U nekom trenutku i ima kontinuirane privatne derivate u njoj, barem jedan od kojih se ne odnosi na nulu, a zatim u blizini ove točke, površina određena jednadžbom (1) će desna površina.

Osim gore navedenog implicitna način za zadatak Može se odrediti površina očigledanAko je jedna od varijabli, na primjer Z, može se izraziti u ostatku:

Također postoji parametarski Način dodjele. U tom slučaju, površina se određuje sustavom jednadžbi:

Koncept jednostavne površine

Točnije, jednostavna površina Poziva se slika homeomorfnog mapiranja (to jest, međusobno nedvosmislen i uzajamno kontinuirani prikaz) unutar jednog kvadrata. Ova definicija može se dati analitički izraz.

Pretpostavimo da je u ravnini s pravokutnim koordinatnim sustavom u i V, kvadrat je postavljen, koordinate unutarnjih točaka koje zadovoljavaju nejednakosti 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Primjer jednostavna površina je pola asfera. Cijela sfera nije jednostavna površina, To uzrokuje potrebu daljnje generalizirati koncept površine.

Podskup prostora, od kojih svaka točka ima susjedstvo, što jest jednostavna površina, nazvan desna površina .

Površina u diferencijalnoj geometriji

Helikoidni.

Kattenoid

Metric ne definira jedinstveni oblik površine. Na primjer, metriku helicida i oteida, parametrizira se u skladu s tim, podudara, to jest, između njihovih regija postoji korespondencija koja održava sve duljine (izometrija). Nekretnine koje se ustraju u izometrijskim transformacijama nazivaju se unutarnja geometrija Površine. Unutarnja geometrija ne ovisi o položaju površine u prostoru i ne mijenja se kada je savijena bez istezanja i komprimiranja (na primjer, kada je cilindar sagnuo u konus).

Metrički koeficijenti definiraju ne samo duljinu svih krivulja, već općenito, rezultate svih mjerenja unutar površine (kutovi, područje, zakrivljenost itd.). Stoga sve što ovisi samo o metriku odnosi se na unutarnju geometriju.

Normalni i normalni dio

Normalni vektori na površinskim točkama

Jedna od glavnih karakteristika površine je njegova normalan - jedan vektor, okomita tangentna ravnina na određenoj točki:

.

Normalni znak ovisi o izboru koordinata.

Površinski presjek ravnine koji sadrži normalan (u ovom trenutku) oblikuje neku krivulju na površini, koja se zove normalni presjek Površine. Glavni standard za normalni poprečni presjek podudara se s normalnim površinama (s točnom točnosti znaka).

Ako krivulja na površini nije normalni poprečni presjek, njegov glavni normalan čini određeni kut θ s normalnom površinom. Zatim crivale k. Krivulja se odnosi na zakrivljenost k. n. Normalni dio (s istim tangenta) Formula:

Koordinate ort normalnog za različite načine za zadatak površine prikazane su u tablici:

	Koordinate normalne na površini
implicitna zadaća
eksplicitan zadatak
parametarski zadatak

Zakrivljenost

Za različite smjerove u određenoj površini, dobiva se drugačija zakrivljenost normalnog poprečnog presjeka, koja se zove normalna zakrivljenost; Primetuje se na znak plus, ako glavna normalna normalna krivulja ide u istom smjeru kao i normalna na površinu ili minus, ako su smjerovi suprotan.

Općenito govoreći, na svakoj točki površine postoje dva okomita smjera. e. 1 I. e. 2, u kojoj normalna zakrivljenost uzima minimalnu i maksimalnu vrijednost; Ti se upute nazivaju glavni, Iznimka je slučaj kada je normalna zakrivljenost u svim smjerovima istog (na primjer, u sferi ili na kraju elipsoida rotacije), zatim su svi smjerovi na mjestu glavni.

Površine s negativnim (lijevo), nula (središte) i pozitivno (desno) zakrivljenost.

Zove se normalne zakrivljenosti u glavnim smjerovima glavni curvatori; Označavaju ih κ 1 i κ 2. Vrijednost:

K. \u003d κ 1 κ 2

nazvan gaussova zakrivljenost, puna zakrivljenost ili jednostavno zakrivljenost Površine. Pojam se također nalazi skalarna zakrivljenostšto podrazumijeva rezultat zakrivljenosti tenzora; U isto vrijeme, skakara zakrivljenosti je dvostruko više od Gaussove zakrivljenosti.

Gaussov zakrivljenost može se izračunati kroz metriku, te je stoga predmet unutarnje geometrije površina (napominjemo da se glavne zakrivljenosti unutarnje geometrije ne odnose). Pod znakom zakrivljenosti možete klasificirati površine (vidi sliku). Zakrivljenost ravnine je nula. Zakrivljenost radijusa R radijusa je posvuda. Tu je i površina stalne negativne zakrivljenosti - pseudosfera.

Geodetične linije, geodetna zakrivljenost

Krivulja na površini se zove geodenska linijaili jednostavno geodetskiAko u svim svojim točkama glavna normalna normalna na krivulju se podudara s normalnim na površinu. Primjer: Na ravnini Geodetic će biti ravan i segmenti ravnih linija, na sferu - velikim krugovima i njihovim segmentima.

Ekvivalentna definicija: Geodetski liniju ima projekciju glavnog normalnog na dodirnoj ravnini postoji nult vektor. Ako krivulja nije geodetski, tada je navedena projekcija ne-nula; Njegova se dužina zove geodetski zakrivljenost k. g. krivulju na površini. Omjer je:

,

gdje k. - Zakrivljenost ove krivulje, k. n. - zakrivljenost normalnog poprečnog presjeka s istom tangenta.

Geodetičke linije odnose se na unutarnju geometriju. Navedite njihova glavna svojstva.

• Kroz ovu površinu površine, jedan i jedini geodetski prolazi u određenom smjeru.
• Na dovoljno mali dio površine, dvije točke se uvijek mogu kombinirati s geodetskim, a sa samo jednim. Objašnjenje: Na sferi, suprotni polovi povezuju beskonačne količine meridijana, a dvije zatvorene točke mogu se kombinirati ne samo po segmentu velikog kruga, nego i njegov dodatak potpunom krugu, tako da se nejakvabitelj promatra samo u malom ,
• Geodetica je uskoro. Strogo: na malom komadu površine, najkraći put između unaprijed određenih točaka je geodetska.

Područje

Još jedan važan atribut površine je njezin područje koji se izračunava formulom:

Naime, o onome što vidite u naslovu. U suštini, ovo je "prostorni analog" ciljevi pronalaženja tangenta i normalan Na grafikon funkcije jedne varijable i stoga ne bi trebalo biti poteškoća.

Počnimo s osnovnim pitanjima: što je tangentna ravnina i što je normalno? Mnogi su svjesni tih koncepata na razini intuicije. Najjednostavniji model koji dolazi na pamet je lopta na kojoj laži tanak ravan karton. Karton se nalazi što je moguće bliže sferi i zabrinuto je u jednoj točki. Osim toga, na dodirnu točku, to je strogo fiksiran igla.

U teoriji postoji prilično duhovito određivanje tangentne ravnine. Zamislite besplatno površinski I točku koja pripada tome. Očito, mnogo točaka prolazi kroz točku prostorne linijekoji pripada ovoj površini. Tko ima sve udruge? \u003d) ... osobno, predstavio sam hobotnicu. Pretpostavimo da svaka takva linija postoji prostorna tangenta U točki.

Definicija 1.: tangenta na površinu na mjestu je avionkoji sadrže tangente za sve krivulje koje pripadaju ovoj površini i prolaze kroz točku.

Definicija 2.: normalan na površinu na mjestu je ravno, prolazi kroz ovu točku okomito na tangentni avion.

Jednostavno i elegantno. Usput, tako da ne umreš od dosade iz jednostavnosti materijala, malo kasnije, podijelit ću s tobom jednu elegantnu tajnu koja vam omogućuje da zaboravite na bunning raznih definicija zauvijek.

S radnim formulama i algoritamom rješenja će se upoznati izravno na određeni primjer. U ogromnoj većini zadataka potrebno je i jednadžba tangentne ravnine i normalne jednadžbe:

Primjer 1.

Odluka: Ako je površina postavljena po jednadžbi (tj. implicitno), Jednadžba tangentne ravnine na tu površinu na mjestu može se naći u skladu s sljedećom formulom:

Obraćajući posebnu pozornost neobičnim privatnim derivatama - njihovom nemojte biti zbunjeni iz djelomični derivati \u200b\u200bimplicitno specificirane funkcije (Iako je površina definirana), Ako nađete ove derivate, morate biti vođeni pravila diferencijacije funkcije triju varijabli, to jest, kada se razlikuju bilo koja varijabla, dva druga slova se smatraju konstantima:

Bez odlaska iz blagajni, pronađite privatni derivat u točki:

Slično tome:

Bio je to najneugodniji trenutak rješenja u kojem je pogreška ako nije dopuštena, stalno se činilo. Međutim, postoji učinkovit primitak čega, o čemu sam razgovarao u razredu Derivat gradijenta.

Pronađeni su svi "sastojci" i sada je to uredna supstitucija s daljnjim pojednostavljivima:

– opća jednadžba Željenu tangentnu ravninu.

Preporučujem provjeru ove faze rješenja. Prvo morate biti sigurni da koordinate dodirne točke stvarno zadovoljavaju pronađenu jednadžbu:

- Vjerna jednakost.

Sada "uklonite" koeficijente opće jednadžbe ravnine i provjerite ih za slučajnost ili proporcionalnost s odgovarajućim vrijednostima. U ovom slučaju su proporcionalni. Kako se sjećaš tijek analitičke geometrije, - ovo je normalno tangenta ravnina i to je - vektorski vodič Normalno ravno. Šminka kanonska jednadžbe Normalno u točki i vektor vodiča:

U načelu, denominatori se mogu svesti na "dva", ali ne postoji posebna potreba za to

Odgovor:

Jednadžbe se ne odmaraju za određivanje nekih slova, međutim, opet - zašto? Ovdje i tako iznimno jasno što je ono što.

Sljedeća dva primjera za neovisno rješenje. Mali "matematički patnje":

Primjer 2.

Pronađite jednadžbe tangentne ravnine i normalne na površinu u točki.

I zadatak, zanimljiv s tehničkog stajališta:

Primjer 3.

Napraviti jednadžbe tangentne ravnine i normalno na površinu u točki

U točki.

Postoje sve šanse ne samo da se zbunite, već i suočavaju s poteškoćama u pisanom obliku. kanonska jednadžbe su izravna, A jednadžbe su normalne, kao što ste vjerojatno razumjeli, uobičajeno je snimiti u ovom obliku. Iako, zbog zaborava ili neznanja nekih nijansi više od prihvatljivog i parametarskog oblika.

Primjeri uzoraka donošenja odluka na kraju lekcije.

Postoji li tangentalna ravnina na bilo kojoj površini? Općenito, naravno, ne. Klasični primjer je konusna površina A točka - tangente u ovom trenutku izravno tvore konusnu površinu, i, naravno, ne leže u istoj ravnini. U bilo čemu je lako osigurati i analitički :.

Još jedan izvor problema je činjenica ne postojanje bilo koji određeni derivat u točki. Međutim, to ne znači da u ovom trenutku ne postoji pojedinačna tangentna ravnina.

Ali to je bio vrlo popularno od praktično značajnih informacija, a mi se vraćamo u hitne stvari:

Kako napraviti jednadžbe tangentne ravnine i normalno u točki,
ako je površina određena iz eksplicitne funkcije?

Prepisati ga u implicitnom obliku:

I na istim principima pronalaze privatne derivate:

Prema tome, formula tangentne ravnine se transformira u sljedeću jednadžbu:

I, prema tome, kanonska jednadžbe su normalne:

Kako pogoditi, - Ovo je već "stvarno" privatni derivati \u200b\u200bdvije varijable U trenutku kada smo identificirali slovo "zet" i pronašli 100.500 puta.

Imajte na umu da je ovaj članak dovoljan za pamćenje prve formule iz koje ako je potrebno, lako je ukloniti sve ostalo. (Jasno, posjedovanje osnovne razine pripreme), Ovaj pristup treba koristiti tijekom proučavanja točnih znanosti, tj. Od minimalnih informacija potrebno je nastojati "izvući" maksimum zaključaka i posljedica. "Postizanje" i već postojeće znanje za pomoć! Ovaj princip je također koristan u činjenici da će s velikom vjerojatnošću uštedjeti u kritičnoj situaciji kada znate vrlo malo.

Mi ćemo raditi "modificirane" formule za par primjera:

Primjer 4.

Napravite jednadžbe tangentne ravnine i normalno na površinu U točki.

Opis se ovdje pokazala s oznakom - sada pismo označava točku ravnine, ali što učiniti je tako popularno pismo ....

Odluka: Jednadžba željene tangentne ravnine bit će u skladu s formulom:

Izračunajte vrijednost funkcije u točki:

Izračunati privatni derivati \u200b\u200bprvog reda U ovom trenutku:

Na ovaj način:

Pažljivo, ne u žurbi:

Pišemo kanonske jednadžbe normalne u točki:

Odgovor:

I konačni primjer za neovisno rješenje:

Primjer 5.

Napravite jednadžbe tangentne ravnine i normalne na površinu u točki.

Final - jer sam zapravo objasnio sve tehničke trenutke i ne postoji ništa za dodavanje. Čak i funkcije predložene u ovom zadatku, tuge i monotono - gotovo zajamčeno u praksi ćete dobiti "polinom", iu tom smislu, primjer br. 2 s eksponentom izgleda kao "bijeli voron". Usput, to je vjerojatno da će zadovoljiti površinu određenu jednadžbom i to je još jedan razlog zašto je funkcija ušla u članak na "drugi broj".

I konačno, obećana tajna: kako izbjeći grozdove definicija? (Svakako ne mislim na situaciju kada je student grozničavo obrijan ispred ispita)

Definicija bilo kojeg koncepta / fenomena / objekta, prije svega, daje odgovor na sljedeće pitanje: što je to? (tko / takav / takav /). Svjesno Odgovaranje na ovo pitanje, morate pokušati razmišljati značajanznakovi definitivan Identificiranje ovog ili tog koncepta / fenomena / objekta. Da, isprva se pokaže pomalo koso, netočno i pretjerano (učitelj će ispraviti \u003d)), ali s vremenom se razvija potpuno pristojan znanstveni govor.

Ponovite na najneobičnijim objektima, na primjer, odgovorite na pitanje: Tko je takva Cheburashka? Ne tako, sve je jednostavno ;-) Ovo je nevjerojatan lik s velikim ušima, očima i smeđom vunom "? Daleko i daleko od definicije - postoji nekoliko znakova s \u200b\u200btakvim karakteristikama .... Ali već je mnogo bliže definiciji: "Cheburashka je lik koji je izmislio pisac Edward Asspensky 1966. godine, koji ... (Prijenos glavnih prepoznatljivih značajki)", Obratite pažnju na to koliko je kompetentan

Neka imamo površinu određenu jednadžbom tipa

Predstavljamo sljedeću definiciju.

Definicija 1. Ravna crta se naziva tangenta na površinu u nekom trenutku ako jest

tangent na bilo koju krivulju koja leži na površini i prolazi kroz točku.

Budući da kroz točku p prolazi beskonačan broj različitih krivulja koji leže na površini, a tangente na površinu koja prolazi kroz ovu točku će, općenito govoreći, beskonačni set.

Uvodimo koncept posebnih i običnih površinskih točaka

Ako je u točki sva tri derivata nula ili barem jedan od ovih derivata ne postoji, tada se točka m naziva posebna točka površine. Ako na mjestu postoje sva tri derivati \u200b\u200bi kontinuirano, a najmanje jedan od njih se razlikuje od nule, tada se točka m naziva uobičajena površinska točka.

Sada možemo formulirati sljedeći teorem.

Teorema. Sve tangentne linije na tu površinu (1) u svojoj uobičajenoj točki p laž u istoj ravnini.

Dokaz. Razmotrite određenu liniju L (sl. 206), prolazi kroz ovu točku površine. Neka se krivulja razmatra postavljena parametarskim jednadžbama

Tangenta na krivulju bit će tangenta na površinu. Jednadžbe ove tangente

Ako se izrazi (2) zamjenjuju u jednadžbi (1), ova jednadžba će se pretvoriti u identitet u odnosu na t, jer krivulja (2) leži na površini (1). Razlikovati ga primanjem

Projekcije ovog vektora ovise o koordinatama točke p; Imajte na umu da je od točke R je uobičajeno, onda se ove projekcije na točki p istodobno ne okreću na nulu i stoga

tangent na krivulju koja prolazi kroz točku p i leži na površini. Projekcije ovog vektora izračunavaju se na temelju jednadžbi (2) s vrijednošću parametara T odgovara točki R.

Mi izračunavamo skalarni proizvod vektora n i koji je jednak količini radova istih imena:

Na temelju jednakosti (3), izraz koji stoji u desnom dijelu je nula, stoga,

Iz posljednje jednakosti slijedi da je LG vektor i tangentni vektor na krivulju (2) na točki p okomito. Argument vrijedi za bilo koju krivulju (2) koja prolazi kroz p i leži na površini. Prema tome, svaka tangenta na površini na točki p je okomita na isti vektor N i stoga sve te tangente leže u istoj ravnini okomito na LG vektor. Teorem se dokazuje.

Definicija 2. Ravni avion u kojoj su sve tangentne izravne linije na površinama koje prolaze kroz ovu točku p nazivaju tangentna ravnina na površinu na točki p (sl. 207).

Imajte na umu da u različitim točkama površine možda ne postoji tangentna ravnina. U takvim točkama, tangenta izravno na površinu ne može ležati u istoj ravnini. Na primjer, vrt konusne površine je posebna točka.

Tangente na konusnu površinu u ovom trenutku ne leže u istoj ravnini (sami stvaraju konusnu površinu).

Napišite jednadžbu tangentne ravnine na površinu (1) u uobičajenoj točki. Budući da je ovaj avion okomit na vektor (4), dakle, njegova jednadžba ima oblik

Ako je jednadžba površine navedena u obliku ili jednadžbi tangentne ravnine u ovom slučaju će se oblikovati

Komentar. Ako stavimo formulu (6), tada će ova formula preuzeti oblik

desni dio je potpuna diferencijalna funkcija. Stoga, . Dakle, puna diferencijalna funkcija dviju varijabli u točki koja odgovara koracima neovisnih varijabli X i Y jednaka je odgovarajućem povećanju priraštavanja tangentne ravnine na površinu, što je graf ove funkcije.

O naslovu 3. Izravno, provedeno kroz točku površine (1) okomito na tangentnu ravninu, naziva se normalno na površinu (sl. 207).

Napisat ćemo normalne jednadžbe. Budući da se njezin smjer podudara s smjerom vektora n, njegove jednadžbe će biti

Jednadžba normalne ravnine

1.

4.

Tangentna ravnina i normalna površina

Neka se neka površina daju, A je fiksna površinska točka i B - varijabilna površinska točka,

(Sl. 1).

Neezer vektor

→

n.

nazvan normalan vektor na površinu na mjestu A, ako

Lim B → a. j \u003d. π 2 .

Površinska točka f (x, y, z) \u003d 0 se naziva uobičajeno, ako u ovom trenutku

1. privatni derivati \u200b\u200bF "X, F" Y, F "Z su kontinuirani;
2. (F "X) 2 + (F" Y) 2 + (F "Z) 2 ≠ 0.

U slučaju kršenja barem jednog od ovih uvjeta, nazvana je površinska točka posebna točka površine .

Teorem 1.Ako m (x 0, y 0, z 0) - obična površinska točka f (x, y, z) \u003d 0, zatim vektor

→ n. \u003d grad f (x 0, y 0, z 0) \u003d f "X (x 0, y 0, z 0) → i. + F "y (x 0, y 0, z 0) → j. + F "Z (x 0, y 0, z 0) → k.

(1)

normalno je na tu površinu u točki m (x 0, y 0, z 0).

Dokazvodio u knjizi I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.i. Prokhorenko, V.F. Tečaj više matematike: integralni račun. Funkcije nekoliko varijabli. Diferencijalne jednadžbe. M.: Izdavačka kuća MEI, 2002 (str. 128).

Normalno na površinu U nekom trenutku, izravan, čiji je vodič koji je normalan na površinu u ovom trenutku i koji prolazi kroz ovu točku.

Kanonski jednadžbe normalne može biti predstavljen kao

X - x 0 F "X (x 0, y 0, z 0) = Y - y 0 F "Y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "Z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Tangenta Na površinu u nekom trenutku je ravnina koja prolazi kroz ovu točku okomitu na normalnu površinu na površinu u ovom trenutku.

Iz ove definicije slijedi to jednadžba tangentne ravnine Ima obrazac:

(3)

Ako je površina posebna, tada u ovom trenutku normalna na površinski vektor ne može postojati, i stoga površina možda nema normalnu i tangentnu ravninu.

Geometrijsko značenje pune diferencijalne funkcije dviju varijabli

Neka funkcija z \u003d f (x, y) razlikuju na točki a (x 0, y 0). Njegov raspored je površina

f (x, y) - z \u003d 0.

Stavite z 0 \u003d f (x 0, y 0). Zatim point a (x 0, y 0, z 0) pripada površini.

Privatni derivativi f (x, y, z) \u003d f (x, y) - Z biti

F "X \u003d F" X, F "Y \u003d F" Y, F "Z \u003d - 1

i na točki a (x 0, y 0, z 0)

1. oni su kontinuirani;
2. F "2 X + F" 2 Y + F "2 Z \u003d F" 2 x + F "2 Y + 1 ≠ 0.

Prema tome, A je obična površinska točka f (X, y, z) i na ovom trenutku postoji tangenta ravnina na površinu. Prema (3), jednadžba tangentne ravnine je:

f "X (X 0, Y 0) (X - X 0) + F" Y (X 0, Y 0) (Y - Y 0) - (Z - Z 0) \u003d 0.

Vertikalno pomicanje točaka na tangenskoj ravnini prilikom prebacivanja s točke A (X 0, Y 0) u proizvoljnu točku P (X, Y) je B Q (Sl. 2). Primijenjeni primijenitelj aplikacija

(Z - Z 0) \u003d F "X (X 0, Y 0) (X - X 0) + F" Y (X 0, Y 0) (Y - Y 0)

Ovdje u pravom dijelu postoji diferencijal d. z funkcije z \u003d f (x, y) u točki A (x 0, x 0). Stoga,
d. f (x 0, y 0). Postoji prirast primjena točke ravnine tangenta na grafikon funkcije F (X, Y) u točki (x 0, y 0, z 0 \u003d f (x 0, y 0)).

Od određivanja diferencijala slijedi da je udaljenost između točke P na funkcijskom grafikonu i točki Q na tangentnoj ravnini postoji beskrajno mali poredak od udaljenosti od točke P do točke a.

1 °

1 °. Jednadžbe tangentne ravnine i normalne za slučaj eksplicitnog površinskog zadatka.

Razmotrite jednu od geometrijskih primjena privatnih derivata funkcija dvije varijable. Neka funkcija z = f (x;y) Diferencijal u točki (x 0; y 0) Neke regije D.Î R 2., Secirati površinu S,funkcija slike z, Ravnine x \u003d x 0 i y \u003d y 0 (Sl. 11).

Avion h. = x 0 Prelazak površine S. Za neku liniju z 0 (y) Jednadžba čija se dobiva zamjenom izražavanja izvorne funkcije z \u003d.=f (x;y) umjesto toga h. brojevi x 0. Točka M 0 (x 0;y 0f (x 0;y 0)))pripadaju krivoju z 0 (y). Na temelju diferencijalne funkcije z U točki M 0 funkcija z 0 (y) također se razlikuje u točki y \u003d y 0. Prema tome, u ovom trenutku u ravnini x \u003d x 0 Za krivulje z 0 (y) možda tangent l 1.

Provođenje sličnih argumenata za presjek w. = 0, Gradimo tangenta l 2. Za krivulje z 0 (x) U točki h. = x 0 - Ravno 1 1 i 1 2 odrediti avion pod nazivom tangenta Na površinu S. U točki M 0.

Napraviti svoju jednadžbu. Kao što avion prolazi kroz točku Mo (x 0;y 0;z 0), Tada se njegova jednadžba može zabilježiti u obliku

A (X - HO) + u (Y - UH) + C (Z - ZO) \u003d 0,

koji se mogu prepisati:

z -z 0 \u003d A 1 (X - X 0) + B 1 (Y - Y 0) (1)

(razdvajanje jednadžbe i označava ).

Pronaći A 1. i b 1.

Jednadžbe tangente 1 1 i 1 2 biti ljubazan

odnosno.

Tangens l 1. Leži u ravnini a , Prema tome, koordinate svih točaka l 1. Zadovoljavaju jednadžbu (1). Ta se činjenica može napisati kao sustav.

Dopuštajući ovom sustavu u odnosu na B 1, dobivamo to. Vodljivo slično obrazloženje za tangencijalne l 3.Lako je to instalirati.

Zamjena značenja A 1. i B 1 do jednadžbe (1), dobivamo željenu jednadžbu tangentne ravnine:

Ravno, prolazi kroz točku M 0 i okomito na tangentnu ravninu izgrađenu na ovoj površini površine se naziva normalan.

Koristeći stanje okomitosti izravnog i ravnina, lako je dobiti kanonske jednadžbe normalnog:

Komentar. Dobivene su formule tangentne ravnine i normalne na površinu za običnu, tj. Ne posebne, površinske točke. Točka M 0 Podležne su površine poseban Ako su u ovom trenutku svi privatni derivati \u200b\u200bnuli ili barem jedan od njih ne postoji. Mi ne smatramo takvih točaka.

Primjer. Napišite jednadžbe tangentne ravnine i normalne na površinu u svojoj točki M (2; -1; 1).

Odluka. Naći ćemo privatne derivate ove funkcije i njihove vrijednosti na mjestu m

Dakle, primjenjujući formule (2) i (3), imat ćemo: z-1 \u003d 2 (X - 2) +2 (Y + 1) ili 2x + 2OW-Z - 1 \u003d 0 - jednadžba tangentne ravnine i - jednadžbe normalne.

2 °. Jednadžbe tangentne ravnine i normalne za slučaj implicitne površinske zadatke.

Ako je površina S. Objavljeno jednadžbom F (x; y;z \u003d 0, zatim jednadžbe (2) i (3), uzimajući u obzir činjenicu da se privatni derivati \u200b\u200bmogu naći kao derivati \u200b\u200bimplicitne funkcije.