Zero matematycznych oczekiwań. Matematyczne oczekiwanie i wariancja

Oczekiwanie matematyczne to definicja…

Mata czeka jeden z najważniejsze koncepcje w statystyka matematyczna i teoria prawdopodobieństwa, charakteryzująca rozkład wartości lub prawdopodobieństwa zmienna losowa. Zwykle wyrażane jako Średnia ważona wszystkie możliwe parametry zmiennej losowej. Szeroko stosowany w analizie technicznej, badaniach seria liczb, badanie procesów ciągłych i długich. Jest to ważne w ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cen podczas handlu na rynkach finansowych oraz jest wykorzystywane w opracowywaniu strategii i metod taktyki gry w teoria hazardu.

Szach mat czeka- Tenśrednia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmienna losowa jest rozważana w teorii prawdopodobieństwa.

Mata czeka miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej x oznaczone M(x).

Wartość oczekiwana(średnia populacji) to

Mata czeka

Mata czeka w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć ta zmienna losowa.

Mata czeka suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej przez prawdopodobieństwa tych wartości.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Mata czekaśrednia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużej odległości.

Mata czeka w teorii hazardu jest to kwota wygranych, które spekulant może średnio zarobić lub stracić za każdy zakład. W języku hazardu spekulanci jest to czasami nazywane „korzyścią” spekulant” (jeśli jest dodatnia dla spekulanta) lub „przewaga kasyna” (jeśli jest ujemna dla spekulanta).

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Mata czeka zysk na wygraną pomnożony przez średnią zysk, minus strata pomnożona przez średnią stratę.

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej w teorii matematycznej

Jedną z ważnych cech liczbowych zmiennej losowej jest oczekiwanie. Wprowadźmy pojęcie układu zmiennych losowych. Rozważ zestaw zmiennych losowych, które są wynikiem tego samego eksperymentu losowego. Jeśli jest jedną z możliwych wartości systemu, to zdarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełnia aksjomaty Kołmogorowa. Funkcja zdefiniowana dla dowolnych możliwych wartości zmiennych losowych nazywana jest łącznym prawem rozkładu. Ta funkcja pozwala obliczyć prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń. W szczególności wspólne prawo rozkład zmiennych losowych i, które przyjmują wartości ze zbioru i, jest określony przez prawdopodobieństwa.

Termin „mata. oczekiwania” wprowadził Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) i wywodził się z koncepcji „oczekiwanej wartości wypłaty”, która po raz pierwszy pojawiła się w XVII wieku w teorii hazardu w pracach Blaise'a Pascala i Christiana Huygensa. Jednak pierwsze pełne teoretyczne zrozumienie i ocenę tej koncepcji dał Pafnuty Lvovich Czebyszew (połowa XIX wieku).

Prawo rozkłady losowych zmiennych liczbowych (funkcja rozkładu i szereg rozkładów lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisują zachowanie zmiennej losowej. Jednak w wielu problemach wystarczy znać pewne liczbowe cechy badanej wielkości (na przykład jej średnią wartość i ewentualne odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Główne cechy liczbowe zmiennych losowych to oczekiwanie, wariancja, moda i mediana.

Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Czasami mat. oczekiwanie nazywa się średnią ważoną, ponieważ jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej w duże liczby eksperymenty. Z definicji maty oczekiwań wynika, że ​​jej wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą).

Mat czekanie ma proste fizyczne znaczenie: jeśli masa jednostkowa jest umieszczona na linii prostej, umieszczając masę w niektórych punktach (for dyskretna dystrybucja) lub „rozmazuje” go pewną gęstością (dla absolutnie ciągłego rozkładu), wówczas punktem odpowiadającym oczekiwaniu będzie współrzędna „środka ciężkości” linii prostej.

Średnia wartość zmiennej losowej to pewna liczba, która jest niejako jej „reprezentatywna” i zastępuje ją w przybliżonych obliczeniach przybliżonych. Gdy mówimy: „średni czas pracy lampy to 100 godzin” lub „średni punkt uderzenia jest przesunięty względem celu o 2 m w prawo”, wskazujemy tym samym pewną charakterystykę liczbową zmiennej losowej, która opisuje jej położenie na osi numerycznej, tj. opis pozycji.

Z charakterystyki pozycji w teorii prawdopodobieństwa zasadnicza rola mat jest oczekiwaniem zmiennej losowej, którą czasami nazywa się po prostu średnią wartością zmiennej losowej.

Rozważ zmienną losową X, który ma możliwe wartości x1, x2, …, xn z prawdopodobieństwami p1, p2, …, pn. Musimy scharakteryzować jakąś liczbą pozycję wartości zmiennej losowej na osi x z biorąc pod uwagęże te wartości mają różne prawdopodobieństwa. W tym celu naturalne jest wykorzystanie tzw. „średniej ważonej” wartości xi, a każda wartość xi podczas uśredniania powinna być brana pod uwagę z „wagą” proporcjonalną do prawdopodobieństwa tej wartości. W ten sposób obliczymy średnią zmiennej losowej X, co będziemy oznaczać M|X|:

Ta średnia ważona nazywana jest matą oczekiwaną zmiennej losowej. W ten sposób wprowadziliśmy pod uwagę jedno z najważniejszych pojęć rachunku prawdopodobieństwa - pojęcie mat. oczekiwania. Mata. Oczekiwanie zmiennej losowej to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

Mata. oczekiwanie zmiennej losowej X ze względu na swoistą zależność ze średnią arytmetyczną obserwowanych wartości zmiennej losowej przy dużej liczbie eksperymentów. Ta zależność jest tego samego typu, co zależność między częstością a prawdopodobieństwem, a mianowicie: przy dużej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej zbliża się (zbiega w prawdopodobieństwie) do jej maty. Czekanie. Z obecności związku między częstością a prawdopodobieństwem można w konsekwencji wywnioskować istnienie podobnego związku między średnią arytmetyczną a oczekiwaniem matematycznym. Rzeczywiście, rozważ zmienną losową X, charakteryzujący się szeregiem rozkładów:

Niech się wyprodukuje N niezależne eksperymenty, w każdym z których wartość X nabiera określonej wartości. Załóżmy, że wartość x1 pojawiło się m1 razy, wartość x2 pojawiło się m2 czasy, ogólne znaczenie xi pojawił się mi razy. Obliczmy średnią arytmetyczną z obserwowanych wartości X, które w przeciwieństwie do mat oczekiwanych M|X| będziemy oznaczać M*|X|:

Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów N częstotliwości Liczba Pi zbliży się (zbiegnie się pod względem prawdopodobieństwa) do odpowiednich prawdopodobieństw. Dlatego średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej M|X| wraz ze wzrostem liczby eksperymentów zbliży się (prawdopodobnie zbiegnie) do swoich oczekiwań. Sformułowana powyżej relacja między średnią arytmetyczną a matą. oczekiwanie jest treścią jednej z form prawa wielkich liczb.

Wiemy już, że wszystkie formy prawa wielkich liczb stwierdzają, że pewne średnie są stabilne w dużej liczbie eksperymentów. Tutaj mówimy o stabilności średniej arytmetycznej z serii obserwacji o tej samej wartości. Przy niewielkiej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników jest losowa; przy wystarczającym wzroście liczby eksperymentów staje się „prawie nie losowy” i stabilizując się zbliża się do stałej wartości - mat. Czekanie.

Właściwość stabilności średnich dla dużej liczby eksperymentów jest łatwa do zweryfikowania eksperymentalnie. Np. ważenie dowolnego ciała w laboratorium na dokładnej wadze, w wyniku ważenia za każdym razem otrzymujemy nową wartość; aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilkakrotnie i korzystamy ze średniej arytmetycznej uzyskanych wartości. Łatwo zauważyć, że przy dalszym wzroście liczby eksperymentów (ważeń) średnia arytmetyczna w coraz mniejszym stopniu reaguje na ten wzrost, a przy odpowiednio dużej liczbie eksperymentów praktycznie przestaje się zmieniać.

Należy zauważyć, że najważniejszą cechą położenia zmiennej losowej jest mat. oczekiwanie - nie istnieje dla wszystkich zmiennych losowych. Możliwe jest wykonanie przykładów takich zmiennych losowych, dla których mat. nie ma żadnych oczekiwań, ponieważ odpowiednia suma lub całka jest rozbieżna. Jednak w praktyce takie przypadki nie budzą większego zainteresowania. Zazwyczaj zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia, mają ograniczony zakres możliwych wartości i oczywiście mają matowe oczekiwanie.

Poza najważniejszą z cech pozycji zmiennej losowej – wartością oczekiwaną – w praktyce czasami wykorzystywane są inne cechy pozycji, w szczególności tryb i mediana zmiennej losowej.

Mod zmiennej losowej jest jej najbardziej prawdopodobną wartością. Termin „najbardziej prawdopodobna wartość”, ściśle mówiąc, odnosi się tylko do ilości nieciągłych; dla wartość ciągła tryb jest wartością, przy której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Rysunki pokazują tryb odpowiednio dla nieciągłych i ciągłych zmiennych losowych.

Jeśli wielokąt rozkładu (krzywa rozkładu) ma więcej niż jedno maksimum, mówi się, że rozkład jest „polimodalny”.

Czasami zdarzają się dystrybucje, które w środku mają nie maksimum, ale minimum. Takie rozkłady nazywane są „antymodalnymi”.

W ogólnym przypadku tryb i oczekiwanie zmiennej losowej nie pokrywają się. W szczególnym przypadku, gdy rozkład jest symetryczny i modalny (tj. ma modę) i występuje mata. oczekiwania, to pokrywa się z modą i środkiem symetrii rozkładu.

Często wykorzystywana jest inna cecha stanowiska – tzw. mediana zmiennej losowej. Ta cecha jest zwykle używana tylko dla ciągłych zmiennych losowych, chociaż można ją formalnie zdefiniować również dla zmiennej nieciągłej. Geometrycznie mediana jest odciętą punktu, w którym obszar ograniczony krzywą rozkładu jest dzielony na pół.

W przypadku symetrycznego rozkładu modalnego mediana pokrywa się z matą. oczekiwania i moda.

Oczekiwanie matematyczne to wartość średnia, zmienna losowa - numeryczna charakterystyka rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Najogólniej rzecz biorąc, mat oczekiwanie zmiennej losowej X(w) jest zdefiniowana jako całka Lebesgue'a w odniesieniu do miary prawdopodobieństwa R w pierwotnej przestrzeni prawdopodobieństwa:

Mata. oczekiwanie można również obliczyć jako całkę Lebesgue'a z X przez rozkład prawdopodobieństwa px wielkie ilości X:

W naturalny sposób można zdefiniować pojęcie zmiennej losowej o nieskończonym oczekiwaniu. Typowy przykład są czasy repatriacji w niektórych przypadkowych spacerach.

Z pomocą mat. oczekiwania są definiowane przez wiele liczbowych i funkcjonalnych cech rozkładu (jako matematyczne oczekiwanie odpowiednich funkcji zmiennej losowej), na przykład funkcja generująca, funkcja charakterystyczna, momenty dowolnego rzędu, w szczególności wariancja, kowariancja.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Oczekiwanie matematyczne jest cechą lokalizacji wartości zmiennej losowej (średnia wartość jej rozkładu). W tym charakterze oczekiwanie matematyczne pełni rolę pewnego „typowego” parametru rozkładu, a jego rola jest podobna do roli momentu statycznego – współrzędnej środka ciężkości rozkładu masy – w mechanice. Od innych cech lokalizacji, za pomocą których rozkład jest opisany w sposób ogólny - mediany, mody, oczekiwanie różni się większą wartością, jaką ma ona i odpowiadająca jej charakterystyka rozpraszania - wariancja - w twierdzeniach granicznych rachunku prawdopodobieństwa. Z największą kompletnością znaczenie mat oczekiwania ukazuje prawo wielkich liczb (nierówność Czebyszewa) oraz wzmocnione prawo wielkich liczb.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

Niech będzie jakaś zmienna losowa, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład liczba punktów w rzucie może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). Często w praktyce dla takiej wartości pojawia się pytanie: jaką wartość przyjmuje „średnio” przy w dużych ilościach testy? Jaki będzie nasz średni zwrot (lub strata) z każdej z ryzykownych transakcji?

Powiedzmy, że istnieje jakaś loteria. Chcemy zrozumieć, czy opłaca się brać w nim udział (a nawet brać udział wielokrotnie, regularnie). Załóżmy, że wygrywa co czwarty bilet, nagroda wyniesie 300 rubli, a każdy bilet - 100 rubli. Tak się dzieje przy nieskończonej liczbie partycypacji. W trzech czwartych przypadków przegramy, każde trzy straty będą kosztować 300 rubli. W co czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (nagroda minus koszt), czyli za cztery udziały tracimy średnio 100 rubli, za jeden - średnio 25 rubli. W sumie średnia stawka za naszą ruinę wyniesie 25 rubli za bilet.

Rzucamy kostką. Jeśli nie jest to oszustwo (bez przesuwania środka ciężkości itp.), to ile będziemy mieć średnio punktów na raz? Ponieważ każda opcja jest równie prawdopodobna, bierzemy głupią średnią arytmetyczną i otrzymujemy 3,5. Skoro jest to ŚREDNIA, nie ma co się oburzać, że żaden konkretny rzut nie da 3,5 punktu – cóż, ta kostka nie ma twarzy z takim numerem!

Podsumujmy teraz nasze przykłady:

Rzućmy okiem na obrazek tuż powyżej. Po lewej stronie znajduje się tabela rozkładu zmiennej losowej. Wartość X może przyjąć jedną z n możliwych wartości (podaną w górnym wierszu). Nie może być innych wartości. Pod każdą możliwą wartością podpisane jest jej prawdopodobieństwo. Po prawej stronie znajduje się wzór, w którym M(X) nazywa się mat. Czekanie. Znaczenie tej wartości jest takie, że przy dużej liczbie prób (na dużej próbie) średnia wartość będzie skłaniać się do tego samego oczekiwania.

Wróćmy do tej samej kostki do gry. Mata. oczekiwana liczba punktów podczas rzucania wynosi 3,5 (oblicz się za pomocą wzoru, jeśli w to nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś nim kilka razy. Wypadły 4 i 6. Średnio wyszło 5, czyli daleko od 3,5. Rzucili to ponownie, wypadły 3, czyli średnio (4+6+3)/3=4.3333... Jakoś daleko od maty. oczekiwania. Teraz zrób szalony eksperyment - rzuć kostką 1000 razy! A jeśli średnia nie wynosi dokładnie 3,5, to będzie blisko tego.

Policzmy mat. czekam na wyżej opisaną loterię. Tabela będzie wyglądać tak:

Wtedy oczekiwany mat będzie, jak ustaliliśmy powyżej:

Inna sprawa, że ​​jest też „na palcach”, bez formuły byłoby trudno, gdyby było więcej opcji. Powiedzmy, że 75% przegranych biletów, 20% wygranych biletów i 5% wygranych biletów.

Teraz kilka właściwości maty oczekiwania.

Mata. oczekiwanie jest liniowe.Łatwo to udowodnić:

Ze znaku mata można wyjąć stały mnożnik. oczekiwania, czyli:

Jest to szczególny przypadek właściwości liniowości mat oczekujących.

Kolejna konsekwencja liniowości maty. oczekiwania:

to jest matowe. oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań zmiennych losowych.

Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, następnie:

Jest to również łatwe do udowodnienia) XY sama w sobie jest zmienną losową, natomiast jeśli początkowe wartości mogłyby przyjąć n oraz m wartości, to odpowiednio XY może przyjmować wartości nm. każda z wartości wyliczana jest na podstawie mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych. W rezultacie otrzymujemy to:

Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

Ciągłe zmienne losowe mają taką charakterystykę jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). W rzeczywistości charakteryzuje to sytuację, w której zmienna losowa częściej przyjmuje pewne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych, a niektóre - rzadziej. Rozważmy na przykład ten wykres:

Tutaj X- właściwie zmienna losowa, f(x)- gęstość dystrybucji. Sądząc po tym wykresie, podczas eksperymentów wartość X często będzie liczbą bliską zeru. szanse na przekroczenie 3 lub być mniej -3 raczej czysto teoretyczne.

Jeśli gęstość rozkładu jest znana, wówczas matę oczekiwaną przeszukuje się w następujący sposób:

Niech na przykład będzie rozkład równomierny:

Znajdźmy matę. oczekiwanie:

Jest to całkiem zgodne z intuicyjnym zrozumieniem. Powiedzmy, że jeśli otrzymamy wiele losowych liczb rzeczywistych o rozkładzie jednostajnym, każdy z segmentów |0; 1| , to średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.

Mają tu zastosowanie również właściwości mat oczekiwań - liniowość itp., mające zastosowanie do dyskretnych zmiennych losowych.

Związek oczekiwań matematycznych z innymi wskaźnikami statystycznymi

W statystyczny Analiza, wraz z oczekiwaniem mat, istnieje system współzależnych wskaźników, które odzwierciedlają jednorodność zjawisk i stabilność procesy. Często wskaźniki zmienności nie mają niezależnego znaczenia i są wykorzystywane do dalszej analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność dane co jest cenne statystyczny Charakterystyka.

Stopień zmienności lub stabilności procesy w naukach statystycznych można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.

Najważniejszy wskaźnik charakteryzujący zmienność zmienna losowa, to Dyspersja, który jest najściślej i bezpośrednio związany z matą. Czekanie. Ten parametr jest aktywnie używany w innych typach Analiza statystyczna(testowanie hipotez, analiza związków przyczynowo-skutkowych itp.). Podobnie jak średnie odchylenie liniowe, wariancja odzwierciedla również miarę rozrzutu dane wokół średniej.

Przydatne jest przetłumaczenie języka migowego na język słów. Okazuje się, że wariancja to średni kwadrat odchyleń. Oznacza to, że najpierw obliczana jest średnia wartość, a następnie bierze się różnicę między każdą pierwotną i średnią wartością, podnosi do kwadratu, dodaje, a następnie dzieli przez liczbę wartości w tej populacji. Różnica między pojedynczą wartością a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Jest do kwadratu tak, że wszystkie odchylenia stają się wyłącznie liczby dodatnie oraz unikanie wzajemnego znoszenia odchyleń dodatnich i ujemnych przy ich sumowaniu. Następnie, biorąc pod uwagę kwadrat odchylenia, po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia – do kwadratu – odchylenia. Odchylenia są podnoszone do kwadratu i uwzględniana jest średnia. Odpowiedź na magiczne słowo „rozproszenie” to tylko trzy słowa.

Jednak w czystej postaci, takiej jak na przykład średnia arytmetyczna lub , nie stosuje się dyspersji. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, wykorzystywany do innych rodzajów analiz statystycznych. Nie ma nawet normalnej jednostki miary. Sądząc ze wzoru, jest to kwadrat oryginalnej jednostki danych.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Zmierzmy zmienną losową N razy, na przykład, mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć wartość średnią. Jak ma się wartość średnia do funkcji rozkładu?

Czy rzucimy? kostka do gry wiele razy. Liczba punktów, które wypadną na kostkę podczas każdego rzutu jest zmienną losową i może przyjmować dowolne wartości naturalne od 1 do 6. N ma tendencję do bardzo określonej liczby - mat. oczekiwanie Mx. W tym przypadku Mx = 3,5.

Jak powstała ta wartość? Wpuść N próby n1 raz spadła o 1 punkt, n2 razy - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, na które spadł jeden punkt:

Podobnie dla wyników, gdy wypadły 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.

Załóżmy teraz, że znamy rozkłady zmiennej losowej x, czyli wiemy, że zmienna losowa x może przyjmować wartości x1, x2,..., xk z prawdopodobieństwami p1, p2,... , pk.

Oczekiwanie maty Mx od zmiennej losowej x wynosi:

Oczekiwania matematyczne nie zawsze są rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Tak więc do oszacowania przeciętnego wynagrodzenia rozsądniej jest użyć pojęcia mediany, czyli takiej wartości, aby liczba osób otrzymujących mniej niż mediana pensja i duży, mecz.

Prawdopodobieństwo p1 że zmienna losowa x jest mniejsza niż x1/2 i prawdopodobieństwo p2 że zmienna losowa x jest większa niż x1/2 są takie same i równe 1/2. Mediana nie jest jednoznacznie określona dla wszystkich rozkładów.

Odchylenie standardowe lub standardowe w statystyce nazywa się stopień odchylenia danych lub zbiorów obserwacyjnych od wartości ŚREDNIA. Oznaczone literami s lub s. Małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane są zgrupowane wokół średniej, a duże odchylenie standardowe wskazuje, że dane początkowe są od niej dalekie. Odchylenie standardowe wynosi pierwiastek kwadratowy ilość zwana dyspersją. Jest to średnia sumy kwadratów różnic danych początkowych odbiegających od średniej. Odchylenie standardowe zmiennej losowej to pierwiastek kwadratowy z wariancji:

Przykład. W warunkach testowych podczas strzelania do celu obliczyć wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej:

Zmiana- fluktuacja, zmienność wartości atrybutu w jednostkach populacji. Oddzielny wartości liczbowe cechy występujące w badanej populacji nazywane są opcjami wartości. Niewystarczalność średniej wartości dla pełna charakterystyka agregat każe uzupełniać wartości średnie o wskaźniki, które pozwalają ocenić typowość tych średnich poprzez pomiar fluktuacji (zmienności) badanej cechy. Współczynnik zmienności oblicza się według wzoru:

Zmienność rozpiętości(R) to różnica między maksymalnymi i minimalnymi wartościami cechy w badanej populacji. Ten wskaźnik daje najwięcej główny pomysł o zmienności badanej cechy, jak to widać różnica tylko między wartościami granicznymi wariantów. Zależność od skrajnych wartości atrybutu nadaje zakresowi zmienności niestabilny, losowy charakter.

Średnie odchylenie liniowe jest średnią arytmetyczną bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich wartości średniej:

Oczekiwania matematyczne w teorii hazardu

Mata czekaśrednia kwota pieniędzy, jaką spekulant hazardowy może wygrać lub stracić na danym zakładzie. To bardzo istotna koncepcja dla spekulanta, ponieważ ma fundamentalne znaczenie dla oceny większości sytuacji w grach. Oczekiwanie na partnera jest również najlepszym narzędziem do analizy podstawowych układów kart i sytuacji w grze.

Załóżmy, że grasz na monety ze znajomym, za każdym razem stawiając równy 1 $, bez względu na to, co się wydarzy. Reszki - wygrałeś, orły - przegrałeś. Szanse na to, że wypadnie resztek są jeden do jednego, a Ty obstawiasz 1 do 1 USD. Tak więc twoje oczekiwanie na mat jest zerowe, ponieważ z matematycznego punktu widzenia nie możesz wiedzieć, czy po dwóch rzutach czy po 200 będziesz prowadzić, czy przegrać.

Twój zysk godzinowy wynosi zero. Wypłata godzinowa to kwota, którą spodziewasz się wygrać w ciągu godziny. Możesz rzucić monetą 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz ani nie przegrasz, ponieważ twoje szanse nie są ani dodatnie, ani ujemne. Jeśli spojrzeć z punktu widzenia poważnego spekulanta, taki system stawek nie jest zły. Ale to tylko strata czasu.

Ale załóżmy, że ktoś chce postawić 2 $ przeciwko Twojemu 1 $ w tej samej grze. Wtedy natychmiast oczekujesz 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centy? Średnio wygrywasz jeden zakład i przegrywasz drugi. Postaw pierwszy i przegraj 1 $, postaw drugi i wygraj 2 $. Dwukrotnie stawiasz 1 $ i masz przewagę 1 $. Więc każdy z twoich jednodolarowych zakładów dawał ci 50 centy.

Jeśli moneta spadnie 500 razy w ciągu godziny, godzinowy zysk wyniesie już 250 dolarów, ponieważ. średnio jednego zgubiłeś dolar 250 razy i wygrał dwa dolar 250 razy. 500 $ minus 250 $ daje 250 $, czyli całkowitą wygraną. Pamiętaj, że oczekiwana wartość, czyli średnia wygrana w pojedynczym zakładzie, to 50 centów. Wygrałeś 250 dolarów, obstawiając 500 razy dolara, co równa się 50 centom twojego zakładu.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Mata. oczekiwania nie mają nic wspólnego z wynikami krótkoterminowymi. Twój przeciwnik, który zdecydował się postawić 2 dolary przeciwko tobie, mógł cię pokonać w pierwszych dziesięciu rzutach z rzędu, ale ty, mając przewagę w obstawianiu 2 do 1, przy wszystkich innych zasadach, zarabiasz 50 centów na każdym zakładzie 1 dolara w dowolnym okoliczności. Nie ma znaczenia, czy wygrasz, czy przegrasz jeden zakład, czy kilka, ale tylko pod warunkiem, że masz wystarczająco dużo gotówki, aby łatwo zrekompensować koszty. Jeśli nadal będziesz obstawiać w ten sam sposób, to przez długi czas Twoje wygrane zbliżą się do sumy oczekiwanych wartości w poszczególnych rzutach.

Za każdym razem, gdy robisz najlepszy zakład (zakład, który może być opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse są na twoją korzyść, na pewno coś na tym wygrasz, niezależnie od tego, czy przegrasz, czy nie w danym rozdaniu. I odwrotnie, jeśli postawiłeś gorszy zakład (zakład, który jest nieopłacalny na dłuższą metę), gdy szanse nie są na twoją korzyść, tracisz coś, niezależnie od tego, czy wygrasz, czy przegrasz rozdanie.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Obstawiasz z najlepszym wynikiem, jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, a pozytywne, jeśli szanse są na Twoją korzyść. Obstawiając najgorszy wynik, masz negatywne oczekiwania, co ma miejsce, gdy szanse są przeciwko tobie. Poważni spekulanci obstawiają tylko z najlepszym wynikiem, z najgorszym - pasują. Co oznaczają szanse na Twoją korzyść? Możesz wygrać więcej, niż przynoszą rzeczywiste kursy. Prawdziwe szanse na trafienie w reszkę wynoszą 1 do 1, ale otrzymujesz 2 do 1 ze względu na stosunek zakładów. W tym przypadku szanse są na Twoją korzyść. Zdecydowanie uzyskujesz najlepszy wynik z pozytywnym oczekiwaniem 50 centów za zakład.

Oto więcej złożony przykład mata. oczekiwania. Znajomy zapisuje liczby od jednego do pięciu i stawia 5 $ przeciwko Twojemu 1 $, że nie wybierzesz numeru. Czy zgadzasz się na taki zakład? Jakie są tutaj oczekiwania?

Mylisz się średnio cztery razy. Na tej podstawie szanse na odgadnięcie liczby wynoszą 4 do 1. Szanse są takie, że za jednym razem stracisz dolara. Jednak wygrywasz 5 do 1, z możliwością przegranej 4 do 1. Dlatego szanse są na twoją korzyść, możesz wziąć zakład i mieć nadzieję na najlepszy wynik. Jeśli postawisz ten zakład pięć razy, średnio przegrasz cztery razy 1 $ i raz wygrasz 5 $. Na tej podstawie za wszystkie pięć prób zarobisz 1 USD z pozytywnym matematycznym oczekiwaniem wynoszącym 20 centów za zakład.

Spekulant, który wygra więcej niż postawi, jak w powyższym przykładzie, łapie szanse. I odwrotnie, rujnuje szanse, gdy spodziewa się, że wygra mniej niż stawia. Spekulant zakładów może mieć pozytywne lub negatywne oczekiwania w zależności od tego, czy wygrywa, czy rujnuje szanse.

Jeśli postawisz 50 $, aby wygrać 10 $ z szansą na wygraną 4 do 1, otrzymasz ujemne oczekiwanie 2 $, ponieważ średnio wygrasz cztery razy 10 $ i raz stracisz 50 $, co pokazuje, że strata na zakład wyniesie 10 $. Ale jeśli postawisz 30 $, aby wygrać 10 $, z takim samym prawdopodobieństwem wygranej 4 do 1, to w tym przypadku spodziewasz się 2 $, ponieważ ponownie wygrywasz cztery razy 10 USD i raz tracisz 30 USD, co oznacza zysk za 10 dolarów. Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a drugi dobry.

Mata. oczekiwanie jest centrum każdego sytuacja w grze. Kiedy bukmacher zachęca fanów piłki nożnej do obstawiania 11 USD, aby wygrać 10 USD, spodziewają się 50 centów za każde 10 USD. Jeśli kasyno wypłaca równe pieniądze z linii przepustki do gry w kości, wówczas pozytywne oczekiwania kasyna wynoszą około 1,40 dolara na każde 100 dolarów; ta gra jest skonstruowana tak, że każdy, kto postawi na tę linię, traci średnio 50,7% i wygrywa 49,3% czasu. Niewątpliwie to właśnie to pozornie minimalne pozytywne oczekiwanie przynosi ogromne zyski właścicielom kasyn na całym świecie. Jak zauważył właściciel kasyna Vegas World, Bob Stupak: „Jedna tysięczna procent ujemne prawdopodobieństwo na dostatecznie dużej odległości doprowadzi do bankructwa najbogatszego człowieka na świecie.

Oczekiwania matematyczne podczas gry w pokera

Gra w pokera jest najbardziej obrazowym i ilustracyjnym przykładem wykorzystania teorii i właściwości maty do czekania.

Mata. Oczekiwana wartość w pokera - średnia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii dużych liczb i dalekiego dystansu. Udany poker polega na tym, że zawsze akceptujesz ruchy z pozytywnymi oczekiwaniami matematycznymi.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Znaczenie matematyczne. oczekiwanie podczas gry w pokera polega na tym, że przy podejmowaniu decyzji często napotykamy zmienne losowe (nie wiemy, jakie karty ma na ręce przeciwnik, jakie karty padną w kolejnych rundach handel). Każde z rozwiązań musimy rozpatrywać z punktu widzenia teorii wielkich liczb, która mówi, że przy odpowiednio dużej próbie średnia wartość zmiennej losowej będzie dążyć do jej średniej.

Wśród konkretnych wzorów obliczania mat oczekiwań, w pokerze najbardziej stosuje się następujące:

Podczas gry w pokera mata. oczekiwanie można obliczyć zarówno dla zakładów, jak i połączeń. W pierwszym przypadku należy brać pod uwagę fold equity, w drugim własne oddsy puli. Przy ocenie mat. oczekiwanie na ten lub inny ruch, należy pamiętać, że fold zawsze ma zerowe oczekiwanie. Tak więc odrzucanie kart zawsze będzie bardziej opłacalną decyzją niż jakikolwiek negatywny ruch.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Oczekiwanie mówi Ci, czego możesz się spodziewać (lub stracić) przy każdym podejmowanym ryzyku. Kasyna zarabiają pieniądze ponieważ oczekiwanie mata od wszystkich gier, które są w nich praktykowane, jest na korzyść kasyna. Przy odpowiednio długiej serii gier można się spodziewać, że klient straci swoje pieniądze ponieważ „prawdopodobieństwo” jest na korzyść kasyna. Jednak profesjonalni spekulanci kasynowi ograniczają swoje gry do krótkich okresów czasu, zwiększając w ten sposób szanse na swoją korzyść. To samo dotyczy inwestowania. Jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie. Kropka czas. Oczekiwanie to procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.

Pokera można również oglądać w kategoriach mata. Możesz założyć, że dany ruch jest opłacalny, ale w niektórych przypadkach może nie być najlepszy, ponieważ inny ruch jest bardziej opłacalny. Powiedzmy, że trafiłeś fula w pokerze dobieranym pięciokartowym. Twój przeciwnik stawia. Wiesz, że jeśli podniesiesz stawkę, zadzwoni. Tak więc podbijanie wygląda na najlepszą taktykę. Ale jeśli podbijesz zakład, pozostali dwaj spekulanci na pewno spasują. Ale jeśli sprawdzisz zakład, będziesz całkowicie pewien, że pozostali dwaj spekulanci po tobie zrobią to samo. Kiedy podbijasz zakład, dostajesz jedną jednostkę, a po prostu sprawdzając - dwie. Tak więc sprawdzenie daje wyższą dodatnią wartość oczekiwaną i jest najlepszą taktyką.

Mata. czekanie może też dać wyobrażenie o tym, które taktyki pokerowe są mniej opłacalne, a które bardziej opłacalne. Na przykład, jeśli rozgrywasz konkretną rękę i uważasz, że Twoja średnia strata wynosi 75 centów, wliczając ante, powinieneś zagrać tę rękę, ponieważ jest to lepsze niż spasowanie, gdy ante wynosi 1$.

Kolejny ważny powód do zrozumienia istoty maty. oczekiwanie jest takie, że daje to poczucie spokoju, niezależnie od tego, czy wygrałeś zakład, czy nie: jeśli zrobiłeś dobry zakład lub spasowałeś na czas, będziesz wiedział, że zarobiłeś lub zaoszczędziłeś pewną ilość pieniędzy, którą słabszy spekulant mógłby Nie chroniony. Dużo trudniej jest spasować, jeśli jesteś sfrustrowany, że twój przeciwnik ma lepszą rękę na dobieraniu. Dzięki temu to, co zaoszczędzisz, nie grając, zamiast obstawiać, jest dodawane do Twoich wygranych za noc lub miesiąc.

Pamiętaj tylko, że jeśli zmienisz ręce, przeciwnik cię sprawdzi, a jak zobaczysz w artykule Fundamental Theorem of Poker, jest to tylko jedna z twoich zalet. Powinieneś się radować, kiedy to się dzieje. Możesz nawet nauczyć się cieszyć przegraną ręką, bo wiesz, że inni spekulanci na twoim miejscu straciliby znacznie więcej.

Jak wspomniano w przykładzie gry na monety na początku, godzinowy stosunek zysku jest powiązany z oczekiwaniem na matę, a ta koncepcja szczególnie ważne dla zawodowych spekulantów. Kiedy zamierzasz grać w pokera, musisz w myślach oszacować, ile możesz wygrać w ciągu godziny gry. W większości przypadków będziesz musiał polegać na swojej intuicji i doświadczeniu, ale możesz też skorzystać z obliczeń matematycznych. Na przykład, jeśli grasz w draw lowball i widzisz, że trzech graczy stawia 10 $, a następnie dobiera dwie karty, co jest bardzo złą taktyką, możesz sam obliczyć, że za każdym razem, gdy stawiają 10 $, tracą około 2 $. Każdy z nich robi to osiem razy na godzinę, co oznacza, że ​​wszyscy trzej tracą około 48 dolarów na godzinę. Jesteś jednym z pozostałych czterech spekulantów, którzy są mniej więcej równi, więc ci czterej spekulanci (i ty wśród nich) muszą podzielić się 48 dolarami, a każdy zarobi 12 dolarów na godzinę. Twoja stawka godzinowa w tym przypadku to po prostu Twój udział w kwocie pieniędzy straconej przez trzech złych spekulantów w ciągu godziny.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Przez długi czas całkowity zysk spekulanta jest sumą jego matematycznych oczekiwań w oddzielnych rozkładach. Im więcej grasz z oczekiwaniem pozytywnym, tym więcej wygrywasz i odwrotnie, im więcej rąk rozgrywasz z oczekiwaniem negatywnym, tym więcej tracisz. W rezultacie powinieneś nadać priorytet grze, która może zmaksymalizować twoje pozytywne oczekiwania lub zanegować twoje negatywne, abyś mógł zmaksymalizować zysk godzinowy.

Pozytywne oczekiwania matematyczne w strategii gry

Jeśli wiesz, jak liczyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, jeśli nie zauważą i nie wyrzucą cię. Kasyna uwielbiają pijanych spekulantów i nienawidzą liczników kart. Przewaga pozwoli Ci wygrać więcej razy, niż z czasem stracić. dobre zarządzanie kapitał przy obliczaniu maty oczekującej może pomóc Ci wydobyć większy zysk ze swojej przewagi i zmniejszyć straty. Bez przewagi lepiej oddasz pieniądze na cele charytatywne. W grze na giełdzie przewagę daje system gry, który generuje więcej zysku niż straty, różnica ceny i prowizje. Żaden zarządzanie kapitałem nie uratuje złego systemu gier.

Pozytywne oczekiwanie jest definiowane przez wartość większą od zera. Im większa ta liczba, tym silniejsze oczekiwania statystyczne. Jeśli wartość jest mniejsza od zera, to oczekiwanie będzie również negatywne. Im większy moduł o wartości ujemnej, tym gorsza sytuacja. Jeśli wynik jest zerowy, oczekiwanie jest opłacalne. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne, rozsądny system gry. Gra na intuicji prowadzi do katastrofy.

Matematyczne oczekiwanie i

Oczekiwania matematyczne są dość powszechnie poszukiwanym i popularnym wskaźnikiem statystycznym we wdrażaniu obrotu giełdowego na rynkach finansowych. rynki. Przede wszystkim ten parametr służy do analizy sukcesu handel. Nietrudno zgadnąć, że im większa jest ta wartość, tym więcej powodów do uznania badanej transakcji za udaną. Oczywiście analiza praca tradera nie da się zrobić tylko za pomocą tego parametru. Jednak obliczona wartość w połączeniu z innymi metodami oceny jakości praca, może znacznie poprawić dokładność analizy.

Oczekiwania dotyczące maty są często obliczane w usługach monitorowania kont handlowych, co pozwala szybko ocenić pracę wykonaną przy wpłacie. Jako wyjątki możemy przytoczyć strategie, które wykorzystują „przedłużanie” przegranych transakcji. Handlowiec szczęście może mu towarzyszyć przez jakiś czas i dlatego w jego pracy może nie być żadnych strat. W takim przypadku nie będzie można nawigować wyłącznie według oczekiwań, ponieważ ryzyko użyte w pracy nie będzie brane pod uwagę.

W handlu na rynek mat oczekiwanie jest najczęściej używane przy przewidywaniu rentowności strategii handlowej lub przy prognozowaniu dochodu handlowiec na podstawie statystyk jego poprzednich licytacja.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

W odniesieniu do zarządzania pieniędzmi bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że podczas dokonywania transakcji z negatywnymi oczekiwaniami nie ma schematu kierownictwo pieniądze, które z pewnością mogą przynieść wysokie zyski. Jeśli będziesz kontynuować grę Giełda Papierów Wartościowych w tych warunkach, niezależnie od metody kierownictwo pieniądze, stracisz całe konto, bez względu na to, jak duże było na początku.

Ten aksjomat jest prawdziwy nie tylko w przypadku gier lub transakcji z negatywnymi oczekiwaniem, ale także w przypadku gier o równych szansach. Dlatego jedynym przypadkiem, w którym masz szansę na długofalowe korzyści, jest zawieranie transakcji z pozytywnym matematycznym oczekiwaniem.

Różnica między oczekiwaniem negatywnym a oczekiwaniem pozytywnym to różnica między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub negatywne są oczekiwania; liczy się to, czy jest pozytywny, czy negatywny. Dlatego przed rozważeniem kwestii zarządzania stolica musisz znaleźć grę z pozytywnymi oczekiwaniami.

Jeśli nie masz tej gry, żadne zarządzanie pieniędzmi na świecie nie uratuje cię. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwania, możesz, poprzez odpowiednie zarządzanie pieniędzmi, przekształcić je w wykładniczą funkcję wzrostu. Nie ma znaczenia, jak małe są pozytywne oczekiwania! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system transakcyjny oparty na jednym kontrakcie. Jeśli masz system, który wygrywa 10 USD za kontrakt w pojedynczej transakcji (po prowizjach i poślizgu), można zastosować techniki zarządzania stolica w taki sposób, aby był bardziej opłacalny niż system, który pokazuje średni zysk w wysokości 1000 USD na transakcję (po opłatach i poślizgu).

Liczy się nie to, jak opłacalny był system, ale na ile można powiedzieć, że w przyszłości system wykaże przynajmniej minimalny zysk. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, jakie można poczynić, jest upewnienie się, że system w przyszłości wykaże dodatnią wartość oczekiwaną.

Aby w przyszłości mieć dodatnią wartość oczekiwaną, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody swojego systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez eliminację lub redukcję liczby parametrów do optymalizacji, ale także poprzez zredukowanie jak największej liczby reguł systemowych. Każdy dodany parametr, każda wprowadzona reguła, każda drobna zmiana w systemie zmniejsza liczbę stopni swobody. Najlepiej, jeśli chcesz zbudować dość prymitywny i prosty system, który będzie stale przynosić niewielki zysk na prawie każdym rynku. Ponownie, ważne jest, aby zrozumieć, że nie ma znaczenia, jak dochodowy jest system, o ile jest opłacalny. że zarabiasz na handlu zostanie zarobiony przez Efektywne zarządzanie pieniądze.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

System transakcyjny to po prostu narzędzie, które daje pozytywne oczekiwania matematyczne, dzięki czemu można wykorzystać zarządzanie pieniędzmi. Systemy, które działają (wykazują przynajmniej minimalny zysk) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będą działać długo w czasie rzeczywistym. Problem z większością traderów technicznych polega na tym, że poświęcają zbyt dużo czasu i wysiłku na optymalizację różnych zasad i parametrów systemu transakcyjnego. Daje to zupełnie odwrotne rezultaty. Zamiast marnować energię i czas komputera na zwiększanie zysków systemu transakcyjnego, skieruj swoją energię na zwiększenie poziomu niezawodności uzyskiwania minimalnego zysku.

Wiedząc to zarządzanie kapitałem- to tylko gra liczbowa, która wymaga wykorzystania pozytywnych oczekiwań, trader może przestać szukać „świętego Graala” handlu na giełdzie. Zamiast tego może zacząć testować swoją metodę handlową, dowiedzieć się, jak logicznie jest ta metoda, czy daje pozytywne oczekiwania. Właściwe metody zarządzania pieniędzmi zastosowane do dowolnych, nawet bardzo przeciętnych metod handlowych, wykonają resztę pracy.

Aby każdy trader odniósł sukces w swojej pracy, musi rozwiązać trzy najważniejsze zadania: Aby upewnić się, że liczba udanych transakcji przekracza nieuniknione błędy i błędne obliczenia; Skonfiguruj swój system transakcyjny tak, aby możliwość zarabiania pieniędzy była jak najczęściej; Osiągnij stabilny pozytywny wynik swoich działań.

I tutaj, dla nas, pracujących traderów, bardzo pomocny może być mat. oczekiwanie. Ten termin w teorii prawdopodobieństwa jest jednym z kluczowych. Dzięki niemu możesz podać średnie oszacowanie jakiejś losowej wartości. Oczekiwania matematyczne względem zmiennej losowej są podobne do środka ciężkości, jeśli wyobrazimy sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa jako punkty o różnych masach.

W odniesieniu do strategii handlowej, do oceny jej skuteczności, najczęściej używane jest oczekiwanie zysku (lub straty). Parametr ten definiowany jest jako suma iloczynów danych poziomów zysków i strat oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Przykładowo opracowana strategia handlowa zakłada, że ​​37% wszystkich operacji przyniesie zysk, a reszta – 63% – będzie nieopłacalna. Jednocześnie średnia dochód od udanej transakcji wyniesie 7 zł, a średnia strata wyniesie 1,4 zł. Obliczmy matę. oczekiwanie handlu na takim systemie:

Co oznacza ta liczba? Mówi, że zgodnie z zasadami tego systemu, z każdej zamkniętej transakcji otrzymamy średnio 1,708 dolarów. Ponieważ wynikowa ocena wydajności jest większa od zera, taki system można wykorzystać do rzeczywistej pracy. Jeśli w wyniku obliczenia maty oczekiwanie okaże się ujemne, oznacza to już średnią stratę, a to doprowadzi do ruiny.

Kwota zysku na transakcję może być również wyrażona jako wartość względna w postaci %. Na przykład:

Procent dochodu na 1 transakcję - 5%;

Odsetek udanych operacji handlowych - 62%;

Procent straty na 1 transakcję - 3%;

Odsetek transakcji nieudanych - 38%;

W tym przypadku mat. oczekiwaniem będzie:

Oznacza to, że średnia transakcja przyniesie 1,96%.

Możliwe jest opracowanie systemu, który pomimo przewagi przegranych transakcji da wynik pozytywny, gdyż MO>0.

Jednak samo czekanie nie wystarczy. Trudno jest zarabiać, jeśli system daje bardzo mało sygnałów transakcyjnych. W tym przypadku będzie to porównywalne z odsetkami bankowymi. Niech każda operacja przyniesie średnio tylko 0,5 dolara, ale co jeśli system zakłada 1000 transakcji rocznie? Będzie to bardzo poważna kwota w stosunkowo krótkim czasie. Wynika z tego logicznie, że inny piętno Dobry system handlowy można uznać za krótki okres utrzymywania.

Źródła i linki

dic.academic.ru - akademicki słownik online

Matematyka.ru - strona edukacyjna o matematyce

nsu.ru - edukacyjna strona Nowosybirskiego Uniwersytetu Państwowego

webmath.com - portal edukacyjny dla studentów, kandydatów i uczniów.

exponenta.ru edukacyjna strona matematyczna

ru.tradimo.com - bezpłatna szkoła handlu online

crypto.hut2.ru - multidyscyplinarny zasób informacji

poker-wiki.ru - darmowa encyklopedia pokera

sernam.pl - Biblioteka Naukowa wybrane publikacje przyrodnicze

reshim.su - strona internetowa

unfx.ru - Forex w UNFX: szkolenia, sygnały transakcyjne, zarządzanie zaufaniem

- - oczekiwanie matematyczne Jedna z liczbowych cech zmiennej losowej, często nazywana jej średnią teoretyczną. Dla dyskretnej zmiennej losowej X, matematycznej ... ... Podręcznik tłumacza technicznego

WARTOŚĆ OCZEKIWANA- (wartość oczekiwana) Średnia wartość rozkładu zmiennej ekonomicznej, jaką może przyjąć. Jeżeli pt jest ceną dobra w czasie t, to jego matematyczne oczekiwanie oznacza Ept. Aby wskazać punkt w czasie, do którego ... ... Słownik ekonomiczny

Wartość oczekiwana- średnia wartość zmiennej losowej. Oczekiwanie matematyczne jest wielkością deterministyczną. Średnia wartość arytmetyczna realizacji zmiennej losowej jest oszacowaniem matematycznego oczekiwania. Przeciętny… … Oficjalna terminologia to (wartość średnia) zmiennej losowej, numeryczna charakterystyka zmiennej losowej. Jeśli zmienna losowa podana na przestrzeni prawdopodobieństwa (patrz teoria prawdopodobieństwa), to jej M. o. MX (lub EX) definiuje się jako całkę Lebesgue'a: gdzie... Encyklopedia fizyczna

WARTOŚĆ OCZEKIWANA- jego cechą liczbową jest zmienna losowa. Jeśli zmienna losowa X ma dystrybuantę F(x), to jej M. o. Wola: . Jeżeli rozkład X jest dyskretny, to М.о.: , gdzie x1, x2, ... są możliwymi wartościami dyskretnej zmiennej losowej X; p1 ... Encyklopedia geologiczna

WARTOŚĆ OCZEKIWANA- Język angielski. wartość oczekiwana; Niemiecki Erwartung Mathematische. Stochastyczna średnia lub środek rozproszenia zmiennej losowej. Antynazi. Encyklopedia Socjologii, 2009 ... Encyklopedia Socjologii

Wartość oczekiwana- Zobacz też: Oczekiwanie warunkowe Oczekiwanie matematyczne jest średnią wartością zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest uwzględniany w teorii prawdopodobieństwa. W literaturze angielskiej i matematycznej ... ... Wikipedia

Wartość oczekiwana- 1,14 Matematyczne oczekiwanie E (X) gdzie xi wartości dyskretnej zmiennej losowej; p = P (X = xi); f(x) jest gęstością ciągłej zmiennej losowej * Jeśli to wyrażenie istnieje w sensie bezwzględnej zbieżności Źródło ... Słownik-odnośnik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej

Książki

Używamy plików cookie, aby jak najlepiej prezentować naszą stronę. Kontynuując korzystanie z tej strony, zgadzasz się z tym. OK

Charakterystyka DSW i ich właściwości. Oczekiwanie matematyczne, wariancja, odchylenie standardowe

Prawo rozkładu w pełni charakteryzuje zmienną losową. Gdy jednak nie da się znaleźć prawa rozkładu lub nie jest to wymagane, można ograniczyć się do znalezienia wartości, zwanych liczbowymi charakterystykami zmiennej losowej. Wielkości te określają pewną wartość średnią, wokół której grupowane są wartości zmiennej losowej oraz stopień ich rozproszenia wokół tej wartości średniej.

matematyczne oczekiwanie Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i ich prawdopodobieństw.

Oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny absolutnie.

Z punktu widzenia prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej.

Przykład. Znane jest prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź matematyczne oczekiwanie.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Decyzja:

9.2 Oczekiwane właściwości

1. Matematyczne oczekiwanie stałej wartości jest równe samej stałej.

2. Ze znaku oczekiwania można wyciągnąć stały czynnik.

3. Matematyczne oczekiwanie iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.

Ta właściwość obowiązuje dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych terminów.

Ta właściwość jest również prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

Niech zostanie wykonanych n niezależnych prób, przy czym prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest równe p.

Twierdzenie. Matematyczne oczekiwanie M(X) liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w każdej próbie.

Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, jeśli matematyczne oczekiwania X i Y są znane: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Decyzja:

9.3 Dyspersja dyskretnej zmiennej losowej

Jednak matematyczne oczekiwanie nie może w pełni scharakteryzować procesu losowego. Poza oczekiwaniem matematycznym konieczne jest wprowadzenie wartości charakteryzującej odchylenie wartości zmiennej losowej od oczekiwania matematycznego.

Odchylenie to jest równe różnicy między zmienną losową a jej oczekiwaniem matematycznym. W tym przypadku matematyczne oczekiwanie odchylenia wynosi zero. Wyjaśnia to fakt, że niektóre możliwe odchylenia są dodatnie, inne ujemne, aw wyniku ich wzajemnego anulowania uzyskuje się zero.

Dyspersja (rozproszenie) Dyskretna zmienna losowa nazywana jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania.

W praktyce ta metoda obliczania wariancji jest niewygodna, ponieważ prowadzi do uciążliwych obliczeń dla dużej liczby wartości zmiennej losowej.

Dlatego stosowana jest inna metoda.

Twierdzenie. Wariancja jest równa różnicy między oczekiwaniem matematycznym kwadratu zmiennej losowej X a kwadratem jej oczekiwań matematycznych.

Dowód. Biorąc pod uwagę fakt, że oczekiwanie matematyczne M (X) i kwadrat oczekiwanego matematycznego M 2 (X) są wartościami stałymi, możemy napisać:

Przykład. Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej określonej przez prawo rozkładu.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Decyzja: .

9.4 Właściwości dyspersji

1. Rozrzut stałej wartości wynosi zero. .

2. Stały czynnik można usunąć ze znaku dyspersji przez podniesienie go do kwadratu. .

3. Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .

4. Wariancja różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .

Twierdzenie. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w każdej z których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia p jest stałe, jest równe iloczynowi liczby prób oraz prawdopodobieństw wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia w każdej próbie.

9.5 Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej

Odchylenie standardowe zmienna losowa X nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Twierdzenie. Odchylenie standardowe sumy skończonej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów odchyleń standardowych tych zmiennych.

Zadanie 1. Prawdopodobieństwo kiełkowania nasion pszenicy wynosi 0,9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z czterech wysianych nasion co najmniej trzy wykiełkują?

Decyzja. Niech wydarzenie ALE- na 4 nasiona wykiełkują co najmniej 3 nasiona; wydarzenie W- z 4 nasion wykiełkują 3 nasiona; wydarzenie Z Z 4 nasion wyrosną 4 nasiona. Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwa
oraz
określony przez wzór Bernoulliego stosowany w Następna sprawa. Niech seria biegnie P niezależne próby, w których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest stałe i równe R, a prawdopodobieństwo, że to zdarzenie nie nastąpi jest równe
. Wtedy prawdopodobieństwo, że zdarzenie ALE w P testy pojawią się dokładnie razy, obliczone za pomocą wzoru Bernoulliego

,

gdzie
- liczba kombinacji P elementy według . Następnie

Pożądane prawdopodobieństwo

Zadanie 2. Prawdopodobieństwo kiełkowania nasion pszenicy wynosi 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że z wysianych 400 nasion wykiełkuje 350 nasion.

Decyzja. Oblicz pożądane prawdopodobieństwo
według wzoru Bernoulliego jest trudne ze względu na uciążliwość obliczeń. Dlatego stosujemy przybliżoną formułę wyrażającą lokalne twierdzenie Laplace'a:

,

gdzie
oraz
.

Z opisu problemu. Następnie

.

Z tabeli 1 wniosków znajdujemy . Pożądane prawdopodobieństwo jest równe

Zadanie 3. Wśród nasion pszenicy 0,02% chwastów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowy wybór 10 000 nasion ujawni 6 nasion chwastów?

Decyzja. Zastosowanie lokalnego twierdzenia Laplace'a ze względu na małe prawdopodobieństwo
prowadzi do znacznego odchylenia prawdopodobieństwa od dokładnej wartości
. Dlatego dla małych wartości R liczyć
zastosuj asymptotyczną formułę Poissona

, gdzie .

Ta formuła jest używana, gdy
, a mniej R i więcej P, tym dokładniejszy wynik.

Zgodnie z zadaniem
;
. Następnie

Zadanie 4. Procent kiełkowania nasion pszenicy wynosi 90%. Znajdź prawdopodobieństwo, że z 500 wysianych nasion wykiełkuje od 400 do 440 nasion.

Decyzja. Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia ALE w każdym z P testy są stałe i równe R, to prawdopodobieństwo
że wydarzenie ALE w takich testach będzie co najmniej raz i nigdy więcej czasy są określone przez całkowe twierdzenie Laplace'a według następującego wzoru:

, gdzie

,
.

Funkcjonować
nazywa się funkcją Laplace'a. W załącznikach (tab. 2) podano wartości tej funkcji dla
. Na
funkcjonować
. Dla wartości ujemnych X ze względu na dziwność funkcji Laplace'a
. Korzystając z funkcji Laplace'a mamy:

Zgodnie z zadaniem. Korzystając z powyższych wzorów, znajdujemy
oraz :

Zadanie 5. Podano prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X:

2. Znajdź: 1) oczekiwanie matematyczne; 2) rozproszenie; 3) odchylenie standardowe.

Decyzja. 1) Jeżeli prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej podaje tablica

2. Tam, gdzie w pierwszym wierszu podane są wartości zmiennej losowej x, a w drugim prawdopodobieństwa tych wartości, wówczas oczekiwanie matematyczne oblicza się według wzoru

2) Dyspersja
Dyskretna zmienna losowa X nazywa się matematycznym oczekiwaniem kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania, tj.

Ta wartość charakteryzuje średnią oczekiwaną wartość kwadratu odchylenia X od
. Z ostatniej formuły, którą mamy

dyspersja
można znaleźć w inny sposób, opierając się na jego następującej własności: wariancja
jest równa różnicy między matematycznym oczekiwaniem kwadratu zmiennej losowej X i kwadrat jego matematycznych oczekiwań
, tj

Liczyć
układamy następujące prawo rozkładu ilości
:

3) Aby scharakteryzować rozrzut możliwych wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej, wprowadza się odchylenie standardowe
zmienna losowa X, równy pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji
, tj

.

Z tej formuły mamy:

Zadanie 6. Ciągła zmienna losowa X dana przez funkcję rozkładu całkowego

Znajdź: 1) funkcja rozkładu różniczkowego
; 2) oczekiwanie matematyczne
; 3) dyspersja
.

Decyzja. 1) Funkcja dystrybucji różniczkowej
ciągła zmienna losowa X nazywana jest pochodną funkcji rozkładu całkowego
, tj

.

Pożądana funkcja różniczkowa ma następującą postać:

2) Jeśli ciągła zmienna losowa X podana przez funkcję
, to jego matematyczne oczekiwanie jest określone wzorem

Ponieważ funkcja
w
i w
równa się zero, to z ostatniej formuły jaką mamy

.

3) Dyspersja
zdefiniuj za pomocą wzoru

Zadanie 7. Długość części jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z matematycznym oczekiwaniem 40 mm i odchyleniem standardowym 3 mm. Znajdź: 1) prawdopodobieństwo, że długość dowolnej części będzie większa niż 34 mm i mniejsza niż 43 mm; 2) prawdopodobieństwo, że długość części odbiega od jej matematycznych oczekiwań o nie więcej niż 1,5 mm.

Decyzja. 1) Niech X- długość części. Jeśli zmienna losowa X podana przez funkcję różniczkową
, to prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartości należące do segmentu
, określa wzór

.

Prawdopodobieństwo spełnienia ścisłych nierówności
określony przez tę samą formułę. Jeśli zmienna losowa X dystrybuowane zgodnie z normalnym prawem, a następnie

, (1)

gdzie
jest funkcją Laplace'a,
.

W zadaniu. Następnie

2) Według stanu problemu , gdzie
. Zastępując w (1) , mamy

. (2)

Z formuły (2) mamy.

To znaczy, jeśli śl. ilość ma prawo dystrybucji, to

nazywa jego matematyczne oczekiwanie. Jeśli śl. wartość ma nieskończoną liczbę wartości, wówczas oczekiwanie matematyczne określa suma szeregu nieskończonego, pod warunkiem, że szereg ten jest zbieżny bezwzględnie (w przeciwnym razie oczekiwanie matematyczne nie istnieje) .

Do ciągły śl. wartość podana przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa f(x), matematyczne oczekiwanie określa się jako całkę

pod warunkiem, że ta całka istnieje (jeśli całka jest rozbieżna, to mówimy, że oczekiwanie matematyczne nie istnieje).

Przykład 1. Zdefiniujmy matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej rozłożonej na Prawo Poissona. A-prioryte

lub oznacza

Więc parametr , definiujące prawo rozkładu zmiennej losowej Poissona jest równe średniej wartości tej zmiennej.

Przykład 2. Dla zmiennej losowej z rozkładem wykładniczym matematycznym oczekiwaniem jest

(w całce weź granice, biorąc pod uwagę fakt, że f (x) jest niezerowe tylko dla dodatniego x).

Przykład 3. Zmienna losowa z rozkładem zgodnie z prawem rozkładu Cauchy, nie ma wartości średniej. Naprawdę

Właściwości oczekiwań.

Właściwość 1. Matematyczne oczekiwanie co do stałej jest równe samej stałej.

Stała C przyjmuje tę wartość z prawdopodobieństwem jedności i, z definicji, M(C)=C×1=C

Właściwość 2. Oczekiwanie matematyczne sumy algebraicznej zmiennych losowych jest równe sumie algebraicznej ich oczekiwań matematycznych.

Ograniczamy się do udowodnienia tej właściwości tylko dla sumy dwóch dyskretnych zmiennych losowych, tj. Udowodnij to

Pod sumą dwóch dyskretnych sl. Podane ilości są rozumiane jako Ilość, która przyjmuje wartości z prawdopodobieństwem

A-prioryte

gdzie jest prawdopodobieństwo zdarzenia obliczone pod warunkiem, że . Prawa strona ostatniej równości zawiera listę wszystkich wystąpień zdarzenia, więc jest równa pełne prawdopodobieństwo wystąpienie zdarzenia, tj. . Podobnie. Wreszcie mamy

Właściwość 3. Matematyczne oczekiwanie iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.

Na			…
Q			…
X			…
R			…

Potwierdzamy tę właściwość tylko dla dyskretnych ilości. W przypadku zmiennych losowych ciągłych jest to udowadniane podobnie.

Niech X i Y będą niezależne i mają prawa dystrybucji

Iloczynem tych zmiennych losowych będzie zmienna losowa, która przyjmuje wartości o równych prawdopodobieństwach, ze względu na niezależność zmiennych losowych, . Następnie

Konsekwencja. Stały mnożnik można wyciągnąć z matematycznego znaku oczekiwania. Tak więc stała stulecia C nie zależy od tego, jaką wartość przyjmie następna. wartość X, to według własności 3. mamy

M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)

Przykład. Jeśli a i b są stałymi, to M(ax+b)=aM(x)+b.

Matematyczne oczekiwanie liczby wystąpienia zdarzenia w schemacie prób niezależnych.

Niech zostanie wykonanych n niezależnych eksperymentów, przy czym prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w każdym z nich wynosi R. Liczba wystąpień zdarzenia w tych n eksperymentach jest zmienną losową X rozłożoną zgodnie z prawem dwumianu. Jednak bezpośrednie obliczenie jego średniej wartości jest kłopotliwe. W uproszczeniu posłużymy się dekompozycją, z której w przyszłości będziemy korzystać wielokrotnie:

gdzie ma prawo rozkładu (przyjmuje wartość 1, jeśli zdarzenie miało miejsce w danym eksperymencie, oraz wartość 0, jeśli zdarzenie nie wystąpiło w danym eksperymencie).

R	1st	R

Więc

tych. średnia liczba wystąpień zdarzenia w n niezależnych próbach jest równa iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w jednej próbie.

Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,1, to średnia liczba trafień w 20 strzałach wynosi 20×0,1=2.

Oczekiwanie matematyczne to średnia wartość zmiennej losowej.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i ich prawdopodobieństw:

Przykład.

X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5

Rozwiązanie: Oczekiwanie matematyczne jest równe sumie iloczynów wszystkich możliwych wartości X i ich prawdopodobieństw:

M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.

Aby obliczyć oczekiwanie matematyczne wygodnie jest przeprowadzić obliczenia w Excelu (zwłaszcza gdy danych jest dużo), sugerujemy skorzystanie z gotowego szablonu ().

Przykład dla niezależne rozwiązanie(możesz skorzystać z kalkulatora).
Znajdź matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej X podane przez prawo rozkładu:

X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4

Oczekiwanie matematyczne ma następujące właściwości.

Własność 1. Matematyczne oczekiwanie wartości stałej jest równe samej stałej: М(С)=С.

Własność 2. Ze znaku oczekiwania można wyciągnąć stały czynnik: М(СХ)=СМ(Х).

Właściwość 3. Matematyczne oczekiwanie iloczynu wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi matematycznych oczekiwań czynników: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)

Własność 4. Matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań wyrazów: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).

Zadanie 189. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, jeśli matematyczne oczekiwania X i Y są znane: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Rozwiązanie: Korzystając z właściwości oczekiwań matematycznych (oczekiwanie matematyczne sumy jest równe sumie oczekiwań matematycznych dotyczących warunków; czynnik stały można wyciągnąć z matematycznego znaku oczekiwań), otrzymujemy M(Z)= M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M(X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Korzystając z własności oczekiwań matematycznych, udowodnij, że: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) matematyczne oczekiwanie odchylenia X-M(X) wynosi zero.

191. Dyskretna zmienna losowa X przyjmuje trzy możliwe wartości: x1= 4 Z prawdopodobieństwem p1 = 0,5; x3 = 6 Z prawdopodobieństwem P2 = 0,3 i x3 z prawdopodobieństwem p3. Znajdź: x3 i p3, wiedząc, że M(X)=8.

192. Podana jest lista możliwych wartości dyskretnej zmiennej losowej X: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, znane są również oczekiwania matematyczne tej wielkości i jej kwadratu: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0,dziewięć. Znajdź prawdopodobieństwa p1, p2, p3 odpowiadające możliwym wartościom xi

194. Partia 10 części zawiera trzy niestandardowe części. Dwie pozycje zostały wybrane losowo. Znajdź matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej X - liczbę części niestandardowych spośród dwóch wybranych.

196. Znajdź matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej X-liczba takich rzutów pięcioma kostkami, w każdym z których jeden punkt pojawi się na dwóch kostkach, jeśli łączna liczba rzutów wynosi dwadzieścia.

Matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w jednej próbie: