Definicja sinusa i cosinusa. Sinus, cosinus, tangens i cotangens - wszystko, co musisz wiedzieć na egzaminie z matematyki (2020)

Nauczyciele uważają, że każdy uczeń powinien umieć wykonywać obliczenia, znać wzory trygonometryczne, ale nie każdy nauczyciel wyjaśnia, czym jest sinus i cosinus. Jakie jest ich znaczenie, gdzie są używane? Dlaczego mówimy o trójkątach, a w podręczniku narysowany jest okrąg? Spróbujmy połączyć wszystkie fakty.

Przedmiot szkolny

Badanie trygonometrii zwykle rozpoczyna się w 7-8 klasie liceum. W tym czasie uczniom wyjaśniono, czym są sinusy i cosinusy, zaproponowano im rozwiązywanie problemów geometrycznych za pomocą tych funkcji. Później pojawiają się bardziej złożone wzory i wyrażenia, które trzeba przekształcić w sposób algebraiczny (wzory dwu- i półkątowe, funkcje potęgowe), praca odbywa się za pomocą koła trygonometrycznego.

Jednak nauczyciele nie zawsze są w stanie jasno wyjaśnić znaczenie użytych pojęć i zastosowanie formuł. Dlatego uczeń często nie widzi sensu w tym temacie, a zapamiętane informacje szybko zostają zapomniane. Warto jednak kiedyś wytłumaczyć uczniowi liceum, na przykład, związek funkcji z ruchem oscylacyjnym, a związek logiczny zostanie zapamiętany na wiele lat, a żarty o bezużyteczności przedmiotu odejdą w przeszłość .

Stosowanie

Dla ciekawości przyjrzyjmy się różnym gałęziom fizyki. Chcesz określić zasięg pocisku? A może obliczasz siłę tarcia między obiektem a określoną powierzchnią? Kołysząc wahadełkiem, obserwując promienie przechodzące przez szkło, obliczając indukcję? Pojęcia trygonometryczne pojawiają się niemal w każdej formule. Czym więc są sinus i cosinus?

Definicje

Sinus kąta jest stosunkiem przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, a cosinus jest stosunkiem sąsiedniej nogi do tej samej przeciwprostokątnej. Nie ma tu absolutnie nic skomplikowanego. Być może uczniowie są zwykle zdezorientowani wartościami, które widzą w tabeli trygonometrycznej, ponieważ pojawiają się tam pierwiastki kwadratowe. Tak, pobieranie z nich ułamków dziesiętnych nie jest zbyt wygodne, ale kto powiedział, że wszystkie liczby w matematyce powinny być równe?

W rzeczywistości w książkach z problemami trygonometrii można znaleźć zabawną wskazówkę: większość odpowiedzi jest parzysta, aw najgorszym przypadku zawiera pierwiastek z dwóch lub trzech. Wniosek jest prosty: jeśli w odpowiedzi otrzymasz ułamek „wielokondygnacyjny”, dwukrotnie sprawdź rozwiązanie pod kątem błędów w obliczeniach lub w rozumowaniu. I najprawdopodobniej je znajdziesz.

Rzeczy do zapamiętania

Jak w przypadku każdej nauki, trygonometria zawiera dane, których należy się nauczyć.

W pierwszej kolejności należy zapamiętać wartości liczbowe dla sinusów, cosinusów trójkąta prostokątnego 0 i 90 oraz 30, 45 i 60 stopni. Wskaźniki te znajdują się w dziewięciu na dziesięć problemów szkolnych. Sprawdzając te wartości w podręczniku, zmarnujesz mnóstwo czasu, a na test czy egzamin w ogóle nie będzie miejsca.

Należy pamiętać, że wartość obu funkcji nie może przekroczyć jednego. Jeśli gdziekolwiek w obliczeniach uzyskasz wartość spoza zakresu 0-1, zatrzymaj i ponownie rozwiąż problem.

Suma kwadratów sinusa i cosinusa jest równa jeden. Jeśli znalazłeś już jedną z wartości, użyj tego wzoru, aby znaleźć resztę.

Twierdzenia

W podstawowej trygonometrii istnieją dwa główne twierdzenia: sinusy i cosinusy.

Pierwsza mówi, że stosunek każdego boku trójkąta do sinusa przeciwnego kąta jest taki sam. Po drugie, kwadrat dowolnego boku można uzyskać, dodając kwadraty dwóch pozostałych boków i odejmując ich podwójny iloczyn pomnożony przez cosinus kąta leżącego między nimi.

Tak więc, jeśli podstawimy wartość kąta 90 stopni do twierdzenia cosinusów, otrzymamy ... twierdzenie Pitagorasa. Teraz, jeśli musisz obliczyć pole figury, która nie jest trójkątem prostokątnym, nie musisz się już martwić - oba rozważane twierdzenia znacznie uprościją rozwiązanie problemu.

Cele i cele

Nauka trygonometrii staje się znacznie łatwiejsza, gdy zdasz sobie sprawę z jednego prostego faktu: wszystkie działania, które wykonujesz, mają na celu osiągnięcie tylko jednego celu. Dowolne parametry trójkąta można znaleźć, jeśli znasz najmniej informacji na jego temat - może to być wartość jednego kąta i długość dwóch boków lub np. trzech boków.

Aby określić sinus, cosinus, tangens pod dowolnym kątem, te dane wystarczą, za ich pomocą można łatwo obliczyć powierzchnię figury. Prawie zawsze jako odpowiedź wymagana jest jedna z wymienionych wartości i można je znaleźć za pomocą tych samych formuł.

Niespójności w nauce trygonometrii

Jednym z niezrozumiałych pytań, których uczniowie wolą unikać, jest znalezienie związku między różnymi pojęciami w trygonometrii. Wydawałoby się, że do badania sinusów i cosinusów kątów używa się trójkątów, ale z jakiegoś powodu oznaczenia często znajdują się na figurze z okręgiem. Ponadto istnieje całkowicie niezrozumiały wykres przypominający falę, zwany sinusoidą, który nie ma zewnętrznego podobieństwa ani do koła, ani do trójkątów.

Co więcej, kąty są mierzone w stopniach, a następnie w radianach, a liczba Pi, zapisana po prostu jako 3,14 (bez jednostek miary), z jakiegoś powodu pojawia się we wzorach, odpowiadająca 180 stopniom. Jak to wszystko ma się do siebie?

Jednostki

Dlaczego Pi to dokładnie 3,14? Czy pamiętasz, co to znaczy? Jest to liczba promieni mieszczących się w łuku na pół okręgu. Jeśli średnica koła wynosi 2 centymetry, obwód wynosi 3,14 * 2 lub 6,28.

Druga kwestia: być może zauważyłeś podobieństwo między słowami „radian” i „promień”. Faktem jest, że jeden radian jest liczbowo równy wartości kąta wykreślonego ze środka okręgu na łuk o długości jednego promienia.

Teraz połączmy zdobytą wiedzę i zrozummy, dlaczego góra na osi współrzędnych w trygonometrii jest napisana "Pi na pół", a po lewej - "Pi". Jest to wartość kątowa mierzona w radianach, ponieważ półokrąg ma 180 stopni, czyli 3,14 radianów. A tam, gdzie są stopnie, są sinusy i cosinusy. Trójkąt można łatwo narysować od żądanego punktu, przesuwając segmenty do środka i na osi współrzędnych.

Spójrzmy w przyszłość

Studiowana w szkole trygonometria zajmuje się prostoliniowym układem współrzędnych, w którym, choć może to zabrzmieć dziwnie, linia prosta jest linią prostą.

Ale są też bardziej złożone sposoby pracy z przestrzenią: suma kątów trójkąta będzie tutaj większa niż 180 stopni, a linia prosta z naszego punktu widzenia będzie wyglądać jak prawdziwy łuk.

Przejdźmy od słów do czynów! Weź jabłko. Wykonaj trzy cięcia nożem, aby utworzyć trójkąt, patrząc z góry. Wyjmij powstały kawałek jabłka i spójrz na „żeberka”, w których kończy się skórka. Wcale nie są proste. Owoce w twoich rękach można warunkowo nazwać okrągłymi, a teraz wyobraź sobie, jak złożone muszą być formuły, za pomocą których możesz znaleźć obszar wyciętego kawałka. Ale niektórzy specjaliści rozwiązują takie problemy na co dzień.

Funkcje trygonometryczne w życiu

Czy zauważyłeś, że najkrótsza droga samolotowa z punktu A do punktu B na powierzchni naszej planety ma wyraźny łuk? Powód jest prosty: Ziemia ma kształt kuli, co oznacza, że ​​za pomocą trójkątów nie da się wiele obliczyć - tutaj trzeba użyć bardziej skomplikowanych wzorów.

Sinus/cosinus kąta ostrego nie może być pominięty w żadnej kwestii przestrzennej. Interesujące jest to, że zbiegają się tu różne czynniki: funkcje trygonometryczne są wymagane przy obliczaniu ruchu planet po okręgach, elipsach i różnych trajektoriach o bardziej złożonych kształtach; proces wystrzeliwania rakiet, satelitów, wahadłowców, oddokowania pojazdów badawczych; obserwacja odległych gwiazd i badanie galaktyk, do których człowiek nie będzie w stanie dotrzeć w przewidywalnej przyszłości.

Ogólnie rzecz biorąc, pole działania osoby posiadającej trygonometrię jest bardzo szerokie i, jak się wydaje, z czasem będzie się powiększać.

Wniosek

Dzisiaj dowiedzieliśmy się, a przynajmniej powtórzyliśmy, czym jest sinus i cosinus. To pojęcia, których nie musisz się bać – po prostu chcesz, a zrozumiesz ich znaczenie. Pamiętaj, że trygonometria nie jest celem, a jedynie narzędziem, które można wykorzystać do zaspokojenia prawdziwych ludzkich potrzeb: budować domy, zapewniać bezpieczeństwo w ruchu drogowym, a nawet eksplorować bezkres wszechświata.

Rzeczywiście, sama nauka może wydawać się nudna, ale gdy tylko znajdziesz w niej sposób na osiągnięcie własnych celów, samorealizację, proces uczenia się stanie się interesujący, a Twoja osobista motywacja wzrośnie.

Jako zadanie domowe spróbuj znaleźć sposoby zastosowania funkcji trygonometrycznych do obszaru działalności, który Cię osobiście interesuje. Wyobraź sobie, włącz swoją wyobraźnię, a wtedy prawdopodobnie okaże się, że nowa wiedza przyda Ci się w przyszłości. A poza tym matematyka jest przydatna do ogólnego rozwoju myślenia.

| BD |- długość łuku koła o środku w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Zatoka ( grzech α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równego stosunkowi długości przeciwprostokątnej |BC | do długości przeciwprostokątnej |AC |.
Cosinus ( cos α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równego stosunkowi długości sąsiedniego ramienia |AB | do długości przeciwprostokątnej |AC |.

Przyjęte oznaczenia

;
;
.

;
;
.

Wykres funkcji sinus, y = sin x

Wykres funkcji cosinus, y = cos x

Właściwości sinusa i cosinusa

Okresowość

Funkcje y = grzech x i y = bo x okresowy z kropką 2 π.

Parytet

Funkcja sinus jest nieparzysta. Funkcja cosinus jest parzysta.

Zakres definicji i wartości, ekstrema, wzrost, spadek

Funkcje sinus i cosinus są ciągłe w swojej dziedzinie definicji, to znaczy dla wszystkich x (patrz dowód ciągłości). Ich główne właściwości przedstawiono w tabeli (n jest liczbą całkowitą).

	y = grzech x	y = bo x
Domena definicji i ciągłości	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Zakres wartości	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Rosnąco
Malejąco
Maksyma, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Zera, y = 0
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y = 0	y = 1

Podstawowe formuły

Suma kwadratów sinusa i cosinusa

Wzory sinus i cosinus na sumę i różnicę

;
;

Wzory na iloczyn sinusów i cosinusów

Wzory sum i różnic

Wyrażenie sinusa w postaci cosinusa

;
;
;
.

Wyrażenie cosinus w postaci sinusa

;
;
;
.

Wyrażenie styczne

; .

Mamy bowiem:
; .

Na :
; .

Tablica sinusów i cosinusów, tangensów i cotangensów

Ta tabela pokazuje wartości sinusów i cosinusów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia wykorzystujące złożone zmienne

;

Wzór Eulera

Wyrażenia w kategoriach funkcji hiperbolicznych

;
;

Pochodne

; ... Wyprowadzanie wzorów>>>

Pochodne n-tego rzędu:
{ -∞ < x < +∞ }

Secans, cosecans

Funkcje odwrotne

Odwrotnymi funkcjami sinusa i cosinusa są odpowiednio odwrotny sinus i odwrotny cosinus.

Arcsin, arcsin

Arccosinus, arccos

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów uczelni technicznych, „Lan”, 2009.

Zobacz też: Do rozwiązania niektórych problemów przyda się tablica tożsamości trygonometrycznych, która znacznie ułatwi dokonywanie przekształceń funkcji:

Najprostsze tożsamości trygonometryczne

Iloraz dzielenia sinusa kąta alfa przez cosinus tego samego kąta jest równy tangensowi tego kąta (Wzór 1). Zobacz też dowód poprawności przekształcenia najprostszych tożsamości trygonometrycznych.
Iloraz dzielenia cosinusa kąta alfa przez sinus tego samego kąta jest równy cotangensowi tego samego kąta (wzór 2)
Seansa kąta jest równa jedności podzielonej przez cosinus tego samego kąta (wzór 3)
Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden (wzór 4). zobacz także dowód sumy kwadratów cosinusa i sinusa.
Suma jednostki i tangensa kąta jest równa stosunkowi jednostki do kwadratu cosinusa tego kąta (Wzór 5)
Jednostka plus cotangens kąta jest równa ilorazowi dzielenia jedynki przez sinus tego kąta (wzór 6)
Iloczyn tangensa i cotangensa tego samego kąta jest równy jeden (wzór 7).

Konwersja ujemnych kątów funkcji trygonometrycznych (parzystych i nieparzystych)

Aby pozbyć się ujemnej wartości miary stopnia kąta przy obliczaniu sinusa, cosinusa lub tangensa, można skorzystać z następujących przekształceń trygonometrycznych (tożsamości) opartych na zasadach parzystości lub nieparzystości funkcji trygonometrycznych.

Jak widać, cosinus a sieczna to nawet funkcja, sinus, tangens i cotangens - funkcje nieparzyste.

Sinus kąta ujemnego jest równy sinusowi ujemnemu tego samego kąta dodatniego (minus sinus alfa).
Cosinus „minus alfa” da taką samą wartość jak cosinus kąta alfa.
Tangens minus alfa jest równy minus tangens alfa.

Formuły redukcji podwójnego kąta (sinus, cosinus, tangens i cotangens podwójnego kąta)

Jeśli chcesz podzielić kąt na pół lub odwrotnie, przejdź od podwójnego kąta do pojedynczego kąta, możesz użyć następujących tożsamości trygonometrycznych:

Konwersja podwójnego kąta (sinus podwójnego kąta, cosinus podwójnego kąta i tangens podwójnego kąta) do singla następuje według następujących zasad:

Podwójny sinus kąta równy dwukrotności iloczynu sinusa i cosinusa jednego kąta

Podwójny cosinus kąta jest równa różnicy między kwadratem cosinusa jednego kąta a kwadratem sinusa tego kąta

Podwójny cosinus kąta równa się dwukrotności kwadratu cosinusa jednego kąta minus jeden

Podwójny cosinus kąta równy jeden minus podwójny sinus jednego kąta

Podwójny kąt styczny jest równy ułamkowi, którego licznik jest podwójnym tangensem jednego kąta, a mianownik jest równy jeden minus tangens kwadratu jednego kąta.

Cotangens podwójny kąt jest równy ułamkowi, którego licznikiem jest kwadrat cotangensa jednego kąta minus jeden, a mianownik jest równy dwukrotności cotangensa jednego kąta

Uniwersalne wzory podstawienia trygonometrycznego

Poniższe wzory konwersji mogą być przydatne, gdy trzeba podzielić argument funkcji trygonometrycznej (sin α, cos α, tan α) przez dwa i zredukować wyrażenie do połowy kąta. Z wartości α otrzymujemy α / 2.

Te formuły nazywają się uniwersalne trygonometryczne wzory podstawienia... Ich wartość polega na tym, że wyrażenie trygonometryczne za ich pomocą sprowadza się do wyrażenia stycznej pół kąta, niezależnie od tego, które funkcje trygonometryczne (sin cos tg ctg) były pierwotnie w tym wyrażeniu. Po tym równanie ze tangensem równym połowie kąta jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania.

Transformacje trygonometryczne pół kąta

Poniżej znajdują się wzory do konwersji trygonometrycznej połowy kąta na wartość całkowitą.
Wartość argumentu funkcji trygonometrycznej α/2 sprowadza się do wartości argumentu funkcji trygonometrycznej α.

Wzory trygonometryczne do dodawania kątów

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangens i cotangens sumy kątów alfa i beta mogą być konwertowane według następujących reguł konwersji funkcji trygonometrycznych:

Tangens sumy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest sumą stycznej pierwszego kąta i stycznej drugiego kąta, a mianownik to jeden minus iloczyn stycznej pierwszego kąta i stycznej drugiego kąta .

tangens różnicy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest równy różnicy między tangensem kąta zredukowanego i tangensa kąta odejmowanego, a mianownik jest równy jeden plus iloczyn stycznych tych kątów.

Cotangens sumy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest równy iloczynowi cotangensów tych kątów plus jeden, a mianownik jest równy różnicy między cotangensem drugiego kąta i cotangensem pierwszego kąta.

Cotangens różnicy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest iloczynem cotangensów tych kątów minus jeden, a mianownik jest równy sumie cotangensów tych kątów.

Te tożsamości trygonometryczne są wygodne w użyciu, gdy trzeba obliczyć na przykład tangens 105 stopni (tg 105). Jeśli przedstawisz to jako tg (45 + 60), możesz użyć podanych identycznych przekształceń stycznej sumy kątów, a następnie po prostu podstawić wartości tabelaryczne stycznej 45 i stycznej 60 stopni.

Wzory przeliczania sum lub różnic dla funkcji trygonometrycznych

Wyrażenia reprezentujące sumę postaci sin α + sin β można przekształcić za pomocą następujących wzorów:

Wzory z trzema kątami - przelicz sin3α cos3α tg3α na sinα cosα tgα

Czasami konieczne jest przekształcenie potrójnej wartości kąta, aby kąt α stał się argumentem funkcji trygonometrycznej zamiast 3α.
W takim przypadku możesz użyć wzorów transformacji potrójnego kąta (tożsamości):

Wzory transformacyjne dla iloczynu funkcji trygonometrycznych

Jeśli zajdzie potrzeba przekształcenia iloczynu sinusów o różnych kątach z cosinusów o różnych kątach lub nawet iloczynu sinusa i cosinusa, można użyć następujących tożsamości trygonometrycznych:


W takim przypadku iloczyn funkcji sinus, cosinus lub tangens dla różnych kątów zostanie przeliczony na sumę lub różnicę.

Wzory redukcji funkcji trygonometrycznej

Musisz użyć tabeli rzutowania w następujący sposób. W wierszu wybierz interesującą nas funkcję. Kolumna zawiera róg. Na przykład sinus kąta (α + 90) na przecięciu pierwszego rzędu i pierwszej kolumny, dowiadujemy się, że sin (α + 90) = cos α.

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych i ich wykorzystaniem w geometrii. Rozwój trygonometrii rozpoczął się w czasach starożytnej Grecji. W średniowieczu naukowcy z Bliskiego Wschodu i Indii wnieśli istotny wkład w rozwój tej nauki.

Artykuł poświęcony jest podstawowym pojęciom i definicjom trygonometrii. Omówiono definicje głównych funkcji trygonometrycznych: sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ich znaczenie jest wyjaśnione i zilustrowane w kontekście geometrii.

Początkowo definicje funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest kąt, były wyrażane w kategoriach stosunków boków trójkąta prostokątnego.

Definicje funkcji trygonometrycznych

Sinus kąta (sin α) to stosunek nogi przeciwnej do tego kąta do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta (cos α) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta (t g α) jest stosunkiem przeciwległego ramienia do sąsiedniego.

Cotangens kątowy (ct g α) - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej.

Te definicje podano dla kąta ostrego trójkąta prostokątnego!

Oto ilustracja.

W trójkącie ABC o kącie prostym C sinus kąta A jest równy stosunkowi odnogi BC do przeciwprostokątnej AB.

Definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa pozwalają obliczyć wartości tych funkcji ze znanych długości boków trójkąta.

Ważne do zapamiętania!

Zakres wartości sinusa i cosinusa: od -1 do 1. Innymi słowy sinus i cosinus przyjmują wartości od -1 do 1. Zakres wartości tangensa i cotangensa to liczba całkowita line, czyli funkcje te mogą przyjmować dowolne wartości.

Podane powyżej definicje dotyczą ostrych narożników. W trygonometrii wprowadza się pojęcie kąta obrotu, którego wartość, w przeciwieństwie do kąta ostrego, nie ogranicza się do ramy od 0 do 90 st. Kąt obrotu w stopniach lub radianach wyraża się dowolną liczbą rzeczywistą od - ∞ do + ∞.

W tym kontekście można podać definicję sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta o dowolnej wielkości. Wyobraź sobie okrąg jednostkowy wyśrodkowany na początku kartezjańskiego układu współrzędnych.

Punkt początkowy A o współrzędnych (1, 0) obraca się wokół środka okręgu jednostkowego o pewien kąt α i przechodzi do punktu A 1. Definicja jest podana poprzez współrzędne punktu A 1 (x, y).

Sinus (sin) kąta obrotu

Sinus kąta obrotu α jest rzędną punktu A 1 (x, y). grzech α = y

Cosinus (cos) kąta obrotu

Cosinus kąta obrotu α jest odciętą punktu A 1 (x, y). cos α = x

Styczna (tg) kąt obrotu

Tangens kąta obrotu α jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 (x, y) do jego odciętej. t g α = y x

Cotangens (ctg) kąta obrotu

Cotangens kąta obrotu α jest stosunkiem odciętej punktu A 1 (x, y) do jego rzędnej. c t g α = x y

Sinus i cosinus są definiowane dla dowolnego kąta obrotu. Jest to logiczne, ponieważ odciętą i rzędną punktu po skręcie można wyznaczyć pod dowolnym kątem. Inaczej jest z tangensem i cotangensem. Styczna nie jest zdefiniowana, gdy punkt po skręcie przechodzi do punktu z zerową odciętą (0, 1) i (0, - 1). W takich przypadkach wyrażenie na styczną t g α = y x po prostu nie ma sensu, ponieważ zawiera dzielenie przez zero. Podobnie jest z cotangensem. Różnica polega na tym, że cotangens nie jest zdefiniowany, gdy znika rzędna punktu.

Ważne do zapamiętania!

Sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnego kąta α.

Styczna jest zdefiniowana dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Cotangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Rozwiązując praktyczne przykłady, nie mów „sinus kąta obrotu α”. Słowa „kąt obrotu” są po prostu pominięte, co sugeruje, że z kontekstu jasno wynika, o co chodzi.

Liczby

A co z definicją sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby, a nie kąta obrotu?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens liczby

Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby T jest liczbą równą odpowiednio sinusowi, cosinusowi, tangensowi i cotangensowi in T radian.

Na przykład sinus 10 π jest równy sinusowi kąta obrotu 10 π rad.

Istnieje inne podejście do określania sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby. Rozważmy to bardziej szczegółowo.

Dowolna liczba rzeczywista T przypisywany jest punkt na okręgu jednostkowym, którego środek znajduje się na początku prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich. Sinus, cosinus, tangens i cotangens są definiowane przez współrzędne tego punktu.

Punktem początkowym na okręgu jest punkt A o współrzędnych (1, 0).

Liczba dodatnia T

Liczba ujemna T odpowiada punktowi, do którego dojdzie punkt początkowy, jeśli porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara po okręgu i przetnie ścieżkę t.

Teraz, gdy połączenie między liczbą a punktem na okręgu jest ustalone, przechodzimy do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Sinus (grzech) t

Sinus liczby T jest rzędną punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie T. grzech t = y

Cosinus (cos) liczby t

liczba cosinus T jest odciętą punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie T. cos t = x

Tangens (tg) liczby t

Tangens liczby T- stosunek rzędnej do odciętej punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie T. t g t = y x = sin t cos t

Te ostatnie definicje są zgodne i nie są sprzeczne z definicją podaną na początku tego punktu. Punkt na okręgu odpowiadający liczbie T, pokrywa się z punktem, do którego dochodzi punkt początkowy po obrocie o kąt T radian.

Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego i liczbowego

Każda wartość kąta α odpowiada pewnej wartości sinusa i cosinusa tego kąta. Podobnie jak w przypadku wszystkich kątów α innych niż α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odpowiada pewna wartość stycznej. Cotangens, jak wspomniano powyżej, jest zdefiniowany dla wszystkich α, z wyjątkiem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Możemy powiedzieć, że sin α, cos α, t g α, c t g α są funkcjami kąta alfa lub funkcjami argumentu kątowego.

Podobnie można mówić o sinus, cosinus, tangens i cotangens jako funkcjach argumentu liczbowego. Do każdej liczby rzeczywistej T odpowiada określonej wartości sinusa lub cosinusa liczby T... Wszystkie liczby inne niż π 2 + π · k, k ∈ Z odpowiadają wartości tangensa. Cotangens jest podobnie zdefiniowany dla wszystkich liczb z wyjątkiem π k, k ∈ Z.

Podstawowe funkcje trygonometrii

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe funkcje trygonometryczne.

Zwykle z kontekstu jasno wynika, z jakim argumentem funkcji trygonometrycznej (argument kąta czy argument liczbowy) mamy do czynienia.

Wróćmy do danych na samym początku definicji i kąta alfa, mieszczącego się w przedziale od 0 do 90 stopni. Definicje trygonometryczne sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa są całkowicie zgodne z definicjami geometrycznymi podanymi przy użyciu współczynników kształtu trójkąta prostokątnego. Pokażmy to.

Weźmy okrąg jednostkowy wyśrodkowany w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Obróćmy punkt początkowy A (1, 0) o kąt do 90 stopni i narysujmy prostopadłą do osi odciętej od wynikowego punktu A 1 (x, y). W powstałym trójkącie prostokątnym kąt A 1 OH jest równy kątowi obrotu α, długość ramienia OH jest równa odciętej punktu A 1 (x, y). Długość ramienia przeciwległego do narożnika jest równa rzędnej punktu A 1 (x, y), a długość przeciwprostokątnej jest równa jeden, ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego.

Zgodnie z definicją z geometrii, sinus kąta α jest równy stosunkowi przeciwległej nogi do przeciwprostokątnej.

grzech α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Oznacza to, że wyznaczenie sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym przez wydłużenie jest równoznaczne z wyznaczeniem sinusa kąta obrotu α, przy alfa mieszczącym się w zakresie od 0 do 90 stopni.

Podobnie, zgodność definicji można wykazać dla cosinusa, tangensa i cotangensa.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Pojęcia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa są głównymi kategoriami trygonometrii - gałęzi matematyki i są nierozerwalnie związane z definicją kąta. Posiadanie tej matematycznej nauki wymaga zapamiętywania i rozumienia wzorów i twierdzeń oraz rozwiniętego myślenia przestrzennego. Dlatego obliczenia trygonometryczne często sprawiają trudności uczniom i studentom. Aby je przezwyciężyć, należy bardziej szczegółowo zapoznać się z funkcjami trygonometrycznymi i wzorami.

Pojęcia w trygonometrii

Aby zrozumieć podstawowe pojęcia trygonometrii, musisz najpierw określić, czym jest trójkąt prostokątny i kąt w kole oraz dlaczego wszystkie podstawowe obliczenia trygonometryczne są z nimi powiązane. Trójkąt, w którym jeden z rogów ma 90 stopni, jest prostokątem. Historycznie figura ta była często wykorzystywana przez ludzi w architekturze, nawigacji, sztuce, astronomii. W związku z tym, studiując i analizując właściwości tej figury, ludzie doszli do obliczenia odpowiednich stosunków jej parametrów.

Główne kategorie związane z trójkątami prostokątnymi to przeciwprostokątna i nogi. Przeciwprostokątna to bok trójkąta przeciwny do kąta prostego. Nogi, odpowiednio, to dwie pozostałe strony. Suma kątów dowolnych trójkątów wynosi zawsze 180 stopni.

Trygonometria sferyczna to część trygonometrii, której nie uczy się w szkole, ale w naukach stosowanych, takich jak astronomia i geodezja, używają jej naukowcy. Osobliwością trójkąta w trygonometrii sferycznej jest to, że zawsze ma sumę kątów większą niż 180 stopni.

Kąty trójkąta

W trójkącie prostokątnym sinus kąta jest stosunkiem nogi przeciwnej do pożądanego kąta do przeciwprostokątnej trójkąta. W związku z tym cosinus jest stosunkiem sąsiedniej nogi i przeciwprostokątnej. Obie te wartości są zawsze mniejsze niż jeden, ponieważ przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa niż noga.

Tangens kąta jest wartością równą stosunkowi przeciwległego ramienia do sąsiedniego ramienia żądanego kąta lub sinusa do cosinusa. Cotangens z kolei jest stosunkiem sąsiedniej nogi o pożądanym kącie do przeciwnej nogi. Cotangens kąta można również uzyskać dzieląc jeden przez wartość tangensa.

Koło jednostkowe

Okrąg jednostkowy w geometrii to okrąg, którego promień jest równy jeden. Okrąg taki konstruowany jest w układzie współrzędnych kartezjańskich, przy czym środek okręgu pokrywa się z punktem początkowym, a położenie początkowe wektora promienia wyznacza się wzdłuż dodatniego kierunku osi X (odcięta). Każdy punkt okręgu ma dwie współrzędne: XX i YY, czyli współrzędne odciętych i rzędnych. Zaznaczając dowolny punkt na okręgu w płaszczyźnie XX i opuszczając z niego prostopadłą do osi odciętej, otrzymujemy trójkąt prostokątny utworzony przez promień do wybranego punktu (oznaczony literą C), przez prostopadłą narysowaną do oś X (punkt przecięcia jest oznaczony literą G) oraz odcinek osi odciętej między początkiem (punkt jest oznaczony literą A) a punktem przecięcia G. Otrzymany trójkąt ACG jest trójkątem prostokątnym trójkąt wpisany w okrąg, gdzie AG to przeciwprostokątna, a AC i GC to odnogi. Kąt między promieniem okręgu AC a odcinkiem osi odciętej o oznaczeniu AG określamy jako α (alfa). A więc cos α = AG / AC. Biorąc pod uwagę, że AC jest promieniem okręgu jednostkowego i jest równy jeden, okazuje się, że cos α = AG. Podobnie sin α = CG.

Dodatkowo znając te dane można wyznaczyć współrzędną punktu C na okręgu, ponieważ cos α = AG, a sin α = CG, co oznacza, że ​​punkt C ma określone współrzędne (cos α; sin α). Wiedząc, że tangens jest równy stosunkowi sinusa do cosinusa, możemy wyznaczyć, że tg α = y / x, a ctg α = x / y. Biorąc pod uwagę kąty w ujemnym układzie współrzędnych, można obliczyć, że wartości sinusa i cosinusa niektórych kątów mogą być ujemne.

Obliczenia i podstawowe wzory

Wartości funkcji trygonometrycznych

Po rozważeniu istoty funkcji trygonometrycznych poprzez koło jednostkowe można wyprowadzić wartości tych funkcji dla niektórych kątów. Wartości są wymienione w poniższej tabeli.

Najprostsze tożsamości trygonometryczne

Równania, w których pod znakiem funkcji trygonometrycznej występuje nieznana wartość, nazywane są trygonometrycznymi. Tożsamości o wartości sin х = α, k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, | a | > 1, brak rozwiązań.
5. sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Tożsamości o wartości cos x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. cos x = 0, x = π / 2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, | a | > 1, brak rozwiązań.
5. cos x = a, | a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

Tożsamości o wartości tg x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x = a, x = arctan α + πk.

Tożsamości o wartości ctg x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Formuły odlewania

Ta kategoria formuł stałych oznacza metody, za pomocą których można przełączyć się z funkcji trygonometrycznych postaci na funkcje argumentu, czyli doprowadzić sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wartości do odpowiednich wskaźników kąt przedziału od 0 do 90 stopni dla większej wygody obliczeń.

Wzór na przeliczanie funkcji na sinus kąta wygląda następująco:

• grzech (900 - α) = α;
• grzech (900 + α) = cos α;
• grzech (1800 - α) = grzech α;
• grzech (1800 + α) = -sin α;
• grzech (2700 - α) = -cos α;
• grzech (2700 + α) = -cos α;
• grzech (3600 - α) = -sin α;
• grzech (3600 + α) = grzech α.

Dla cosinusa kąta:

• cos (900 - α) = sin α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - a) = -cos a;
• cos (1800 + a) = -cos a;
• cos (2700 - α) = -sin α;
• cos (2700 + α) = sin α;
• cos (3600 - a) = cos a;
• cos (3600 + α) = cos α.

Stosowanie powyższych wzorów jest możliwe z zastrzeżeniem dwóch zasad. Po pierwsze, jeśli kąt można przedstawić jako wartość (π / 2 ± a) lub (3π / 2 ± a), wartość funkcji zmienia się:

• od grzechu do kosmosu;
• od cos do grzechu;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Wartość funkcji pozostaje niezmieniona, jeśli kąt można przedstawić jako (π ± a) lub (2π ± a).

Po drugie, znak funkcji zredukowanej się nie zmienia: jeśli początkowo był dodatni, to taki pozostaje. Podobnie z funkcjami ujemnymi.

Formuły dodawania

Wzory te wyrażają wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa sumy i różnicy dwóch kątów obrotu pod względem ich funkcji trygonometrycznych. Kąty są powszechnie określane jako α i β.

Formuły wyglądają tak:

1. sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Wzory te obowiązują dla dowolnych wartości kątów α i β.

Formuły podwójnego i potrójnego kąta

Wzory trygonometryczne podwójnego i potrójnego kąta to wzory, które wiążą funkcje kątów 2α i 3α z funkcjami trygonometrycznymi kąta α. Pochodzi z formuł dodawania:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).

Przejście od sumy do produktu

Biorąc pod uwagę, że 2sinx * cosy = sin (x + y) + sin (x-y), upraszczając ten wzór, otrzymujemy tożsamość sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. Podobnie sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2 cos (π / 4 ± α).

Przejście od pracy do sumy

Formuły te wynikają z tożsamości przejścia sumy do iloczynu:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

Formuły redukcji stopni

W tych tożsamościach potęgi kwadratowe i sześcienne sinusa i cosinusa mogą być wyrażone w postaci sinusa i cosinusa pierwszej potęgi kąta wielokrotnego:

• grzech ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• grzech ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• grzech ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

Uniwersalna substytucja

Uniwersalne wzory podstawienia trygonometrycznego wyrażają funkcje trygonometryczne jako tangens półkąta.

• sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), gdzie x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), gdzie x = π + 2πn;
• tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), gdzie x = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), natomiast x = π + 2πn.

Przypadki specjalne

Poniżej podano poszczególne przypadki najprostszych równań trygonometrycznych (k jest dowolną liczbą całkowitą).

Prywatne dla zatok:

Sin x wartość	Wartość X
0	πk
1	π / 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk lub 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk lub -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk lub 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk lub -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk lub 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk lub -2π / 3 + 2πk

Iloraz cosinusa to:

Cos x wartość	Wartość X
0	π / 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

Prywatny dla stycznej:

Tg x wartość	Wartość X
0	πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3/3	π / 6 + πk
-√3/3	-π / 6 + πk
√3	π / 3 + πk
-√3	-π / 3 + πk

Prywatne dla cotangensa:

Ctg x wartość	Wartość X
0	π / 2 + πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3	π / 6 + πk
-√3	-π / 3 + πk
√3/3	π / 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + πk

Twierdzenia

Twierdzenie sinus

Istnieją dwie wersje twierdzenia - prosta i rozszerzona. Proste twierdzenie o sinusach: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. W tym przypadku a, b, c to boki trójkąta, a α, β, γ to odpowiednio przeciwne kąty.

Twierdzenie o sinusach rozszerzonych dla dowolnego trójkąta: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. W tej tożsamości R oznacza promień okręgu, w który wpisany jest dany trójkąt.

twierdzenie cosinus

Tożsamość jest wyświetlana w następujący sposób: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. We wzorze a, b, c to boki trójkąta, a α to kąt przeciwny do boku a.

Twierdzenie styczne

Wzór wyraża zależność między stycznymi dwóch kątów a długością przeciwległych do nich boków. Boki oznaczono jako a, b, c, a odpowiadające im kąty przeciwne to α, β, γ. Wzór twierdzenia o stycznej to: (a - b) / (a ​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

Twierdzenie cotangensa

Łączy promień okręgu wpisanego w trójkąt z długością jego boków. Jeśli a, b, c są bokami trójkąta, a odpowiednio A, B, C są przeciwległymi kątami, r jest promieniem okręgu wpisanego, a p jest półobwodem trójkąta, następujące tożsamości są ważny:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B / 2 = (p-b) / r;
• ctg C / 2 = (p-c) / r.

Zastosowana aplikacja

Trygonometria to nie tylko nauka teoretyczna związana ze wzorami matematycznymi. Jego właściwości, twierdzenia i zasady są wykorzystywane w praktyce przez różne gałęzie ludzkiej działalności – astronomię, nawigację powietrzną i morską, teorię muzyki, geodezji, chemii, akustykę, optykę, elektronikę, architekturę, ekonomię, inżynierię mechaniczną, prace pomiarowe, grafikę komputerową, kartografia, oceanografia i wiele innych.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe pojęcia trygonometrii, za pomocą których można matematycznie wyrazić związek między kątami i długościami boków w trójkącie oraz znaleźć wymagane wielkości poprzez tożsamości, twierdzenia i reguły.