Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej x. Oczekiwania matematyczne (oznacza populację)

Jak już wiadomo, prawo dystrybucji w pełni charakteryzuje losową kwotę. Jednak prawo dystrybucji jest nieznane i musi być ograniczone do mniej informacji. Czasami jest jeszcze bardziej opłacalne, aby używać liczb, które opisują całkowitą wartość; Takie numery są nazywane charakterystyka liczbowa zmiennej losowej.

Ważna charakterystyka numeryczna obejmuje oczekiwania matematyczne.

Oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej wartości zmiennej losowej.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej Zadzwoń do ilości wszystkich możliwych wartości ich prawdopodobieństw.

Jeśli wartość losowa charakteryzuje się skończoną liczbą dystrybucji:

H.	x 1.	x 2.	x 3.	…	x P.
R.	p 1.	p 2.	p 3.	…	p.

to matematyczne oczekiwania M (x) Określony przez wzór:

Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej zależy od równości:

gdzie - gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej H..

Przykład 4.7. Znajdź matematyczne oczekiwania liczby punktów spadających podczas rzucania kości gry.

Decyzja:

Wartość losowa H. Wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dokonamy prawa jego dystrybucji:

H.
R.

Wtedy oczekiwanie matematyczne to:

Właściwości oczekiwań matematycznych:

1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe najbardziej stałej:

M (c) \u003d s.

2. Stały mnożnik można wykonać na znak oczekiwań matematycznych:

M (cx) \u003d cm (x).

3. Matematyczne oczekiwanie na pracę dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równy produktowi ich matematycznych oczekiwań:

M (xy) \u003d m (x) m (y).

Przykład 4.8.. Niezależne zmienne losowe X. i Y. określone przez następujące prawa dystrybucyjne:

H.					Y.
R.	0,6	0,1	0,3		R.	0,8	0,2

Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej XY.

Decyzja.

Znajdź oczekiwania matematyczne każdej z tych wartości:

Zmienne losowe X. i Y. niezależny, więc pożądane oczekiwania matematyczne:

M (xy) \u003d m (x) m (y) \u003d

Następstwo. Matematyczne oczekiwanie na pracę kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równy produktowi ich matematycznych oczekiwań.

4. Matematyczne oczekiwanie na sumę dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych terminów:

M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Następstwo.Matematyczne oczekiwanie na sumę kilku zmiennych losowych jest równa sumie oczekiwań matematycznych terminów.

Przykład 4.9. 3 strzały są produkowane z prawdopodobieństwami w celu równości p 1. = 0,4; p 2.\u003d 0,3 I. p 3. \u003d 0,6. Znaleźć oczekiwanie matematyczne całkowitej liczby trafień.

Decyzja.

Liczba trafień, gdy pierwszy strzał jest losową wartością X 1.który może zająć tylko dwie wartości: 1 (trafić) z prawdopodobieństwem p 1. \u003d 0,4 i 0 (Slip) z prawdopodobieństwem p 1. = 1 – 0,4 = 0,6.

Matematyczne oczekiwanie liczby trafień w pierwszym strzale jest równe prawdopodobieństwu trafienia:

Podobnie znajdziemy matematyczne oczekiwania liczby trafień w drugim i trzecim strzale:

M (x 2) \u003d 0,3 I. M (x 3) \u003d0,6.

Całkowita liczba trafień jest również losową wartością składającą się z ilości trafień w każdym z trzech zdjęć:

X \u003d x 1 + x 2 + x 3.

Pożądane oczekiwania matematyczne H. Znajdź na twierdzeniu o matematycznym, czekając na kwotę.

Główne cechy numeryczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych: oczekiwanie matematyczne, dyspersja i średnie odchylenie kwadratowe. Ich właściwości i przykłady.

Prawo dystrybucyjne (funkcja dystrybucji i szereg dystrybucji lub gęstość wiary) w pełni opisują zachowanie zmiennej losowej. Ale w wielu zadań wystarczy poznać pewne cechy liczbowe badanej wartości (na przykład jego średniej wartości i możliwe odchylenie od niego), aby odpowiedzieć na myśl. Rozważ główne właściwości numeryczne dyskretnych zmiennych losowych.

Definicja 7.1.Oczekiwanie matematycznedyskretna zmienna losowa jest ilością możliwych wartości do prawdopodobieństwa odpowiadające im:

M.(H.) = h. 1 r. 1 + h. 2 r. 2 + … + x p.(7.1)

Jeśli liczba możliwych losowych wartości jest nieskończona, a jeśli wynikowa seria zbiega się absolutnie.

Notatka 1.Czasami nazywa się oczekiwania matematyczne Średnia ważonaPonieważ jest w przybliżeniu równa średniemu arytmetykomowi wartościom zmiennej losowej, gdy duża liczba eksperymenty.

Uwaga 2.Od określenia oczekiwań matematycznych wynika, że \u200b\u200bjego wartość nie jest mniejsza niż najniższa możliwa wartość zmiennej losowej i nie więcej niż największa.

Uwaga 3.Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest nalesha.(stały. W przyszłości zobaczymy, że jest to prawda dla ciągłych zmiennych losowych.

Przykład 1. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej H. - Liczby standardowych części wśród trzech, wybranych z imprezy w 10 częściach, wśród których są 2 uszkodzone. Dokonać wielu dystrybucji H.. Z warunków zadania wynika H. może wziąć wartości 1, 2, 3. Następnie

Przykład 2. Określ oczekiwanie matematyczne o zmiennej losowej H. - liczba okładek monet przed pierwszym pojawieniem się herbu. Ta wartość może wziąć nieskończoną liczbę wartości (wiele możliwych wartości jest wiele liczby naturalne). Liczba jego dystrybucji ma formularz:

H.			…	p.	…
r.	0,5	(0,5) 2	…	(0,5) P.	…

+ (przy obliczaniu dwukrotnie wykorzystywane sumę nieskończenie malejącej progresja geometryczna:, Skąd).

Właściwości oczekiwań matematycznych.

1) Oczekiwanie matematyczne jest stałe równe najbardziej stałej:

M.(Z) = Z.(7.2)

Dowód. Jeśli uważamy Z jako dyskretna wartość losowa, która zajmuje tylko jedną wartość Z Z prawdopodobieństwem r. \u003d 1, to M.(Z) = Z?1 = Z.

2) Stały mnożnik można przedłożyć do oznakowania oczekiwań matematycznych:

M.(Sk.) = CM(H.). (7.3)

Dowód. Jeśli wartość losowa H. Ustaw szereg dystrybucji

Następnie M.(Sk.) = Sk. 1 r. 1 + Sk. 2 r. 2 + … + CX P R P = Z( H. 1 r. 1 + h. 2 r. 2 + … + x p.) = CM(H.).

Definicja 7.2.Nazywane są dwie losowe zmienne niezależnyJeśli prawo dystrybucji jednego z nich nie zależy od tego, co otrzymały inne wartości. W przeciwnym razie zmienne losowe zależny.

Definicja 7.3.Nazwa produkt niezależnych zmiennych losowych H. i Y. Zmienna losowa XY.Możliwe wartości są równe utworom wszystkich możliwych wartości. H. Na wszystkich możliwych wartościach Y.i odpowiednie prawdopodobieństwo prawdopodobieństw czynników są równe.

3) Matematyczne oczekiwanie na pracę dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe produktowi ich matematycznych oczekiwań:

M.(XY.) = M.(X.)M.(Y.). (7.4)

Dowód. Aby uprościć obliczenia, ograniczymy się do przypadku H. i Y. Wymagaj tylko dwóch możliwych wartości:

W związku z tym, M.(XY.) = x. 1 y. 1 ?p. 1 sOL. 1 + x. 2 y. 1 ?p. 2 sOL. 1 + x. 1 y. 2 ?p. 1 sOL. 2 + x. 2 y. 2 ?p. 2 sOL. 2 = y. 1 sOL. 1 (x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2) + + y. 2 sOL. 2 (x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2) = (y. 1 sOL. 1 + y. 2 sOL. 2) (x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2) = M.(X.)?M.(Y.).

Notatka 1.Podobnie możliwe jest udowodnienie tej właściwości, aby uzyskać więcej możliwych wartości czynników.

Uwaga 2. Nieruchomość 3 jest ważna dla produktu dowolnej liczby niezależnych zmiennych losowych, która okazała się metodą indukcji matematycznej.

Definicja 7.4.Określać ilość zmiennych losowych H. i Y. jako zmienna losowa X + y., których możliwe wartości są równe sumach każdej możliwej wartości. H. Z każdą możliwą wartością Y.; Prawdopodobieństwa takich kwot są równe utwom prawdopodobieństwu terminów (dla zależnych zmiennych losowych - prawdopodobieństwo samego samego w stosunku do warunkowego prawdopodobieństwa drugiego).

4) Matematyczne oczekiwanie na sumę dwóch zmiennych losowych (zależnych lub niezależnych) jest równa sumy matematycznych oczekiwań dotyczących warunków:

M. (X + y.) = M. (X.) + M. (Y.). (7.5)

Dowód.

Ponownie rozważymy losowe zmienne podane przez wiersze dystrybucyjne podane w dowodzie właściwości 3. Następnie możliwe wartości X + y.są h. 1 + w. 1 , h. 1 + w. 2 , h. 2 + w. 1 , h. 2 + w. 2. Oznacz ich odpowiednio prawdopodobieństwo, jak r. 11 , r. 12 , r. 21 I. r. 22. Odnaleźć M.(H.+Y.) = (x. 1 + y. 1)p. 11 + (x. 1 + y. 2)p. 12 + (x. 2 + y. 1)p. 21 + (x. 2 + y. 2)p. 22 =

= x. 1 (p. 11 + p. 12) + x. 2 (p. 21 + p. 22) + y. 1 (p. 11 + p. 21) + y. 2 (p. 12 + p. 22).

Dowodzimy to r. 11 + r. 22 = r. jeden. Rzeczywiście, wydarzenie polegające na tym X + y.podjąć wartości h. 1 + w. 1 OR. h. 1 + w. 2 i prawdopodobieństwo, którego jest równa r. 11 + r. 22, zbiegają się z wydarzeniem, kończąc to H. = h. 1 (jego prawdopodobieństwo - r. jeden). Podobnie stacja dokująca p. 21 + p. 22 = r. 2 , p. 11 + p. 21 = sOL. 1 , p. 12 + p. 22 = sOL. 2. To znaczy

M.(X + y.) = x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2 + y. 1 sOL. 1 + y. 2 sOL. 2 = M. (X.) + M. (Y.).

Komentarz. Od nieruchomości 4 wynika, że \u200b\u200bsuma dowolnej liczby zmiennych losowych jest równa sumie oczekiwań matematycznych składników.

Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwania na ilość punktów spadła przez rzucanie pięcioma kościami gry.

Znajdziemy matematyczne oczekiwanie liczby punktów, które spadły podczas rzucania jednej kości:

M.(H. 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ta sama liczba jest równa matematycznym oczekiwaniu liczby punktów, które spadły na dowolną kość. W konsekwencji, według własności 4 M.(H.)=

Dyspersja.

Aby mieć pomysł na zachowanie zmiennej losowej, nie wystarczy poznać tylko jego oczekiwania matematyczne. Rozważ dwie zmienne losowe: H. i Y.określony przez dystrybucję formularza

H.
R.	0,1	0,8	0,1

Y.
P.	0,5	0,5

Odnaleźć M.(H.) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M.(Y.) \u003d 0? 0,5 \u200b\u200b+ 100? 0,5 \u200b\u200b\u003d 50. Jak widać, matowe oczekiwania obu wartości są równe, ale jeśli dla X m.(H.) Dobrze opisuje oczekiwaną zmienną losową, będąc jej najprawdopodobniej możliwą wartością (w innych wartościach nieznacznie innej niż 50), to wartości Y. zasadniczo poza yat M.(Y.). W konsekwencji, wraz z oczekiwaniami matematycznymi, pożądane jest wiedzieć, jak bardzo odbiega wartość losowej wariancji. Charakterystyka tego wskaźnika służy jako dyspersja.

Definicja 7.5.Dyspersja (rozpraszanie)losowa zmienna nazywana jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu jej odchylenia od jego oczekiwań matematycznych:

RE.(X.) = M. (X - M.(X.)) ². (7.6)

Znajdź dyspersję zmiennej losowej H. (Liczba standardowych części wśród wybranych) w przykładzie 1 tego wykładu. Oblicz wartości kwadratu odchylenia każdego być może ze względu na oczekiwanie matematyczne:

(1 - 2,4) 2 \u003d 1,96; (2 - 2,4) 2 \u003d 0,16; (3 - 2,4) 2 \u003d 0,36. W związku z tym,

Notatka 1.Przy określaniu dyspersji nie jest to odchylenie od średniej i jej kwadratu. Odbywa się to, aby odchylenia różnych znaków niekompensują się nawzajem.

Uwaga 2.Z definicji dyspersji wynika, że \u200b\u200bwartość ta bierze tylko wartości nie ujemne.

Uwaga 3.Istnieje wygodniejsza formuła do obliczania dyspersji, której sprawiedliwość jest udowodniona w następującym twierdzeniu:

Twierdzenie 7.1.RE.(X.) = M.(X.²) - M.²( X.). (7.7)

Dowód.

Używając tego, co. M.(H.) - Stała wartość i właściwości oczekiwań matematycznych, przekształcamy formułę (7.6) na myśl:

RE.(X.) = M.(X - M.(X.))² = M.(X.² - 2. X? M.(X.) + M.²( X.)) = M.(X.²) - 2 M.(X.)?M.(X.) + M.²( X.) =

= M.(X.²) - 2 M.²( X.) + M.²( X.) = M.(X.²) - M.²( X.), który był wymagany do udowodnienia.

Przykład. Oblicz dyspersję zmiennych losowych H. i Y.omówione na początku tej sekcji. M.(H.) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M.(Y.) \u003d (0 2? 0,5 \u200b\u200b+ 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Dyspersja drugiej zmiennej losowej wynosi kilka tysięcy razy więcej dyspersji pierwszej. Tak więc, nawet nie znając ustawodawstw dystrybucji tych wartości, zgodnie z znanymi wartościami dyspersji, możemy się tym twierdzić H. niewiele odbiegać od jego oczekiwania matematycznego Y. To odchylenie jest bardzo istotne.

Dyspersja właściwości.

1) Dyspersja trwałego Z równy zero:

RE. (DO.) = 0. (7.8)

Dowód. RE.(DO.) = M.((CM.(DO.))²) = M.((C - C.)²) = M.(0) = 0.

2) można wykonać stały mnożnik do znaku dyspersji, wznosząc go na placu:

RE.(Cx.) = DO.² RE.(X.). (7.9)

Dowód. RE.(Cx.) = M.((CX - M.(Cx.))²) = M.((Cx - cm.(X.))²) = M.(DO.²( X - M.(X.))²) =

= DO.² RE.(X.).

3) Dyspersja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa ilości ich dyspersji:

RE.(X + y.) = RE.(X.) + RE.(Y.). (7.10)

Dowód. RE.(X + y.) = M.(X.² + 2. XY. + Y.²) - ( M.(X.) + M.(Y.))² = M.(X.²) + 2 M.(X.)M.(Y.) +

+ M.(Y.²) - M.²( X.) - 2M.(X.)M.(Y.) - M.²( Y.) = (M.(X.²) - M.²( X.)) + (M.(Y.²) - M.²( Y.)) = RE.(X.) + RE.(Y.).

Counterary 1.Dyspersja sumy kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równa ilości ich dyspersji.

Counterary 2.Dyspersja ilości stałych i losowych zmiennych jest równa dyspersji zmiennej losowej.

4) Dyspersja różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie ich dyspersji:

RE.(X - Y.) = RE.(X.) + RE.(Y.). (7.11)

Dowód. RE.(X - Y.) = RE.(X.) + RE.(-Y.) = RE.(X.) + (-1) ² RE.(Y.) = RE.(X.) + RE.(X.).

Dyspersja daje przeciętny kwadrat odchylenia zmiennej losowej ze średnio; Aby oszacować samą odstępstwo, wartość wywołana przez przeciętne odchylenie kwadratowe.

Definicja 7.6.Średnie odchylenie kwadratowe Σ zmienna losowa H. Zadzwoniłem do korzenia kwadratowego przed dyspersją:

Przykład. W poprzednim przykładach, średnie odchylenia kwadratowe H. i Y. odpowiednio równe

Wartości.

Główne cechy liczbowe losowego

Prawo gęstości rozkładu charakteryzuje losową kwotę. Ale często jest nieznany i musi być ograniczony do mniej informacji. Czasami jest jeszcze bardziej opłacalne w użyciu liczb, które opisują całkowitą wartość. Takie numery są nazywane charakterystyka numeryczna zmienna losowa. Rozważ główny z nich.

Definicja:Oczekiwanie matematyczne M (X) Disprette Losowej zmiennej nazywana jest ilością prac wszelkich możliwych wartości tej wartości w ich prawdopodobieństwie:

Jeśli dyskretna wartość losowa H. Następnie zajmuje policzalny zestaw możliwych wartości

Co więcej, oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli ta seria jest absolutnie konwergentna.

Z definicji, którą to wynika M (x)dyskretna zmienna losowa jest wartością nie-losową (stała).

Przykład: Zostawiać H. - liczba zdarzeń ALE W jednym teście, P (a) \u003d p. Wymagane jest znalezienie oczekiwań matematycznych H..

Decyzja:Zrób prawo dystrybucji tabelowej H.:

X.	0	1
P.	1 - P.	p.

Znajdujemy oczekiwanie matematyczne:

W ten sposób, matematyczne oczekiwania liczby zdarzeń w jednym badaniu jest równa prawdopodobieństwu tego wydarzenia..

Pochodzenie terminu wartość oczekiwana Jest to związane z początkowym okresem występowania teorii prawdopodobieństwa (XVI-XVIIIV), gdy obszar jego użycia był ograniczony do hazardu. Gracz był zainteresowany średniej wartości oczekiwanych wygranych, tj. Matematyczne czekanie na wygraną.

Rozważać probabilistyczne znaczenie oczekiwań matematycznych.

Wypuszczać n. Testy, w których losowa wartość H. Przyjęty m 1.raz wartość x 1., m 2. Raz wartość x 2.i tak dalej i wreszcie przyjęła m K. Raz wartość x K.co więcej m 1 + M2 + ... + + M K \u003d N.

Następnie suma wszystkich wartości przyjętych przez zmienną losową H., równy x 1. m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m K..

Średnia arytmetyczna wszystkich wartości przyjętych przez zmienną losową H.,na równi:

od - względna częstotliwość wartości dla dowolnej wartości i \u003d 1, ..., k.

Jak wiesz, jeśli liczba testów n. wystarczająco duży, wówczas częstotliwość względna jest w przybliżeniu równa prawdopodobieństwu wydarzenia,

W ten sposób, .

Wynik: Matematyczne oczekiwanie na dyskretną zmienną losową jest w przybliżeniu równe (im dokładniejsze, tym większa liczba testów) średnia arytmetyczna obserwowana wartości zmiennej losowej.

Rozważ główne właściwości oczekiwań matematycznych.

Nieruchomość 1: Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe większością stałej wartości:

M (c) \u003d s.

Dowód: Stały Z można uznać, że ma jedną możliwą wartość Z i bierze go z prawdopodobieństwem p \u003d 1. W związku z tym, M (c) \u003d z 1 \u003d S.

Określać produkt stałej wartości z dyskretną ilością losowej x jako dyskretna losowa kwota Sk., możliwe wartości, których wartości są równe utworom stałym Z W przypadku możliwych wartości H. Sk. równy prawdopodobieństwom odpowiednich możliwych wartości H.:

Sk.	DO.	DO.	…	DO.
H.			…
R.			…

Nieruchomość 2: Stały mnożnik można wykonać na znak oczekiwań matematycznych:

M (cx) \u003d cm (x).

Dowód:Niech losowa wartość X. Zadawanie prawa dystrybucji prawdopodobieństwa:

X.			…
P.			…

Mamy prawo bezwalności wartościowej wartości Cx.:

Cx.	DO.	DO.	…	DO.
P.			…

M (cx) = DO. + DO. = DO. + ) \u003d C. M (x).

Definicja:Dwie zmienne losowe są nazywane niezależnie, jeżeli prawo dystrybucji jednego z nich nie zależy od tego, jakie opcje otrzymano pozostałą wartość. W przeciwnym razie zależne są zmienne losowe.

Definicja:Kilka zmiennych losowych nazywanych jest wzajemnie niezależny, jeżeli przepisy dystrybucji dowolnej liczby nie zależą od tego, na jakich możliwe wartości pozostałych wartości zaakceptowanych.

Określać produkcja niezależnych dyskretnych zmiennych losowych x i y jako dyskretna losowa kwota XY., których możliwe wartości są równe utwom każdej możliwej wartości. X. Dla każdej możliwej wartości Y.. Prawdopodobieństwa możliwych wartości XY. równa utworom prawdopodobieństwom możliwych wartości czynników.

Niech dystrybucję zmiennych losowych X. i Y:

X.			…
P.			…

Y.			…
SOL.			…

Następnie dystrybucja zmiennej losowej XY.ma formularz:

XY.			…
P.			…

Niektóre prace mogą być równe. W tym przypadku prawdopodobieństwo możliwej wartości produktu jest równa sumie odpowiednich prawdopodobieństw. Na przykład, jeśli \u003d, prawdopodobieństwo wartości jest równe

Nieruchomość 3: Matematyczne oczekiwanie na pracę dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równy produktowi ich matematycznych oczekiwań:

M (xy) \u003d m (x) M (y).

Dowód:Niech niezależne zmienne losowe X. i Y. Prawa dystrybucji prawdopodobieństwa są zadawane:

X.
P.

Y.
SOL.

Aby uprościć obliczenia, ograniczymy się do niewielkiej liczby możliwych wartości. Ogólnie rzecz biorąc, dowód jest podobny.

Zrób prawo rozkładu zmiennej losowej XY.:

XY.
P.

M (xy) \u003d

M (x) M (y).

Konsekwencja: Matematyczne oczekiwanie na pracę kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równy produktowi ich matematycznych oczekiwań.

Dowód: Udowodniamy za trzy wzajemnie niezależne zmienne losowe X., Y., Z.. Zmienne losowe XY.i Z. Niezależny, dostajemy:

M (xyz) \u003d m (xy Z) \u003d m (xy) M (z) \u003d m (x) M (y) M (z).

Dla dowolnej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych dowód prowadzi się metodą indukcji matematycznej.

Przykład:Niezależne zmienne losowe X. i Y.

X.	5	2
P.	0,6	0,1	0,3

Y.	7	9
SOL.	0,8	0,2

Wymagane znalezione M (xy).

Decyzja: Jako zmienne losowe X.i Y. Niezależny, T. M (xy) \u003d m (x) M (y) \u003d (5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.

Określać ilość dyskretnych zmiennych losowych x i yjako dyskretna losowa kwota X + y., których możliwe wartości są równe sumach każdej możliwej wartości. X. Z każdą możliwą wartością Y.. Prawdopodobieństwa możliwych wartości X + y. Dla niezależnych zmiennych losowych X. i Y. równy utworom prawdopodobieństwu terminów oraz dla zależnych zmiennych losowych - prawdopodobieństwo prawdopodobieństwa jednego terminu na warunkowe prawdopodobieństwo drugiego.

Jeśli \u003d i prawdopodobieństwa tych wartości są odpowiednio równe, prawdopodobieństwo (takie same jak) jest równe.

Nieruchomość 4: Matematyczne oczekiwanie na sumę dwóch zmiennych losowych (zależnych lub niezależnych) jest równa sumy oczekiwań matematycznych terminów:

M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Dowód: Niech dwie losowe zmienne X. i Y. określone przez następujące prawa dystrybucyjne:

X.
P.

Y.
SOL.

Aby uprościć wyjście, limit do dwóch możliwych wartości każdego z wartości. Ogólnie rzecz biorąc, dowód jest podobny.

Zrób wszystkie możliwe wartości losowej wariancji X + y. (Załóżmy, że dla prostoty te wartości są różne; jeśli nie, dowód jest przeprowadzany podobnie):

X + y.
P.

Znajdź matematyczne oczekiwania tej wartości.

M.(X + y.) = + + + +

Udowodni, że + \u003d.

Zdarzenie X \u003d. (jego prawdopodobieństwo P (x \u003d ) pociąga za sobą wydarzenie polegające na tym, że wartość losowa X + y. Będzie to wymagać wartości lub (prawdopodobieństwo tego zdarzenia przez twierdzenie dodatkowe, jest równe) iz powrotem. Następnie \u003d.

Podobnie udowodniono równość \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d

Zastępowanie odpowiednich części tych równości w wynikowej formule do oczekiwań matematycznych, otrzymujemy:

M (x + y) \u003d + ) \u003d M (x) + m (y).

Konsekwencja: Matematyczne oczekiwanie na sumę kilku zmiennych losowych jest równa sumie oczekiwań matematycznych terminów.

Dowód: Udowodniamy trzy losowe zmienne X., Y., Z.. Znajdujemy matematyczne oczekiwanie zmiennych losowych X + y.i Z.:

M (x + y + z) \u003d m ((x + y Z) \u003d m (x + y) M (z) \u003d m (x) + m (y) + m (z)

Dla dowolnej liczby zmiennych losowych, dowód przeprowadza się metodą indukcji matematycznej.

Przykład:Znajdź średnią wartość liczby punktów, które mogą wypadnąć podczas rzucania dwóch kości gry.

Decyzja:Zostawiać X. - liczba punktów, które mogą spaść na pierwszą kość, Y. - Na drugim. Oczywiście zmienne losowe X.i Y. Mają tę samą dystrybucję. Piszemy te dystrybucje X.i Y. W jednym stole:

X.	1	2	3	4	5	6
Y.	1	2	3	4	5	6
P.	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

M (x) \u003d m (y) (1+2+3+4+5+6) = =

M (x + y) \u003d 7.

Więc średnia wartość liczby punktów, które mogą spaść podczas rzucania dwoma kościami grającymi równymi 7 .

Twierdzenie: Matematyczne oczekiwania m (x) Liczba występów zdarzenia A W Należności Nie są równe produktowi liczby testów w prawdopodobieństwie prawdopodobieństwa zdarzenia w każdym teście: M (X) \u003d NP.

Dowód: Zostawiać X. - liczba zdarzeń ZA. w n. Niezależne testy. Oczywiście całkowita liczba X. Wydarzenia ZA. W tych testach składa się z numerów zdarzeń w poszczególnych testach. Następnie, jeśli liczba zdarzeń w pierwszym teście, w drugim i tak dalej, wreszcie liczba zdarzeń n.- Całkowita liczba zdarzeń pojawia się wzorem:

Przez nieruchomość 4 Oczekiwanie matematyczne Mamy:

M (x) \u003d m ( ) + ... + m ( ).

Ponieważ matematyczne oczekiwania liczby zdarzeń w jednym badaniu jest równa prawdopodobieństwu wydarzenia

M ( ) \u003d M ( ) \u003d ... \u003d m ( ) \u003d p.

W związku z tym, M (x) \u003d np.

Przykład:Prawdopodobieństwo uderzenia celu podczas fotografowania z pistoletu jest równy p \u003d 0,6.. Znajdź średnią liczbę trafień, jeśli jest produkowany 10 Strzały.

Decyzja: W każdym strzale nie zależy od wyników innych strzałów, więc rozważane wydarzenia są niezależne, a zatem pożądane oczekiwania matematyczne to:

M (x) \u003d np \u003d 10 0,6 = 6.

Więc średnia liczba trafień wynosi 6.

Teraz rozważ matematyczne oczekiwania ciągłej zmiennej losowej.

Definicja:Oczekiwanie matematyczne o ciągłej zmiennej losowej X, których możliwe wartości należą do segmentu, Nazywany konkretnym integralnym:

gdzie f (x) jest gęstością dystrybucji prawdopodobieństwa.

Jeśli możliwe wartości ciągłej zmiennej losowej X należy do całej osi OX,

Zakłada się, że to zaangażowany integralny Zbiega się absolutnie, tj. Integralne zbiega się Jeśli wymóg ten nie był spełniony, wartość integralności zależy od szybkości pragnienia (oddzielnie) dolnego limitu do -∞, a górną granicą jest k + ∞.

Możesz to udowodnić wszystkie właściwości matematycznego oczekiwania dyskretnej zmiennej losowej są zachowane do ciągłej zmiennej losowej.. Dowód opiera się na właściwościach pewnych i niewłaściwych integli.

Oczywiście, orientacyjny M (x)bardziej najmniejszy i mniejszy niż największe możliwe wartości zmiennej losowej X.. Te. Na osi numerycznej możliwe wartości losowej wariancji znajdują się po lewej i na prawo od jego matematycznego oczekiwania. W tym sensie, oczekiwania matematyczne M (x)charakteryzuje lokalizację dystrybucji, a zatem często nazywa się centrum dystrybucji.

1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe najbardziej stałej M (c) \u003d z .
2. Stały mnożnik można wykonać na oznakę oczekiwań matematycznych: M (cx) \u003d cm (x)
3. Matematyczne oczekiwanie na pracę dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równy produktowi ich matematycznych oczekiwań: M (xy) \u003d m (x) m (y).
4. Matematyczne oczekiwanie na sumę dwóch zmiennych losowych jest równa sumy oczekiwań matematycznych terminów: M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Twierdzenie. Matematyczne oczekiwania M (X) Liczba zdarzeń i niezależnych testów N jest równa produktowi tych testów na temat prawdopodobieństwa prawdopodobieństwa zdarzeń w każdym teście: M (X) \u003d NP.

Zostawiać H. - wartość losowa i M (x) - Jej oczekiwanie matematyczne. Rozważmy jako nową zmienną losową X - m (x).

Odchylenie nazywane jest różnicą między zmienną losową a jego oczekiwaniami matematycznymi.

Odchylenie ma następujące prawo dystrybucji:

Rozwiązanie: Znajdź oczekiwanie matematyczne:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Napiszymy dystrybucję prawa odchylenia kwadratowego:

Rozwiązanie: Znajdź oczekiwanie matematyczne M (x): m (x) \u003d 2 0,1 + 3 0,6 + 5 0,3 \u003d 3,5

Dystrybucja aktu losowa X 2

X 2.
P.	0.1	0.6	0.3

Znajdujemy oczekiwania matematyczne M (x 2): m (x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Pożądana dyspersja D (x) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3.5) 2 \u003d 1,05

Właściwości dyspersji:

1. Dyspersja stałego rozmiaru Z równy zero: D (c) \u003d 0
2. Stały mnożnik można wykonać dla znaku dyspersji, jedząc go na kwadrat. D (cx) \u003d c2 d (x)
3. Dyspersja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa ilości dyspersji tych wartości. D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n)
4. Dyspersja dystrybucji dwumianowej jest równa produktowi liczby testów prawdopodobieństwa wyglądu wyglądu i winy zdarzenia w jednym teście D (x) \u003d npq

Aby oszacować rozpraszanie możliwych wartości zmiennej losowej wokół jego średniej wartości, oprócz dyspersji, podawane są również inne cechy. Obejmują one średnie odchylenie kwadratowe.

Średnie kwadratowe odchylenie zmiennej losowej H. Zadzwoń do korzenia kwadratowego przed dyspersją:

σ (x) \u003d √d (x) (4)

Przykład. Wartość losowa X ustawiona ustawa dystrybucyjna

X.
P.	0.1	0.4	0.5

Znajdź średnie odchylenie kwadratowe σ (x)

Rozwiązanie: Znajdź oczekiwanie matematyczne X: M (x) \u003d 2 0,1 + 3 0,4 + 10 0,5 \u003d 6.4
Znajdujemy oczekiwanie matematyczne X 2: M (x 2) \u003d 2 2 0,1 + 3 2 0,4 + 10 2 0,5 \u003d 54
Znajdź dyspersję: D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6.4 2 \u003d 13.04
Pożądane wtórne odchylenie kwadratowe σ (x) \u003d √d (x) \u003d √13.04≈3.61

Twierdzenie. Średnie kwadratowe odchylenie kwoty ostatniej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest pierwiastek kwadratowy Sumy kwadratów średnich odchyleń kwadratowych tych ilości:

Przykład. Na półce 6 książek 3 książki w matematyce i 3 w fizyce. Wybierz dużo trzech książek. Znajdź prawo dystrybucji liczby książek w matematyce wśród wybranych książek. Znajdź oczekiwanie matematyczne i dyspersję tej zmiennej losowej.

D (x) \u003d m (x 2) - m (x) 2 \u003d 2,7 - 1,5 2 \u003d 0,45

Oczekiwanie matematyczne to dystrybucja prawdopodobieństwa losowego wariancji

Matematyczne oczekiwania, definicja, matematyczne oczekiwania dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych, selektywne, warunkowe dopasowanie, obliczenia, właściwości, zadania, ocena matchmakerów, dyspersji, funkcji dystrybucji, formuła, przykłady obliczeniowe

Rozmieść treść

Zwiń zawartość

Oczekiwania matematyczne to definicja

Jeden z najważniejsze koncepcje W statystykach matematycznych i teorii prawdopodobieństw charakteryzujących dystrybucję wartości lub prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Zwykle wyrażone Średnia ważona Wszystkie możliwe parametry zmiennej losowej. Szeroko stosowany podczas prowadzenia analizy technicznej, badania rzędy numeryczne., studiując ciągłe i długotrwałe procesy. Ważne jest, aby ocenić ryzyko, przewidywanie wskaźników cen w handlu rynkami finansowymi, stosuje się w rozwoju strategii i metod taktyki gry w teorii hazardu.

Oczekiwanie matematyczne jestŚrednia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest rozpatrywana w teorii prawdopodobieństwa.

Oczekiwanie matematyczne jestmiara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej x. oznaczać M (x).

Oczekiwanie matematyczne jest

Oczekiwanie matematyczne jest W teorii prawdopodobieństwa ważona średnia wartość wszystkich możliwych wartości może wziąć tę wartość losową.

Oczekiwanie matematyczne jestilość prac wszelkich możliwych wartości losowej wariancji na temat prawdopodobieństwa tych wartości.

Oczekiwanie matematyczne jest Średnia korzyści z jednego lub innego rozwiązania, pod warunkiem, że takie rozwiązanie można rozważyć w ramach teorii dużych liczb i długiej odległości.

Oczekiwanie matematyczne jestw teorii hazardu, ilość wygranych, które mogą zarabiać lub stracić średnio, średnio na każdym tempie. W języku graczy hazardowych jest to czasami nazywane "zaletą odtwarzacza" (jeśli jest pozytywny dla gracza) lub "zaletą kasyna" (jeśli jest negatywny dla gracza).

Oczekiwanie matematyczne jest Odsetek zysku na wygranych pomnożonych przez średni zysk, minus prawdopodobieństwo utraty pomnożonej przez średnie straty.

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej w teoria matematyczna

Jedną z ważnych charakterystyk liczbowych zmiennej losowej jest oczekiwaniem matematycznym. Wprowadzamy koncepcję systemu zmiennych losowych. Rozważ kombinację zmiennych losowych, które są wynikami tego samego losowego eksperymentu. Jeśli - jeden z możliwych wartości systemowych, wydarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełniają aksjomaty Kolmogorov. Funkcja zdefiniowana w dowolnych wartościach zmiennych losowych nosi nazwę wspólnego prawa dystrybucji. Ta funkcja umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa jakichkolwiek wydarzeń. W szczególności wspólne prawo dystrybucji zmiennych losowych i które podejmuje wartości z zestawu i są podane przez prawdopodobieństwa.

Termin "oczekiwanie matematyczne" zostało wprowadzone przez Pierre Simona Markisa de Laplas (1795) i wystąpiło z koncepcji "oczekiwanej wartości wygranych", które po raz pierwszy pojawiło się w XVII wieku w teorii hazardu w dziełach Blaise Pascal i chrześcijańscy guygens. Jednak pierwsze kompletne teoretyczne zrozumienie i ocena tej koncepcji jest podawana przez Paping Lvivich Chebyshev (środek XIX wieku).

Prawo rozkładu losowych wartości liczbowych (funkcja dystrybucji i zakresu dystrybucji lub gęstość prawdopodobieństwa) w pełni opisuje zachowanie wartości losowej. Ale w wielu zadaniach wystarczy poznać pewne cechy liczbowe wartości w ramach badania (na przykład jego średnia wartość i możliwe odchylenie od niego), aby odpowiedzieć na przypisane pytanie. Główne cechy liczbowe zmiennych losowych są oczekiwaniem matematycznym, dyspersją, modem i mediana.

Matematyczne oczekiwania dyskretnej zmiennej losowej jest ilość produktów jego możliwych wartości do prawdopodobieństwa odpowiadające im. Czasami oczekiwanie matematyczne nazywane jest średnia ważona, ponieważ jest w przybliżeniu równa średniemu arytmetykomowi wartościom zmiennej losowej z dużą liczbą eksperymentów. Od określenia oczekiwań matematycznych wynika, że \u200b\u200bjego wartość nie jest mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie więcej niż największa. Oczekiwanie matematyczne o zmiennej losowej jest wartość nie-losowa (stała).

Oczekiwanie matematyczne ma proste znaczenie fizyczne.: Jeśli proste miejsce umieszczenia pojedynczej masy, umieszczając trochę masy w niektórych punktach (dla dyskretna dystrybucja) lub "rozmazanie" z pewną gęstością (w celu absolutnie ciągłej dystrybucji), punkt odpowiadający oczekiwaniu matematycznemu będzie współrzędna między "środkiem ciężkości" bezpośredniego.

Średnia wartość losowej wariancji jest liczbą, która wydaje się być jego "przedstawicielem" i zastępując go z grubsza przybliżonymi obliczeniami. Kiedy mówimy: "Średnia operacja lampy wynosi 100 godzin" lub "Średni punkt kontaktowy jest przesunięty w stosunku do celu do 2 m w prawo", wskazujemy na to pewną charakterystykę liczbową dla zmiennej losowej opisującą jego lokalizację na osi numerycznej, tj "Charakterystyka sytuacji".

Od charakterystyki pozycji w teorii prawdopodobieństwa, matematyczne oczekiwania z zmiennej losowej, które czasami nazywane jest po prostu średnia wartość zmiennej losowej.

Rozważyć losową kwotę H.mieć możliwe wartości x1, x2, ..., xn Z prawdopodobieństwami p1, P2, ..., PN. Musimy scharakteryzować pewną liczbę pozycji zmiennej losowej na osi odciętej, biorąc pod uwagę fakt, że wartości te mają różne prawdopodobieństwa. W tym celu naturalne jest użycie tak zwanej "średniej ważonej" z wartości xi.Ponadto każda wartość XI z uśrednianiem musi być brana pod uwagę wraz z "Waga" proporcjonalnym do prawdopodobieństwa tej wartości. Dlatego obliczymy średnią zmienną losową X.Oznaczamy. M | x |:

Jest to wartość wtórna i nazywa się matematycznym oczekiwaniem zmiennej losowej. W związku z tym wprowadziliśmy w rozpatrywaniu jednej z najważniejszych koncepcji teorii prawdopodobieństwa, jest koncepcja oczekiwań matematycznych. Matematyczne oczekiwanie losowej różnorodności nazywa się ilością produktów wszystkich możliwych wartości losowej wariancji w prawdopodobieństwach tych wartości.

H. związane z osobliwą zależnością od średniej arytmetyki zaobserwowanych wartości zmiennej losowej z dużą liczbą eksperymentów. Ta zależność tego samego rodzaju, co relacja między częstotliwością a prawdopodobieństwem, a mianowicie, z dużą liczbą eksperymentów, średnie arytmetyki obserwowane wartości zmiennej losowej zbliżającej się (zbieżności prawdopodobieństwa) do jego oczekiwań matematycznych. Od obecności komunikacji między częstotliwością a prawdopodobieństwem można uzyskać w wyniku obecności podobnego związku między średnimi oczekiwaniami arytmetycznymi i matematycznymi. Rzeczywiście, rozważ losową kwotę H.charakteryzuje się szeregiem dystrybucji:

Niech zostanie wyprodukowany N. niezależne eksperymenty, w każdym z nich X.wymaga określonej wartości. Załóżmy, że wartość x1.pojawiło się m1.razy, znaczenie x2.pojawiło się m2.raz, ogólna wartość xi.mI pojawił się raz. Oblicz średnie zaobserwowane wartości arytmetyczne kwoty X, która w przeciwieństwie do oczekiwań matematycznych M | x |oznaczamy. M * | x \u200b\u200b|:

Ze wzrostem liczby eksperymentów N.częstotliwość liczba Pizostanie zbliżył się (zbieżność prawdopodobieństwa) do odpowiednich prawdopodobieństw. W związku z tym średnie obserwowane wartości arytmetyczne zmiennej losowej M | x | Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów podejmie się (zbieżność prawdopodobieństwa) do jego oczekiwań matematycznych. Powyższy stosunek między średnią arytmetyką i matematyczną oczekiwaniem jest treść jednej z form prawa dużej liczby.

Wiemy już, że wszystkie formy prawa dużej liczby określają fakt zrównoważonego rozwoju niektórych medium z dużą liczbą eksperymentów. Tutaj mówimy o stabilności średniej arytmetyki z wielu obserwacji tej samej wartości. Z małą liczbą eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników losowo; Wraz z wystarczającym wzrostem liczby eksperymentów staje się "prawie żadnym wypadkiem", a stabilizowanie, zbliża się do stałej wartości - oczekiwania matematyczne.

Właściwość zrównoważonego rozwoju średniej z dużą liczbą eksperymentów jest łatwa do sprawdzenia eksperymentalnie. Na przykład ważenie jakiegokolwiek korpusu w laboratorium o dokładnych skalach otrzymujemy nową wartość w wyniku ważenia za każdym razem; Aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilka razy i użyjemy średnich wartości arytmetycznych. Łatwo jest upewnić się, że z dalszym wzrostem liczby eksperymentów (ważenie), średnie reaguje arytmetyczne na ten wzrost jest coraz mniej i z wystarczająco dużą liczbą eksperymentów prawie przestaje zmianę.

Należy zauważyć, że najważniejszą cechą położenia zmiennej losowej jest oczekiwaniem matematycznym - nie ma dla wszystkich zmiennych losowych. Możesz utworzyć przykłady takich zmiennych losowych, dla których oczekiwanie matematyczne nie istnieją, ponieważ odpowiednia kwota lub integralna jest przekierowana. Jednak takie przypadki nie są istotne dla praktyki. Zwykle zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia z ograniczonym obszarem możliwych wartości i oczywiście mają oczekiwania matematyczne.

Oprócz najważniejszych cech położenia zmiennej losowej - oczekiwania matematycznego, w praktyce stosowane są również inne cechy pozycji, w szczególności mody i mediana zmiennej losowej.

Moda zmiennej losowej nazywana jest najbardziej prawdopodobną wartością. Termin "najbardziej prawdopodobna wartość", ściśle mówić, ma zastosowanie tylko do przerwanych wartości; dla ciągła wielkość Moda jest wartością, w której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Figury pokazują odpowiednio mody, dla przerywanych i ciągłych zmiennych losowych.

Jeśli wielokąt dystrybucyjny (krzywa dystrybucji) ma więcej niż jeden maksimum, dystrybucja nazywa się "polimodalną".

Czasami są dystrybucje, które posiadają w środku, a nie maksymalnie, a minima. Takie rozkłady nazywane są "antymodalnymi".

Ogólnie rzecz biorąc, moda i matematyczne oczekiwania losowej wariancji nie pokrywa się. W konkretnym przypadku, gdy dystrybucja jest symetryczna i modalna (to znaczy, ma mody) i istnieje oczekiwania matematyczne, zbiega się z modą i centrum symetrii dystrybucyjnej.

Często używany jest inny charakterystyka pozycji - tzw. Mediana losowej różnorodności. Charakterystyka ta jest zwykle używana tylko do ciągłych zmiennych losowych, chociaż możliwe jest określenie go dla przerywanych wartości. Geometrycznie mediana jest odcięczaniem punktu, w którym obszar, ograniczona krzywa dystrybucji, jest podzielona na połowę.

W przypadku symetrycznej rozkładu modalnego mediana zbiega się z oczekiwaniami matematycznymi i modą.

Oczekiwanie matematyczne to średnia wartość, zmienna losowa - charakterystyka numeryczna dla dystrybucji prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Najczęstsze oczekiwanie matematyczne o zmiennej losowej X (W) Określono jako całek lebek w odniesieniu do prawdopodobieństwa R.w początkowej przestrzeni probabilistycznej:

Można obliczyć oczekiwania matematyczne i jako integralność Lebesgue h.przez dystrybucję prawdopodobieństw rH.wartości X.:

Oczywiście możliwe jest określenie koncepcji losowej zmiennej z nieskończoną oczekiwaniem matematycznym. Typowy przykład Służyć czasem zwrotu w niektórych przypadkowych spacerach.

Z pomocą oczekiwań matematycznych określono wiele właściwości liczbowych i funkcjonalnych dystrybucji (jako matematyczne oczekiwanie na odpowiednie funkcje z zmiennej losowej), na przykład, wytwarzając funkcję, charakterystyczną funkcję, chwile jakiejkolwiek kolejności, w szczególności Dyspersja, kowariancja.

Charakter matematyczny jest charakterystyczny dla lokalizacji wartości losowych (średnia wartość jego dystrybucji). W tej pojemności ćwiczenie matematyczne służy jako "typowy" parametr dystrybucyjny, a jej rola jest podobna do roli momentu statycznego - współrzędnych środka ciężkości masy dystrybucji - w mechanice. Od innych cech lokalizacji, przez którą dystrybucja jest opisana ogólnie ogólnie, mediana, mod, oczekiwania matematyczne jest największą wartością, którą i charakterystykę rozpraszającą odpowiadającą to dyspersja - w limit twierdzeniu teorii prawdopodobieństwa . Wraz z największą kompletnością znaczenie oczekiwań matematycznych ujawnia się ustawą o dużej liczbie (nierówność ChebSheva) i zwiększoną prawdę dużych liczb.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

Niech będzie pewna losowa wartość, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład, liczba punktów przy rzucaniu kości może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). Często pytanie pojawia się w praktyce dla takiej wielkości: jaką wartość przenosi "średnio" z dużą liczbą testów? Jakie będzie nasze średnie dochody (lub straty) od każdej z ryzykownych operacji?

Powiedz, jest jakiś rodzaj loterii. Chcemy zrozumieć, jest korzystne lub nie uczestniczyć w nim (lub nawet nie uczestniczyć wielokrotnie). Przypuśćmy, że zwycięski co czwarty bilet, nagroda będzie 300 rubli, a cena każdego biletu - 100 rubli. Z nieskończenie dużą liczbą udziału, okazuje się to. W ciągu trzech kwartałów przegramy, co trzy straty będą kosztować 300 rubli. W każdym czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (Nagroda minus koszt), to znaczy, w czterech uczestnictwu jesteśmy średnio tracimy 100 rubli, dla jednego - średnio 25 rubli. Razem średnio stawki naszej ruiny wyniesie 25 rubli / biletów.

Rzucamy boską. Jeśli nie jest to skalowanie (bez przenoszenia środka ciężkości itp.), Ile wszyscy mierzymy okulary na raz? Ponieważ każdy wariant jest równie zamierzony, biorąc nam głupio arytmetyczne i otrzymujemy 3.5. Ponieważ jest średnia, nie ma potrzeby oburzenia, że \u200b\u200b3,5 punktu Brak konkretnego rzutu nie daje - cóż, nie ma miejsca na tę kostkę z taką liczbą!

Teraz uogólniamy nasze przykłady:

Zwróć się do widocznego obrazu. Na lewej płycie dystrybucji zmiennej losowej. X wartość może zająć jedną z możliwych wartości N (podano w górnej linii). Żadne inne wartości nie mogą być. W ramach każdej możliwej wartości jego prawdopodobieństwo jest podpisane poniżej. Prawo to formuła, w której m (x) nazywa się oczekiwaniem matematycznym. Znaczeniem tej wielkości jest to, że z dużą liczbą testów (z dużą próbą) średnia wartość dąży do tego bardzo matematycznego oczekiwania.

Wróćmy ponownie do tej samej zabawnej Kuby. Matematyczne oczekiwanie ilości punktów przy rzuceniu wynosi 3,5 (zlicz się zgodnie z formułą, jeśli nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś to kilka razy. 4 i 6 wypadł. Średnio okazało się 5, czyli z dala od 3,5. Rzucili kolejny czas, spadł 3, czyli średnio (4 + 6 + 3) / 3 \u003d 43333 ... jakoś daleko od oczekiwań matematycznych. Teraz spędzić szalony eksperyment - rzuć kostkę 1000 razy! A jeśli średnio i nie będzie dokładnie 3,5, będzie to blisko.

Obliczamy oczekiwania matematyczne dla opisanej powyżej loterii. Znak będzie wyglądał tak:

Wtedy oczekiwanie matematyczne będą tak, jak ustawiliśmy powyżej.:

Inną rzeczą jest to, że to samo "na palcach", bez formuły, trudno byłoby, gdyby było więcej opcji. Cóż, powiedzmy, że byłoby 75% traci biletów, 20% zwycięskich biletów i 5% szczególnie korzystnych.

Teraz niektóre właściwości oczekiwania matematycznego.

Udowodnij to:

Dostępny jest stały mnożnik na oznakę oczekiwań matematycznych, czyli:

Jest to szczególny przypadek właściwości granicy oczekiwań matematycznych.

Inne konsekwencje liniowości oczekiwań matematycznych:

oznacza to, że matematyczne oczekiwanie na sumę zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań zmiennych losowych.

Niech X, Y będzie niezależnymi zmiennymi losowymi, następnie:

Jest również łatwy do udowodnienia) XY. sama jest losowa kwota, z początkowymi wartościami może wziąć n.i m.wartości odpowiednio, XY.może wziąć wartości NM. Prawdopodobieństwo każdego z wartości oblicza się na podstawie faktu, że prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń są zmienne. W końcu otrzymujemy to:

Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

W ciągłych zmiennych losowych występuje taka charakterystyczna jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). Ona w istocie charakteryzuje sytuację, że niektóre wartości z różnych ważnych liczb losowych wartości zajmuje częściej, niektóre rzadziej. Na przykład rozważ ten harmonogram:

Tutaj X.- właściwie zmienna losowa, f (x)- Gęstość rozkładu. Sądząc według tego harmonogramu, z wartością eksperymentów X.często będzie to liczba blisko zera. Szanse na przekroczenie 3 lub być mniejszym -3 raczej czysty teoretyczny.

Niech, na przykład, istnieje jednolity dystrybucja:

To w pełni odpowiada intuicyjnemu zrozumieniu. Na przykład, jeśli dostaniemy z jednolitą dystrybucją wiele losowych liczb prawidłowych, każdy z segmentu |0; 1| , Średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.

Właściwości oczekiwań matematycznych są liniowością itp., Mając tutaj zastosowanie do dyskretnych zmiennych losowych.

Relacja oczekiwań matematycznych z innymi wskaźnikami statystycznymi

W analizie statystycznej, wraz z oczekiwaniami matematycznymi, istnieje system współzależnych wskaźników odzwierciedlających jednorodność zjawisk i stabilności procesów. Często wskaźniki zmienności nie mają niezależnego znaczenia i są używane do dalszego analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność danych, co jest cenną cechą statystyczną.

Stopień zmienności lub stabilności procesów w nauce statystycznej można zmierzyć za pomocą kilku wskaźników.

Najważniejszym wskaźnikiem charakteryzującym zmienność zmiennej losowej jest Dyspersjaktóry jest najbardziej blisko i bezpośrednio związany z oczekiwaniami matematycznymi. Parametr ten jest aktywnie stosowany w innych rodzajach analizy statystycznej (hipotezy testowe, analiza relacji przyczynowych itp.). Podobnie jak średnie liniowe odchylenie, dyspersja odzwierciedla również miarę rozproszenia danych wokół średniej wartości.

Język znaków jest przydatny do tłumaczenia na język słów. Okazuje się, że dyspersja jest średnim kwadratem odchyleń. Oznacza to, że początkowo obliczana jest średnia wartość, różnica jest pobierana między każdym źródłem a średniej wartości, jest ona wzniesiona na kwadrat, jest również podzielony na liczbę wartości w tym zestawie. Różnica między poszczególną wartością a średnia odzwierciedla środek odchylenia. Plac jest zbudowany, aby zapewnić wyłącznie wszystkie odchylenia numery dodatnich I unikać połączenia odchyleń pozytywnych i negatywnych podczas ich podsumowania. Następnie, mając kwadraty odchyleń, po prostu obliczymy średnią arytmetykę. Średniej - odchylenia. Odchylenia są podwyższone na placu, a średnia jest brana pod uwagę. Wpływ magicznego słowa "dyspersja" leży w trzech słowach.

Jednak w czystej formie, takiej jak średnia arytmetyka lub indeks, dyspersja nie jest używana. Jest to raczej pomocniczy i pośredni wskaźnik, który jest używany do innych rodzajów analizy statystycznej. Nie ma nawet normalnych jednostek. Sądząc według formuły, jest to kwadrat jednostki pomiaru danych źródłowych.

Pozwólmy mierzyć zmienną losową N.raz, na przykład, mierzymy prędkość wiatru i chcemy znaleźć średnią wartość. Jaka jest średnia wartość z funkcją dystrybucji?

Albo rzucimy kostka do gry duża liczba czas. Liczba punktów, które spada na sześcian z każdym rzutem, jest losową wartością i może podjąć dowolne wartości naturalne od 1 do 6. Średnie punkty płucne arytmetyczne liczone dla wszystkich odlewów sześcianu jest również zmienną losową, ale z duży N.szuka całkowicie konkretnego numeru - oczekiwania matematycznego Mx.. W tym przypadku MX \u003d 3.5.

Jak wyjdzie ta wartość? Niech B. N.testy n1.kiedyś spadły 1 punkt n2.raz - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, w których upadł jeden punkt:

Podobnie, w przypadku wyników, gdy spadły 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.

Przypuśćmy, że znamy prawo dystrybucji wartości losowej x, to znaczy wiemy, że losowa wartość X może przyjmować wartości X1, X2, ..., XK z prawdopodobieństwami P1, P2, ... , Pk.

Oczekiwanie matematyczne MX Losowo Variance X to:

Oczekiwanie matematyczne nie zawsze jest rozsądną oceną pewnej losowej odmiany. Aby oszacować średnią wynagrodzenie, jest bardziej rozsądny, aby korzystać z koncepcji mediany, czyli taką wartość, którą liczba osób otrzymujących mniej niż mediana, wynagrodzenie i duża, zbiegają się.

Prawdopodobieństwo P1 jest to, że zmienna losowa będzie mniejsza niż x1 / 2, a prawdopodobieństwo P2 jest to, że wartość losowa X jest większa niż X1 / 2, taka sama i równa 1/2. Mediana jest zdefiniowany jednoznacznie nie dla wszystkich dystrybucji.

Odchylenie standardowe lub standardowe W statystykach wywoływano stopień odchylenia danych obserwacyjnych lub zestawów z średniej wartości. Oznaczony literami s lub s. Niewielkie odchylenie standardowe wskazuje, że dane są zgrupowane wokół średniej wartości i znaczące - że początkowe dane są zlokalizowane z daleko. Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi kwadratowej wielkości zwanej dyspersją. Jest to średnia liczba sumy początkowej różnic danych odchylających się od średniej wartości. Odchylenie standardowe zmiennej losowej nazywa się kwadratem głównym z dyspersji:

Przykład. W warunkach testowania podczas strzelania do celu, oblicz dyspersję i odchylenie riconductical zmiennej losowej:

Zmiana- oscylacja, zmienność znaku znaku jednostek agregatu. Indywidualny wartości numeryczne Atrybut napotkany w krumieniu jest nazywany wariantami. Niedobór średniej wartości dla pełnych cech agregatu umożliwia uzupełnienie średnie wartości wskaźników, które pozwalają nam oszacować trwałość tych średnich, mierząc zmienną (wariacje) badanego znaku. Współczynnik zmienności jest obliczany przez wzór:

Odmiana zmienności (R) reprezentuje różnicę między wartościami maksymalnymi i minimalnymi funkcji we wspólnej całości. Ten wskaźnik daje najwięcej ogólny widok Na sekcjach studiowanego znaku, ponieważ pokazuje różnicę tylko między wartościami granicznymi opcji. Zależność od wartości ekstremalnych atrybutu daje zakres zmienności, jest niestabilny, losowy charakter.

Średnie odchylenie liniowe.jest to średnia arytmetyczna absolutnego (modułu) odchylenia wszystkich wartości analizowanych agregatu z ich średniej wielkości:

Matematyczne oczekiwania w teorii hazardu

Oczekiwanie matematyczne jestŚrednia kwota pieniędzy, która gra gracza może wygrać lub przegrać w tej stawce. Jest to bardzo istotna koncepcja gracza, ponieważ ma zasadnicze znaczenie dla oceny większości sytuacji gry. Oczekiwanie matematyczne jest również optymalnym narzędziem do analizy układów głównych kart kart i sytuacji gry.

Przypuśćmy, że grasz z przyjacielem w monecie, za każdym razem, gdy jazda zakładem za 1 $, niezależnie od tego, co się spaść. Rush - wygrałeś, orzeł - zagubiony. Szanse na to, co spada na jeden na jeden, i zakładasz od 1 do 1 $. Tak więc oczekiwanie matematyczne wynosi zero, ponieważ Z punktu widzenia matematyki nie możesz wiedzieć, że będziesz zachowywał się lub bawią się po dwóch strzankach lub po 200.

Twoja zwycięstwo zegarek wynosi zero. Zegar zegara to ilość pieniędzy, które spodziewasz wygrać za godzinę. Możesz rzucić monetę 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz i nie przegrywasz, ponieważ Twoje szanse nie są pozytywne ani negatywne. Jeśli spojrzysz, z punktu widzenia poważnego gracza takiego systemu zakładów. Ale to po prostu utrata czasu.

Przypuśćmy jednak, że ktoś chce umieścić 2 $ przeciwko swojemu 1 $ w tej samej grze. Następnie natychmiast masz pozytywny matchmaker w 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centów? Średnio jeden zakład, który wygrałeś, drugie utrata. Umieść pierwszy dollar - i stracić 1 $, umieść drugi - wygraj 2 $. Dwukrotnie zrobiłeś 1 $ i pójdziesz za 1 $. Tak więc każdy z twoich zakładów jednoosobowych dał ci 50 centów.

Jeśli w ciągu jednej godziny moneta spadnie 500 razy, wygrane zegarek będzie już 250 $, ponieważ Średnio straciłeś jeden dolar 250 razy i zdobył dwa dolary 250 razy. 500 $ minus 250 $ wynosi 250 USD, co jest całkowitą wygraną. Należy pamiętać, że pasowała, która jest kwotą, którą wygrałeś na tej samej tempie, jest równa 50 centów. Wygrałeś 250 dolarów, stawiając zakład na dolara 500 razy, co jest równe 50 centów z zakładu.

Oczekiwanie matematyczne nie ma nic wspólnego z wynikami krótkoterminowymi. Twój przeciwnik, który postanowił umieścić 2 $ przeciwko was, mógłbym pokonać Cię na pierwsze dziesięć rzutów z rzędu, ale ty, posiadając zaletę zakładów 2 do 1, z innymi rzeczami jest równe, zarabiasz 50 centów z każdej stawki 1 $ . Nie ma różnicy, wygrasz albo stracić jeden zakład, albo kilka stawek, ale tylko wtedy, gdy masz wystarczająco dużo gotówki, aby cicho zrekompensować koszty. Jeśli nadal umieścisz to samo długi okres Czas Twoje wygrane będą odpowiadać sumie matchmakerów w oddzielnych rzutach.

Za każdym razem, obstawianie zakładu z najlepszym wynikiem (zakład, który może być korzystny na długich dystansach), kiedy szanse na twoją korzyść, na pewno wygrasz coś na nim, i nie ma znaczenia, że \u200b\u200bnie ma znaczenia, czy nie w tym dłoń. Wręcz przeciwnie, jeśli postawiłeś z najgorszym wynikiem (zakład, który jest nieopłacalny na długich dystansach), kiedy szanse nie są na twojej korzyść, tracisz coś bez względu na to, co wygrałeś lub zagubisz w tej ręce.

Założasz się z najlepszego wyniku, jeśli masz pozytywny mecz i jest to pozytywne, jeśli szanse są po twojej stronie. Stawiając zakład z najgorszym wynikiem, masz negatywny matchak, który dzieje się, gdy są szanse przeciwko tobie. Poważni gracze sprawiają, że zakłady tylko z najlepszym wynikiem, w najgorszym przypadku - opasą. Co znaczy szanse na twoją korzyść? Możesz ostatecznie wygrać więcej niż przynosić prawdziwe szanse. Prawdziwe szanse na to, co pęd spadnie od 1 do 1, ale masz 2 do 1 ze względu na stosunek stawek. W tym przypadku szanse na twoją korzyść. Dokładnie masz najlepszy wynik z pozytywnym oczekiwaniem na 50 centów na zakład.

Oto więcej. złożony przykład oczekiwanie matematyczne. Buddy pisze numery od jednego do pięciu i zakłady 5 USD wobec twojego 1 $ na fakt, że nie definiujesz określonej liczby. Czy zgadzasz się na taki zakład? Co jest tutaj matchak?

Średnio cztery razy się mylisz. W oparciu o to szanse przeciwko faktu, że zgadując, że rysunek będzie 4 do 1. szans na fakt, że z jedną próbą stracisz dolara. Niemniej jednak wygrasz 5 do 1, jeśli to możliwe, aby stracić 4 do 1. Dlatego szanse na twoją korzyść, możesz zabrać zakłady i mieć nadzieję na najlepszy wynik. Jeśli zrobisz taki zakład pięciokrotnie, średnio stracisz cztery razy 1 $ i wygrasz 5 $ raz. Na podstawie tego, dla wszystkich pięciu prób zdobycia 1 $ z pozytywnym oczekiwaniem matematycznego 20 centów za zakład.

Gracz, który wygrał więcej niż stawia, jak w powyższym przykładzie, łapie szanse. Wręcz przeciwnie, runia szanse, gdy zakłada wygrać mniej niż stawia. Gracz zakładowy może mieć pozytywny lub negatywny mecz, który zależy od tego, czy łapie lub ruina szanse.

Jeśli umieścisz 50 $, aby wygrać 10 $ na prawdopodobieństwo wygranej 4 do 1, otrzymasz negatywny mecz-erię $ 2, ponieważ Średnio wygrasz cztery razy w wysokości 10 USD i odtworzysz $ 50 raz, co pokazuje, że strata u jednego zakładu wynosi 10 USD. Ale jeśli umieścisz 30 dolarów, aby wygrać 10 $, z taką samymi szansami na wygraną 4 do 1, w tym przypadku w tym przypadku masz pozytywne czekać 2 $, ponieważ Ponownie wygrasz cztery razy w wysokości 10 USD i odtwarza 30 USD, co zrobi zysk w wysokości 10 USD. Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a druga jest dobra.

Oczekiwania matematyczne to centrum każdego sytuacja gier. Kiedy bukmacher zachęca fanów piłki nożnej, aby zdobyć 11 USD, aby wygrać 10 $, ma pozytywny matchak z każdej 10 dolarów w wysokości 50 centów. Jeśli kasyno płaci równe pieniądze z linii przejściowej w łączniku, pozytywne oczekiwanie na kasyno będzie wynosić około 1,40 USD co 100 USD, ponieważ Ta gra jest zbudowana tak, że wszyscy, którzy wprowadzili tę linię tasy średnio 50,7% i wygrywa 49,3% całkowitego czasu. Niewątpliwie jest to ten rodzaj minimalnych pozytywnych matchmakerów i przynosi kolosalne zyski właścicielom kasynowi na całym świecie. Jako właściciel właściciela Właściciela World World Casino, Bob Stupak ", zostanie rozproszone jeden tysięczny procent negatywnego prawdopodobieństwa na wystarczająco dużej odległości bogaty człowiek na świecie".

Oczekiwanie matematyczne podczas gry w pokera

Gra w pokera jest najbardziej orientacyjnym i wizualnym przykładem z punktu widzenia wykorzystania teorii i właściwości oczekiwań matematycznych.

Oczekiwanie matematyczne (angielska wartość oczekiwana) w pokerze jest średnia korzyści z jednego lub innego rozwiązania, pod warunkiem, że taka decyzja może być rozpatrywana w ramach teorii dużych liczb i długiej odległości. Udana gra w pokera jest zawsze przyjmuje ruchy tylko z pozytywnym oczekiwaniem matematycznym.

Matematyczne znaczenie oczekiwań matematycznych podczas gry w pokerze jest to, że często jesteśmy spotykani z losowymi wartościami przy podejmowaniu decyzji (nie wiemy, które karty w rękach przeciwnika, które karty będą przyjść na kolejne kręgi handlowe). Musimy wziąć pod uwagę każdy z rozwiązań z punktu widzenia na teorii dużych liczb, które stwierdza, że \u200b\u200bz wystarczająco dużą próbą, średnia wartość zmiennej losowej dąży do jego matematycznego oczekiwania.

Wśród prywatnych formuł do obliczania oczekiwań matematycznych najbardziej stosowane w pokerze jest następujące:

Podczas odtwarzania oczekiwań matematycznych w pokera możesz liczyć zarówno na zakłady, jak i Collov. W pierwszym przypadku należy wziąć pod uwagę Equiti, w drugim - własne szanse banku. Podczas oceny oczekiwania matematycznego obrotu należy pamiętać, że fałd zawsze ma dopasowanie zero. Zatem wyładowanie map zawsze będzie bardziej rentownym rozwiązaniem niż każdy negatywny ruch.

Czekanie mówi o tym, czego można oczekiwać (zysk lub strata) za każdy dolar na ryzyko. Kasyno zarabiaj pieniądze, ponieważ oczekiwanie matematyczne ze wszystkich gier, które są praktykowane w nich, na korzyść kasyna. Dzięki wystarczająco długiej serii gry można oczekiwać, że klient straci pieniądze, ponieważ "prawdopodobieństwo" na korzyść kasyna. Jednak profesjonalni gracze w kasynie ograniczają ich gry z krótkimi odstępami, zwiększając w ten sposób prawdopodobieństwo ich korzyść. To samo dotyczy inwestycji. Jeśli twoje oczekiwanie jest pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie. Czekając, że jest to procent zysku na wygranej, pomnożony przez średni zysk, minus twoje prawdopodobieństwo jest stratą pomnożoną przez średnią stratę.

Poker można również wziąć pod uwagę z punktu widzenia oczekiwań matematycznych. Możesz założyć, że pewny kurs jest korzystny, ale w niektórych przypadkach może być daleko od najlepszych, ponieważ jest bardziej opłacalny inny ruch. Przypuśćmy, że zebrałeś pełny dom na pięciokrotnym pokerze z wymianą. Twoje rywalizujące zakłady. Wiesz, że jeśli podniesiesz zakład, odpowie. Dlatego wzrost wygląda jak lepsza taktyka. Ale jeśli nadal podnosisz ofertę, pozostałe dwa gracze na pewno upuści karty. Ale jeśli wyrównujesz ofertę, będziesz całkowicie pewien, że dwaj inni gracze przybędą za tobą. Podczas podnoszenia stawek otrzymujesz jedną jednostkę i po prostu wyrównujesz - dwa. Tak więc wyrównanie zapewnia wyższe pozytywne oczekiwania matematyczne i będzie najlepszą taktyką.

Oczekiwanie matematyczne może również dać koncepcję, której w taktyce pokera jest mniej opłacalne, a co więcej. Na przykład, grając na pewną rękę, uważasz, że twoje straty średnie nastąpi 75 centów, w tym ante, a następnie taka ręka powinna być odtwarzana, ponieważ Jest lepiej niż zresetować, gdy ANTE wynosi 1 $.

Innym ważnym powodem zrozumienia istoty oczekiwań matematycznych jest to, że daje ci uczucie spokoju, niezależnie od tego, czy wygrałeś ofertę, czy nie: Jeśli zrobiłeś dobry zakład lub zaoszczędziłeś, będziesz wiedział, że zarobiłeś, że zdobyłeś lub uratował pewną kwotę pieniędzy, że gracz był słabszy, nie mógł zaoszczędzić. Jest znacznie trudniej zresetować karty, jeśli jesteś zdenerwowany, że przeciwnik w wymianie zebrał silniejszą kombinację. Z tym wszystkim, pieniądze, które zapisane, bez gry zamiast kładzenia, dodawania do wygranej za noc lub na miesiąc.

Pamiętaj, że jeśli zmienisz ręce, twój przeciwnik odpowiada, a gdy zobaczysz w artykule "Podstawowy twierdzenie pokera" jest tylko jedną z twoich zalet. Musisz się radować, kiedy się zdarzy. Możesz nawet nauczyć się cieszyć się zagubionym dystrybucją, ponieważ wiesz, że inni gracze stracili znacznie więcej.

Jak wspomniano w przykładzie z grą monetą na początku, co godzinowy czynnik zysku jest powiązany z oczekiwaniami matematycznymi i ta koncepcja Szczególnie ważne dla profesjonalnych graczy. Kiedy zamierzasz grać w pokera, musisz oszacować mentalnie, ile możesz wygrać w godzinie gry. W większości przypadków musisz być oparty na intuicji i doświadczeniu, ale można również użyć niektórych obliczeń matematycznych. Na przykład grasz w lobol z wymianą i oglądać, że trzech uczestników stawają stawki 10 USD, a następnie zmienić dwie karty, co jest bardzo złe taktyki, możesz liczyć dla siebie, że za każdym razem, gdy wywierają 10 dolarów, tracą Około 2 USD. Każdy z nich robi osiem razy na godzinę, co oznacza, że \u200b\u200bwszystkie trzy tracą o godzinie około 48 USD. Jesteś jednym z pozostałych czterech graczy, którzy mają odpowiednio równi, te czterech graczy (a Ty wśród nich) muszą podzielić 48 USD, a każdy zysk wyniesie 12 USD za godzinę. Twój współczynnik zegara w tym przypadku jest po prostu równy swojemu udziałowi z kwoty pieniędzy granej w trzech złych graczy na godzinę.

Przez duży czas całkowity zwycięski gracz jest ilością jego matematycznych oczekiwań w oddzielnej dystrybucji. Im bardziej grasz z pozytywnym oczekiwaniem, tym więcej wygrania i odwrotnie, tym więcej dystrybucji z negatywnym oczekiwaniem, które grasz, tym bardziej tracisz. W rezultacie, gra powinna być preferowana, która będzie w stanie zmaksymalizować pozytywne oczekiwanie lub nie będzie negatywne, abyś mógł podnieść mądrość zegarka do maksymalnej.

Pozytywne oczekiwania matematyczne strategia gier

Jeśli wiesz, jak policzyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, jeśli go nie zauważy i nie wyrzucają cię. Casino uwielbiają pijane graczy i nie toleruje rozważanych kart. Zaletą pozwoli Ci wygrać więcej niż raz niż przegrać. Dobre zarządzanie Kapitał przy użyciu obliczeń oczekiwania matematycznego może pomóc wyciągnąć więcej zysku z korzyści i zmniejszyć straty. Bez przewagi lepiej dajesz pieniądze na charytatywę. W grze na giełdzie, zaleta daje system gier, który tworzy duży zysk niż strata, różnica cen i prowizję. Brak zarządzania kapitałem zapisze zły system gry.

Pozytywne oczekiwanie zależy od wartości przekraczającej zero. Im większa ten numer, tym silniejsze oczekiwanie statystyczne. Jeśli wartość jest mniejsza niż zero, oczekiwanie matematyczne będą również negatywne. Im większy moduł ujemny, gorsza sytuacja. Jeśli wynik jest zerowy, oczekiwanie jest nagłe. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne, rozsądny system gier. Gra intuicyjna prowadzi do katastrofy.

Matematyczny czekanie i handel wymiany

Oczekiwanie matematyczne jest dość popularnym i popularnym wskaźnikiem statystycznym we wdrażaniu handlu wymiany na rynkach finansowych. Przede wszystkim parametr ten służy do analizy sukcesu handlu. Nie trudno odgadnąć, że im bardziej ta wartość, tym więcej powodów do rozważenia udanego handlu handlowego. Oczywiście analiza pracy przedsiębiorcy nie może być wykonana tylko przy użyciu tego parametru. Jednak obliczona wartość w krumieniu z innymi sposobami oceny jakości pracy może znacznie zwiększyć dokładność analizy.

Oczekiwanie matematyczne jest często obliczane w usługach kont monitorujących, co pozwala szybko ocenić prace wykonywane na depozyt. Jako wyjątki, możliwe jest wprowadzenie strategii, w których stosuje się "wzmocnienie" nieprzestrzegalnych transakcji. Przedsiębiorca może towarzyszyć szczęście przez pewien czas, a zatem w swojej pracy nie może być ogólnie strat. W takim przypadku nie będzie możliwe poruszanie się tylko w batalionie, ponieważ ryzyko stosowane w pracy nie zostanie uwzględnione.

W handlu rynkowym oczekiwanie matematyczne jest najczęściej stosowane w przewidywaniu rentowności dowolnej strategii handlowej lub przy przewidywaniu dochodu przedsiębiorcy w oparciu o dane statystyczne poprzedniego obrotu.

W odniesieniu do zarządzania kapitałem bardzo ważne jest zrozumienie, że podczas dokonywania transakcji z negatywnym oczekiwaniem nie ma schematu zarządzania pieniędzmi, które zdecydowanie może przynieść wysokie zyski. Jeśli nadal grasz na giełdzie w tych warunkach, niezależnie od metody zarządzania pieniędzmi stracisz całe konto, bez względu na to, jak duży jest na początku.

Ten aksjomat jest prawdą nie tylko do odtwarzania lub zajmujących się negatywnymi oczekiwaniami, jest również prawdą do gry z równymi szansami. Dlatego jedyny przypadek, gdy masz szansę na skorzystanie na dłuższą metę, jest zawarcie transakcji z pozytywnym oczekiwaniem matematycznym.

Różnica między negatywnymi oczekiwaniami a pozytywnymi oczekiwaniami jest różnica między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub o ile negatywne oczekiwania; Ważne jest tylko, aby był pozytywny lub negatywny. Dlatego przed rozważeniem kwestii zarządzania kapitałem, musisz znaleźć grę z pozytywnym oczekiwaniem.

Jeśli nie masz takiej gry, nie ma potrzeby zarządzania pieniędzmi na świecie zaoszczędzić. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwanie, możesz, poprzez odpowiednie zarządzanie pieniędzmi, przekształcić go w funkcję wzrostu wykładniczego. Nie ma znaczenia, jak małe jest pozytywne czekanie! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny system handlowy jest oparty na jednej kontrakcie. Jeśli masz system, który wygrywa 10 dolarów do umowy w jednej transakcji (po odliczeniu komisji i poślizgu), można wykorzystać metody zarządzania kapitałem w taki sposób, aby uczynić go bardziej opłacalnym niż system, który pokazuje średni zysk 1000 USD za transakcję (po potrąceniu do Komisji i poślizgu).

Nie ma znaczenia, jak opłacalny był system i jak zdecydowanie można powiedzieć, że system pokaże co najmniej minimalne zyski w przyszłości. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, który może dokonać przedsiębiorcy, jest upewnienie się, że system pokaże pozytywne oczekiwania matematyczne w przyszłości.

Aby mieć pozytywne oczekiwania matematyczne w przyszłości, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez zniesienie lub zmniejszenie liczby parametrów do zoptymalizowania, ale także poprzez zmniejszenie systemu w jak największym stopniu. Każdy parametr, który dodasz, każda reguła, którą wykonujesz, każda najmniejsza zmiana, którą wykonujesz w systemie zmniejsza liczbę stopni swobody. Idealnie, musisz zbudować dość prymitywny i prosty system, który stale przyniesie mały zysk przez prawie każdego rynku. I znowu ważne jest, abyś rozumieć, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system, dopóki nie będzie opłacalny. Pieniądze, które zarobisz w handlu, zostaną zdobyte przez efektywne zarządzanie pieniądze.

System handlowy to tylko narzędzie, które daje Ci pozytywne oczekiwania matematyczne, dzięki czemu można korzystać z zarządzania pieniędzmi. Systemy, które działają (pokazują co najmniej minimalne zyski) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będzie działać w czasie rzeczywistym wystarczająco długo. Problemem najbardziej zorientowanych technicznie przedsiębiorców jest to, że spędzają zbyt wiele czasu i wysiłków, aby zoptymalizować różne zasady i wartości parametrów systemu obrotu. Daje to całkowicie przeciwne wyniki. Zamiast wydawania siły i czasu komputera, aby zwiększyć zyski systemu handlowego, wysłać energię, aby zwiększyć poziom wiarygodności minimalnych zysków.

Wiedząc, że kierownictwo kapitałowe to tylko gra numeryczna, która wymaga wykorzystania pozytywnych oczekiwań, przedsiębiorca może zatrzymać wyszukiwanie "Sacred Graal" handlu wymiany. Zamiast tego może zrobić sprawdzenie jego metody handlowej, dowiedzieć się, jak logicznie uzasadnione tej metody, czy daje oczekiwania pyłkowe. Prawidłowe metody zarządzania kapitałem, stosowane w odniesieniu do wszelkich, nawet bardzo przeciętnych metod handlowych, uczynią je całą resztą.

Do każdego przedsiębiorcy, aby odnieść sukces w swojej pracy, konieczne jest rozwiązanie trzech najważniejszych zadań :. Upewnij się, że liczba udanych transakcji przekracza nieuniknione błędy i błędne przeliczenia; Dostosuj swój system handlowy, aby możliwość zarobków jest tak często, jak to możliwe; Osiągnąć stabilność pozytywnego wyniku ich działalności.

I tutaj jesteśmy pracownikami, dobrą pomocą może mieć oczekiwanie matematyczne. Ten termin w teorii prawdopodobieństwa jest jednym z kluczowych. Z nim możliwe jest zapewnienie uśrednionej oceny do pewnego losowego znaczenia. Matematyczne oczekiwanie losowej wariancji jest podobny do środka ciężkości, jeśli wyobrażasz sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa z kropkami o różnej masie.

W odniesieniu do strategii handlowej, matematyczne oczekiwania zysku (lub straty) jest najczęściej stosowane do oceny jego skuteczności. Ten parametr określa się jako ilość utworów określonych poziomów zysku i straty oraz prawdopodobieństwem ich wyglądu. Na przykład, opracowana strategia handlowa zakłada, że \u200b\u200b37% wszystkich operacji spowoduje zyski, a pozostała część wynosi 63% - będzie nieopłacalna. Jednocześnie średnie dochody ze udanej transakcji wynosi 7 USD, a średnia strata wynosi 1,4 dolary. Obliczmy matematyczne oczekiwania handlu w takim systemie:

Co oznacza ten numer? Sugeruje, że zgodnie z zasadami tego systemu, średnio otrzymamy 1,708 dolarów z każdej zamkniętej transakcji. Ponieważ wynikający z tego oszacowanie oceny jest większe niż zero, taki system może być używany do prawdziwej pracy. Jeśli w wyniku obliczeń oczekiwania matematyczne będą negatywne, mówi już o średniej obrażeniach, a taki handel doprowadzi do ruiny.

Ilość zysku na jedną transakcję może być również wyrażona i względna wartość w postaci%. Na przykład:

- Procent dochodu 1 transakcji - 5%;

- odsetek udanych operacji handlowych - 62%;

- procent straty na 1 transakcję - 3%;

- odsetek nieudanych transakcji - 38%;

Oznacza to, że średnia transakcja przyniesie 1,96%.

Możesz opracować system, który pomimo występowania rozpowszechnienia nieprzestrzegalnych transakcji da wynik pozytywny, ponieważ jego mo\u003e 0.

Jednak jedno oczekiwanie jest małe. Trudno zarobić, jeśli system daje bardzo małe sygnały handlowe. W tym przypadku jego wydajność będzie porównywalna z procentem bankowym. Niech każda operacja dała średnio tylko 0,5 dolarów, ale co, jeśli system zakłada 1000 operacji rocznie? Będzie to bardzo poważna kwota na stosunkowo mały czas. Z tego logicznie wynika z tego innego osobliwość Dobry system handlowy można uznać za krótkie zdanie pozycji.