Rodzaje całek i metody ich rozwiązywania. Rozwiązywanie całek online
Znalezienie całki nieoznaczonej jest bardzo częstym problemem w matematyce wyższej i innych technicznych gałęziach nauki. Nawet rozwiązanie najprostszych problemów fizycznych często nie jest kompletne bez obliczenia kilku prostych całek. Dlatego od wieku szkolnego uczymy się technik i metod rozwiązywania całek, podano liczne tablice z całkami najprostszych funkcji. Jednak z biegiem czasu o tym wszystkim bezpiecznie zapominamy, albo nie mamy wystarczająco dużo czasu na obliczenia, albo musimy znaleźć rozwiązanie całki nieoznaczonej z bardzo złożonej funkcji. Aby rozwiązać te problemy, niezbędna będzie dla Ciebie nasza usługa, która pozwoli Ci na dokładne odnalezienie całki nieoznaczonej online.
Rozwiąż całkę nieoznaczoną
Usługa online włączona Strona pozwala znaleźć zintegrowane rozwiązanie online szybki, bezpłatny i wysokiej jakości. Możesz zastąpić wyszukiwanie w tabelach wymaganej całki naszą usługą, gdzie szybko wprowadzając żądane funkcje uzyskasz rozwiązanie całki nieoznaczonej w wersji tabelarycznej. Nie wszystkie strony matematyczne są w stanie szybko i wydajnie obliczyć całki nieoznaczone funkcji online, zwłaszcza jeśli potrzebujesz znaleźć całka nieoznaczona z funkcji złożonej lub takich funkcji, które nie są zawarte w ogólnym kursie matematyki wyższej. Strona Strona pomoże rozwiązać całkę online i poradzić sobie z zadaniem. Korzystając z internetowego rozwiązania całki na stronie internetowej, zawsze uzyskasz dokładną odpowiedź.
Nawet jeśli chcesz samodzielnie obliczyć całkę, dzięki naszej usłudze łatwo sprawdzisz odpowiedź, znajdziesz błąd lub literówkę, czy też bezbłędnie wykonasz zadanie. Jeśli rozwiązujesz problem i musisz obliczyć całkę nieoznaczoną jako czynność pomocniczą, to po co tracić czas na te czynności, które być może wykonywałeś już tysiąc razy? Co więcej, dodatkowe obliczenia całki mogą być przyczyną literówki lub małego błędu, co w konsekwencji doprowadziło do błędnej odpowiedzi. Po prostu skorzystaj z naszych usług i znajdź nieoznaczona całka online bez żadnego wysiłku. Do praktycznych zadań wyszukiwania całka Funkcje online ten serwer jest bardzo pomocny. Musisz wpisać daną funkcję, pobierz nieograniczone integralne rozwiązanie online i porównaj odpowiedź ze swoim rozwiązaniem.
Słowo „całka” pochodzi od łacińskiego integralis – integralna. Ta nazwa została zaproponowana w XVII wieku. uczeń wielkiego Leibniza (a także wybitnego matematyka) I. Bernoulliego. Czym jest całka we współczesnym znaczeniu? Poniżej postaramy się udzielić wyczerpującej odpowiedzi na to pytanie.
Historyczne przesłanki powstania pojęcia całki
Na początku XVII wieku. czołowi naukowcy rozważali dużą liczbę problemów fizycznych (przede wszystkim mechanicznych), w których konieczne było zbadanie zależności niektórych wielkości od innych. Najbardziej oczywistymi i pilnymi problemami było wyznaczenie chwilowej prędkości ruchu niejednostajnego ciała w dowolnym momencie czasu oraz odwrotny problem znalezienia wielkości drogi pokonywanej przez ciało w określonym przedziale czasu podczas takiego ruch. Dziś wiemy już, jaka jest całka z prędkości ruchu – to przebyta droga. Ale zrozumienie, jak to obliczyć, znając prędkość w każdym momencie, nie pojawiło się od razu.
Najpierw z rozpatrzenia takich zależności wielkości fizycznych, np. drogi od prędkości, powstało pojęcie matematyczne funkcji y = f(x). Badanie właściwości różnych funkcji doprowadziło do narodzin analizy matematycznej. Naukowcy aktywnie poszukują sposobów badania właściwości różnych funkcji.
Jak doszło do obliczania całek i pochodnych?
Po tym, jak Kartezjusz stworzył podstawy geometrii analitycznej i możliwość graficznego przedstawienia zależności funkcjonalnych na osiach kartezjańskiego układu współrzędnych, badacze stanęli przed dwoma głównymi nowymi zadaniami: jak narysować styczną do linii zakrzywionej w dowolnym jej punkcie i jak znaleźć obszar figury ograniczony od góry tą krzywą i liniami prostymi, równoległymi do osi współrzędnych. Nieoczekiwanie okazało się, że pierwsza z nich jest równoznaczna ze znalezieniem prędkości chwilowej, a druga ze znalezieniem przebytej odległości. W końcu, przy nierównomiernym ruchu, został on przedstawiony na osiach kartezjańskich „odległość” i „czas” za pomocą jakiejś zakrzywionej linii.
Geniusz Leibniza i Newtona w połowie XVII wieku. opracowano metody rozwiązania obu tych problemów. Okazało się, że aby narysować styczną do krzywej w punkcie, trzeba znaleźć wartość tzw. pochodnej funkcji opisującej tę krzywą w rozpatrywanym punkcie, a wartość ta okazuje się być równa szybkości zmian funkcji, tj. w odniesieniu do zależności „droga od prędkości” właściwej prędkości chwilowej ciała.
Aby znaleźć obszar ograniczony linią krzywą, konieczne było obliczenie pewnej całki, która podała jej dokładną wartość. Pochodna i całka to podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego i całkowego, które są podstawą współczesnej analizy matematycznej - najważniejszej części matematyki wyższej.
Obszar pod krzywą
Jak więc określić dokładną wartość? Spróbujmy od samego początku szczegółowo ujawnić proces jej obliczania poprzez całkę.
Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale. Rozważ krzywą y \u003d f (x), pokazaną na poniższym rysunku. Jak znaleźć obszar obszaru ograniczonego krzywą), oś x i linie x = a i x = b? To znaczy obszar zacienionej figury na rysunku.
Najprostszym przypadkiem jest sytuacja, gdy f jest funkcją stałą; oznacza to, że krzywa jest linią poziomą f(X) = k, gdzie k jest stałą i k ≥ 0, jak pokazano na poniższym rysunku.
W tym przypadku obszar pod krzywą jest po prostu prostokątem o wysokości k i szerokości (b - a), więc obszar jest zdefiniowany jako: k · (b - a).
Obszary niektórych innych prostych figur, takich jak trójkąt, trapez i półokrąg, są określone wzorami z planimetrii.
Pole pod dowolną krzywą ciągłą y = f(x) jest określone przez całkę oznaczoną, która jest zapisywana w taki sam sposób, jak całka zwykła.
Suma Riemanna
Zanim zagłębimy się w szczegółową odpowiedź na pytanie, czym jest całka, podkreślmy kilka podstawowych idei.
Najpierw obszar pod krzywą dzieli się na pewną liczbę n pionowych pasów o wystarczająco małej szerokości Δx. Następnie każdy pionowy pasek jest zastępowany pionowym prostokątem o wysokości f(x), szerokości Δx i powierzchni f(x)dx. Następnym krokiem jest utworzenie sumy pól wszystkich tych prostokątów, zwanej sumą Riemanna (patrz rysunki poniżej).
Rysując nasze prostokąty o szerokości Δx, możemy przyjąć ich wysokość równą wartości funkcji na lewej krawędzi każdego paska, tj. skrajne lewe punkty ich górnych krótkich boków o szerokości Δx będą leżeć na krzywej. Jednocześnie na odcinku, w którym funkcja rośnie, a jej krzywa jest wypukła, wszystkie prostokąty znajdują się poniżej tej krzywej, tj. ich suma będzie oczywiście mniejsza niż dokładna wartość pola pod krzywą w tym odcinku (patrz rysunek poniżej). Ta metoda aproksymacji nazywana jest leworęczną.
W zasadzie możliwe jest narysowanie aproksymujących prostokątów w taki sposób, aby skrajne prawe punkty ich górnych krótkich boków o szerokości Δx leżały na krzywej. Będą wtedy nad krzywą, a przybliżenie pola w tym obszarze będzie większe niż jego dokładna wartość, jak pokazano na poniższym rysunku. Ta metoda nazywa się praworęczną.
Ale możemy również wziąć wysokość każdego z przybliżonych prostokątów, która jest po prostu równa pewnej wartości funkcji w dowolnym punkcie x* i wewnątrz odpowiedniego paska Δx i (patrz rysunek poniżej). Jednocześnie możemy nawet nie przyjąć tej samej szerokości wszystkich pasków.
Zróbmy sumę Riemanna:
Przejście od sumy Riemanna do całki oznaczonej
W matematyce wyższej udowodniono twierdzenie, które mówi, że jeśli przy nieograniczonym wzroście liczby n przybliżających się prostokątów ich największa szerokość dąży do zera, to suma Riemanna A n dąży do pewnej granicy A. Liczba A jest to samo dla dowolnej metody tworzenia prostokątów aproksymujących i dla dowolnego wyboru punktów x* i .
Wizualne wyjaśnienie twierdzenia przedstawia poniższy rysunek.
Widać z niego, że im węższe prostokąty, tym obszar schodkowej sylwetki bliżej obszaru pod krzywą. Gdy liczba prostokątów wynosi n→∞, ich szerokość wynosi Δx i →0, a granica A sumy A n jest liczbowo równa żądanemu obszarowi. Granica ta jest całką oznaczoną funkcji f (x):
Integralny symbol, który jest zmodyfikowaną kursywą literą S, został wprowadzony przez Leibniza. J. B. Fourier zaproponował umieszczenie zapisu całki powyżej i poniżej jej granic. W tym przypadku początkowa i końcowa wartość x są wyraźnie wskazane.
Interpretacja geometryczna i mechaniczna całki oznaczonej
Spróbujmy udzielić szczegółowej odpowiedzi na pytanie, co to jest całka? Rozważmy całkę na odcinku funkcji f(x) dodatnią wewnątrz niego i załóżmy, że górna granica jest większa niż dolna a Jeżeli rzędne funkcji f(x) są wewnątrz ujemne, to wartość bezwzględna całki jest równa polu między osią x a wykresem y=f(x), natomiast sama całka jest ujemna. W przypadku pojedynczego lub powtarzającego się przecięcia przez wykres y \u003d f (x) osi odciętej na odcinku, jak pokazano na poniższym rysunku, aby obliczyć całkę, należy określić różnicę, w której zredukowana będzie być równa całkowitej powierzchni odcinków znajdujących się powyżej osi odciętej, a odcinek - całkowitej powierzchni ziemi pod nią. Tak więc dla funkcji pokazanej na powyższym rysunku całka oznaczona od a do b będzie równa (S1 + S3) - (S2+S4). Mechaniczna interpretacja całki oznaczonej jest ściśle związana z geometryczną. Wróćmy do sekcji „Suma Riemanna” i wyobraźmy sobie, że wykres przedstawiony na rysunkach wyraża funkcję prędkości v=f(t) dla niejednostajnego ruchu punktu materialnego (oś odciętych jest osią czasu). Wtedy obszar dowolnego przybliżonego prostokąta o szerokości Δt, który zbudowaliśmy tworząc sumę Riemanna, będzie w przybliżeniu wyrażał ścieżkę punktu w czasie Δt, czyli v(t*)Δt. Całkowita suma obszarów prostokątów na odcinku od t 1 \u003d a do t 2 \u003d b będzie w przybliżeniu wyrażać ścieżkę s w czasie t 2 - t 1 i jej granicę, tj. całkę (zdefiniowaną) od a do b funkcji v \u003d f (t ) przez dt da dokładną wartość ścieżki s. Jeśli wrócimy do jego oznaczenia, to całkiem możliwe jest założenie, że a = const, a b jest określoną wartością jakiejś zmiennej niezależnej x. Wtedy całka oznaczona z górną granicą x̃ zamienia się z określonej liczby w funkcję x̃. Taka całka jest równa powierzchni figury pod krzywą wskazaną przez punkty aABb na poniższym rysunku. Przy linii stałej aA i ruchu Bb obszar ten staje się funkcją f(x̃), a przyrosty Δx̃ są nadal wykreślane wzdłuż osi x, a przyrosty funkcji f(x̃) są przyrostami powierzchni pod krzywa. Załóżmy, że nadaliśmy zmiennej x̃ = b jakiś mały przyrost Δx̃. Następnie przyrost powierzchni figury aABb jest sumą powierzchni prostokąta (zacieniowanego na rysunku) Bb∙Δx̃ i powierzchni figury BDC pod krzywą. Pole powierzchni prostokąta jest równe Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, czyli jest liniową funkcją przyrostu zmiennej niezależnej. Pole figury BDC jest oczywiście mniejsze niż pole prostokąta BDCK = Δx̃∙Δy, a gdy Δx̃ → 0 maleje jeszcze szybciej. Stąd f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ jest różniczką o zmiennej powierzchni aABb, tj. różniczką całki oznaczonej Z tego możemy wywnioskować, że obliczanie całek polega na znalezieniu funkcji za pomocą danych wyrażeń na ich różniczki. Rachunek całkowy to po prostu system sposobów wyszukiwania takich funkcji na podstawie ich znanych różniczek. Łączy związek między różniczkowaniem a całkowaniem i pokazuje, że istnieje operacja odwrotna do różniczkowania funkcji - jej całkowania. Pokazuje również, że jeśli jakakolwiek funkcja f(x) jest ciągła, to stosując do niej tę operację matematyczną, można znaleźć cały zespół (zbiór, zbiór) funkcji, które są dla niej pierwotną (lub w inny sposób znaleźć z niej całkę nieoznaczoną ). Niech funkcja F(x) będzie notacją wyniku całkowania funkcji f(x). Korespondencję między tymi dwiema funkcjami w wyniku integracji drugiej z nich określa się następująco: Jak widać, nie ma granic integracji dla symbolu integralnego. Oznacza to, że została ona przekształcona z całki oznaczonej na całkę nieoznaczoną. Słowo „nieokreślony” oznacza, że wynikiem operacji integracji w tym przypadku jest nie jedna, a wiele funkcji. W końcu oprócz samej funkcji F(x) każda funkcja F(x)+С, gdzie С = const, spełnia również ostatnie wyrażenia. Oznacza to, że stały wyraz w zbiorze funkcji pierwotnych można ustawić arbitralnie. Należy podkreślić, że jeśli całka zdefiniowana z funkcji jest liczbą, to nieoznaczona jest funkcją, a ściślej ich zbiorem. Termin „całkowanie” służy do określenia operacji wyszukiwania obu typów całek. Jest to dokładne przeciwieństwo odpowiedniej reguły różnicowania. Jak brane są całki nieoznaczone? Rozważymy przykłady tej procedury na konkretnych funkcjach. Spójrzmy na ogólną funkcję potęgową: Po wykonaniu tego z każdym wyrazem w wyrażeniu funkcji całkowalnej (jeśli jest więcej niż jeden), na końcu dodajemy stałą. Przypomnijmy, że wzięcie pochodnej stałej niszczy ją, więc wzięcie całki z dowolnej funkcji da nam rekonstrukcję tej stałej. Nazywamy ją C, ponieważ stała jest nieznana - może to być dowolna liczba! Dlatego możemy mieć nieskończenie wiele wyrażeń na całkę nieoznaczoną. Przyjrzyjmy się prostym całkom nieoznaczonym, których przykłady pokazano poniżej. Znajdźmy całkę funkcji: f(x) = 4x 2 + 2x - 3. Zacznijmy od pierwszego semestru. Patrzymy na wykładnik 2 i zwiększamy go o 1, a następnie dzielimy pierwszy wyraz przez wynikowy wykładnik 3. Otrzymujemy: 4(x 3) / 3. Następnie patrzymy na następnego członka i robimy to samo. Ponieważ ma wykładnik równy 1, otrzymany wykładnik wyniesie 2. Więc dzielimy ten wyraz przez 2: 2(x 2) / 2 = x 2 . Ostatni wyraz ma współczynnik x, ale po prostu go nie widzimy. Możemy myśleć o ostatnim wyrazie jako (-3x 0). Jest to równoważne (-3)∙(1). Jeśli użyjemy reguły całkowania, dodamy 1 do wykładnika, aby podnieść go do pierwszej potęgi, a następnie podzielimy ostatni wyraz przez 1. Otrzymujemy 3x. Ta reguła całkowania działa dla wszystkich wartości n z wyjątkiem n = - 1 (ponieważ nie możemy podzielić przez 0). Rozważyliśmy najprostszy przykład znalezienia całki. Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązywanie całek nie jest łatwym zadaniem, a doświadczenie już zgromadzone w matematyce jest w tym dobrą pomocą. W powyższej sekcji widzieliśmy, że każda formuła różnicowania daje odpowiednią formułę całkowania. Dlatego wszystkie ich możliwe warianty zostały już dawno uzyskane i podsumowane w odpowiednich tabelach. Poniższa tabela całek zawiera wzory na całkowanie podstawowych funkcji algebraicznych. Formuły te trzeba znać na pamięć, zapamiętywać je stopniowo, w miarę jak są utrwalane ćwiczeniami. Kolejna tabela całek zawiera podstawowe funkcje trygonometryczne: Okazuje się, że bardzo łatwo jest to zrobić, będąc w stanie całkować, czyli znaleźć całki nieoznaczone. Pomaga w tym formuła założycieli rachunku całkowo-różniczkowego Newtona i Leibniza Zgodnie z nią obliczenie całki pożądanej polega w pierwszym etapie na znalezieniu całki nieoznaczonej, a następnie obliczeniu wartości znalezionej pochodnej F(x) przy podstawieniu x, który jest najpierw równy górnej granicy, potem dolnej , a wreszcie przy ustalaniu różnicy tych wartości. W takim przypadku stałą C można pominąć. bo znika po wykonaniu odejmowania. Rozważ kilka całek ze szczegółowym rozwiązaniem. Znajdź obszar działki pod jedną sinusoidą półfalową. Oblicz zacieniony obszar pod hiperbolą. Rozważmy teraz całki ze szczegółowym rozwiązaniem ,
przy użyciu właściwości addytywności w pierwszym przykładzie i podstawienia pośredniej zmiennej całkującej w drugim. Obliczmy całkę oznaczoną funkcji ułamkowo-wymiernej: y=(1+t)/t 3 od t=1 do t=2. Teraz pokażemy, jak możemy uprościć obliczanie całki, wprowadzając zmienną pośrednią. Niech będzie konieczne obliczenie całki (x+1) 2 . Mówiliśmy o całce oznaczonej dla skończonego przedziału funkcji f(x) ciągłej na nim. Jednak szereg konkretnych problemów prowadzi do konieczności rozszerzenia pojęcia całki na przypadek, gdy granice (jedna lub obie) są równe nieskończoności lub gdy funkcja jest nieciągła. Na przykład przy obliczaniu powierzchni pod krzywymi asymptotycznie zbliżającymi się do osi współrzędnych. Aby rozszerzyć pojęcie całki na ten przypadek, oprócz przejścia do granicy przy obliczaniu sumy aproksymacji prostokątów Riemanna, wykonuje się jeszcze jedno. Przy takim podwójnym przejściu do granicy uzyskuje się niewłaściwą całkę. W przeciwieństwie do niego wszystkie wymienione wyżej całki nazywamy właściwymi. określona całka
z funkcji ciągłej F(x) na skończonym przedziale [ a, b] (gdzie ) to przyrost niektórych jego pochodnych w tym segmencie. (Ogólnie rzecz biorąc, zrozumienie będzie zauważalnie łatwiejsze, jeśli powtórzysz temat całki nieoznaczonej) W tym przypadku notacja Jak widać na poniższych wykresach (przyrost funkcji pierwotnej jest oznaczony przez ), Całka oznaczona może być dodatnia lub ujemna.(Oblicza się ją jako różnicę między wartością składnika pierwotnego w górnej granicy a jej wartością w dolnej granicy, tj. jako F(b) - F(a)). Liczby a oraz b nazywane są odpowiednio dolną i górną granicą integracji, a przedział [ a, b] to segment integracji. Tak więc, jeśli F(x) jest funkcją pierwotną dla F(x), to zgodnie z definicją Równość (38) nazywa się Wzór Newtona-Leibniza
. Różnica F(b) – F(a) jest krótko napisane w ten sposób: Dlatego wzór Newtona-Leibniza zostanie napisany w następujący sposób: Udowodnijmy, że całka oznaczona nie zależy od tego, która pierwotna funkcji podcałkowej jest brana pod uwagę przy jej obliczaniu. Pozwalać F(x) i F( x) są arbitralnymi instrumentami pierwotnymi całki. Ponieważ są to pochodne tej samej funkcji, różnią się one wyrazem stałym: Ф( x) = F(x) + C. Więc W ten sposób ustalono, że w przedziale [ a, b] przyrosty wszystkich funkcji pierwotnych funkcji F(x) dopasuj. Tak więc, aby obliczyć całkę oznaczoną, konieczne jest znalezienie dowolnej pochodnej całki, tj. Najpierw musisz znaleźć całkę nieoznaczoną. Stały Z
wyłączone z dalszych obliczeń. Następnie stosuje się wzór Newtona-Leibniza: wartość górnej granicy zastępuje się funkcją pierwotną b
, dalej - wartość dolnego limitu a
i obliczyć różnicę F(b) - F(a)
. Otrzymana liczba będzie całką oznaczoną.. Na a = b akceptowane z definicji Przykład 1 Rozwiązanie. Najpierw znajdźmy całkę nieoznaczoną: Zastosowanie wzoru Newtona-Leibniza do funkcji pierwotnej (w Z= 0), otrzymujemy Jednak przy obliczaniu całki oznaczonej lepiej nie szukać funkcji pierwotnej osobno, tylko od razu zapisać całkę w postaci (39). Przykład 2 Oblicz całkę oznaczoną Rozwiązanie. Korzystanie z formuły Twierdzenie 2.Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowej, tj. Pozwalać F(x) jest funkcją pierwotną dla F(x). Do F(T) funkcja pierwotna to ta sama funkcja F(T), w którym zmienna niezależna jest oznaczona inaczej. W związku z tym, Na podstawie wzoru (39) ostatnia równość oznacza równość całek Twierdzenie 3.Stałą można wyprowadzić ze znaku całki oznaczonej, tj. Twierdzenie 4.Całka oznaczona sumy algebraicznej skończonej liczby funkcji jest równa sumie algebraicznej całek oznaczonych tych funkcji, tj. Twierdzenie 5.Jeżeli odcinek całkowania dzieli się na części, to całka oznaczona po całym odcinku jest równa sumie całek oznaczonych po jego częściach, tj. Jeśli Twierdzenie 6.Podczas porządkowania granic całkowania wartość bezwzględna całki oznaczonej nie zmienia się, zmienia się tylko jej znak, tj. Twierdzenie 7(twierdzenie o wartości średniej). Całka oznaczona jest równa iloczynowi długości odcinka całkowania i wartości całki w pewnym punkcie wewnątrz niego, tj. Twierdzenie 8.Jeżeli górna granica całkowania jest większa niż dolna, a podcałka jest nieujemna (dodatnia), to całka oznaczona jest również nieujemna (dodatnia), tj. Jeśli Twierdzenie 9.Jeżeli górna granica całkowania jest większa niż dolna granica i funkcje i są ciągłe, to nierówność może być zintegrowany wyraz po wyrazie, tj. Własności całki oznaczonej pozwalają na uproszczenie bezpośredniego obliczania całek. Przykład 5 Oblicz całkę oznaczoną Korzystając z Twierdzeń 4 i 3, a wyszukując funkcje pierwotne - całki tabelaryczne (7) i (6), otrzymujemy Pozwalać F(x) jest ciągła na przedziale [ a, b] funkcja i F(x) jest jego prototypem. Rozważ całkę oznaczoną i przez T zmienna całkująca jest oznaczona, aby nie pomylić jej z górnym ograniczeniem. Kiedy to się zmieni x całka oznaczona (47) również się zmienia, tj. jest funkcją górnej granicy całkowania x, co oznaczamy przez F(x), tj. Udowodnijmy, że funkcja F(x) jest funkcją pierwotną dla F(x) = F(T). Rzeczywiście, różnicowanie F(x), otrzymujemy bo F(x) jest funkcją pierwotną dla F(x), a F(a) jest wartością stałą. Funkcjonować F(x) jest jednym z nieskończonego zbioru funkcji pierwotnych dla F(x), czyli ten, który x = a idzie do zera. To stwierdzenie jest uzyskiwane, jeśli w równości (48) umieścimy x = a i użyj Twierdzenia 1 z poprzedniej sekcji. gdzie z definicji F(x) jest funkcją pierwotną dla F(x). Jeśli w całce dokonamy zmiany zmiennej wtedy zgodnie ze wzorem (16) możemy pisać W tym wyrażeniu funkcja pierwotna dla Rzeczywiście, jego pochodna, według zasada różniczkowania funkcji zespolonej, jest równe Niech α i β będą wartościami zmiennej T, dla której funkcja przyjmuje odpowiednio wartości a oraz b, tj. Ale według wzoru Newtona-Leibniza różnica F(b) – F(a) jest Kalkulator rozwiązuje całki z opisem czynności SZCZEGÓŁOWYCH w języku rosyjskim i za darmo! To jest usługa online jeden krok: To jest usługa online jeden krok: Ta usługa umożliwia sprawdzenie Twojego obliczenia za poprawność Rachunek całkowy. funkcja prymitywna. Definicja:
Funkcja F(x) nazywa się funkcja pierwotna funkcje f(x) na segmencie , jeśli w dowolnym punkcie tego segmentu równość jest prawdziwa: Należy zauważyć, że może istnieć nieskończenie wiele funkcji pierwotnych dla tej samej funkcji. Będą się różnić od siebie pewną stałą liczbą. F 1 (x) = F 2 (x) + C. Całka nieoznaczona. Definicja:
Całka nieoznaczona funkcje f(x) to zbiór funkcji pierwotnych, które definiuje zależność: Zanotować: Warunkiem istnienia całki nieoznaczonej na pewnym odcinku jest ciągłość funkcji na tym odcinku. Nieruchomości:
1.
2.
3.
4.
Przykład:
Znalezienie wartości całki nieoznaczonej wiąże się głównie ze znalezieniem funkcji pierwotnej. W przypadku niektórych funkcji jest to dość trudne zadanie. Poniżej rozważymy metody znajdowania całek nieoznaczonych dla głównych klas funkcji - wymiernych, irracjonalnych, trygonometrycznych, wykładniczych itp. Dla wygody wartości całek nieoznaczonych większości funkcji elementarnych są gromadzone w specjalnych tabelach całek, które czasami są bardzo obszerne. Zawierają różne najczęstsze kombinacje funkcji. Ale większość wzorów przedstawionych w tych tabelach jest konsekwencją siebie nawzajem, dlatego poniżej znajduje się tabela całek podstawowych, za pomocą których można uzyskać wartości całek nieoznaczonych różnych funkcji. Całka Oznaczający Całka Oznaczający lnsinx+ C ja Metody integracyjne. Rozważmy trzy podstawowe metody integracji. Integracja bezpośrednia. Metoda całkowania bezpośredniego opiera się na założeniu możliwej wartości funkcji pierwotnej z dalszą weryfikacją tej wartości przez różniczkowanie. Ogólnie zauważamy, że różnicowanie jest potężnym narzędziem do sprawdzania wyników integracji. Rozważ zastosowanie tej metody na przykładzie: Wymagane jest znalezienie wartości całki Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do różniczkowania, gdzie do znajdowania pochodnej zastosowano jasne techniki i metody, zasady znajdowania pochodnej i wreszcie definicję pochodnej, takie metody nie są dostępne do całkowania. Jeżeli przy znajdowaniu pochodnej posłużyliśmy się niejako konstruktywnymi metodami, które w oparciu o pewne reguły doprowadziły do wyniku, to przy znajdowaniu pochodnej musimy polegać głównie na znajomości tablic pochodnych i funkcji pierwotnych. Jeśli chodzi o metodę całkowania bezpośredniego, to ma ona zastosowanie tylko dla niektórych bardzo ograniczonych klas funkcji. Istnieje bardzo niewiele funkcji, dla których można od razu znaleźć funkcję pierwotną. Dlatego w większości przypadków stosuje się metody opisane poniżej. Metoda substytucji (zastępowania zmiennych). Twierdzenie:
Jeśli chcesz znaleźć całkę Dowód
:
Rozróżnijmy proponowaną równość: Zgodnie z powyższą własnością nr 2 całki nieoznaczonej: F(x)
dx
=
F[
(T)]
(T)
dt co, biorąc pod uwagę wprowadzoną notację, jest założeniem wstępnym. Twierdzenie zostało udowodnione. Przykład. Znajdź całkę nieoznaczoną Zróbmy wymianę T
=
sinx,
dt
=
cosxdt. Przykład.
Zastąpienie Poniżej rozważymy inne przykłady zastosowania metody podstawienia dla różnych typów funkcji. Całkowanie przez części. Metoda opiera się na dobrze znanej formule pochodnej produktu: (uv) = uv + vu gdzie u i v są niektórymi funkcjami x. W postaci różniczkowej: d(uv) = udv + vdu Po integracji otrzymujemy: Otrzymaliśmy wzór na całkowanie przez części, który pozwala znaleźć całki wielu funkcji elementarnych. Przykład.
Jak widać, konsekwentne stosowanie formuły całkowania przez części pozwala na stopniowe upraszczanie funkcji i sprowadzanie całki do postaci tabelarycznej. Przykład.
Widać, że w wyniku wielokrotnego stosowania całkowania częściami nie udało się uprościć funkcji do postaci tabelarycznej. Jednak ostatnia uzyskana całka nie różni się od pierwotnej. Dlatego przenosimy go na lewą stronę równości. W ten sposób całka została znaleziona bez użycia tablic całek. Zanim szczegółowo omówimy metody całkowania różnych klas funkcji, podajemy jeszcze kilka przykładów znajdowania całek nieoznaczonych przez sprowadzenie ich do tabelarycznych. Przykład. Przykład. Przykład. Przykład. Przykład. Przykład. Przykład. Przykład. Przykład. Przykład. Całkowanie ułamków elementarnych. Definicja:
Podstawowy nazywane są ułamkami następujących czterech typów: I. II. m, n to liczby naturalne (m 2, n 2) oraz b 2 - 4ac<0. Pierwsze dwa typy całek z ułamków elementarnych są po prostu sprowadzone do podstawień tabelarycznych t = ax + b. Rozważ metodę całkowania elementarnych frakcji postaci III. Całkę z ułamka typu III można przedstawić jako: Tutaj, ogólnie rzecz biorąc, pokazano redukcję całki z ułamka postaci III do dwóch całek tabelarycznych. Rozważ zastosowanie powyższego wzoru z przykładami. Przykład. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli topór trójmianowy 2 + bx + c ma wyrażenie b 2 - 4ac > 0, to ułamek z definicji nie jest elementarny, niemniej jednak można go całkować w powyższy sposób. Przykład.
Przykład. Rozważmy teraz metody całkowania najprostszych frakcji typu IV. Najpierw rozważ szczególny przypadek dla M = 0, N = 1. Wtedy całka formy Druga całka zawarta w tej równości zostanie przyjęta przez części. Oznaczać: Dla całki pierwotnej otrzymujemy: Powstała formuła nazywa się nawracający. Jeśli zastosujesz to n-1 razy, otrzymasz całkę tablicową Wróćmy teraz do całki z ułamka elementarnego postaci IV w ogólnym przypadku. W wynikowej równości, całka pierwsza z wykorzystaniem podstawienia T
=
ty 2
+
s jest zredukowane do tabelarycznego Pomimo pozornej złożoności całkowania frakcji elementarnej typu IV, w praktyce dość łatwo jest aplikować na frakcje o małym stopniu n, a uniwersalność i powszechność podejścia umożliwia bardzo prostą implementację tej metody na komputerze. Przykład:
Całkowanie funkcji wymiernych. Całkowanie ułamków wymiernych. Aby zintegrować ułamek wymierny, konieczne jest rozłożenie go na ułamki elementarne. Twierdzenie:
Jeśli gdzie A i , Bi , Mi , N i , R i , Si są pewnymi wartościami stałymi. Podczas całkowania ułamków wymiernych ucieka się do rozkładu pierwotnego ułamka na ułamki elementarne. Aby znaleźć wartości A i , B i , M i , N i , R i , S i użyj tzw. metoda współczynników nieokreślonych, którego istotą jest to, że aby dwa wielomiany były identycznie równe, konieczne i wystarczające jest, aby współczynniki przy tych samych potęgach x były równe. Zastosowanie tej metody rozważymy na konkretnym przykładzie. Przykład. Sprowadzając do wspólnego mianownika i zrównując odpowiednie liczniki, otrzymujemy: Przykład. Bo Jeśli ułamek nie jest poprawny, należy najpierw wybrać z niego część całkowitą: 6 6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3 9x3 + 8x2 - 76x - 7 9x 3 - 12x 2 - 51x +18 20x2-25x-25 Rozkładamy mianownik powstałego ułamka na czynniki. Widać, że przy x = 3 mianownik ułamka wynosi zero. Następnie: 3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2 Czyli 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3)(3x 2 + 5x - 2) = (x - 3)(x + 2)(3x - 1). Następnie: W celu uniknięcia przy znajdowaniu niepewnych współczynników otwarcia nawiasów, grupowania i rozwiązywania układu równań (który w niektórych przypadkach może okazać się dość duży), tzw. metoda wartości arbitralnej. Istotą metody jest to, że kilka (w zależności od liczby niepewnych współczynników) dowolnych wartości x zostaje podstawionych do otrzymanego powyżej wyrażenia. Aby uprościć obliczenia, zwyczajowo przyjmuje się jako wartości arbitralne punkty, w których mianownik ułamka jest równy zero, tj. w naszym przypadku - 3, -2, 1/3. Otrzymujemy: Wreszcie otrzymujemy: Przykład. Znajdźmy nieokreślone współczynniki: Wtedy wartość danej całki: Całkowanie niektórych trygonometrycznych Funkcje. Całek funkcji trygonometrycznych może być nieskończenie wiele. Większość z tych całek nie może być w ogóle obliczona analitycznie, więc rozważmy niektóre z głównych typów funkcji, które zawsze można całkować. Całka formy Tutaj R jest oznaczeniem jakiejś funkcji wymiernej zmiennych sinx i cosx. Całki tego typu są obliczane za pomocą podstawienia Następnie W ten sposób: Opisana powyżej transformacja nosi nazwę uniwersalne podstawienie trygonometryczne. Przykład. Niewątpliwą zaletą tego podstawienia jest to, że zawsze można go wykorzystać do przekształcenia funkcji trygonometrycznej na wymierną i obliczenia odpowiadającej jej całki. Wadą jest fakt, że transformacja może skutkować dość złożoną funkcją racjonalną, której integracja zajmie dużo czasu i wysiłku. Jeśli jednak nie da się zastosować bardziej racjonalnej zmiany zmiennej, ta metoda jest jedyną skuteczną. Przykład. Całka formy funkcjonowaćrcosx.
Pomimo możliwości obliczenia takiej całki za pomocą uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego, bardziej racjonalne jest zastosowanie podstawienia T
=
sinx. Funkcjonować Przykład. Ogólnie rzecz biorąc, aby zastosować tę metodę, potrzebna jest tylko nieparzystość funkcji względem cosinusa, a stopień sinusa zawartego w funkcji może być dowolny, zarówno całkowity, jak i ułamkowy. Całka formy funkcjonowaćrjest dziwne w odniesieniu dosinx.
Analogicznie do przypadku rozważanego powyżej, podstawienie T =
cosx.
Przykład. Całka formy funkcjonowaćrnawet stosunkowosinxorazcosx.
Do przekształcenia funkcji R na wymierną stosuje się podstawienie t = tgx. Przykład. Całka iloczynu sinusów i cosinusów różne argumenty. W zależności od rodzaju pracy zostanie zastosowana jedna z trzech formuł: Przykład. Przykład. Przykład. Przykład. Czasami używa się niestandardowych sztuczek. Przykład. Całkowanie niektórych funkcji niewymiernych. Nie każda funkcja irracjonalna może mieć całkę wyrażoną przez funkcje elementarne. Aby znaleźć całkę funkcji niewymiernej, należy zastosować podstawienie, które pozwoli przekształcić funkcję w wymierną, której całkę można znaleźć zawsze, jak wiadomo, zawsze. Rozważ kilka technik całkowania różnych typów funkcji irracjonalnych. Całka formy Z pomocą substytucji Przykład. Jeżeli funkcja niewymierna zawiera pierwiastki o różnych stopniach, racjonalne jest przyjęcie jako nowej zmiennej pierwiastka stopnia równego najmniejszej wspólnej wielokrotności potęg pierwiastków zawartych w wyrażeniu. Zilustrujmy to przykładem. Przykład. Całkowanie różniczek dwumianowych.
Różniczka całki oznaczonej
Podstawowy związek rachunku całkowego
Podstawowa zasada integracji
Tablice całek
Jak obliczyć całkę oznaczoną
Na całkach niewłaściwych
(38)
(39)
Własności całki oznaczonej
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
Całka oznaczona ze zmienną górną granicą
(47)
(48)
Obliczanie całek oznaczonych metodą całkowania przez części i metodą zmiany zmiennej
Rozwiązywanie całek nieoznaczonych
Rozwiązanie całek oznaczonych
Rozwiązywanie całek podwójnych
Rozwiązywanie niewłaściwych całek
Rozwiązanie całek potrójnych
Możliwości
. W oparciu o dobrze znaną formułę różnicowania 
możemy wywnioskować, że pożądana całka jest równa 
, gdzie C jest pewną liczbą stałą. Jednak z drugiej strony 
. Tak więc możemy w końcu stwierdzić:
, ale trudno jest znaleźć pierwotną, to zastępując x = (t) i dx = (t)dt otrzymujemy:
.
Otrzymujemy:
, i zgodnie z powyższymi własnościami całki nieoznaczonej:
lub 
;
III. 
IV. 
można przedstawić, podświetlając pełny kwadrat w mianowniku jako 
. Zróbmy następującą transformację:
.
, a powtarzająca się formuła rozważana powyżej jest stosowana do drugiej całki.
jest właściwym ułamkiem wymiernym, którego mianownik P(x) jest reprezentowany jako iloczyn czynników liniowych i kwadratowych (zauważ, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić w następujący sposób: P(x)
= (x -
a)
…(x
-
b)
(x 2
+
px +
Q)
…(x 2
+
rx +
s)
), następnie tę frakcję można rozłożyć na elementarne zgodnie z następującym schematem:
x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6
3x 3 – 4x 2 – 17x + 6x - 3
=
.
. To podstawienie umożliwia przekształcenie funkcji trygonometrycznej w wymierną.
,
Jeśli
może zawierać cosx tylko do parzystych potęg, a zatem może zostać przekształcony w funkcję wymierną względem sinx.
Jeśli
Czasami podczas całkowania funkcji trygonometrycznych wygodnie jest użyć znanych wzorów trygonometrycznych, aby zmniejszyć kolejność funkcji.
gdzien- Liczba naturalna.
funkcja jest zracjonalizowana.
Ładowanie...