Geometria to jedna z nauk, z zastosowaniem której w praktyce człowiek styka się niemal codziennie. Wśród różnorodności kształtów geometrycznych na szczególną uwagę zasługuje również trapez. Jest to figura wypukła o czterech bokach, z których dwa są do siebie równoległe. Te ostatnie nazywane są bazami, a pozostałe dwie nazywane są bokami. Odcinek prostopadły do ​​podstaw i określający wielkość szczeliny między nimi będzie wysokością trapezu. Jak obliczyć jego długość?

Znajdź wysokość dowolnego trapezu

Na podstawie wstępnych danych określenie wysokości sylwetki możliwe jest na kilka sposobów.

Znany obszar

Jeśli znana jest długość równoległych boków i wskazano również obszar figury, wówczas do określenia pożądanej prostopadłości można zastosować następującą zależność:

S = h * (a + b) / 2,
h - wymagana wartość (wysokość),
S to powierzchnia figury,
a i b są bokami równoległymi do siebie.
Z powyższego wzoru wynika, że ​​h = 2S / (a ​​+ b).

Wartość środkowej linii jest znana

Jeśli wśród danych początkowych, oprócz obszaru trapezu (S), znana jest również długość jego środkowej linii (l), do obliczeń przyda się inna formuła. Najpierw warto wyjaśnić, jaka jest linia środkowa dla tego typu czworokąta. Termin ten określa odcinek linii prostej łączącej punkty środkowe boków figury.

Na podstawie właściwości trapezu l = (a + b) / 2,
l - linia środkowa,
a, b - boki-podstawa czworokąta.
Dlatego h = 2S / (a ​​+ b) = S / l.

Znane są 4 strony figury

W takim przypadku pomoże twierdzenie Pitagorasa. Sprowadzając prostopadłe w dół do większej strony podstawy, użyj jej dla dwóch powstałych trójkątów prostokątnych. Ostateczne wyrażenie będzie wyglądać tak:

h = √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2,

c i d to 2 inne strony.

Kąty u podstawy

Jeśli masz dane kąta bazowego, użyj funkcji trygonometrycznych.

h = c * sinα = d * sinβ,

α i β - kąty u podstawy czworokąta,
c i d są jego bokami.

Tworzą się przekątne figury i kąty, przez które się przecinają

Długość przekątnej - długość odcinka łączącego przeciwległe wierzchołki figury. Oznaczmy te wielkości symbolami d1 i d2 oraz kątami między nimi γ i φ. Następnie:

h = (d1 * d2) / (a ​​+ b) sin γ = (d1 * d2) / (a ​​+ b) sinφ,

h = (d1 * d2) / 2l sin γ = (d1 * d2) / 2l sinφ,

a i b - boki-podstawa figury,
d1 i d2 to przekątne trapezu,
γ i φ to kąty między przekątnymi.

Wysokość figury i promień okręgu, który jest w nią wpisany

Jak wynika z definicji tego rodzaju okręgu, dotyka on każdej podstawy w 1 punkcie, który jest częścią jednej linii prostej. Dlatego odległość między nimi - średnica - to pożądana wysokość figury. A ponieważ średnica jest dwukrotnie większa od promienia, to:

h = 2 * r,
r jest promieniem okręgu, który został wpisany w ten trapez.

Znajdź wysokość trapezu równoramiennego

• Jak wynika ze sformułowania, charakterystyczną cechą trapezu równoramiennego jest równość jego boków. Dlatego, aby znaleźć wysokość figury, użyj wzoru do określenia tej wartości w przypadku, gdy znane są boki trapezu.

Tak więc, jeśli c = d, to h = √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 = √c 2 - (a-b) 2/4,
a, b - boki-podstawa czworokąta,
c = d - jego boki.

• W obecności wielkości kątów utworzonych przez dwie strony (podstawową i boczną) wysokość trapezu określa następujący stosunek:

h = c * sinα,
h = c * tgα * cosα = c * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b-a) / 2,

α - kąt u podstawy figury,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d - jego boki.

• Jeśli podane zostaną wartości przekątnych figury, wyrażenie do znalezienia wysokości figury zmieni się, ponieważ d1 = d2:

h = d1 2 / (a ​​+ b) * sinγ = d1 2 / (a ​​+ b) * sinφ,

h = d1 2/2 * l * sinγ = d1 2/2 * l * sinφ.

Z takim kształtem jak trapez spotykamy się w życiu dość często. Na przykład każdy most wykonany z bloczków betonowych jest najlepszym przykładem. Bardziej wizualną opcją może być kierowanie każdym pojazdem i tak dalej. Właściwości postaci znane były już w starożytnej Grecji., które Arystoteles opisał bardziej szczegółowo w swojej pracy naukowej „Początki”. A wiedza zdobyta tysiące lat temu jest nadal aktualna. Dlatego zapoznajmy się z nimi bardziej szczegółowo.

W kontakcie z

Podstawowe koncepcje

Rysunek 1. Klasyczny kształt trapezu.

Trapez jest zasadniczo czworobokiem złożonym z dwóch równoległych odcinków linii i dwóch innych, które nie są równoległe. Mówiąc o tej figurze, należy zawsze pamiętać o takich pojęciach jak: podstawa, wysokość i linia środkowa. Dwa odcinki czworoboku, które nazywane są względem siebie podstawami (segmenty AD i BC). Wysokość nazywana jest odcinkiem prostopadłym do każdej z podstaw (EH), tj. przecinają się pod kątem 90 ° (jak pokazano na rysunku 1).

Jeśli zsumujemy wszystkie wewnętrzne miary stopni, to suma kątów trapezu będzie równa 2π (360 °), jak każdy czworobok. Segment, którego końce są środkami ścian bocznych (IF) zwany środkową linią. Długość tego odcinka to suma podstaw BC i AD podzielona przez 2.

Istnieją trzy rodzaje kształtów geometrycznych: proste, regularne i równoramienne. Jeśli przynajmniej jeden kąt na wierzchołkach podstawy jest prosty (na przykład, jeśli ABD = 90 °), to taki czworokąt nazywamy trapezem prostym. Jeśli segmenty boczne są równe (AB i CD), to nazywa się równoramiennymi (odpowiednio kąty u podstaw są równe).

Jak znaleźć obszar?

Do, znaleźć obszar czworoboku ABCD użyj następującego wzoru:

Rysunek 2. Rozwiązywanie problemu ze znalezieniem obszaru

Aby uzyskać bardziej obrazowy przykład, rozwiążmy prosty problem. Na przykład, niech górna i dolna podstawa mają odpowiednio 16 i 44 cm, a boki mają 17 i 25 cm. Zbudujmy odcinek prostopadły od góry D w taki sposób, że DE II BC (jak pokazano na rysunku 2 ). Stąd otrzymujemy, że

Niech DF ruszy. Z ΔADE (które będą równoramienne) otrzymujemy:

To znaczy, w uproszczeniu, najpierw znaleźliśmy wysokość ΔADE, która jest również wysokością trapezu. Stąd obliczamy powierzchnię czworokąta ABCD za pomocą znanego już wzoru, ze znaną już wartością wysokości DF.

Stąd wymagana powierzchnia ABCD to 450 cm³. Oznacza to, że możemy śmiało powiedzieć, że aby aby obliczyć powierzchnię trapezu, wystarczy suma podstaw i długość wysokości.

Ważny! Przy rozwiązywaniu problemu nie jest konieczne oddzielne znajdowanie wartości długości, całkiem do przyjęcia jest zastosowanie innych parametrów figury, które przy odpowiednim dowodach będą równe sumie podstaw.

Rodzaje trapezów

W zależności od tego, jakie boki ma figura, jakie kąty tworzą podstawy, rozróżnia się trzy rodzaje czworokątów: prostokątny, nieregularny i równoramienny.

Wszechstronny

Istnieją dwie formy: ostry i tępy... ABCD jest ostry tylko wtedy, gdy kąty podstawowe (AD) są ostre, a długości boków są różne. Jeśli wartość jednego kąta jest większa o Pi/2 (miara stopnia jest większa niż 90 °), to otrzymujemy rozwarty.

Jeśli ściany boczne są równej długości

Rysunek 3. Widok trapezu równoramiennego

Jeśli nierównoległe boki są równe długości, to ABCD nazywa się równoramiennymi (regularnymi). Co więcej, dla takiego czworokąta miara stopni kątów u podstawy jest taka sama, ich kąt zawsze będzie mniejszy niż właściwy. Z tego powodu równoramienne nigdy nie są podzielone na ostre i rozwarte. Czworokąt o tym kształcie ma swoje specyficzne różnice, które obejmują:

1. Segmenty łączące przeciwległe wierzchołki są równe.
2. Ostre kąty z większą podstawą wynoszą 45° (przykład ilustracyjny na rysunku 3).
3. Jeśli zsumujesz miary stopni przeciwnych kątów, dodają one do 180 °.
4. Wokół można zbudować dowolny regularny trapez.
5. Jeśli dodasz miarę stopni przeciwnych kątów, to jest ona równa π.

Ponadto, ze względu na ich geometryczny układ punktów, istnieją podstawowe właściwości trapezu równoramiennego:

Wartość kąta przy podstawie 90 °

Prostopadłość boku podstawy jest pojemną cechą charakterystyczną pojęcia „prostokątny trapez”. Nie może być dwóch boków bocznych z narożnikami u podstawy, bo inaczej będzie to już prostokąt. W tym typie czworokąta druga strona boczna będzie zawsze tworzyła kąt ostry z dużą podstawą, a rozwartą z mniejszą. W takim przypadku prostopadła strona będzie również wysokością.

Odcinek między środkami ścian bocznych

Jeśli połączysz punkty środkowe boków, a wynikowy odcinek będzie równoległy do ​​podstaw i ma długość równą połowie ich sumy, to utworzona linia prosta będzie linią środkową. Wartość tej odległości oblicza się według wzoru:

Aby uzyskać bardziej obrazowy przykład, rozważ problem z użyciem środkowej linii.

Zadanie. Linia środkowa trapezu wynosi 7 cm, wiadomo, że jeden z boków jest o 4 cm większy od drugiego (ryc. 4). Znajdź długości podstaw.

Rysunek 4. Rozwiązywanie problemu ze znalezieniem długości bazowych

Rozwiązanie. Niech mniejsza podstawa DC będzie równa x cm, wtedy większa podstawa będzie równa odpowiednio (x + 4) cm. Stąd, korzystając ze wzoru na środkową linię trapezu, otrzymujemy:

Okazuje się, że mniejsza podstawa DC ma 5 cm, a większa 9 cm.

Ważny! Koncepcja linii środkowej jest kluczowa w rozwiązywaniu wielu problemów geometrycznych. W oparciu o jej definicję buduje się wiele dowodów na inne figury. Wykorzystując koncepcję w praktyce możliwe jest bardziej racjonalne rozwiązanie i poszukiwanie wymaganej wartości.

Określanie wysokości i jak ją znaleźć

Jak wspomniano wcześniej, wysokość to odcinek przecinający podstawy pod kątem 2Pi/4 i jest to najkrótsza odległość między nimi. Przed ustaleniem wysokości trapezu, konieczne jest podjęcie decyzji, jakie wartości wejściowe są podawane. Aby lepiej zrozumieć, rozważ problem. Znajdź wysokość trapezu, pod warunkiem, że podstawy mają 8 i 28 cm, boki mają odpowiednio 12 i 16 cm.

Rysunek 5. Rozwiązanie problemu ustalenia wysokości trapezu

Narysuj odcinki DF i CH pod kątem prostym do podstawy AD.Z definicji każdy z nich będzie wysokością danego trapezu (rys. 5). W tym przypadku, znając długość każdej ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy, jaka jest wysokość w trójkątach AFD i BHC.

Suma odcinków AF i HB jest równa różnicy między bazami, czyli:

Niech długość AF będzie równa x cm, to długość odcinka HB = (20 - x) cm. Jak stwierdzono, DF = CH, stąd.

Wtedy otrzymujemy następujące równanie:

Okazuje się, że odcinek AF w trójkącie AFD wynosi 7,2 cm, stąd obliczamy wysokość trapezu DF według tego samego twierdzenia Pitagorasa:

Te. wysokość trapezu ADCB wyniesie 9,6 cm Jak widać, obliczenie wysokości jest procesem bardziej mechanicznym i opiera się na obliczeniu boków i kątów trójkątów. Ale w wielu problemach z geometrii, tylko stopnie kątów mogą być znane, w takim przypadku obliczenia będą dokonywane na podstawie proporcji wewnętrznych trójkątów.

Ważny! Zasadniczo trapez jest często uważany za dwa trójkąty lub jako połączenie prostokąta i trójkąta. Aby rozwiązać 90% wszystkich problemów napotykanych w podręcznikach szkolnych, właściwości i cechy tych postaci. Większość wzorów dla tego HMT wywodzi się z „mechanizmów” dla tych dwóch typów figur.

Jak szybko obliczyć długość podstawy

Przed znalezieniem podstawy trapezu należy ustalić, jakie parametry zostały już podane i jak racjonalnie z nich korzystać. Praktycznym podejściem jest wyodrębnienie długości nieznanej podstawy ze wzoru na linię środkową. Dla jaśniejszej percepcji obrazu pokażemy na przykładzie zadania, jak można to zrobić. Niech będzie wiadomo, że środkowa linia trapezu ma 7 cm, a jedna z podstaw ma 10 cm Znajdź długość drugiej podstawy.

Rozwiązanie: Wiedząc, że środkowa linia jest równa połowie sumy podstaw, można argumentować, że ich suma wynosi 14 cm.

(14 cm = 7 cm × 2). Ze stanu problemu wiemy, że jeden z nich ma 10 cm, stąd mniejszy bok trapezu będzie miał 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Ponadto, dla wygodniejszego rozwiązania tego rodzaju problemów, zalecamy zapoznanie się z takimi wzorami z obszaru trapezu jak:

• Środkowa linia;
• kwadrat;
• wzrost;
• przekątne.

Znając istotę (dokładnie istotę) tych obliczeń, możesz łatwo znaleźć pożądaną wartość.

Wideo: trapez i jego właściwości

Wideo: cechy trapezowe

Wyjście

Z rozważanych przykładów zadań można wyciągnąć prosty wniosek, że trapez, pod względem obliczeń zadań, jest jednym z najprostszych kształtów w geometrii. Aby skutecznie rozwiązywać problemy, przede wszystkim nie warto decydować, jakie informacje są znane o opisywanym przedmiocie, w jakich formułach można je zastosować i decydować, co należy znaleźć. Dzięki temu prostemu algorytmowi żaden problem z tym geometrycznym kształtem nie jest łatwy.

Trapez to wypukły czworobok, w którym dwa przeciwległe boki są równoległe, a pozostałe dwa nie są równoległe. Jeśli wszystkie przeciwległe boki czworokąta są parami równoległe, to jest to równoległobok.

Będziesz potrzebować

• - wszystkie boki trapezu (AB,BC,CD,DA).

Instrukcje

1. Nierównoległe imprezy trapez nazywane są bokami bocznymi, a równoległe nazywane są podstawami. Linia między podstawami prostopadła do nich - wysokość trapez... Jeśli strona imprezy trapez są równe, to nazywa się równoramiennymi. Najpierw rozważ rozwiązanie dla trapez który nie jest równoramienny.

2. Narysuj odcinek BE od punktu B do dolnej podstawy AD równolegle do boku trapez PŁYTA CD. Z faktu, że BE i CD są równoległe i trzymane między równoległymi podstawami trapez BC i DA, to BCDE to równoległobok, a jego przeciwieństwo imprezy BE i CD są równe. BYĆ = CD.

3. Rozważ trójkąt ABE. Oblicz stronę AE. AE = AD-ED. Podwaliny trapez BC i AD są znane, a w równoległoboku BCDE odwrotnie imprezy ED i BC są równe. ED = BC, więc AE = AD-BC.

4. Teraz znajdź obszar trójkąta ABE za pomocą wzoru Herona, obliczając półobwód. S = pierwiastek (p * (p-AB) * (p-BE) * (p-AE)). W tym wzorze p jest półobwodem trójkąta ABE. p = 1/2 * (AB + BE + AE). Aby obliczyć powierzchnię, znasz wszystkie potrzebne dane: AB, BE = CD, AE = AD-BC.

6. Wyraź z tego wzoru wysokość trójkąta, która jest jednocześnie wysokością trapez... BH = 2 * S / AE. Oblicz to.

7. Jeśli trapez jest równoramienny, rozwiązanie można wykonać inaczej. Rozważ trójkąt ABH. Jest prostokątny, ponieważ jeden z rogów, BHA, jest prosty.

8. Narysuj wysokość CF od wierzchołka C.

9. Zbadaj figurę HBCF. Prostokąt HBCF, z tego, że dwa z nich imprezy- wysokości, a dwie pozostałe to podstawy trapez czyli rogi są proste, a odwrotnie imprezy są równoległe. Oznacza to, że BC = HF.

10. Spójrz na trójkąty prostokątne ABH i FCD. Kąty na wysokościach BHA i CFD są proste, a kąty na bokach imprezy x BAH i CDF są równe, ponieważ trapez ABCD jest równoramienny, co oznacza, że ​​trójkąty są podobne. Ponieważ wysokości BH i CF są równe obu stronom imprezy równoramienny trapez AB i CD są równe, to podobne trójkąty są sobie równe. Stąd ich imprezy AH i FD również są równe.

11. Odkryj AH. AH + FD = AD-HF. Bo z równoległoboku HF = BC, az trójkątów AH = FD to AH = (AD-BC) * 1/2.

Trapez to figura geometryczna, która jest czworokątem, w którym dwa boki, zwane podstawami, są równoległe, a pozostałe dwa nie są równoległe. Nazywają się bokami trapez... Odcinek przeciągnięty przez punkty środkowe boków nazywany jest linią środkową. trapez... Trapez może mieć różne długości boków lub być identyczny, w takim przypadku nazywa się go równoramiennymi. Jeśli jeden z boków jest prostopadły do ​​podstawy, wówczas trapez będzie prostokątny. Ale o wiele bardziej praktyczne jest wiedzieć, jak wykryć kwadrat trapez .

Będziesz potrzebować

• Linijka z podziałkami milimetrowymi

Instrukcje

1. Zmierz wszystkie boki trapez: AB, BC, CD i DA. Zapisz wyniki swoich pomiarów.

2. Na linii AB przesuń punkt środkowy - punkt K. Na odcinku DA przesuń punkt L, który również znajduje się w środku odcinka AD. Połącz punkty K i L, wynikowy odcinek KL będzie linią środkową trapez ABCD. Zmierz odcinek liniowy KL.

3. Z góry trapez- tęsknota C, opuść prostopadle do jej podstawy AD na odcinku CE. On będzie wysokością trapez ABCD. Zmierz segment CE.

4. Odcinek KL nazywamy literą m, a odcinek CE literą h, wtedy kwadrat S trapez Oblicz ABCD według wzoru: S = m * h, gdzie m jest linią środkową trapez ABCD, h - wysokość trapez ABCD.

5. Istnieje inna formuła, która pozwala obliczyć kwadrat trapez ABCD. Dolna podstawa trapez- AD będzie nazywana literą b, a górna podstawa BC będzie nazywana a. Powierzchnia jest określona wzorem S = 1/2 * (a + b) * h, gdzie a i b są podstawami trapez, h - wzrost trapez .

Powiązane wideo

Wskazówka 3: Jak obliczyć wysokość trapezu, jeśli obszar jest znany?

Trapez oznacza czworobok, w którym dwa z czterech boków są do siebie równoległe. Podstawą tego są równoległe boki trapez, pozostałe dwie to boczne strony tego trapez... Odkryć wysokość trapez, jeśli znamy jego obszar, będzie to bardzo łatwe.

Instrukcje

1. Musisz dowiedzieć się, jak można obliczyć powierzchnię inicjału trapez... Istnieje kilka wzorów na to, w zależności od danych początkowych: S = ((a + b) * h) / 2, gdzie a i b są długościami podstaw trapez, a h to jego wysokość (Wysokość trapez- prostopadły upuszczony z jednej podstawy trapez do drugiego); S = m * h, gdzie m jest linią środkową trapez(Linia środkowa to odcinek równoległy do ​​podstaw trapez i łącząc środek jego boków).

2. Teraz, znając wzory na obliczanie powierzchni trapez, można z nich wydedukować nowe, znaleźć wysokość trapez: h = (2 * S) / (a ​​+ b); h = S / m.

3. Aby wyjaśnić, jak rozwiązywać podobne problemy, można zobaczyć przykłady: Przykład 1: Biorąc pod uwagę trapez, którego powierzchnia wynosi 68 cm?, którego średnia linia wynosi 8 cm, musisz znaleźć wysokość dany trapez... Aby rozwiązać ten problem, musisz użyć wcześniej wyprowadzonego wzoru: h = 68/8 = 8,5 cm Odpowiedź: wysokość tego trapez wynosi 8,5 cm Przykład 2: Niech trapez powierzchnia 120 cm ?, długość podstaw to trapez są równe odpowiednio 8 cm i 12 cm, wymagane jest wykrycie wysokość ten trapez... Aby to zrobić, musisz zastosować jedną z wyprowadzonych formuł: h = (2 * 120) / (8 + 12) = 240/20 = 12 cm Odpowiedź: wysokość podanej trapez równy 12 cm

Powiązane wideo

Notatka!
Każdy trapez ma szereg właściwości: - linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw, - odcinek łączący przekątne trapezu jest równy połowie różnicy jego podstaw, - jeśli prosta linia poprowadzona przez środki podstaw przetnie punkt przecięcia przekątnych trapezu; - w trapezie można wpisać okrąg, jeżeli suma podstaw tego trapezu jest równa sumie jego boki.Użyj tych właściwości podczas rozwiązywania problemów.

Wskazówka 4: Jak znaleźć wysokość trójkąta, jeśli podane są współrzędne punktów?

Wysokość w trójkącie to odcinek linii prostej łączącej górę figury z przeciwległym bokiem. Ten odcinek musi z pewnością być prostopadły do ​​boku, dlatego z każdego wierzchołka można narysować tylko jeden wysokość... Ze względu na to, że na tej figurze są trzy szczyty, wysokości na niej są takie same. Jeśli trójkąt jest podany przez współrzędne jego wierzchołków, można obliczyć długość dowolnej z wysokości, powiedzmy, używając wzoru na znalezienie pola i obliczenie długości boków.

Instrukcje

1. Oblicz, że obszar trójkąt równy połowie iloczynu długości każdego z jego boków przez długość wysokości zrzuconej na ten bok. Z tej definicji wynika, że ​​aby znaleźć wzrost, musisz znać obszar sylwetki i długość boku.

2. Zacznij od obliczenia długości boków trójkąt... Oznacz współrzędne wierzchołków kształtu w następujący sposób: A (X?, Y?, Z?), B (X?, Y?, Z?) I C (X?, Y?, Z?). Następnie możesz obliczyć długość boku AB za pomocą wzoru AB =?((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?). Dla pozostałych 2 stron te formuły będą wyglądać tak: BC =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?) A AC =? (( X ?-X?)?+ (Y?-Y?)?+ (Z?-Z?)?). Powiedzmy dla trójkąt o współrzędnych A (3,5,7), B (16,14,19) i C (1,2,13), długość boku AB będzie wynosić?((3-16)? + (5-14) ? + (7 -19)?) =? (- 13? + (-9?) + (-12?)) =? (169 + 81 + 144) =? 394? 19.85. Długości boków BC i AC, obliczone tą samą metodą, będą równe ? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20,12 i? (2? + 3? + (-6?)) =? 49 = 7.

3. Do obliczenia powierzchni wystarczą umiejętności dotyczące długości 3 boków uzyskane w poprzednim kroku trójkąt(S) według wzoru Herona: S =? *? ((AB + BC + CA) * (BC + CA-AB) * (AB + CA-BC) * (AB + BC-CA)). Powiedzmy, późniejsze podstawianie wartości uzyskanych ze współrzędnych trójkąt Przykład z poprzedniego kroku, ta formuła da taką wartość: S =?*?((19,85 + 20,12 + 7) * (20,12 + 7-19,85) * (19,85 + 7-20 , 12) * (19,85 + 20,12- 7)) =?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97)? ?*?75768.55? ?* 275,26 = 68,815.

4. Pochodzący z okolicy trójkąt obliczone w poprzednim kroku oraz długości boków uzyskane w kroku drugim, obliczyć wysokości dla każdego z boków. Ponieważ powierzchnia jest równa połowie iloczynu wysokości przez długość boku, do którego jest narysowana, aby znaleźć wysokość, podziel podwojoną powierzchnię przez długość żądanego boku: H = 2 * S / a. Dla przykładu użytego powyżej wysokość spadła na stronę AB wynosiłaby 2 * 68,815 / 16,09? 8.55, wysokość do boku BC wyniesie 2 * 68,815/20,12? 6,84, a dla strony AU ta wartość wyniesie 2*68,815/7? 19.66.

Trapez to taki czworokąt, którego dwa boki są równoległe (są to podstawy trapezu, wskazane na rysunku a i b), a pozostałe dwa nie są (na rysunku PIEKŁO i CB). Wysokość trapezu to odcinek h narysowany prostopadle do podstaw.

Jak znaleźć wysokość trapezu przy znanych wartościach pola trapezu i długości podstaw?

Aby obliczyć pole S trapezu ABCD, posługujemy się wzorem:

S = ((a + b) × h) / 2.

Tutaj segmenty a i b są podstawami trapezu, h jest wysokością trapezu.

Przekształcając tę ​​formułę, możemy napisać:

Korzystając z tego wzoru, otrzymujemy wartość h, jeśli znane są pole S i długości podstaw a i b.

Przykład

Jeśli wiadomo, że powierzchnia trapezu S wynosi 50 cm², długość podstawy a wynosi 4 cm, długość podstawy b wynosi 6 cm, to aby znaleźć wysokość h, posługujemy się wzorem:

Podstawiamy znane wartości we wzorze.

h = (2 × 50) / (4 + 6) = 100/10 = 10 cm

Odpowiedź: Wysokość trapezu wynosi 10 cm.

Jak znaleźć wysokość trapezu, biorąc pod uwagę wartości obszaru trapezu i długość linii środkowej?

Wykorzystajmy wzór do obliczenia powierzchni trapezu:

Tutaj m to linia środkowa, h to wysokość trapezu.

Jeśli pojawi się pytanie, jak znaleźć wysokość trapezu, wzór:

h = S / m byłoby odpowiedzią.

W ten sposób możemy znaleźć wartość wysokości trapezu h, mając znane wartości pola S i odcinka linii środkowej m.

Przykład

Znamy długość środkowej linii trapezu m, która wynosi 20 cm, oraz powierzchnię S, która wynosi 200 cm². Znajdźmy wartość wysokości trapezu h.

Zastępując wartości S i m otrzymujemy:

h = 200/20 = 10 cm

Odpowiedź: wysokość trapezu wynosi 10 cm

Jak znaleźć wysokość prostokątnego trapezu?

Jeśli trapez jest czworobokiem, z dwoma równoległymi bokami (podstawami) trapezu. Ta przekątna to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki narożników trapezu (segment AC na rysunku). Jeśli trapez jest prostokątny, posługując się przekątną, ustalamy wysokość trapezu h.

Trapez prostokątny to trapez, w którym jeden z boków jest prostopadły do ​​podstaw. W tym przypadku jego długość (BP) pokrywa się z wysokością h.

Rozważmy więc prostokątny trapez ABCD, gdzie AD to wysokość, DC to podstawa, AC to przekątna. Użyjmy twierdzenia Pitagorasa. Kwadrat przeciwprostokątnej AC trójkąta prostokątnego ADC jest równy sumie kwadratów jego odnóg AB i BC.

Następnie możesz napisać:

AC² = AD² + DC².

AD to odnoga trójkąta, bok trapezu i jednocześnie jego wysokość. W końcu segment ciśnienia krwi jest prostopadły do ​​podstaw. Jego długość będzie wynosić:

AD = √ (AC² - DC²)

Mamy więc wzór na obliczenie wysokości trapezu h = AD

Przykład

Jeżeli długość podstawy trapezu prostokątnego (DC) wynosi 14 cm, a przekątna (AC) 15 cm, to korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby otrzymać wartość wysokości (strona AD).

Niech x będzie nieznanym odgałęzieniem trójkąta prostokątnego (AD), wtedy

AC² = AD² + DC² można zapisać

15² = 14² + x²,

x = √ (15²-14²) = √ (225-196) = √29 cm

Odpowiedź: Wysokość prostokątnego trapezu (AB) wyniesie √29 cm, czyli około 5,385 cm

Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego?

Trapez równoramienny nazywany jest trapezoidem, w którym długości boków są sobie równe. Linia prosta poprowadzona przez punkty środkowe podstaw takiego trapezu będzie osią symetrii. Szczególnym przypadkiem jest trapez, którego przekątne są prostopadłe do siebie, a następnie wysokość h będzie równa połowie sumy podstaw.

Rozważ przypadek, w którym przekątne nie są do siebie prostopadłe. W trapezie równoramiennym (równoramiennym) kąty u podstaw są równe, a długości przekątnych są równe. Wiadomo również, że wszystkie wierzchołki trapezu równoramiennego dotykają linii koła narysowanego wokół tego trapezu.

Rozważ rysunek. ABCD to trapez równoramienny. Wiadomo, że podstawy trapezu są równoległe, co oznacza, że ​​BC = b równolegle do AD = a, bok AB = CD = c, co oznacza, że ​​kąty przy podstawach są odpowiednio równe, można zapisać kąt BAQ = CDS = α, a kąt ABC = BCD = β. Stąd wnioskujemy, że trójkąt ABQ jest równy trójkątowi SCD, co oznacza, że ​​odcinek

AQ = SD = (AD - BC) / 2 = (a - b) / 2.

Mając w zależności od stanu problemu wartości podstaw a i b oraz długość boku c, znajdujemy wysokość trapezu h równą odcinkowi BQ.

Rozważ prostokątny trójkąt ABQ. BO - wysokość trapezu, prostopadła do podstawy AD, stąd odcinek AQ. Znajdujemy bok AQ trójkąta ABQ, korzystając ze wzoru, który wyprowadziliśmy wcześniej:

Mając wartości dwóch nóg trójkąta prostokątnego, znajdujemy przeciwprostokątną BQ = h. Używamy twierdzenia Pitagorasa.

AB² = AQ² + BQ²

Zastąpmy te zadania:

c² = AQ² + h².

Otrzymujemy wzór na wyznaczenie wysokości trapezu równoramiennego:

h = √ (c²-AQ²).

Przykład

Podano trapez równoramienny ABCD, gdzie podstawa AD = a = 10 cm, podstawa BC = b = 4 cm, a bok AB = c = 12 cm. W takich warunkach zastanówmy się na przykład, jak znaleźć wysokość trapezu, trapez równoramienny AVSD.

Znajdź bok AQ trójkąta ABQ, zastępując znane dane:

AQ = (a - b) / 2 = (10-4) / 2 = 3cm.

Zastąpmy teraz wartości boków trójkąta formułą twierdzenia Pitagorasa.

h = √ (c²- AQ²) = √ (12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Odpowiedź. Wysokość h trapezu równoramiennego ABCD wynosi 11,6 cm.