیین هواپیما مماس و خروج معادلات آن (39)، ما معتقدیم که توابع (38) در مورد توجه و محیط اطراف آن مشتقات خصوصی مداوم هستند و حداقل یکی از ضرایب معادله (39) متفاوت از صفر در نقطه مورد نظر.

هر معادله درجه اول نسبت به مختصات x، y، z

AX + BY + CZ + D \u003d 0 (3.1)

هواپیما را مشخص می کند و بالعکس: هر هواپیما را می توان با معادله (3.1) نشان داد که نامیده می شود هواپیمای معادله.

بردار n. (A، B، C)، هواپیما متعامد، به نام بردار طبیعی سطح. در معادله (3.1)، ضرایب A، B، C همزمان برابر با 0 است.

موارد خاص معادله (3.1):

1. D \u003d 0، AX + BY + CZ \u003d 0 - هواپیما از طریق منشا مختصات عبور می کند.

2. C \u003d 0، AX + BY + D \u003d 0 - هواپیما موازی با محور OZ.

3. c \u003d d \u003d 0، ax + by \u003d 0 - هواپیما از طریق محور OZ عبور می کند.

4. B \u003d C \u003d 0، AX + D \u003d 0 - هواپیما موازی با هواپیما OYZ.

معادلات هواپیما مختصات: x \u003d 0، y \u003d 0، z \u003d 0.

مستقیم در فضا می تواند پرسید:

1) به عنوان خط تقاطع دو هواپیما، به عنوان مثال سیستم معادلات:

1 X + B 1 Y + C 1 Z + D 1 \u003d 0، A 2 X + B 2 Y + C 2 Z + D 2 \u003d 0؛ (3.2)

2) دو امتیاز خود را M 1 (x 1، y 1، z 1) و m 2 (x 2، y 2، z 2)، سپس مستقیم، از طریق آنها عبور، توسط معادلات داده می شود:

3) نقطه M 1 (x 1، y 1، z 1)، به آن تعلق دارد و بردار آ.(M، N، P)، او Collinear است. سپس مستقیما معادلات تعیین می شود:

معادلات (3.4) نامیده می شوند معادلات کانونی مستقیم.

بردار آ. به نام بردار مستقیم مستقیم.

معادلات پارامتریک مستقیم هستندما به دست می آوریم، معادل هر یک از پارامتر های روابط (3.4) T:

x \u003d x 1 + mt، y \u003d y 1 + nt، z \u003d z 1 + p t. (3.5)

سیستم حل (3.2) به عنوان یک سیستم معادلات خطی نسبتا ناشناخته است ایکس. و y.، به معادلات مستقیم وارد شوید طرح ها و یا به معادلات کاهش یافته مستقیم هستند :

x \u003d mz + a، y \u003d nz + b. (3.6)

از معادلات (3.6) شما می توانید با پیدا کردن به معادلات کانونیکی بروید z. از هر معادله و برابر مقادیر به دست آمده:

از معادلات مشترک (3.2) می تواند به صورت کانونی و راه دیگر منتقل شود اگر هر نقطه از این خط مستقیم و بردار راهنمای آن را پیدا کنید n.= [n. 1 , n. 2] کجا n. 1 (1، b 1، c 1) و n. 2 (A 2، B 2، C 2) - بردارهای معمولی برنامه های تنظیم شده. اگر یکی از نامزدها باشد متر، n. یا r در معادلات (3.4) به نظر می رسد صفر است، سپس عددی از کسری مربوطه باید برابر با صفر باشد، I.E. سیستم

معادل سیستم؛ چنین مستقیم عمود بر محور آه است.

سیستم معادل سیستم x \u003d x 1، y \u003d y 1؛ محور موازی مستقیم OZ.

مثال 1.15. ثبت نام معادله هواپیما، دانستن اینکه نقطه A (1، -1.3) به عنوان پایه عمود بر مبنای منشاء مختصات این هواپیما عمل می کند.

تصمیم گیریتحت شرایط بردار وظیفه oa (1، -1.3) یک صفحه بردار طبیعی است، سپس معادله آن را می توان به عنوان نوشته شده است
X-Y + 3Z + D \u003d 0. جایگزین مختصات نقطه A (1، -1.3)، که متعلق به هواپیما است، ما می خواهیم D: 1 - (- 1) +3 × 3 + d \u003d 0 þ d \u003d -11. بنابراین، X-Y + 3Z-11 \u003d 0.

مثال 1.16. معادله هواپیما را از طریق محور OZ عبور دهید و با یک هواپیما 2x + Y-Z-7 \u003d 0 زاویه 60 O.

تصمیم گیریهواپیما عبور از محور OZ توسط AX + \u003d 0 معادله، جایی که A و به طور همزمان به صفر اعمال نمی شود. اجازه دهید N.
برابر 0، a / bx + y \u003d 0. با توجه به فرمول کوزین زاویه بین دو هواپیما

حل معادله مربع 3m 2 + 8m - 3 \u003d 0، ریشه های آن را پیدا کنید
m 1 \u003d 1/3، m 2 \u003d -3، از جایی که ما دو هواپیما را دریافت می کنیم 1 / 3x + y \u003d 0 و -3x + y \u003d 0.

مثال 1.17معادلات کانونی را مستقیم کنید:
5X + Y + Z \u003d 0، 2X + 3Y - 2Z + 5 \u003d 0.

تصمیم گیریمعادلات کانونی مستقیم فرم را دارند:

جایی که m، n، r - بردارهای مستقیم مختصات مستقیم، x 1، y 1، z 1 - مختصات هر نقطه متعلق به خط مستقیم. مستقیم به عنوان یک خط تقاطع دو هواپیما. برای پیدا کردن یک نقطه متعلق به خط، رفع یکی از مختصات (ساده ترین راه برای قرار دادن، به عنوان مثال، x \u003d 0) و سیستم نتیجه به عنوان یک سیستم معادلات خطی با دو ناشناخته حل شده است. بنابراین، اجازه دهید x \u003d 0، سپس y + z \u003d 0، 3Y - 2Z + 5 \u003d 0، از جایی که y \u003d -1، z \u003d 1. مختصات نقطه M (x 1، y 1، z 1) متعلق به این خط، ما پیدا کردیم: M (0، -1،1، 1). بردار مستقیم مستقیم آسان برای پیدا کردن، دانستن بردارهای طبیعی از هواپیماهای منبع n. 1 (5،1،1) و n. 2 (2،3، -2). سپس

معادلات کانونیک مستقیم عبارتند از فرم: X / (- 5) \u003d (Y + 1) / 12 \u003d
\u003d (z - 1) / 13.

معادلات هواپیما بردار و پارامتریک. اجازه دهید r 0 و r به ترتیب بردارهای شعاع نقطه m 0 و m باشد. سپس m 0 m \u003d r - r 0، و شرایط (5.1) متعلق به نقطه m از هواپیما عبور از نقطه m 0 عمود بر بردار غیرقانونی n (شکل 5.2، a) می تواند با استفاده از نوشته شود کار اسکالر به عنوان یک رابطه

n (r-r 0) \u003d 0، (5.4)

که نامیده می شود معادله بردار هواپیما.

هواپیما ثابت در فضا مربوط به مجموعه ای از بردارها به صورت موازی با آن است، I.E. فضا v 2. در این فضا را انتخاب کنید اساس E 1، E 2، I.E. یک زن و شوهر از بردارهای غیر غیرقابل برگشت موازی با هواپیما در نظر گرفته شده و نقطه m 0 در هواپیما. اگر نقطه m متعلق به هواپیما باشد، این معادل این واقعیت است که آن را موازی با بردار m 0 m است (شکل 5.2، b)، I.E. این متعلق به فضای مشخص شده V 2 است. این به این معنی است که وجود دارد تجزیه بردار M 0 M در پایه E 1، E 2، I.E. اعداد t 1 و t 2 وجود دارد، که برای آن m 0 m \u003d t 1 e 1 + t 2 e 2 وجود دارد. به دست آوردن بخش چپ این معادله از طریق شعاع بردار R 0 و R امتیاز M 0 و M به ترتیب، ما دریافت می کنیم معادله پارامتری بردار هواپیما

r \u003d R 0 + T 1 E 1 + T 2 E 2، T 1، T 1 ∈ R. (5.5)

برای حرکت از برابری بردارها در (5.5) به برابری آنها مختصات، نشان دادن (x 0؛ y 0؛ z 0)، (x؛ y؛ z) مختصات نقطه m 0، m و از طریق (e 1x؛ e 1y؛ e 1z)، (e 2x؛ e 2Y؛ E 2Z) مختصات بردارها E 1، E 2. معادله همان نام مختصات R و R 0 + T 1 E 1 + T 2 E 2، ما دریافت می کنیم معادلات پارامتری هواپیما

هواپیما از طریق سه امتیاز عبور می کند. فرض کنید که سه امتیاز M 1، M 2 و M 3 بر روی یک خط مستقیم دروغ نمی گویند. سپس یک هواپیما تک وجود دارد، که این نکات متعلق به آن است. ما معادله این هواپیما را پیدا می کنیم، معیار را به عنوان معیار به لوازم جانبی یک نقطه دلخواه از این هواپیما π شکل می دهیم. سپس این معیار را از طریق مختصات نقاط بنویسید. معیار مشخص شده توصیف هواپیما π به عنوان بسیاری از آن امتیاز M است که برای آن بردار m 1 m 2، m 1 m 3 و m 1 m compliannas. معیار همراهی سه بردار، برابری صفر است کار مخلوط (نگاه کنید به 3.2). محصول مخلوط با استفاده از محاسبه شده است تعیین کننده سوم مرتبهکدام ردیف مختصات بردارها هستند پایه اورتر. بنابراین، اگر (xi؛ yx i؛ zx i) - مختصات نقاط MX I، I \u003d 1، 2، 3، a (x؛ y؛ z) - مختصات نقطه m، سپس m 1 m \u003d (x - x 1؛ yy 1؛ zz 1)، m 1 m 2 \u003d (x 2 -x 1؛ y 2-y 1؛ z 2 -z 1)، m 1 m 3 \u003d (x 3 -x 1؛ Y 3 -Y 1؛ Z 3 -Z 1) و وضعیت برابری صفر محصول مخلوط این بردارها است

محاسبه تعیین کننده، ما دریافت می کنیم خطی نسبت به x، y، z معادلهبه این معنا که معادله عمومی برای هواپیما مورد نظر. به عنوان مثال، اگر تعیین کننده تعیین کننده برای خط 1، من می گیرم

این برابری پس از محاسبه عوامل تعیین کننده و افشای براکت به معادله عمومی هواپیما تبدیل می شود.

توجه داشته باشید که ضرایب متغیرها در معادله آخر هماهنگ با مختصات هستند کار بردار m 1 m 2 × m 1 m 3. این محصول بردار، محصول دو بردار غیر -Ollinar، هواپیما موازی π، یک بردار غیر صفر، عمودر π، I.E. او بردار طبیعی. بنابراین ظاهر مختصات محصول بردار به عنوان ضرایب معادله کلی هواپیما کاملا طبیعی است.

در مورد پرونده خصوصی بعدی هواپیما عبور از سه نقطه را در نظر بگیرید. امتیازات m 1 (a؛ 0؛ 0)، m 2 (0؛ b؛ 0)، m 3 (0؛ 0؛ c)، abc ≠ 0، بر روی یک راست دروغ نگویید و یک هواپیما را تنظیم کنید که بر روی آن کاهش یابد محورهای بخش مختصات طول غیر صفر را مختل می کند (شکل 5.3). در اینجا، تحت "طول طول"، اهمیت مختصات غیر صفر از بردارهای شعاع نقاط M I، I \u003d 1،2،3 درک شده است.

از آنجا که m 1 m 2 \u003d (-A؛ b؛ 0)، m 1 m 3 \u003d (-a؛ 0؛ c)، m 1 m \u003d (x-a؛ y؛ z)، سپس معادله (5.7) طول می کشد

تعیین کننده تعیین کننده، ما BC (x - a) + Acy + abz \u003d 0 را پیدا خواهیم کرد، ما معادله به دست آمده را در ABC تقسیم می کنیم و عضو آزاد را به سمت راست حرکت می دهیم

x / a + y / b + z / c \u003d 1.

این معادله نامیده می شود معادله هواپیما در بخش ها.

مثال 5.2 یک معادله هواپیما عمومی را پیدا کنید که از طریق یک نقطه با مختصات (1؛ 1؛ 2) عبور می کند و از محورهای بخش از همان طول از محور جدا می شود.

معادله هواپیما در بخش ها ارائه شده است که آن را از محورهای بخش مختصات از طول مساوی قطع می کند، می گویند ≠ 0، ظاهر x / a + y / b + z / c \u003d 1. این معادله باید برآورده شود مختصات (1؛ 1؛ 2) نقطه شناخته شده در هواپیما، I.E. برابری 4 / a \u003d 1. بنابراین، a \u003d 4 و معادله مورد نظر x + y + z - 4 \u003d 0 است.

معادله هواپیما معمولی. برخی از هواپیما π را در فضا در نظر بگیرید. ثابت برای او واحد طبیعی بردار n، هدایت شده از شروع مختصات "در جهت هواپیما"، و ما فاصله را از ابتدا از سیستم مختصات به هواپیما π (شکل 5.4) نشان می دهیم. اگر هواپیما از ابتدای سیستم مختصات عبور کند، سپس P \u003d 0، و به عنوان یک جهت برای بردار طبیعی N، شما می توانید هر یک از دو ممکن را انتخاب کنید.

اگر نقطه m متعلق به هواپیما π باشد، این معادل این واقعیت است که پروژکتور متعامد از بردار OM در جهت بردار n برابر با P، I.E. شرایط nom \u003d pr n om \u003d p، از آنجا که بردار طول n برابر با یک است.

مختصات نقطه m را از طریق (x؛ y؛ z) و اجازه ندهید n \u003d (cosα؛ cosβ؛ cosγ) (به یاد بیاورید که برای یک بردار تک آن آن را راهنماهای کوزینcOSα، COSβ، COSγ هر دو مختصات آن در همان زمان هستند). به یاد آوردن یک محصول اسکالر در برابری NOM \u003d P در فرم مختصات، ما دریافت می کنیم معادله عادی هواپیما

xcosα + ycosbeta؛ + zcosγ - p \u003d 0.

به طور مشابه، مورد مستقیم در هواپیما، معادله کلی هواپیما در فضا را می توان به معادله طبیعی خود به ضریب تقلید تبدیل کرد.

برای معادله هواپیما AX + BY + CZ + D \u003d 0، عامل نرمال سازی عدد ± √ (A 2 + B 2 + C 2)، علامت آن توسط علامت مقابل D. با ارزش مطلق انتخاب شده است ، Multipleizer Normalizing طول بردار طبیعی (A؛ B؛ C) است و علامت مربوط به جهت مورد نظر بردار هواپیما معمولی واحد است. اگر هواپیما از طریق منشاء سیستم مختصات عبور کند، I.E. D \u003d 0، پس از آن علامت ضریب عادی می تواند توسط هر انتخاب شود.