معادله یک خط مستقیم از طریق 2 نقطه به صورت آنلاین. معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد

با توجه به دو امتیاز M 1 (x 1، y 1)و M 2 (x 2، y 2)... معادله خط مستقیم را به شکل (5) می نویسیم، جایی که کضریب هنوز ناشناخته:

از آنجا که نقطه M 2متعلق به یک خط مستقیم است، سپس مختصات آن معادله (5) را برآورده می کند. با بیان این و جایگزینی آن به معادله (5)، معادله مورد نیاز را بدست می آوریم:

اگر این معادله را می توان به شکلی که برای حفظ کردن راحت تر است بازنویسی کرد:

(6)

مثال.معادله خط مستقیمی که از نقاط M 1 (1.2) و M 2 (2.3-) می گذرد را بنویسید.

راه حل. ... با استفاده از ویژگی تناسب و انجام تبدیل های لازم، معادله کلی خط مستقیم را به دست می آوریم:

زاویه بین دو خط مستقیم

دو خط را در نظر بگیرید l 1و ل 2:

l 1:،، و

ل 2: , ,

φ زاویه بین آنها است (). شکل 4 نشان می دهد:.

از اینجا ، یا

با استفاده از فرمول (7) می توان یکی از زوایای بین خطوط مستقیم را تعیین کرد. زاویه دوم است.

مثال... دو خط مستقیم با معادلات y = 2x + 3 و y = -3x + 2 به دست می آید. زاویه بین این خطوط را پیدا کنید.

راه حل... از معادلات می توان دریافت که k 1 = 2، و k 2 = -3. با جایگزینی این مقادیر به فرمول (7)، پیدا می کنیم

... بنابراین، زاویه بین این خطوط برابر است.

شرایط موازی و عمود بودن دو خط مستقیم

اگر مستقیم l 1و ل 2پس موازی هستند φ=0 و tgφ = 0... از فرمول (7) نتیجه می گیرد که از کجا k 2 = k 1... بنابراین شرط موازی بودن دو خط مستقیم برابری شیب آنهاست.

اگر مستقیم l 1و ل 2پس عمود هستند φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. ... بنابراین شرط عمود بودن دو خط مستقیم این است که شیب آنها از نظر قدر متقابل و از نظر علامت مخالف باشد.

فاصله از نقطه به خط

قضیه. اگر یک نقطه M (x 0, y 0) داده شود، فاصله تا خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به عنوان تعیین می شود.

اثبات بگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) پایه عمودی باشد که از نقطه M روی یک خط مستقیم داده شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله خط مستقیمی است که از آن می گذرد این نقطه M 0 عمود بر یک خط مستقیم داده شده.

اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.

مثال.زاویه بین خطوط مستقیم را تعیین کنید: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

مثال.نشان دهید که خطوط مستقیم 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عمود هستند.

ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 k 2 = -1، بنابراین، خطوط مستقیم عمود هستند.

مثال.رئوس مثلث A (0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1) داده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

معادله ضلع AB را پیدا می کنیم:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز عبارت است از: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b.

k =. سپس y =. زیرا ارتفاع از نقطه C عبور می کند، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: از آنجا b = 17. مجموع:.

پاسخ: 3x + 2y - 34 = 0.

فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم با طول عمود کاهش یافته از یک نقطه به یک خط مستقیم تعیین می شود.

اگر خط موازی با صفحه طرح ریزی باشد (h | | P 1)، سپس به منظور تعیین فاصله از نقطه آبه راست ساعتلازم است عمود را از نقطه پایین بیاوریم آدر افقی ساعت.

بیشتر در نظر بگیرید مثال پیچیدههنگامی که خط مستقیم در موقعیت کلی قرار دارد. اجازه دهید تعیین فاصله از نقطه ضروری باشد مبه راست آموقعیت عمومی

وظیفه تعیین فاصله بین خطوط موازیمشابه قبلی حل شد یک نقطه از یک خط مستقیم گرفته می شود، یک عمود از آن به یک خط مستقیم دیگر پایین می آید. طول عمود برابر با فاصله بین خطوط موازی است.

منحنی مرتبه دومخطی نامیده می شود که با معادله درجه دوم نسبت به مختصات دکارتی فعلی تعیین می شود. به طور کلی، Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0،

که در آن A، B، C، D، E، F اعداد واقعی و حداقل یکی از اعداد A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 هستند.

دایره

مرکز دایره- این مکان نقاط در صفحه با فاصله مساوی از نقطه صفحه C (a, b) است.

دایره با معادله زیر به دست می آید:

جایی که x، y مختصات یک نقطه دلخواه از دایره هستند، R شعاع دایره است.

معادله محیط

1. هیچ اصطلاحی با x، y وجود ندارد

2. ضرایب برابر در x 2 و y 2

بیضی

بیضیمکان نقاط یک صفحه نامیده می شود که به مجموع فواصل هر یک از دو نقطه داده شده از این صفحه کانون (مقدار ثابت) می گویند.

معادله بیضی متعارف:

X و y متعلق به یک بیضی هستند.

الف - محور نیمه اصلی بیضی

ب - محور نیمه جزئی بیضی

بیضی دارای 2 محور تقارن OX و OY است. محورهای تقارن بیضی محورهای آن هستند، نقطه تقاطع آنها مرکز بیضی است. محوری که کانون ها روی آن قرار دارند نامیده می شود محور کانونی... نقطه تلاقی بیضی با محورها، راس بیضی است.

نسبت فشرده سازی (کشش): ε = s / a- خروج از مرکز (شکل بیضی را مشخص می کند)، هرچه کوچکتر باشد، بیضی کمتر در امتداد محور کانونی کشیده می شود.

اگر مراکز بیضی در مرکز C نباشد (α، β)

هذلولی

هایپربولیمکان نقاط در یک صفحه نامیده می شود، قدر مطلق اختلاف فواصل که هر یک از دو نقطه داده شده از این صفحه که کانون نامیده می شود، مقدار ثابتی غیر از صفر است.

معادله هذلولی متعارف

هذلولی دارای 2 محور تقارن است:

a نیم محور واقعی تقارن است

ب - نیم محور تقارن خیالی

مجانب هایپربولا:

سهمی

سهمیمکان نقاط در صفحه ای با فاصله مساوی از یک نقطه معین F که کانون و یک خط مستقیم معین به نام مستقیم نامیده می شود نامیده می شود.

معادله سهمی متعارف:

Y 2 = 2px، که در آن p فاصله کانونی تا جهت است (پارامتر سهمی)

اگر راس سهمی C (α، β) باشد، پس معادله سهمی (y-β) 2 = 2p (x-α)

اگر محور کانونی به عنوان محور مختصات در نظر گرفته شود، معادله سهمی به شکل زیر در می آید: x 2 = 2qу

بگذارید خط از نقاط M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2; y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y-y 1 = است ک (x - x 1)، (10.6)

جایی که ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 (x 2 y 2) می گذرد، مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 = ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزینی مقدار یافت شده را پیدا می کنیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 = x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1، y I) و M 2 (x 2، y 2) می گذرد با محور ارتین موازی است. معادله آن شکل دارد x = x 1 .

اگر y 2 = y I، معادله خط مستقیم را می توان به صورت y = y 1 نوشت، خط مستقیم M 1 M 2 موازی با محور آبسیسا است.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها

اجازه دهید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a؛ 0) و محور Oy را در نقطه M 2 (0؛ b) قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
... این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در قطعات، از آنجا که اعداد a و b نشان می دهد که کدام بخش ها با یک خط مستقیم بر روی محورهای مختصات قطع شده اند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

اجازه دهید معادله خط مستقیمی را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

یک نقطه دلخواه M (x; y) روی یک خط مستقیم بگیرید و بردار M 0 M (x - x 0؛ y - y o) را در نظر بگیرید (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است:

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

معادله (10.8) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n = (A؛ B)، عمود بر خط مستقیم، نرمال نامیده می شود بردار معمولی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد تبر + وو + سی = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار نرمال هستند، C = -Aх о - Ву о - جمله آزاد. معادله (10.9) معادله کلی خط مستقیم است(شکل 2 را ببینید).

شکل 1 شکل 2

معادلات متعارف خط مستقیم

,

جایی که
- مختصات نقطه ای که خط مستقیم از آن می گذرد و
بردار جهت است.

دایره منحنی مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه معین فاصله دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر متمرکز در نقطه
:

به طور خاص، اگر مرکز سهام با مبدا منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها به دو نقطه داده شده است. و ، که کانون نامیده می شوند، یک ثابت دارند
بیشتر از فاصله بین کانون ها
.

معادله متعارف یک بیضی که کانون های آن روی محور Ox قرار دارند و مبدأ مختصات در وسط بین کانون ها به شکل است.
جی deآ طول محور نیمه اصلی؛ب - طول محور نیمه فرعی (شکل 2).

رابطه بین پارامترهای بیضی
و بیان شده با نسبت:

(4)

بیضی خروج از مرکزنسبت فاصله بین کانونی نامیده می شود2cبه محور اصلی2a:

خانم های مدیر بیضی ها را خطوط مستقیم موازی با محور Oy می گویند که در فاصله ای از این محور قرار دارند. معادلات Directrix:
.

اگر در معادله بیضی
، سپس کانون های بیضی روی محور Oy قرار دارند.

بنابراین،

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

شما می توانید بی نهایت خطوط مستقیم را در هر نقطه بکشید.

یک خط مستقیم را می توان از میان هر دو نقطه غیرمتناسب ترسیم کرد.

دو خط مستقیم ناهماهنگ در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (از مورد قبلی پیروی می کند).

در فضای سه بعدی سه گزینه وجود دارد تمایل متقابلدو خط مستقیم:

• خطوط مستقیم قطع می شوند.

• خطوط مستقیم موازی هستند.

• خطوط مستقیم قطع می شوند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: در دستگاه مختصات دکارتی، یک خط مستقیم

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلیسر راست.

تعریف... هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

تبر + وو + سی = 0،

با ثابت الف، ببه طور همزمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود مشترک

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0- خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله خط مستقیم را می توان در نمایش داد اشکال گوناگونبسته به هر داده شده

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف... در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط مستقیم داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را پیدا کنید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل... در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می سازیم: 3x - y + C = 0. برای یافتن ضریب C

مختصات نقطه داده شده A را با عبارت بدست آمده جایگزین می کنیم.

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1، y 1، z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط مستقیم,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. بر

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.

مثال... معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.

راه حل... با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط مستقیم تبر + وو + سی = 0منجر به فرم:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید وظیفه را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم.

تعریف... هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aa 1 + Va 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل... معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل زیر جستجو می شود: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2ما گرفتیم C / A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0، با تقسیم بر -C، به دست می‌آید:

یا کجا

معنی هندسیضرایب در آن ضریب a مختصات نقطه تقاطع است

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور OU.

مثال... معادله کلی خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی خط.

علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال... یک معادله کلی از خط مستقیم داده شده است 12x - 5y - 65 = 0... برای نوشتن انواع مختلف معادلات لازم است

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط مستقیم:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما.

تعریف... اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس یک زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2... دو خط مستقیم عمود هستند،

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0زمانی که ضرایب متناسب باشند موازی هستند

А 1 = λА، В 1 = λВ... اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط مستقیم منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شوند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.

تعریف... خط از نقطه M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط.

قضیه... اگر امتیاز داده شود M (x 0، y 0)،فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:

اثبات... بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده عمود از نقطه افتاد مبرای یک معین

خط مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله خط مستقیمی است که از نقطه معینی M 0 عمود بر آن می گذرد.

یک خط مستقیم داده شده اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.

این مقاله به دست آوردن معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی واقع در یک صفحه می گذرد، افشا می کند. اجازه دهید معادله یک خط مستقیم را که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی می گذرد استخراج کنیم. ما به وضوح چندین مثال مربوط به مطالب تحت پوشش را نشان داده و حل خواهیم کرد.

قبل از به دست آوردن معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، لازم است به نکاتی توجه شود. یک اصل بدیهی وجود دارد که می گوید از طریق دو نقطه غیر متقابل در صفحه می توان یک خط مستقیم و فقط یک را رسم کرد. به عبارت دیگر، دو نقطه داده شده از صفحه با یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد، تعریف می شوند.

اگر صفحه توسط یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy مشخص شده باشد، هر خط مستقیمی که در آن نشان داده شده است با معادله یک خط مستقیم در صفحه مطابقت دارد. همچنین ارتباطی با بردار جهت خط مستقیم وجود دارد.این داده برای ایجاد معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد کافی است.

بیایید نمونه ای از حل یک مشکل مشابه را در نظر بگیریم. لازم است معادله ای از خط مستقیم a که از دو نقطه غیرهمسو M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) می گذرد که در سیستم مختصات دکارتی هستند ترسیم کنیم.

در معادله متعارف یک خط مستقیم روی صفحه که به شکل x - x 1 ax = y - y 1 ay است، یک سیستم مختصات مستطیلی O xy با خط مستقیم مشخص شده است که در نقطه ای با مختصات با آن قطع می شود. M 1 (x 1, y 1) با بردار راهنما a → = (تبر، ay).

لازم است معادله متعارف خط مستقیم a را که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور می کند، بسازیم.

خط a دارای یک بردار جهت M 1 M 2 → با مختصات (x 2 - x 1، y 2 - y 1) است، زیرا نقاط M 1 و M 2 را قطع می کند. ما داده های لازم را به منظور تبدیل معادله متعارف با مختصات بردار جهت M 1 M 2 → = (x 2 - x 1، y 2 - y 1) و مختصات نقاط M 1 (x 1،) به دست آوردیم. y 1) روی آنها دراز کشیده و M 2 (x 2, y 2). معادله ای به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 بدست می آوریم.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

در ادامه محاسبات، معادلات پارامتریک یک خط مستقیم را روی صفحه ای که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) می گذرد، می نویسیم. معادله ای به شکل x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ یا x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y به دست می آوریم. 2 + (y 2 - y 1) λ.

بیایید نگاهی دقیق تر به حل چند مثال بیندازیم.

مثال 1

معادله خط مستقیمی را که از 2 نقطه داده شده با مختصات M 1 - 5، 2 3، M 2 1، - 1 6 عبور می کند، بنویسید.

راه حل

معادله متعارف خط مستقیمی که در دو نقطه با مختصات x 1، y 1 و x 2، y 2 قطع می شود، به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 است. با شرط مسئله، داریم که x 1 = - 5، y 1 = 2 3، x 2 = 1، y 2 = - 1 6. جایگزینی لازم است مقادیر عددیدر معادله x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. از اینجا دریافتیم که معادله متعارف به شکل x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 است.

پاسخ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

اگر نیاز به حل یک مسئله با نوع دیگری از معادله دارید، ابتدا می توانید به معادله متعارف بروید، زیرا رسیدن از آن به هر معادله ساده تر است.

مثال 2

معادله کلی خط مستقیمی را که از نقاطی با مختصات M 1 (1, 1) و M 2 (4, 2) در سیستم مختصات O x y می گذرد رسم کنید.

راه حل

ابتدا باید معادله متعارف یک خط مستقیم را که از دو نقطه داده شده می گذرد، یادداشت کنید. معادله ای به شکل x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 بدست می آوریم.

اجازه دهید معادله متعارف را به شکل مورد نیاز برسانیم، سپس به دست می آوریم:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

پاسخ: x - 3 y + 2 = 0.

نمونه هایی از این گونه وظایف در کتاب های درسی مدرسه در درس جبر در نظر گرفته شد. وظایف مدرسهاز این جهت متفاوت است که معادله شناخته شده یک خط مستقیم با شیب به شکل y = k x + b است. اگر باید مقدار شیب k و عدد b را پیدا کنید که معادله y = kx + b خطی را در سیستم O xy تعریف می کند که از نقاط M 1 (x 1, y 1) و M 2 ( می گذرد. x 2، y 2) ، که در آن x 1 ≠ x 2. وقتی x 1 = x 2 ، سپس شیب مقدار بی نهایت را به خود می گیرد و خط مستقیم М 1 М 2 با یک معادله کلی ناقص به شکل x - x 1 = 0 تعیین می شود. .

چون نقاط M 1و M 2روی یک خط مستقیم هستند، سپس مختصات آنها معادله y 1 = k x 1 + b و y 2 = k x 2 + b را برآورده می کند. حل سیستم معادلات y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b برای k و b ضروری است.

برای انجام این کار، k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y را پیدا کنید 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

با چنین مقادیر k و b، معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد به شکل زیر است: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

به خاطر سپردن چنین تعداد زیادی از فرمول ها به یکباره کار نخواهد کرد. برای انجام این کار، باید تعداد تکرارها را در راه حل های مشکل افزایش دهید.

مثال 3

معادله خط مستقیم با شیب عبور از نقاط با مختصات M 2 (2, 1) و y = k x + b را بنویسید.

راه حل

برای حل مسئله از فرمولی با شیب استفاده می کنیم که به شکل y = k x + b است. ضرایب k و b باید به اندازه ای باشد که این معادله مطابق با یک خط مستقیم باشد که از دو نقطه با مختصات M 1 (- 7, - 5) و M 2 (2, 1) می گذرد.

نکته ها M 1و M 2روی یک خط مستقیم قرار دارند، سپس مختصات آنها باید معادله y = k x + b برابری واقعی را معکوس کند. از این به دست می آید که - 5 = k (- 7) + b و 1 = k 2 + b. معادله را در سیستم - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ترکیب کنید و حل کنید.

پس از تعویض، متوجه می شویم که

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

اکنون مقادیر k = 2 3 و b = - 1 3 در معادله y = k x + b جایگزین می شوند. دریافتیم که معادله مورد نیاز که از نقاط داده شده می گذرد معادله ای به شکل y = 2 3 x - 1 3 است.

این راه حل هزینه ها را از پیش تعیین می کند تعداد زیادیزمان. راهی وجود دارد که در آن کار به معنای واقعی کلمه در دو مرحله حل می شود.

معادله متعارف خط مستقیم عبوری از M 2 (2، 1) و M 1 (- 7، - 5) را می نویسیم که به شکل x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- است. 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6.

اکنون به معادله در شیب می پردازیم. دریافت می کنیم که: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

پاسخ: y = 2 3 x - 1 3.

اگر در فضای سه بعدی یک سیستم مختصات مستطیلی O xyz با دو نقطه مشخص غیر منطبق با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) وجود داشته باشد. خط مستقیم M 1 M 2، لازم است معادله این خط مستقیم به دست آید.

معادلات متعارفی به شکل x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az و معادلات پارامتری شکل x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + داریم. az λ می توانند خطی را در سیستم مختصات O x y z تنظیم کنند که از نقاط دارای مختصات (x 1, y 1, z 1) با بردار جهت a → = (ax, ay, az) عبور کند.

راست M 1 M 2 دارای یک بردار جهت به شکل M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) که در آن خط از نقطه M 1 (x 1, y 1, z) می گذرد. 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2)، بنابراین معادله متعارف می تواند به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z باشد. 2 - z 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1، به نوبه خود پارامتری x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ یا x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) Λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.

شکلی را در نظر بگیرید که 2 نقطه داده شده در فضا و معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد.

مثال 4

معادله یک خط مستقیم را بنویسید که در یک سیستم مختصات مستطیلی O xyz از فضای سه بعدی تعریف شده است که از دو نقطه داده شده با مختصات M 1 (2, - 3, 0) و M 2 (1, - 3, - 5) عبور می کند. ).

راه حل

یافتن معادله متعارف ضروری است. از آنجایی که ما در مورد فضای سه بعدی صحبت می کنیم، به این معنی است که وقتی یک خط مستقیم از نقاط داده شده عبور می کند، معادله متعارف مورد نظر به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = خواهد بود. z - z 1 z 2 - z 1 ...

بر اساس فرضیه، ما داریم که x 1 = 2، y 1 = - 3، z 1 = 0، x 2 = 1، y 2 = - 3، z 2 = - 5. از این رو نتیجه می شود که معادلات لازمبه این صورت نوشته خواهد شد:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

پاسخ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

با توجه به دو امتیاز م(NS 1 ,دارند 1) و ن(NS 2,y 2). بیایید معادله خط مستقیمی که از این نقاط می گذرد را پیدا کنیم.

از آنجایی که این خط از نقطه عبور می کند م، سپس مطابق فرمول (1.13) معادله آن شکل می گیرد

دارند – Y 1 = ک(X - x 1),

جایی که ک- شیب نامعلوم

مقدار این ضریب از شرایطی تعیین می شود که خط مستقیم مورد نظر از نقطه عبور کند نو از این رو، مختصات آن معادله (1.13) را برآورده می کند.

Y 2 – Y 1 = ک(ایکس 2 – ایکس 1),

از اینجا می توانید شیب این خط مستقیم را پیدا کنید:

,

یا بعد از تبدیل

(1.14)

فرمول (1.14) تعیین می کند معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد م(ایکس 1, Y 1) و ن(ایکس 2, Y 2).

در مورد خاص، زمانی که نقاط م(آ, 0), ن(0, ب), آ ¹ 0, ب¹ 0، روی محورهای مختصات دراز بکشید، معادله (1.14) شکل ساده تری به خود می گیرد.

معادله (1.15)تماس گرفت با معادله یک خط مستقیم در قطعات، اینجا آو بقسمت هایی را که توسط یک خط مستقیم بر روی محورها قطع شده اند نشان دهید (شکل 1.6).

شکل 1.6

مثال 1.10. یک خط مستقیم بین نقاط را برابر کنید م(1، 2) و ب(3, –1).

. با توجه به (1.14) معادله خط جستجو شکل دارد

2(Y – 2) = -3(ایکس – 1).

انتقال همه اعضا به سمت چپ، در نهایت معادله مورد نیاز را بدست می آوریم

3ایکس + 2Y – 7 = 0.

مثال 1.11. یک خط مستقیم را از یک نقطه برابر کنید م(2، 1) و نقطه تلاقی خطوط ایکس+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. مختصات نقطه تقاطع خطوط مستقیم را با حل معادلات داده شده با هم پیدا می کنیم

اگر این معادلات را ترم به ترم جمع کنیم عدد 2 بدست می آید ایکس+ 1 = 0، از این رو. با جایگزینی مقدار یافت شده به هر معادله، مقدار ارتین را پیدا می کنیم دارند:

حالا معادله خط مستقیمی که از نقاط (2، 1) می گذرد را می نویسیم و:

یا .

بنابراین، یا -5 ( Y – 1) = ایکس – 2.

در نهایت معادله خط مستقیم مورد نظر را در فرم به دست می آوریم NS + 5Y – 7 = 0.

مثال 1.12. معادله خط مستقیمی که از نقاط عبور می کند را پیدا کنید م(2،1) و ن(2,3).

با استفاده از فرمول (1.14) معادله را بدست می آوریم

منطقی نیست چون مخرج دوم صفر است. از بیان مسئله می توان دریافت که ابسیساهای هر دو نقطه دارای یک مقدار هستند. از این رو، خط مورد نظر موازی با محور است OYو معادله آن این است: ایکس = 2.

اظهار نظر . اگر هنگام نوشتن معادله یک خط مستقیم طبق فرمول (1.14) یکی از مخرج ها برابر با صفر باشد، می توان با معادل سازی عدد مربوطه به صفر معادله مورد نظر را به دست آورد.

راه های دیگری را برای تعریف خط مستقیم در یک صفحه در نظر بگیرید.

1. فرض کنید یک بردار غیر صفر بر خط داده شده عمود باشد Lو اشاره کنید م 0(ایکس 0, Y 0) روی این خط مستقیم قرار دارد (شکل 1.7).

شکل 1.7

نشان می دهیم م(ایکس, Y) یک نقطه دلخواه روی خط L... بردارها و ارتودنسی. با استفاده از شرایط متعامد برای این بردارها، یکی را به دست می آوریم آ(ایکس – ایکس 0) + ب(Y – Y 0) = 0.

معادله خط مستقیمی که از نقطه ای می گذرد بدست آوردیم م 0 عمود بر بردار. این بردار نامیده می شود بردار معمولی به راست L... معادله به دست آمده را می توان به صورت بازنویسی کرد

اوه + وو + با= 0، کجا با = –(آایکس 0 + توسط 0), (1.16),

جایی که آو V- مختصات بردار نرمال.

بیایید معادله کلی خط مستقیم را به صورت پارامتریک بدست آوریم.

2. یک خط مستقیم روی یک صفحه را می توان به صورت زیر مشخص کرد: بگذارید یک بردار غیر صفر موازی با یک خط مستقیم معین باشد. Lو اشاره کنید م 0(ایکس 0, Y 0) روی این خط مستقیم قرار دارد. بیایید دوباره یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم م(NS، y) روی یک خط مستقیم (شکل 1.8).

شکل 1.8

بردارها و خطی

اجازه دهید شرایط همخطی را برای این بردارها بنویسیم:، Where تی- یک عدد دلخواه به نام پارامتر. بیایید این برابری را به صورت مختصات بنویسیم:

این معادلات نامیده می شوند معادلات پارامتریک سر راست... ما پارامتر را از این معادلات حذف می کنیم تی:

این معادلات را می توان در غیر این صورت به شکل نوشت

. (1.18)

معادله به دست آمده نامیده می شود معادله متعارف خط مستقیم... بردار نامیده می شود بردار جهت خط مستقیم .

اظهار نظر . به راحتی می توان فهمید که if بردار عادی خط است L، سپس بردار جهت آن می تواند یک بردار باشد، زیرا، i.e.

مثال 1.13. معادله خط مستقیمی که از نقطه عبور می کند را بنویسید م 0 (1، 1) به موازات خط مستقیم 3 NS + 2دارند– 8 = 0.

راه حل . بردار بردار نرمال به خطوط مستقیم داده شده و مورد نظر است. ما از معادله خط مستقیمی که از نقطه عبور می کند استفاده خواهیم کرد م 0 با بردار معمولی 3 ( NS –1) + 2(دارند- 1) = 0 یا 3 NS + 2 سال- 5 = 0. معادله خط مستقیم مورد نظر را دریافت کرد.