Dwusieczna kąta. Pełne lekcje — hipermarket wiedzy

Dzisiaj będzie bardzo łatwa lekcja. Rozważymy tylko jeden obiekt - dwusieczną kąta - i udowodnimy jego najważniejszą właściwość, która będzie dla nas bardzo przydatna w przyszłości.

Po prostu nie odpręż się: czasami uczniowie, którzy chcą uzyskać wysoki wynik w tym samym OGE lub USE, na pierwszej lekcji, nie mogą nawet dokładnie sformułować definicji dwusiecznej.

I zamiast robić naprawdę ciekawe zadania, tracimy czas na takie proste rzeczy. Dlatego przeczytaj, zobacz - i oddaj do użytku :)

Na początek trochę dziwne pytanie: czym jest kąt? Zgadza się: kąt to tylko dwa promienie wychodzące z tego samego punktu. Na przykład:

Przykłady kątów: ostry, rozwarty i prosty

Jak widać na zdjęciu rogi mogą być ostre, tępe, proste - teraz nie ma to znaczenia. Często dla wygody na każdym promieniu zaznacza się dodatkowy punkt i mówią, że mamy przed sobą kąt $ AOB $ (zapisany jako $ \ angle AOB $).

Kapitan oczywistości zdaje się sugerować, że oprócz promieni $ OA $ i $ OB $, zawsze możesz wyciągnąć kilka promieni z punktu $ O $. Ale wśród nich będzie jeden szczególny - to on jest nazywany dwusiecznym.

Definicja. Dwusieczna kąta to promień wychodzący z wierzchołka tego kąta i przecina kąt na pół.

Dla powyższych kątów dwusieczne będą wyglądać tak:

Przykłady dwusiecznych dla kątów ostrych, rozwartych i prostych

Ponieważ na prawdziwych rysunkach nie zawsze jest oczywiste, że pewien promień (w naszym przypadku jest to promień $ OM $) dzieli początkowy kąt na dwa równe kąty, w geometrii zwyczajowo oznacza się równe kąty taką samą liczbą łuków (na naszym rysunku jest to 1 łuk dla kąta ostrego, dwa dla tępego, trzy dla bezpośredniego).

Dobra, ustaliliśmy definicję. Teraz musisz zrozumieć, jakie właściwości ma dwusieczna.

Główna właściwość dwusiecznej kąta

W rzeczywistości dwusieczna ma wiele właściwości. I na pewno przyjrzymy się im w następnej lekcji. Ale jest jedna sztuczka, którą musisz teraz zrozumieć:

Twierdzenie. Dwusieczna kąta to położenie punktów równoodległych od boków danego kąta.

W tłumaczeniu z matematycznego na rosyjski oznacza to jednocześnie dwa fakty:

Każdy punkt leżący na dwusiecznej określonego kąta znajduje się w tej samej odległości od boków tego kąta.
I odwrotnie: jeśli punkt leży w tej samej odległości od boków danego kąta, to gwarantuje się, że leży na dwusiecznej tego kąta.

Zanim udowodnimy te stwierdzenia, wyjaśnijmy jedną kwestię: jak właściwie nazywa się odległość od punktu do boku kąta? Tutaj pomoże nam staroświecka, dobra definicja odległości od punktu do prostej:

Definicja. Odległość od punktu do linii to długość prostopadłej narysowanej od danego punktu do tej linii.

Rozważmy na przykład linię $ l $ i punkt $ A $, który nie leży w tej linii. Narysuj prostopadłą $ AH $, gdzie $ H \ w l $. Wtedy długość tej prostopadłej będzie odległością od punktu $ A $ do prostej $ l $.

Graficzna reprezentacja odległości od punktu do linii

Ponieważ kąt to tylko dwie wiązki, a każda wiązka jest fragmentem linii prostej, łatwo jest określić odległość punktu od boków kąta. To tylko dwie prostopadłe:

Określ odległość od punktu do boków narożnika

To wszystko! Teraz wiemy, czym jest odległość i czym jest dwusieczna. Dlatego można udowodnić główną właściwość.

Zgodnie z obietnicą podzielmy dowód na dwie części:

1. Odległości od punktu na dwusiecznej do boków kąta są takie same

Rozważ dowolny kąt z wierzchołkiem $ O $ i dwusieczną $ OM $:

Udowodnijmy, że ten właśnie punkt $M$ znajduje się w tej samej odległości od boków narożnika.

Dowód. Narysuj prostopadłe od punktu $ M $ do boków narożnika. Nazwijmy je $ M ((H) _ (1)) $ i $ M ((H) _ (2)) $:
Rysuj prostopadle do boków narożnika
Mamy dwa trójkąty prostokątne: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ oraz $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Mają wspólną przeciwprostokątną $OM $ i równe kąty:

$ \ kąt MO ((H) _ (1)) = \ kąt MO ((H) _ (2)) $ według warunku (ponieważ $ OM $ jest dwusieczną);

$ \ kąt M ((H) _ (1)) O = \ kąt M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ według konstrukcji;

$ \ kąt OM ((H) _ (1)) = \ kąt OM ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ circ - \ kąt MO ((H) _ (1)) $, ponieważ suma Kąty ostre trójkąta prostokątnego wynoszą zawsze 90 stopni.

W konsekwencji trójkąty mają równe boki i dwa sąsiednie kąty (patrz znaki równości trójkątów). Dlatego w szczególności $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $, tj. odległości od punktu $O $ do boków narożnika są rzeczywiście równe. CO BYŁO DO OKAZANIA.:)

2. Jeśli odległości są równe, to punkt leży na dwusiecznej

Teraz sytuacja się odwróciła. Niech kąt $ O $ i punkt $ M $ równoodległy od boków tego kąta:

Udowodnijmy, że promień $ OM $ jest dwusieczną, czyli $ \ kąt MO ((H) _ (1)) = \ kąt MO ((H) _ (2)) $.

Dowód. Na początek narysujmy ten promień $OM $, w przeciwnym razie nie będzie nic do udowodnienia:
Wydałem promień $ OM $ w rogu
Znowu mamy dwa trójkąty prostokątne: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ i $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Są oczywiście równe, ponieważ:

Przeciwprostokątna $ OM $ - suma;

Nogi $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ według warunku (w końcu punkt $ M $ jest w równej odległości od boków narożnika);

Pozostałe nogi również są równe, ponieważ według twierdzenia Pitagorasa $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

Dlatego trójkąty $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ i $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $ są z trzech stron. W szczególności ich kąty są równe: $ \ kąt MO ((H) _ (1)) = \ kąt MO ((H) _ (2)) $. A to po prostu oznacza, że $OM $ jest dwusieczną.

Na zakończenie dowodu, powstałe równe kąty zaznaczamy czerwonymi łukami:
Dwusieczna podzieliła kąt $ \ ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $ na dwie równe

Jak widać, nic skomplikowanego. Udowodniliśmy, że dwusieczna kąta to położenie punktów równoodległych od boków tego kąta :)

Teraz, gdy mniej więcej zdecydowaliśmy się na terminologię, czas przejść na nowy poziom. W następnej lekcji przeanalizujemy bardziej złożone właściwości dwusiecznej i nauczymy się ich używać do rozwiązywania rzeczywistych problemów.

Dwusieczna trójkąta to odcinek, który dzieli kąt trójkąta na dwa równe kąty. Na przykład, jeśli kąt trójkąta wynosi 120 0, to rysując dwusieczną, zbudujemy dwa kąty 60 0 każdy.

A ponieważ w trójkącie są trzy kąty, można narysować trzy dwusieczne. Wszystkie mają jeden punkt odcięcia. Ten punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. W inny sposób ten punkt przecięcia nazywa się środkiem trójkąta.

Gdy przecinają się dwie dwusieczne kąta wewnętrznego i zewnętrznego, otrzymuje się kąt 90 0. Zewnętrzny narożnik trójkąta to kąt przylegający do wewnętrznego narożnika trójkąta.

Ryż. 1. Trójkąt z 3 dwusiecznymi

Dwusieczna dzieli przeciwną stronę na dwa odcinki linii, które są połączone z bokami:

$$ (CL \ powyżej (LB)) = (AC \ powyżej (AB)) $$

Punkty dwusiecznej są równoodległe od boków narożnika, co oznacza, że znajdują się w tej samej odległości od boków narożnika. Oznacza to, że jeśli z dowolnego punktu dwusiecznej obniżymy prostopadłe do każdego boku kąta trójkąta, to te prostopadłe będą równe.

Jeśli narysujesz medianę, dwusieczną i wysokość z jednego wierzchołka, to mediana będzie najdłuższym segmentem, a wysokość najkrótszym.

Niektóre właściwości dwusiecznej

W niektórych typach trójkątów dwusieczna ma specjalne właściwości. Dotyczy to przede wszystkim trójkąta równoramiennego. Ta figura ma dwie identyczne strony, a trzecia nazywa się podstawą.

Jeśli z wierzchołka kąta trójkąta równoramiennego narysujemy dwusieczną do podstawy, to będzie ona miała właściwości zarówno wysokości, jak i mediany. W związku z tym długość dwusiecznej pokrywa się z długością mediany i wysokości.

Definicje:

Wzrost- prostopadła spadła z wierzchołka trójkąta na przeciwną stronę..
Mediana- odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwnej strony.

Ryż. 2. Dwusieczna w trójkącie równoramiennym

Dotyczy to również trójkąta równobocznego, czyli takiego, w którym wszystkie trzy boki są równe.

Przykładowe zadanie

W trójkącie ABC: BR to dwusieczna, gdzie AB = 6 cm, BC = 4 cm i RC = 2 cm. Odejmij długość trzeciego boku.

Ryż. 3. Dwusieczna w trójkącie

Rozwiązanie:

Dwusieczna dzieli bok trójkąta w określonej proporcji. Użyjmy tej proporcji i wyraźmy AR. Następnie znajdziemy długość trzeciego boku jako sumę odcinków, na które ten bok został podzielony przez dwusieczną.

$ (AB \ powyżej (BC)) = (AR \ powyżej (RC)) $
$ RC = (6 \ powyżej (4)) * 2 = 3 cm $

Wtedy cały segment AC = RC + AR

AC = 3 + 2 = 5 cm.

W trójkącie równoramiennym dwusieczna narysowana do podstawy dzieli trójkąt na dwa równe trójkąty prostokątne.

Czego się nauczyliśmy?

Po przestudiowaniu tematu dwusiecznej dowiedzieliśmy się, że dzieli ona kąt na dwa równe kąty. A jeśli jest narysowany w kształcie równoramiennym lub równobocznym do podstawy, to będzie miał jednocześnie właściwości zarówno mediany, jak i wysokości.

Testuj według tematu

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.2. Łącznie otrzymane oceny: 157.

Dwusieczna trójkąta jest powszechną koncepcją geometryczną, która nie powoduje żadnych szczególnych trudności w nauce. Mając wiedzę o jego właściwościach, wiele problemów można rozwiązać bez większych trudności. Co to jest dwusieczna? Postaramy się przybliżyć czytelnikowi wszystkie tajniki tej matematycznej linii.

W kontakcie z

Istota koncepcji

Nazwa pojęcia wzięła się od użycia słów w języku łacińskim, których znaczenie to „bi” – dwa, „sectio” – cięcie. Wskazują w szczególności na geometryczne znaczenie pojęcia - rozbicie przestrzeni między promieniami na dwie równe części.

Dwusieczna trójkąta to odcinek wychodzący z góry figury, a drugi koniec znajduje się po przeciwnej stronie, dzieląc przestrzeń na dwie równe części.

W celu szybkiego zapamiętywania przez uczniów pojęć matematycznych w skojarzeniu, wielu nauczycieli używa innej terminologii, która jest wyświetlana w wersetach lub skojarzeniach. Oczywiście ta definicja jest zalecana dla starszych dzieci.

Jak jest wyznaczona ta linia prosta? Tutaj opieramy się na zasadach oznaczania segmentów lub promieni. Jeśli mówimy o wyznaczeniu dwusiecznej kąta figury trójkątnej, to zwykle zapisuje się ją jako segment, którego końce są wierzchołek i punkt przecięcia ze stroną przeciwną do wierzchołka... Co więcej, początek oznaczenia pisany jest dokładnie od góry.

Uwaga! Ile dwusiecznych ma trójkąt? Odpowiedź jest oczywista: jest ich aż trzy szczyty.

Nieruchomości

Oprócz definicji w podręczniku szkolnym można znaleźć niewiele właściwości tej geometrycznej koncepcji. Pierwszą właściwością dwusiecznej trójkąta, która jest wprowadzana do uczniów, jest środek wpisanego, a druga, bezpośrednio z nim związana, to proporcjonalność segmentów. Najważniejsze jest to:

Niezależnie od linii podziału, są na niej punkty, które są w tej samej odległości od boków które tworzą przestrzeń między belkami.
Aby wpisać okrąg w trójkątną figurę, konieczne jest określenie punktu, w którym te odcinki będą się przecinać. To jest centralny punkt okręgu.
Części boku trójkątnej figury geometrycznej, na które dzieli ją linia podziału, to proporcjonalna do skośnych boków.

Postaramy się wprowadzić pozostałe cechy do systemu i przedstawić dodatkowe fakty, które pomogą lepiej zrozumieć zalety tej geometrycznej koncepcji.

Długość

Jednym z rodzajów problemów, które powodują trudności dla uczniów, jest znalezienie długości dwusiecznej kąta trójkąta. Pierwsza opcja, która zawiera jej długość, zawiera następujące dane:

ilość przestrzeni między promieniami, z której szczytu wychodzi ten segment;
długości boków tworzących ten kąt.

Rozwiązać problem formuła jest używana, którego znaczeniem jest znalezienie stosunku iloczynu podwojonego wartości boków tworzących kąt przez cosinus jego połowy do sumy boków.

Rozważmy konkretny przykład. Załóżmy, że podana jest figura ABC, w której odcinek jest narysowany pod kątem A i przecina bok BC w punkcie K. Wartość A jest oznaczona przez Y. Na tej podstawie AK = (2 * AB * AC * cos (Y / 2)) / (AB + AC).

Druga wersja problemu, w której określa się długość dwusiecznej trójkąta, zawiera następujące dane:

znane są znaczenia wszystkich stron figury.

Rozwiązując problem tego typu, początkowo określić półobwód... Aby to zrobić, dodaj wartości ze wszystkich stron i podziel na pół: p = (AB + BC + AC) / 2. Następnie stosujemy wzór obliczeniowy, który posłużył do wyznaczenia długości tego odcinka w poprzednim zadaniu. Konieczne jest jedynie wprowadzenie pewnych zmian w istocie formuły zgodnie z nowymi parametrami. Tak więc konieczne jest znalezienie stosunku podwojonego pierwiastka drugiego stopnia z iloczynu długości boków przylegających do wierzchołka o półobwód i różnicy między półobwodem a długością przeciwną stronę do sumy boków tworzących kąt. Oznacza to, że AK = (2٦AB * AC * p * (p-BC)) / (AB + AC).

Uwaga! Aby ułatwić sobie opanowanie materiału, można odwołać się do dostępnych w Internecie komiksów opowiadających o „przygodach” tej prostej.

Przypadki specjalne

Dwusieczna trójkąta prostokątnego ma wszystkie ogólne właściwości. Należy jednak zauważyć szczególny przypadek, który jest nieodłączny tylko dla niego: podczas przecinania segmentów, których podstawy są wierzchołkami ostrych trójkątów prostokątnych, między promieniami uzyskuje się 45 stopni.

Dwusieczna trójkąta równoramiennego ma również swoje własne cechy:

Jeśli podstawa tego segmentu jest wierzchołkiem przeciwstawnym do podstawy, to jest zarówno wzrost, jak i mediana.
Jeśli segmenty są rysowane z wierzchołków rogów u podstawy, to ich długości są sobie równe.

Lekcja geometrii, badamy właściwości dwusiecznej

Własności dwusiecznej trójkąta

co to jest dwusieczna kąta?

Besectrix to szczur, który chodzi po rogach i przecina róg na pół.
Właściwości dwusieczne

a2a1 = cb
la = c + bcb (b + c + a) (b + ca)
la = c + b2bc cos2
la = hacos2
la = bca1a2
Gdzie:
tak jakoś))
Płaski kąt rozłożonego kąta dzieli go na 2 kąty proste
ten szczur pęka
Dwusieczna (z łac. bi - double i sectio cięcie) kąta to promień z początkiem na wierzchołku kąta, dzielący kąt na dwie równe części.
Dwusieczna (z łac. bi - double i sectio cięcie) kąta to promień z początkiem na wierzchołku kąta, dzielący kąt na dwie równe części.
Dwusieczny to szczur, który biega po kątach i dzieli kąt ze względu na płeć.
kąt podziału wiązki na 2 równe kąty
Dwusieczna to szczur, który biega po rogach i przecina róg!
😉
Dwusieczna (z łac. bi - double i sectio cięcie) kąta to promień z początkiem na wierzchołku kąta, dzielący kąt na dwie równe części.
Dwusieczna kąta (wraz z jego kontynuacją) to położenie punktów równoodległych od boków kąta (lub ich przedłużeń).
Definicja. Dwusieczna kąta trójkąta to odcinek dwusiecznej tego kąta, który łączy ten wierzchołek z punktem po przeciwnej stronie.
Dowolna z trzech dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta nazywana jest dwusieczną trójkąta.
Dwusieczna kąta trójkąta może oznaczać jedną z dwóch rzeczy: promień jest dwusieczną tego kąta lub segmentem dwusiecznej tego kąta przed przecięciem się z bokiem trójkąta.
Właściwości dwusieczne
Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwną stronę w stosunku równym stosunkowi dwóch sąsiednich boków.
Dwusieczne wewnętrznych rogów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt nazywa się środkiem wpisanego koła.
Dwusieczne narożnika wewnętrznego i zewnętrznego są prostopadłe.
Jeśli dwusieczna zewnętrznego narożnika trójkąta przecina kontynuację przeciwnej strony, to ADBD = ACBC.
Dwusieczne jednego wewnętrznego i dwóch zewnętrznych narożników trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem jednego z trzech eksokrętów tego trójkąta.
Podstawy dwusiecznych dwóch narożników wewnętrznych i jednego zewnętrznego trójkąta leżą na tej samej linii prostej, jeśli dwusieczna narożnika zewnętrznego nie jest równoległa do przeciwległego boku trójkąta.
Jeśli dwusieczne zewnętrznych rogów trójkąta nie są równoległe do przeciwległych boków, to ich podstawy leżą na jednej linii prostej.
a2a1 = cb
la = c + bcb (b + c + a) (b + c # 8722; a)
la = c + b2bc cos2
la = hacos2 # 8722;
la = bc # 8722; a1a2
Gdzie:
la jest dwusieczną po stronie a,
a, b, od boku trójkąta naprzeciw wierzchołków odpowiednio A, B, C,
al, a 2 segmenty, na które dwusieczna lc dzieli bok c,
wewnętrzne kąty trójkąta na wierzchołkach odpowiednio a, b, c,
ha jest wysokością trójkąta opuszczonego na bok a.
dwusieczna to linia dzieląca kąt przez palam
Dwusieczna (z łac. bi - double i sectio cięcie) kąta to promień z początkiem na wierzchołku kąta, dzielący kąt na dwie równe części.
Dwusieczna kąta (wraz z jego kontynuacją) to położenie punktów równoodległych od boków kąta (lub ich przedłużeń).
Dwusieczna to szczur, który chodzi w rogach, zmniejsza kąt o połowę.
dwusieczna, taki szczur, biega za rogiem i dzieli kąt na trafienia)
Dzieli róg na pół
dzieląca go (róg) na pół.
Dwusieczna to szczur, który biega po rogach i dzieli je na pół.

Dwusieczna to linia, która przecina kąt o połowę.

Czy spotkałeś się z dwusieczną w zadaniu? Spróbuj zastosować jedną (a czasem kilka) z poniższych niesamowitych właściwości.

1. Dwusieczna w trójkącie równoramiennym.

Nie boisz się słowa „twierdzenie”? Jeśli się boisz, to - na próżno. Matematycy są przyzwyczajeni do nazywania każdego twierdzenia, które można w jakiś sposób wywnioskować z innych, prostszych twierdzeń, za pomocą twierdzenia.

A więc uwaga, twierdzenie!

Udowodnijmy to twierdzenie, czyli zrozumiemy, dlaczego tak jest? Spójrz na równoramienne.

Przyjrzyjmy się im bliżej. A potem zobaczymy, że

- ogólny.

A to oznacza (raczej pamiętaj o pierwszym znaku równości trójkątów!) To.

Więc co? Czy chcesz tak powiedzieć? I to, że jeszcze nie spojrzeliśmy na trzecie boki i pozostałe rogi tych trójkątów.

Zobaczmy teraz. Raz, to absolutnie dokładnie, a nawet dodatkowo.

Więc okazało się, że

podzielił bok na pół, czyli okazało się, że to mediana
, co oznacza, że oba są włączone, ponieważ (spójrz jeszcze raz na zdjęcie).

Więc okazało się, że to dwusieczna i wysokość!

Hurra! Udowodniliśmy twierdzenie. Ale wyobraź sobie, że to nie wszystko. To też prawda twierdzenie odwrotne:

Dowód? Zastanawiasz się? Przeczytaj następny poziom teorii!

A jeśli nie interesujące, to pamiętaj mocno:

Po co zapamiętywać to mocno? Jak to może pomóc? Ale wyobraź sobie, że masz zadanie:

Dany: .

Odnaleźć: .

Natychmiast uświadamiasz sobie, że dwusieczna i oto i oto podzieliła bok na pół! (według warunku…). Jeśli mocno pamiętasz, że tak się dzieje tylko w trójkącie równoramiennym, to wnioskujesz, co to znaczy, piszesz odpowiedź:. Świetnie, prawda? Oczywiście nie wszystkie zadania będą tak proste, ale wiedza na pewno pomoże!

A teraz kolejna nieruchomość. Gotowy?

2. Dwusieczna kąta to położenie punktów równoodległych od boków kąta.

Przerażony? Właściwie to w porządku. Leniwi matematycy ukryli cztery w dwóch wierszach. Co to znaczy "Bisector - umiejscowienie punktów"? Oznacza to, że są wykonywane natychmiast. dwasprawozdania:

Jeśli punkt leży na dwusiecznej, to odległości od niego do boków kąta są równe.
Jeśli w pewnym momencie odległości do boków narożnika są równe, to ten punkt koniecznie leży na dwusiecznej.

Czy widzisz różnicę między stwierdzeniami 1 i 2? Jeśli nie, przypomnij sobie Kapelusznika z Alicji w Krainie Czarów: „Więc masz jeszcze coś dobrego do powiedzenia, jakby „widzę to, co jem” i „jem to, co widzę”, są jednym i tym samym!”

Musimy więc udowodnić stwierdzenia 1 i 2, a następnie stwierdzenie: „Dwusieczna jest miejscem występowania punktów równoodległych od boków narożnika” zostanie udowodnione!

Dlaczego 1 jest prawdziwe?

Weź dowolny punkt na dwusiecznej i nazwij go.

Opuśćmy prostopadłe z tego punktu na boki narożnika.

A teraz ... przygotuj się na zapamiętanie znaków równości trójkątów prostokątnych! Jeśli o nich zapomniałeś, spójrz na sekcję.

Czyli… dwa trójkąty prostokątne: i. Oni mają:

Ogólna przeciwprostokątna.
(bo - dwusieczna!)

Oznacza to - przez kąt i przeciwprostokątną. Dlatego odpowiednie nogi tych trójkątów są równe! To jest.

Wykazano, że punkt jest równo (lub równy) oddalony od boków narożnika. Z punktem 1 uporządkowanym. Przejdźmy teraz do punktu 2.

Dlaczego 2 jest prawdziwe?

I połącz kropki i.

Czyli leży na dwusiecznej!

To wszystko!

Jak to wszystko zastosować do rozwiązywania problemów? Na przykład w problemach często pojawia się takie zdanie: „Kółko dotyka boków narożnika…”. No i musisz coś znaleźć.

Szybko uświadamiasz sobie, że

I możesz użyć równości.

3. Trzy dwusieczne w trójkącie przecinają się w jednym punkcie

Z własności dwusiecznej za położenie punktów równoodległych od boków kąta wynika następujące stwierdzenie:

Jak dokładnie to przebiega? Ale spójrz: dwie dwusieczne na pewno się przetną, prawda?

A trzecia dwusieczna mogłaby wyglądać tak:

Ale w rzeczywistości wszystko jest znacznie lepsze!

Rozważmy punkt przecięcia dwóch dwusiecznych. Nazwijmy to.

Czego używaliśmy tutaj za każdym razem? tak paragraf 1, oczywiście! Jeśli punkt leży na dwusiecznej, to jest równie oddalony od boków narożnika.

Tak się okazało i.

Ale spójrz uważnie na te dwie równości! W końcu wynika z nich, że i dlatego.

Ale teraz zacznie działać punkt 2: jeśli odległości do boków kąta są równe, to punkt leży na dwusiecznej ... jaki jest kąt? Spójrz jeszcze raz na zdjęcie:

i są odległościami do boków kąta i są równe, co oznacza, że punkt leży na dwusiecznej kąta. Trzecia dwusieczna przeszła przez ten sam punkt! Wszystkie trzy dwusieczne przecinają się w jednym punkcie! A jako dodatkowy prezent -

Promień wpisany kręgi.

(Aby mieć pewność, zobacz inny temat).

Cóż, teraz nigdy nie zapomnisz:

Punktem przecięcia dwusiecznych trójkąta jest środek wpisanego koła.

Przechodząc do następnej nieruchomości… Wow, a dwusieczna ma wiele właściwości, prawda? I to świetnie, bo im więcej właściwości, tym więcej narzędzi do rozwiązywania problemów dotyczących dwusiecznej.

4. Dwusieczna i równoległość, dwusieczne kątów sąsiednich

Fakt, że dwusieczna dzieli kąt na pół, w niektórych przypadkach prowadzi do zupełnie nieoczekiwanych wyników. Na przykład,

Przypadek 1

Świetnie, prawda? Zrozummy, dlaczego tak jest.

Z jednej strony robimy dwusieczną!

Ale z drugiej strony jak krzyżujące się zakręty (pamiętaj o temacie).

A teraz okazuje się, że; wyrzuć środek:! - równoramienne!

Przypadek 2

Wyobraź sobie trójkąt (lub spójrz na zdjęcie)

Kontynuujmy tę stronę o punkt. Teraz mamy dwa rogi:

- narożnik wewnętrzny
- narożnik zewnętrzny - jest na zewnątrz, prawda?

Więc teraz ktoś chciał narysować nie jedną, ale dwie dwusieczne naraz: za i za. Co się stanie?

I się okaże prostokątny!

Co zaskakujące, tak właśnie jest.

Zrozumienie.

Jak myślisz, jaka jest suma?

Oczywiście dlatego, że wszystkie razem tworzą taki kąt, że okazuje się, że jest to linia prosta.

A teraz zapamiętaj to i są dwusieczne i zobacz, że w kącie jest dokładnie połowa z sumy wszystkich czterech kątów: i - - czyli dokładnie. Możesz również napisać równanie:

A więc niewiarygodne, ale prawdziwe:

Kąt między dwusiecznymi wewnętrznego i zewnętrznego narożnika trójkąta wynosi.

Przypadek 3

Czy widzisz, że tutaj wszystko jest takie samo jak w narożnikach wewnętrznych i zewnętrznych?

Albo pomyśl jeszcze raz, dlaczego tak jest?

Ponownie, jeśli chodzi o sąsiednie rogi,

(jak dopasowany na równoległych podstawach).

I znowu makijaż dokładnie połowa od sumy

Wyjście: Jeśli problem zawiera dwusieczne związane z kąty lub dwusieczne odpowiedni kąty równoległoboku lub trapezu, to w tym problemie z pewnością w grę wchodzi trójkąt prostokątny, a może nawet cały prostokąt.

5. Dwusieczna i przeciwna strona

Okazuje się, że dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwną stronę nie jakoś, ale w szczególny i bardzo interesujący sposób:

To jest:

Niesamowity fakt, prawda?

Teraz udowodnimy ten fakt, ale przygotuj się: będzie trochę trudniej niż wcześniej.

Znów - spacer kosmiczny - dodatkowa konstrukcja!

Narysujmy linię prostą.

Po co? Zobaczymy teraz.

Kontynuuj dwusieczną do przecięcia z linią prostą.

Brzmi znajomo? Tak, tak, tak, tak samo jak w ust. 4, przypadek 1 – okazuje się, że (jest dwusieczna)

Jak leżeć w poprzek

Znaczy - to też.

Spójrzmy teraz na trójkąty i.

Co możesz o nich powiedzieć?

Oni są podobni. No tak, mają takie same kąty jak w pionie. Stąd w dwóch rogach.

Teraz mamy prawo do napisania relacji odpowiednich stron.

A teraz w skrócie:

Auć! Wygląda na coś, prawda? Czy nie tego chcieliśmy udowodnić? Tak, to jest to!

Widzisz, jak świetnie sprawdził się „spacer kosmiczny” – budowa dodatkowej linii prostej – bez niej nic by się nie wydarzyło! I tak udowodniliśmy, że

Teraz możesz bezpiecznie z niego korzystać! Przeanalizujmy jeszcze jedną właściwość dwusiecznych kątów trójkąta - nie przejmuj się, teraz najtrudniejsza część się skończyła - będzie łatwiej.

Rozumiemy to

Ta wiedza może być zastosowana w tych problemach, w których zaangażowane są dwie dwusieczne i podany jest tylko kąt, a pożądane wartości są utrzymywane przez lub odwrotnie, ale trzeba coś znaleźć z udziałem kąta.

Skończyła się podstawowa wiedza o dwusiecznej. Łącząc te fakty, znajdziesz klucz do każdego problemu dwusiecznej!

DWUSIECZNA. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 3:

Twierdzenie 4:

Twierdzenie 5:

Twierdzenie 6: