Sformułuj główną właściwość położenia punktów na linii prostej. Linia prosta na płaszczyźnie - wymagane informacje
Linia prosta na płaszczyźnie – niezbędne informacje.
W tym artykule zajmiemy się jednym z podstawowych pojęć geometrii - pojęciem linii prostej na płaszczyźnie. Najpierw zdefiniujmy podstawowe terminy i oznaczenia. Następnie omówimy względne położenie prostej i punktu oraz dwóch prostych na płaszczyźnie i podamy niezbędne aksjomaty. Na zakończenie rozważymy sposoby wyznaczenia linii prostej na płaszczyźnie oraz przedstawimy ilustracje graficzne.
Nawigacja po stronach.
- Linia prosta na płaszczyźnie to koncepcja.
- Wzajemne ułożenie prostej i punktu.
- Wzajemne rozmieszczenie linii prostych na płaszczyźnie.
- Metody określania linii prostej na płaszczyźnie.
Linia prosta na płaszczyźnie to koncepcja.
Przed podaniem pojęcia linii prostej na płaszczyźnie należy jasno zrozumieć, czym jest płaszczyzna. Koncepcja samolotu pozwala uzyskać np. płaską powierzchnię stołu lub ścianę domu. Należy jednak pamiętać, że wymiary stołu są ograniczone, a płaszczyzna rozciąga się poza te granice do nieskończoności (tak jakbyśmy mieli dowolnie duży stół).
Jeśli weźmiesz dobrze naostrzony ołówek i dotkniesz go prętem do powierzchni „stołu”, otrzymamy obraz punktu. W ten sposób otrzymujemy pomysł punktu na samolocie.
Teraz możesz iść do pojęcie linii prostej na płaszczyźnie.
Na powierzchnię stołu kładziemy arkusz czystego papieru (na samolocie). Aby zobrazować linię prostą, należy wziąć linijkę i narysować ołówkiem linię na tyle, na ile pozwalają na to wymiary linijki i użytej kartki papieru. Należy zauważyć, że w ten sposób otrzymujemy tylko część prostej. Możemy sobie tylko wyobrazić całą prostą, ciągnącą się w nieskończoność.
Powrót na górę strony
Wzajemne ułożenie prostej i punktu.
Powinniśmy zacząć od aksjomatu: na każdej prostej i na każdej płaszczyźnie są punkty.
Przyjęło się oznaczać punkty wielkimi literami łacińskimi, na przykład punkty A oraz F... Z kolei linie proste są oznaczane małymi literami łacińskimi, na przykład proste a oraz D.
Możliwy dwie opcje względnego położenia linii prostej i punktu na płaszczyźnie: albo punkt leży na prostej (w tym przypadku mówią też, że prosta przechodzi przez punkt), albo punkt nie leży na prostej (mówią też, że punkt nie należy do prostej linia lub linia prosta nie przechodzi przez punkt).
Aby wskazać, że punkt należy do pewnej linii prostej, używany jest symbol „”. Na przykład, jeśli punkt A leży na linii prostej a, wtedy możesz pisać. Jeśli punkt A nie należy do direct a następnie zapisz.
Prawdziwe jest następujące stwierdzenie: pojedyncza linia prosta przechodzi przez dowolne dwa punkty.
To stwierdzenie jest aksjomatem i powinno być traktowane jako fakt. Ponadto jest to dość oczywiste: zaznaczamy dwa punkty na papierze, przykładamy do nich linijkę i rysujemy linię prostą. Linia prosta przechodząca przez dwa określone punkty (na przykład przez punkty A oraz V), mogą być oznaczone tymi dwiema literami (w naszym przypadku linia prosta AB lub VA).
Należy rozumieć, że nieskończenie wiele różnych punktów leży na prostej określonej na płaszczyźnie i wszystkie te punkty leżą na tej samej płaszczyźnie. Twierdzenie to ustala aksjomat: jeżeli dwa punkty prostej leżą na pewnej płaszczyźnie, to wszystkie punkty tej prostej leżą na tej płaszczyźnie.
Zbiór wszystkich punktów znajdujących się pomiędzy dwoma punktami podanymi na linii prostej wraz z tymi punktami nazywamy odcinek lub po prostu człon... Punkty, które ograniczają linię, nazywane są końcami linii. Segment jest oznaczony dwiema literami odpowiadającymi punktom końców segmentu. Na przykład niech punkty A oraz V są końce segmentu, to ten segment można oznaczyć AB lub VA... Należy pamiętać, że to oznaczenie odcinka linii pokrywa się z oznaczeniem linii prostej. Aby uniknąć nieporozumień, zalecamy dodanie do oznaczenia słowa „segment” lub „prosto”.
Aby krótko zapisać przynależność i nieprzynależność punktu do określonego segmentu, używane są wszystkie te same symbole i. Aby pokazać, że dany odcinek leży lub nie leży na linii prostej, użyj odpowiednio symboli i . Na przykład, jeśli segment AB należy do bezpośredniego a, można krótko napisać.
Powinno również zastanowić się nad przypadkiem, w którym trzy różne punkty należą do tej samej linii prostej. W tym przypadku jeden i tylko jeden punkt leży między pozostałymi dwoma. To stwierdzenie jest kolejnym aksjomatem. Niech punkty A, V oraz Z leżą na jednej linii prostej, a punkt V leży między punktami A oraz Z... Wtedy możemy powiedzieć, że punkty A oraz Z znajdują się po przeciwnych stronach punktu V... Można też powiedzieć, że punkty V oraz Z połóż się na jednej stronie, a następnie wskazuje A i punkty A oraz V leżeć po jednej stronie punktu Z.
Dla kompletności zwróć uwagę, że dowolny punkt na linii prostej dzieli tę linię na dwie części - dwie promień... W tym przypadku podany jest aksjomat: dowolny punkt O należący do linii prostej dzieli tę linię prostą na dwa promienie, a dowolne dwa punkty jednego promienia leżą po tej samej stronie punktu O, a dowolne dwa punkty różnych promieni znajdują się po przeciwnych stronach punktu O.
Powrót na górę strony
Publikacja ta pomoże usystematyzować zdobytą wcześniej wiedzę, a także przygotować się do egzaminu lub testu i zaliczyć je pomyślnie.
2. Warunek znalezienia trzech punktów na jednej prostej. Równanie prostej. Wzajemny układ punktów i linia prosta. Kilka prostych linii. Odległość od punktu do linii
1. Niech zostaną przyznane trzy punkty A 1 (NS 1 , w 1), A 2 (NS 2 , w 2), A 3 (NS 3 , w 3), to warunek znalezienia ich na jednej linii prostej:
albo ( NS 2 – NS 1) (w 3 – w 1) – (NS 3 – x 1) (w 2 – w 1) = 0.
2. Niech zostaną podane dwa punkty A 1 (NS 1 , w 1), A 2 (NS 2 , w 2), to y wyrównanie linii prostej przechodzącej przez te dwa punkty:
(NS 2 – NS 1)(y - y 1) – (x-x 1)(w 2 – w 1) = 0 lub ( x-x 1) / (NS 2 – NS 1) = (y - y 1) / (w 2 – w 1).
3. Niech będzie sens! m (NS 1 , w 1) i trochę linii prostej L reprezentowane przez równanie w = Oh + z. Równanie prostej przechodzącej równolegle do danej prostej L przez ten punkt M:
y - y 1 = a(x-x 1).
Jeśli prosto L podane przez równanie Oh + Zabiegać + Z m, jest opisany równaniem A(x-x 1) + V(y - y 1) = 0.
Równanie prostej przechodzącej prostopadle do danej prostej L przez ten punkt m:
y - y 1 = –(x-x 1) / a
a(y - y 1) = NS 1 – NS.
Jeśli prosto L podane przez równanie Oh + Zabiegać + Z= 0, to prosta równoległa do niej przechodząca przez punkt m(NS 1 , w 1) jest opisany równaniem A (y - y 1) – V(x-x 1) = 0.
4. Niech zostaną podane dwa punkty A 1 (NS 1 , w 1), A 2 (NS 2 , w 2) i prostą określoną równaniem Oh + Zabiegać + C = 0. Względne położenie punktów względem tej prostej:
1) punkty A 1 , A 2 leżą po jednej stronie tej prostej, jeśli wyrażenia ( Oh 1 + Zabiegać 1 + Z) oraz ( Oh 2 + Zabiegać 2 + Z) mają te same znaki;
2) punkty A 1 ,A 2 leżą po przeciwnych stronach tej prostej, jeśli wyrażenia ( Oh 1 + Zabiegać 1 + Z) oraz ( Oh 2 + Zabiegać 2 + Z) mają różne znaki;
3) jeden lub oba punkty A 1 , A 2 leżą w tej linii, jeśli odpowiednio jedno lub oba wyrażenia ( Oh 1 + + Zabiegać 1 + Z) oraz ( Oh 2 + Zabiegać 2 + Z) weź zero.
5. Belka centralna Czy zestaw prostych linii przechodzących przez jeden punkt? m (NS 1 , w 1) zwany środek belki... Każda z linii prostych belki jest opisana równaniem belki y - y 1 = Do(x-x 1) (parametr wiązki Do dla każdej linii osobna).
Wszystkie linie proste belki można przedstawić równaniem: ja(y - y 1) = m(x-x 1), gdzie ja, ja- arbitralne liczby nie równe zeru w tym samym czasie.
Jeśli dwie proste belki L 1 i L 2 odpowiednio mają postać ( A 1 NS + V 1 w+ Z 1) = 0 i ( A 2 NS+ V 2 w+ Z 2) = 0, to równanie wiązki: m 1 (A 1 NS + V 1 w + Z 1) + m 2 (A 2 NS + V 2 w + Z 2) = 0. Jeśli linie proste L 1 i L 2 przecinające się, to wiązka jest centralna, jeśli proste są równoległe, to wiązka jest równoległa.
6. Niech zostanie dany punkt m(NS 1 ,w 1) i prostą określoną równaniem Topór + Wu + C = 0. Dystans Dz ten zwrotnica m prosto:
- 1. Podstawowe pojęcia. Układy współrzędnych. Linie proste i ich względne położenie
- 2. Warunek znalezienia trzech punktów na jednej prostej. Równanie prostej. Wzajemny układ punktów i linia prosta. Kilka prostych linii. Odległość od punktu do linii
Odcinek to odcinek prostej, na którą składają się wszystkie punkty tej prostej leżące pomiędzy jej dwoma punktami. Punkty te nazywane są końcami linii. Segment jest wskazywany przez wskazanie jego końców.
Na rysunku 7, b, odcinek AB jest częścią prostej a. Punkt M leży między punktami A i B, a zatem należy do odcinka AB; punkt K nie leży między punktami A i B, dlatego nie należy do odcinka AB.
Aksjomat (główna własność) położenia punktów na linii prostej formułuje się następująco:
Z trzech punktów na linii prostej jeden i tylko jeden leży między pozostałymi dwoma.
Poniższy aksjomat wyraża podstawową właściwość mierzenia odcinków linii.
Każdy segment ma określoną długość, większą od zera. Długość segmentu jest równa sumie długości części, na które jest podzielony przez dowolny z jego punktów.
Oznacza to, że jeśli dowolny punkt C zostanie przyjęty na odcinku MK, to długość odcinka MK jest równa sumie długości odcinków MC i SK (rys. 7, c).
Długość odcinka MK nazywana jest również odległością między punktami M i K.
Przykład 1. Na prostej podane są trzy punkty O, P i M. Wiadomo o tym. Czy punkt P leży między O i M? Czy punkt B może należeć do segmentu PM, jeśli? Wyjaśnij odpowiedź.
Rozwiązanie. Punkt P leży pomiędzy punktami O i M, jeśli sprawdzimy spełnienie tego warunku:. Wniosek: punkt P leży między punktami O i M.
Punkt B należy do segmentu PM, jeśli leży między punktami P i M, to znaczy sprawdź: i według warunku. Wniosek: punkt B nie należy do segmentu PM.
Przykład 2. Czy można ułożyć 6, 7 i 8 odcinków na płaszczyźnie tak, aby każdy z nich przecinał się dokładnie z trzema innymi?
Rozwiązanie. W ten sposób można ułożyć 6 segmentów (ryc. 8, o). W ten sposób można również ułożyć 8 segmentów (ryc. 8, b). 7 segmentów nie może być ułożonych w ten sposób.
Udowodnijmy ostatnie stwierdzenie. Załóżmy, że taki układ siedmiu odcinków liniowych jest możliwy. Ponumerujmy segmenty i skomponujmy taką tabelę w komórce na przecięciu wiersza i kolumny, wstawmy „+”, jeśli segment przecina się z j-tym, i „-”, jeśli się nie przecina. Jeśli to też jest ustawione, policzmy na dwa sposoby, ile znaków znajduje się w tabeli.
Z jednej strony w każdym wierszu są ich 3, więc są tylko znaki. Z drugiej strony stół jest wypełniony symetrycznie względem przekątnej:
jeśli w komórce C: j) również jest w komórce. Oznacza to, że całkowita liczba znaków musi być parzysta. Mamy sprzeczność.
Tutaj użyliśmy dowodu przez sprzeczność.
5. Promień.
Półprosta lub półprosta to część prostej, na którą składają się wszystkie punkty tej prostej, leżące po jednej stronie danego punktu. Ten punkt nazywany jest punktem początkowym półprostej lub początkiem promienia. Różne półproste tej samej linii prostej o wspólnym punkcie początkowym nazywane są komplementarnymi.
Półproste są oznaczone małymi literami łacińskimi. Półprostą można oznaczyć dwiema literami: początkową i inną literą odpowiadającą punktowi należącemu do półprostej. W tym przypadku punkt wyjścia jest stawiany na pierwszym miejscu. Na przykład na rysunku 9 pokazano belki AB i AC, które są dodatkowe, na rysunku 9 b pokazano belki MA, MB i belka c.
Poniższy aksjomat odzwierciedla główną właściwość odraczania odcinków linii.
Na dowolnej półprostej od jej punktu początkowego możesz odłożyć odcinek o określonej długości i tylko jeden.
Przykład. Dostajesz dwa punkty A i B. Ile linii możesz narysować przez punkty A i B? Ile promieni istnieje na linii AB, której początek znajduje się w punkcie A, w punkcie B? Zaznacz dwa punkty na linii A B, różne od A i B. Czy należą one do odcinka AB?
Rozwiązanie. 1) Zgodnie z aksjomatem zawsze możesz narysować linię prostą przez punkty A i B i tylko jeden.
2) Na prostej AB o początku w punkcie A znajdują się dwa promienie, które nazywamy dodatkowymi. Podobnie dla punktu B.
3) Odpowiedź zależy od lokalizacji zaznaczonych punktów. Rozważmy możliwe przypadki (ryc. 10). Jasne jest, że w przypadku a) punkty należą do odcinka AB; w przypadkach b), c) jeden punkt
należy do segmentu, a drugi nie; w przypadkach d) i e) punkty M i N nie należą do odcinka AB.
6. Obwód. Koło.
Okrąg to kształt składający się ze wszystkich punktów na płaszczyźnie, które znajdują się w określonej odległości od danego punktu. Ten punkt nazywa się środkiem koła.
Odległość od punktów okręgu do jego środka nazywana jest promieniem okręgu. Każdy odcinek linii łączący punkt okręgu ze środkiem jest również nazywany promieniem.
Odcinek łączący dwa punkty okręgu nazywany jest cięciwą. Cięciwa przechodząca przez środek nazywana jest średnicą.
Rysunek 11, a pokazuje okrąg wyśrodkowany w punkcie O. Odcinek OA to promień tego okręgu, BD to cięciwa okręgu, CM to średnica okręgu.
Okrąg to figura składająca się ze wszystkich punktów płaszczyzny znajdujących się w odległości nie większej niż dany punkt od danego punktu. Ten punkt nazywa się środkiem okręgu, a odległość ta nazywa się promieniem okręgu. Granica koła to okrąg o tym samym środku i promieniu (ryc. 11, b).
Przykład. Jaka jest największa liczba różnych części, które nie mają punktów wspólnych poza granicami, płaszczyznę można podzielić na: a) prostą i okrąg; b) dwa koła; c) trzy koła?
Rozwiązanie. Przedstawmy na rysunku przypadki wzajemnego ułożenia figur odpowiadającego stanowi. Zapiszmy odpowiedź: a) cztery części (ryc. 12, o); b) cztery części (ryc. 12, b); c) osiem części (ryc. 12, c).
7. Półpłaszczyzna.
Sformułujmy jeszcze jeden aksjomat geometrii.
Linia prosta dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny.
Na rysunku 13 linia prosta dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny tak, że każdy punkt płaszczyzny, który nie należy do linii prostej o leży w jednej z nich. Przegroda ta ma następującą właściwość: jeżeli końce jakiegoś odcinka należą do jednej półpłaszczyzny, to odcinek nie przecina się z linią prostą; jeżeli końce segmentu należą do różnych półpłaszczyzn, to segment przecina się linią prostą. Na rysunku 13 punkty leżą w jednej z półpłaszczyzn, na które Linia a dzieli płaszczyznę. Dlatego odcinek AB nie przecina się z linią prostą a. Punkty C i D leżą w różnych półpłaszczyznach. Dlatego segment CD przecina linię a.
8. Kąt. Miara stopnia kąta.
Kąt to figura składająca się z punktu - wierzchołka kąta i dwóch różnych półprostych wychodzących z tego punktu - boków kąta (ryc. 14). Jeśli boki narożnika są dodatkowymi półliniami, wówczas kąt nazywa się rozwiniętym.
Kąt jest wskazywany albo przez wskazanie jego wierzchołka, albo przez wskazanie jego boków, albo przez wskazanie trzech punktów; wierzchołki i dwa punkty po bokach narożnika. Słowo „narożnik” jest czasami zastępowane symbolem Z.
Kąt na rysunku 14 można określić na trzy sposoby:
Mówią, że promień c przechodzi między bokami kąta, jeśli wychodzi z jego wierzchołka i przecina pewien odcinek z końcami po bokach kąta.
Na rysunku 15 promień c przechodzi między bokami kąta, przecinając odcinek AB.
W przypadku narożnika płaskiego każdy promień wychodzący z jego wierzchołka i inny niż jego boki przechodzi między bokami narożnika.
Kąty są mierzone w stopniach. Jeśli rozciągniesz kąt i podzielisz go przez 180 równych kątów, wtedy miara każdego z tych kątów będzie nazywana stopniem.
Podstawowe własności pomiaru kąta wyraża następujący aksjomat:
Każdy kąt ma pewną miarę stopnia, większą od zera. Spłaszczony kąt wynosi 180 °. Miara stopnia kąta jest równa sumie miary stopnia kątów, na które jest podzielony przez dowolny promień przechodzący między jego bokami.
Oznacza to, że jeśli promień c przechodzi między bokami kąta, to kąt jest równy sumie kątów
Miarę stopnia kąta można znaleźć za pomocą kątomierza.
Kąt równy 90 ° nazywany jest kątem prostym. Kąt mniejszy niż 90 ° nazywany jest kątem ostrym. Kąt większy niż 90 ° i mniejszy niż 180 ° nazywa się rozwartym.
Sformułujmy główną właściwość osadzania narożników.
Z dowolnej półlinii do danej półpłaszczyzny można odłożyć kąt o zadaną miarę stopnia mniejszą niż 180 ° i tylko jeden.
Rozważmy półprostą a. Wydłużmy ją poza punkt początkowy A. Otrzymana linia prosta dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Rysunek 16 pokazuje, jak za pomocą kątomierza ustawić kąt o zadanym stopniu równym 60° od półprostej a do górnej półpłaszczyzny.
Jeżeli dwa rogi są odsunięte od danej półprostej w jedną półpłaszczyznę, to bok mniejszego kąta, inny niż podana półprosta, przechodzi między bokami większego kąta.
Niech kąty wykreślone z danej półprostej i w jednej półpłaszczyźnie i niech kąt będzie mniejszy od kąta. Twierdzenie 1.2 mówi, że promień b przechodzi między bokami kąta (ac) (rys. 17).
Dwusieczna kąta to promień wychodzący z jego wierzchołka, przechodzący między jego bokami i dzielący kąt na pół. Na rysunku 18 promień OM jest dwusieczną kąta AOB.
W geometrii istnieje pojęcie kąta płaskiego. Kąt płaski to część płaszczyzny ograniczona dwoma różnymi promieniami wychodzącymi z jednego punktu. Promienie te nazywane są bokami kąta. Z tymi bokami są dwa płaskie narożniki. Nazywa się je komplementarnymi. Na rysunku 19 jeden z płaskich rogów o bokach a i b jest zacieniony.
Jeśli kąt płaski jest częścią półpłaszczyzny, to jego miarą stopnia jest miara stopnia zwykłego kąta o tych samych bokach. Jeżeli kąt płaski zawiera półpłaszczyznę, to jego miarą w stopniach jest 360 ° - a, gdzie a jest miarą w stopniach dodatkowego kąta płaskiego.
Przykład. Wiązka przechodzi między bokami pod kątem równym 120 °. Znajdź kąty, jeśli ich miary stopni wynoszą 4: 2.
Rozwiązanie. Promień a przechodzi między bokami kątownika, czyli zgodnie z podstawową właściwością pomiaru kątów (patrz pkt 8)
Ponieważ miary stopnia są powiązane jak 4: 2, to
9. Naroża przylegające i pionowe.
Dwa rogi nazywane są sąsiednimi, jeśli mają jedną wspólną stronę, a pozostałe boki tych rogów są dodatkowymi półliniami. Na rysunku 20 rogi przylegają do siebie.
Suma kątów sąsiednich wynosi 180 °.
Twierdzenie 1.3 implikuje następujące właściwości:
1) jeżeli dwa kąty są równe, to sąsiadujące z nimi kąty są równe;
2) kąt sąsiadujący z kątem prostym jest kątem prostym;
3) kąt sąsiadujący z ostrym jest rozwarty, a kąt sąsiadujący z rozwartym jest ostry.
Dwa narożniki nazywane są pionowymi, jeśli boki jednego narożnika są komplementarnymi w połowie prostymi bokami drugiego. Na rysunku 21, a rogi są pionowe.
Kąty pionowe są równe.
Oczywiście dwie przecinające się linie proste tworzą kąty przylegające i pionowe. Sąsiednie kąty uzupełniają się do 180 °. Miarą kątową mniejszej z nich jest kąt między liniami prostymi.
Przykład. Na rysunku 21, b, kąt wynosi 30. ° Jakie są kąty AOK i
Rozwiązanie. Kąty COD i AOK są pionowe, dlatego zgodnie z twierdzeniem 1.4 są równe, to znaczy kąt TYUK przylegający do kąta SOD oznacza według twierdzenia 1.3
10. Narożniki środkowe i wpisane.
Kąt środkowy w kole to kąt płaski z wierzchołkiem w środku. Część koła znajdująca się wewnątrz kąta płaskiego nazywana jest łukiem kołowym odpowiadającym temu kątowi środkowemu. Miara stopnia łuku koła jest miarą stopnia odpowiadającego kąta środkowego.
Na rysunku 22 kąt AOB jest kątem środkowym okręgu, jego wierzchołek O jest środkiem tego okręgu, a boki OA i OB przecinają się z okręgiem. Łuk AB jest częścią okręgu wewnątrz środkowego narożnika.
Miara stopnia łuku AB na fig. 22 jest równa mierze stopnia kąta AOB. Miarą stopnia łuku AB jest AB.
Kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a boki przecinają ten okrąg, nazywa się wpisanym w okrąg. Rysunek 23 przedstawia wpisane kąty.
Kąt wpisany w okrąg, którego boki przechodzą przez dwa dane punkty okręgu, jest równy połowie kąta pomiędzy promieniami narysowanymi do tych punktów lub uzupełnia tę połowę do 180 °.
Dowodząc Twierdzenia 1. 5, należy wziąć pod uwagę trzy różne przypadki, które pokazano na rysunku 23: jeden z boków kąta wpisanego przechodzi przez środek okręgu (rysunek 23, c); środek koła leży wewnątrz wpisanego rogu (ryc. 23, b); środek koła leży poza wpisanym kątem (ryc. 23, c).
Z twierdzenia 1. 5 wynika następujący wniosek: wszystkie kąty wpisane w okrąg, którego boki przechodzą przez dwa dane punkty okręgu, a wierzchołki leżą po jednej stronie prostej łączącej te punkty, są równe; Kąty wpisane, których boki przechodzą przez końce średnicy koła, są proste.
Na rysunku 24 boki kąta wpisanego ABC przechodzą przez końce średnicy AC, zatem
Przykład. Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O. Znajdź kąt AOC, jeśli
Rozwiązanie. Kąt ABC wpisany w okrąg opiera się na łuku AC i kącie środkowym tego okręgu (ryc. 25). , stąd twierdzenie 1.5, a ponieważ kąt AOC jest centralny, jego miara stopnia jest równa mierze stopnia łuku AC, tj.
11. Linie równoległe.
Dwie proste na płaszczyźnie nazywane są równoległymi, jeśli się nie przecinają.
Rysunek 26 pokazuje, jak za pomocą kwadratu i linijki narysować linię prostą 6 przez dany punkt B, równoległą do danej linii prostej a.
Dla oznaczenia równoległości linii prostych stosuje się symbol II. Wpis brzmi: „Linia a jest równoległa do linii b”.
Aksjomat równoległości wyraża główną własność linii równoległych.
Przez punkt, który nie leży na danej prostej, na płaszczyźnie można narysować co najwyżej jedną prostą równoległą do danej.
Dwie proste, równoległe do trzeciej, są do siebie równoległe.
Na rysunku 27 linie proste a i b są równoległe do linii prostej c. Twierdzenie 1. 6 mówi, że.
Możesz udowodnić, że przez punkt, który nie należy do linii prostej, możesz narysować linię prostą równoległą do podanej. Na rysunku 28 linia prosta a jest poprowadzona przez punkt A, który nie należy do b, równolegle do linii prostej b.
Porównując to stwierdzenie z aksjomatem równoległości, dochodzą do ważnego wniosku: na płaszczyźnie przechodzącej przez punkt, który nie leży na danej prostej, można narysować prostą równoległą do niej i tylko jedną.
Aksjomat paralelizmu w książce Euklidesa „Początki” nazwano postulatem piątym. Starożytni geometry próbowali udowodnić wyjątkowość równoleżnika. Te nieudane próby trwały przez ponad 2000 lat, aż do XIX wieku.
Wielki matematyk rosyjski NI Łobaczewski i niezależnie od niego matematyk węgierski J. Boyai wykazali, że przy założeniu możliwości narysowania przez punkt kilku linii prostych równoległych do danej, można skonstruować inną, równie „poprawną” nie -Geometria euklidesowa. Tak narodziła się geometria Łobaczewskiego.
Przykładem twierdzenia posługującego się pojęciem równoległości, a jego dowód oparty jest na aksjomat równoległości, jest twierdzenie Talesa. Tales z Miletu był starożytnym greckim matematykiem, żyjącym w latach 625-547. pne NS.
Jeśli równoległe linie proste przecinające boki kąta odcinają równe odcinki z jednej jego strony, to odcinają one równe odcinki z drugiej strony (twierdzenie Thalesa).
Niech punkty przecięcia równoległych linii prostych na jednym z boków narożnika leżą pomiędzy (ryc. 29). Niech odpowiednie punkty przecięcia tych linii z drugą stroną narożnika. Twierdzenie 1.7 mówi, że jeśli wtedy
Przykład 1. Czy siedem linii może przecinać się w ośmiu punktach?
Rozwiązanie. Mogą. Na przykład Rysunek 30 pokazuje siedem takich linii prostych, z których trzy są równoległe.
Przykład 2. Dowolny segment AC jest podzielony na 6 równych części.
Rozwiązanie. Narysujmy odcinek AC. Narysujmy z punktu A promień AM, który nie leży na prostej AC. Na promieniu AM z punktu A odkładamy kolejno 6 równych odcinków (ryc. 31). Końce odcinków zostaną oznaczone. Połącz punkt z odcinkiem o punkcie C i przez te punkty narysujemy linie proste równoległe do linii prostej. Punkty przecięcia tych prostych z odcinkiem AC podzielą go na 6 równych części (według Twierdzenia 1.7).
12. Znaki równoległości linii prostych.
Niech AB i CD będą dwoma wierszami. Niech AC będzie trzecią linią przecinającą linie AB i CD (ryc. 32, c). Bezpośrednie AC w stosunku do bezpośredniego AB i CD nazywamy sieczną. Kąty proste utworzone przez te kąty proste są często oglądane w parach. Pary kątów otrzymały specjalne nazwy. Jeśli więc punkty B i D leżą w tej samej półpłaszczyźnie względem prostej AC, to kąty BAC i DCA nazywane są wewnętrznymi jednostronnymi (ryc. 32, c). Jeżeli punkty B i D leżą w różnych półpłaszczyznach względem prostej AC, to kąty BAC i DCA nazywane są wewnętrznymi poprzecznie (ryc. 32, b).
Sieczna AC tworzy z liniami prostymi AB i CD dwie pary wewnętrznych jednostronnych dwóch par wewnętrznych kątów krzyżowania Rys. 32,c).
Jeżeli wewnętrzne kąty leżące są równe lub suma wewnętrznych kątów jednostronnych wynosi 180 °, to linie proste są równoległe.
Na rysunku 32, c, ponumerowano cztery pary rogów. Twierdzenie 1.8 mówi, że jeśli lub wtedy proste c i b są równoległe. Twierdzenie 1.8 mówi również, że jeśli lub, to proste a i b są równoległe.
Twierdzenia 1.6 i 1.8 są kryteriami równoległości linii. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia 1.8 jest również prawdziwe.
Jeżeli dwie równoległe linie proste przecina trzecia linia prosta, wówczas wewnętrzne kąty leżące są równe, a suma wewnętrznych kątów jednostronnych wynosi 180 °.
Przykład. Jeden z narożników wewnętrznych jednostronnych, powstałych na przecięciu dwóch równoległych linii prostych trzeciej prostej, jest 4 razy większy od drugiego. Czym są te kąty?
Rozwiązanie. Według Twierdzenia 1.9 suma kątów wewnętrznych jednostronnych dla dwóch linii równoległych i siecznej wynosi 180 °. Oznaczmy te kąty literami a i P, wtedy wiadomo, że a jest 4 razy większe, co oznacza wtedy Więc,
13. Prostopadłe linie proste.
Dwie linie proste nazywamy prostopadłymi, jeśli przecinają się pod kątem prostym (rys. 33).
Prostopadłość linii prostych zapisywana jest za pomocą symbolu.Wpis brzmi: "Prosta a jest prostopadła do linii b".
Prostopadle do danej linii prostej to odcinek prostej prostopadłej do danej, mający punkt końcowy na ich przecięciu. Ten koniec linii nazywa się podstawą prostopadłej.
Na rysunku 34 prostopadła AB jest narysowana od punktu A do linii a. Punkt B jest podstawą prostopadłej.
Przez każdy punkt linii prostej możesz narysować prostą prostopadłą do niej i tylko jedną.
Z dowolnego punktu, który nie leży na linii prostej, możesz upuścić prostopadłą do tej linii i tylko jedną.
Długość prostopadłej opuszczonej z danego punktu na linię prostą nazywamy odległością od punktu do linii prostej.
Odległość między równoległymi liniami prostymi to odległość od dowolnego punktu jednej linii prostej do innej linii prostej.
Niech BA będzie prostopadłą opuszczoną z punktu na prostej a, a C - dowolnym punktem prostej c, innym niż A. Odcinek BC nazywamy pochylonym, poprowadzonym od punktu B do prostej a (ryc. 35). Punkt C nazywa się podstawą ukośnego. Segment AC nazywa się rzutem ukośnym.
Linia prosta przechodząca przez środek prostopadłego do niej odcinka nazywana jest prostopadłą do punktu środkowego.
Na rysunku 36 linia prosta a jest prostopadła do odcinka AB i przechodzi przez punkt C - środek odcinka AB, czyli a jest prostopadłą do punktu środkowego.
Przykład. Równe segmenty AD i CB, zawarte między równoległymi liniami AC i BD, przecinają się w punkcie O. Udowodnij to.
Rozwiązanie. Narysujmy z punktów A do C prostopadłe do prostej BD (rys. 37). AK = CM jako odległość między równoległymi liniami prostymi, ZAKD i DSLYAV są prostokątne,
są równe w przeciwprostokątnej i nodze (patrz T. 1.25), co oznacza równoramienne (T. 1.19), co oznacza, że z równości trójkątów AKT) i CTAB wynika, że a następnie, tj. A. AOS jest równoramienny , co oznacza
14. Styczna do okręgu. Styczność okręgów.
Linia prosta przechodząca przez punkt na okręgu prostopadłym do promienia narysowanego do tego punktu nazywana jest linią styczną. W tym przypadku ten punkt okręgu nazywany jest punktem styczności. Na rysunku 38 linia prosta a jest poprowadzona przez punkt A okręgu prostopadłego do promienia OA. Linia c jest styczna do okręgu. Punkt A jest punktem styku. Możemy również powiedzieć, że okrąg dotyka linii prostej w punkcie A.
Mówią, że dwa okręgi mające wspólny punkt stykają się w tym miejscu, jeśli mają w tym miejscu wspólną linię styczną. Styczność okręgów nazywana jest wewnętrzną, jeśli środki okręgów leżą po jednej stronie ich wspólnej stycznej. Styczność okręgów nazywana jest zewnętrzną, jeśli środki okręgów leżą po przeciwnych stronach ich wspólnego
tangens. Na rysunku 39, c, styczność okręgów jest wewnętrzna, a na rysunku 39, b - zewnętrzna.
Przykład 1. Skonstruuj okrąg o zadanym promieniu stycznym do danej linii prostej w danym punkcie.
Rozwiązanie. Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia narysowanego do punktu stycznej. Dlatego środek pożądanego okręgu leży na prostopadłej do danej prostej przechodzącej przez dany punkt i znajduje się od tego punktu w odległości równej promieniowi. Problem ma dwa rozwiązania - dwa okręgi symetryczne względem siebie względem danej prostej (rys. 40).
Przykład 2. Dwa koła o średnicy 4 i 8 cm stykają się zewnętrznie. Jaka jest odległość między środkami tych kręgów?
Rozwiązanie. Promienie okręgów OA i O, A są prostopadłe do wspólnej stycznej przechodzącej przez punkt A (ryc. 41). Dlatego zobacz
15. Trójkąty.
Trójkąt to figura składająca się z trzech punktów, które nie leżą na jednej linii prostej oraz trzech odcinków, które łączą te punkty parami. Punkty nazywane są wierzchołkami trójkąta, a odcinki linii nazywane są bokami. Trójkąt jest oznaczony jego wierzchołkami. Zamiast słowa „trójkąt” używa się symbolu D..
Figura 42 przedstawia trójkąt ABC; A, B, C - wierzchołki tego trójkąta; Jego bokami są A B, BC i AC.
Kąt trójkąta ABC na wierzchołku A jest kątem utworzonym przez półproste AB i AC. Określane są również kąty trójkąta na wierzchołkach B do C.
Jeśli linia prosta, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta, przecina jeden z jego boków, to przecina tylko jeden z pozostałych dwóch boków.
Wysokość trójkąta opuszczonego z danego wierzchołka nazywana jest prostopadłą poprowadzoną z tego wierzchołka do linii prostej zawierającej przeciwny bok trójkąta. Na rysunku 43, c, odcinek AD jest wysokością ostrego kąta A. ABC, a na rysunku 43, b podstawa wysokości punktu D o kącie rozwartym - leży na przedłużeniu boku BC.
Dwusieczna trójkąta to odcinek dwusiecznej kąta trójkąta, który łączy wierzchołek z punktem po przeciwnej stronie. Na rysunku 44 odcinek AD jest dwusieczną trójkąta ABC.
Mediana trójkąta wyciągniętego z danego wierzchołka to odcinek łączący ten wierzchołek ze środkiem
po przeciwnej stronie trójkąta. Na rysunku 45 segment AD jest medianą trójkąta
Środkowa linia trójkąta to odcinek, który łączy punkty środkowe jego dwóch boków.
Linia środkowa trójkąta, która łączy punkty środkowe tych dwóch boków, jest równoległa i równa połowie trzeciego boku.
Niech DE będzie linią środkową trójkąta ABC (ryc. 46).
Twierdzenie to mówi.
Nierówność trójkąta jest własnością odległości między trzema punktami, co wyraża następujące twierdzenie:
Niezależnie od trzech punktów, odległość między dowolnymi dwoma z tych punktów nie jest większa niż suma odległości od nich do trzeciego punktu.
Niech trzy podane punkty. Względne położenie tych punktów może być różne: a) dwa punkty z trzech lub wszystkie trzy pokrywają się, w tym przypadku stwierdzenie twierdzenia jest oczywiste; b) punkty są różne i leżą na jednej prostej (ryc. 47, a), jeden z nich, na przykład B, leży między dwoma innymi, w tym przypadku wynika, że każda z trzech odległości nie jest większa niż suma pozostałych dwóch; c) punkty nie kłamią
na jednej linii prostej (ryc. 47, b), a następnie potwierdza to Twierdzenie 1.14.
W przypadku c) trzy punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta. Dlatego w każdym trójkącie każdy bok jest mniejszy niż suma pozostałych dwóch boków.
Przykład 1. Czy jest trójkąt ABC o bokach: a); b)
Rozwiązanie. Dla boków trójkąta ABC muszą być spełnione następujące nierówności:
W przypadku a) nierówność (2) nie zachodzi, co oznacza, że taki układ punktów nie może być; w przypadku b) nierówności utrzymują się, czyli trójkąt istnieje.
Przykład 2. Znajdź odległość między punktami A i oddzielonymi przeszkodą.
Rozwiązanie. Aby znaleźć odległość, zawieszamy podstawę CD i rysujemy proste linie BC i AD (ryc. 48). Znajdź punkt M - środek CD. Wykonujemy również MPAD. Wynika z tego, że PN jest linią środkową, tj.
Mierząc PN, nie jest trudno znaleźć AB.
16. Równość trójkątów.
Mówi się, że dwa odcinki linii są równe, jeśli mają tę samą długość. Mówi się, że dwa kąty są równe, jeśli mają tę samą miarę kątową w stopniach.
Trójkąty ABC i są nazywane równymi, jeśli
Jest to krótko wyrażone słowami: trójkąty są równe, jeśli mają odpowiednie boki, a odpowiadające im kąty są równe.
Sformułujmy główną własność istnienia trójkątów równych (aksjomat istnienia trójkąta równego danemu):
Niezależnie od trójkąta, w danym miejscu w stosunku do danej półprostej znajduje się trójkąt równy.
Istnieją trzy kryteria równości trójkątów:
Jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi innego trójkąta, to takie trójkąty są równe (znak równości trójkątów na dwóch bokach i kąta między nimi).
Jeżeli bok i kąty sąsiadujące z nim jednego trójkąta są równe odpowiednio bokowi i kątom sąsiadującym z nim drugiego trójkąta, to takie trójkąty są równe (znak równości trójkątów wzdłuż boku i kątów sąsiednich do niego).
Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednio trzem bokom innego trójkąta, to takie trójkąty są równe (znak równości trójkątów na trzech bokach).
Przykład. Punkty B i D leżą w różnych półpłaszczyznach względem prostej AC (rys. 49). Wiadomo, że udowodnić, że
Rozwiązanie. pod warunkiem, a ponieważ kąty te uzyskuje się przez odjęcie od równych kątów BCD i DAB równych kątów BC A i DAC. Ponadto strona głośnika jest wspólna we wskazanych trójkątach. Te trójkąty mają równe boki i kąty do nich przylegające.
17. Trójkąt równoramienny.
Trójkąt nazywa się równoramiennymi, jeśli jego dwa boki są równe. Te równe boki nazywane są bokami, a trzeci bok nazywany jest podstawą trójkąta.
W trójkącie oznacza, że ABC jest równoramienny o podstawie AC.
W trójkącie równoramiennym kąty u podstawy są równe.
Jeśli dwa kąty w trójkącie są równe, to jest to równoramienny (przeciwieństwo twierdzenia T. 1.18).
W trójkącie równoramiennym mediana narysowana do podstawy to dwusieczna i wysokość.
Możesz również udowodnić, że w trójkącie równoramiennym wysokość rysowana do podstawy to dwusieczna i mediana. Podobnie dwusieczna trójkąta równoramiennego, narysowana od wierzchołka przeciwległego do podstawy, jest medianą i wysokością.
Trójkąt, w którym wszystkie boki są równe, nazywa się równobocznym.
Przykład. W trójkącie ADB kąt D wynosi 90 °. Na przedłużeniu boku AD znajduje się odcinek (punkt D leży między punktami A i C) (ryc. 51). Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoramienny.
Zewnętrzny narożnik trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które z nim nie sąsiadują.
Z Twierdzenia 1.22 wynika, że kąt zewnętrzny trójkąta jest większy niż jakikolwiek kąt wewnętrzny nieprzylegający do niego.
Przykład. W trójkącie
Dwusieczna AD tego trójkąta odcina się od niego Znajdź rogi tego trójkąta.
Rozwiązanie. ponieważ AD jest dwusieczną kąta A (patrz podrozdział jako kąt zewnętrzny przez sumę kątów twierdzenie
19. Trójkąt prostokątny. Twierdzenie Pitagorasa.
Trójkąt nazywa się prostokątnym, jeśli ma kąt prosty. Ponieważ suma kątów trójkąta wynosi 180 °, trójkąt prostokątny ma tylko jeden kąt prosty. Pozostałe dwa rogi trójkąta prostokątnego są ostre i uzupełniają się do 90 °. Bok trójkąta prostokątnego przeciwległy do kąta prostego nazywa się przeciwprostokątną, pozostałe dwa boki nazywane są nogami. ABC, pokazane na rysunku 54, prostokątne, proste, przeciwprostokątne, CB i BA - nogi.
W przypadku trójkątów prostokątnych można sformułować własne kryteria równości.
Jeśli przeciwprostokątna i kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i kątowi ostremu innego trójkąta, to takie trójkąty są równe (znak równości przeciwprostokątnej i kąta ostrego).
Jeśli noga i przeciwległy róg jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i przeciwległemu narożnikowi drugiego trójkąta, to takie trójkąty są równe (znak równości w nodze i przeciwległym rogu).
Jeśli przeciwprostokątna i odnoga jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i odnodze drugiego trójkąta, to takie trójkąty są równe (znak równości przeciwprostokątnej i odnogi).
W trójkącie prostokątnym o kącie 30 ° noga przeciwna do kąta atomu jest połową szyny przeciwprostokątnej.
W trójkącie ABC, pokazanym na rysunku, jest linia prosta, więc w tym trójkącie.
W trójkącie prostokątnym obowiązuje twierdzenie Pitagorasa, nazwane na cześć starożytnego greckiego naukowca Pitagorasa, który żył w VI wieku. pne NS.
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg (twierdzenie Pitagorasa).
Niech ABC będzie danym trójkątem prostokątnym z kątem prostym C, odnogami a i b oraz przeciwprostokątną c (ryc. 56). Twierdzenie mówi, że
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że w trójkącie prostokątnym dowolna z nóg jest mniejsza od przeciwprostokątnej.
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że jeśli narysujemy linię prostopadłą i ukośną z jednego punktu, to ukośna jest większa niż prostopadła; równe ukośne mają równe rzuty; z dwóch skośnych, większy jest ten z większym występem.
Na Rysunku 57 od punktu O do prostej a narysowane są prostopadłe OA i ukośne OB, OS i OD, natomiast na podstawie powyższego: a)
Obwód prostokąta KDMA wynosi 18 cm
Przykład 3. W okręgu o promieniu 25 cm po jednej stronie jego środka narysowane są dwa równoległe cięciwy o długości 40 i 30 cm. Znajdź odległość między tymi cięciwami.
Rozwiązanie. Narysujmy promień OK, prostopadle do cięciw AB i CD, połącz środek okręgu O z punktami C, A, D i B (ryc. 60). Trójkąty COD i AOB są równoramienne, ponieważ (jako promienie); ОМ i ON to wysokości tych trójkątów. Według Twierdzenia 1.20 każda z wysokości jest jednocześnie medianą odpowiedniego trójkąta, tj.
Trójkąty OCM i O AN są w nich prostokątne. ON i ОМ są znalezione przez twierdzenie Pitagorasa.
20. Koła wpisane w trójkąt i opisane wokół trójkąta.
Okrąg jest nazywany opisanym wokół trójkąta, jeśli przechodzi przez wszystkie jego wierzchołki.
Środek koła opisanego wokół trójkąta jest punktem przecięcia prostopadłych do boków trójkąta.
Na rysunku 61 okrąg jest opisany wokół trójkąta ABC. Środek tego okręgu O jest punktem przecięcia środkowych prostopadłych ОМ, ON i OJT, narysowanych odpowiednio po bokach AB, BC i C A.
Okrąg nazywa się wpisanym w trójkąt, jeśli dotyka wszystkich jego boków.
Środek koła wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia jego dwusiecznych.
Na rysunku 62 okrąg jest wpisany w trójkąt ABC. Środek tego okręgu O jest punktem przecięcia dwusiecznych AO, BO i CO odpowiednich kątów trójkąta.
Przykład. W trójkącie prostokątnym nogi mają 12 i 16 cm Oblicz promienie: 1) wpisany okrąg; 2) koło opisane.
Rozwiązanie. 1) Niech zostanie podany trójkąt ABC, w którym znajduje się środek wpisanego koła (ryc. 63, a). Obwód trójkąta ABC jest równy sumie podwojonej przeciwprostokątnej i średnicy okręgu wpisanego w trójkąt (użyj definicji stycznej do okręgu i równości trójkątów prostokątnych AOM i AOK, MOC i LOC wzdłuż przeciwprostokątna i noga).
Stąd przez twierdzenie Pitagorasa, tj.
2) Środek okręgu opisanego wokół trójkąta prostokątnego pokrywa się ze środkiem przeciwprostokątnej, skąd promień okręgu opisanego wynosi cm (ryc. 63, b).
Ładowanie...