Trójkąt równoramienny. Szczegółowa teoria z przykładami (2020)

Własności trójkąta równoramiennego.
Znaki trójkąta równoramiennego.
Wzory trójkątów równoramiennych:
- formuły długości boku;
- wzory o równych długościach boków;
- wzory na wysokość, medianę, dwusieczną trójkąta równoramiennego.

Trójkąt równoramienny to trójkąt, którego dwa boki są równe. Te strony nazywają się boczny a strona trzecia to podstawa.

AB = BC - boki boczne

AC - podstawa

Właściwości trójkąta równoramiennego

Własności trójkąta równoramiennego wyraża się w postaci 5 twierdzeń:

Twierdzenie 1. W trójkącie równoramiennym kąty u podstawy są równe.

Dowód twierdzenia:

Rozważ równoramienny Δ ABC z podkładem JAK .

Boki są równe AB = Słońce ,

Dlatego kąty u podstawy BАC = BCA .

Twierdzenie o dwusiecznej, medianie, wysokości, narysowane do podstawy trójkąta równoramiennego

Twierdzenie 2. W trójkącie równoramiennym dwusieczna narysowana do podstawy jest medianą i wysokością.
Twierdzenie 3. W trójkącie równoramiennym mediana narysowana do podstawy to dwusieczna i wysokość.
Twierdzenie 4. W trójkącie równoramiennym wysokość rysowana do podstawy to dwusieczna i mediana.

Dowód twierdzenia:

Dan Δ ABC .
Od punktu V trzymajmy wysokość BD.
Trójkąt dzieli się na Δ ABD i CBD. Te trójkąty są równe, ponieważ ich przeciwprostokątna i wspólna noga są równe ().
Bezpośredni JAK oraz BD nazywane są prostopadłymi.
B ABD i BCD ŹLE = BСD (z Twierdzenia 1).
AB = BC - boki są równe.
Imprezy OGŁOSZENIE = PŁYTA CD, odkąd punkt D dzieli segment na pół.
Stąd Δ ABD = Δ BCD.
Dwusieczna, wysokość i mediana to jeden segment - BD

Wyjście:

Wysokość trójkąta równoramiennego narysowanego do podstawy to mediana i dwusieczna.
Mediana trójkąta równoramiennego narysowanego do podstawy to wysokość i dwusieczna.
Dwusieczna trójkąta równoramiennego, narysowana do podstawy, to mediana i wysokość.

Pamiętać! Rozwiązując takie problemy, obniż wysokość do podstawy trójkąta równoramiennego. Podziel go na dwa równe trójkąty prostokątne.

Twierdzenie 5. Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom innego trójkąta, to takie trójkąty są równe.

Dowód twierdzenia:

Biorąc pod uwagę dwa Δ ABC i Δ A 1 B 1 C 1. Boki AB = A 1 B 1; BC = B1C1; AC = A 1 C 1.

Dowód przez sprzeczność.

Niech trójkąty nie będą równe (w przeciwnym razie trójkąty byłyby równe w pierwszym atrybucie).
Niech Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC, którego wierzchołek C 2 leży w tej samej półpłaszczyźnie z wierzchołkiem C 1 względem prostej A 1 B 1. Z założenia wierzchołki C 1 i C 2 nie pokrywają się. Niech D będzie środkiem odcinka C 1 C 2. Δ A 1 C 1 C 2 i Δ B 1 C 1 C 2 są równoramiennymi o wspólnej podstawie C 1 C 2. Dlatego ich mediany A 1 D i B 1 D są wysokościami. Stąd proste A 1 D i B 1 D są prostopadłe do prostej C 1 C 2. A 1 D i B 1 D mają różne punkty A 1 i B 1, dlatego nie pokrywają się. Ale przez punkt D prostej C 1 C 2 można poprowadzić tylko jedną prostą prostopadłą do niej.
Stąd doszliśmy do sprzeczności i udowodniliśmy twierdzenie.

Znaki trójkąta równoramiennego

Jeśli dwa kąty w trójkącie są równe.
Suma kątów trójkąta wynosi 180 °.
Jeśli w trójkącie, dwusieczna jest medianą lub wysokością.
Jeśli w trójkącie, mediana to dwusieczna lub wysokość.
Jeśli w trójkącie, wysokość jest medianą lub dwusieczną.

Wzory trójkątów równoramiennych

b- bok (podstawa)
a- równe boki
a - kąty u podstawy
b

Wzory długości boku(tereny - b):

b = 2a \ sin (\ beta / 2) = a \ sqrt (2-2 \ cos \ beta)
b = 2a \ cos \ alfa

Wzory o równej długości boków - (a):

a = \ frac (b) (2 \ sin (\ beta / 2)) = \ frac (b) (\ sqrt (2-2 \ cos \ beta))
a = \ frac (b) (2 \ cos \ alfa)

L- wysokość = dwusieczna = mediana
b- bok (podstawa)
a- równe boki
a - kąty u podstawy
b - kąt utworzony przez równe boki

Wzory na wysokość, dwusieczną i środkową, przez bok i kąt, ( L):

L = grzech a
L = \ frac (b) (2) * \ tg \ alfa
L = a \ sqrt ((1 + \ cos \ beta) / 2) = a \ cos (\ beta) / 2)

Wzór wysokości, dwusiecznej i środkowej, przez boki, ( L):

L = \ sqrt (a ^ (2) -b ^ (2) / 4)

b- bok (podstawa)
a- równe boki
h- wzrost

Wzór na powierzchnię trójkąta pod względem wysokości h i podstawy b, ( S):

S = \ frac (1) (2) * bh

Obliczenie wysokości trójkąta zależy od samej figury (równoramienne, równoboczne, uniwersalne, prostokątne). W geometrii praktycznej z reguły nie występują złożone formuły. Wystarczy znać ogólną zasadę obliczeń, aby mogła być ona uniwersalnie stosowana do wszystkich trójkątów. Dzisiaj przedstawimy Ci podstawowe zasady obliczania wysokości figury, wzory obliczeniowe oparte na właściwościach wysokości trójkątów.

Czym jest wzrost?

Wysokość ma kilka charakterystycznych właściwości

Punkt, w którym spotykają się wszystkie wysokości, nazywa się ortocentrum. Jeśli trójkąt jest zaostrzony, to ortocentrum znajduje się wewnątrz figury, jeśli jeden z rogów jest rozwarty, to ortocentrum znajduje się zwykle na zewnątrz.
W trójkącie, w którym jeden kąt wynosi 90 °, ortocentrum i wierzchołek są takie same.
W zależności od typu trójkąta istnieje kilka wzorów na obliczanie wysokości trójkąta.

Obliczenia tradycyjne

Jeśli p jest połową obwodu, to a, b, c są oznaczeniami boków wymaganej figury, h jest wysokością, wtedy pierwsza i najprostsza formuła będzie wyglądać tak: h = 2 / a √p (pa) (pb) (szt.) ...
W podręcznikach szkolnych często można znaleźć problemy, w których znana jest wartość jednego z boków trójkąta oraz wartość kąta między tym bokiem a podstawą. Wtedy wzór na obliczenie wysokości będzie wyglądał następująco: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
Biorąc pod uwagę pole trójkąta - S, a także długość podstawy - a, obliczenia będą tak proste, jak to tylko możliwe. Wysokość określa wzór: h = 2S / a.
Mając promień okręgu opisanego wokół figury, najpierw obliczamy długości jego dwóch boków, a następnie przystępujemy do obliczenia podanej wysokości trójkąta. Aby to zrobić, użyjemy wzoru: h = b ∙ c / 2R, gdzie b i c to dwa boki trójkąta, które nie są podstawą, a R jest promieniem.

Jak obliczyć wysokość trójkąta równoramiennego?

Wszystkie boki tej figury są równoważne, ich długości są równe, dlatego kąty u podstawy również będą równe. Z tego wynika, że wysokości, które narysujemy na podstawach również będą równe, są jednocześnie medianami i dwusiecznymi. Mówiąc prościej, wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie części. Trójkąt o kącie prostym, który okazał się po narysowaniu wysokości, rozpatrzymy za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy bok jako a, a podstawę jako b, następnie wysokość h = ½ √4 a2 - b2.

Jak obliczyć wysokość trójkąta równobocznego?

Wzór na trójkąt równoboczny (liczby, w których wszystkie boki są równe) można znaleźć na podstawie wcześniejszych obliczeń. Wystarczy zmierzyć długość jednego z boków trójkąta i oznaczyć go jako a. Następnie wysokość jest wyliczana ze wzoru: h = √3 / 2 a.

Jak znaleźć wysokość trójkąta prostokątnego?

Jak wiesz, kąt w trójkącie prostokątnym wynosi 90 °. Wysokość obniżona o jedną nogę jest jednocześnie drugą nogą. Na nich będą leżeć wysokości trójkąta pod kątem prostym. Aby uzyskać dane dotyczące wysokości, należy nieznacznie przekształcić istniejącą formułę pitagorejską, oznaczającą nogi - a i b, a także mierzącą długość przeciwprostokątnej - c.

Znajdź długość nogi (stronę, do której wysokość będzie prostopadła): a = √ (c2 - b2). Długość drugiego odnogi wyznacza się za pomocą dokładnie tego samego wzoru: b = √ (c2 - b2). Następnie możesz rozpocząć obliczanie wysokości trójkąta pod kątem prostym, po uprzednim obliczeniu obszaru figury - s. Wartość wysokości h = 2s / a.

Obliczenia z trójkątem uniwersalnym

Kiedy uniwersalny trójkąt ma ostre rogi, widoczna jest wysokość spadająca do podstawy. Jeśli trójkąt jest pod kątem rozwartym, wówczas wysokość może znajdować się poza figurą i musisz ją mentalnie kontynuować, aby uzyskać punkt połączenia wysokości i podstawy trójkąta. Najłatwiejszym sposobem zmierzenia wysokości jest obliczenie jej przez jeden z boków i wielkość kątów. Wzór wygląda tak: h = b sin y + c sin ß.

Równoramienny jest taki trójkąt, w którym długości jego dwóch boków są sobie równe.

Podczas rozwiązywania problemów na dany temat "Trójkąt równoramienny" konieczne jest użycie następujących dobrze znanych nieruchomości:

1. Kąty leżące naprzeciw równych boków są sobie równe.
2. Dwusieczne, mediany i wysokości narysowane pod równymi kątami są sobie równe.
3. Dwusieczna, mediana i wysokość, narysowane do podstawy trójkąta równoramiennego, pokrywają się ze sobą.
4. Środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego leżą na wysokości, a więc na środku i dwusiecznej narysowanej do podstawy.
5. Kąty równe w trójkącie równoramiennym są zawsze ostre.

Trójkąt jest równoramienny, jeśli ma następujące oznaki:

1. Dwa kąty trójkąta są równe.
2. Wysokość odpowiada medianie.
3. Dwusieczna pokrywa się z medianą.
4. Wysokość pokrywa się z dwusieczną.
5. Dwie wysokości trójkąta są równe.
6. Dwie dwusieczne trójkąta są równe.
7. Dwie mediany trójkąta są równe.

Rozważmy kilka zadań na ten temat "Trójkąt równoramienny" a my damy im szczegółowe rozwiązanie.

Cel 1.

W trójkącie równoramiennym wysokość narysowana do podstawy wynosi 8, a podstawa odnosi się do boku jako 6:5. Znajdź odległość od wierzchołka trójkąta do punktu przecięcia jego dwusiecznych.

Rozwiązanie.

Niech będzie dany trójkąt równoramienny ABC (rys. 1).

1) Ponieważ AC: BC = 6: 5, AC = 6x i BC = 5x. VN - wysokość narysowana do podstawy AC trójkąta ABC.

Ponieważ punkt H jest środkiem AC (według własności trójkąta równoramiennego), to HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC2 = BH2 + HC2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2;

x = 2, to

AC = 6x = 6 2 = 12 i

BC = 5x = 5 2 = 10.

3) Ponieważ punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest środkiem okręgu wpisanego, to
OH = r. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC znajduje się we wzorze

4) SABC = 1/2 * (AC * BH); S ABC = 1/2 * (12 * 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 (10 + 10 + 12) = 16, następnie OH = r = 48/16 = 3.

Stąd VO = VN - OH; VO = 8 - 3 = 5.

Odpowiedź: 5.

Cel 2.

Dwusieczna AD jest narysowana w trójkącie równoramiennym ABC. Pola trójkątów ABD i ADC są równe 10 i 12. Znajdź pole kwadratu, powiększonego trzykrotnie, zbudowanego na wysokości tego trójkąta, narysowanego do podstawy AC.

Rozwiązanie.

Rozważ trójkąt ABC - równoramienne, AD - dwusieczna kąta A (rys. 2).

1) Zapiszmy pola trójkątów BAD i DAC:

S ZŁY = 1/2 AB AD sin α; S DAC = 1/2 AC AD sin α.

2) Znajdź stosunek powierzchni:

S zły / S DAC = (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) = AB / AC.

Ponieważ S BAD = 10, S DAC = 12, a następnie 10/12 = AB / AC;

AB / AC = 5/6, to niech AB = 5x i AC = 6x.

AH = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

3) Z trójkąta ABN - prostokątny według twierdzenia Pitagorasa AB 2 = AN 2 + BN 2;

25x 2 = VN 2 + 9x 2;

4) SA С = 1/2 AS ВН; S A B C = 1/2 6x 4x = 12x 2.

Ponieważ SA BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, to 22 = 12x 2;

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) Powierzchnia kwadratu jest równa BH 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.

Odpowiedź: 88.

Cel 3.

W trójkącie równoramiennym podstawa to 4, a bok to 8. Znajdź kwadrat wysokości opuszczonej na bok.

Rozwiązanie.

W trójkącie ABC - równoramienne BC = 8, AC = 4 (rys. 3).

1) VN - wysokość narysowana do podstawy AC trójkąta ABC.

Ponieważ punkt H jest środkiem AC (według własności trójkąta równoramiennego), to HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) Z trójkąta VNS - prostokątny zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa VS 2 = VN 2 + NS 2;

64 = BH 2 + 4;

3) S ABC = 1/2 (AC BH), a także S ABC = 1/2 (AM BC), następnie przyrównujemy prawe strony formuł, otrzymujemy

1/2 AC BH = 1/2 AM BC;

AM = (AC · BH) / BC;

AM = (√60 4) / 8 = (2√15 4) / 8 = √15.

Odpowiedź: 15.

Zadanie 4.

W trójkącie równoramiennym podstawa i wysokość zrzucona do niego są równe 16. Znajdź promień okręgu opisanego wokół tego trójkąta.

Rozwiązanie.

W trójkącie ABC - równoramienny podstawa AC = 16, BH = 16 - wysokość narysowana do podstawy AC (rys. 4).

1) AH = HC = 8 (według własności trójkąta równoramiennego).

2) Z trójkąta VNS - prostokątny według twierdzenia Pitagorasa

BC2 = BH2 + HC2;

BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Rozważ trójkąt ABC: z twierdzenia o sinusach, 2R = AB / sin C, gdzie R jest promieniem okręgu opisanego wokół trójkąta ABC.

sin C = BH / BC (z trójkąta VNS z definicji sinusa).

sin C = 16 / (8√5) = 2 / 5, następnie 2R = 8√5 / (2 / √5);

2R = (8√5 √5) / 2; R = 10.

Odpowiedź: 10.

Zadanie 5.

Długość wysokości narysowanej do podstawy trójkąta równoramiennego wynosi 36, a promień wpisanego koła wynosi 10. Znajdź obszar trójkąta.

Rozwiązanie.

Niech dany będzie trójkąt równoramienny ABC.

1) Ponieważ środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia jego dwusiecznych, to O ϵ VN i AO to dwusieczna kąta A, a obecny OH = r = 10 (rys. 5).

2) VO = VN - OH; BO = 36 - 10 = 26.

3) Rozważ trójkąt ABN. Przez twierdzenie o dwusiecznej kąta trójkąta

AB / AN = VO / OH;

AB / AH = 26/10 = 13/5, a następnie niech AB = 13x i AH = 5x.

Według twierdzenia Pitagorasa AB 2 = AN 2 + BH 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 3) 2;

144x 2 = 144 9;

x = 3, następnie AC = 2 AH = 10x = 10 3 = 30.

4) SABC = 1/2 * (AC * BH); S ABC = 1/2 * (36 * 30) = 540;

Odpowiedź: 540.

Zadanie 6.

W trójkącie równoramiennym dwa boki to 5 i 20. Znajdź dwusieczną kąta u podstawy trójkąta.

Rozwiązanie.

1) Załóżmy, że boki trójkąta to 5, a podstawa to 20.

Wtedy 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (rys. 6).

2) Niech LC = x, potem BL = 20 - x. Przez twierdzenie o dwusiecznej kąta trójkąta

AB / AC = BL / LC;

20/5 = (20 - x) / x,

wtedy 4x = 20 - x;

Zatem LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.

3) Używamy wzoru na dwusieczną kąta trójkąta:

AL 2 = AB AC - BL LC,

wtedy AL 2 = 20 · 5 - 4 · 16 = 36;

Odpowiedź: 6.

Masz pytania? Nie wiesz, jak rozwiązać problemy geometryczne?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Ponieważ wysokość trójkąta równoramiennego obniżonego do podstawy jest zarówno dwusieczną, jak i medianą, dlatego dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku na dwie równe części, tworząc trójkąt prostokątny o bokach a i b / 2. Z twierdzenia Pitagorasa w takim trójkącie możesz znaleźć samą podstawę, a następnie obliczyć wszystkie inne możliwe dane. (rys. 88.2) h ^ 2 + (b / 2) ^ 2 = a ^ 2 b = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

Aby obliczyć obwód trójkąta równoramiennego, dodaj podstawę lub powyższy rodnik przez wysokość do dwóch boków. P = 2a + b = 2a + √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2

Pole trójkąta równoramiennego przez wysokość i podstawę z definicji oblicza się jako połowę ich iloczynu. Zastępując podstawę odpowiadającym jej wyrażeniem, otrzymujemy obszar przez wysokość i bok trójkąta równoramiennego. S = hb / 2 = (h√ (a ^ 2-h ^ 2)) / 4

W trójkącie równoramiennym nie tylko boki są równe, ale także kąty u podstawy, a ponieważ zawsze sumują się do 180 stopni, każdy kąt można znaleźć znając drugi. Pierwszy kąt jest obliczany na podstawie twierdzenia cosinus podanego dla równych boków, a drugi można znaleźć poprzez różnicę od 180. (ryc. 88.1) cos⁡α = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / 2bc = (b ^ 2 + a ^ 2-a ^ 2) / 2ba = b ^ 2 / 2ba = b / 2a cos⁡β = (a ^ 2 + a ^ 2-b ^ 2) / (2a ^ 2) = (2a ^ 2 -b ^ 2) / (2a ^ 2) α = (180° -β) / 2 β = 180 ° -2α

Mediana środkowa i dwusieczna opadająca do podstawy pokrywają się z wysokością, a mediany boczne, wysokości i dwusieczną można znaleźć za pomocą następujących wzorów na trójkąty równoramienne. Aby obliczyć je pod względem wysokości i boku, musisz zastąpić podstawę jej równoważnym wyrażeniem. (rys. 88.3) m_a = √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2-a ^ 2) / 2 = √ (a ^ 2 + 2b ^ 2) / 2

Wysokość obniżona do boku poprzez wysokość obniżoną do podstawy i boku trójkąta równoramiennego. (rys. 88.8) h_a = (b√ ((4a ^ 2-b ^ 2))) / 2a = (√ (a ^ 2-h ^ 2) √ ((4a ^ 2-a ^ 2 + h ^ 2 ))) / 2a = √ ((a ^ 2-h ^ 2) (3a ^ 2 + h ^ 2)) / 2

Dwusieczne boczne można również wyrazić w postaci boku bocznego i środkowej wysokości trójkąta. (rys. 88.4) l_a = √ (ab (2a + b) (a + ba)) / (a + b) = √ (a (a ^ 2-h ^ 2) (2a + √ (a ^ 2 -h ^ 2))) / (a + √ (a ^ 2-h ^ 2))

Linia środkowa jest narysowana równolegle do obu stron trójkąta, łącząc punkty środkowe boków w stosunku do niego. Tak więc zawsze okazuje się, że jest równy połowie boku równoległego do niego. Zamiast nieznanej podstawy możesz podstawić rodnik użyty we wzorze, aby znaleźć linię środkową przechodzącą przez wysokość i bok trójkąta równoramiennego (ryc. 88.5) M_b = b / 2 = √ (a ^ 2-h ^ 2) / 2 M_a = a / 2

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny zaczyna się od punktu przecięcia dwusiecznych i biegnie prostopadle w obie strony. Aby znaleźć go przez wysokość i bok trójkąta, musisz zastąpić podstawę w formule radykałem. (rys. 88.6) r = 1/2 √ (((a ^ 2-h ^ 2) (2a-√ (a ^ 2-h ^ 2))) / (2a + √ (a ^ 2-h ^ 2 )))

Promień okręgu opisanego wokół trójkąta równoramiennego jest również wyprowadzony z ogólnego wzoru przez podstawienie rodnika przez wysokość i bok zamiast podstawy. (rys. 88.7) R = a ^ 2 / √ (3a ^ 2-h ^ 2)