Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji wykładniczej

Nieustannie doskonalimy naszą technikę różnicowania. W tej lekcji skonsolidujemy omówiony materiał, rozważymy bardziej złożone pochodne, a także zapoznamy się z nowymi technikami i sztuczkami do znajdowania pochodnej, w szczególności z pochodną logarytmiczną.

Ci czytelnicy o niskim poziomie wyszkolenia powinni zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, który pozwoli Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozum i rozwiąż wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest trzymanie się stanowiska „Gdzie jeszcze? I to wystarczy! ”, Ponieważ wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z prawdziwych testów i często znajdują zastosowanie w praktyce.

Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. W trakcie studiowania rachunku różniczkowego i innych działów analizy matematycznej będziesz musiał bardzo często różnicować i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) pisanie przykładów z dużą szczegółowością. Dlatego przećwiczymy ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:

Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej :

Przy studiowaniu innych tematów matan w przyszłości, tak szczegółowy zapis często nie jest wymagany, zakłada się, że uczeń jest w stanie znaleźć podobne pochodne na automatycznym autopilocie. Wyobraź sobie, że o 3 nad ranem zadzwonił telefon i przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch iksów?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: .

Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 1

Znajdź ustnie następujące pochodne w jednym kroku, na przykład:. Aby wykonać zadanie, musisz użyć tylko tabela pochodnych funkcji elementarnych(jeśli nie jest jeszcze pamiętany). Jeśli masz jakiekolwiek trudności, polecam ponownie przeczytać lekcję. Pochodna funkcji zespolonej.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpowiedzi na koniec lekcji

Złożone pochodne

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim egzemplarze z nasadkami funkcyjnymi 3-4-5 będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym trudnym, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś będzie cierpiał), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wyglądało jak dziecięcy żart.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji zespolonej przede wszystkim konieczne jest Prawidłowy ZROZUMIEĆ załączniki. W przypadkach, w których pojawiają się wątpliwości, przywołuję użyteczną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „X” i próbujemy (w myślach lub szkicu) zastąpić tę wartość w „strasznym wyrażeniu”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że ​​kwota jest najgłębszą inwestycją.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie podnieś cosinus do sześcianu:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie, najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonych są stosowane w odwrotnej kolejności, od najbardziej zewnętrznej funkcji do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wydaje się bez błędów….

(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

(2) Bierzemy pochodną różnicy stosując regułę

(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim członie bierzemy pochodną stopnia (sześcian).

(4) Bierzemy pochodną cosinusa.

(5) Bierzemy pochodną logarytmu.

(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego zagnieżdżenia.

Może to zabrzmieć zbyt trudne, ale nie jest to jeszcze najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz cały urok i prostotę analizowanej pochodnej. Zauważyłem, że lubią dawać podobne rzeczy na egzaminie, aby sprawdzić, czy uczeń rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy nie rozumie.

Następny przykład dotyczy rozwiązania typu „zrób to sam”.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosuj zasady liniowości i zasadę różnicowania produktów

Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka.

Teraz nadszedł czas, aby przejść do czegoś bardziej kompaktowego i uroczego.
Nie jest niczym niezwykłym, że przykład daje produkt o nie dwóch, ale trzech funkcjach. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zobaczmy, czy możliwe jest przekształcenie iloczynu trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w produkcie dwa wielomiany, moglibyśmy rozszerzyć nawiasy. Ale w tym przykładzie wszystkie funkcje są różne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne konsekwentnie zastosować zasadę różnicowania produktów dwa razy

Sztuczka polega na tym, że dla "y" oznaczamy iloczyn dwóch funkcji:, a dla "ve" - ​​logarytm:. Dlaczego można to zrobić? Czy to? - to nie jest iloczyn dwóch czynników i zasada nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje po raz drugi zastosować regułę do nawiasu:

Nadal można być zboczonym i wstawić coś poza nawiasy, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź w tej formie – łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Oba rozwiązania są absolutnie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, w próbce jest ono rozwiązane w pierwszy sposób.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Istnieje kilka sposobów, aby przejść tutaj:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie napisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy regułę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład jest rozwiązany i jeśli zostawisz go tak, jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić szkic, ale czy można uprościć odpowiedź? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbyć się trzypiętrowej frakcji:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest to, że istnieje ryzyko pomyłki nie w znalezieniu pochodnej, ale w przypadku banalnych przekształceń szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie sobie” pochodnej.

Prostszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, w którym proponuje się „straszny” logarytm do różniczkowania

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść długą drogę, stosując zasadę różnicowania funkcji złożonej:

Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża cię w przygnębieniu - musisz wziąć nieprzyjemną pochodną z ułamka stopnia, a potem także z ułamka.

Dlatego przed jak obliczyć pochodną logarytmu „fantazyjnego”, jest to wstępnie uproszczone za pomocą znanych właściwości szkolnych:

! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, skopiuj te formuły właśnie tam. Jeśli nie masz zeszytu, przerysuj je na kartce papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą krążyć wokół tych wzorów.

Samo rozwiązanie może mieć następującą strukturę:

Przekształćmy funkcję:

Znajdź pochodną:

Wstępna konfiguracja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Tak więc, gdy do zróżnicowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest jego „rozbicie”.

A teraz kilka prostych przykładów samodzielnego rozwiązania:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Wszystkie przemiany i odpowiedzi na koniec lekcji.

Pochodna logarytmiczna

Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, to pojawia się pytanie, czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Mogą! A nawet konieczne.

Przykład 11

Znajdź pochodną funkcji

Ostatnio widzieliśmy podobne przykłady. Co robić? Możesz konsekwentnie stosować zasadę różnicowania ilorazu, a następnie zasadę różnicowania pracy. Wadą tej metody jest to, że dostajesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.

Ale w teorii i praktyce jest tak cudowna rzecz jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można sztucznie zorganizować, „zawieszając” je po obu stronach:

Notatka : odkąd funkcja może przyjmować wartości ujemne, wtedy generalnie trzeba użyć modułów: które znikną w wyniku różnicowania. Jednak obecny projekt jest również akceptowalny, w którym brane są pod uwagę wartości domyślne złożony wartości. Ale jeśli z całą surowością, to w obu przypadkach należy zastrzec, że.

Teraz musisz maksymalnie „zniszczyć” logarytm prawej strony (wzory przed oczami?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:

Właściwie przechodzimy do różnicowania.
Obie części zamykamy pod kreską:

Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę tego komentować, bo jeśli czytasz ten tekst, powinieneś śmiało sobie z tym poradzić.

A co z lewą stroną?

Po lewej mamy złożona funkcja... Przewiduję pytanie: "Dlaczego pod logarytmem jest też jedna litera" ygrek "?

Faktem jest, że ten „jeden list igrek” - SAMO JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to bardzo jasne, zapoznaj się z artykułem Pochodne z funkcji niejawnej). Logarytm jest więc funkcją zewnętrzną, a „gra” funkcją wewnętrzną. I stosujemy zasadę różniczkowania funkcji złożonej :

Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki, mamy pochodną. Dalej, zgodnie z zasadą proporcji, rzucamy „grę” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:

A teraz przypomnimy sobie, jaki rodzaj funkcji „gry” omawialiśmy w zróżnicowaniu? Patrzymy na stan:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 12

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”. Próbka projektu przykładu tego typu na końcu lekcji.

Za pomocą pochodnej logarytmicznej można było rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje są tam prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.

Pochodna funkcji wykładniczej

Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja wykładnicza to funkcja, w której a stopień i podstawa zależą od „x”... Klasyczny przykład, który zostanie ci podany w dowolnym podręczniku lub w dowolnym wykładzie:

Jak znaleźć pochodną funkcji wykładniczej?

Konieczne jest zastosowanie właśnie omówionej techniki - pochodnej logarytmicznej. Po obu stronach zawieszamy logarytmy:

Z reguły stopień wyjmuje się spod logarytmu po prawej stronie:

W rezultacie po prawej stronie otrzymaliśmy iloczyn dwóch funkcji, który będzie zróżnicowany według standardowego wzoru .

Znajdujemy pochodną, ​​w tym celu umieszczamy obie części pod kreskami:

Dalsze działania są proste:

Wreszcie:

Jeśli jakakolwiek transformacja nie jest całkowicie jasna, przeczytaj uważnie ponownie wyjaśnienia w przykładzie 11.

W zadaniach praktycznych funkcja wykładnicza będzie zawsze bardziej skomplikowana niż rozważany przykład wykładowy.

Przykład 13

Znajdź pochodną funkcji

Używamy pochodnej logarytmicznej.

Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - "x" i "logarytmu logarytmu x" (inny logarytm jest osadzony pod logarytmem). Przy różnicowaniu stałej, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć znak pochodnej, aby nie przeszkadzał nam pod stopami; i oczywiście stosujemy znaną regułę :

Dowód i wyprowadzenie wzorów na pochodną logarytmu naturalnego i podstawy logarytmu. Przykłady obliczania pochodnych ln 2x, ln 3x i ln nx. Dowód wzoru na pochodną n-tego rzędu logarytmu metodą indukcji matematycznej.

Zadowolony

Zobacz też: Logarytm - właściwości, wzory, wykres
Logarytm naturalny - właściwości, wzory, wykres

Wyprowadzanie wzorów na pochodne logarytmu naturalnego i podstawy logarytmu a

Pochodna logarytmu naturalnego x równa się jedynce podzielonej przez x:
(1) (ln x) ′ =.

Pochodna podstawy logarytmu a jest równa jedynce podzielonej przez zmienną x razy logarytm naturalny a:
(2) (log a x) ′ =.

Dowód

Niech będzie jakaś liczba dodatnia, która nie jest równa jedności. Rozważmy funkcję, która zależy od zmiennej x, która jest logarytmem podstawy:
.
Ta funkcja jest zdefiniowana w. Znajdźmy jego pochodną względem zmiennej x. Z definicji pochodną jest granica:
(3) .

Przekształćmy to wyrażenie, aby zredukować je do dobrze znanych właściwości i reguł matematycznych. Aby to zrobić, musimy znać następujące fakty:
A) Własności logarytmiczne. Potrzebujemy następujących formuł:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Ciągłość logarytmu i własność granic dla funkcji ciągłej:
(7) .
Oto jakaś funkcja, która ma granicę, a ta granica jest dodatnia.
V) Znaczenie drugiej niezwykłej granicy:
(8) .

Stosujemy te fakty do naszego limitu. Najpierw przekształcamy wyrażenie algebraiczne
.
W tym celu stosujemy właściwości (4) i (5).

.

Wykorzystajmy własność (7) i drugą godną uwagi granicę (8):
.

I wreszcie stosujemy właściwość (6):
.
Podstawa logarytmiczna mi nazywa naturalny logarytm... Jest oznaczony w następujący sposób:
.
Następnie ;
.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór (2) na pochodną logarytmu.

Pochodna logarytmu naturalnego

Jeszcze raz wypisujemy wzór na pochodną logarytmu względem podstawy a:
.
Ten wzór ma najprostszą postać logarytmu naturalnego, dla którego . Następnie
(1) .

Ze względu na tę prostotę logarytm naturalny jest bardzo szeroko stosowany w analizie matematycznej oraz w innych działach matematyki związanych z rachunkiem różniczkowym. Funkcje logarytmiczne o innych podstawach można wyrazić w postaci logarytmu naturalnego za pomocą własności (6):
.

Bazową pochodną logarytmu można znaleźć ze wzoru (1), jeśli ze znaku różniczkowania wyjmiemy stałą:
.

Inne sposoby udowodnienia pochodnej logarytmu

Tutaj zakładamy, że znamy wzór na pochodną wykładnika:
(9) .
Następnie możemy wyprowadzić wzór na pochodną logarytmu naturalnego, zakładając, że logarytm jest odwrotnością funkcji wykładniczej.

Udowodnijmy wzór na pochodną logarytmu naturalnego, stosując wzór na pochodną funkcji odwrotnej:
.
W naszym przypadku . Funkcja odwrotna do logarytmu naturalnego to wykładnik:
.
Jego pochodną określa wzór (9). Zmienne można oznaczyć dowolną literą. We wzorze (9) zamień zmienną x na y:
.
Od tego czasu
.
Następnie
.
Formuła jest sprawdzona.

Teraz udowodnimy wzór na pochodną logarytmu naturalnego używając złożone reguły różnicowania funkcji... Ponieważ funkcje i są odwrotne do siebie, to
.
Różnicujemy to równanie ze względu na zmienną x:
(10) .
Pochodna x jest równa jeden:
.
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:
.
Tutaj . Zastąp w (10):
.
Stąd
.

Przykład

Znajdź pochodne w 2x, w 3x oraz w nx.

Oryginalne funkcje są podobne. Dlatego znajdziemy pochodną funkcji y = ln nx... Następnie podłącz n = 2 i n = 3. I tak otrzymujemy wzory na pochodne w 2x oraz w 3x .

Więc szukamy pochodnej funkcji
y = ln nx .
Wyobraźmy sobie tę funkcję jako funkcję złożoną, składającą się z dwóch funkcji:
1) Funkcje zależne od zmiennej:;
2) Funkcje zależne od zmiennych:.
Wtedy pierwotna funkcja składa się z funkcji i:
.

Znajdźmy pochodną funkcji względem zmiennej x:
.
Znajdźmy pochodną funkcji względem zmiennej:
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
.
Tutaj założyliśmy.

Więc znaleźliśmy:
(11) .
Widzimy, że pochodna jest niezależna od n. Wynik ten jest całkiem naturalny, jeśli przekształcimy pierwotną funkcję za pomocą wzoru na logarytm iloczynu:
.
jest stała. Jego pochodna wynosi zero. Następnie zgodnie z zasadą różnicowania sumy mamy:
.

; ; .

Pochodna logarytmu modułu x

Znajdźmy pochodną innej bardzo ważnej funkcji - logarytmu naturalnego modułu x:
(12) .

Rozważmy przypadek. Wtedy funkcja ma postać:
.
Jej pochodną określa wzór (1):
.

Rozważmy teraz sprawę. Wtedy funkcja ma postać:
,
gdzie .
Ale znaleźliśmy również pochodną tej funkcji w powyższym przykładzie. Nie zależy od n i jest równe
.
Następnie
.

Łączymy te dwa przypadki w jedną formułę:
.

W związku z tym dla podstawy logarytmu a mamy:
.

Pochodne wyższego rzędu logarytmu naturalnego

Rozważ funkcję
.
Znaleźliśmy jego pochodną pierwszego rzędu:
(13) .

Znajdź pochodną drugiego rzędu:
.
Znajdź pochodną trzeciego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną czwartego rzędu:
.

Widać, że pochodna n-tego rzędu ma postać:
(14) .
Udowodnijmy to metodą indukcji matematycznej.

Dowód

Podstawmy wartość n = 1 do wzoru (14):
.
Ponieważ wtedy dla n = 1 , formuła (14) jest poprawna.

Załóżmy, że wzór (14) obowiązuje dla n = k. Udowodnijmy, że z tego wynika, że ​​wzór jest ważny dla n = k + 1 .

Rzeczywiście, dla n = k mamy:
.
Rozróżniamy względem zmiennej x:

.
Więc dostaliśmy:
.
Wzór ten pokrywa się ze wzorem (14) dla n = k + 1 ... Zatem z założenia, że ​​wzór (14) jest ważny dla n = k, wynika, że ​​wzór (14) jest ważny dla n = k + 1 .

Zatem wzór (14), dla pochodnej n-tego rzędu, jest ważny dla dowolnego n.

Pochodne wyższego rzędu logarytmu o podstawie a

Aby znaleźć pochodną podstawy n-tego rzędu logarytmu, musisz wyrazić ją w postaci logarytmu naturalnego:
.
Stosując wzór (14), znajdujemy n-tą pochodną:
.

Zobacz też:

Bardzo łatwo to zapamiętać.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważymy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywamy „naturalnym” i używamy dla niego specjalnej notacji: zamiast tego pisz.

Co jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wykładnik i logarytm naturalny są funkcjami wyjątkowo prostymi z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po przejrzeniu reguł różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej nazwać ten proces jednym słowem? Nie wyprowadzenie ... Różniczka matematyki nazywa się tym samym przyrostem funkcji w. Termin ten pochodzi od łacińskiego różniczka - różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Potrzebujemy również wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest przesuwana poza znak pochodnej.

Jeśli jest pewną liczbą stałą (stałą), to.

Oczywiście ta zasada działa również na różnicę:.

Udowodnijmy to. Pozwól, albo łatwiej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w punkcie;
2. w punkcie;
3. w punkcie;
4. w punkcie.

Rozwiązania:

1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna utworu

Tutaj wszystko jest takie samo: wprowadzamy nową funkcję i znajdujemy jej przyrost:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz Twoja wiedza wystarczy, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładnika (zapomniałeś, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy rzutować naszą funkcję na nową podstawę:

W tym celu zastosujemy prostą zasadę:. Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapomnij, że ta funkcja jest trudna.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: tak jak było, pojawił się tylko mnożnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To tylko liczba, której nie można obliczyć bez kalkulatora, to znaczy nie można jej zapisać w prostszej formie. Dlatego w odpowiedzi zostawiamy to w tej formie.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, więc stosujemy odpowiednią zasadę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny z logarytmów o innej podstawie, na przykład:

Musisz sprowadzić ten logarytm do bazy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczba stała, bez zmiennej). Pochodna jest bardzo prosta:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie występują podczas egzaminu, ale znajomość ich nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „złożona funkcja”? Nie, to nie jest logarytm ani arcus tangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (choć jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarytmy” i wszystko minie), ale z punktu widzenia matematyki słowo „trudny” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują jakąś akcję z niektórymi przedmiotami. Na przykład pierwszy zawija tabliczkę czekolady w papierek, a drugi wiąże go wstążką. Okazuje się, że taki złożony przedmiot: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, musisz wykonać odwrotne kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynik do kwadratu. Dostajemy więc numer (batonik czekoladowy), znajduję jego cosinus (opakowanie), a następnie podbijasz to, co mam (wiążesz to wstążką). Co się stało? Funkcjonować. Oto przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z wynikiem pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu.

Równie dobrze możemy wykonać te same czynności w odwrotnej kolejności: najpierw do kwadratu, a potem szukam cosinusa otrzymanej liczby:. Łatwo zgadnąć, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha złożonych funkcji: kiedy zmieniasz kolejność czynności, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). ...

Akcja, którą wykonamy jako ostatni, zostanie nazwana Funkcja „zewnętrzna”, a działanie podjęte jako pierwsze - odpowiednio Funkcja „wewnętrzna”(są to nieformalne nazwy, używam ich tylko do wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam ustalić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Rozdzielanie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

1. Jakie jest pierwsze działanie, które należy podjąć? Najpierw obliczymy sinus, a dopiero potem podniesiemy go do sześcianu. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
   A pierwotną funkcją jest ich skład:.
2. Wewnętrzny:; zewnętrzny:.
   Badanie: .
3. Wewnętrzny:; zewnętrzny:.
   Badanie: .
4. Wewnętrzny:; zewnętrzny:.
   Badanie: .
5. Wewnętrzny:; zewnętrzny:.
   Badanie: .

zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wydobędziemy naszą tabliczkę czekolady - poszukaj pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, a następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W stosunku do oryginalnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wszystko wydaje się proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne:;

Zewnętrzny:;

2) Wewnętrzne:;

(tylko nie próbuj teraz zmniejszać! Nic nie da się wyjąć spod cosinusa, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne:;

Zewnętrzny:;

Od razu widać, że jest to złożona funkcja trzypoziomowa: w końcu jest to już sama w sobie złożona funkcja i z niej również wydobywamy korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (wkładamy tabliczkę czekolady opakowanie i włożyć do teczki ze wstążką). Ale nie ma się czego bać: i tak tę funkcję „rozpakujemy” w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw rozróżniamy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasie. A potem to wszystko pomnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować kroki. To znaczy wyobraźmy sobie, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Weźmy przykład:

Im później zostanie wykonana akcja, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Kolejność czynności - jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżanie jest generalnie 4-poziomowe. Zdefiniujmy kierunek działania.

1. Radykalny wyraz. ...

2. Korzeń. ...

3. Zatok. ...

4. Kwadrat. ...

5. Składając wszystko razem:

POCHODNA. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu z nieskończenie małym przyrostem argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest przesuwana poza znak pochodnej:

Pochodna kwoty:

Pochodna pracy:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji zespolonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Myślisz, że do egzaminu jest jeszcze dużo czasu? Czy to miesiąc? Dwa? Rok? Praktyka pokazuje, że uczeń najlepiej radzi sobie z egzaminem, jeśli zaczął się do niego wcześniej przygotowywać. Na egzaminie jest wiele trudnych zadań, które stoją na drodze studenta i przyszłego kandydata do uzyskania najwyższych wyników. Musisz nauczyć się pokonywać te przeszkody, poza tym nie jest to trudne. Musisz zrozumieć zasadę pracy z różnymi zadaniami z biletów. Wtedy nie będzie problemów z nowymi.

Na pierwszy rzut oka logarytmy wydają się niezwykle złożone, ale szczegółowa analiza znacznie upraszcza sytuację. Jeśli chcesz zdać egzamin na najwyższy wynik, powinieneś zrozumieć pojęcie, o którym mowa, co proponujemy w tym artykule.

Zacznijmy od oddzielenia tych definicji. Co to jest logarytm (log)? Jest to wskaźnik, do jakiego stopnia podstawa musi zostać podniesiona, aby uzyskać wskazaną liczbę. Jeśli nie jest to jasne, spójrzmy na podstawowy przykład.

W takim przypadku podstawa poniżej musi zostać podniesiona do drugiej potęgi, aby uzyskać liczbę 4.

Zajmijmy się teraz drugą koncepcją. Pochodna funkcji w dowolnej postaci to pojęcie charakteryzujące zmianę funkcji w zredukowanym punkcie. Jest to jednak program szkolny i jeśli masz problemy z tymi pojęciami osobno, warto powtórzyć temat.

Pochodna logarytmu

W zadaniach egzaminu na ten temat jako przykład można podać kilka zadań. Na początek najprostsza pochodna logarytmiczna. Konieczne jest znalezienie pochodnej następującej funkcji.

Musimy znaleźć następującą pochodną

Istnieje specjalna formuła.

W tym przypadku x = u, log3x = v. Podstawiamy wartości z naszej funkcji do wzoru.

Pochodna x będzie równa jeden. Logarytm jest trochę trudniejszy. Ale możesz zrozumieć tę zasadę, jeśli po prostu zastąpisz wartości. Przypomnijmy, że pochodna lg x nazywana jest pochodną logarytmu dziesiętnego, a pochodna ln x jest pochodną logarytmu naturalnego (podstawa e).

Teraz po prostu podłącz te wartości do formuły. Spróbuj sam, a następnie sprawdź odpowiedź.

Jaki może być problem dla niektórych? Wprowadziliśmy pojęcie logarytmu naturalnego. Opowiemy Ci o tym, a jednocześnie dowiemy się, jak rozwiązywać z nim problemy. Nie zobaczysz niczego skomplikowanego, zwłaszcza gdy zrozumiesz, jak to działa. Powinieneś się do tego przyzwyczaić, ponieważ jest często używany w matematyce (szczególnie w szkolnictwie wyższym).

Pochodna logarytmu naturalnego

W swojej istocie jest to pochodna logarytmu o podstawie e (jest to liczba niewymierna równa około 2,7). W rzeczywistości ln jest bardzo proste i dlatego jest często używane w matematyce w ogóle. Właściwie rozwiązanie problemu z nim również nie będzie problemem. Warto pamiętać, że pochodna logarytmu naturalnego o podstawie e będzie równa jedynce podzielonej przez x. Najbardziej odkrywczym rozwiązaniem będzie następujący przykład.

Wyobraźmy sobie, że jest to złożona funkcja, składająca się z dwóch prostych.

Wystarczająco na konwersję

Szukanie pochodnej u po x

Kontynuujmy z drugim

Używamy metody rozwiązywania pochodnej funkcji zespolonej przez podstawienie u = nx.

Co zdarzyło się na końcu?

Zapamiętajmy teraz, co oznaczało n w tym przykładzie? Jest to dowolna liczba, która może pojawić się w logarytmie naturalnym przed x. Ważne jest, abyś zrozumiał, że odpowiedź nie zależy od niej. Zastąp, co chcesz, odpowiedzią nadal będzie 1 / x.

Jak widać, nie ma tu nic skomplikowanego, wystarczy tylko zrozumieć zasadę, aby szybko i sprawnie rozwiązywać problemy na ten temat. Teraz znasz teorię, pozostaje ona do utrwalenia w praktyce. Ćwicz rozwiązywanie problemów, aby na długo zapamiętać zasadę ich rozwiązywania. Może nie będziesz potrzebować tej wiedzy po ukończeniu studiów, ale na egzaminie będzie ona bardziej odpowiednia niż kiedykolwiek. Powodzenia!