Jaka może być wartość średniej arytmetycznej. Jak znaleźć średnią arytmetyczną i geometryczną liczb? Prosta średnia arytmetyczna

) i średnią próbki (próbki).

Kolegium YouTube

1 / 5
Oznaczmy zbiór danych x = (x 1 , x 2 , …, x n), to średnia z próby jest zwykle wskazywana przez poziomy pasek nad zmienną (wymawiane „ x z linią ").
Grecka litera μ oznacza średnią arytmetyczną całej populacji. Dla zmiennej losowej, dla której wyznacza się wartość średnią, μ jest średnia probabilistyczna lub matematyczne oczekiwanie zmienna losowa... Jeśli zestaw x jest zbiorem liczb losowych o średniej probabilistycznej μ, to dla dowolnej próbki x i z tej kolekcji μ = E ( x i) jest matematycznym oczekiwaniem tej próbki.
W praktyce różnica między μ i x ¯ (\ styl wyświetlania (\ słupek (x))) jest to, że μ jest typową zmienną, ponieważ można zobaczyć próbkę, a nie całą populację. Jeśli więc próba jest prezentowana losowo (w sensie teorii prawdopodobieństwa), to x ¯ (\ styl wyświetlania (\ słupek (x)))(ale nie μ) można traktować jako zmienną losową z rozkładem prawdopodobieństwa na próbie (rozkład prawdopodobieństwa średniej).
Obie te wielkości oblicza się w ten sam sposób:
x = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ suma _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)
Przykłady
- Dla trzech liczb dodaj je i podziel przez 3:
x 1 + x 2 + x 3 3. (\ styl wyświetlania (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)
- W przypadku czterech liczb dodaj je i podziel przez 4:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ styl wyświetlania (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)
Lub prościej 5 + 5 = 10, 10: 2. Ponieważ dodaliśmy 2 liczby, czyli ile liczb dodamy, dzielimy przez tyle.

Ciągła zmienna losowa
f(x) [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f(x) dx)
Niektóre problemy z używaniem środka

Brak solidności

Chociaż średnia arytmetyczna jest często używana jako średnie lub trendy centralne, nie jest to solidna statystyka, co oznacza, że średnia arytmetyczna jest pod silnym wpływem „dużych odchyleń”. Warto zauważyć, że dla rozkładów o dużym współczynniku skośności średnia arytmetyczna może nie odpowiadać pojęciu „średniej”, a wartości średnie ze statystyk odpornych (np. mediana) mogą lepiej opisywać trend centralny.
Klasycznym przykładem jest obliczanie średniego dochodu. Średnia arytmetyczna może być błędnie zinterpretowana jako mediana, co może prowadzić do wniosku, że osób o wyższych dochodach jest więcej niż w rzeczywistości. „Średni” dochód jest interpretowany w taki sposób, że dochód większości osób jest zbliżony do tej liczby. Ten „średni” (w sensie średniej arytmetycznej) dochód jest wyższy niż dochód większości ludzi, ponieważ wysoki dochód z dużym odchyleniem od średniej powoduje silne przekrzywienie średniej arytmetycznej (w przeciwieństwie do dochodu mediany „ opiera się” takiemu uprzedzeniu). Jednak ten „średni” dochód nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu mediany dochodu (i nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu dochodu modalnego). Niemniej jednak, jeśli zlekceważysz pojęcia „średnia” i „większość ludności”, to możesz wyciągnąć błędny wniosek, że większość ludzi ma dochody wyższe niż w rzeczywistości. Na przykład raport „średniego” dochodu netto w Medinie w stanie Waszyngton, obliczonego jako średnia arytmetyczna rocznych dochodów netto wszystkich mieszkańców, przyniósłby zaskakująco duża liczba z powodu Billa Gatesa. Rozważ próbkę (1, 2, 2, 2, 3, 9). Średnia arytmetyczna wynosi 3,17, ale pięć z sześciu wartości jest poniżej tej średniej.

Odsetki składane

Jeśli liczby zwielokrotniać, ale nie zginać, musisz użyć średniej geometrycznej, a nie średniej arytmetycznej. Najczęściej ten incydent ma miejsce przy obliczaniu zwrotu z inwestycji w finanse.
Na przykład, jeśli zapasy spadły o 10% w pierwszym roku i wzrosły o 30% w drugim roku, to niepoprawne jest obliczanie „średniego” wzrostu w ciągu tych dwóch lat jako średniej arytmetycznej (-10% + 30%). / 2 = 10%; poprawną średnią w tym przypadku podaje skumulowana roczna stopa wzrostu, przy której roczny wzrost wynosi tylko około 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Powodem tego jest to, że procenty mają za każdym razem nowy punkt wyjścia: 30% to 30%. od liczby mniejszej niż cena na początku pierwszego roku: jeśli cena akcji wynosiła 30 USD na początku i spadła o 10%, to na początku drugiego roku jest to 27 USD. Jeśli cena akcji wzrośnie o 30%, pod koniec drugiego roku będzie warta 35,1 USD. Średnia arytmetyczna tego wzrostu wynosi 10%, ale ponieważ zapas wynosi tylko 5,1 USD w ciągu 2 lat, średni wzrost o 8,2% daje końcowy wynik 35,1 USD:
[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD. Jeśli w ten sam sposób użyjemy średniej arytmetycznej 10%, nie otrzymamy rzeczywistej wartości: [30 zł (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 zł.
Odsetki składane na koniec roku 2: 90% * 130% = 117%, czyli łączny wzrost o 17% i średnia roczna stopa składana 117% ≈ 108,2% (\ styl wyświetlania (\ sqrt (117 \%)) \ ok 108,2 \%), czyli średni roczny wzrost na poziomie 8,2%.. Liczba ta jest błędna z dwóch powodów.

Średnia wartość zmiennej cyklicznej, obliczona z powyższego wzoru, zostanie sztucznie przesunięta od średniej rzeczywistej w kierunku środka zakresu liczbowego. Z tego powodu średnią oblicza się w inny sposób, a mianowicie jako średnią wybiera się liczbę o najmniejszej wariancji (punkt środkowy). Ponadto zamiast odejmowania używana jest odległość modularna (tj. odległość obwodowa). Na przykład odległość modułowa pomiędzy 1° a 359° wynosi 2°, a nie 358° (na kole pomiędzy 359° a 360° == 0° - jeden stopień, pomiędzy 0° a 1° - również 1°, łącznie - 2 °).

Istota i znaczenie średnich.

Wartości bezwzględne i względne.

Rodzaje ugrupowań.

W zależności od zadań rozwiązanych za pomocą grupowania rozróżnia się następujące typy:

Typologiczne

Strukturalny

Analityczny

Głównym zadaniem typologii jest klasyfikacja zjawisk społeczno-gospodarczych poprzez identyfikację grup jednorodnych pod względem relacji jakościowych.

W tym przypadku jednorodność jakościowa jest rozumiana w tym sensie, że w odniesieniu do badanej właściwości wszystkie jednostki agregatu podlegają temu samemu prawu rozwoju. Na przykład: grupowanie przedsiębiorstw w sektorach gospodarki.

Wartość bezwzględna to wskaźnik wyrażający wielkość zjawiska społeczno-gospodarczego.

Wartość względna w statystyce jest wskaźnikiem wyrażającym ilościowy związek między zjawiskami. Uzyskuje się go dzieląc jedną wartość bezwzględną przez inną wartość bezwzględną. Wartość, z którą dokonujemy porównań, nazywa się podstawa lub baza porównawcza.

Ilości bezwzględne są zawsze nazywane ilościami.

Wartości względne wyrażone są w stosunkach, procentach, ppm itp.

Wartość względna pokazuje, ile razy lub o jaki procent porównywana wartość jest większa lub mniejsza od podstawy porównania.

W statystykach istnieje 8 rodzajów wartości względnych:

Średnie to jedne z najczęstszych statystyk podsumowujących. Mają na celu scharakteryzowanie populacji statystycznej składającej się z mniejszości jednostek o jednym numerze. Wartości średnie są ściśle związane z prawem wielkich liczb. Istota tej zależności polega na tym, że przy dużej liczbie obserwacji znosi się losowe odchylenia od ogólnych statystyk i średnio wyraźniej przejawia się statystyczna prawidłowość.

Korzystanie z metody środkowy rozwiązano następujące główne zadania:

1. Charakterystyka poziomu rozwoju zjawisk.

2. Porównanie dwóch lub więcej poziomów.

3. Badanie relacji zjawisk społeczno-gospodarczych.

4. Analiza umiejscowienia zjawisk społeczno-gospodarczych w przestrzeni.

Aby sprostać tym wyzwaniom, metodologia statystyczna opracowała różne rodzaje średnich.

Aby wyjaśnić metodologię obliczania średniej arytmetycznej, stosujemy następującą notację:

X - znak arytmetyczny

X (X1, X2, ... X3) - warianty określonej cechy

n to liczba jednostek w populacji

Średnia wartość funkcji

W zależności od danych początkowych średnią arytmetyczną można obliczyć na dwa sposoby:

1. Jeżeli dane z obserwacji statystycznych nie są pogrupowane lub warianty zgrupowane mają te same częstości, oblicza się prostą średnią arytmetyczną:

2. Jeżeli częstotliwości zgrupowane w danych są różne, oblicza się średnią ważoną arytmetyczną:

Liczba (częstotliwość) opcji

Suma częstotliwości

Średnia arytmetyczna jest obliczana inaczej w serii zmienności dyskretnej i przedziałowej.

W dyskretnych szeregach warianty cechy są mnożone przez częstotliwości, te iloczyny są sumowane, a otrzymana suma produktów jest dzielona przez sumę częstotliwości.

Rozważ przykład obliczenia średniej arytmetycznej w szeregu dyskretnym:

W szeregach przedziałowych wartość cechy jest określona, jak wiadomo, w postaci przedziałów, dlatego przed obliczeniem średniej arytmetycznej należy przejść z szeregu przedziałowego do dyskretnego.

Środek odpowiednich przedziałów jest używany jako warianty Xi. Są one definiowane jako połowa sumy dolnej i górnej granicy.

Jeżeli przedział nie ma dolnej granicy, to jego środek określa się jako różnicę między górną granicą a połową wartości kolejnych przedziałów. W przypadku braku górnych granic, środek przedziału określa się jako sumę dolnej granicy i połowy wartości poprzedniego przedziału. Po przejściu na szereg dyskretny dalsze obliczenia wykonywane są zgodnie z omówioną powyżej metodologią.

Gdyby ciężary fi są podane nie w wartościach bezwzględnych, ale w kategoriach względnych, wówczas wzór na obliczenie średniej arytmetycznej będzie następujący:

pi - względne wartości struktury, pokazujące, jaki procent stanowią częstości wariantów w sumie wszystkich częstotliwości.

Jeżeli względne wartości struktury zostaną określone nie w procentach, ale w ułamkach, średnia arytmetyczna zostanie obliczona według wzoru:

Mieć na myśli

Mieć na myśli- numeryczna charakterystyka zbioru liczb lub funkcji (w matematyce); - pewna liczba pomiędzy najmniejszą a największą z ich wartości.

Podstawowe informacje

Punktem wyjścia do powstania teorii wartości średnich było badanie proporcji przez szkołę Pitagorasa. Jednocześnie nie dokonano ścisłego rozróżnienia między pojęciami średniej wielkości i proporcji. Istotny impuls do rozwoju teorii proporcji z punktu widzenia arytmetyki dali matematycy greccy - Nikomach z Geras (koniec I - początek II wne) i Pappus z Aleksandrii (III wne). Pierwszym etapem rozwoju pojęcia średniej jest etap, w którym średnia zaczęła być uważana za centralny termin proporcji ciągłej. Ale pojęcie średniej jako centralnego znaczenia progresji nie pozwala wyprowadzić pojęcia średniej w odniesieniu do ciągu n terminów, niezależnie od kolejności, w jakiej następują one po sobie. W tym celu konieczne jest odwołanie się do formalnego uogólnienia średnich. Kolejnym etapem jest przejście od proporcji ciągłych do progresji - arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej ( język angielski).

W historii statystyki po raz pierwszy powszechne stosowanie średnich wiąże się z nazwiskiem angielskiego naukowca W. Petty'ego. W. Petty jako jeden z pierwszych próbował nadać średniej znaczenie statystyczne, łącząc ją z kategoriami ekonomicznymi. Ale Petty nie opisał pojęcia średniej wielkości, jego izolacji. Za twórcę teorii wartości średnich uważa się A. Queteleta. Jako jeden z pierwszych konsekwentnie rozwijał teorię średnich, starając się zapewnić jej matematyczną podstawę. A. Quetelet wyróżnił dwa rodzaje średnich - właściwie średnie i średnie arytmetyczne. W rzeczywistości średnie reprezentują rzecz, liczbę, która naprawdę istnieje. Właściwie średnie lub średnie statystyczne należy wyprowadzić ze zjawisk tej samej jakości, identycznych w swym wewnętrznym znaczeniu. Średnie arytmetyczne to liczby, które dają możliwie jak najbardziej zbliżone pojęcie o wielu liczbach, różnych, choć jednorodnych.

Każdy z rodzajów średniej może działać w formie prostej lub średniej ważonej. Prawidłowość wyboru formy średniej wynika z materialnego charakteru przedmiotu badań. Proste formuły uśredniania stosuje się, jeśli poszczególne wartości uśrednionej cechy nie powtarzają się. Gdy w badaniach praktycznych poszczególne wartości badanej cechy występują kilkakrotnie w jednostkach badanej populacji, to częstość powtarzania poszczególnych wartości cechy występuje w obliczonych wzorach średnich mocy. W tym przypadku nazywa się je formułami średniej ważonej.

Hierarchia średnich w matematyce
- średnia wartość funkcji to pojęcie definiowane na wiele sposobów.
  - Dokładniej, ale na podstawie dowolnych funkcji, wyznaczane są średnie Kołmogorowa dla zbioru liczb.
    - średnia potęgowa jest szczególnym przypadkiem średnich Kołmogorowa dla ϕ (x) = x α (\ displaystyle \ phi (x) = x ^ (\ alpha)). Średnie różnych stopni są połączone nierównością dotyczącą średnich. Najczęstsze przypadki szczególne:
      1. średnia arytmetyczna (α = 1 (\ styl wyświetlania \ alfa = 1))
      2. średnia kwadratowa (α = 2 (\ displaystyle \ alpha = 2))
      3. średnia harmoniczna (α = - 1 (\ displaystyle \ alfa = -1))
      4. przez ciągłość jako α → 0 (\ displaystyle \ alpha \ do 0), średnia geometryczna jest przedefiniowana, która jest również średnią Kołmogorowa dla ϕ (x) = log ⁡ x (\ displaystyle \ phi (x) = \ log x)
- Średnia ważona - uogólnienie średniej na przypadek dowolnej kombinacji liniowej:
  - Ważona średnia arytmetyczna.
  - Ważona średnia geometryczna.
  - Ważona średnia harmoniczna.
- średnia chronologiczna - podsumowuje wartości cechy dla tej samej jednostki lub populacji jako całości, zmieniające się w czasie.
- średnia logarytmiczna określona wzorem a ¯ = a 1 - a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\ textstyle (\ bar (a)) = (\ frac (a_ (1) -a_ (2)) ( \ ln (a_ (1) / a_ (2))))), stosowane w ciepłownictwie
- średnia logarytmiczna, określona w izolacji elektrycznej zgodnie z GOST 27905.4-88, jest zdefiniowana jako logarytm a = log a 1 + log a 2 +. ... ... +. ... ... log a n a 1 + a 2 +. ... ... + an (\ textstyle log (\ bar (a)) = (\ frac (\ log a_ (1) + loga_ (2) + ... + ... loga_ (n)) (a_ (1) + a_ ( 2) + ... + a_ (n)))) (logarytm do dowolnej podstawy)
W teorii prawdopodobieństwa i statystyce
Główny artykuł: Wskaźniki centrum dystrybucji
- średnie nieparametryczne - moda, mediana.
- średnia wartość zmiennej losowej jest taka sama, jak matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej. W rzeczywistości jest to średnia wartość jego funkcji dystrybucji.
Jaki jest znak średniej arytmetycznej?

Powiedzmy, że suma to kapitał epsilon ...

Ksenia

Średnia arytmetyczna to granica, wokół której grupowane są poszczególne wartości obserwowanych i badanych cech, średnia arytmetyczna jest ilorazem dzielenia sumy wartości dowolnego atrybutu przez liczbę elementów w populacji. W statystyce średnia arytmetyczna jest zwykle oznaczana przez poszczególne wartości atrybutu (lub poszczególne wyniki eksperymentu) - przez x1, x2, x3 itd. oraz całkowitą liczbę atrybutów (lub liczbę eksperymentów) - n.
Na duża liczba pomiary, dodatnie i ujemne błędy losowe są równie powszechne. Przez wiele pomiarów dowolny wielkość fizyczna możesz określić jego średnią arytmetyczną. Wielokrotne pomiary umożliwiają również ustalenie dokładności pomiaru, zarówno dla wyniku końcowego, jak i dla poszczególnych pomiarów, czyli znalezienie granic, w których znajduje się uzyskany wynik wartości mierzonej.
W n pomiarach pewnej wielkości otrzymujemy n różnych wartości. Najbliżej prawdziwej wartości zmierzonej wartości będzie średnia arytmetyczna wszystkich pomiarów.
Jeżeli poszczególne pomiary oznaczymy przez a \, az, a3, ..ap, to wartość średnią arytmetyczną wartości mierzonej określa wzór:
NS
n - w + a + - + A „_ \ 1 a, -
a _ ------------------
= Y- ^
^ J
Wartości poszczególnych pomiarów różnią się od średniej arytmetycznej a0 o następujące wielkości:
Wartości bezwzględne różnic (Da ^ Dag, ...) między średnią arytmetyczną wartości mierzonej a wartością poszczególnych pomiarów nazywane są błędami bezwzględnymi poszczególnych pomiarów. Średnią arytmetyczną błędów bezwzględnych wszystkich pomiarów, niezbędną do wyznaczenia względnego błędu pomiaru i zarejestrowania wyniku końcowego, oblicza się według wzoru:
^-. (2)
Ten błąd nazywany jest średnim bezwzględnym błędem pomiaru. Biorąc jeden znak błędów absolutnych, świadomie przyjmujemy największy możliwy błąd.
Co to jest średnia arytmetyczna? Jak znaleźć średnią arytmetyczną?

Wzór na średnią arytmetyczną?

Alex-89

Średnia arytmetyczna kilku liczb to suma tych liczb podzielona przez ich liczbę.

x cf - średnia arytmetyczna

S - suma liczb

n to liczba liczb.

Na przykład musimy znaleźć średnią arytmetyczną liczb 3, 4, 5 i 6.

Aby to zrobić, musimy je zsumować i podzielić otrzymaną kwotę przez 4:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Alsu - sh

Jako matematyk interesują mnie pytania na ten temat.

Zacznę od historii problemu. O wartościach średnich myślano od czasów starożytnych. Średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna. Te koncepcje są proponowane w starożytna Grecja Pitagorejczycy.

A teraz pytanie, które nas interesuje. Co jest rozumiane przez średnia arytmetyczna kilku liczb:

Tak więc, aby znaleźć średnią arytmetyczną, musisz dodać wszystkie liczby i podzielić otrzymaną sumę przez liczbę terminów.

Formuła odbywa się:

Przykład. Znajdź średnią arytmetyczną liczb: 100, 175, 325.

Użyjmy wzoru na znalezienie średniej arytmetycznej trzech liczb (tzn. zamiast n będzie 3; musisz dodać wszystkie 3 liczby i podzielić otrzymaną sumę przez ich liczbę, czyli przez 3). Mamy: x = (100 + 175 + 325) / 3 = 600/3 = 200.

Odpowiedź: 200.

Arytmetyka jest uważana za najbardziej elementarną gałąź matematyki i zajmuje się badaniem prostych operacji na liczbach. Dlatego też bardzo łatwo jest znaleźć średnią arytmetyczną. Zacznijmy od definicji. Średnia arytmetyczna to wartość, która pokazuje, która liczba jest najbliższa prawdzie dla kilku kolejnych czynności tego samego typu. Na przykład podczas biegu na sto metrów osoba za każdym razem pokazuje inny czas, ale średnia wartość będzie wynosić np. 12 sekund. Znalezienie w ten sposób średniej arytmetycznej sprowadza się do sekwencyjnego sumowania wszystkich liczb pewnej serii (wyników wyścigów) i dzielenia tej sumy przez liczbę tych wyścigów (próby, liczby). W formie formuły wygląda to tak:

Sarif = (X1 + X2 + .. + Xn) / n

Średnia arytmetyczna to średnia między kilkoma liczbami.

Na przykład między liczbami 2 i 4 średnia liczba wynosi 3.

Wzór na znalezienie średniej arytmetycznej jest następujący:

Musisz dodać wszystkie liczby i podzielić przez liczbę tych liczb:

Na przykład mamy 3 liczby: 2, 5 i 8.

Znajdź średnią arytmetyczną:

X = (2 + 5 + 8) / 3 = 15/3 = 5

Zakres średniej arytmetycznej jest wystarczająco szeroki.

Na przykład, znając współrzędne dwóch punktów segmentu, znajdź współrzędne punktu środkowego tego segmentu.

Na przykład współrzędne segmentu: (X1, Y1, Z1) - (X2, Y2, Z2).

Wyznaczmy środek tego odcinka współrzędnymi X3, Y3, Z3.

Znajdź środek dla każdej współrzędnej osobno:

Piękna polana

Średnia arytmetyczna, są to liczby zsumowane i podzielone przez ich liczbę, otrzymana odpowiedź to średnia arytmetyczna.

Na przykład: Katia włożyła 50 rubli do skarbonki, Maxim 100 rubli, a Sasha włożyła do skarbonki 150 rubli. 50 + 100 + 150 = 300 rubli w skarbonce, teraz dzielimy tę kwotę przez trzy (trzy osoby wrzucają pieniądze). Więc 300: 3 = 100 rubli. Te 100 rubli będzie średnią arytmetyczną, każdy z nich włożony do skarbonki.

Oto prosty przykład: jedna osoba je mięso, inna kapusta i przeciętnie obydwoje jedzą gołąbki.

Średnia pensja obliczana jest w ten sam sposób ...

Średnia arytmetyczna to średnia z podanego ...

Te. po prostu mamy liczbę sztyftów o różnych długościach i chcemy poznać ich średnią wartość.

Logiczne jest, że w tym celu łączymy je, uzyskując długi kij, a następnie dzielimy na wymaganą liczbę części.

Wychodzi więc średnia arytmetyczna.

Tak wygląda formuła: Sa = (S (1) + .. S (n)) / n ..

Ptak2014

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości i podzielona przez ich liczbę.

Na przykład numery 2, 3, 5, 6. Musisz je dodać 2+ 3+ 5 + 6 = 16

Podziel 16 przez 4 i uzyskaj odpowiedź 4.

4 to średnia arytmetyczna tych liczb.

Azamatik

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez liczbę tych samych liczb. A znalezienie średniej arytmetycznej jest bardzo proste.

Jak wynika z definicji, musimy wziąć liczby, dodać je i podzielić przez ich liczbę.

Podajmy przykład: biorąc pod uwagę liczby 1, 3, 5, 7 musimy znaleźć średnią arytmetyczną tych liczb.
- najpierw dodajemy te liczby (1 + 3 + 5 + 7) i otrzymujemy 16
- otrzymany wynik dzielimy przez 4 (liczba): 16/4 i otrzymujemy wynik 4.
Tak więc średnia arytmetyczna liczb 1, 3, 5 i 7 wynosi 4.

Średnia arytmetyczna - średnia wartość wśród określonych wskaźników.

Można go znaleźć, dzieląc sumę wszystkich wskaźników przez ich liczbę.

Na przykład mam 5 jabłek o wadze 200, 250, 180, 220 i 230 gramów.

Obliczamy średnią wagę 1 jabłka w następujący sposób:
- szukamy całkowitej wagi wszystkich jabłek (suma wszystkich wskaźników) - wynosi ona 1080 gramów,
- Podziel całkowitą wagę przez liczbę jabłek 1080: 5 = 216 gramów. To jest średnia arytmetyczna.
Jest to najczęściej używany wskaźnik w statystykach.

Zielone pasty

Znamy to ze szkoły. Każdy, kto miał dobrego nauczyciela matematyki, za pierwszym razem pamiętał tę prostą czynność.

Przy ustalaniu średniej arytmetycznej należy zsumować wszystkie dostępne liczby i podzielić przez ich liczbę.

Na przykład kupiłem w sklepie 1 kg jabłek, 2 kg bananów, 3 kg pomarańczy i 1 kg kiwi. Ile średnio kilogramów kupiłem owoce.

7/4 = 1,8 kilograma. To będzie średnia arytmetyczna.

Biemont epu

Pamiętam jak zdałem końcowy sprawdzian z matematyki

Więc tam trzeba było znaleźć średnią arytmetyczną.

Dobrze, że życzliwi ludzie podpowiadali, co robić, inaczej to katastrofa.

Na przykład mamy 4 liczby.

Dodaj liczby i podziel przez ich liczbę (w tym przypadku 4)

Na przykład liczby 2,6,1,1. Dodaj 2 + 6 + 1 + 1 i podziel przez 4 = 2,5

Jak widać, nic skomplikowanego. Zatem średnia arytmetyczna jest średnią wszystkich liczb.

W matematyce średnia arytmetyczna liczb (lub po prostu średnia) to suma wszystkich liczb w danym zbiorze podzielona przez ich liczbę. Jest to najbardziej uogólniona i rozpowszechniona koncepcja średniej. Jak już zrozumiałeś, aby znaleźć średnią wartość, musisz zsumować wszystkie podane liczby i podzielić wynik przez liczbę terminów.

Co to jest średnia arytmetyczna?

Weźmy przykład.

Przykład 1... Podane liczby: 6, 7, 11. Musisz znaleźć ich średnią wartość.

Rozwiązanie.

Najpierw znajdźmy sumę wszystkich tych liczb.

Teraz podzielmy otrzymaną sumę przez liczbę terminów. Ponieważ mamy odpowiednio trzy wyrazy, podzielimy przez trzy.

Zatem średnia 6, 7 i 11 wynosi 8. Dlaczego 8? Bo suma 6, 7 i 11 będzie równa trzem ósemkom. Widać to wyraźnie na ilustracji.

Średnia jest nieco podobna do „wyrównania” szeregu liczb. Jak widać, stosy ołówków stały się jednym poziomem.

Rozważmy inny przykład, aby skonsolidować zdobytą wiedzę.

Przykład 2. Podane liczby: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Musisz znaleźć ich średnią arytmetyczną.

Rozwiązanie.

Znajdujemy kwotę.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Podziel przez liczbę terminów (w tym przypadku - 15).

Dlatego średnia wartość tej serii liczb wynosi 22.

Teraz rozważ liczby ujemne... Pamiętajmy, jak je podsumować. Na przykład masz dwie liczby 1 i -4. Znajdźmy ich sumę.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Mając to na uwadze, rozważmy inny przykład.

Przykład 3. Znajdź średnią wartość szeregu liczb: 3, -7, 5, 13, -2.

Rozwiązanie.

Znajdź sumę liczb.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Ponieważ jest 5 wyrazów, dzielimy otrzymaną sumę przez 5.

Zatem średnia arytmetyczna liczb 3, -7, 5, 13, -2 wynosi 2,4.

W dzisiejszych czasach postępu technologicznego znacznie wygodniej jest korzystać z programów komputerowych w celu znalezienia średniej wartości. Jednym z nich jest Microsoft Office Excel. Znalezienie średniej w Excelu jest szybkie i łatwe. Co więcej, ten program jest zawarty w pakiecie oprogramowania Microsoft Office. Spójrzmy na krótką instrukcję, jak znaleźć średnią arytmetyczną za pomocą tego programu.

Aby obliczyć średnią wartość szeregu liczb, musisz użyć funkcji ŚREDNIA. Składnia tej funkcji to:
= Średnia (argument1, argument2, ... argument255)
gdzie argument1, argument2, ... argument255 to liczby lub odwołania do komórek (komórki oznaczają zakresy i tablice).

Aby było to jaśniejsze, wypróbujmy zdobytą wiedzę.
1. Wprowadź liczby 11, 12, 13, 14, 15, 16 w komórkach C1 - C6.
2. Wybierz komórkę C7, klikając ją. W tej komórce wyświetlimy średnią wartość.
3. Kliknij zakładkę Formuły.
4. Wybierz Więcej funkcji> Statystyka, aby otworzyć listę rozwijaną.
5. Wybierz ŚREDNIA. Następnie powinno się otworzyć okno dialogowe.
6. Wybierz i przeciągnij tam komórki C1 – C6, aby ustawić zakres w oknie dialogowym.
7. Potwierdź swoje działania klawiszem „OK”.
8. Jeśli zrobiłeś wszystko poprawnie, w komórce C7 powinieneś mieć odpowiedź - 13,7. Po kliknięciu komórki C7 funkcja (= Średnia (C1: C6)) zostanie wyświetlona na pasku formuły.
Korzystanie z tej funkcji jest bardzo wygodne w przypadku księgowości, fakturowania lub gdy wystarczy znaleźć średnią z bardzo długiej serii liczb. Dlatego jest często używany w biurach i duże firmy... Pozwala to zachować porządek w ewidencji i umożliwia szybkie obliczenie czegoś (na przykład średni dochód miesięcznie). Ponadto za pomocą Excela możesz znaleźć średnią wartość funkcji.

Przeciętny
Termin ten ma inne znaczenia, patrz średnia.
Przeciętny(w matematyce i statystyce) zbiór liczb to suma wszystkich liczb podzielona przez ich liczbę. Jest to jedna z najczęstszych miar trendu centralnego.

Zaproponowali ją (wraz ze średnią geometryczną i średnią harmoniczną) pitagorejczycy.

Szczególnymi przypadkami średniej arytmetycznej są średnia (z populacji ogólnej) i średnia z próby (prób).

Wstęp

Oznaczmy zbiór danych x = (x 1 , x 2 , …, x n), to średnia próbki jest zwykle wskazywana przez poziomy pasek nad zmienną (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), wymawiany „ x z linią ").

Grecka litera μ oznacza średnią arytmetyczną całej populacji. Dla zmiennej losowej, dla której wyznacza się wartość średnią, μ jest średnia probabilistyczna lub matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej. Jeśli zestaw x jest zbiorem liczb losowych o średniej probabilistycznej μ, to dla dowolnej próbki x i z tej kolekcji μ = E ( x i) jest matematycznym oczekiwaniem tej próbki.

W praktyce różnica między μ i x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) polega na tym, że μ jest typową zmienną, ponieważ można zobaczyć próbkę, a nie całą populację. Dlatego też, jeśli próba jest prezentowana losowo (z punktu widzenia teorii prawdopodobieństwa), to x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (ale nie μ) można traktować jako zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa w próbce (rozkład prawdopodobieństwa średniej).

Obie te wielkości oblicza się w ten sam sposób:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ suma _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)
Gdyby x jest zmienną losową, to oczekiwanie matematyczne x można uznać za średnią arytmetyczną wartości w powtarzanych pomiarach wielkości x... Jest to przejaw prawa wielkich liczb. Dlatego do oszacowania nieznanych oczekiwań matematycznych wykorzystywana jest średnia z próby.

W elementarnej algebrze udowodniono, że średnia n+ 1 liczby powyżej średniej n liczby wtedy i tylko wtedy, gdy nowa liczba jest większa niż stara średnia, mniejsza wtedy i tylko wtedy, gdy nowa liczba jest mniejsza niż średnia i nie zmienia się wtedy i tylko wtedy, gdy nowa liczba jest równa średniej. Więcej n, tym mniejsza różnica między nową i starą średnią.

Należy zauważyć, że istnieje kilka innych „średnich” wartości, w tym średnia mocy, średnia Kołmogorowa, średnia harmoniczna, średnia arytmetyczno-geometryczna i różne średnie ważone (np. ważona średnia arytmetyczna, ważona średnia geometryczna, ważona średnia harmoniczna).

Przykłady
- Dla trzech liczb dodaj je i podziel przez 3:
x 1 + x 2 + x 3 3. (\ styl wyświetlania (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)
- W przypadku czterech liczb dodaj je i podziel przez 4:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ styl wyświetlania (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)
Lub prościej 5 + 5 = 10, 10: 2. Ponieważ dodaliśmy 2 liczby, czyli ile liczb dodamy, dzielimy przez tyle.

Ciągła zmienna losowa

Dla wielkości rozłożonej w sposób ciągły f (x) (\ displaystyle f (x)), średnia arytmetyczna na odcinku [a; b] (\ displaystyle) jest definiowany jako całka oznaczona:
F(x) [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f(x) dx)
Niektóre problemy z używaniem środka

Brak solidności
Główny artykuł: Solidność w statystykach
Chociaż średnia arytmetyczna jest często używana jako średnie lub trendy centralne, nie jest to solidna statystyka, co oznacza, że średnia arytmetyczna jest pod silnym wpływem „dużych odchyleń”. Warto zauważyć, że dla rozkładów o dużym współczynniku skośności średnia arytmetyczna może nie odpowiadać pojęciu „średniej”, a wartości średnie ze statystyk odpornych (np. mediana) mogą lepiej opisywać trend centralny.

Klasycznym przykładem jest obliczanie średniego dochodu. Średnia arytmetyczna może być błędnie zinterpretowana jako mediana, co może prowadzić do wniosku, że osób o wyższych dochodach jest więcej niż w rzeczywistości. „Średni” dochód jest interpretowany w taki sposób, że dochód większości osób jest zbliżony do tej liczby. Ten „średni” (w sensie średniej arytmetycznej) dochód jest wyższy niż dochód większości ludzi, ponieważ wysoki dochód z dużym odchyleniem od średniej powoduje silne przekrzywienie średniej arytmetycznej (w przeciwieństwie do dochodu mediany „ opiera się” takiemu uprzedzeniu). Jednak ten „średni” dochód nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu mediany dochodu (i nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu dochodu modalnego). Niemniej jednak, jeśli zlekceważysz pojęcia „średnia” i „większość ludności”, to możesz wyciągnąć błędny wniosek, że większość ludzi ma dochody wyższe niż w rzeczywistości. Na przykład raport o „przeciętnych” dochodach netto w Medinie w stanie Waszyngton, liczony jako średnia arytmetyczna rocznych dochodów netto wszystkich mieszkańców, przyniósłby zaskakująco dużą liczbę z powodu Billa Gatesa. Rozważ próbkę (1, 2, 2, 2, 3, 9). Średnia arytmetyczna wynosi 3,17, ale pięć z sześciu wartości jest poniżej tej średniej.

Odsetki składane
Główny artykuł: Zwrot z inwestycji
Jeśli liczby zwielokrotniać, ale nie zginać, musisz użyć średniej geometrycznej, a nie średniej arytmetycznej. Najczęściej ten incydent ma miejsce przy obliczaniu zwrotu z inwestycji w finanse.

Na przykład, jeśli zapasy spadły o 10% w pierwszym roku i wzrosły o 30% w drugim roku, to niepoprawne jest obliczanie „średniego” wzrostu w ciągu tych dwóch lat jako średniej arytmetycznej (-10% + 30%). / 2 = 10%; poprawną średnią w tym przypadku podaje skumulowana roczna stopa wzrostu, przy której roczny wzrost wynosi tylko około 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Powodem tego jest to, że procenty mają za każdym razem nowy punkt wyjścia: 30% to 30%. od liczby mniejszej niż cena na początku pierwszego roku: jeśli cena akcji wynosiła 30 USD na początku i spadła o 10%, to na początku drugiego roku jest to 27 USD. Jeśli cena akcji wzrośnie o 30%, pod koniec drugiego roku będzie warta 35,1 USD. Średnia arytmetyczna tego wzrostu wynosi 10%, ale ponieważ zapas wynosi tylko 5,1 USD w ciągu 2 lat, średni wzrost o 8,2% daje końcowy wynik 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD. Jeśli w ten sam sposób użyjemy średniej arytmetycznej 10%, nie otrzymamy rzeczywistej wartości: [30 zł (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 zł.

Związek na koniec roku 2: 90% * 130% = 117%, co daje całkowity wzrost o 17% i CAGR 117% ≈ 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ ok 108,2 \ %), czyli średni roczny wzrost o 8,2%.

Wskazówki
Główny artykuł: Statystyki miejsc docelowych
Należy zachować szczególną ostrożność przy obliczaniu średniej arytmetycznej jakiejś zmiennej, która zmienia się cyklicznie (na przykład fazy lub kąta). Na przykład średnia 1 ° i 359 ° wyniesie 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 °. Ta liczba jest nieprawidłowa z dwóch powodów.
- Po pierwsze, standardy kątowe są zdefiniowane tylko dla zakresu od 0° do 360° (lub od 0 do 2π mierzone w radianach). Tak więc tę samą parę liczb można zapisać jako (1° i -1°) lub jako (1° i 719°). Średnia z każdej pary będzie inna: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)) .
- Po drugie, w tym przypadku 0 ° (odpowiednik 360 °) byłoby geometrycznie lepszą średnią, ponieważ liczby odbiegają mniej od 0 ° niż od jakiejkolwiek innej wartości (0 ° ma najmniejszą wariancję). Porównywać:
  - liczba 1 ° odbiega od 0 ° tylko o 1 °;
  - liczba 1 ° odbiega od obliczonej średniej 180 ° o 179 °.
Średnia wartość zmiennej cyklicznej, obliczona z powyższego wzoru, zostanie sztucznie przesunięta od średniej rzeczywistej w kierunku środka zakresu liczbowego. Z tego powodu średnią oblicza się w inny sposób, a mianowicie jako średnią wybiera się liczbę o najmniejszej wariancji (punkt środkowy). Ponadto zamiast odejmowania używana jest odległość modularna (tj. odległość obwodowa). Na przykład odległość modułowa pomiędzy 1° a 359° wynosi 2°, a nie 358° (na kole pomiędzy 359° a 360° == 0° - jeden stopień, pomiędzy 0° a 1° - również 1°, łącznie - 2 °).

Średnia ważona - co to jest i jak ją obliczyć?

W trakcie nauki matematyki uczniowie zapoznają się z pojęciem średniej arytmetycznej. Później w statystyce i niektórych innych naukach uczniowie mają do czynienia z obliczaniem innych wartości średnich. Czym mogą być i czym się od siebie różnią?

Wartości średnie: znaczenie i różnice

Nie zawsze dokładne wskaźniki dają zrozumienie sytuacji. Aby ocenić konkretną sytuację, czasami konieczne jest przeanalizowanie ogromnej liczby liczb. A potem na ratunek przychodzą średnie. Umożliwiają całościową ocenę sytuacji.

Od czasów szkolnych wielu dorosłych pamięta istnienie średniej arytmetycznej. Obliczenie jest bardzo proste - suma ciągu n elementów jest podzielna przez n. Oznacza to, że jeśli chcesz obliczyć średnią arytmetyczną w sekwencji wartości 27, 22, 34 i 37, musisz rozwiązać wyrażenie (27 + 22 + 34 + 37) / 4, ponieważ 4 wartości są wykorzystywane w obliczeniach. W takim przypadku wymagana wartość będzie równa 30.

Często w ramach kursu szkolnego bada się również średnią geometryczną. Obliczenie tej wartości opiera się na ekstrakcji korzenia n-ty stopień z iloczynu n-wyrażeń. Jeśli weźmiemy te same liczby: 27, 22, 34 i 37, wynik obliczeń wyniesie 29,4.

Średnia harmoniczna w Szkoła ogólnokształcąca zwykle nie jest przedmiotem studiów. Niemniej jednak jest używany dość często. Wartość ta jest odwrotnością średniej arytmetycznej i jest obliczana jako iloraz n - liczby wartości i sumy 1/a1+1/a2+...+1/an. Jeśli ponownie weźmiemy do obliczeń tę samą serię liczb, harmoniczna wyniesie 29,6.

Średnia ważona: cechy

Jednak wszystkie powyższe wartości mogą nie być wszędzie stosowane. Na przykład w statystyce, przy obliczaniu niektórych wartości średnich, ważną rolę odgrywa „waga” każdej liczby użytej w obliczeniach. Wyniki są bardziej orientacyjne i poprawne, ponieważ uwzględniają więcej informacji. Ta grupa wartości jest zbiorczo określana jako „średnia ważona”. Nie przechodzą w szkole, więc warto przyjrzeć się im bardziej szczegółowo.

Przede wszystkim warto powiedzieć, co oznacza „waga” tej lub innej wartości. Najłatwiej to wyjaśnić na konkretnym przykładzie. Temperatura ciała każdego pacjenta jest mierzona w szpitalu dwa razy dziennie. Na 100 pacjentów na różnych oddziałach szpitala 44 będzie miało normalną temperaturę 36,6 stopnia. Kolejne 30 będzie miało zwiększoną wartość - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, a pozostałe dwa - 40. A jeśli weźmiemy średnią arytmetyczną, to ta wartość ogólnie dla szpitala będzie większa niż 38 stopnie! Ale prawie połowa pacjentów ma całkowicie normalną temperaturę. I tutaj bardziej poprawne będzie użycie średniej ważonej wartości, a „wagą” każdej wartości będzie liczba osób. W takim przypadku wynik obliczeń wyniesie 37,25 stopnia. Różnica jest oczywista.

W przypadku wyliczenia średniej ważonej za „wagę” można przyjąć liczbę wysyłek, liczbę osób pracujących w danym dniu, ogólnie wszystko, co da się zmierzyć i wpłynąć na końcowy wynik.

Odmiany

Średnia ważona odpowiada średniej arytmetycznej omówionej na początku artykułu. Jednak pierwsza wartość, jak już wspomniano, uwzględnia również wagę każdej liczby użytej w obliczeniach. Ponadto istnieją również geometryczne i harmoniczne średnie ważone.

W serii liczb zastosowano inną ciekawą odmianę. Jest to ważona średnia ruchoma. To na jego podstawie wyliczane są trendy. Oprócz samych wartości i ich wag stosuje się tam również okresowość. A przy obliczaniu średniej wartości w pewnym momencie brane są pod uwagę również wartości dla poprzednich przedziałów czasowych.

Obliczenie wszystkich tych wartości nie jest takie trudne, ale w praktyce zwykle używa się tylko zwykłej średniej ważonej.

Metody obliczania

W dobie masowej komputeryzacji nie ma potrzeby ręcznego obliczania średniej ważonej. Przydatna będzie jednak znajomość wzoru obliczeniowego, aby móc sprawdzić iw razie potrzeby poprawić uzyskane wyniki.

Najłatwiejszym sposobem rozważenia obliczeń jest konkretny przykład.

Konieczne jest ustalenie, jaka jest średnia płaca w tym przedsiębiorstwie, biorąc pod uwagę liczbę pracowników otrzymujących takie lub inne zarobki.

Tak więc średnią ważoną oblicza się według następującego wzoru:

x = (a 1 * w 1 + a 2 * w 2 + ... + a n * w n) / (w 1 + w 2 + ... + w n)

Na przykład obliczenia będą wyglądać tak:

x = (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) = (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 = 33,48

Oczywiście ręczne obliczenie średniej ważonej nie sprawia szczególnych trudności. Formuła do obliczenia tej wartości w jednej z najpopularniejszych aplikacji z formułami - Excel - wygląda jak funkcja SUMA (seria liczb; szereg wag) / SUMA (seria wag).

Jak znaleźć średnią w Excelu?

jak znaleźć średnią arytmetyczną w programie Excel?

Władimir09854

Bułka z masłem. Wystarczy 3 komórki, aby znaleźć średnią w programie Excel. W pierwszym napiszemy jeden numer, w drugim - inny. A w trzeciej komórce wbijemy wzór, który da nam średnią wartość między tymi dwiema liczbami z pierwszej i drugiej komórki. Jeśli komórka numer 1 nazywa się A1, komórka numer 2 nazywa się B1, to w komórce z formułą musisz napisać w następujący sposób:

Ten wzór oblicza średnią arytmetyczną dwóch liczb.

Dla piękna naszych obliczeń możesz wybrać komórki liniami w formie płytki.

W samym Excelu jest też funkcja do określania średniej wartości, ale używam staromodnej metody i wprowadzam potrzebną formułę. Jestem więc pewien, że Excel obliczy dokładnie tak, jak tego potrzebuję i nie wymyśli własnego zaokrąglenia.

M3sergey

Jest to bardzo proste, jeśli dane zostały już wprowadzone do komórek. Jeśli interesuje Cię tylko liczba, wystarczy wybrać żądany zakres / zakresy, a wartość sumy tych liczb, ich średnia arytmetyczna i ich liczba pojawi się w prawym dolnym rogu paska stanu.

Można zaznaczyć pustą komórkę, kliknąć trójkąt (lista rozwijana) „Autosumowanie” i wybrać tam „Średnia”, a następnie uzgodnić proponowany zakres do obliczeń lub wybrać własny.

Na koniec możesz używać formuł bezpośrednio, klikając Wstaw funkcję obok paska formuły i adresu komórki. Funkcja ŚREDNIA znajduje się w kategorii „Statystyczne” i przyjmuje jako argumenty zarówno liczby, jak i odwołania do komórek itp. Można tam również wybrać bardziej złożone opcje, na przykład ŚREDNIA.JEŻELI - obliczanie średniej według stanu.

Znajdź średnią w Excelu to dość proste zadanie. Tutaj musisz zrozumieć, czy chcesz użyć tej średniej wartości w niektórych formułach, czy nie.

Jeśli chcesz uzyskać tylko wartość, wystarczy wybrać wymagany zakres liczb, po czym program Excel automatycznie obliczy średnią wartość - zostanie wyświetlona na pasku stanu pod nagłówkiem „Średnia”.

W przypadku, gdy chcesz wykorzystać uzyskany wynik we wzorach, możesz to zrobić:

1) Zsumuj komórki za pomocą funkcji SUMA i podziel je przez liczbę liczb.

2) Bardziej poprawną opcją jest użycie specjalnej funkcji o nazwie ŚREDNIA. Argumentami tej funkcji mogą być liczby podane sekwencyjnie lub zakres liczb.

Władimir Tichonow

zakreśl wartości, które będą brały udział w obliczeniach, kliknij zakładkę „Formuły”, tam po lewej stronie zobaczysz „Autosumowanie”, a obok niego trójkąt skierowany w dół. kliknij ten trójkąt i wybierz „Średnia”. Voila, gotowe) na dole paska zobaczysz średnią :)

Ekaterina mutalapova

Zacznijmy od początku iw kolejności. Co to znaczy?

Średnia to wartość będąca średnią arytmetyczną, czyli oblicza się, dodając zestaw liczb, a następnie dzieląc całą sumę liczb przez ich liczbę. Na przykład dla liczb 2, 3, 6, 7, 2 będzie 4 (suma liczb 20 jest dzielona przez ich liczbę 5)

W arkuszu kalkulacyjnym Excel dla mnie najłatwiej było użyć formuły = ŚREDNIA. Aby obliczyć wartość średnią, należy wprowadzić dane do tabeli, pod kolumną danych wpisać funkcję = ŚREDNIA (), aw nawiasach wskazać zakres liczb w komórkach, podświetlając kolumnę danych. Następnie naciśnij ENTER lub po prostu kliknij lewym przyciskiem dowolną komórkę. Wynik zostanie wyświetlony w komórce pod kolumną. Wygląda to niezrozumiale, ale w rzeczywistości to kwestia minut.

Poszukiwacz przygód 2000

Program Ecxela jest zróżnicowany, więc istnieje kilka opcji, które pozwolą Ci znaleźć średnią wartość:

Pierwsza opcja. Po prostu sumujesz wszystkie komórki i dzielisz według ich liczby;

Druga opcja. Użyj specjalnego polecenia, wpisz w wymaganej komórce formułę „= ŚREDNIA (a następnie określ zakres komórek)”;

Trzecia opcja. Jeśli wybierzesz żądany zakres, zwróć uwagę, że na poniższej stronie wyświetlana jest również średnia wartość w tych komórkach.

Tak więc istnieje wiele sposobów na znalezienie średniej wartości, wystarczy wybrać najlepszą dla siebie i stale jej używać.

W programie Excel za pomocą funkcji ŚREDNIA można obliczyć arytmetyczną średnią pierwszą. Aby to zrobić, musisz wprowadzić kilka wartości. Naciśnij równa się i wybierz w Kategorii statystycznej, wśród której wybierz funkcję ŚREDNIA

Ponadto za pomocą formuł statystycznych można obliczyć średnią arytmetyczną ważoną, która jest uważana za dokładniejszą. Aby to obliczyć, potrzebujemy wartości wskaźnika i częstotliwości.

Jak znaleźć średnią w Excelu?

Sytuacja wygląda następująco. Jest następująca tabela:
Słupki zacienione na czerwono zawierają wartości liczbowe ocen z przedmiotów. W kolumnie „ Średni wynik„należy obliczyć ich średnią wartość.
Problem w tym, że w sumie jest 60-70 pozycji, a niektóre z nich znajdują się na innym arkuszu.
Zajrzałem do innego dokumentu, średnia została już obliczona, a w komórce jest formuła taka jak
= "nazwa arkusza"! | E12
ale zrobił to jakiś programista, który został zwolniony.
Proszę powiedz mi, kto to rozumie.

Zabijaka

W wierszu funkcji wstawiasz z oferowanych funkcji "ŚREDNIA" i wybierasz, skąd mają być obliczone (B6: N6) na przykład dla Iwanowa. Nie wiem dokładnie o sąsiednich arkuszach, ale na pewno jest to zawarte w standardowej pomocy Windows
Powiedz mi, jak obliczyć średnią wartość w słowie

Proszę powiedz mi, jak obliczyć średnią wartość w Słowie. Mianowicie średnia ocen, a nie liczba osób, które otrzymały oceny.

Julia Pawłowa

Word może wiele zdziałać z makrami. Naciśnij ALT + F11 i napisz program makr..
Ponadto Insert-Object ... pozwoli Ci użyć innych programów, nawet Excela, do stworzenia arkusza z tabelą wewnątrz dokumentu Word.
Ale w tym przypadku musisz zapisać swoje liczby w kolumnie tabeli i wprowadzić średnią w dolnej komórce tej samej kolumny, prawda?
Aby to zrobić, wstaw pole do dolnej komórki.
Wstaw pole ... -Formuła
Zawartość pola
[= ŚREDNIA (POWYŻEJ)]
daje średnią sumy powyżej leżących komórek.
Jeżeli pole jest zaznaczone i wciśnięty prawy przycisk myszy, to można je odświeżyć, jeśli zmieniły się liczby,
wyświetlić kod lub wartość pola, zmienić kod bezpośrednio w polu.
Jeśli coś pójdzie nie tak, usuń całe pole w komórce i utwórz je ponownie.
ŚREDNIA oznacza średnią, POWYŻEJ oznacza około, czyli rząd komórek powyżej.
Sam nie wiedziałem tego wszystkiego, ale łatwo znalazłem to w POMOCY, oczywiście trochę myśląc.

W większości przypadków dane są skoncentrowane wokół centralnego punktu. Tak więc, aby opisać dowolny zbiór danych, wystarczy wskazać wartość średnią. Rozważmy kolejno trzy cechy liczbowe, które służą do oszacowania średniej wartości rozkładu: średnia arytmetyczna, mediana i moda.

Przeciętny

Średnia arytmetyczna (często nazywana po prostu średnią) jest najczęstszym oszacowaniem średniej rozkładu. Jest to wynik podzielenia sumy wszystkich zaobserwowanych wartości liczbowych przez ich liczbę. Dla próbki liczb X 1, X 2, ..., Xn, średnia próbki (oznaczona symbolem ) równa się = (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, lub

gdzie jest średnia z próby, n- wielkość próbki, xi – i-ty element próbowanie.

Pobierz notatkę w formacie lub przykłady w formacie

Rozważ obliczenie średniej arytmetycznej pięcioletniego średniego rocznego zwrotu 15 funduszy inwestycyjnych z bardzo wysoki poziom ryzyko (rys. 1).

Ryż. 1. Średnie roczne zwroty 15 funduszy inwestycyjnych bardzo wysokiego ryzyka

Średnia próbki jest obliczana w następujący sposób:

To dobry zwrot, zwłaszcza w porównaniu do 3-4% dochodów, które deponenci banków lub kas uzyskali w tym samym okresie. Po uporządkowaniu zwrotów łatwo zauważyć, że osiem funduszy ma wyższe zwroty, a siedem — poniżej średniej. Średnia arytmetyczna działa jak punkt równowagi, dzięki czemu fundusze o niskich dochodach równoważą fundusze o wysokich dochodach. W obliczeniu średniej biorą udział wszystkie elementy próby. Żadne z pozostałych oszacowań średniej rozkładu nie ma tej właściwości.

Kiedy obliczyć średnią arytmetyczną. Ponieważ średnia arytmetyczna zależy od wszystkich elementów próbki, obecność wartości ekstremalnych znacząco wpływa na wynik. W takich sytuacjach średnia arytmetyczna może zniekształcić znaczenie danych liczbowych. Dlatego opisując zbiór danych zawierający wartości ekstremalne, konieczne jest wskazanie mediany lub średniej arytmetycznej i mediany. Na przykład, jeśli usuniesz z próbki zwrot z funduszu RS Emerging Growth, średni zwrot z próby 14 funduszy zmniejszy się o prawie 1% do 5,19%.

Mediana

Mediana to mediana wartości uporządkowanej tablicy liczb. Jeśli tablica nie zawiera zduplikowanych liczb, to połowa jej elementów będzie mniejsza, a połowa większa od mediany. Jeśli próba zawiera wartości ekstremalne, do oszacowania średniej lepiej jest użyć mediany niż średniej arytmetycznej. Aby obliczyć medianę próbki, należy ją najpierw posortować.

Ta formuła jest niejednoznaczna. Jego wynik zależy od tego, czy liczba jest parzysta, czy nieparzysta. n:
- Jeśli próbka zawiera nieparzystą liczbę elementów, mediana wynosi (n + 1) / 2 element.
- Jeśli próbka zawiera parzystą liczbę elementów, mediana leży między dwoma średnimi elementami próbki i jest równa średniej arytmetycznej obliczonej dla tych dwóch elementów.
Aby obliczyć medianę próby 15 zwrotów z funduszy inwestycyjnych o bardzo wysokim ryzyku, należy najpierw zamówić oryginalne dane (Rysunek 2). Wtedy mediana będzie przeciwna do numeru środkowego elementu próbki; w naszym przykładzie nr 8. Excel ma specjalną funkcję = MEDIAN (), która działa również z nieuporządkowanymi tablicami.

Ryż. 2. Mediana 15 funduszy

Więc mediana wynosi 6,5. Oznacza to, że rentowność połowy funduszy o bardzo wysokim poziomie ryzyka nie przekracza 6,5, podczas gdy rentowność drugiej połowy go nie przekracza. Zauważ, że mediana 6,5 jest niewiele wyższa niż średnia 6,08.

W przypadku usunięcia z próby zwrotu funduszu RS Emerging Growth, mediana pozostałych 14 funduszy zmniejszy się do 6,2%, czyli nie tak znacząco, jak średnia arytmetyczna (rys. 3).

Ryż. 3. Mediana 14 funduszy

Moda

Termin ten został po raz pierwszy ukuty przez Pearsona w 1894 roku. Moda to numer, który pojawia się najczęściej w próbce (najmodniejszy). Moda dobrze opisuje na przykład typową reakcję kierowców na sygnalizację świetlną, aby zatrzymać jazdę. Klasycznym przykładem wykorzystania mody jest wybór wielkości produkowanej partii butów czy koloru tapety. Jeśli rozkład ma kilka trybów, mówi się, że jest multimodalny lub multimodalny (ma dwa lub więcej „szczytów”). Multimodalność rozkładu dostarcza ważnych informacji o charakterze badanej zmiennej. Na przykład w sondażach, jeśli zmienna reprezentuje preferencje lub stosunek do czegoś, multimodalność może oznaczać, że istnieje kilka zdecydowanie różnych opinii. Multimodalność służy również jako wskaźnik, że próbka nie jest jednorodna, a obserwacje mogą być generowane przez dwa lub więcej „nałożonych” rozkładów. W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej wartości odstające nie wpływają na modę. Dla zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym, na przykład dla wskaźników średnich rocznych zwrotów funduszy inwestycyjnych, moda czasami w ogóle nie istnieje (lub nie ma sensu). Ponieważ wskaźniki te mogą przybierać różne wartości, powtarzające się wartości są niezwykle rzadkie.

Kwartyle

Kwartyle to metryki, które są najczęściej używane do szacowania rozkładu danych podczas opisywania właściwości dużych próbek liczbowych. Podczas gdy mediana dzieli uporządkowaną tablicę na pół (50% elementów tablicy to mniej niż mediana i 50% więcej), kwartyle dzielą uporządkowany zbiór danych na cztery części. Wartości Q 1, mediana i Q 3 to odpowiednio 25., 50. i 75. percentyl. Pierwszy kwartyl Q 1 to liczba dzieląca próbkę na dwie części: 25% elementów jest mniej, a 75% - więcej niż pierwszy kwartyl.

Trzeci kwartyl, Q 3, to liczba, która również dzieli próbkę na dwie części: 75% pierwiastków jest mniej, a 25% więcej niż trzeci kwartyl.

Aby obliczyć kwartyle w wersjach programu Excel sprzed 2007 r., użyto funkcji = KWARTYL (tablica; część). Począwszy od wersji Excel2010, obowiązują dwie funkcje:
- = KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK (tablica, część)
- = KWARTYL.PRZEDZ.OTW (tablica, część)
Te dwie funkcje dają niewiele różne znaczenia(rys. 4). Na przykład przy obliczaniu kwartyli próby zawierającej dane o średnim rocznym zwrocie 15 funduszy inwestycyjnych bardzo wysokiego ryzyka, Q1 = 1,8 lub –0,7 odpowiednio dla KWARTYL.WŁ. i KWARTYL.WYKW. Nawiasem mówiąc, wcześniej użyta funkcja KWARTYL odpowiada nowoczesna funkcja MIESZKANIE W TYM. Aby obliczyć kwartyle w programie Excel przy użyciu powyższych formuł, tablica danych nie musi być sortowana.

Ryż. 4. Obliczanie kwartyli w Excelu

Podkreślmy jeszcze raz. Excel może obliczyć kwartyle dla jednowymiarowych seria dyskretna zawierające wartości zmiennej losowej. Obliczanie kwartyli dla alokacji opartej na częstotliwości jest podane w poniższej sekcji.

Średnia geometryczna

W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, średnia geometryczna umożliwia oszacowanie stopnia zmiany zmiennej w czasie. Średnia geometryczna jest pierwiastkiem n-stopień z pracy n wartości (w Excelu używana jest funkcja = SRGEOM):

g= (X 1 * X 2 *… * X n) 1 / n

Podobny parametr - średnia geometryczna stopy zwrotu - określa wzór:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) *… * (1 + R n)] 1 / n - 1,

gdzie R i- stopa zwrotu za i okres czasu.

Załóżmy na przykład, że początkowa inwestycja wynosi 100 000 zł. Do końca pierwszego roku spada do 50 000 zł, a pod koniec drugiego roku wraca do pierwotnych 100 000 zł. Stopa zwrotu z tej inwestycji w okresie dwóch lat wynosi 0, ponieważ fundusze początkowe i końcowe są sobie równe. Jednak średnia arytmetyczna stawki roczne zysk wynosi = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 lub 25%, ponieważ stopa zysku w pierwszym roku R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5, a w drugim R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Jednocześnie średnia geometryczna stopy zysku za dwa lata wynosi: G = [(1–0,5) * (1 + 1)] 1/2 - 1 = ½ - 1 = 1 - 1 = 0. Zatem średnia geometryczna dokładniej odzwierciedla zmianę (dokładniej brak zmian) wolumenu inwestycji w okresie dwóch lat niż średnia arytmetyczna.

Interesujące fakty. Po pierwsze, średnia geometryczna będzie zawsze mniejsza niż średnia arytmetyczna tych samych liczb. Z wyjątkiem sytuacji, gdy wszystkie wzięte liczby są sobie równe. Po drugie, biorąc pod uwagę właściwości trójkąt prostokątny, możesz zrozumieć, dlaczego średnia nazywa się geometryczną. Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczonego do przeciwprostokątnej jest średnią proporcjonalną między rzutami nóg na przeciwprostokątną, a każda noga jest średnią proporcjonalną między przeciwprostokątną a jej rzutem na przeciwprostokątną (ryc. 5). Daje to geometryczny sposób konstruowania średniej geometrycznej dwóch (długości) segmentów: trzeba zbudować okrąg na sumie tych dwóch segmentów jak na średnicy, a następnie wysokości, przywróconej od punktu ich połączenia ze skrzyżowaniem z kółkiem da pożądaną wartość:

Ryż. 5. Geometryczny charakter średniej geometrycznej (rysunek z Wikipedii)

Drugą ważną właściwością danych liczbowych jest ich zmiana charakteryzujące stopień wariancji danych. Dwie różne próbki mogą różnić się zarówno wartościami średnimi, jak i zmiennością. Jednak, jak pokazano na ryc. 6 i 7, dwie próbki mogą mieć tę samą zmienność, ale różne średnie lub te same średnie i zupełnie różne warianty. Dane odpowiadające wielokątowi B na ryc. 7, zmienia się znacznie mniej niż dane, na którym wielokąt A.

Ryż. 6. Dwa symetryczne rozkłady dzwonowate o tym samym rozkładzie i różnych wartościach średnich

Ryż. 7. Dwa symetryczne rozkłady dzwonowate o tych samych wartościach średnich i różnym rozproszeniu

Istnieje pięć szacunków zmienności danych:
- zakres,
- zakres międzykwartylowy,
- dyspersja,
- odchylenie standardowe,
- współczynnik zmienności.
Huśtać się

Rozstęp jest różnicą między największym a najmniejszym elementem próbki:

Przesuń = XMaks. - XMin

Zakres próby zawierającej dane o średnich rocznych zwrotach 15 funduszy inwestycyjnych bardzo wysokiego ryzyka można obliczyć za pomocą uporządkowanej tablicy (zob. rys. 4): Span = 18,5 - (–6,1) = 24,6. Oznacza to, że różnica pomiędzy najwyższymi i najniższymi średnimi rocznymi zwrotami środków o bardzo wysokim poziomie ryzyka wynosi 24,6%.

Span mierzy ogólne rozproszenie danych. Chociaż rozpiętość próby jest bardzo prostym oszacowaniem ogólnego rozproszenia danych, jego słabością jest to, że nie uwzględnia dokładnie tego, jak dane są rozłożone między elementami minimalnymi i maksymalnymi. Efekt ten jest wyraźnie widoczny na ryc. 8, który ilustruje próbki o tej samej rozpiętości. Skala B pokazuje, że jeśli próbka zawiera co najmniej jedną wartość ekstremalną, rozpiętość próbki okazuje się bardzo nieprecyzyjną oceną rozrzutu danych.

Ryż. 8. Porównanie trzech próbek o tym samym zakresie; trójkąt symbolizuje podparcie wagi, a jego położenie odpowiada średniej wartości próbki

Zakres międzykwartylowy

Rozstęp międzykwartylowy lub średnia to różnica między trzecim a pierwszym kwartylem próbki:

Rozstęp międzykwartylowy = Q 3 - Q 1

Wartość ta pozwala oszacować rozrzut 50% pierwiastków i nie uwzględniać wpływu pierwiastków ekstremalnych. Rozstęp międzykwartylowy próby zawierającej dane o średnich rocznych zwrotach 15 funduszy inwestycyjnych bardzo wysokiego ryzyka można obliczyć na podstawie danych z rys. 4 (na przykład dla funkcji KWARTYL.PRZEDZ.OTW): Rozstęp międzykwartylowy = 9,8 - (–0,7) = 10,5. Przedział ograniczony liczbami 9,8 i –0,7 jest często nazywany środkową połową.

Należy zauważyć, że wartości Q 1 i Q 3, a tym samym przedział międzykwartylowy, nie zależą od obecności wartości odstających, ponieważ ich obliczenia nie uwzględniają wartości, która byłaby mniejsza niż Q 1 lub więcej niż Q3. Całkowity cechy ilościowe takie jak mediana, pierwszy i trzeci kwartyl oraz rozstęp międzykwartylowy, na które wartości odstające nie mają wpływu, są nazywane miarami odpornymi.

Chociaż rozstęp i rozstęp międzykwartylowy zapewniają odpowiednio oszacowanie ogólnego i średniego rozrzutu próby, żadne z tych oszacowań nie uwzględnia rozkładu danych. Dyspersja i odchylenie standardowe są pozbawione tej wady. Te metryki zapewniają oszacowanie stopnia, w jakim dane oscylują wokół średniej. Wariancja próbki jest przybliżeniem średniej arytmetycznej, obliczonej na podstawie kwadratów różnic między każdym elementem próbki a średnią próbki. Dla próbki X 1, X 2, ... X n wariancja próbki (oznaczona symbolem S 2 jest dana wzorem:

Ogólnie wariancja próby jest sumą kwadratów różnic między elementami próby a średnią próby podzieloną przez wartość równą wielkości próby minus jeden:

gdzie - Średnia arytmetyczna, n- wielkość próbki, X i - i element próbki x... W programie Excel sprzed 2007 r. do obliczania wariancji próbki była używana funkcja = VARP (), a od 2010 r. używana jest funkcja = VARV ().

Najbardziej praktycznym i powszechnie akceptowanym oszacowaniem rozprzestrzeniania się danych jest: standardowe odchylenie próbki... Ten wskaźnik jest oznaczony symbolem S i jest równy pierwiastek kwadratowy z wariancji próbki:

W programie Excel sprzed 2007 r. do obliczania standardowego odchylenia próbki była używana funkcja = ODCH.STANDARDOWE (); od 2010 r. używana jest funkcja = ODCH.STANDARDOWE.V (). W celu obliczenia tych funkcji zbiór danych może być nieuporządkowany.

Ani wariancja próbki, ani standardowe odchylenie próbki nie mogą być ujemne. Jedyna sytuacja, w której wskaźniki S 2 i S mogą wynosić zero, to sytuacja, w której wszystkie elementy próbki są sobie równe. W tym wysoce nieprawdopodobnym przypadku rozpiętość i rozstęp międzykwartylowy również wynoszą zero.

Dane liczbowe są z natury niestabilne. Dowolna zmienna może przyjąć zestaw różne znaczenia... Na przykład różne fundusze inwestycyjne mają różne stopy zwrotu i straty. Ze względu na zmienność danych liczbowych bardzo ważne jest badanie nie tylko oszacowań średniej, które mają charakter kumulacyjny, ale także oszacowań wariancji, które charakteryzują rozrzut danych.

Wariancja i odchylenie standardowe pozwalają oszacować rozrzut danych wokół średniej, innymi słowy, określić, ile elementów w próbie jest mniejszych od średniej, a ile jest więcej. Dyspersja ma pewne wartości właściwości matematyczne... Jednak jego wartość to kwadrat jednostki miary - procent kwadratowy, dolar kwadratowy, cal kwadratowy itp. Dlatego naturalną miarą wariancji jest odchylenie standardowe, które jest wyrażane we wspólnych jednostkach miary – procentach dochodu, dolarach lub calach.

Odchylenie standardowe pozwala oszacować wielkość fluktuacji elementów próbki wokół średniej. W prawie wszystkich sytuacjach większość obserwowanych wartości mieści się w przedziale plus lub minus jedno odchylenie standardowe od średniej. Dlatego znając średnią arytmetyczną elementów próbki i standardowe odchylenie próbki można określić przedział, do którego należy większość danych.

Odchylenie standardowe stopy zwrotu z 15 funduszy inwestycyjnych bardzo wysokiego ryzyka wynosi 6,6 (wykres 9). Oznacza to, że rentowność większości funduszy różni się od średniej wartości o nie więcej niż 6,6% (czyli waha się w przedziale od - S= 6,2 - 6,6 = -0,4 do + S= 12,8). W rzeczywistości w tym przedziale mieści się pięcioletnia średnia roczna stopa zwrotu 53,3% (8 z 15) funduszy.

Ryż. 9. Odchylenie standardowe próbki

Należy zauważyć, że po dodaniu kwadratów różnic próbka znajdująca się dalej od średniej zyskuje większą wagę niż próbka bliższa. Ta właściwość jest głównym powodem, dla którego średnia arytmetyczna jest najczęściej używana do szacowania średniej rozkładu.

Współczynnik zmienności

W przeciwieństwie do poprzednich szacunków spreadu, współczynnik zmienności jest szacunkiem względnym. Jest zawsze mierzony w procentach, a nie w postaci surowych danych. Współczynnik zmienności, oznaczony CV, mierzy rozrzut danych w stosunku do średniej. Współczynnik zmienności jest równy odchyleniu standardowemu podzielonemu przez średnią arytmetyczną i pomnożonemu przez 100%:

gdzie S- odchylenie standardowe próbki, - średnia próbki.

Współczynnik zmienności pozwala porównać dwie próbki, których elementy są wyrażone w różnych jednostkach miary. Na przykład kierownik ds. dostarczania poczty zamierza odnowić flotę samochodów ciężarowych. Podczas ładowania paczek należy wziąć pod uwagę dwa rodzaje ograniczeń: waga (w funtach) i objętość (w stopach sześciennych) każdej paczki. Dla próbki 200 worków załóżmy, że średnia waga wynosi 26,0 funtów, odchylenie standardowe wagi wynosi 3,9 funta, średnia objętość torby wynosi 8,8 stopy sześciennej, a odchylenie standardowe objętości wynosi 2,2 stopy sześciennej. Jak porównać zakres wagi i objętości worków?

Ponieważ jednostki miary wagi i objętości różnią się od siebie, kierownik musi porównać względny rozrzut tych wartości. Współczynnik zmienności masy wynosi CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, a współczynnik zmienności objętości CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25%. Zatem względny rozrzut w objętości pakietów jest znacznie większy niż względny rozrzut ich wagi.

Formularz dystrybucyjny

Trzecią ważną właściwością próbki jest kształt jej rozkładu. Ten rozkład może być symetryczny lub asymetryczny. Aby opisać kształt rozkładu, należy obliczyć jego średnią i medianę. Jeśli te dwa wskaźniki są zbieżne, zmienna jest uważana za symetrycznie rozłożoną. Jeżeli średnia wartość zmiennej jest większa od mediany, jej rozkład ma dodatnią skośność (rys. 10). Jeśli mediana jest większa od średniej, rozkład zmiennej jest ujemnie skośny. Dodatnia skośność występuje, gdy średnia wzrasta do niezwykle wysokiego wysokie wartości... Skośność ujemna występuje, gdy średnia spada do niezwykle małych wartości. Zmienna jest symetrycznie rozłożona, jeśli nie przyjmuje wartości ekstremalnych w żadnym kierunku, tak aby wysokie i niskie wartości zmiennej równoważyły się.

Ryż. 10. Trzy rodzaje dystrybucji

Dane przedstawione na skali A mają ujemną skośność. Ta figura przedstawia długi ogon i przekrzywienie w lewo spowodowane niezwykle niskimi wartościami. Te niezwykle małe wartości przesuwają średnią w lewo i staje się ona mniejsza niż mediana. Dane przedstawione na skali B są rozłożone symetrycznie. Lewa i prawa połowa rozkładu to ich lustrzane odbicia. Duże i małe wartości równoważą się, a średnia i mediana są sobie równe. Dane przedstawione na skali B są dodatnio skośne. Ta figura przedstawia długi ogon i przekrzywienie w prawo spowodowane niezwykle wysokimi wartościami. Te zbyt wysokie wartości przesuwają średnią w prawo i staje się ona większa od mediany.

W programie Excel statystyki opisowe można uzyskać za pomocą dodatku Pakiet analiz... Przejdź przez menu Dane → Analiza danych, w oknie, które się otworzy, wybierz linię Opisowe statystyki i kliknij Ok... W oknie Opisowe statystyki pamiętaj, aby wskazać Interwał wejściowy(rys. 11). Jeśli chcesz zobaczyć statystyki opisowe na tym samym arkuszu, co oryginalne dane, wybierz przycisk opcji Interwał wyjściowy i określ komórkę, w której powinien znajdować się lewy górny róg statystyk wyjściowych (w naszym przykładzie $ C $ 1). Jeśli chcesz wyprowadzić dane do nowego arkusza lub w Nowa książka, wystarczy wybrać odpowiedni przycisk radiowy. Zaznacz pole obok Statystyki podsumowujące... Opcjonalnie możesz również wybrać Poziom trudności,k-ty najmniejszy ik-ty największy.

Jeśli w depozycie Dane w obszarze Analiza nie masz wyświetlanej ikony Analiza danych, musisz najpierw zainstalować dodatek Pakiet analiz(patrz na przykład).

Ryż. 11. Statystyka opisowa pięcioletniej średniej rocznej stopy zwrotu środków o bardzo wysokim poziomie ryzyka, obliczona z wykorzystaniem dodatku Analiza danych Programy Excel

Excel oblicza różne statystyki omówione powyżej: średnia, mediana, tryb, odchylenie standardowe, wariancja, zakres ( interwał), minimalna, maksymalna i wielkość próbki ( sprawdzać). Ponadto program Excel oblicza niektóre statystyki, które są dla nas nowe: błąd standardowy, kurtoza i skośność. Standardowy błąd równe odchyleniu standardowemu podzielonemu przez pierwiastek kwadratowy wielkości próby. Asymetria charakteryzuje odchylenie od symetrii rozkładu i jest funkcją zależną od sześcianu różnic między elementami próbki a średnią. Kurtoza jest miarą względnej koncentracji danych wokół średniej w stosunku do ogonów rozkładu i jest zależna od różnic między próbką a średnią podniesioną do czwartej potęgi.

Obliczanie statystyk opisowych dla populacji

Omówiona powyżej średnia, rozrzut i kształt rozkładu są cechami wyznaczonymi na podstawie próbki. Jeśli jednak zbiór danych zawiera: pomiary numeryczne całej populacji ogólnej, możesz obliczyć jej parametry. Parametry te obejmują oczekiwanie matematyczne, wariancję i odchylenie standardowe populacji ogólnej.

Wartość oczekiwana równa się sumie wszystkich wartości populacji ogólnej podzielonej przez wielkość populacji ogólnej:

gdzie µ - wartość oczekiwana, xi- i-ta obserwacja zmiennej x, n- wielkość populacji ogólnej. Excel używa tej samej funkcji do obliczenia oczekiwanej wartości matematycznej, co w przypadku średniej arytmetycznej: = ŚREDNIA ().

Wariancja populacji równa sumie kwadratów różnic między elementami populacji ogólnej a matą. oczekiwania podzielone przez wielkość populacji ogólnej:

gdzie σ 2- wariancja populacji ogólnej. W programie Excel sprzed 2007 r. funkcja = VARP () służy do obliczania wariancji populacji, ponieważ 2010 = WAR.G ().

Odchylenie standardowe populacji równa się pierwiastkowi kwadratowemu wariancji populacji:

W programie Excel sprzed 2007 r. funkcja = ODCH.STANDARDOWE.P () służy do obliczania odchylenia standardowego populacji, ponieważ 2010 = ODCH.STANDARDOWE.Y (). Należy zauważyć, że wzory na wariancję populacji i odchylenie standardowe różnią się od wzorów na wariancję próbki i odchylenie standardowe. Przy obliczaniu przykładowych statystyk S 2 oraz S mianownik ułamka to n - 1, a przy obliczaniu parametrów σ 2 oraz σ - wielkość populacji ogólnej n.

Praktyczna zasada

W większości sytuacji duża część obserwacji koncentruje się wokół mediany, tworząc klaster. W zestawach danych z dodatnią skośnością klaster ten znajduje się po lewej (tj. poniżej) oczekiwaniu matematycznym, a w zestawach danych z ujemną skośnością to skupienie znajduje się po prawej (tj. powyżej) oczekiwaniu matematycznym. W przypadku danych symetrycznych średnia i mediana są takie same, a obserwacje koncentrują się wokół średniej, tworząc rozkład w kształcie dzwonu. Jeśli rozkład nie ma wyraźnej skośności, a dane są skoncentrowane wokół określonego środka ciężkości, do oceny zmienności można zastosować praktyczną regułę, która mówi: jeśli dane mają rozkład w kształcie dzwonu, to około 68% obserwacji to nie więcej niż jedno odchylenie standardowe od oczekiwań matematycznych, około 95% obserwacji to nie więcej niż dwa odchylenia standardowe od oczekiwań matematycznych, a 99,7% obserwacji to nie więcej niż trzy odchylenia standardowe od oczekiwań matematycznych.

Zatem odchylenie standardowe, które jest oszacowaniem średniej zmienności wokół średniej, pomaga zrozumieć rozkład obserwacji i zidentyfikować wartości odstające. Z reguły wynika, że dla rozkładów dzwonowatych tylko jedna wartość na dwadzieścia różni się od oczekiwań matematycznych o więcej niż dwa odchylenia standardowe. Dlatego wartości poza przedziałem µ ± 2σ, można uznać za wartości odstające. Ponadto tylko trzy z 1000 obserwacji różnią się od oczekiwań matematycznych o więcej niż trzy odchylenia standardowe. Zatem wartości poza przedziałem µ ± 3σ prawie zawsze są wartościami odstającymi. W przypadku rozkładów, które są bardzo skośne lub nie mają kształtu dzwonu, można zastosować empiryczną regułę Biename-Chebysheva.

Ponad sto lat temu matematycy Biename i Czebyszew odkryli niezależnie użyteczna nieruchomość odchylenie standardowe. Stwierdzili, że dla dowolnego zbioru danych, niezależnie od kształtu rozkładu, odsetek obserwacji leżących w odległości nie większej niż k odchylenia standardowe od oczekiwań matematycznych, nie mniej (1 – 1/ k 2) * 100%.

Na przykład, jeśli k= 2, reguła Biename-Czebyszewa mówi, że przynajmniej (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% obserwacji musi leżeć w przedziale µ ± 2σ... Ta zasada obowiązuje każdego k większa niż jeden. Reguła Biename-Czebyszewa jest bardzo ogólna i obowiązuje dla wszelkiego rodzaju dystrybucji. Wskazuje minimalną liczbę obserwacji, których odległość od matematycznego oczekiwania nie przekracza ustalić wartość... Jeśli jednak rozkład ma kształt dzwonu, praktyczna reguła dokładniej szacuje koncentrację danych wokół wartości oczekiwanej.

Obliczanie statystyk opisowych dla rozkładu opartego na częstotliwości

Jeśli oryginalne dane nie są dostępne, przydział częstotliwości staje się jedynym źródłem informacji. W takich sytuacjach można obliczyć przybliżone wartości wskaźników rozkładu ilościowego, takie jak średnia arytmetyczna, odchylenie standardowe, kwartyle.

Jeżeli przykładowe dane są przedstawione w postaci rozkładu częstości, można obliczyć przybliżoną wartość średniej arytmetycznej, zakładając, że wszystkie wartości w obrębie każdej klasy są skoncentrowane w punkcie środkowym klasy:

gdzie - średnia próbki, n- liczba obserwacji lub wielkość próby, z- liczba klas w rozkładzie częstotliwości, m j- punkt środkowy J-idź zajęcia, FJ jest częstotliwość odpowiadająca? J klasa.

Aby obliczyć odchylenie standardowe z rozkładu częstotliwości, zakłada się również, że wszystkie wartości w każdej klasie są wyśrodkowane w punkcie środkowym klasy.

Aby zrozumieć, w jaki sposób kwartyle szeregu są wyznaczane na podstawie liczebności, rozważmy obliczenie dolnego kwartyla na podstawie danych z 2013 r. dotyczących rozmieszczenia ludności Rosji pod względem średniego dochodu pieniężnego na mieszkańca (ryc. 12).

Ryż. 12. Odsetek ludności Rosji ze średnimi dochodami pieniężnymi na mieszkańca średnio miesięcznie, ruble

Aby obliczyć pierwszy kwartyl serii zmienności przedziałowej, możesz użyć wzoru:

gdzie Q1 to wartość pierwszego kwartyla, хQ1 to dolna granica przedziału zawierającego pierwszy kwartyl (przedział jest określony przez skumulowaną częstość, pierwsza przekracza 25%); i jest rozmiarem przedziału; Σf to suma częstotliwości całej próbki; prawdopodobnie zawsze równa 100%; SQ1–1 to skumulowana częstość przedziału poprzedzającego przedział zawierający dolny kwartyl; fQ1 to częstotliwość przedziału zawierającego dolny kwartyl. Wzór na trzeci kwartyl różni się tym, że we wszystkich miejscach zamiast Q1 należy użyć Q3, a zamiast ¼ zastąpić ¾.

W naszym przykładzie (ryc. 12) dolny kwartyl mieści się w przedziale 7000,1 - 10 000, którego skumulowana częstotliwość wynosi 26,4%. Dolna granica tego przedziału wynosi 7000 rubli, wartość przedziału to 3000 rubli, skumulowana częstotliwość przedziału poprzedzającego przedział zawierający dolny kwartyl wynosi 13,4%, częstotliwość przedziału zawierającego dolny kwartyl wynosi 13,0%. Tak więc: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 = 9677 rubli.

Pułapki ze statystykami opisowymi

W tym poście przyjrzeliśmy się, jak opisać zbiór danych za pomocą różnych statystyk, które szacują jego średnią, rozrzut i dystrybucję. Kolejnym krokiem jest analiza i interpretacja danych. Do tej pory badaliśmy obiektywne właściwości danych, a teraz zwracamy się do ich subiektywnej interpretacji. Na badacza czekają dwa błędy: błędnie wybrany przedmiot analizy i błędna interpretacja wyników.

Analiza wyników 15 funduszy inwestycyjnych bardzo wysokiego ryzyka jest dość bezstronna. Doprowadziło to do całkowicie obiektywnych wniosków: wszystkie fundusze inwestycyjne mają różne zwroty, rozpiętość zwrotów funduszu waha się od -6,1 do 18,5, a średnia stopa zwrotu to 6,08. Zapewniona jest obiektywność analizy danych właściwy wybór całkowite ilościowe wskaźniki dystrybucji. Rozważono kilka metod szacowania średniej i rozrzutu danych, wskazano ich zalety i wady. Jak wybrać odpowiednie statystyki, które zapewniają obiektywną i bezstronną analizę? Jeśli rozkład Twoich danych jest nieco przekrzywiony, czy powinieneś wybrać medianę ponad średnią arytmetyczną? Który wskaźnik dokładniej charakteryzuje rozrzut danych: odchylenie standardowe czy zakres? Czy należy wskazywać na pozytywną skośność rozkładu?

Z drugiej strony interpretacja danych jest procesem subiektywnym. Różni ludzie dochodzić do różnych wniosków, interpretując te same wyniki. Każdy ma swój własny punkt widzenia. Ktoś uważa łączne wskaźniki średniej rocznej rentowności 15 funduszy o bardzo wysokim poziomie ryzyka za dobre i jest całkiem zadowolony z otrzymanych dochodów. Inni mogą pomyśleć, że te fundusze mają zbyt niski zwrot. Zatem subiektywność powinna być rekompensowana uczciwością, neutralnością i jasnością wniosków.

Zagadnienia etyczne

Analiza danych jest nierozerwalnie związana z kwestiami etycznymi. Należy krytycznie podchodzić do informacji rozpowszechnianych przez gazety, radio, telewizję i Internet. Z czasem nauczysz się sceptycznie podchodzić nie tylko do wyników, ale także do celów, tematyki i obiektywności badań. Słynny brytyjski polityk Benjamin Disraeli powiedział to najlepiej: „Istnieją trzy rodzaje kłamstw: kłamstwa, rażące kłamstwa i statystyki”.

Jak zauważono w nocie, przy wyborze wyników do zaraportowania pojawiają się problemy etyczne. Powinny być publikowane zarówno pozytywne, jak i negatywne wyniki. Ponadto sporządzając raport lub raport pisemny, wyniki muszą być przedstawione w sposób uczciwy, neutralny i obiektywny. Rozróżnij nieudaną i nieuczciwą prezentację. Aby to zrobić, konieczne jest ustalenie, jakie były intencje mówcy. Czasem mówca ignoruje ważne informacje, a czasem celowo (np. jeśli używa średniej arytmetycznej do oszacowania średniej danych wyraźnie asymetrycznych w celu uzyskania pożądanego wyniku). Niesprawiedliwe jest również zamazywanie wyników, które nie odpowiadają punktowi widzenia badacza.

Wykorzystane materiały książki Levin i inne Statystyki dla menedżerów. - M .: Williams, 2004 .-- s. 178-209

Funkcja KWARTYL zachowana w celu zapewnienia zgodności z wcześniejszymi wersjami programu Excel

Otrzymywany przez dodanie wszystkich członków szeregu liczbowego i podzielenie sumy przez liczbę członków. Na przykład wartość arytmetyczna 7, 20, 152 i 305 to 484/4 = 121. Jednak średnia wartość nie pozwala nam ocenić rozrzutu liczb. porównaj: średnia geometryczna.

Biznes. Słownik wyjaśniający... - M .: „INFRA-M”, Wydawnictwo „Ves Mir”. Graham Betts, Barry Braindley, S. Williams i in. Wydanie ogólne: doktor nauk ekonomicznych Osadchaya I.M.. 1998 .

Zobacz, co „ŚREDNIA ARYTMETYCZNA” znajduje się w innych słownikach:

Jaka może być wartość średniej arytmetycznej. Jak znaleźć średnią arytmetyczną i geometryczną liczb? Prosta średnia arytmetyczna

Kolegium YouTube

Przykłady

Ciągła zmienna losowa

Niektóre problemy z używaniem środka

Brak solidności

Odsetki składane

Mieć na myśli

Podstawowe informacje

Hierarchia średnich w matematyce

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce

Jaki jest znak średniej arytmetycznej?

Co to jest średnia arytmetyczna? Jak znaleźć średnią arytmetyczną?

Przeciętny

Wstęp

Przykłady

Ciągła zmienna losowa

Niektóre problemy z używaniem środka

Brak solidności

Odsetki składane

Wskazówki

Średnia ważona - co to jest i jak ją obliczyć?

Wartości średnie: znaczenie i różnice

Średnia ważona: cechy

Odmiany

Metody obliczania

Jak znaleźć średnią w Excelu?

Jak znaleźć średnią w Excelu?

Powiedz mi, jak obliczyć średnią wartość w słowie

Zobacz, co „ŚREDNIA ARYTMETYCZNA” znajduje się w innych słownikach: