Jaka jest reszta z dzielenia przez 45. Dzielenie liczb całkowitych z resztą, reguły, przykłady
Testy podzielności liczb- są to reguły, które pozwalają, bez dokonywania dzielenia, stosunkowo szybko stwierdzić, czy liczba ta jest podzielna przez daną bez reszty.
Niektóre z kryteria podzielności dość proste, niektóre trudniejsze. Na tej stronie znajdziesz oba znaki podzielności liczby pierwsze, takie jak na przykład 2, 3, 5, 7, 11 i kryteria podzielności liczb złożonych, takie jak 6 lub 12.
Mam nadzieję, że te informacje będą dla Ciebie przydatne.
Miłej nauki!
Podzielność przez 2
To jeden z najprostszych testów podzielności. Brzmi to tak: jeśli zapis liczby naturalnej kończy się na parzystej cyfrze, to jest parzysta (podzielna przez 2 bez reszty), a jeśli zapis liczby kończy się na nieparzystej cyfrze, to ta liczba jest nieparzysta.
Innymi słowy, jeśli ostatnia cyfra liczby to 2
, 4
, 6
, 8
lub 0
- liczba jest podzielna przez 2, jeśli nie, to nie jest podzielna
Na przykład liczby: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
są podzielne przez 2, ponieważ są parzyste.
Oraz liczby: 23 5
, 137
, 2303
nie są podzielne przez 2, ponieważ są nieparzyste.
Podzielność przez 3
To kryterium podzielności ma zupełnie inne zasady: jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba jest również podzielna przez 3; jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 3, to liczba też nie jest podzielna przez 3.
Aby więc zrozumieć, czy liczba jest podzielna przez 3, wystarczy zsumować liczby, z których się składa.
Wygląda to tak: 3987 i 141 są podzielne przez 3, ponieważ w pierwszym przypadku 3 + 9 + 8 + 7 = 27
(27: 3 = 9 - podzielne przez 3 bez ostaka), aw drugim 1 + 4 + 1 = 6
(6: 3 = 2 - również podzielne przez 3 bez ostaka).
Ale liczby: 235 i 566 nie są podzielne przez 3, ponieważ 2 + 3 + 5 = 10
i 5 + 6 + 6 = 17
(a wiemy, że ani 10, ani 17 nie są podzielne przez 3 bez reszty).
Podzielność przez 4
To kryterium podzielności będzie bardziej skomplikowane. Jeśli ostatnie 2 cyfry liczby tworzą liczbę podzielną przez 4 lub jest to 00, to liczba ta jest podzielna przez 4, w przeciwnym razie liczba ta nie jest podzielna przez 4 bez reszty.
Na przykład: 1 00
i 3 64
dzielimy przez 4, ponieważ w pierwszym przypadku liczba kończy się na 00
, a w drugim dniu 64
, która z kolei jest podzielna przez 4 bez reszty (64: 4 = 16)
Liczby 3 57
i 8 86
nie są podzielne przez 4, ponieważ ani 57
ani 86
nie są podzielne przez 4, co oznacza, że nie odpowiadają temu kryterium podzielności.
Podzielność przez 5
I znowu mamy dość prosty znak podzielności: jeśli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą 0 lub 5, to ta liczba jest podzielna bez reszty przez 5. Jeśli zapis liczby kończy się inną cyfrą, to liczba nie jest podzielna przez 5 bez reszty.
Oznacza to, że wszelkie liczby kończące się cyframi 0
i 5
np. 1235 5
i 43 0
, podlegają regule i są podzielne przez 5.
I na przykład 1549 3
i 56 4
nie kończą się na 5 lub 0, co oznacza, że nie mogą być podzielne przez 5 bez reszty.
Podzielność przez 6
Mamy przed sobą liczbę złożoną 6, która jest iloczynem liczb 2 i 3. Zatem cecha podzielności przez 6 jest również złożona: aby liczba była podzielna przez 6, musi odpowiadać dwóm cechom podzielności w jednocześnie: cecha podzielności przez 2 i podzielności przez 3. Jednocześnie zauważ, że taka liczba złożona jak 4 ma indywidualny znak podzielności, ponieważ sama jest iloczynem liczby 2. Wróćmy jednak do podzielności przez 6 kryterium.
Liczby 138 i 474 są parzyste i odpowiadają kryteriom podzielności przez 3 (1 + 3 + 8 = 12, 12: 3 = 4 i 4 + 7 + 4 = 15, 15: 3 = 5), co oznacza, że są podzielne przez 6. Ale 123 i 447, chociaż są podzielne przez 3 (1 + 2 + 3 = 6, 6: 3 = 2 i 4 + 4 + 7 = 15, 15: 3 = 5), ale są nieparzyste, co oznacza, że nie odpowiadają kryterium podzielności przez 2, a zatem nie odpowiadają kryterium podzielności przez 6.
Podzielność przez 7
To kryterium podzielności jest bardziej złożone: liczba jest podzielna przez 7, jeśli wynik odjęcia ostatniej podwojonej cyfry od liczby dziesiątek tej liczby jest podzielny przez 7 lub równy 0.
Brzmi dość myląc, ale w praktyce jest proste. Przekonaj się sam: liczba 95
9 jest podzielne przez 7, ponieważ 95
-2 * 9 = 95-18 = 77, 77: 7 = 11 (77 jest podzielne przez 7 bez reszty). Co więcej, jeśli pojawiły się trudności z liczbą uzyskaną podczas przekształceń (ze względu na jej wielkość trudno jest zrozumieć, czy jest podzielna przez 7, czy nie, to procedurę tę można powtarzać tyle razy, ile uznasz za konieczne).
Na przykład, 45
5 i 4580
1 mają oznaki podzielności przez 7. W pierwszym przypadku wszystko jest dość proste: 45
-2 * 5 = 45-10 = 35, 35: 7 = 5. W drugim przypadku zrobimy to: 4580
-2 * 1 = 4580-2 = 4578. Trudno nam zrozumieć, jeśli 457
8 na 7, więc powtórzmy proces: 457
-2 * 8 = 457-16 = 441. I znowu użyjemy kryterium podzielności, ponieważ nadal mamy liczbę trzycyfrową 44
1. A więc 44
-2 * 1 = 44-2 = 42, 42: 7 = 6, tj. 42 jest podzielne przez 7 bez reszty, co oznacza, że 45801 jest podzielne przez 7.
Ale liczby 11
1 i 34
5 nie jest podzielne przez 7, ponieważ 11
-2 * 1 = 11 - 2 = 9 (9 nie jest podzielna przez 7) i 34
-2 * 5 = 34-10 = 24 (24 nie jest równo podzielne przez 7).
Podzielność przez 8
Podzielność przez 8 wygląda następująco: jeśli ostatnie 3 cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub 000, to dana liczba jest podzielna przez 8.
Liczby 1 000
lub 1 088
podzielna przez 8: pierwszy kończy się za 000
, drugi 88
: 8 = 11 (podzielne przez 8 bez reszty).
Ale liczby 1 100
lub 4 757
nie są podzielne przez 8, ponieważ liczby 100
i 757
nie są podzielne przez 8.
Podzielność przez 9
Ten znak podzielności jest podobny do znaku podzielności przez 3: jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to liczba jest również podzielna przez 9; jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 9, to liczba nie jest podzielna przez 9.
Na przykład: 3987 i 144 są podzielne przez 9, ponieważ w pierwszym przypadku 3 + 9 + 8 + 7 = 27
(27: 9 = 3 - podzielne przez 9 bez ostaka), a w drugim 1 + 4 + 4 = 9
(9:9 = 1 - również podzielne przez 9 bez ostaka).
Ale liczby: 235 i 141 nie są podzielne przez 9, ponieważ 2 + 3 + 5 = 10
i 1 + 4 + 1 = 6
(a wiemy, że ani 10, ani 6 nie są podzielne przez 9 bez reszty).
Podzielność przez 10, 100, 1000 i inne jednostki bitowe
Połączyłem te znaki podzielności, ponieważ można je opisać w ten sam sposób: liczba jest dzielona przez jednostkę bitową, jeśli liczba zer na końcu liczby jest większa lub równa liczbie zer w danej jednostce bitowej .
Innymi słowy, na przykład mamy takie liczby: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
... z czego wszystkie są podzielne przez 1 0
; 46400
i 867 000
są również dzielone przez 1 00
; i tylko jeden z nich - 867 000
podzielna przez 1 000
.
Wszelkie liczby, które mają na końcu mniej zer niż jednostka bitowa, nie są podzielne przez tę jednostkę bitową, na przykład 600 30
i 7 93
niepodzielne 1 00
.
Podzielność przez 11
Aby dowiedzieć się, czy liczba jest podzielna przez 11, musisz obliczyć różnicę między sumą cyfr parzystych i nieparzystych tej liczby. Jeśli ta różnica jest równa 0 lub jest podzielna przez 11 bez reszty, to sama liczba jest podzielna przez 11 bez reszty.
Aby było to jaśniejsze, proponuję rozważyć przykłady: 2
35
4 jest podzielne przez 11, ponieważ ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 jest również podzielne przez 11, ponieważ ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Ale 1 1
1 lub 4
35
4 nie jest podzielne przez 11, ponieważ w pierwszym przypadku otrzymujemy (1 + 1) - 1
= 1, aw drugim ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Podzielność przez 12
Liczba 12 jest złożona. Jego kryterium podzielności jest zgodność z kryterium podzielności przez 3 i 4 jednocześnie.
Na przykład 300 i 636 odpowiadają zarówno znakom podzielności przez 4 (ostatnie 2 cyfry są zerami lub są podzielne przez 4), jak i znakom podzielności przez 3 (suma cyfr oraz pierwszej i trzykrotności liczby wynosi podzielne przez 3) i znit, są podzielne przez 12 bez reszty.
Ale 200 lub 630 nie są podzielne przez 12, ponieważ w pierwszym przypadku liczba odpowiada tylko znakowi podzielności przez 4, a w drugim tylko znakowi podzielności przez 3. ale nie obu znakom jednocześnie .
Podzielność przez 13
Znakiem podzielności przez 13 jest to, że jeśli liczba dziesiątek liczby dodana przez pomnożone przez 4 jednostki tej liczby jest wielokrotnością 13 lub jest równa 0, to sama liczba jest podzielna przez 13.
Weź na przykład 70
2. Tak więc 70
+ 4 * 2 = 78, 78: 13 = 6 (78 jest podzielne przez 13 bez reszty), co oznacza 70
2 jest podzielne przez 13 bez reszty. Innym przykładem jest liczba 114
4. 114
+ 4 * 4 = 130, 130: 13 = 10. Liczba 130 jest podzielna przez 13 bez reszty, co oznacza, że dana liczba odpowiada kryterium podzielności przez 13.
Jeśli weźmiemy liczby 12
5 lub 21
2, wtedy dostajemy 12
+ 4 * 5 = 32 i 21
+ 4 * 2 = odpowiednio 29 i ani 32, ani 29 nie są podzielne przez 13 bez reszty, co oznacza, że podane liczby nie są podzielne przez 13.
Podzielność liczb
Jak widać z powyższego, można przyjąć, że dla dowolnej liczby naturalnej można wybrać własne indywidualne kryterium podzielności lub cechę „złożoną”, jeśli liczba jest wielokrotnością kilku różne liczby... Ale jak pokazuje praktyka, ogólnie rzecz biorąc, im większa liczba, tym bardziej złożony jest jej znak. Być może czas poświęcony na sprawdzenie kryterium podzielności może okazać się równy lub większy niż sam podział. Dlatego zwykle stosujemy najprostsze z kryteriów podzielności.
Spójrzmy na prosty przykład:
15:5=3
W tym przykładzie Liczba naturalna 15 dzieliliśmy całkowicie o 3, bez reszty.
Czasami nie można całkowicie podzielić liczby naturalnej. Rozważmy na przykład zadanie:
W szafie było 16 zabawek. W grupie było pięcioro dzieci. Każde dziecko wzięło tyle samo zabawek. Ile zabawek ma każde dziecko?
Decyzja:
Podziel liczbę 16 przez 5 za pomocą kolumny, otrzymujemy:
Wiemy, że 16 na 5 nie jest podzielne. Najbliższa mniejsza liczba podzielna przez 5 to 15 i 1 w pozostałej części. Możemy zapisać liczbę 15 jako 5⋅3. W rezultacie (16 - dywidenda, 5 - dzielnik, 3 - iloraz niepełny, 1 - reszta). Odebrane formuła dzielenie z resztą, dzięki którym możesz zrobić weryfikacja decyzji.
za=
b⋅
do+
re
za - dywidenda,
b - dzielnik,
do - iloraz niepełny,
re Czy reszta.
Odpowiedź: każde dziecko zabierze 3 zabawki i jedna zabawka pozostanie.
Pozostała część dywizji
Reszta musi zawsze być mniejsza niż dzielnik.
Jeśli reszta wynosi zero podczas dzielenia, oznacza to, że należy podzielić dywidendę całkowicie lub brak reszty na dzielnik.
Jeśli podczas dzielenia reszta jest większa niż dzielnik, oznacza to, że znaleziona liczba nie jest największa. Istnieje większa liczba, która podzieli dywidendę, a reszta będzie mniejsza niż dzielnik.
Pytania na temat „Podział z resztą”:
Czy reszta może być większa niż dzielnik?
Odpowiedź brzmi nie.
Reszta może być równa dzielnikowi?
Odpowiedź brzmi nie.
Jak obliczyć dywidendę według niepełnego ilorazu, dzielnika i reszty?
Odpowiedź: podstawiamy wartości niepełnego ilorazu, dzielnika i reszty do formuły i znajdujemy dywidendę. Formuła:
a = b⋅c + d
Przykład 1:
Podziel z resztą i sprawdź: a) 258: 7 b) 1873: 8
Decyzja:
a) Podziel według kolumny:
258 - dywidenda,
7 - dzielnik,
36 - iloraz niepełny,
6 to reszta. Pozostało mniej niż dzielnik 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Podziel według kolumny:
1873 - dywidenda,
8 - dzielnik,
234 - iloraz niepełny,
1 to reszta. Reszta mniejsza niż dzielnik 1<8.
Podstawmy we wzorze i sprawdźmy, czy poprawnie rozwiązaliśmy przykład:
8⋅234+1=1872+1=1873
Przykład nr 2:
Jakie są reszty otrzymane z dzielenia liczb naturalnych: a) 3 b) 8?
Odpowiedź:
a) Reszta jest mniejsza niż dzielnik, a więc mniejsza niż 3. W naszym przypadku reszta może wynosić 0, 1 lub 2.
b) Reszta jest mniejsza niż dzielnik, a więc mniejsza niż 8. W naszym przypadku reszta może wynosić 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lub 7.
Przykład nr 3:
Jaka jest największa reszta, którą można otrzymać z dzielenia liczb naturalnych: a) 9 b) 15?
Odpowiedź:
a) Reszta jest mniejsza niż dzielnik, a więc mniejsza niż 9. Ale musimy wskazać największą resztę. Oznacza to, że liczba najbliższa dzielnikowi. Ta liczba to 8.
b) Reszta jest mniejsza niż dzielnik, a więc mniejsza niż 15. Musimy jednak wskazać największą resztę. Oznacza to, że liczba najbliższa dzielnikowi. Ta liczba to 14.
Przykład nr 4:
Znajdź dywidendę: a) a: 6 = 3 (reszta 4) b) c: 24 = 4 (reszta 11)
Decyzja:
a) Rozwiążmy za pomocą wzoru:
a = b⋅c + d
(a – dzielna, b – dzielnik, c – iloraz niepełny, d – reszta.)
a: 6 = 3 (odpoczynek 4)
(a - dzielna, 6 - dzielnik, 3 - iloraz niepełny, 4 - reszta.) Zastąp liczby we wzorze:
a = 6⋅3 + 4 = 22
Odpowiedź: a = 22
b) Rozwiążmy za pomocą wzoru:
a = b⋅c + d
(a – dzielna, b – dzielnik, c – iloraz niepełny, d – reszta.)
od: 24 = 4 (odpoczynek 11)
(c - dzielna, 24 - dzielnik, 4 - niepełny iloraz, 11 - reszta.) Podstaw liczby we wzorze:
c = 24⋅4 + 11 = 107
Odpowiedź: c = 107
Zadanie:
Drut 4m. należy pokroić na kawałki o długości 13 cm. Ile z tych kawałków otrzymasz?
Decyzja:
Najpierw musisz przeliczyć metry na centymetry.
4m = 400cm.
Możesz podzielić to przez kolumnę lub w głowie otrzymujemy:
400: 13 = 30 (odpoczynek 10)
Sprawdźmy:
13⋅30+10=390+10=400
Odpowiedź: wyjdzie 30 sztuk i pozostanie 10 cm drutu.
W tym artykule przeanalizujemy dzielenie liczb całkowitych z resztą... Zacznijmy od ogólnej zasady dzielenia liczb całkowitych przez resztę, sformułuj i udowodnij twierdzenie o podzielności liczb całkowitych przez resztę, prześledźmy związki między dzielną, dzielnikiem, ilorazem niepełnym i resztą. Następnie przedstawimy zasady, według których dokonuje się dzielenia liczb całkowitych przez resztę i rozważymy zastosowanie tych zasad przy rozwiązywaniu przykładów. Następnie dowiemy się, jak sprawdzić wynik dzielenia liczb całkowitych z resztą.
Nawigacja po stronach.
Zrozumienie pozostałego dzielenia liczb całkowitych
Dzielenie liczb całkowitych przez resztę będziemy rozpatrywać jako uogólnienie dzielenia przez resztę liczb naturalnych. Wynika to z faktu, że liczby naturalne są częścią składową liczb całkowitych.
Zacznijmy od terminów i oznaczeń użytych w opisie.
Przez analogię do dzielenia liczb naturalnych przez resztę przyjmiemy, że wynikiem dzielenia przez resztę dwóch liczb całkowitych a i b (b nie jest równe zero) są dwie liczby całkowite c i d. Liczby a i b nazywają się podzielny i rozdzielacz odpowiednio liczba d - reszta dzieląc a przez b, a liczba całkowita c nazywa się niekompletny prywatny(lub po prostu prywatny jeśli reszta wynosi zero).
Przyjmijmy, że reszta jest nieujemną liczbą całkowitą, a jej wartość nie przekracza b, to znaczy (spotykaliśmy się z takimi łańcuchami nierówności, gdy mówiliśmy o porównywaniu trzech lub więcej liczb całkowitych).
Jeżeli liczba c jest ilorazem niepełnym, a liczba d jest pozostałością z dzielenia liczby całkowitej a przez liczbę b, to krótko napiszemy ten fakt jako równość postaci a: b = c (reszta d).
Zauważ, że dzieląc liczbę całkowitą a przez liczbę całkowitą b, reszta może wynosić zero. W tym przypadku mówi się, że a jest podzielne przez b bez reszty(lub całkowicie). Tak więc dzielenie liczb całkowitych bez reszty jest szczególnym przypadkiem dzielenia liczb całkowitych przez resztę.
Warto też powiedzieć, że dzieląc zero przez jakąś liczbę całkowitą, zawsze mamy do czynienia z dzieleniem bez reszty, ponieważ w tym przypadku iloraz będzie równy zero (patrz rozdział teorii o dzieleniu zera przez liczbę całkowitą), a reszta będzie również równy zero.
Zdecydowaliśmy się na terminologię i oznaczenia, teraz zastanówmy się nad znaczeniem dzielenia liczb całkowitych przez resztę.
Sensowne może być również dzielenie ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b. Aby to zrobić, rozważ ujemną liczbę całkowitą jako dług. Wyobraźmy sobie następującą sytuację. Dług, na który składają się przedmioty, musi spłacić b osób, wnosząc ten sam wkład. Wartość bezwzględna niepełnego prywatnego c w tym przypadku określi wysokość długu każdej z tych osób, a reszta d pokaże, ile przedmiotów pozostanie po spłaceniu długu. Podajmy przykład. Powiedzmy, że 2 osoby potrzebują 7 jabłek. Jeśli przyjmiemy, że każdy z nich jest winien 4 jabłka, to po spłaceniu długu będą mieli 1 jabłko. Ta sytuacja odpowiada równości (−7): 2 = -4 (reszta 1).
Nie będziemy nadawać żadnego znaczenia dzieleniu z resztą dowolnej liczby całkowitej a przez ujemną liczbę całkowitą, ale pozostawimy ją z prawem do istnienia.
Twierdzenie o podzielności dla liczb całkowitych z resztą
Kiedy mówiliśmy o dzieleniu liczb naturalnych przez resztę, okazało się, że dzielna a, dzielnik b, niepełny iloraz c i reszta d są powiązane równością a = b c + d. Liczby całkowite a, b, c i d mają tę samą relację. Ten związek jest potwierdzony przez: twierdzenie o dzielności reszty.
Twierdzenie.
Każda liczba całkowita a może być jednoznacznie reprezentowana przez liczbę całkowitą i niezerową b w postaci a = b q + r, gdzie q i r są liczbami całkowitymi, i.
Dowód.
Najpierw udowadniamy możliwość reprezentowania a = b q + r.
Jeśli liczby całkowite a i b są takie, że a jest równo podzielne przez b, to z definicji istnieje liczba całkowita q taka, że a = b q. W tym przypadku równość a = b q + r obowiązuje dla r = 0.