Przyspieszenie dośrodkowe pojazdu podczas jazdy. Przyspieszenie dośrodkowe podczas poruszania się po okręgu: koncepcja i wzory

Studiując ruch w fizyce ważna rola odgrywa pojęcie trajektorii. To ona w dużej mierze determinuje rodzaj ruchu obiektów, a w konsekwencji rodzaj formuł, którymi ten ruch jest opisany. Jedną z najczęstszych trajektorii jest koło. W tym artykule zastanowimy się, czym jest przyspieszenie dośrodkowe podczas poruszania się po okręgu.

Zrozumienie pełnego przyspieszenia

Przed scharakteryzowaniem przyspieszenia dośrodkowego podczas poruszania się po okręgu rozważmy pojęcie pełnego przyspieszenia. Uważa się, że pod tym jest wielkość fizyczna, który jednocześnie opisuje zmianę wartości wektora bezwzględnego i wektora prędkości. W kategoriach matematycznych ta definicja wygląda tak:

Przyspieszenie jest pochodną prędkości w pełnym czasie.

Jak wiadomo, prędkość v¯ ciała w każdym punkcie trajektorii jest skierowana stycznie. Fakt ten pozwala nam przedstawić go jako iloczyn modułu v i jednostkowego wektora stycznego u¯, czyli:

Wtedy całkowite przyspieszenie można obliczyć w następujący sposób:

a¯ = d (v * u¯) / dt = dv / dt * u¯ + v * du¯ / dt

Wielkość a¯ jest sumą wektorów dwóch wyrazów. Pierwszy wyraz jest styczny (podobnie jak prędkość ciała) i nazywa się przyspieszeniem stycznym. Określa szybkość zmian modułu prędkości. Drugi termin to normalne przyspieszenie. Rozważmy to bardziej szczegółowo w dalszej części artykułu.

Otrzymane powyżej wyrażenie dla normalnej składowej przyspieszenia an¯ można zapisać wprost:

an¯ = v * du¯ / dt = v * du¯ / dl * dl / dt = v2 / r * re¯

Tutaj dl jest ścieżką przebytą przez ciało wzdłuż trajektorii w czasie dt, re¯ jest wersorem skierowanym do środka krzywizny trajektorii, r jest promieniem tej krzywizny. Otrzymany wzór prowadzi do kilku ważnych cech składnika an¯ całkowitego przyspieszenia:

• Wielkość an¯ rośnie wraz z kwadratem prędkości i maleje odwrotnie proporcjonalnie do promienia, co odróżnia ją od składowej stycznej. Ta ostatnia nie jest równa zeru tylko wtedy, gdy zmienia się moduł prędkości.
• Przyspieszenie normalne jest zawsze skierowane w stronę środka krzywizny, dlatego nazywa się je dośrodkowe.

Zatem głównym warunkiem istnienia niezerowej wielkości an¯ jest krzywizna trajektorii. Jeśli taka krzywizna nie istnieje (przesunięcie w linii prostej), to an¯ = 0, ponieważ r-> ∞.

Przyspieszenie dośrodkowe podczas poruszania się po okręgu

Okrąg to linia geometryczna, której wszystkie punkty znajdują się w tej samej odległości od jakiegoś punktu. Ta ostatnia nazywana jest środkiem koła, a wspomniana odległość to jego promień. Jeśli prędkość ciała podczas obrotu nie zmienia się w wartości bezwzględnej, to mówi się o równie zmiennym ruchu po okręgu. W takim przypadku przyspieszenie dośrodkowe można łatwo obliczyć za pomocą jednego z dwóch poniższych wzorów:

Gdzie ω jest prędkością kątową mierzoną w radianach na sekundę (rad/s). Drugą równość uzyskuje się dzięki relacji między prędkościami kątowymi i liniowymi:

Siły dośrodkowe i odśrodkowe

Na jednolity ruch ciało wokół obwodu przyspieszenia dośrodkowego powstaje w wyniku działania odpowiedniej siły dośrodkowej. Jego wektor jest zawsze skierowany w stronę środka okręgu.

Natura tej siły może być bardzo różnorodna. Na przykład, gdy osoba odkręca kamień przywiązany do liny, to na swojej trajektorii jest on utrzymywany przez siłę naciągu liny. Innym przykładem działania siły dośrodkowej jest oddziaływanie grawitacyjne między Słońcem a planetami. To ona sprawia, że ​​wszystkie planety i asteroidy poruszają się po orbitach kołowych. Siła dośrodkowa nie jest w stanie zmienić energii kinetycznej ciała, ponieważ jest skierowana prostopadle do jego prędkości.

Każda osoba mogłaby zwrócić uwagę na to, że gdy samochód skręca np. w lewo, pasażerowie są dociskani do prawej krawędzi wnętrza pojazdu. Proces ten jest wynikiem działania siły odśrodkowej ruchu obrotowego. W rzeczywistości siła ta nie jest rzeczywista, ponieważ wynika z bezwładności ciała i jego tendencji do poruszania się po prostej trajektorii.

Siły odśrodkowe i dośrodkowe są równe co do wielkości i przeciwne w kierunku. Gdyby tak nie było, naruszona zostałaby kołowa trajektoria ruchu ciała. Jeśli weźmiemy pod uwagę drugie prawo Newtona, to można argumentować, że podczas ruchu obrotowego przyspieszenie odśrodkowe jest równe przyspieszeniu dośrodkowemu.

Aslamazov L.G. Ruch w kole // Kvant. - 1972. - nr 9. - S. 51-57.

Za specjalnym porozumieniem z redakcją i redaktorami magazynu Kvant

Do opisu ruchu po okręgu wraz z prędkością liniową wprowadzono pojęcie prędkość kątowa... Jeśli punkt podczas poruszania się po okręgu w czasie Δ T opisuje łuk, którego miarą kątową jest Δφ, a następnie prędkość kątowa.

Prędkość kątowa ω jest powiązana z prędkością liniową υ zależnością υ = ω r, gdzie r- promień okręgu, po którym porusza się punkt (ryc. 1). Pojęcie prędkości kątowej jest szczególnie przydatne do opisu rotacji. solidny wokół osi. Chociaż prędkości liniowe w punktach znajdujących się w różnych odległościach od osi nie będą takie same, to ich prędkości kątowe będą równe i możemy mówić o prędkości kątowej obrotu ciała jako całości.

Problem 1... Tarcza promieniowa r rolki bez poślizgu na płaszczyźnie poziomej. Prędkość środka tarczy jest stała i równa υ p. Z jaką prędkością kątową obraca się tarcza?

Każdy punkt dysku uczestniczy w dwóch ruchach – w ruchu postępowym z prędkością υ p wraz ze środkiem dysku oraz w ruchu obrotowym wokół środka z określoną prędkością kątową ω.

Aby znaleźć ω, wykorzystujemy brak poślizgu, to znaczy fakt, że w każdym momencie prędkość punktu na dysku stykającym się z płaszczyzną wynosi zero. Oznacza to, że dla rzeczy A(rys. 2) prędkość ruchu postępowego υ p jest równa co do wielkości i przeciwna do prędkości liniowej ruchu obrotowego υ bp = ω · r... Stąd od razu dostajemy.

Cel 2. Znajdź prędkości punktów V, Z oraz D ten sam dysk (ryc. 3).

Rozważ najpierw punkt V... Prędkość liniowa jego ruchu obrotowego jest skierowana pionowo w górę i jest równa , czyli wartość jest równa prędkości ruchu postępowego, który jednak jest skierowany poziomo. Dodając te dwie prędkości wektorowo, stwierdzamy, że uzyskana prędkość υ b jest równej wielkości i tworzy z horyzontem kąt 45º. W punkcie Z prędkości obrotowe i translacyjne są skierowane w jednym kierunku. Wynikowa prędkość υ C jest równy 2υ p i jest skierowany poziomo. Podobnie jest z prędkością punktu D(patrz rys. 3).

Nawet w przypadku, gdy prędkość punktu poruszającego się po okręgu nie zmienia się co do wielkości, punkt ma pewne przyspieszenie, ponieważ zmienia się kierunek wektora prędkości. To przyspieszenie nazywa się dośrodkowy... Jest skierowany do środka koła i jest równy ( r jest promieniem okręgu, ω i υ są prędkościami kątowymi i liniowymi punktu).

Jeżeli prędkość punktu poruszającego się po okręgu zmienia się nie tylko w kierunku, ale także co do wielkości, to wraz z przyspieszeniem dośrodkowym występuje również tzw. styczny przyśpieszenie. Jest skierowany stycznie do okręgu i jest równy stosunkowi (Δυ jest zmianą wartości prędkości w czasie Δ T).

Cel 3. Znajdź punkty przyspieszenia A, V, Z oraz D promień dysku r toczenie bez poślizgu na płaszczyźnie poziomej. Prędkość środka dysku jest stała i równa υ p (rys. 3).

W układzie współrzędnych związanym ze środkiem dysku, dysk obraca się z prędkością kątową ω, a samolot porusza się translacyjnie z prędkością υ p. Nie ma zatem poślizgu między dyskiem a płaszczyzną. Prędkość ruchu postępowego υp nie zmienia się, dlatego kątowa prędkość obrotu dysku jest stała, a punkty dysku mają tylko przyspieszenie dośrodkowe skierowane w stronę środka dysku. Ponieważ układ współrzędnych porusza się bez przyspieszenia (ze stałą prędkością υ p), to w stacjonarnym układzie współrzędnych przyspieszenia punktów dysku będą takie same.

Przejdźmy teraz do problemów dynamiki ruchu obrotowego. Rozważmy najpierw najprostszy przypadek, w którym ruch po okręgu odbywa się ze stałą prędkością. Ponieważ przyspieszenie ciała jest w tym przypadku skierowane do środka, to suma wektorowa wszystkich sił przyłożonych do ciała musi być również skierowana do środka i zgodnie z prawem Newtona II.

Należy pamiętać, że prawa strona tego równania obejmuje tylko siły rzeczywiste działające na dane ciało od innych ciał. Nie siła dośrodkowa nie występuje podczas poruszania się po okręgu. Termin ten jest używany po prostu do określenia sił wypadkowych przyłożonych do ciała poruszającego się po okręgu. Dotyczący siła odśrodkowa, to pojawia się tylko przy opisie ruchu po okręgu w nieinercyjnym (obrotowym) układzie współrzędnych. W ogóle nie będziemy tu posługiwać się pojęciem siły dośrodkowej i odśrodkowej.

Problem 4... Wyznacz najmniejszy promień krzywizny drogi, jaki samochód może przejechać z prędkością υ = 70 km/h oraz współczynnik tarcia opon na drodze k =0,3.

r = m .g, siła reakcji drogi n i siły tarcia F TP między oponami samochodu a drogą. Siły r oraz n skierowane pionowo i równej wielkości: P = n... Siła tarcia, która zapobiega poślizgowi pojazdu („poślizg”) jest skierowana w stronę środka obrotu i nadaje przyspieszenie dośrodkowe:. Maksymalna siła tarcia F tr max = k· n = k· m .g, dlatego z równania wyznacza się minimalną wartość promienia okręgu, po której ruch z prędkością υ jest jeszcze możliwy. Stąd (m).

Siła reakcji drogi n podczas jazdy po okręgu nie przechodzi przez środek ciężkości pojazdu. Wynika to z faktu, że jego moment względem środka ciężkości musi kompensować moment tarcia, który ma tendencję do przewracania samochodu. Wielkość siły tarcia jest tym większa, więcej prędkości samochód. Przy określonej wartości prędkości moment tarcia przekroczy moment reakcji i samochód się przewróci.

Problem 5... Z jaką prędkością samochód porusza się po łuku koła o promieniu r= 130 m, czy może się przewrócić? Środek ciężkości pojazdu znajduje się na wysokości h= 1 m nad jezdnią, szerokość toru samochodowego ja= 1,5 m (rys. 4).

W momencie dachowania samochodu jako siła reakcji drogi n i siła tarcia F TP są przymocowane do „zewnętrznego” koła. Kiedy samochód porusza się po okręgu z prędkością υ, działa na niego siła tarcia. Siła ta tworzy moment względem środka ciężkości pojazdu. Maksymalny moment siły reakcji drogi n = m .g względem środka ciężkości jest równa (w momencie wywrócenia siła reakcji przechodzi przez koło zewnętrzne). Porównując te momenty, znajdujemy równanie na maksymalną prędkość, przy której samochód jeszcze się nie przewróci:

Skąd ≈ 30 m/s ≈ 110 km/h.

Aby samochód mógł poruszać się z taką prędkością, wymagany jest współczynnik tarcia (patrz poprzedni problem).

Podobna sytuacja ma miejsce podczas skręcania motocykla lub roweru. Siła tarcia, która tworzy przyspieszenie dośrodkowe, ma moment w pobliżu środka ciężkości, który ma tendencję do przechylania motocykla. Dlatego, aby skompensować ten moment momentem siły reakcji drogi, motocyklista pochyla się w kierunku zakrętu (rys. 5).

Problem 6... Motocyklista jedzie po poziomej drodze z prędkością υ = 70 km/h, wykonując zakręt o promieniu r= 100 m. Pod jakim kątem α do horyzontu powinien przechylić się, aby nie spaść?

Siła tarcia między motocyklem a drogą, która nadaje kierowcy przyspieszenie dośrodkowe. Siła reakcji drogi n = m .g... Warunek równości momentów siły tarcia i siły reakcji względem środka ciężkości daje równanie: F tp ja Grzech α = n· ja Cos α, gdzie ja- dystans OA od środka ciężkości do toru motocyklowego (patrz rys. 5).

Podstawiając tutaj wartości F tp i n, stwierdzamy, że lub ... Zauważ, że wypadkowe siły n oraz F tp przy tym kącie pochylenia motocykl przechodzi przez środek ciężkości, co zapewnia równość całkowitego momentu sił do zera n oraz F tp.

W celu zwiększenia prędkości ruchu po łuku jezdni odcinek jezdni na zakręcie jest pochylony. Jednocześnie, oprócz siły tarcia, w tworzenie przyspieszenia dośrodkowego bierze udział również siła reakcji drogi.

Problem 7... Z jaką prędkością maksymalną υ samochód może poruszać się po torze pochyłym o kącie nachylenia α przy promieniu krzywizny r oraz współczynnik tarcia opon na drodze k?

Samochód jest pod wpływem grawitacji m .g, siła reakcji n prostopadła do płaszczyzny toru, a siła tarcia F tp skierowane wzdłuż toru (rys. 6).

Ponieważ nie interesują nas w tym przypadku momenty sił działających na samochód, narysowaliśmy wszystkie siły przyłożone do środka ciężkości samochodu. Suma wektorowa wszystkich sił powinna być skierowana do środka okręgu, po którym porusza się samochód, i nadać mu przyspieszenie dośrodkowe. Dlatego suma rzutów sił na kierunek do środka (kierunek poziomy) jest równa, czyli

Suma rzutów wszystkich sił na kierunek pionowy wynosi zero:

n Cos α - m .g – F t p sin α = 0.

Podstawiając do tych równań maksymalną możliwą wartość siły tarcia F tp = k N i z wyłączeniem siły n, znajdujemy maksymalną prędkość , którym nadal można poruszać się po takim torze. To wyrażenie jest zawsze większe niż wartość odpowiadająca drodze poziomej.

Po omówieniu dynamiki rotacji przejdźmy do zadań na ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej.

Problem 8... Samochód masowy m= 1,5 t porusza się z prędkością υ = 70 km/h po drodze pokazanej na rysunku 7. Odcinki drogi AB oraz Słońce można uznać za łuki okręgów o promieniu r= 200 m stykających się w punkcie V... Określ siłę nacisku samochodu na drogę w punktach A oraz Z... Jak zmienia się siła nacisku, gdy samochód mija punkt? V?

W punkcie A na samochód działa grawitacja r = m .g i siła reakcji drogi N A... Suma wektorowa tych sił powinna być skierowana do środka okręgu, czyli pionowo w dół, i wytworzyć przyspieszenie dośrodkowe: skąd (H). Siła nacisku samochodu na drogę jest równa wielkości i przeciwna do siły reakcji. W punkcie Z suma wektorowa sił skierowana jest pionowo w górę: i (H). Tak więc w punkcie A siła nacisku jest mniejsza niż siła grawitacji i w punkcie Z- jeszcze.

W punkcie V samochód porusza się z wypukłego odcinka drogi na wklęsły (lub odwrotnie). Podczas jazdy po wypukłym odcinku, rzut grawitacji w kierunku do środka musi przekraczać siłę reakcji drogi N B 1 i ... Podczas jazdy po wklęsłym odcinku drogi, przeciwnie, siła reakcji drogi N B 2 przewyższa rzut grawitacyjny: .

Z tych równań otrzymujemy, że przechodząc przez punkt V siła nacisku samochodu na jezdnię zmienia się gwałtownie o wartość ≈ 6 · 10 3 N. Oczywiście takie obciążenia udarowe działają destrukcyjnie zarówno na samochód, jak i na drogę. Dlatego drogi i mosty zawsze starają się płynnie zmieniać ich krzywiznę.

Gdy samochód porusza się po okręgu ze stałą prędkością, suma rzutów wszystkich sił na kierunek styczny do okręgu powinna być równa zeru. W naszym przypadku styczna składowa siły grawitacji jest równoważona siłą tarcia między kołami samochodu a drogą.

Wielkość siły tarcia jest kontrolowana przez moment obrotowy przyłożony do kół od strony silnika. Ten moment ma tendencję do powodowania poślizgu kół w stosunku do drogi. Dlatego istnieje siła tarcia, która zapobiega poślizgowi i jest proporcjonalna do przyłożonego momentu obrotowego. Maksymalna wartość siły tarcia wynosi k N, gdzie k- współczynnik tarcia między oponami samochodu a drogą, n- siła nacisku na drogę. Kiedy samochód jedzie w dół, siła tarcia odgrywa rolę siły hamowania, a gdy porusza się w górę, przeciwnie, rolę trakcji.

Problem 9... Masa pojazdu m= 0,5 t, poruszając się z prędkością υ = 200 km/h, tworzy „pętlę” o promieniu r= 100 m (rys. 8). Określ siłę nacisku samochodu na jezdnię w górnej części pętli A; w punkcie V, którego wektor promienia tworzy z pionem kąt α = 30º; w punkcie Z, w którym prędkość pojazdu jest skierowana w pionie. Czy możliwe jest, aby samochód poruszał się po pętli z tak stałą prędkością przy współczynniku tarcia opony na drodze? k = 0,5?

W górnej części pętli grawitacja i siła reakcji drogi N A skierowane pionowo w dół. Suma tych sił tworzy przyspieszenie dośrodkowe: ... Więc N.

Siła nacisku samochodu na drogę jest równa wielkości i przeciwna do siły N A.

W punkcie V przyspieszenie dośrodkowe jest tworzone przez sumę siły reakcji i rzutu grawitacji na kierunek do środka: ... Stąd N.

Łatwo to zauważyć nb > N A; wraz ze wzrostem kąta α siła reakcji drogi wzrasta.

W punkcie Z siła reakcji H; przyspieszenie dośrodkowe w tym punkcie jest tworzone tylko przez siłę reakcji, a siła grawitacji jest skierowana stycznie. Podczas poruszania się po dolnej części pętli siła reakcji również przekroczy wartość maksymalną H siła reakcji ma w punkcie D... Oznaczający , zatem jest minimalną wartością siły reakcji.

Prędkość pojazdu będzie stała, jeśli styczna grawitacja nie przekroczy maksymalnej siły tarcia k N we wszystkich punktach pętli. Warunek ten jest z pewnością spełniony, jeśli wartość minimalna przekracza maksymalną wartość składowej stycznej siły ciężaru. W naszym przypadku ta maksymalna wartość to m .g(osiąga się w punkcie Z), a warunek jest spełniony dla k= 0,5, υ = 200 km/h, r= 100m.

Zatem w naszym przypadku możliwy jest ruch samochodu w „pętli” ze stałą prędkością.

Rozważmy teraz ruch samochodu w „pętli” z wyłączonym silnikiem. Jak już wspomniano, zwykle moment tarcia jest przeciwny do momentu przykładanego do kół od strony silnika. Gdy samochód jedzie z wyłączonym silnikiem, ten moment jest nieobecny, a siła tarcia między kołami samochodu a drogą można pominąć.

Prędkość samochodu nie będzie już stała - styczna składowa siły grawitacji zwalnia lub przyspiesza ruch samochodu po „pętli”. Zmieni się również przyspieszenie dośrodkowe. Powstaje ona, jak zwykle, przez wypadkową siłę reakcji drogi i rzut siły grawitacji na kierunek do środka pętli.

Problem 10... Jaka jest najwolniejsza prędkość pojazdu na dole pętli? D(patrz rys. 8) w celu wykonania tego przy wyłączonym silniku? Jaka będzie siła nacisku samochodu na drogę w punkcie? V? Promień pętli r= 100 m, masa pojazdu m= 0,5 tony.

Zobaczmy, jaką minimalną prędkość może mieć samochód na szczycie pętli A iść dalej w kółko?

Przyspieszenie dośrodkowe w tym punkcie drogi jest tworzone przez sumę grawitacji i siły reakcji drogi. ... Im mniejsza prędkość samochodu, tym mniejsza siła reakcji. N A... W wartości, ta siła znika. Przy mniejszej prędkości grawitacja przekroczy wartość wymaganą do wygenerowania przyspieszenia dośrodkowego i pojazd zjedzie z drogi. Przy prędkości siła reakcji drogi zanika tylko w górnej części pętli. Rzeczywiście, prędkość samochodu na innych odcinkach pętli będzie większa, a jak łatwo zauważyć z rozwiązania poprzedniego problemu, siła reakcji drogi również będzie większa niż w punkcie A... Dlatego jeśli samochód na szczycie pętli ma prędkość, to nigdzie nie wypadnie z pętli.

Ustalmy teraz jaką prędkość powinien mieć samochód na dole pętli D tak aby na górze pętli A jego prędkość. Aby znaleźć prędkość υ D można skorzystać z prawa zachowania energii, tak jakby samochód poruszał się tylko pod wpływem grawitacji. Faktem jest, że siła reakcji drogi w każdym momencie jest skierowana prostopadle do ruchu samochodu, a zatem jej praca wynosi zero (przypomnijmy, że praca Δ A = F·Δ s Cos α, gdzie α jest kątem między siłą F i kierunek ruchu Δ s). Można pominąć siłę tarcia między kołami samochodu a drogą podczas jazdy z wyłączonym silnikiem. Dlatego suma energii potencjalnej i kinetycznej samochodu podczas jazdy z wyłączonym silnikiem nie ulega zmianie.

Zrównajmy wartości energetyczne samochodu w punktach A oraz D... W takim przypadku zmierzymy wysokość od poziomu punktu D, czyli energia potencjalna samochodu w tym momencie będzie uważana za równą zero. Wtedy dostajemy

Podstawiając tutaj wartość żądanej prędkości υ D, znajdujemy: ≈ 70 m/s ≈ 260 km/h.

Jeśli samochód wjedzie w pętlę z tą prędkością, będzie mógł ją ukończyć z wyłączonym silnikiem.

Ustalmy teraz, z jaką siłą samochód będzie naciskał na drogę w danym punkcie V... Prędkość pojazdu w punkcie V znowu łatwo jest znaleźć z prawa zachowania energii:

Podstawiając wartość tutaj, stwierdzamy, że prędkość .

Korzystając z rozwiązania poprzedniego problemu, dla danej prędkości wyznaczamy siłę nacisku w punkcie b:

Podobnie możesz znaleźć siłę nacisku w dowolnym innym punkcie „martwej pętli”.

Ćwiczenia

1. Znajdź prędkość kątową sztuczny satelita Ziemia obracająca się po orbicie kołowej z okresem rewolucji T= 88 minut Znajdź prędkość liniową tego satelity, jeśli wiadomo, że jego orbita znajduje się w pewnej odległości r= 200 km od powierzchni Ziemi.

2. Promień dysku r umieszczone między dwiema równoległymi listwami. Reiki porusza się z prędkościami υ 1 i υ 2. Określ prędkość kątową obrotu dysku oraz prędkość jego środka. Nie ma poślizgu.

3. Tarcza toczy się po poziomej powierzchni bez poślizgu. Pokaż, że końce wektorów prędkości punktów średnicy pionowej leżą na tej samej linii prostej.

4. Samolot porusza się po okręgu ze stałą prędkością poziomą υ = 700 km/h. Określ promień r ten okrąg, jeśli kadłub samolotu jest nachylony pod kątem α = 5 °.

5. Obciążenie wagi m= 100 g, zawieszony na nitce o długości ja= 1 m, obraca się równomiernie po okręgu w płaszczyźnie poziomej. Znajdź okres obrotu obciążenia, jeśli podczas jego obrotu nitka jest odchylana w pionie o kąt α = 30 °. Określ również naprężenie nici.

6. Samochód porusza się z prędkością υ=80 km/h po wewnętrznej powierzchni pionowego walca o promieniu r= 10 mw okręgu poziomym. Jaki jest minimalny możliwy współczynnik tarcia między oponami samochodu a powierzchnią cylindra?

7. Waga m zawieszony na nierozciągliwej nici, której maksymalne możliwe napięcie wynosi 1,5 m .g... Pod jakim maksymalnym kątem α nitka może być odchylona od pionu, aby nić nie pękła przy dalszym ruchu obciążenia? Jakie będzie naprężenie nitki w momencie, gdy nitka tworzy kąt α/2 z pionem?

Odpowiedzi

I. Prędkość kątowa sztucznego satelity Ziemi ≈ 0,071 rad/s. Prędkość liniowa satelity υ = ω r... gdzie r- promień orbity. Zastępując tutaj r = r 3 + h, gdzie r 3 ≈ 6400 km, znajdujemy υ ≈ 467 km / s.

2. Możliwe są tutaj dwa przypadki (rys. 1). Jeżeli prędkość kątowa dysku wynosi ω, a prędkość jego środka υ, to prędkości punktów stykających się z prętami będą odpowiednio równe

w przypadku a) υ 1 = υ + ω r, υ 2 = υ - ω r;

w przypadku b) υ 1 = υ + ω r, υ 2 = ω r – υ.

(Przyjęliśmy za jednoznaczność, że υ 1> υ 2). Rozwiązując te systemy, znajdujemy:

a)

b)

3. Prędkość dowolnego punktu m leżąc na segmencie OW(patrz rys. 2), znajduje się wzorem υ m = υ + ω· rm, gdzie r M- odległość od punktu m do środka dysku O... Dla każdego punktu n należący do segmentu OA, mamy: υ n = υ – ω· rn, gdzie r N- odległość od punktu n do centrum. Przez ρ oznaczamy odległość od dowolnego punktu średnicy VA do momentu A kontakt dysku z samolotem. Wtedy jest oczywiste, że r M = ρ – r oraz r N = r – ρ = –(ρ – r). gdzie r to promień tarczy. Dlatego prędkość dowolnego punktu na średnicy VA znajduje się wzorem: υ ρ = υ + ω r). Ponieważ tarcza toczy się bez poślizgu, to dla prędkości υ ρ otrzymujemy υ ρ = ω · ρ. Z tego wynika, że ​​końce wektorów prędkości leżą na prostej wychodzącej z punktu A i nachylony do średnicy VA pod kątem proporcjonalnym do prędkości kątowej obrotu tarczy ω.

Udowodnione stwierdzenie pozwala stwierdzić, że ruch złożony punktów położonych na średnicy VA, można uznać w dowolnym momencie za prosty obrót wokół stałego punktu A z prędkością kątową ω równą prędkości kątowej obrotu wokół środka dysku. Rzeczywiście, w każdym momencie prędkości tych punktów są skierowane prostopadle do średnicy VA, i są równe co do wielkości iloczynowi ω i odległości do punktu A.

Okazuje się, że to stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego punktu na dysku. Co więcej, jest główna zasada... Przy każdym ruchu sztywnego ciała w każdej chwili istnieje oś, wokół której ciało po prostu się obraca - chwilowa oś obrotu.

4. Na samolot działa (patrz rys. 3) grawitacja r = m .g i winda n, skierowane prostopadle do płaszczyzny skrzydeł (ponieważ samolot porusza się ze stałą prędkością, siła ciągu i siła przedniego oporu powietrza równoważą się). Skuteczne siły r

6. Na samochód (rys. 5) działa grawitacja r = m .g, siła reakcji z boku cylindra n i siły tarcia F tp. Ponieważ samochód porusza się po poziomym okręgu, siły r oraz F tp zrównoważyć się nawzajem i siłę n tworzy przyspieszenie dośrodkowe. Maksymalna wartość siły tarcia jest powiązana z siłą reakcji n stosunek: F tp = k N... W rezultacie otrzymujemy układ równań: , z którego wyznaczana jest minimalna wartość współczynnika tarcia

7. Ładunek poruszy się po okręgu o promieniu ja(rys. 6). Przyspieszenie dośrodkowe obciążenia (υ to prędkość obciążenia) jest tworzone przez różnicę wartości siły naciągu nici T i rzut grawitacji m .g kierunek gwintu: ... Więc , gdzie β jest kątem utworzonym przez wątek z pionem. W miarę opadania ciężaru jego prędkość wzrośnie, a kąt β zmniejszy się. Naprężenie nici stanie się maksymalne przy kącie β = 0 (w momencie, gdy nitka jest pionowa): ... Maksymalna prędkość obciążenia υ 0 znajduje się wzdłuż kąta α, o który odchyla się nić, zgodnie z zasadą zachowania energii:

Wykorzystując ten stosunek, dla maksymalnej wartości naprężenia nici otrzymujemy wzór: T maks. = m .g· (3 - 2 cos α). Według stanu problemu T maks. = 2m g... Przyrównując te wyrażenia, znajdujemy cos α = 0,5, a zatem α = 60 °.

Określmy teraz naprężenie nici przy. Prędkość obciążenia w tym momencie wynika również z prawa zachowania energii:

Podstawiając wartość υ 1 do wzoru na siłę rozciągającą, otrzymujemy:

Wróćmy teraz do naszego zadania - znalezienia przyspieszenia, z jakim ciało porusza się po okręgu ze stałą prędkością bezwzględną.

Wiadomo, że przyspieszenie określa wzór

gdzie jest prędkość ciała w pewnym początkowym momencie czasu i jest jego prędkością w pewnym okresie czasu. W naszym przypadku moduły prędkości i są sobie równe.

Załóżmy, że ciało porusza się po okręgu o promieniu iw pewnym momencie znajduje się w punkcie A (ryc. 67).

Jakie jest przyspieszenie w tym momencie? Prędkość w tym punkcie jest skierowana stycznie do okręgu w punkcie A. Po sekundzie ciało znajduje się w punkcie B, a jego prędkość jest teraz

skierowane stycznie do okręgu w punkcie B. Moduł prędkości i 10 są równe (długości strzałek i są takie same).

Chcemy znaleźć przyspieszenie w punkcie A okręgu (przyspieszenie chwilowe). Dlatego musimy wziąć punkty A i B blisko siebie, tak blisko, aby łuk jakby kurczył się do punktu.

Dowiedzmy się najpierw, w jaki sposób kierowane jest to przyspieszenie.

Narysujmy promienie od środka O okręgu do punktów A i B. Promień okręgu jest prostopadły do ​​stycznej w punkcie styczności, a zatem promienie i są prostopadłe do wektorów i Aby znaleźć kierunek wektor przyspieszenia, musisz znaleźć wektor równy różnicy między wektorami i jego kierunkiem - jest to kierunek przyspieszenia wektora. Wiemy już, jak odejmowane są wektory (patrz § 6). Aby znaleźć różnicę między wektorami i ustawić je tak, aby wychodziły z jednego punktu (ryc. 68) i połączyć ich końce, kierując strzałkę od odejmowanego do zredukowanego (od końca wektora do końca wektor Wektor jest różnicą wektorów Zatem przyspieszenie jest skierowane wzdłuż wektora.Co możesz powiedzieć o tym kierunku?

Trójkąt (patrz rys. 68) jest równoramienny. Kąt wierzchołkowy równy kątowi między promieniami i (ryc. 67), ponieważ są utworzone przez wzajemnie prostopadłe boki. Punkty A i B znajdują się blisko siebie, więc kąt jest bardzo mały (bliski zeru). Każdy z kątów u podstawy trójkąta jest zbliżony do kąta prostego, ponieważ suma kątów trójkąta jest równa dwóm kątom prostym. Oznacza to, że wektor

prostopadłe do wektora prędkości. Oznacza to, że przyspieszenie jest prostopadłe do prędkości. Ale prędkość jest skierowana stycznie do okręgu w punkcie A, a styczna jest prostopadła do promienia. Oznacza to, że przyspieszenie jest skierowane wzdłuż promienia do środka okręgu. Dlatego nazywa się to przyspieszeniem dośrodkowym.

Przy równomiernym ruchu ciała po okręgu przyspieszenie w każdym z jego punktów jest prostopadłe do prędkości ruchu i skierowane do środka okręgu.

Ta interesująca cecha przyspieszenia podczas poruszania się po okręgu ze stałą prędkością modułu jest pokazana na rysunku 69.

Znajdźmy teraz moduł przyspieszenia dośrodkowego. Aby to zrobić, musisz znaleźć wartość bezwzględną ilości. Z rysunku 68 widać, że moduł różnicy wektorów jest równy długości segmentu Ponieważ kąt jest bardzo mały, segment różni się niewiele od łuku kołowego (pokazanego linią przerywaną) wyśrodkowanego w punkcie A. Promień tego okręgu jest liczbowo równy Ale, jak wiemy (patrz § 24), długość takiego łuku jest W konsekwencji bezwzględna wartość przyspieszenie jest. Ale prędkość kątowa. Więc

Przyspieszenie ciała poruszającego się po okręgu jest równe iloczynowi jego prędkości liniowej i prędkości kątowej obrotu promienia przyciąganego do ciała.

Wygodniej jest przedstawić wzór na przyspieszenie dośrodkowe w taki sposób, aby zawierał wartość promienia okręgu, po którym porusza się ciało. Ponieważ prędkości kątowe i liniowe są powiązane stosunkiem (jest promieniem okręgu), to zastępując to wyrażenie we wzorze otrzymujemy:

Ale dlatego wzór na przyspieszenie dośrodkowe można również zapisać w następujący sposób:

Przy jednostajnym ruchu na obwodzie ciało porusza się z

przyspieszenie, które jest skierowane wzdłuż promienia do środka koła i którego moduł jest określony przez wyrażenie

W konsekwencji jest również odwrotnie: jeśli wiadomo, że prędkość ciała jest równa, a przyspieszenie ciała we wszystkich punktach jest prostopadłe do wektora jego prędkości i jest równe w wartości bezwzględnej, to można argumentować, że takie ciało porusza się po okręgu, którego promień określa wzór

Oznacza to, że jeśli znamy początkową prędkość ciała i bezwzględną wartość jego przyspieszenia dośrodkowego, możemy narysować okrąg, po którym ciało będzie się poruszać i znaleźć swoje położenie w dowolnym momencie (początkowe położenie ciała musi oczywiście być znanym). W ten sposób zostanie rozwiązane główne zadanie mechaniki.

Przypomnijmy, że przyspieszenie jednostajnym ruchem po okręgu jest dla nas interesujące, ponieważ każdy ruch po zakrzywionej trajektorii jest ruchem po łukach okręgów o różnych promieniach.

Teraz możemy powiedzieć, że ruchem jednostajnym w dowolnym punkcie trajektorii krzywoliniowej ciało porusza się z przyspieszeniem skierowanym w stronę środka okręgu, którego ta trajektoria jest częścią w pobliżu tego punktu. Wartość liczbowa przyspieszenia zależy od prędkości ciała w tym punkcie i od promienia odpowiedniego okręgu. Rysunek 70 pokazuje pewną złożoną trajektorię i pokazuje wektory przyspieszenia dośrodkowego w różnych punktach trajektorii.

Zadanie. Samolot wychodząc z nurkowania porusza się po łuku, który w dolnej części jest łukiem koła o promieniu 500 m (ryc. 71). Oblicz przyspieszenie samolotu w najniższym punkcie, jeśli jego prędkość wynosi 800 km/h, i porównaj tę wartość z przyspieszeniem ziemskim.

4. Ściernica, której promień wynosi 10 cm, podczas obrotu wykonuje 1 obrót w czasie 0,2 sek. Znajdź prędkość punktów najbardziej oddalonych od osi obrotu.

5. Samochód porusza się po łuku jezdni o promieniu 100 m z prędkością 54 km/h. Jaka jest wielkość przyspieszenia dośrodkowego pojazdu?

6. Okres rewolucji pierwszego statku kosmicznego-satelity „Wostok” wokół Ziemi wynosił 90 minut. Średnią wysokość statku satelitarnego nad Ziemią można uznać za równą 320 km. Promień Ziemi wynosi 6400 km. Oblicz prędkość statku.

7. Jaka jest prędkość samochodu, którego koła o promieniu 30 cm wykonują 10 obrotów na sekundę?

8. Dwa koła pasowe, których promienie są połączone pasem bez końca. Okres obrotu koła pasowego o mniejszym promieniu wynosi 0,5 sek. Jaka jest prędkość ruchu punktów na pasie? Jaki jest okres obrotu drugiego koła pasowego?

9. Księżyc okrąża Ziemię w odległości 385 000 km od niej, wykonując jeden obrót w ciągu 27,3 dnia. Oblicz przyspieszenie dośrodkowe księżyca.