Kugla upisana u pravilnu trokutastu prizmu. Poliedri opisani oko kugle Poliedar se naziva opisan oko kugle ako ravnine svih njegovih strana dodiruju kuglu

Tema "Različiti zadaci za poliedre, cilindar, stožac i loptu" jedna je od najtežih u kolegiju geometrije 11. razreda. Prije rješavanja geometrijskih zadataka obično proučavaju relevantne dijelove teorije na koje se pozivaju pri rješavanju zadataka. U udžbeniku S. Atanasyan i dr. O ovoj temi (str. 138) mogu se pronaći samo definicije poliedra opisanog oko kugle, poliedra upisanog u kuglu, kugle upisane u poliedar i opisane kugle blizu poliedra. V smjernice ovom udžbeniku (vidi knjigu „Proučavanje geometrije u 10.-11. razredu” S.M.Sahakiana i V.F.Butuzova, str. 159) kaže se koje se kombinacije tijela razmatraju pri rješavanju zadataka br. 629-646, te se obraća pozornost na činjenica da je „prilikom rješavanja određenog problema, prije svega, potrebno osigurati da učenici imaju dobru predodžbu o međusobnom rasporedu tijela navedenih u uvjetu“. Slijedi rješenje problema br. 638 (a) i br. 640.

Uzimajući u obzir sve navedeno, te činjenicu da su učenicima najteži zadaci problemi spajanja lopte s drugim tijelima, potrebno je usustaviti odgovarajuće teorijske odredbe i priopćiti ih učenicima.

Definicije.

1. Kugla se naziva upisana u poliedar, a poliedar opisan oko lopte ako površina lopte dodiruje sve strane poliedra.

2. Kugla se naziva opisana oko poliedra, a poliedar se naziva upisanim u kuglu ako površina lopte prolazi kroz sve vrhove poliedra.

3. Kugla se naziva upisana u cilindar, krnji stožac (konus), a cilindar, krnji stožac (konus), opisuje se u blizini lopte ako površina lopte dodiruje osnovice (bazu) i sve generatrije cilindar, krnji stožac (konus).

(Iz ove definicije proizlazi da se veliki krug lopte može upisati u bilo koji aksijalni presjek ovih tijela).

4. Kugla se naziva opisana oko cilindra, krnji stožac (konus), ako temeljne kružnice (osnovni krug i vrh) pripadaju površini lopte.

(Iz ove definicije proizlazi da se oko bilo kojeg aksijalnog presjeka ovih tijela može opisati opseg veće kružnice lopte).

Opće napomene o položaju centra lopte.

1. Središte lopte upisane u poliedar leži u točki presjeka simetralnih ravnina svih diedralnih kutova poliedra. Nalazi se samo unutar poliedra.

2. Središte kugle opisane oko poliedra leži na presjeku ravnina okomitih na sve bridove poliedra i prolaze kroz njihove sredine. Može se nalaziti unutar, na površini i izvan poliedra.

Kombinacija lopte s prizmom.

1. Kugla upisana u ravnu prizmu.

Teorem 1. Kugla se može upisati u ravnu prizmu ako i samo ako se u bazu prizme može upisati kružnica, a visina prizme jednaka je promjeru te kružnice.

Posljedica 1. Središte kugle upisane u ravnu prizmu leži u sredini visine prizme koja prolazi središtem kružnice upisane u osnovicu.

Posljedica 2. Lopta se posebno može upisati u ravne linije: trokutaste, pravilne, četverokutne (u kojima su zbroji suprotnih strana baze jednaki), pod uvjetom da je H = 2r, gdje je H visina prizme , r je polumjer kružnice upisane u bazu.

2. Kugla opisana oko prizme.

Teorem 2. Lopta se može opisati u blizini prizme ako i samo ako je prizma ravna, a kružnica se može opisati u blizini njezine baze.

Posljedica 1... Središte kugle opisane o ravnoj prizmi leži u sredini visine prizme povučene kroz središte kružnice opisane oko baze.

Posljedica 2. Sfera se posebno može opisati: blizu ravne trokutaste prizme, blizu pravilne prizme, blizu pravokutnog paralelepipeda, blizu ravne četverokutne prizme, u kojoj je zbroj suprotnih kutova baze 180 stupnjeva.

Iz udžbenika L.S. Atanasyana o kombinaciji lopte s prizmom mogu se predložiti problemi br. 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b).

Kombinacija lopte s piramidom.

1. Lopta opisana oko piramide.

Teorem 3. Lopta se može opisati u blizini piramide ako i samo ako se krug može opisati u blizini njezine baze.

Posljedica 1. Središte kugle opisane oko piramide leži u točki presjeka pravca okomitog na bazu piramide koja prolazi središtem kružnice opisane oko ove baze i ravnine okomite na bilo koji bočni rub povučen kroz sredinu ove rub.

Posljedica 2. Ako su bočni rubovi piramide međusobno jednaki (ili jednako nagnuti prema ravnini baze), tada se oko takve piramide može opisati lopta.Središte ove kugle u ovom slučaju leži u točki presjeka visina piramide (ili njenog nastavka) s osi simetrije bočnog ruba koja leži u ravnini bočnog rebra i visine.

Posljedica 3. Kugla se posebno može opisati: blizu trokutaste piramide, blizu pravilne piramide, blizu četverokutne piramide, u kojoj je zbroj suprotnih kutova 180 stupnjeva.

2. Kugla upisana u piramidu.

Teorem 4. Ako su bočne strane piramide jednako nagnute prema bazi, tada se u takvu piramidu može upisati lopta.

Posljedica 1. Središte kugle upisane u piramidu, čije su bočne strane jednako nagnute prema osnovici, leži u presjeku visine piramide sa simetralom linearnog kuta bilo kojeg diedralnog kuta na bazi piramide, čija je stranica je visina bočne strane povučene od vrha piramide.

Posljedica 2. Kugla se može upisati u pravilnu piramidu.

Iz udžbenika L.S. Atanasyana o kombinaciji lopte s piramidom mogu se predložiti problemi br. 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641.

Kombinacija lopte sa krnjom piramidom.

1. Kugla opisana oko pravilne krnje piramide.

Teorem 5. Kugla se može opisati oko bilo koje pravilne krnje piramide. (Ovaj uvjet je dovoljan, ali nije neophodan)

2. Kugla upisana u pravilnu krnju piramidu.

Teorem 6. Kugla se može upisati u pravilnu krnju piramidu ako i samo ako je apotema piramide jednaka zbroju apotema baza.

Postoji samo jedan problem za kombinaciju lopte sa krnjom piramidom u udžbeniku L.S. Atanasyana (br. 636).

Kombinacija lopte s okruglim tijelima.

Teorem 7. Kugla se može opisati oko cilindra, krnjeg stošca (ravnog kružnog) ili stošca.

Teorem 8. Kugla se može upisati u cilindar (ravno kružno) ako i samo ako je cilindar jednakostraničan.

Teorem 9. Kugla se može upisati u bilo koji stožac (ravni kružni).

Teorem 10. Kugla se može upisati u krnji stožac (ravni kružni) ako i samo ako je njezin generator jednak zbroju polumjera baza.

Iz udžbenika L.S. Atanasyana mogu se predložiti zadaci br. 642, 643, 644, 645, 646 za kombinaciju lopte s okruglim tijelima.

Za uspješnije proučavanje gradiva o ovoj temi potrebno je u nastavu uključiti usmene zadatke:

1. Rub kocke jednak je a. Pronađite polumjere kuglica: upisane u kocku i opisane oko nje. (r = a / 2, R = a3).

2. Može li se opisati kugla (loptica) oko: a) kocke; b) pravokutni paralelepiped; c) nagnuti paralelepiped, u čijoj osnovi leži pravokutnik; G) desni paralelepiped; e) nagnuti paralelepiped? (a) da; b) da; c) ne; d) ne; e) ne)

3. Je li istina da se sfera može opisati oko bilo koje trokutaste piramide? (Da)

4. Je li moguće opisati kuglu oko bilo koje četverokutne piramide? (Ne, ne oko bilo koje četverokutne piramide)

5. Koja svojstva treba imati piramida da bi opisala kuglu oko sebe? (U njegovoj bazi trebao bi biti poligon, oko kojeg se može opisati krug)

6. U kuglu je upisana piramida čiji je bočni rub okomit na bazu. Kako mogu pronaći središte kugle? (Središte kugle je presjek dva geometrijska mjesta točke u prostoru. Prva je okomica povučena na ravninu baze piramide kroz središte kružnice opisane oko nje. Druga je ravnina okomita na ovaj bočni rub i povučena kroz njegovu sredinu)

7. Pod kojim uvjetima možete opisati kuglu oko prizme, u čijoj se osnovi nalazi trapez? (Prvo, prizma mora biti ravna, a drugo, trapez mora biti jednakokračan kako bi se oko njega mogao opisati krug)

8. Koje uvjete treba zadovoljiti prizma da bi se opisala kugla oko nje? (Prizma mora biti ravna, a njena osnova mora biti poligon, oko kojeg se može opisati krug)

9. U blizini trokutaste prizme opisana je kugla, čije središte leži izvan prizme. Koji je trokut baza prizme? (tupokutni trokut)

10. Možete li opisati kuglu oko nagnute prizme? (Ne)

11. Pod kojim uvjetom će se središte kugle opisane oko ravne trokutaste prizme nalaziti na jednoj od bočnih strana prizme? (U osnovi je pravokutni trokut)

12. Osnova piramide je jednakokraki trapez.Ortogonalna projekcija vrha piramide na ravninu baze je točka koja se nalazi izvan trapeza. Je li moguće opisati kuglu oko takvog trapeza? (Da, možete. Činjenica da se ortogonalna projekcija vrha piramide nalazi izvan njene baze nije bitna. Važno je da u podnožju piramide leži jednakokraki trapez- poligon oko kojeg se može opisati krug)

13. U blizini desne piramide opisana je kugla. Kako se njegovo središte nalazi u odnosu na elemente piramide? (Središte kugle je na okomici povučenoj na ravninu baze kroz njezino središte)

14. Pod kojim uvjetom leži središte kugle opisane oko ravne trokutaste prizme: a) unutar prizme; b) izvan prizme? (U podnožju prizme: a) trokut sa oštrim kutom; b) tupokutni trokut)

15. Oko pravokutnog paralelepipeda opisana je kugla čiji su bridovi jednaki 1 dm, 2 dm i 2 dm. Izračunajte polumjer kugle. (1,5 dm)

16. U koji se krnji stožac može upisati kugla? (U krnji stožac, u čiji se aksijalni presjek može upisati kružnica. Aksijalni presjek stošca je jednakokraki trapez, zbroj njegovih baza treba biti jednak zbroju njegovih bočnih strana. Drugim riječima, zbroj polumjera baza stošca trebao bi biti jednak generatrisi)

17. Kugla je upisana u krnji stožac. Pod kojim je kutom generatriksa stošca vidljiva iz središta kugle? (90 stupnjeva)

18. Koje svojstvo treba imati ravna prizma da se u nju može upisati kugla? (Prvo, u podnožju ravne prizme treba biti mnogokut u koji se može upisati krug, a drugo, visina prizme treba biti jednaka promjeru kružnice upisane u osnovicu)

19. Navedite primjer piramide u koju se ne može upisati kugla? (Na primjer, četverokutna piramida s pravokutnikom ili paralelogramom u osnovi)

20. U osnovi ravne prizme leži romb. Može li se kugla upisati u ovu prizmu? (Ne, ne možete, jer u općem slučaju ne možete opisati kružnicu oko romba)

21. Pod kojim se uvjetom kugla može upisati u ravnu trokutastu prizmu? (Ako je visina prizme dvostruko veća od polumjera kružnice upisane u bazu)

22. Pod kojim uvjetom se kugla može upisati u pravilnu četverokutnu krnju piramidu? (Ako je presjek date piramide ravninom koja prolazi sredinom stranice baze okomito na nju jednakokraki trapez u koji se može upisati kružnica)

23. U trokutastu krnju piramidu upisana je kugla. Koja je točka piramide središte kugle? (Središte sfere upisane u ovu piramidu nalazi se na presjeku tri bisektralne ravnine kutova koje formiraju bočne strane piramide s bazom)

24. Je li moguće opisati kuglu oko valjka (desna kružna)? (Da, možeš)

25. Je li moguće opisati kuglu o stošcu, krnjem stošcu (ravno kružno)? (Da, možete, u oba slučaja)

26. Može li se kugla upisati u bilo koji cilindar? Koja svojstva treba imati cilindar da bi se u njega upisala kugla? (Ne, ne svaki: aksijalni presjek cilindra mora biti kvadratan)

27. Može li se kugla upisati u svaki stožac? Kako odrediti položaj središta kugle upisane u stožac? (Da, bilo kojem. Središte upisane kugle nalazi se na presjeku visine stošca i simetrale kuta nagiba generatrise na ravninu baze)

Autor smatra da bi od tri lekcije planiranja na temu “Različiti zadaci za poliedre, cilindar, stožac i kuglu” dvije trebale biti posvećene rješavanju zadataka koji uključuju kombinaciju lopte s drugim tijelima. Ne preporuča se dokazivanje gore navedenih teorema zbog nedovoljne količine vremena u nastavi. Možete pozvati studente koji posjeduju dovoljno vještina da ih dokažu tako što ćete navesti (prema nahođenju nastavnika) tijek ili plan dokazivanja.

"Sfera politike" - Odnos društvenih subjekata o državna vlast... Znanstveno-teorijski. Proces interakcije politike s gospodarstvom. Zajedno s državom. Uređenje odnosa s javnošću uvjetovano je društvenim interesima. Proces interakcije politike s moralom. Snaga države, uvjeravanje, stimulacija.

"Geometrija prizme" - Zadana je ravna četverokutna prizma ABCDA1B1C1D1. Euklid je vjerojatno mislio da je u pitanju praktični vodiči na geometriji. Ravna prizma - prizma s bočnim rubom okomitim na bazu. Prizma u geometriji. Po svojstvu 2 volumena, V = V1 + V2, odnosno V = SABD h + SBDC h = (SABD + SBDC) h. Dakle, trokuti A1B1C1 i ABC jednaki su na tri strane.

"Volum prizme" - Kako pronaći volumen ravne prizme? Volumen izvorne prizme jednak je umnošku S · h. Koji su glavni koraci u dokazivanju teorema o izravnoj prizmi? Površina baze S izvorne prizme. Crtanje visine trokuta ABC. Zadatak. Ravna prizma. Ciljevi lekcije. Koncept prizme. Volumen ravne prizme. Rješenje problema. Prizma se može podijeliti na ravne trokutaste prizme visine h.

"Površina sfere" - Mars. Je li lopta lopta? Lopta i kugla. Zemlja. Enciklopedija. Navijamo za naš srednjoškolski bejzbol tim. Venera. Uran. Ima li na slici lopta? Malo povijesti. Atmosfera. Odlučio sam malo istražiti……. Saturn. Jeste li spremni odgovoriti na pitanja?

Poliedri opisani oko kugle Poliedar se naziva opisanim oko kugle ako ravnine svih njegovih strana dodiruju kuglu. Sama kugla naziva se upisana u poliedar. Teorema. Kugla se može upisati u prizmu ako i samo ako se u njenu bazu može upisati kružnica, a visina prizme jednaka je promjeru te kružnice. Teorema. U bilo koju trokutastu piramidu možete upisati kuglu, i štoviše, samo jednu.

Vježba 1. Izbrišite kvadrat i nacrtajte dva paralelograma koji predstavljaju gornju i donju stranu kocke. Spojite njihove vrhove segmentima. Dobijte sliku sfere upisane u kocku. Nacrtajte kuglu upisanu u kocku kao na prethodnom slajdu. Da biste to učinili, nacrtajte elipsu upisanu u paralelogram dobiven kompresijom kruga i kvadrata 4 puta. Označite polove kugle i dodirne točke elipse i paralelograma.

Vježba 1 Kugla je upisana u pravu liniju četverokutna prizma, u čijoj bazi je romb sa stranicom 1 i oštrim kutom od 60 o. Odrediti polumjer kugle i visinu prizme. Riješenje. Polumjer kugle jednak je polovici visine DG baze, t.j. Visina prizme jednaka je promjeru kugle, t.j.

Vježba 4. Kugla je upisana u ravnu četverokutnu prizmu, u čijoj se osnovi nalazi četverokut, opseg 4 i površina 2. Nađite polumjer r upisane kugle. Riješenje. Imajte na umu da je polumjer kugle jednak polumjeru kružnice upisane u bazu prizme. Koristimo se činjenicom da je polumjer kružnice upisane u poligon jednak površini ovog poligona podijeljenom s njegovom polovicom perimetra. dobivamo

Vježba 3 Nađite polumjer kugle upisane u pravilnu trokutastu piramidu čija je stranica baze 2, a kutovi diedra u bazi 60°. Riješenje. Poslužimo se činjenicom da je središte upisane kugle točka presjeka bisektralnih ravnina diedralnih kutova u bazi piramide. Za polumjer kugle OE vrijedi jednakost. Prema tome,

Vježba 4 Nađite polumjer kugle upisane u pravilnu trokutastu piramidu, čiji su bočni bridovi jednaki 1, a ravni kutovi na vrhu su 90°. Odgovor: Odluka. U SABC tetraedru imamo: SD = DE = SE = Iz sličnosti trokuta SOF i SDE dobivamo jednadžbu rješavanjem koje, nalazimo

Vježba 1 Nađite polumjer kugle upisane u pravilnu četverokutnu piramidu čiji su svi bridovi jednaki 1. Poslužimo se činjenicom da za polumjer r kružnice upisane u trokut vrijedi sljedeća formula: r = S / p, gdje je S površina, p je poluperimetar trokuta ... U našem slučaju, S = p = Rješenje. Polumjer kugle jednak je polumjeru kružnice upisane u trokut SEF, u kojem je SE = SF = EF = 1, SG = Dakle,

Vježba 2 Nađite polumjer kugle upisane u pravilnu četverokutnu piramidu čija je osnovna stranica 1, a bočni rub 2. Koristimo se činjenicom da je za polumjer r kružnice upisane u trokut sljedeća formula odvija se: r = S / p, gdje je S - površina, p je poluperimetar trokuta. U našem slučaju, S = p = Rješenje. Polumjer kugle jednak je polumjeru kružnice upisane u trokut SEF, u kojem je SE = SF = EF = 1, SG = Dakle,

Vježba 3 Nađite polumjer kugle upisane u pravilnu četverokutnu piramidu, čija je stranica osnove 2, a kutovi diedra u bazi su 60°. Riješenje. Poslužimo se činjenicom da je središte upisane kugle točka presjeka bisektralnih ravnina diedralnih kutova u bazi piramide. Za polumjer kugle OG vrijedi jednakost. Prema tome,

Vježba 4 Jedinična sfera upisana je u pravilnu četverokutnu piramidu čija je osnovna stranica 4. Nađite visinu piramide. Koristit ćemo se činjenicom da za polumjer r kružnice upisane u trokut vrijedi sljedeća formula: r = S / p, gdje je S površina, p je poluperimetar trokuta. U našem slučaju S = 2h, p = Rješenje. Označimo visinu SG piramide sa h. Polumjer kugle jednak je polumjeru kružnice upisane u trokut SEF, u kojem je SE = SF = EF = 4. Dakle, imamo jednakost iz koje nalazimo

Vježba 1 Nađite polumjer kugle upisane u pravilnu šesterokutnu piramidu čiji su osnovni bridovi jednaki 1 i bočni bridovi jednaki 2. Iskoristimo činjenicu da za polumjer r kružnice upisane u trokut vrijedi sljedeća formula: r = S / p, gdje je S površina, p je poluperimetar trokuta. U našem slučaju S = p = Dakle, Rješenje. Polumjer kugle jednak je polumjeru kružnice upisane u trokut SPQ, u kojem je SP = SQ = PQ = SH =

Vježba 2 Nađite polumjer kugle upisane u pravilnu šesterokutnu piramidu čiji su bridovi osnovice jednaki 1 i diedralni kutovi u bazi jednaki 60 stupnjeva. Riješenje. Poslužimo se činjenicom da je središte upisane kugle točka presjeka bisektralnih ravnina diedralnih kutova u bazi piramide. Za polumjer kugle OH vrijedi jednakost. Posljedično,
Vježba Nađite polumjer kugle upisane u jedinični oktaedar. Odgovor: Odluka. Polumjer kugle jednak je polumjeru kružnice upisane u SESF romb, u kojem je SE = SF = EF = 1, SO = Tada će visina romba, spuštena s vrha E, biti jednaka Traženoj polumjer je jednak polovini visine, a jednak je O

Vježba Pronađite polumjer kugle upisane u jedinični ikosaedar. Riješenje. Koristimo se činjenicom da je polumjer OA opisane kugle jednak polumjeru AQ kružnice opisane oko jednakostraničan trokut sa stranom 1 jednaka Po Pitagorinom teoremu primijenjenom na pravokutni trokut OAQ, nabavi Vježba Nađi polumjer kugle upisane u jedinični dodekaedar. Riješenje. Koristit ćemo se činjenicom da je polumjer opisane kugle jednak polumjeru FQ kružnice opisane oko jednakostranični peterokut sa stranicom 1 jednaka Pitagorinim teoremom primijenjenim na pravokutni trokut OFQ dobivamo

Vježba 1. Možete li upisati sferu u krnji tetraedar? Riješenje. Imajte na umu da se središte sfere upisane u skraćeni tetraedar mora podudarati sa središtem sfere upisane u tetraedar, što se poklapa sa središtem kugle napola upisane u skraćeni tetraedar. Udaljenosti d 1, d 2 od točke O do šesterokutne i trokutaste strane izračunate su Pitagorinim teoremom: gdje je R polumjer poluupisane kugle, r 1, r 2 polumjeri kružnica upisanih u šesterokut, odnosno trokut. Budući da je r 1> r 2, zatim d 1 r 2, pa d 1