Zadanie. Liczba trafień wartości zmiennych losowych X i Y w odpowiednich odstępach czasu są wyświetlane w tabeli. Zgodnie z tymi danych znajdują selektywne współczynnik korelacji i selektywne równania linii regresji bezpośredniej Y na X i X na Y.
Decyzja

Przykład. Dystrybucja prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) jest ustawiona na tabelę. Znajdź przepisy dystrybucji składników wartości X, Y i współczynnik korelacji p (X, Y).
Pobierz decyzję

Zadanie. Dwuwymiarowy dyskretna wartość (X, y) jest określony przez prawo dystrybucji. Znajdź przepisy dystrybucji komponentów X i Y, Covariance i współczynnik korelacji.

Dwuwymiarowe połączenie losowej kwoty ( X., Y.) Możliwe wartości, których są pary liczb ( x, U.). Złożony X. i Y.uważany za formularz jednocześnie system Dwie zmienne losowe.

Wartość dwuwymiarowa może być geometrycznie interpretowana jako przypadkowy punkt. M.(H.; Y.) na powierzchni xoy. albo jako losowy wektor Om..

Oddzielny Zwane wartością dwuwymiarową, której jest dyskretna.

Ciągły Nazywane wartością dwuwymiarową, której są ciągłe.

Prawo dystrybucji dwuwymiarowa zmienna losowa zwana korespondencją między możliwymi wartościami a ich prawdopodobieństwami.

Prawo dystrybucji dyskretnej dwuwymiarowej zmiennej losowej można określić: a) w postaci tabeli z podwójnym wejściem zawierającym możliwe wartości i ich prawdopodobieństwa; b) analitycznie, na przykład w formie funkcji dystrybucji.

Funkcja dystrybucyjna Prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej wywołaj funkcję F (x, y)Definiowanie każdej pary liczb (x, y) prawdopodobieństwo X. zajmie wartość mniej niż x i jednocześnie Y. zrobi wartość mniej y.:

F (x, y) \u003d p (x< x, Y < y).

Geometrycznie, ta równość może być interpretowana w następujący sposób: F (x, y) Istnieje możliwość, że losowy punkt ( X, y.) Spada w nieskończoną kwadrant z wierzchołkiem ( x, y)Znajduje się w lewo i poniżej tego wierzchołka.

Czasami zamiast terminu "Funkcja dystrybucji" Użyj terminu "Integral Funkcja".

Funkcja dystrybucji ma następujące właściwości:

Właściwość 1.. Wartości funkcji dystrybucji spełniają podwójną nierówność

0 ≤ f (x, y) ≤ 1.

Nieruchomość 2.. Funkcja dystrybucji jest funkcją nie rozpraszającą dla każdego argumentu:

F (x 2, y) ≥ f (x 1, y), jeśli x 2\u003e x 1,

F (x, y2) ≥ f (x, y 1), jeśli y2\u003e y 1.

Nieruchomość 3.. Mają miejsce ekstremalne wskaźniki:

1) f (-∞, y) \u003d 0,

3) f (-∞, -∞) \u003d 0,

2) f (x, -∞) \u003d 0,

4) F (∞, ∞) \u003d 1.

Nieruchomość 4.. ale) Pod=∞ funkcja dystrybucji systemu staje się funkcją dystrybucji X:

F (x, ∞) \u003d f 1 (x).

b) Z X. = ∞ funkcja dystrybucji systemu staje się funkcją dystrybucji Y:

F (∞, y) \u003d f 2 (y).

Korzystając z funkcji dystrybucji, można znaleźć prawdopodobieństwo losowego punktu w prostokącie. x 1.< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P (x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Gęstość wspólnego rozkładu prawdopodobieństwa (dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa) Ciągłe dwuwymiarowe zmienne losowe nazywane są drugą mieszaną pochodną z funkcji dystrybucji:

Czasami stosuje się "dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa", określa się "funkcja systemu różnicowego".

Gęstość podziałki można przeglądać jako limit stosunku prawdopodobieństwa przychodzącego przypadkowego punktu do prostokąta ze stronami D x. i D. y. do placu tego prostokąta, gdy obie strony dążą do zera; geometrycznie można interpretować jako powierzchnię zwaną dystrybucja powierzchni.

Znając gęstość rozkładu, można znaleźć funkcję dystrybucji według formuły

Prawdopodobieństwo przychodzącego losowego punktu (X, Y) do regionu D jest określony przez równość

Dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa ma następujące właściwości:

Właściwość 1.. Dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa nie jest negatywna:

f (x, y) ≥ 0.

Nieruchomość 2.. Podwójna immunitet integralna z nieskończonymi limitami z dwuwymiarowej gęstości prawdopodobieństwa równy jedności :

W szczególności, jeśli wszystkie możliwe wartości (X, Y) należą do ostatniego regionu D, wtedy

226. Ustawiono dystrybucję prawdopodobieństwa dyskretnej dwuwymiarowej zmiennej losowej:

Znaleźć prawa dystrybucji komponentów.

228. Ustawiona jest funkcja dystrybucji dwuwymiarowej zmiennej losowej.

Znajdź prawdopodobieństwo przychodzącego losowego punktu ( X, y. x. = 0, x. \u003d P / 4, y. \u003d P / 6, y. \u003d P / 3.

229. Znajdź prawdopodobieństwo przychodzącego losowego punktu ( X, y.) w prostokącie ograniczony do prostego x. = 1, x. = 2, y. = 3, y. \u003d 5, jeśli funkcja dystrybucji jest znana

230. Ustawiono funkcję dystrybucji dwuwymiarowej zmiennej losowej.

Znajdź dwuwymiarową gęstość prawdopodobieństwa systemu.

231. W okręgu x 2 + y 2 ≤ r 2 dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa; na zewnątrz okręgu f (x, y) \u003d0. Znajdź: a) stały DO.; b) prawdopodobieństwo przychodzącego losowego punktu ( X, y.) W zakresie promienia r. \u003d 1 wyśrodkowany na początku współrzędnych, jeśli R. = 2.

232. Pierwszy kwadrant otrzymuje funkcję rozkładu systemu dwóch zmiennych losowych. F (x, y) \u003d 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x- y. Znajdź: a) dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa systemu; b) prawdopodobieństwo przychodzącego losowego punktu ( X, y.) w trójkącie z wierzchołkami ZA.(1; 3), B.(3; 3), DO.(2; 8).

8.2. Warunkowe prawa dystrybucji komponentów prawdopodobieństwa
Dyskretna dwuwymiarowa zmienna losowa

Niech komponenty X. i Y. Dyskretne i mają odpowiednio następujące możliwe wartości: x 1, x 2, ..., x n; y 1, y 2, ..., y m.

Warunkowa dystrybucja komponentu X dla Y \u003d y j (J zachowuje tę samą wartość dla wszystkich możliwych wartości X) nazywa się zestawem prawdopodobieństw

p (x 1 | y j), p (x 2 | y j), ..., p (x n | y j).

Podobnie warunkowa dystrybucja Y.

Warunkowe prawdopodobieństwa komponentów X i Y są obliczane zgodnie z wzorami

Aby kontrolować obliczenia, wskazane jest upewnienie się, że suma prawdopodobieństwa dystrybucji warunkowej jest równa jednej.

233. Dyskretna dwuwymiarowa zmienna losowa ( X, y.):

Znajdź: a) Prawo dystrybucji warunkowej X. pod warunkiem że Y.\u003d 10; b) Prawo dystrybucji warunkowej Y. pod warunkiem że X.=6.

8.3. Wprowadzenie gęstości i warunkowe prawa dystrybucyjne
stanowiące ciągłe dwuwymiarowe zmienne losowe

Gęstość rozkładu jednego ze składników jest równa niezgodna integralna Z nieskończonymi ograniczeniami z gęstości wspólnej dystrybucji systemu zmienna integracyjna odpowiada innym komponentowi:

Oto zakłada, że \u200b\u200bmożliwe wartości każdego z komponentów należą do całej osi numerycznej; Jeśli możliwe wartości należą do ostatniego interwału, odpowiednie liczby skończone są traktowane jako limity integracji.

Warunkowa gęstość dystrybucji komponentu x Dla danego znaczenia Y \u003d y. Zadzwoń do stosunku systemu gęstości podziału do rozkładu do komponentu gęstości dystrybucyjnej Y.:

Podobnie określono gęstość warunkowej dystrybucji składnika Y.:

Jeśli warunkowa gęstość rozkładu zmiennych losowych X. i Y. równa ich bezwarunkowym gęstościom, to takie wartości są niezależne.

Mundur Zadzwoń do dystrybucji dwuwymiarowej ciągłej zmiennej losowej ( X, y.) Jeśli w obszarze posiadasz wszystkie możliwe wartości ( x, U.) Gęstość współczesności prawdopodobieństwa oszczędza stałą wartość.

235. Gęstość rozkładu połączenia ciągłej dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) jest ustawiona.

Znajdź: a) rozkład gęstości komponentów; b) warunkowe gęstości dystrybucji stanowiących.

236. Gęstość wspólnego rozkładu ciągłej dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X, y.)

Znajdź: a) stały mnożnik DO.; b) gęstość rozkładu składników; c) Dystrybucja gęstości warunkowej komponentów.

237. Ciągła dwuwymiarowa zmienna losowa ( X, U.) Jest równomiernie dystrybuowany wewnątrz prostokąta z centrum symetrii na początku współrzędnych i partii 2A i 2b, równolegle do osi współrzędnych. Znajdź: a) dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa systemu; b) gęstość rozkładu komponentów.

238. Ciągła dwuwymiarowa wartość losowa ( X, U.) równomiernie rozproszone w środku trójkąt prostokątny Z wierzchołkami O.(0; 0), ALE(0; 8), W(8; 0). Znajdź: a) dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa systemu; b) Gęstość i dystrybucja gęstości warunkowej komponentów.

8.4. Charakterystyka liczbowa systemu ciągłego
Dwie zmienne losowe

Znając gęstość rozkładu elementów X i Y Ciągłe dwuwymiarową zmienną losową (X, Y), można je znaleźć ich oczekiwania matematyczne i dyspersję:

Czasami wygodne jest użycie formuł zawierających dwuwymiarową gęstość prawdopodobieństwa ( podwójne całki Są one pobierane w obszarze możliwych wartości systemu):

Początkowy, moment obrotowy n k, s zamówienie k + S. Systemy ( X, y.) Zadzwoń do matematycznego oczekiwania pracy X k y s:

n k, s \u003d m.

W szczególności,

n 1.0 \u003d m (x), n 0,1 \u003d m (y).

Centralny moment m k, s zamówienie k + S. Systemy ( X, y.) Zadzwoń do matematycznego oczekiwania odpowiednio pracy odchyleń k.-Z i. s.- i stopnie:

m k, s \u003d m (k ∙ s).

W szczególności,

m 1.0 \u003d m \u003d 0, m 0,1 \u003d m \u003d 0;

m 2.0 \u003d m 2 \u003d d (x), m 0,2 \u003d m2 \u003d d (y);

Moment korelacji M Xu Systemy ( X, y.) Zadzwoń do centralnego momentu m 1,1. Około 1 + 1:

m xu \u003d m (∙).

Współczynnik korelacji Wartości X i Y nazywane są stosunkiem momentu korelacji do produktu średnich odchyleń kwadratowych tych ilości:

r xy \u003d m xy / (s x s y).

Współczynnik korelacji - wartość bezwymiarowa i | r xy.|. ≤ 1. Współczynnik korelacji służy do oceny bliskości podłączenie liniowe. pomiędzy X. i Y.: Im bliżej wartości bezwzględnej współczynnika korelacji do jednego, połączenie jest silniejsze; Im bliżej wartości bezwzględnej współczynnika korelacji do zera, połączenie jest słabsze.

Współzależny Zwane dwiema zmiennymi losowymi, jeśli ich korelacja różni się od zera.

Nieskrępowany Dwie zmienne losowe są nazywane, jeśli ich korelacja wynosi zero.

Dostępne są również dwie korelowane wartości; Jeśli zależne są dwie wartości, mogą być zarówno skorelowane, jak i nieskorelowane. Niezależności dwóch wartości jest ich nieskorelowane, nieskorelowane, ale nadal nie może wyciągnąć wniosku o niezależność tych zmiennych (dla normalnie rozproszonych zmiennych są nielokalizowane z tych wartości, sugeruje, że są one niezależne).

W przypadku ciągłych wartości X i Y moment korelacji można znaleźć przez wzory:

239. Ustawiona jest gęstość rozkładu rozkładu ciągłej zmiennej dwuwymiarowej (X, Y):

Znajdź: a) oczekiwania matematyczne; b) Dyspersje składników X i Y.

240. Biorąc pod uwagę ciągłą gęstość stawów dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y):

Znaleźć oczekiwania matematyczne i składniki dyspersji.

241. Gęstość podziału rozkładu ciągłej dwuwymiarowej zmiennej losowej jest ustawiona ( X, y): f (x, y) \u003d 2 cosx przytulny kwadrat 0 ≤. x. ≤p / 4, 0 ≤ y. ≤p / 4; Plac na zewnątrz. f (x, y) \u003d 0. Znajdź matematyczne oczekiwania składników.

242. Udowodnij, że jeśli dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa systemu losowych zmiennych ( X, y.) może być reprezentowany jako produkt dwóch funkcji, z których jeden zależy tylko x.a drugi - tylko z y., a następnie wartości X. i Y. Niezależny.

243. Udowodnij, że jeśli X. i Y. Powiązana jest zależność liniowa Y. = tOPÓR. + b., Bezwzględna wartość współczynnika korelacji jest równa.

Decyzja. Aby określić współczynnik korelacji,

r xy \u003d m xy / (s x s y).

m xu \u003d m (∙). (*)

Znajdujemy oczekiwania matematyczne Y.:

M (y) \u003d m \u003d am (x) + b. (**)

Zastępowanie (**) w (*), po przekształceniu elementarnych

m xu \u003d am 2 \u003d reklama (x) \u003d jako 2 x.

Biorąc pod uwagę, że

Y - m (y) \u003d (ax + b) - (am (x) + b) \u003d a,

znajdź dyspersję Y.:

D (y) \u003d m2 \u003d a 2 m 2 \u003d 2 S 2 x.

Stąd s y \u003d | a | s x. W związku z tym współczynnik korelacji

Jeśli zA. \u003e 0, potem r xy. \u003d 1; Jeśli zA. < 0, то r xy. = –1.

Tak, |. r xy.|. \u003d 1, co było wymagane do udowodnienia.

Definicja.Jeśli dwie zmienne losowe są określone na tej samej przestrzeni zdarzeń podstawowych H. i Y,mówią, o co pyta dwuwymiarowa ilość losowa (x, y) .

Przykład. Płytki stalowe stalowe maszyny. Długość jest kontrolowana H. i szerokość Y.. - Dwuwymiarowy św.

Św. H. i Y. Mieć własne funkcje dystrybucji i inne cechy.

Definicja. Funkcja rozkładu dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) Funkcja jest nazywana.

Definicja. Prawo dystrybucji dyskretnej zmiennej losowej (X, Y) zwany tabelą

Dla dwuwymiarowego dyskretnego SV.

Nieruchomości:

2) Jeśli, to ; Jeśli następnie ;

4) - Funkcja dystrybucyjna H.;

- Funkcja dystrybucyjna Y.

Prawdopodobieństwo uzyskania wartości dwuwymiarowej św. W prostokącie:

Definicja. Dwuwymiarowa losowa kwota (X, y) nazywa ciągły Jeśli jego funkcja dystrybucji w ciągłym i wszędzie (z wyjątkiem ewentualnie dla skończonej liczby krzywych) ciągle mieszana pochodna z drugiej kolejności .

Definicja. Gęstość wspólnego podziału prawdopodobieństw z dwuwymiarowego ciągłego Funkcja jest nazywana.

Potem oczywiście, .

Przykład 1. Dwuwymiarowa funkcja rozkładu ciągłego

Następnie gęstość dystrybucyjna jest

Przykład 2. Dwuwymiarowa ciągła gęstość rozkładu

Znajdujemy jego funkcję dystrybucji:

Nieruchomości:

3) Dla dowolnego obszaru.

Niech będzie znana gęstość rozkładu. Następnie gęstość rozkładu każdego ze składników dwuwymiarowych SV jest następująca:

Przykład 2 (ciąg dalszy).

Składnik gęstości dystrybucji św. Niektórych autorów marginalnydENTACJE DYSTRYBUCJI Prawdopodobieństwa .

Warunkowe prawa dystrybucji składników dyskretnych SV.

Warunkowe prawdopodobieństwo, w którym.

Warunkowe prawo dystrybucyjne H. Z:

Podobny do miejsca.

Dokonać warunkowego prawa dystrybucyjnego H. dla Y \u003d.2.

Następnie prawo dystrybucji warunkowej

Definicja. Warunkowa gęstość dystrybucji komponentu x dla danego znaczenia Y \u003d y. nazywa.

Podobnie:.

Definicja. Warunkowy matematyczny Oczekiwanie Discrete St. Y Następnie nazywa się, gdzie - patrz wyżej.

W związku z tym, .

Dla ciągłyŚw. Y. .

Oczywiście jest to funkcja argumentu h.. Ta funkcja jest nazywana funkcja regresji y na x .

Podobnie określony funkcja regresji X na Y : .

Twierdzenie 5. (w funkcji dystrybucji niezależnych SV)

Św. H.i Y.

Następstwo. Ciągły św. H.i Y. są niezależne, jeśli i tylko wtedy, gdy.

W przykładzie 1 na. W konsekwencji St. H.i Y.niezależny.

Charakterystyka numeryczna składników dwuwymiarowej zmiennej losowej

Do dyskretnego St:

Do ciągłego SV :.

Wariancja i odchylenie standardowe dla wszystkich ne określonych przez te same wzory znane nam:

Definicja.Punkt jest nazywany dyspersja środkowa dwuwymiarowy św.

Definicja. Covariance (moment obrotowy korelacji) SV jest nazywany

Do dyskretnego SV :.

Do ciągłego SV :.

Formuła do obliczenia :.

Dla niezależnego SV.

Niedogodność właściwości jest jego wymiar (kwadrat jednostki pomiaru komponentów). Ten niedociągnięcie jest bezpłatną kolejną wartością.

Definicja. Współczynnik korelacji Św. H. i Y. nazywa

Dla niezależnego SV.

Dla każdej kilku SV . Wiadomo, że potem i tylko wtedy, gdy.

Definicja. Św. H. i Y. nazywa nieskrępowany , Jeśli .

Związek między skorelowanym a zależnością SV:

- jeśli św. H. i Y. skorelowany, tj. , są zależne; Odwrotnie nie jest prawdziwe;

- jeśli św. H. i Y. Niezależny, T. ; Naprzeciwko nie jest prawdziwe.

Notatka 1. Jeśli św. H. i Y. dystrybuowane zgodnie z normalnym prawem i , to są niezależne.

Uwaga 2. Wartość praktyczna w miarę, zależność jest uzasadniona tylko wtedy, gdy wspólny rozkład pary jest normalny lub w przybliżeniu normalny. Dla arbitralnego św. H. i Y. Możesz przyjść do błędnej wydajności, tj. może nawet kiedy H. i Y. związane z surową zależnością funkcjonalną.

Uwaga3. W statystyki matematyczne Korelacja nazywa się uzależnieniem probabilistyczne (statystyczne) między wartościami, które nie mają, ogólnie mówiąc, ściśle funkcjonalny charakter. Zależność korelacji występuje, gdy jedna z wartości zależy nie tylko na tej sekundzie, ale także na wielu przypadkowych czynnikach, lub gdy wśród warunków, na których zależy, że jedna lub inna wartość, istnieją ogólne warunki dla nich.

Przykład 4.Na St. H. i Y. Z przykładu 3 znajdź .

Decyzja.

Przykład 5.Gęstość wspólnej dystrybucji dwuwymiarowej św.

Definicja 2.7. Jest to para liczb losowych (x, Y) lub punkt na płaszczyźnie współrzędnych (rys. 2.11).

Figa. 2.11.

Dwuwymiarowa wartość losowa jest szczególnym przypadkiem wielowymiarowej zmiennej losowej lub losowego wektora.

Definicja 2.8. Wektor przypadkowy - to jest funkcja losowa?, (/) Z skończoną wielokrotnością możliwych wartości argumentów t, wartość, której w każdym znaczeniu t. Jest to zmienna losowa.

Dwuwymiarowa zmienna losowa jest nazywana ciągłą, jeśli jego współrzędne są ciągłe i dyskretne, jeśli jego współrzędne są dyskretne.

Aby ustawić prawo dystrybucji dwuwymiarowych zmiennych losowych - oznacza to ustalenie korespondencji między jego możliwymi wartościami a prawdopodobieństwem tych wartości. Według sposobów zadania zmienne losowe są podzielone na ciągłe i dyskretne, chociaż są ogólne metody Ustalanie prawa dystrybucji dowolnego SV.

Dyskretna dwuwymiarowa zmienna losowa

Dyskretna dwuwymiarowa zmienna losowa jest ustawiona przy użyciu tabeli dystrybucji (tabela 2.1).

Tabela 2.1.

Stół dystrybucyjny (rozkład wspólny) SV ( X., Y)

Elementy tabeli są określane przez wzór

Właściwości elementów tabeli dystrybucji:

Rozkład dla każdej współrzędnej nazywa się jednowymiarowylub marginalny:

r. 1> \u003d P (x \u003d .g,) - marginalna dystrybucja X.;

p ^ 2) = P (y \u003d y,) - marginalna dystrybucja św. U.

Rozkład wspólny komunikacji X. i Y otrzymałem zestaw prawdopodobieństw [LICZBA PI = 1,..., n, j. = 1,..., t. (tabela dystrybucji) i dystrybucja marginalna.

Podobnie dla St. p-2) \u003d X. r, g.

Zadanie 2.14. Dany:

Ciągła dwuwymiarowa zmienna losowa

/ (x, y) DXDY. - element prawdopodobieństwa do dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) jest prawdopodobieństwo losowej wariancji (x, y) do prostokąta z bokami cBC, dy. dla dx, dy. -* 0:

f (x, y) - gęstość dystrybucji dwuwymiarowa zmienna losowa (x, y). Zadanie / (x, y) Dajemy pełne informacje o dystrybucji dwuwymiarowej zmiennej losowej.

Dystrybucje marginalne są podawane w następujący sposób: przez X - gęstość rozkładu SV X /, (X); przez Y. - gęstość dystrybucji św. f\u003e (y).

Ustawianie prawa dystrybucji dwuwymiarowej funkcji dystrybucji zmiennej losowej

Uniwersalny sposób określenia prawa dystrybucyjnego dla dyskretnej lub ciągłej zmiennej losowej dwuwymiarowej jest funkcja dystrybucji F (x, y).

Definicja 2.9. Funkcja dystrybucji F (X, Y) - Prawdopodobieństwo wspólnego wyglądu wydarzeń (HU), tj. F (x 0, y n) \u003d \u003d \u003d P (H. y) porzuconych na płaszczyźnie współrzędnych, aby dostać się do nieskończonej kwadrantu z wierzchołkiem w punkcie m (x 0, y i) (w zacienionym na rys. 2.12 regionie).

Figa. 2.12. Ilustracja funkcji dystrybucji F ( x, y)

Funkcja właściwości F (x, y)

• 1) 0 1;
• 2) Bla, -Oo) \u003d. F (x, -oo) \u003d f (-oo, y) \u003d. 0; F (oO, OO) \u003d 1;
• 3) F (x, y) - niespójny dla każdego argumentu;
• 4) F (x, y) - ciągły po lewej i poniżej;
• 5) Spójność dystrybucji:

F (x, X: f (x, oo) \u003d f, (x); F (y, oo) - dystrybucja marginalna Y f (oo. y) \u003d f 2 (y).Komunikacja / (x, y) z F (x, y):

Łącząc gęstość stawów z marginalnym. Dana. f (x, y). Dostajemy marginalną gęstość rozkładu f (x), f 2 (y). "

Przypadek niezależnych współrzędnych zmiennej losowej dwuwymiarowej

Definicja 2.10. Św. X.i Ynevi-zależne (NZ) Jeśli jakiekolwiek zdarzenia związane z każdym z tych SV są niezależne. Z definicji NZ SV następuje:

• 1 ) Pij \u003d p x) pf
• 2 ) F (x, y) \u003d f l (x) f 2 (y).

Okazuje się, że dla niezależnych X. i Y. Sprawił.

3 ) F (x, y) \u003d j (x) f, (y).

Udowodni, że na niezależny X. i Y 2) 3). Dowód, a) Niech 2) spełnić), tj.

w tym samym czasie F (x, y) \u003d F J. f (U, V) DUDV, skąd i następuje 3);

b) Niech teraz 3)

te. Prawda 2).

Rozważ zadania.

Zadanie 2.15. Dystrybucja jest określona przez poniższą tabelę:

Buduj marginalne dystrybucje:

Otrzymać P (x \u003d 3, W. = 4) = 0,17 * P (x \u003d 3) p (y \u003d 4) \u003d 0,1485 \u003d\u003e \u003d\u003e X. i są słabo rozwiniętych.

Funkcja dystrybucyjna:

Zadanie 2.16. Dystrybucja jest określona przez poniższą tabelę:

Otrzymać P tl \u003d. 0,2 0,3 \u003d 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 \u003d 0,14; P 2L. = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; P 22 - 0,8 0,7 \u003d 0,56 \u003d\u003e SV X. i Y. NZ.

Zadanie 2.17. Dana / (x, y) \u003d. 1 / ja ехр | -0.5 (D "+ 2H +. 5g / 2)]. Znaleźć O) i / AU) -

Decyzja

(Rozważ się).

Niech dwuwymiarową wartość losową $ (x, y) $.

Definicja 1.

Prawo dystrybucji dwuwymiarowej zmiennej losowej $ (x, y) Nazywany jest wieloma możliwymi parami numerów $ (X_I, Y_J) $ (gdzie $ X_I Epsilon X, Y_J Epsilon Y $) i ich prawdopodobieństwa $ P_ (IJ) $.

Najczęściej prawo dystrybucji dwuwymiarowej zmiennej losowej jest rejestrowane jako tabela (tabela 1).

Rysunek 1. Prawo dystrybucji dwuwymiarowej zmiennej losowej.

Przywołaj teraz Twierdzenie o dodaniu prawdopodobieństwa niezależnych wydarzeń.

Twierdzenie 1.

Prawdopodobieństwo ilości skończonej liczby niezależnych wydarzeń $ (a) _1 $, $ (a) _2 $, ..., $ (a) _n $ oblicza się wzorem:

Korzystając z tej formuły, można uzyskać przepisy dystrybucyjne dla każdego składnika dwuwymiarowej zmiennej losowej, czyli:

Stąd będzie podążał, że suma wszystkich prawdopodobieństw systemu dwuwymiarowego ma następującą formę:

Rozważmy szczegółowo (stopniowo) problem związany z koncepcją prawa dystrybucyjnego dwuwymiarowej zmiennej losowej.

Przykład 1.

Prawo dystrybucji dwuwymiarowej zmiennej losowej jest ustalone w następujący sposób:

Rysunek 2.

Znajdź przepisy dystrybucji zmiennych losowych $ x, y $, x + y $ i sprawdzić w każdym przypadku spełnienie równości całkowitej ilości jednostki prawdopodobieństwa.

1. Znajdź na początku dystrybucji losowej zmiennej $ x $. Losowa wartość $ X $ może wziąć wartości $ X_1 \u003d 2, $ X_2 \u003d 3 $ X_3 \u003d 5 USD. Aby znaleźć dystrybucję, użyjemy twierdzenia 1.

Znajdź na początku kwotę prawdopodobieństwa $ X_1 $ w następujący sposób:

Rysunek 3.

Podobnie, znajdziemy $ P (x_2 prawy) $ i $ p left (x_3 right) $:

\ \

Rysunek 4.

1. Teraz znajdziemy dystrybucję zmiennej losowej $ y $. Wartość losowa $ Y $ może zabrać wartości $ X_1 \u003d 1, $ X_2 \u003d 3 $ X_3 \u003d 4 USD. Aby znaleźć dystrybucję, użyjemy twierdzenia 1.

Znajdź na początku prawdopodobieństwa $ y_1 $ w następujący sposób:

Rysunek 5.

Podobnie znajdziemy $ P (y_2 prawy) $ i $ p left (y_3 prawy) $:

\ \

Oznacza to, że ilość dystrybucji wartości $ X $ ma następującą formę:

Rysunek 6.

Sprawdź spełnienie równości pełnej prawdopodobieństwa:

1. Pozostaje znaleźć prawo dystrybucji zmiennej losowej w wysokości X + Y $.

Oznacz go dla wygody przez $ Z $: $ z \u003d x + y $.

Początkowo znajdziemy, jakie wartości mogą wziąć tę wartość. Aby to zrobić, będziemy parami dodać wartości wartości $ x $ i $ y $. Otrzymujemy następujące wartości: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Teraz, odrzucając zbieżne, otrzymujemy, że wartość losowa $ X + Y $ może podjąć wartości $ Z_1 \u003d 3, Z_2 \u003d 4, Z_3 \u003d 5, Z_4 \u003d 6, Z_5 \u003d 7, Z_6 \u003d 8, Z_7 \u003d 9.

Znajdź $ P (Z_1) $. Ponieważ wartość $ Z_1 $ to jeden, wtedy jest następujący:

Rysunek 7.

Podobnie istnieją prawdopodobieństwa, z wyjątkiem $ p (Z_4) $:

Teraz znajdziemy $ P (Z_4) w następujący sposób:

Cyfra 8.

Tak więc prawo dystrybucji wartości $ z $ ma następującą formę:

Rysunek 9.

Sprawdź spełnienie równości pełnej prawdopodobieństwa: