Formule skraćenog množenja. Detaljna teorija s primjerima

Matematički izrazi (formule) skraćeno umnožavanje (Square sume i razlike, količina kocke i razlike, kvadratne razlike, količina i razlika u kockama) su izuzetno zamijenjeni u mnogim područjima točne znanosti, Ove 7 snimke znakova ne zamjenjuju se pojednostavljenjem izraza, rješavanjem jednadžbi, s množenjem polinoma, smanjenju frakcija, rješavanju integrala i mnogim drugim stvarima. Dakle, to će biti vrlo korisno shvatiti kako su dobiveni, za koje su potrebne, i što je najvažnije, kako ih se sjetiti, a zatim se prijaviti. Zatim se prijavite formule skraćenog množenja U praksi, najteže će vidjeti što je H.i što je u. Očito, nema ograničenja a. i b.ne, što znači da mogu biti bilo koji brojčani ili slova.

I ovdje su:

Prvi x 2 - U 2. \u003d (x - y) (x + y) . Izračunati kvadratna razlika Dva izraza trebaju umnožiti razliku između tih izraza na njihovim iznosu.

Drugi (x + y) 2 \u003d x 2 + 2H + u 2 , Pronaći kvadratna količina Dva izraza trebaju se dodati na kvadrat prvog izraza kako bi dodali dvostruki proizvod prvog izraza na drugom plus kvadrat drugog izraza.

Treći (x - y) 2 \u003d x 2 - 2h + u 2, Izračunati kvadratna razlikadva izraza potrebna su od kvadrata prvog izraza da oduzme dvostrukim proizvodom prvog izraza na drugom plus trgu drugog izraza.

Četvrta (x + y) 3 \u003d x 3. + 3x 2 Y + 3H 2 + 3. Izračunati kockadva izraza trebaju biti dodan u kubi prvog izraza da dodaju utrostručeni rad kvadrata prvog izraza na drugom plus utrostručeni proizvod prvog izražavanja na kvadratu plus kocku drugog izraza.

Peti (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x 2 Y + 3H 2 - 3., Izračunati razlikadva izraza potrebna je od prvog ekspresije kocke kako bi se utrostručio trg prvog izraza na drugom plus utrostručen proizvod prvog izraza na drugoj minus kocku drugog izraza.

Šest x 3 + 3. \u003d (x + y) (x 2 - HU + U 2) Izračunati količina kockidva izraza trebaju umnožiti sume prvog i drugog izraza na nepotpunom kvadratu razlike od ovih izraza.

Sedmi x 3 - 3. \u003d (x - y) (x 2 + HU + U 2) Napraviti izračun kubične razlikedva izraza trebaju umnožiti razliku između prvog i drugog izraza na nepotpunom kvadratu zbroja ovih izraza.

Nije teško zapamtiti da se sve formule primjenjuju na rad izračuna iu suprotnom smjeru (desno na lijevo).

Prije oko 4 tisuće godina na postojanju tih obrazaca. Oni su naširoko koristili stanovnici drevnog Babilona i Egipta. No, u tim epohama, izrazili su verbalno ili geometrijski i tijekom izračuna nisu koristili slova.

Razumjet ćemo dokaz kvadratne summe(A + B) 2 \u003d A2 + 2ab + B2.

Prvo ovo matematički uzorak Dokazao je drevni grčki znanstvenik euklid, koji je radio u Aleksandriji u III. Stoljeću prije Krista, koristio je geometrijski način za Evof formule, budući da znanstvenici drevne Ellale nisu koristili pisma za označavanje brojeva. Oni su univerzalno korišteni ne "2", ali "kvadrat na segmentu a", a ne "ab", ali "pravokutnik, zaključen između segmenata A i B".

Linearna funkcija se naziva funkcija oblika Y \u003d KX + B, gdje je X-neovisna varijabla, K i B-bilo koji brojevi.
Graf linearne funkcije je ravan.

1. Dodati raspored funkcije, Trebamo koordinate dviju bodova koji pripadaju grafiku funkcije. Da biste ih pronašli, morate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih na jednadžbu funkcije i izračunati odgovarajuće vrijednosti Y.

Na primjer, za izgradnju grafikona funkcije Y \u003d X + 2, prikladno je uzeti X \u003d 0 i X \u003d 3, a zatim će redovnici tih točaka biti jednaki Y \u003d 2 i Y \u003d 3. Dobivamo točke a (0; 2) iu (3; 3). Spojite ih i nabavite grafikon funkcije Y \u003d X + 2:

2. U formuli Y \u003d KX + B, broj K naziva koeficijent proporcionalnosti:
Ako je k\u003e 0, onda se funkcija Y \u003d KX + B povećava
Ako je K.
Koeficijent B prikazuje premještanje rasporeda funkcije duž osi OY:
Ako je b\u003e 0, tada se funkcija funkcije Y \u003d KX + B dobiva iz grafikona funkcije \u003d KX SHIFT na B UD uređaje duž OY osi
Ako je B.
Slika u nastavku prikazuje grafikone funkcija Y \u003d 2x + 3; y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

Imajte na umu da u svim ovim funkcijama koeficijent k iznad nule, i funkcije su povećanje. Štoviše, to je veća vrijednost k, to je veći kut nagiba izravno usmjeren na pozitivan smjer os OX.

U svim funkcijama B \u003d 3 - i vidimo da svi grafikoni prelaze osi OY u točki (0; 3)

Sada razmislite grafove funkcija Y \u003d -2x + 3; y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -x + 3

Ovaj put u svim funkcijama K koeficijenta manje od nule i funkcije smanjenje. Koeficijent B \u003d 3 i grafike, kao iu prethodnom slučaju, presijecaju OY osovinu na točki (0; 3)

Razmotrite grafikone funkcija Y \u003d 2x + 3; y \u003d 2x; Y \u003d 2x-3

Sada u svim jednadžbama funkcija, koeficijenti K su jednaki 2. i dobili smo tri paralelna ravno.

Ali B koeficijenti su različiti, a ovi grafikoni prelaze osi OY na različitim točkama:
Grafikon funkcije Y \u003d 2x + 3 (B \u003d 3) prelazi os OY na točki (0; 3)
Grafikon funkcije Y \u003d 2X (B \u003d 0) prelazi os OY na točki (0; 0) - početak koordinata.
Grafikon funkcije Y \u003d 2X-3 (B \u003d -3) prelazi OY os na točki (0; -3)

Dakle, ako znamo znakove k i B koeficijenata, možemo odmah zamisliti kako izgleda grafikon funkcije Y \u003d KX + B.
Ako a k 0

Ako a k\u003e 0 i b\u003e 0 , zatim grafikon funkcije Y \u003d KX + B je:

Ako a k\u003e 0 i b , zatim grafikon funkcije Y \u003d KX + B je:

Ako a k, onda funkcija funkcije Y \u003d KX + B ima oblik:

Ako a k \u003d 0. Funkcija Y \u003d KX + B pretvara se u funkciju Y \u003d B i njegova grafika je:

Pravilnici svih točaka grafikona Funkcija Y \u003d B jednako je B ako b \u003d 0. , Tada grafikon funkcije Y \u003d KX (izravna proporcionalnost) prolazi kroz podrijetlo koordinata:

3. Odvojeno, bilježimo graf jednadžbe x \u003d a. Grafikon ove jednadžbe je ravna linija, paralelna os, sve točke od kojih imaju apscissa x \u003d a.

Na primjer, graf jednadžbe x \u003d 3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba x \u003d a nije funkcija, tako da će se jedna vrijednost argumenta sastati različite vrijednosti Funkcije koje ne odgovaraju definiciji funkcije.

4. Stanje paralelizma dviju ravnih linija:

Raspored funkcije Y \u003d K 1 X + B 1 Paralelna grafika funkcije Y \u003d K 2 X + B 2, ako K1 \u003d K 2

5. Stanje obnove dva ravna linije:

Grafikon funkcije Y \u003d K 1 X + B 1 obnovljen je grafika funkcije Y \u003d K 2 x + B2, ako K1 * K 2 \u003d -1 ili K1 \u003d -1 / K2

6. Točke raskrižja grafikona funkcija Y \u003d KX + B s osi koordinata.

S Oy osi. Abscisa bilo koje točke koja pripada osi OY je nula. Stoga, da biste pronašli točku raskrižje s OY osi, potrebno je zamijeniti nulu u jednadžbi. Dobivamo y \u003d b. To jest, točka raskrižja s OY osi ima koordinate (0; b).

S osi oh: Ordinata bilo koje točke koja pripada osi oh jednaka je nuli. Stoga, pronaći mjesto raskrižja s osi oh, potrebno je zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto y. Dobivamo 0 \u003d KX + b. Stoga X \u003d -b / K. To jest, točka raskrižja s Osovima ox ima koordinate (-B / K; 0):

Formule skraćenog množenja. Vježbati.

Pokušajte izračunati sljedeće izraze na ovaj način:

Odgovori:

Ili, ako znate kvadrate glavnih dvoznamenkastih brojeva, sjetite se koliko će biti? Sjećam se? , Izvrsno! Budući da smo podignuti na kvadrat, onda se moramo pomnožiti. Ispada da.

Zapamtite da je formula Square i kvadrat razlike vrijedi ne samo za numeričke izraze:

Izračunajte sljedeće izraze:

Odgovori:

Formule skraćenog množenja. Ishod.

Idemo do malog rezultata i napisati zbroj kvadrata svote i razlike u jednoj liniji:

Sada se prakticira "prikupljanje" formule iz odvijanja vrsta u izgledu. Ova vještina bit će potrebna u budućnosti kada transformira velike izraze.

Pretpostavimo da imamo sljedeći izraz:

Znamo da je kvadrat iznosa (ili razlike) kvadrat jednog broja kvadrat drugog broja i sumnjiv rad tih brojeva.

U tom zadatku, lako je vidjeti kvadrat istog broja - to je. Prema tome, jedan od brojeva uključenih u nosač je kvadratni korijen, tj.

Budući da u drugom roku postoji, to znači da je to dvostruki proizvod jednog, odnosno:

Gdje je drugi broj u našem nosaču.

Drugi broj uključen u nosač je jednak.

Ček. treba biti jednak. Doista, to znači da smo pronašli oba broja prisutnih u zagradama: i. Ostaje definirati znak koji stoji između njih. Što mislite da će biti iza znaka?

Pravo! Od mi podesiti Sumnjavanje rada, između brojeva će podnijeti znak dodavanja. Sada napišite pretvoren izraz. Nositi se? Trebali biste dobiti sljedeće:

Napomena: Promjena mjesta komponenti ne utječe na rezultat (bez obzira na dodavanje ili oduzimanje je između i).

Apsolutno je opcionalno da su pojmovi u transformiranoj ekspresiji stajali kao napisan u formuli. Pogledajte ovaj izraz :. Pokušajte ga sami pretvoriti. Se dogodilo?

Praksa - pretvoriti sljedeće izraze:

Odgovori:Nositi se? Osigurajte temu. Odaberite iz izraza ispod koje se mogu predstavljati kao kvadratna količina ili razlika.

1. - Dokazati da je ekvivalentno.

1. - Ne možete zamisliti kao kvadrat; Bilo bi moguće zamisliti ako je umjesto toga bilo.

Kvadratna razlika

Druga formula skraćenog umnožavanja je razlika kvadrata.

Kvadratne razlike Ovo nije kvadrat razlike!

Razlika u kvadratima dva broja jednaka je količini ovih brojeva na njihovoj razlici:

Provjerite je li ova formula istinita. Da biste to učinili, promijenite zbroj zbroja i razlike u uklanjanju kvadratnih formula:

Dakle, samo smo bili sigurni da je formula doista istinita. Ova formula također pojednostavljuje složene račune. Dajte nam primjer:

Potrebno je izračunati :. Naravno, možemo izgraditi kvadrat, a zatim izgraditi kvadrat i oduzeti jedan od drugih, ali formula nas pojednostavljuje zadatak:

Se dogodilo? Kompletni rezultati:

Kao i zbroj zbroja (razlika), formula kvadratne razlike može se primijeniti ne samo s brojevima:

Sposobnost širenja razlike u kvadratima će nam pomoći pretvoriti složene matematičke izraze.

Obratiti pažnju:

Budući da, kada se razgrađuje trg razlike od desnog izraza, mi ćemo dobiti

Budite oprezni i pogledajte koji se konkretni termin ugrađuje na trg! Osigurati temu pretvaranje sljedećih izraza:

Snimiti? Usporedite dobivene izraze:

Sada, kada ste naučili kvadrat količine i kvadrata razlike, kao i razlika kvadrata, pokušajte riješiti primjere na kombinaciji tih triju formula.

Pretvaranje osnovnih izraza (kvadratna suma, kvadratni kvadrat, kvadratna razlika)

Pretpostavimo da nam dajemo primjer

Potrebno je pojednostaviti ovaj izraz. Pažljivo pogledajte, što vidite u numeritoru? Tako je, brojnik je puni kvadrat:

Pojednostavljenje izražavanja, zapamtite da je savjet, koji način za kretanje u pojednostavljenju je u nazivniku (ili u numeritoru). U našem slučaju, kada se deponijator razgrađuje, i nemoguće je učiniti bilo što drugo, može se shvatiti da će brojčanik biti ili kvadrat iznosa ili kvadrat razlike. Budući da dodamo, postaje jasno da je numerator kvadrat iznosa.

Pokušajte samostalno pretvoriti sljedeće izraze:

Se dogodilo? Usporedite odgovore i krenite dalje!

Kocka količina i razlika u kocki

Formula kocka količina i razlika kocke izvedena su slično kao kvadratna količina i kvadratna razlika: Otkrivanje nosača s višestrukim članovima.

Ako je kvadrat količine i kvadrat razlike vrlo lako zapamtiti, onda se postavlja pitanje "kako se sjetiti Kube?"

Pažljivo pogledajte dvije opisane formule u usporedbi s izgradnjom sličnih članova na trgu:

Kakav uzorak vidite?

1. Kada se podigne kvadrat imamo kvadrat Prvi broj I. kvadrat drugi; Kada podignete u kocku - tamo kubični jedan broj I. kubični drugi broj.

2. Kada se podigne kvadrat, imamo sumnja Produkt brojeva (broj od 1 stupnja, koji je jedan stupanj manji od one u kojoj je izraza podignut); Prilikom podizanja B. kubični - utrostručen Rad u kojem je jedan od brojeva podignut na kvadrat (koji je također 1 stupanj manji od stupnja u kojem je izraza podignut).

3. Kada se podigne na trgu, znak za nosače u opisanom izrazu odražava se dodatno (ili oduzimanje) dvostruki proizvod - ako dodavanje u zagradama, a zatim dodajte, ako oduzimanje - oduzimanje; Kada se podiže u kocku, pravilo je: ako imamo iznos kocke, onda sve znakove "+", i ako je razlika u kocki, onda znakovi alternativni: "" - "-" - "

Sve gore navedeno, osim ovisnosti o stupnjevima kada se razmnožavaju članovi, prikazuje na slici.

Praksa? Rezanje nosača u sljedećim izrazima:

Usporedite dobivene izraze:

Razlika i količina kockica

Razmotrite posljednji par formula razliku i količinu kockica.

Kao što se sjećamo, u razlici kvadratima smo množili razliku i količinu tih brojeva jedan na drugi. U različitoj kocki i u količini kocki postoje i dva nosača:

1 nosač - razlika (ili iznos) brojeva u prvom stupnju (ovisno o razlici ili količinu kocki koje otkrivamo);

2 nosač - nepotpun trg (pogledajte: ako smo oduzeti (ili dodali) dvostruki proizvod brojeva, postojat će kvadrat), znak prilikom množenja brojeva je suprotan znak početnog izraza.

Da biste osigurali temu, riješite nekoliko primjera:

Usporedite dobivene izraze:

Vježbati

Odgovori:

Sažimajmo:

Postoji 7 formula skraćeno umnožavanje:

NAPREDNA RAZINA

Formule skraćenih umnožavanja su formule, znajući koji mogu izbjeći obavljanje nekih standardnih radnji prilikom pojednostavljenja izraza ili razgradnje polinoma na množitelja. Formule skraćenog umnožavanja koje trebate znati po srcu!

1. Kvadratna količina Dva izraza jednaka kvadratu Prvi izraz plus iskrivljen rad prvog izražavanja na drugom plus trga drugog izraza:
2. Kvadratna razlika Dva izraza jednaka je kvadratu prvog izražavanja minus dva puta produkt prvog izraza na drugom plus trga drugog izraza:
3. Kvadratna razlika Dva izraza jednaki su proizvodu ovih izraza i njihovog iznosa:
4. Kocka Dva izraza jednaka je kubi prvog izraza plus utrostručen proizvod kvadrata prvog izraza na drugom plus utrostručen proizvod prvog izraza na kvadratu druge plus kocke drugog izraza:
5. Razlika Dva izraza jednaka je Kubi prvog izražavanja minus utrostručeni rad kvadrata prvog izraza na drugom plus utrostručen proizvod prvog izražavanja na kvadratu druge minus kocke drugog izraza:
6. Količina kocki Dva izraza jednaki su količini zbroja prvog i drugog izraza na nepotpunom kvadratu razlike od ovih izraza:
7. Kubične razlike Dva izraza jednaki su proizvodu prvog i drugog izraza na nepotpunom kvadratu zbroja ovih izraza:

Sada ćemo dokazati sve ove formule.

Formule skraćenog množenja. Dokaz.

1. .
Procijenite izraz na trgu - to znači pomnožiti ga sama:
.

Mi ćemo otkriti zagrade i dati slično:

2. .
Mi činimo isto: pomnožite razliku za sebe, otkrivamo zagrade i daju te stvari:
.

3. .
Uzmite izrazu na desnu stranu i otkrijte zagrade:
.

4. .
Broj na Kubi može biti predstavljen kao umnoženi broj na svoj trg:

Slično tome:

U razlici kocki, znakovi se izmjenjuju.

6. .

.

7. .
Otvorit ćemo zagrade u pravom dijelu:
.

Primjena formula skraćenog umnožavanja pri rješavanju primjera

Primjer 1:

Pronađite vrijednost izraza:

Odluka:

1. Koristimo iznos formule kvadrat :.
2. Zamislite ovaj broj u obliku razlike i koristite formulu kvadrata razlike :.

Primjer 2:

Pronađite vrijednost izraza :.

Odluka:

Koristeći formulu veličine kvadrata dvaju izraza, dobivamo:

Primjer 3:

Pojednostavite izraz:

Rješenje na dva načina:

Koristimo Formule Square sume i kvadratne razlike:

Ii način.

Koristimo formulu za razliku u kvadratima dvaju izraza:

Sada tvoja riječ ...

Rekao sam svemu što znam o formulama skraćenog množenja.

Reci mi sada da ćete ih koristiti? Ako ne, zašto?

Kako vam se sviđa ovaj članak?

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentare. Čitamo sve komentare i odgovorimo sve.

I sretno na ispitu!

U prethodnoj lekciji bavili smo se razgradnjom multiplikatora. Ovlašteni su dva načina: Izrada zajedničkog faktora za zagrade i grupiranje. U ovoj lekciji - sljedeći snažan način: formule skraćenog množenja, U kratkom zapisu - FSU.

Formule skraćenog umnožavanja (kvadrat sume i razlike, kocke količine i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kocki) iznimno su potrebne u svim dijelovima matematike. Oni se koriste u pojednostavljenju izraza, rješavanju jednadžbi, umnožavanju polinoma, smanjenju frakcija, rješavanju integrala, itd. itd Ukratko, postoji svaki razlog za rješavanje s njima. Da biste razumjeli kako se uzimaju, zašto su im potrebni, kako ih se sjetiti i kako se prijaviti.

Razumijemo?)

Odakle dolaze skraćene formule umnožavanja?

Jednakost 6 i 7 nisu pišeni vrlo poznati. Kao da je naprotiv. To je posebno.) Svaka jednakosti radi i s lijeva na desno i desno na lijevo. U takvom zapisu jasno je gdje dolazi FSU.

Oni se uzimaju iz množenja.) Na primjer:

(A + B) 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A2 + AB + BA + B 2 \u003d A2 + 2ab + B2

To je sve, nema znanstvenih trikova. Samo promijenite zagrade i dajte ih. Tako se ispostavi sve formule skraćenog množenja. Skraćen Multiplikacija je zato što u samim formulama nema množenja nosača i dovođenje slične. Smanjen.) Odmah s obzirom na rezultat.

FSU trebate znati po srcu. Bez prve tri ne možete sanjati o trojci, bez ostatka - oko četvrtog s pet.)

Zašto formule skraćene množenja trebaju?

Dva su razloga, učiti, čak i dobiti ove formule. Prvi - gotov odgovor na stroju oštro smanjuje broj pogrešaka. Ali to nije najviše glavni razlog, Ali drugi ...

Ako vam se sviđa ova stranica ...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih mjesta za vas.)

Može se pristupiti u rješavanju primjera i saznajte vašu razinu. Testiranje s trenutnim čekom. Učite - s interesom!)

Možete se upoznati s značajkama i derivatima.