Wykreśl okrąg za pomocą równania. Okrąg na płaszczyźnie współrzędnych

Funkcja budowania

Zwracamy uwagę na usługę rysowania wykresów funkcji online, do której wszelkie prawa należą do firmy Desmos... Użyj lewej kolumny, aby wprowadzić funkcje. Możesz wprowadzić go ręcznie lub za pomocą wirtualnej klawiatury na dole okna. Aby powiększyć okno z wykresem, możesz ukryć zarówno lewą kolumnę, jak i wirtualną klawiaturę.

Korzyści z tworzenia wykresów online

• Wizualne wyświetlanie wprowadzonych funkcji
• Budowanie bardzo skomplikowanych wykresów
• Tworzenie wykresów, podane niejawnie (na przykład elipsa x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
• Możliwość zapisywania wykresów i otrzymywania linku do nich, który staje się dostępny dla każdego w Internecie
• Kontrola skali, kolor linii
• Możliwość wykreślania wykresów punktowych przy użyciu stałych
• Jednoczesna konstrukcja kilku wykresów funkcji
• Wykreślanie we współrzędnych biegunowych (użyj r i θ (\ theta))

Z nami łatwo jest tworzyć online wykresy o różnej złożoności. Budowa odbywa się błyskawicznie. Usługa jest potrzebna do znajdowania punktów przecięcia funkcji, wyświetlania wykresów w celu ich dalszego ruchu w dokumencie Word jako ilustracji podczas rozwiązywania problemów, analizy cech behawioralnych wykresów funkcji. Optymalną przeglądarką do pracy z wykresami na tej stronie serwisu jest Google Chrome. Działanie nie jest gwarantowane w innych przeglądarkach.

Jeśli umieścisz okrąg z numerem jednostki na płaszczyźnie współrzędnych, wówczas można znaleźć współrzędne dla jego punktów. Koło numeryczne jest ustawione tak, aby jego środek pokrywał się z punktem początkowym płaszczyzny, czyli punktem O (0; 0).

Zwykle na okręgu z numerami jednostek zaznaczono punkty odpowiadające początku na okręgu

• ćwiartki - 0 lub 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• ćwiartki środkowe - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• trzecie ćwiartki - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

Na płaszczyźnie współrzędnych z powyższym położeniem okręgu jednostkowego można znaleźć współrzędne odpowiadające tym punktom okręgu.

Bardzo łatwo znaleźć współrzędne końców ćwiartek. W punkcie 0 okręgu współrzędna x wynosi 1, a y wynosi 0. Można to oznaczyć jako A (0) = A (1; 0).

Koniec pierwszego kwartału przypadnie na dodatnią oś y. Dlatego B (π / 2) = B (0; 1).

Koniec drugiej kwarty leży na ujemnej półosi: C (π) = C (-1; 0).

Koniec trzeciego kwartału: D ((2π) / 3) = D (0; -1).

Ale jak znaleźć współrzędne punktów środkowych ćwiartek? Aby to zrobić, zbuduj trójkąt prostokątny. Jej przeciwprostokątna to odcinek od środka okręgu (lub początku) do środka ćwiartki okręgu. To jest promień okręgu. Ponieważ okrąg jest jednostką, przeciwprostokątna wynosi 1. Następnie z punktu koła do dowolnej osi rysowana jest prostopadła. Niech będzie w kierunku osi x. Okazuje się, że jest to trójkąt prostokątny, którego długości ramion są współrzędnymi x i y punktu koła.

Ćwierćokręg ma 90º. A pół czwartej to 45 stopni. Ponieważ przeciwprostokątna jest skierowana do punktu pośrodku ćwiartki, kąt między przeciwprostokątną a nogą wychodzącą od początku wynosi 45º. Ale suma kątów dowolnego trójkąta wynosi 180º. Dlatego kąt między przeciwprostokątną a drugą nogą również wynosi 45º. Okazuje się, że trójkąt równoramienny.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie x 2 + y 2 = 1 2. Ponieważ x = y i 1 2 = 1, równanie jest uproszczone do x 2 + x 2 = 1. Rozwiązując to, otrzymujemy x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2.

Zatem współrzędne punktu to M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2).

We współrzędnych punktów środkowych innych ćwiartek zmienią się tylko znaki, a moduły wartości pozostaną takie same, ponieważ trójkąt prostokątny zostanie tylko odwrócony. Otrzymujemy:
M2 ((3π) / 4) = M2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

Przy określaniu współrzędnych trzecich części ćwiartek koła budowany jest również trójkąt prostokątny. Jeśli weźmiemy punkt π/6 i narysujemy prostopadłą do osi x, to kąt między przeciwprostokątną a nogą leżącą na osi x wyniesie 30º. Wiadomo, że noga leżąca pod kątem 30 stopni jest równa połowie przeciwprostokątnej. Więc znaleźliśmy współrzędną y, która jest równa ½.

Znając długości przeciwprostokątnej i jednej z nóg, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, znajdujemy inną nogę:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3 / 2

Zatem T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2; ½).

Dla punktu drugiej tercji pierwszej ćwiartki (π / 3) lepiej jest narysować prostopadłą do osi do osi y. Wtedy kąt w początku współrzędnych również będzie wynosił 30º. Tutaj współrzędna x będzie równa odpowiednio ½, a y odpowiednio √3 / 2: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).

Dla pozostałych punktów w trzecim kwartale zmienią się znaki i kolejność wartości współrzędnych. Wszystkie punkty znajdujące się bliżej osi x będą miały modulo współrzędnej x √3 / 2. Punkty, które są bliżej osi y, będą miały wartość y wynoszącą √3 / 2 w wartości bezwzględnej.
T3 ((2π) / 3) = T3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)

Geometria analityczna zapewnia jednolite techniki rozwiązywania problemów geometrycznych. W tym celu wszystkie określone i wymagane punkty i linie odnoszą się do jednego układu współrzędnych.

W układzie współrzędnych każdy punkt można scharakteryzować swoimi współrzędnymi, a każdą linię równaniem z dwiema niewiadomymi, których wykresem jest ta linia. W ten sposób problem geometryczny sprowadza się do problemu algebraicznego, w którym wszystkie techniki obliczeniowe są dobrze rozwinięte.

Okrąg to zbiór punktów o jednej określonej właściwości (każdy punkt koła jest równoodległy od jednego punktu, zwanego środkiem). Równanie koła musi odzwierciedlać tę właściwość, spełniać ten warunek.

Interpretacją geometryczną równania koła jest linia koła.

Jeśli umieścisz okrąg w układzie współrzędnych, to wszystkie punkty okręgu spełniają jeden warunek - odległość od nich do środka okręgu musi być taka sama i równa okręgowi.

Okrąg wyśrodkowany w punkcie A i promień r umieścić na płaszczyźnie współrzędnych.

Jeśli współrzędne centrum (a; b) i współrzędne dowolnego punktu okręgu (x; y) , to równanie koła ma postać:

Jeżeli kwadrat promienia koła jest równy sumie kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych dowolnego punktu koła i jego środka, to równanie to jest równaniem koła w płaskim układzie współrzędnych.

Jeżeli środek okręgu pokrywa się z punktem początkowym, to kwadrat promienia okręgu jest równy sumie kwadratów współrzędnych dowolnego punktu na okręgu. W tym przypadku równanie koła przyjmuje postać:

W konsekwencji każda figura geometryczna jako miejsce punktów jest określona przez równanie łączące współrzędne jej punktów. I odwrotnie, równanie łączące współrzędne NS oraz w , definiujemy prostą jako zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają podane równanie.

Przykłady rozwiązywania problemów dotyczących równania koła

Zadanie. Zrównaj dany okrąg

Zrównaj okrąg o środku O (2; -3) i promieniu 4.

Rozwiązanie.
Przejdźmy do wzoru na równanie koła:
R2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Wstawmy wartości do wzoru.
Promień okręgu R = 4
Współrzędne środka okręgu (zgodnie z wymaganiami)
a = 2
b = -3

Otrzymujemy:
(x - 2) 2 + (y - (-3)) 2 = 4 2
lub
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Zadanie. Czy punkt należy do równania koła?

Sprawdź, czy punkt należy (2; 3) równanie okręgu (x-2) 2 + (t + 3) 2 = 16 .

Rozwiązanie.
Jeśli punkt należy do okręgu, to jego współrzędne spełniają równanie okręgu.
Aby sprawdzić, czy punkt o podanych współrzędnych należy do okręgu, współrzędne tego punktu podstawiamy do równania danego okręgu.

W równaniu ( x - 2) 2 + (tak + 3) 2 = 16
podstawiamy zgodnie z warunkiem współrzędne punktu A (2; 3), czyli
x = 2
y = 3

Sprawdźmy prawdziwość uzyskanej równości
(x - 2) 2 + (tak + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 równość jest zła

Więc dany punkt nie należy podane równanie koła.

Niech okrąg ma promień , a jego środek znajduje się w punkcie
... Punkt
leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy moduł wektora
jest równe , to jest. Ostatnia równość obowiązuje wtedy i tylko wtedy, gdy

Równanie (1) jest pożądanym równaniem okręgu.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt, prostopadłej do danego wektora

prostopadle do wektora
.

Punkt

oraz
prostopadły. Wektory
oraz
są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero, czyli
... Korzystając ze wzoru na obliczenie iloczynu skalarnego wektorów podanego przez ich współrzędne, zapisujemy równanie żądanej linii prostej w postaci

Spójrzmy na przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez

środek odcinka AB jest prostopadły do ​​tego odcinka, jeśli współrzędne punktów są odpowiednio równe A (1; 6), B (5; 4).

Będziemy się spierać w następujący sposób. Aby znaleźć równanie prostej, musimy znać punkt, przez który przechodzi ta prosta, oraz wektor prostopadły do ​​tej prostej. Wektor prostopadły do ​​danej prostej będzie wektorem, ponieważ zgodnie ze stwierdzeniem problemu, prosta jest prostopadła do odcinka AB. Punkt
zdefiniować z warunku, że linia prosta przechodzi przez środek AB. Mamy. Zatem
a równanie przybiera formę.

Wyjaśnijmy pytanie, czy ta prosta przechodzi przez punkt M (7; 3).

Mamy zatem ta linia nie przechodzi przez określony punkt.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt równolegle do danego wektora

Niech linia przechodzi przez punkt
równolegle do wektora
.

Punkt
leży na linii prostej wtedy i tylko wtedy, gdy wektory
oraz
współliniowy. Wektory
oraz
współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne są proporcjonalne, czyli

(3)

Wynikowe równanie jest równaniem pożądanej linii prostej.

Równanie (3) można przedstawić jako

, gdzie przyjmuje dowolne wartości
.

Dlatego możemy pisać

, gdzie
(4)

Układ równań (4) nazywamy równaniami parametrycznymi prostej.

Spójrzmy na przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty. Możemy skonstruować równanie prostej, jeśli znamy punkt i wektor równoległy lub prostopadły do ​​niego. Dostępne są dwa punkty. Ale jeśli dwa punkty leżą na linii prostej, to łączący je wektor będzie równoległy do ​​tej prostej. Dlatego użyjemy równania (3), przyjmując jako wektor
wektor
... dostajemy

(5)

Równanie (5) nazywa się równaniem prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Ogólne równanie prostej

Definicja. Ogólne równanie linii pierwszego rzędu na płaszczyźnie jest równaniem postaci
, gdzie
.

Twierdzenie. Każda linia prosta na płaszczyźnie może być podana w postaci równania linii pierwszego rzędu, a każde równanie linii pierwszego rzędu jest równaniem jakiejś linii prostej na płaszczyźnie.

Pierwsza część tego twierdzenia jest łatwa do udowodnienia. Na dowolnej linii prostej możesz określić jakiś punkt
wektor prostopadły do ​​niego
... Wtedy zgodnie z (2) równanie takiej prostej ma postać. Oznaczamy
... Wtedy równanie przyjmuje postać
.

Przejdźmy teraz do drugiej części twierdzenia. Niech będzie równanie
, gdzie
... Dla jednoznaczności zakładamy
.

Zapiszmy równanie jako:

;

Rozważ w samolocie punkt
, gdzie
... Wtedy wynikowe równanie ma postać i jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt
prostopadle do wektora
... Twierdzenie jest udowodnione.

W trakcie dowodzenia twierdzenia udowodniliśmy po drodze

Oświadczenie. Jeśli istnieje równanie prostej postaci
, to wektor
prostopadle do tej linii.

Równanie postaci
nazywa się ogólnym równaniem linii prostej na płaszczyźnie.

Niech będzie prosta linia
i wskaż
... Wymagane jest określenie odległości od wskazanego punktu do linii prostej.

Rozważ dowolny punkt
na linii prostej. Mamy
... Dystans od punktu
do prostej jest równy modułowi rzutu wektora
na wektor
prostopadle do tej linii. Mamy

,

transformatorowy, otrzymujemy wzór:

Niech będą dane dwie proste, podane przez równania ogólne

,
... Następnie wektory

są prostopadłe odpowiednio do pierwszej i drugiej linii prostej. Zastrzyk
między liniami prostymi jest równy kątowi między wektorami
,
.

Wtedy wzór na określenie kąta między prostymi to:

.

Warunkiem prostopadłości linii prostych jest:

.

Linie są równoległe lub pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy wektory

współliniowy. W której warunek koincydencji linii prostych ma postać:
,

a warunek braku przecięcia jest zapisany jako:
... Sam udowodnij dwa ostatnie warunki.

Zbadajmy naturę zachowania linii prostej zgodnie z jej ogólnym równaniem.

Niech zostanie podane ogólne równanie prostej
... Gdyby
, to linia prosta przechodzi przez początek.

Rozważ przypadek, w którym żaden ze współczynników nie jest równy zero
... Przepisujemy równanie w postaci:

,

,

Gdzie
... Dowiedzmy się, co oznaczają parametry
... Znajdź punkty przecięcia linii prostej z osiami współrzędnych. Na
mamy
i w
mamy
... To jest
to segmenty odcięte linią prostą na osiach współrzędnych. Dlatego równanie
nazywa się równaniem linii prostej w odcinkach.

Kiedy
mamy

... Kiedy
mamy
... Oznacza to, że linia prosta będzie równoległa do osi .

Odwołaj to nachylenie linii prostej nazwany tangensem kąta nachylenia tej prostej do osi
... Niech linia odetnie się na osi Sekcja i ma nachylenie ... Niech punkt
kłamie z tym

Następnie
==... A równanie prostej zostanie zapisane w postaci

.

Niech linia przechodzi przez punkt
i ma nachylenie ... Niech punkt
leży na tej prostej linii.

Następnie =
.

Powstałe równanie nazywa się równaniem linii prostej przechodzącej przez dany punkt o określonym nachyleniu.

Biorąc pod uwagę dwie linie
,
... Oznaczamy
- kąt między nimi. Zostawiać ,kąty nachylenia do osi X odpowiednich linii prostych

Następnie
=
,
.

Wtedy warunek równoległości linii prostych ma postać
i warunek prostopadłości

Podsumowując, rozważymy dwa problemy.

Zadanie ... Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A (4; 2), B (10; 10), C (20; 14).

Znajdź: a) równanie i długość mediany wyciągniętej z wierzchołka A;

b) równanie i długość wysokości narysowane od góry A;

c) równanie dwusiecznej wyprowadzone z wierzchołka A;

Zdefiniujmy równanie mediany AM.

Punkt М () jest środkiem odcinka BC.

Następnie , ... W konsekwencji punkt M ma współrzędne M (15; 17). Równanie mediany w języku geometrii analitycznej to równanie prostej przechodzącej przez punkt A (4; 2) równolegle do wektora = (11; 15). Wtedy równanie mediany ma postać. Mediana długości AM = .

Równanie wysokości AS jest równaniem linii prostej przechodzącej przez punkt A (4; 2) prostopadłej do wektora = (10; 4). Wtedy równanie wzrostu to 10 (x-4) +4 (y-2) = 0,5x + 2y-24 = 0.

Długość wysokości to odległość od punktu A (4; 2) do linii BC. Linia ta przechodzi przez punkt B (10; 10) równolegle do wektora = (10; 4). Jego równanie ma postać , 2x-5y + 30 = 0. Odległość AS od punktu A (4; 2) do prostej BC jest zatem równa AS = .

Aby wyznaczyć równanie dwusiecznej, znajdujemy wektor równoległy do ​​tej prostej. Aby to zrobić, użyjemy właściwości przekątnej rombu. Jeżeli od punktu A odłożymy wektory jednostkowe równo skierowane od wektorów, to wektor równy ich sumie będzie równoległy do ​​dwusiecznej. Wtedy mamy = +.

={6;8}, , ={16,12}, .

Wtedy = Wektor = (1; 1), współliniowy do danego, może służyć jako wektor kierunkowy pożądanej linii prostej. Wtedy pojawiło się równanie wymaganej linii prostej lub x-y-2 = 0.

Zadanie. Rzeka płynie w linii prostej przechodzącej przez punkty A (4; 3) i B (20; 11). Czerwony Kapturek mieszka w punkcie C (4;8), a jej babcia w punkcie D (13;20). Czerwony Kapturek każdego ranka zabiera z domu puste wiadro, idzie nad rzekę, nabiera wody i zabiera ją do babci. Znajdź najkrótszą drogę dla Czerwonego Kapturka.

Znajdźmy punkt E, symetryczny względem babci, względem rzeki.

Aby to zrobić, najpierw znajdujemy równanie linii prostej, wzdłuż której płynie rzeka. Równanie to można uznać za równanie linii prostej przechodzącej przez punkt A (4; 3) równolegle do wektora. Wtedy równanie prostej AB ma postać.

Następnie znajdujemy równanie prostej DE przechodzącej przez punkt D prostopadły do ​​AB. Można ją traktować jako równanie prostej przechodzącej przez punkt D, prostopadłej do wektora
... Mamy

Teraz znajdujemy punkt S - rzut punktu D na prostą AB, jako przecięcie prostych AB i DE. Mamy układ równań

.

Dlatego punkt S ma współrzędne S (18; 10).

Ponieważ S jest środkiem odcinka DE, to.

Podobnie.

W konsekwencji punkt E ma współrzędne E (23; 0).

Znajdźmy równanie prostej CE, znając współrzędne dwóch punktów tej prostej

Znajdujemy punkt M jako przecięcie prostych AB i CE.

Mamy układ równań

.

W konsekwencji punkt M ma współrzędne
.

Temat 2. Pojęcie równania powierzchni w przestrzeni. Równanie sferyczne. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt jest prostopadłe do danego wektora. Ogólne równanie płaszczyzny i jego badanie Warunek równoległości dwóch płaszczyzn. Odległość od punktu do płaszczyzny. Koncepcja równania linii. Linia prosta w przestrzeni. Równania kanoniczne i parametryczne prostej w przestrzeni. Równania prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty. Warunki równoległości i prostopadłości prostej i płaszczyzny.

Najpierw podajemy definicję pojęcia równania powierzchni w przestrzeni.

Wpuść przestrzeń
z pewną powierzchnią ... Równanie
nazywa się równaniem powierzchni jeśli spełnione są dwa warunki:

1. dla dowolnego punktu
ze współrzędnymi
leżąc na powierzchni jest zadowolony
to znaczy, że jego współrzędne spełniają równanie powierzchni;

2.dowolny punkt
którego współrzędne spełniają równanie
, leży na linii.