Funkcija gustoće normalno raspoređene slučajne varijable. Normalna distribucija i njegovi parametri

U mnogim izazovima povezanim s normalno raspodijeljenim slučajnim vrijednostima, potrebno je odrediti vjerojatnost slučajne varijance, podređene normalnom zakonu s parametrima, na web-lokaciju. Da bismo izračunali ovu vjerojatnost, koristimo opću formulu

gdje - veličina raspodjele veličine.

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable distribuirane prema normalnom zakonu s parametrima. Vrijednost gustoće distribucije je:

Odavde nalazimo funkciju distribucije

. (6.3.3)

Napravit ćemo u integralju (6.3.3) zamjenom varijable

i dajemo mu umu:

(6.3.4)

Integral (6.3.4) ne izražava se kroz osnovne funkcije, ali se može izračunati kroz posebnu funkciju izražavajući određeni sastavni dio iz izraza ili (tzv. Vjerojatnost integral) za koju je kompiliran stol. Postoji mnogo sorti takvih funkcija, na primjer:

;

itd Koja od ovih funkcija se koristi - pitanje okusa. Odabrat ćemo kao takvu funkciju.

. (6.3.5)

Nije teško vidjeti da je ova funkcija ništa drugo nego distribucijska funkcija za normalnu raspodijeljenu slučajnu varijablu s parametrima.

Slažemo se na poziv funkcije normalne funkcije distribucije. Dodatak (tablica 1) prikazuje tablice vrijednosti tablice.

Izrazite funkciju distribucije (6.3.3) vrijednosti s parametrima i kroz normalnu funkciju distribucije. Očito

Sada pronalazimo vjerojatnost dolazne slučajne varijance na mjesto prije. Prema formuli (6.3.1)

Tako smo izrazili vjerojatnost dolazne slučajne varijable distribuirane u skladu s normalnim zakonom s bilo kojim parametrima, kroz standardnu \u200b\u200bfunkciju distribucije koja odgovara najjednostavnijem normalnom zakonu s parametrima 0,1. Imajte na umu da funkcije argumenti u formuli (6.3.7) imaju vrlo jednostavno značenje: udaljenost je od desnog kraja mjesta do središta disperzije, izraženo u srednjim kvadratnim odstupanjima; - istu udaljenost za lijevi kraj mjesta, a ta se udaljenost smatra pozitivnim ako se kraj nalazi na desnoj strani središta disperzije, i negativan, ako s lijeve strane.

Kao i svaka funkcija distribucije, funkcija ima svojstva:

3. - funkcija funkcije.

Osim toga, iz simetrije normalne raspodjele s parametrima u odnosu na početak koordinate, slijedi to

Koristeći ovu nekretninu, u stvari, bilo bi moguće ograničiti tablice funkcije samo s pozitivnim vrijednostima argumenta, ali kako bi se izbjeglo višak rada (oduzimanje iz jednog), u tablici 1 primjene, vrijednosti su vrijednosti vrijedi i za pozitivne i negativne argumente.

U praksi, zadatak izračunavanja vjerojatnosti ulaska u normalno raspodijeljenu slučajnu varijablu na područje je često simetrično u odnosu na raspršivanje centar. Razmotriti takav dio duljine (sl. 6.3.1). Mi izračunavamo Likelis od ulaska u ovaj odjeljak formulom (6.3.7):

S obzirom na imovinu (6.3.8) funkcije i davanje lijevog dijela formule (6.3.9) kompaktniji izgled, dobivamo formulu za vjerojatnost slučajne varijable, distribuirane prema normalnom pravu na područje, simetrično u odnosu na raspršeni centar:

. (6.3.10)

Neka sljedeći zadatak. Odgodimo od središta disperzije uzastopnih segmenata duljine (sl. 6.3.2) i izračunavamo vjerojatnost dolazne slučajne varijance u svakoj od njih. Budući da je krivulja normalnog zakona simetrična, dovoljno je odgoditi takve segmente samo na jedan način.

Po formuli (6.3.7) nalazimo:

(6.3.11)

Kao što se može vidjeti iz tih podataka, vjerojatnosti ulaska u svaki od sljedećih segmenata (peti, šesti, itd.) S preciznošću od 0,001 su nula.

U okruženju vjerojatnosti uzimanja u segmente na 0,01 (do 1%), dobit ćemo tri broja koja se lako pamti:

0,34; 0,14; 0,02.

Zbroj ove tri vrijednosti je 0,5. To znači da je za normalnu raspodijeljenu slučajnu varijablu, sve disperzije (s točnom postotkom) složena na mjestu.

To omogućuje, znajući prosječno kvadratno odstupanje i matematičko očekivanje slučajne varijable, uvjetno ukazuju na interval njegovih praktički mogućih vrijednosti. Ova metoda procjene raspona mogućih vrijednosti slučajne varijance je poznata u matematičkoj statistici pod nazivom "Pravilo tri Sigma". Od tri Sigma pravila, procijenjena metoda za određivanje prosječne kvadratne devijacije slučajne varijable također se slijedi: Uzmite maksimalno praktično moguće odstupanje od prosjeka i podijelite ga na tri. Naravno, ovaj grubi prijem može se preporučiti samo ako ne postoje druge, točnije metode za određivanje.

Primjer 1. Slučajna varijabla, distribuirana prema normalnom zakonu, je mjerna pogreška određene udaljenosti. U mjerenju je dopuštena sustavna pogreška prema pretistaciji za 1,2 (m); Prosječna kvadratna devijacija pogreške mjerenja je 0,8 (m). Pronađite vjerojatnost da odstupanje izmjerene vrijednosti iz istinske neće premašiti apsolutnu vrijednost od 1,6 (m).

Odluka. Pogreška mjerenja Postoji slučajna vrijednost podređena normalnom zakon s parametrima i. Potrebno je pronaći vjerojatnost ove veličine na mjestu prije. Po formuli (6.3.7) imamo:

Koristeći tablice funkcije (aplikacija, tablica 1), naći ćemo:

; ,

Primjer 2. Pronađite istu vjerojatnost kao u prethodnom primjeru, ali pod uvjetom da ne postoji sustavna pogreška.

Odluka. U formuli (6.3.10), vjerujući, nalazimo:

Primjer 3. U svrhu koja ima vrstu trake (autocesta), širina je 20 m, pucanje u smjeru okomito na autocestu. Cilj se provodi u središnjoj liniji autoceste. Prosječna kvadratna odstupanja u smjeru snimanja jednaka je m. Postoji sustavna pogreška u smjeru pucanja: tjedan 3 m. Pronađite vjerojatnost ulaska u autocestu na jednom snimku.

U teoriji vjerojatnosti, razmatrani su dovoljno veliki broj različitih distribucijskih zakona. Da biste riješili probleme povezane s izgradnjom kontrolnih kartica, samo neki od njih su od interesa. Najvažnije od njih je normalni zakon o distribucijikoji se koristi za izgradnju kontrolnih kartica koje se koriste kada kvantitativni znak, Kada se bavimo kontinuiranom slučajnom varijablom. Normalno zakon o distribuciji zauzima poseban položaj među ostalim zakonima. To je zbog činjenice da se, prvo, najčešće nalaze u praksi, i, drugo, to je granični zakon na koji se drugi zakoni o distribuciji približavaju vrlo zajedničkim tipičnim uvjetima. Što se tiče druge okolnosti, u teoriji vjerojatnosti, dokazano je da zbroj dovoljno velik broj neovisnih (ili slabo ovisnih) slučajnih varijabli podređenosti koliko zakona distribucije (ovisno o nekim ne-rigidnim ograničenjima ), približno obožava normalan zakon, a to je to preciznije, to je veći broj slučajnih varijabli. Većina ljudi naišao u praksu slučajnih varijabli, kao što su pogreške mjerenja, mogu se prikazati kao zbroj vrlo većeg broja relativno malih pojmova - elementarnih pogrešaka, od kojih je svaki uzrokovan djelovanjem jednog razloga, neovisno o neovisnoj ostatak. Normalni zakon se manifestira u slučajevima kada je slučajna varijabla H. To je rezultat velikog broja različitih čimbenika. Svaki faktor odvojeno veličine H. Ona neznatno utječe i ne možete odrediti koji je u većoj mjeri od ostalih.

Normalna distribucija(laplace Gauss distribucija) - Distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable H. tako da gustoća raspodjele vjerojatnosti kada - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

Ejr (3)

To jest, normalna raspodjela karakteriziraju dva parametra m i s, gdje je m matematičko očekivanje; S-standardna devijacija normalne distribucije.

S. 2 - Ovo je disperzija normalne distribucije.

Matematičko očekivanje M karakterizira položaj distribucijskog centra, a standardna devijacija S (SBE) je karakteristika disperzije (Sl. 3).

f (x) f (x)

Slika 3 - Funkcije gustoće normalne distribucije s:

a) različite matematičke očekivanja m; b) Različite ski.

Dakle, vrijednost μ određeno položajem krivulje raspodjele na Asčissi osi. Dimenzija μ - isto kao i dimenzionalnost slučajne varijable X., Uz rast matematičkog očekivanja, mob funkcije pomiče paralelno s desne strane. S smanjenjem disperzije 2 Gustoća se sve više koncentrira oko m, dok se funkcija distribucije postaje hladna.

Vrijednost σ definira oblik krivulje raspodjele. Budući da je područje ispod krivulje raspodjele uvijek treba ostati jednak jednom, onda s povećanjem σ, krivulja raspodjele postaje ravna. Na sl. 3.1 prikazuje tri krivulje na različitim σ: σ1 \u003d 0,5; σ2 \u003d 1.0; Σ3 \u003d 2.0.

Slika 3.1 - funkcije gustoće normalne distribucije srazličiti ski.

Funkcija distribucije (integralna funkcija) ima obrazac (sl. 4):

(4)

Slika 4 - Integralna (a) i diferencijalna (b) funkcija normalne distribucije

To je posebno važno za linearnu transformaciju normalno raspoređene slučajne varijable. H.nakon čega se dobije slučajna varijabla Z S matematičkim očekivanjem 0 i disperzije 1. Takva transformacija se naziva racija:

Može se provesti za svaku slučajnu varijablu. Racioniranje omogućuje sve moguće varijante normalne raspodjele da se smanji na jedan slučaj: m \u003d 0, s \u003d 1.

Normalna distribucija s m \u003d 0, s \u003d 1 normalna normalna distribucija (standardizirana).

Standardna normalna distribucija (Standardna distribucija laplas-Gauss ili normalizirane normalne distribucije) je raspodjela vjerojatnosti standardizirane normalne slučajne varijable Zčija je gustoća distribucije:

kada - ¥<z< + ¥

Vrijednosti funkcije F (z) Određeno formulom:

(7)

Vrijednosti funkcije F (z) i gustoća f (z) Izračunava se normalna normalna raspodjela i smanjena su na tablice (tabelirane). Stol sastavljen samo za pozitivne vrijednosti ztako:

F (–z) \u003d 1–F (z) (8)

Koristeći ove tablice, možete definirati ne samo vrijednosti funkcije i gustoće normalne normalne distribucije za navedenu z, ali i vrijednosti funkcije ukupne normalne distribucije, kao:

; (9)

. 10)

U mnogim izazovima povezanim s normalno raspodijeljenim slučajnim vrijednostima, potrebno je odrediti vjerojatnost slučajne varijable H., podređeni normalnim zakonom s parametrima m i s, na određeno područje. Takav dio može biti, na primjer, polje tolerancije na parametar od gornje vrijednosti U. Nizhny L..

Vjerojatnost ulaska u interval od h. 1 biti h. 2 može se odrediti formulom:

Dakle, vjerojatnost slučajne varijance (vrijednost parametra) H. U polju tolerancije određeno je formulom

Vjerojatnost možete pronaći slučajnu varijablu H. Ispada da bude unutar μ K.s. . Dobivene vrijednosti za k. \u003d 1.2 i 3 su sljedeće (također gledaju na sl. 5):

Dakle, ako se bilo kakva vrijednost pojavi izvan trodijelnog dijela, u kojem postoji 99,73% svih mogućih vrijednosti, a vjerojatnost takvog događaja je vrlo mala (1: 270), treba se smatrati da je vrijednost koja se razmatra okrenuta Vani biti premali ili preveliki. Ne zbog slučajnih varijacija, već zbog bitnih smetnji u samom procesu, sposobni uzrokovati promjene u prirodi distribucije.

Također se naziva i parcele koja leži unutar trostranih granica područje statističke tolerancije odgovarajući stroj ili proces.

Primjer

Razmotriti normalnu distribuciju. Pomoću funkcije MS Excel Norm.rasp () Konstruiramo grafikone funkcije distribucije i gustoće vjerojatnosti. Dopustimo da ćemo generirati niz slučajnih brojeva distribuiranih u skladu s normalnim zakonom, procijenit ćemo parametre distribucije, srednje i standardne devijacije .

Normalna distribucija (Također se zove Gauss distribucija) najvažnija je kao u teoriji, tako da u aplikacijama sustava kontrole aplikacija. Važnost značenja Normalna distribucija (Eng. Normalan Distribucija.) U mnogim područjima znanosti slijedi iz teorije vjerojatnosti.

Definicija : Slučajna vrijednost X. distribuirati Normalan zakon Ako ima:

Normalna distribucija Ovisi o dva parametra: μ (MJ) - je, i σ ( sigma - to je (standardna devijacija). Parametar μ određuje položaj središta Gustoća vjerojatnosti Normalna distribucija i σ - raspršivanje u odnosu na središte (medij).

Bilješka : Na učinak parametara μ i Σ na obrazac distribucije postavlja u članku o tome iu Primjer datoteke na efektu lista parametara Možete vapil promijeniti oblik krivulje.

Normalna distribucija u MS Excel

U MS Excelu, počevši od 2010. godine, za Normalna distribucija Postoji norma normi. ARP (), engleski naziv - Norm.dist (), koji vam omogućuje da izračunate Gustoća vjerojatnosti (vidi gornju formulu) i Integralna funkcija distribucije (vjerojatnost da je slučajna vrijednost x, raspoređena Normalan zakon će uzeti vrijednost manju ili jednaku x). Izračuni u potonjem slučaju izvršene su prema sljedećoj formuli:

Navedena distribucija ima oznaku N. (μ; σ). Također često koriste oznaku putem N. (μ; σ 2).

Bilješka : Do MS Excel 2010 u Excelu je postojala samo NORMSP () funkcija, koja vam također omogućuje izračunavanje funkcije distribucije i gustoće vjerojatnosti. Norrasp () lijevo u MS Excel 2010 za kompatibilnost.

Standardna normalna distribucija

Standardna normalna distribucija nazvan normalna distribucija C μ \u003d 0 i σ \u003d 1. Navedena distribucija ima oznaku N. (0;1).

Bilješka : U literaturi za slučajnu varijablu distribuira Standard normalan zakon Posebna oznaka Z je fiksna.

bilo tko normalna distribucija može se pretvoriti u standard putem promjenjive zamjene Z =( X. -μ)/σ , Ovaj proces pretvorbe se zove Standardizacija .

Bilješka : MS Excel ima funkciju normalizacije () koja izvodi gore navedenu pretvorbu. Iako se u MS Excel ta preobrazba zove iz nekog razloga Normalizacija , Formula \u003d (x-μ) / σ i \u003d Normalizacija (x; μ; Vratiti isti rezultat.

U MS Excel 2010 za Postoji posebna funkcija normi. Str.sp () i njegova zastarjela verzija normalne strukture () izvodi slične izračune.

Pokazat ćemo kako se proces standardizacije provodi u MS Excelu Normalna distribucija N. (1,5; 2).

Da biste to učinili, izračunavamo vjerojatnost da je slučajna varijabla distribuirana Normalan zakon N (1.5; 2) , manje ili jednako 2.5. Formula izgleda ovako: \u003d Norme. Rasp (2.5; 1.5; 2; istina) \u003d 0.691462. Zamjenom varijable Z =(2,5-1,5)/2=0,5 , Napišite formulu za izračunavanje Standardna normalna distribucija: \u003d Norma.st.stra (0,5; istina) =0,691462.

Prirodno, obje formule daju iste rezultate (vidi Primjer primjera slova datoteke).

napomenuti da standardizacija samo C. (argument sastavni jednaka istini), a ne Gustoća vjerojatnosti .

Bilješka : U literaturi za funkciju koja izračunava vjerojatnost slučajne varijable raspoređene Standard normalan zakon Posebna oznaka F (z). U MS Excelu se ta značajka izračunava pomoću formule \u003d Norma.st.sp (z; istina) , Izračuni se vrše formulom

Zbog pariteta funkcije distribucija f (x), naime f (x) \u003d f (s), funkcija Standardna normalna distribucija Ima imovinu F (-X) \u003d 1-F (x).

Obrnute funkcije

Funkcija Nor.st.sp (x; istina) Izračunava vjerojatnost P da će slučajna vrijednost X biti vrijednost manja ili jednaka x. Ali često je potrebno provesti obrnuto izračun: znajući vjerojatnost P, potrebno je izračunati X vrijednost. Izračunata vrijednost X se zove Standard Normalna distribucija .

U MS Excel za izračunavanje Kvantitski Koristeći funkciju normes.stroob () i norme.

Funkcije grafike

Primjer datoteke sadrži Grafika distribucije gustoće Vjerojatnost I. Integralna funkcija distribucije .

Kao što znate, oko 68% vrijednosti odabranih iz agregata normalna distribucija su unutar 1 standardne devijacije (σ) iz μ (srednje ili matematičko očekivanje); Oko 95% - u roku od 2 Σ, a unutar 3 Σ postoje 99% vrijednosti. Pobrinite se da Standardna normalna distribucija Možete napisati formulu:

= Nor.st.sprasp (1; istina) -norm.st.stra (-1; istina)

koji će vratiti vrijednost od 68.2689% - to je upravo postotak vrijednosti unutar +/- 1 standardne devijacije od Srednji (cm. Grafikon graf u primjeru datoteke).

Zbog pariteta funkcije Standardna normalna gustoća Distribucija: F. ( X.)= F. (s) funkcija Standardna normalna distribucija Ima imovinu f (-x) \u003d 1-F (x). Stoga se gornja formula može pojednostaviti:

= 2 * norma.st.stra (1; istina) -1

Za proizvoljno Funkcije normalne distribucije N (μ; Σ) Slični izračuni trebaju biti formula:

2 * nors.rsp (μ + 1 * Σ; μ; σ; istina) -1

Za njih su potrebni gore navedeni izračuni vjerojatnosti.

Bilješka : Jer jednostavnost pisanja, formule u primjeru se stvaraju za parametre distribucije: μ i Σ.

Generiranje slučajnih brojeva

Neka nam generiramo 3 niza od 100 brojeva s različitim μ i σ. Da biste to učinili u prozoru Generacija slučajni brojevi Postavite sljedeće vrijednosti za svaki para parametara:

Bilješka : Ako postavite opciju Slučajna disperzija ( Slučajno sjeme) Možete odabrati određeni slučajni skup generiranih brojeva. Na primjer, postavljanjem ove opcije na 25, možete generirati iste skupove slučajnih brojeva na različitim računalima (osim ako, naravno, drugi parametri distribucije podudaraju). Vrijednost opcije može uzimati cijele vrijednosti od 1 do 32 767. Naziv opcija Slučajna disperzija može zbuniti. Bilo bi bolje da ga prevedete Postavite broj sa slučajnim brojevima .

Kao rezultat toga, imat ćemo 3 stupca brojeva, na temelju kojih možete, ocijeniti parametre distribucije, iz koje je napravljen uzorak: μ i σ . Procjena za μ može se obaviti pomoću funkcije Srnavov (), i za Σ - koristeći funkciju standardnog standsot klon (), vidi.

Bilješka : Generirati niz brojeva distribuiranih od strane Normalan zakon , Možete koristiti formulu \u003d Norme. Prof (ljepilo (); μ; σ) , Funkcija ljepila () generira iz 0 do 1, što odgovara rasponu promjena vjerojatnosti (vidi Datoteka Primjer Leaf Generation).

Zadatke

Task1 , Tvrtka proizvodi najlonske niti s prosječnom snagom od 41 MPa i standardnom devijacijom od 2 MPa. Potrošač želi steći niti s trajnosti od najmanje 36 MPa. Izračunajte vjerojatnost da će autobusi koje je napravio tvrtka za potrošača u skladu sa zahtjevima ili ih premašuje. Rješenje1 : = 1-norme. Zbirke (36; 41; 2; istina)

Task2. , Poduzeće proizvodi cijevi, prosječni vanjski promjer od 20,20 mm, a standardna devijacija je 0,25 mm. Prema tehničkim uvjetima, cijevi se prepoznaju kao prikladne ako je promjer u rasponu od 20,00 +/- 0,40 mm. Koji udio proizvedenih cijevi to čini? Solution2. : = Norm.bast (20.00 + 0.40; 20.20; 0.25; Istina) - nors.Rsp (20.00-0,40; 20.20; 0.25) U nastavku je istaknuto područje vrijednosti promjera, što zadovoljava specifikacije specifikacije.

Rješenje se daje u Datoteka Primjer zabrane zadataka .

Task3. , Poduzeće proizvodi cijevi, prosječni vanjski promjer od 20,20 mm, a standardna devijacija je 0,25 mm. Vanjski promjer ne smije prelaziti određenu vrijednost (pretpostavlja se da niža granica nije važna). Koju gornju granicu u tehničkim specifikacijama treba instalirati tako da 97,5% svih proizvedenih proizvoda odgovara? Solution3. : = Norm. Proizvode (0,975; 20,20; 0,25) \u003d 20,6899 ili \u003d Norma.st.ob (0,975) * 0,25 + 20,2 (Izrađena "oznaka", vidi gore)

Zadatak 4. , Pronalaženje parametara Normalna distribucija Vrijednostima 2 (ili). Pretpostavimo da je poznato da slučajna vrijednost ima normalnu raspodjelu, ali njegovi parametri nisu poznati, već samo drugi postotak (na primjer, 0,5- postotak , Medijan i 0,95th postotak). Jer Poznat, onda znamo, tj. μ. Da biste pronašli trebate koristiti. Rješenje se daje u Datoteka Primjer zabrane zadataka .

Bilješka : Dok se g. Excel 2010 u Excelu bilo je normi () i Norstester () (), koje su ekvivalentne normama. Komunikacije () i norme. Normura () i Norman () ostaju u MS Excel 2010 i iznad samo za kompatibilnost.

Linearne kombinacije normalno raspoređenih slučajnih varijabli

Poznato je da linearna kombinacija normalno raspoređenih slučajnih varijabli X. ( I.) s parametrima μ. ( I.) i σ. ( I.) Također se obično distribuira. Na primjer, ako je slučajna vrijednost Y \u003d X (1) + x (2), tada ćete imati distribuciju s parametrima μ (1) + μ (2) i Korijen (σ (1) ^ 2 + σ (2) ^ 2). Pobrinite se da MS Excel.

Definicija. Normalannazvana distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable, koja je opisana gustoćom vjerojatnosti

Također se zove normalno zakon o distribuciji pravo Gaussa.

Normalno zakon o distribuciji zauzima središnje mjesto u teoriji vjerojatnosti. To je zbog činjenice da se ovaj zakon manifestira u svim slučajevima gdje je slučajna vrijednost rezultat velikog broja različitih čimbenika. Svi ostali zakoni o distribuciji približavaju se normalnom zakonu.

Može se lako pokazati da su parametri i distribucijska gustoća odnosno matematičko očekivanje i prosječna kvadratna odstupanja slučajne varijable X.

Pronađite funkciju distribucije F (x).

Zove se graf gustoće normalne raspodjele normalna krivuljaili krivulja gaussa.

Normalna krivulja ima sljedeća svojstva:

1) Funkcija se određuje na cijeloj numeričkoj osi.

2) za sve h. Funkcija distribucije traje samo pozitivne vrijednosti.

3) Osovina OH je horizontalna asimptota grafikona gustoće vjerojatnosti, jer s neograničenim povećanjem apsolutne vrijednosti argumenta h.Vrijednost funkcije teži nuli.

4) nalazimo funkciju ekstremne.

Jer za y '\u003e 0 za x.< m i y '< 0 za x\u003e M. Zatim na mjestu x \u003d T. Funkcija ima maksimalnu jednaku.

5) Funkcija je simetrična o izravnoj x \u003d A.jer razlika

(x - A.) Uključena u funkciju distribucije na trgu.

6) Da bismo pronašli točke infleksije grafikona, nalazimo drugi derivat funkcije gustoće.

Za x \u003d M. + S I. x \u003d M. - S drugi derivat je nula, a kada prebacite kroz ove točke mijenja znak, tj. U tim točkama funkcija ima infleksiju.

U tim točkama funkcija je jednaka.

Konstruiramo grafikon funkcije distribucije.

Grafikoni su konstruirani t. \u003d 0 i tri moguća vrijednost prosječnog kvadratnog odstupanja s \u003d 1, s \u003d 2 i s \u003d 7. Kao što se može vidjeti, uz povećanje vrijednosti prosječnog kvadratnog odstupanja, grafikon postaje više nježnije, a Maksimalna vrijednost se smanjuje.

Ako a ali \u003e 0, onda će se raspored pomaknuti u pozitivnom smjeru ako ali < 0 – в отрицательном.

Za ali \u003d 0 i s \u003d 1 krivulja normiran, Jednadžba normalizirane krivulje:

Za kratkoću, kaže se da suradnici zakona n (m, s), tj. X ~ n (m, s). Parametri M i s podudaraju s osnovnim karakteristikama distribucije: m \u003d m x, s \u003d s x \u003d. Ako je Sv x ~ n (0, 1), onda se zove standardizirana normalna veličina, Fr standardizirana normalna veličina koja se zove funkcija Laplas i označeno kao F (x), S tim je moguće izračunati interval vjerojatnosti za normalnu distribuciju N (m, s):

P (x 1 £ x< x 2) = Ф - Ф .

Prilikom rješavanja zadataka na normalnu distribuciju, često je potrebno koristiti vrijednosti tablice laplace funkcije. Budući da je Funkcija Laplace važeća F (s) = 1 - F (x)Tada je dovoljno imati tablice vrijednosti funkcije F (x) Samo za pozitivne vrijednosti argumenta.

Za vjerojatnost ulaska u simetrični u odnosu na matematičko očekivanje, interval formule: p (| x - m X |< e) = 2×F (e / s) - 1.

Središnji trenuci normalne distribucije zadovoljavaju rekurentni omjer: M N +2 \u003d (N + 1) s 2 M N, n \u003d 1, 2, .... Slijedi da su svi središnji trenuci neobičnog reda nula (od m 1 \u003d 0).

Pronađite vjerojatnost dolazne slučajne varijable distribuirane u skladu s normalnim zakonom u određeni interval.

Označiti

Jer Integral se ne izražava kroz osnovne funkcije, a funkcija se uvodi u obzir.

,

koji se zove funkcija Laplasili integralne vjerojatnosti.

Vrijednosti ove funkcije na različitim vrijednostima h. I dani su u posebnim tablicama.

Graf Funkcije Laplace prikazan je u nastavku.

Laplace ima sljedeća svojstva:

2) f (- h.) \u003d - F ( h.);

Funkcija Laplace također se zove funkcija pogreške i označavaju ERF. x..

I dalje normiranlaplace značajka, koja je povezana s laplace funkcijom po omjeru:

Grafikon normizirane funkcije Laplasa prikazan je u nastavku.

Prilikom razmatranja normalnog zakon o distribuciji, važan privatni događaj je dodijeljen, poznat kao pravilo tri sigma.

Pišemo vjerojatnost da je odstupanje normalno distribuirane slučajne varijable od matematičkog očekivanja manje od određene vrijednosti D:

Ako uzmete d \u003d 3, dobivamo pomoću vrijednosti Funkcije Laplace pomoću tablica:

Oni. Vjerojatnost da će slučajna vrijednost odstupiti od matematičkog očekivanja vrijednosti veću od utrostručenog prosječnog kvadratnog odstupanja gotovo je jednaka nuli.

Ovo se pravilo naziva vladavina tri Sigma.

Nemojte vježbati da se vjeruje da ako se radi o bilo kojoj slučajnoj varijabilu, pravilo tri SIGM se izvodi, tada ova slučajna vrijednost ima normalnu distribuciju.

Primjer. Vlak se sastoji od 100 vagona. Masa svakog automobila - slučajna varijabla, distribuirana u skladu s normalnim zakonom s matematičkim očekivanjem ali \u003d 65 tona i prosječna kvadratna odstupanja s \u003d 0,9 t. Locomotive može nositi masu ne više od 6600 tona, inače je potrebno trenirati drugu lokomotivu. Pronađite vjerojatnost da drugi lokomotiv nije potreban.

Druga lokomotiva neće biti potrebna ako odstupanje mase pripravka iz očekivanog (100 × 65 \u003d 6500) ne prelazi 6600 - 6500 \u003d 100 tona.

Jer Masa svakog izlijevanja ima normalnu raspodjelu, a zatim se masa cijelog pripravka normalno raspoređuje.

Dobivamo:

Primjer. Obično raspodijeljena slučajna varijabilnost X je postavljena po svojim parametrima - a \u003d 2 -matematičko očekivanje i s \u003d 1 - prosječna kvadratna devijacija. Potrebno je napisati gustoću vjerojatnosti i konstruirati svoj raspored, pronaći vjerojatnost da li će biti vrijednost iz intervala (1; 3), pronađite vjerojatnost da će X biti odbijen (po modulu) od matematičkog očekivanja ne više od 2.

Gustoća distribucije je:

Izgradite raspored:

Pronađite vjerojatnost dolazne slučajne varijance u interval (1; 3).

Nalazimo vjerojatnost odstupanja slučajne varijable od matematičkog očekivanja po vrijednosti, a ne većim od 2.

Isti rezultat može se dobiti korištenjem normalizirane funkcije laplace.

Predavanje 8 Zakon o velikom broju(Odjeljak 2)

Plan predavanja

Teorem središnjeg ograničenja (opća formulacija i privatna formulacija za neovisne jednako raspoređene slučajne varijable).

Chebyshev nejednakost.

Zakon velikih brojeva u obliku Chebysheva.

Koncept učestalosti događaja.

Statističko razumijevanje vjerojatnosti.

Zakon velikog broja u obliku Bernoullija.

Studija statističkih obrazaca omogućilo je da se utvrdi da pod određenim uvjetima, ukupno ponašanje velikog broja slučajnih varijabli gotovo gubi slučajni karakter i postaje prirodno (drugim riječima, slučajno odstupanja od nekog srednjeg ponašanja međusobno se vraćaju). Konkretno, ako je utjecaj na iznos pojedinih uvjeta ravnomjeran, količina raspodjele iznosa se približava normalnom. Matematička formulacija ove izjave daje se u skupini teoreme pod nazivom zakon o velikom broju.

Zakon o velikom broju - Opće načelo, na temelju kojih zajedničko djelovanje slučajnih čimbenika dovodi do nekih općih uvjeta na rezultat, koji je gotovo neovisan o slučaju. Prvi primjer djelovanja ovog načela je približavanje pojave slučajnog događaja sa svojom vjerojatnošću u povećanju broja testova (često se koristi u praksi, na primjer, kada se koristi učestalost pojave kvalitete ispitanika u uzorak kao selektivna procjena odgovarajuće vjerojatnosti).

Suština zakon o velikim brojevima To je s velikim brojem nezavisnih eksperimenata, učestalost pojave nekog događaja blizu je njegovoj vjerojatnosti.

Teorem središnjeg ograničenja (CPT) (u tekstu Lyapunov A.m. za jednako distribuira SV). Ako je nezavisna SV X 1, X 2, ..., Xn, ... imaju isti Zakon o distribuciji s konačnim numeričkim karakteristikama M \u003d m i D \u003d S 2, zatim s n ®, zakon distribucije SV jest jest Neograničeno približavanje normalnom zakonu n (n × m,).

Posljedica. Ako u stanju teorema , Zatim u n ® ¥, zakon distribucije CV Y je neograničen približavanju normalnom zakonu N (m, S /).

Mouverdord Laplace Teorem.Neka SV K je broj "uspjeha" u N testovima prema Bernoulli shemu. Zatim, na n ® ¥ i fiksne vrijednosti vjerojatnosti "uspjeha" u jednom testu P, zakon distribucije CV K je neograničen približavanje normalnom zakonu N (n × P,).

Posljedica. Ako, u stanju teorema, umjesto C / N, učestalost "uspjeha" u N ispitivanjima prema Bernoulli shemu, njezin transakcijski zakon s N ® i fiksnoj vrijednosti P je neograničen približavanju normalnom zakonu n (p,).

Komentar. Neka SV K je broj "uspjeha" u N testovima prema Bernoulli shemu. Zakon distribucije takvog zakona o binomina. Zatim, na n ® ¥, zakon o binomina ima dvije granične raspodjele:

n distribucija Poisson (za n ® ¥ i l \u003d n × p \u003d const);

n distribucija Gaussa N (n × p,) (s n ® ¥ i p \u003d const).

Primjer. Vjerojatnost "uspjeha" u jednom testu samo je p \u003d 0,8. Koliko trebate testirati testove tako da s vjerojatnošću od najmanje 0,9 možete očekivati \u200b\u200bda će uočena učestalost "uspjeha" u testovima prema Bernoulli shemi odstupati od vjerojatnosti p ne više od e \u003d 0,01?

Odluka. Za usporedbu, riješit ćemo problem na dva načina.

U usporedbi s drugim vrstama distribucija. Glavna značajka ove distribucije je da svi ostali zakoni distribucija teže ovom zakonu s beskrajnim ponavljanjem broja testova. Kako ova distribucija dobiva?

Zamislite da uzimanje ručnog dinamometra nalazi se u mlađoj mjestu vašeg grada. A svatko tko prolazi, predlažete da izmjerite svoju snagu, stiskanje dinamometra s desne ili lijevom rukom. Čitanje dinamometra uredno je inhibiranje. Nakon nekog vremena, s dovoljno velikim brojem testova, stavili ste svjedočanstvo dinamometa na Asčissu os, a količina ljudi, koja je "stisnuta" su svjedočanstvo. Dobivene točke pridružile su glatkoj liniji. Rezultat je krivulja prikazana na slici 9.8. Pojava ove krivulje neće se posebno mijenjati povećanjem vremena iskustva. Štoviše, od trenutka, nove vrijednosti će odrediti samo krivulju bez mijenjanja njegovog oblika.

Sl. 9.8.

Sada ćemo se kretati s našim dinamometrom u atletskoj dvorani i ponoviti eksperiment. Sada će se maksimalna krivulja pomaknuti udesno, lijevi kraj će biti pomalo zategnut, dok će njegov desni kraj biti oštriji (sl. 9.9).

Sl. 9.9.

Imajte na umu da će maksimalna frekvencija za drugu distribuciju (točka B) biti niža od maksimalne učestalosti prve distribucije (točka a). To se može objasniti činjenicom da će ukupan broj ljudi koji posjećuju sportsku dvoranu biti manji od broja ljudi koji su prošli u blizini eksperimentatora u prvom slučaju (u središtu grada na dovoljno ljudsko mjesto). Maksimalno je pomaknut udesno, budući da su atletski dvorane prisustvuju fizički jačim ljudima u usporedbi s općom pozadinom.

I na kraju, posjetite školu, vrtiće i domove s istim namjenom: identificirati ruke posjetitelja na ta mjesta. I opet će krivulja raspodjele imati sličan oblik, ali sada, očito, njegov lijevi kraj će biti strm, a desno je više zategnuto. I u drugom slučaju, maksimum (točka c) bit će manji od točke A (sl. 9.10).

Sl. 9.10.

Ovo je prekrasno vlasništvo normalne distribucije - za očuvanje oblika krivulje distribucije vjerojatnosti (sl. 8 - 10) primijećena je i opisana 1733. od strane MOVR-a, a zatim je istražena Gauss.

U znanstvenim istraživanjima, u tehnici, u masovnim fenomenima ili eksperimentima, kada je u pitanju opetovano ponavljaju slučajne vrijednosti u konstantnim uvjetima iskustva, kaže se da rezultati ispitivanja doživljavaju slučajno raspršenje podložne zakonu normalne krivulje raspodjele

(21)

Gdje je najčešći događaj. U pravilu, u formuli (21) umjesto parametra. Štoviše, duljina je eksperimentalna serija, a manje će se parametar razlikovati od matematičkog očekivanja. Područje ispod krivulje (sl. 9.11) je na jednoj jedinici. Područje koje zadovoljava interval Assisa osi je brojčano jednak vjerojatnosti nasumičnog rezultata u ovom intervalu.

Sl. 9.11.

Funkcija normalne distribucije ima oblik

(22)

Imajte na umu da je normalna krivulja (sl. 9.11) simetrična s obzirom na izravnu i asimptotički približavanje osi oh na.

Izračunajte matematičko očekivanje za normalan zakon

(23)

Svojstva normalne distribucije

Razmotrite osnovna svojstva ove najvažnije distribucije.

Imovina 1., Funkcija gustoće normalne distribucije (21) određivanja na cijeloj osi Apbsisa.

Imovina 2., Funkcija gustoće normalne distribucije (21) je veća od nule za bilo koju od područja definicija ().

Nekretnina 3., S beskonačnim povećanjem (smanjenje), funkcija distribucije (21) teži nuli .

Imovina 4., S navedenom funkcijom distribucije (21) ima najveću vrijednost jednaku

(24)

Imovina 5., Funkcijski grafikon (sl. 9.11) je simetričan o izravnom.

Imovina 6., Funkcijski grafikon (sl. 9.11) ima dvije točke infleksije simetrične relativno ravne:

(25)

Imovina 7., Svi neparni središnji trenuci su nula. Imajte na umu da korištenje imovine 7, asimetrija funkcije se određuje formulom. Ako se onda zaključuje da je studirana distribucija simetrično relativno ravna. Ako, kažu da je red pomaknut udesno (češći desna granica grafikona ili zategnuta). Ako se onda vjeruje da je red pomaknut ulijevo (češće lijevo grana grafičke slike 9.12).

Sl. 9.12.

Imovina 8., Višak distribucije je 3. Često se u praksi izračunava iu blizini te vrijednosti na nulu, određuje "kompresiju" ili "zamućenje" grafikona (sl. 9.13). A budući da je povezan s, tada, u konačnici karakterizira stupanj raspršenja frekvencije podataka. Kao i određuje