Szeregi liczbowe: definicje, własności, kryteria zbieżności, przykłady, rozwiązania. Zbieżność szeregów online Dlaczego szeregi 1 n są rozbieżne
Istnieje kilka sposobów sprawdzenia zbieżności szeregu. Po pierwsze, możesz po prostu znaleźć sumę serii. Jeśli w rezultacie otrzymamy liczbę skończoną, to takie seria zbiega się... Na przykład, ponieważ
następnie seria zbiega się. Jeśli nie mogliśmy znaleźć sumy szeregu, to powinniśmy użyć innych metod, aby sprawdzić zbieżność szeregu.
Jedną z takich metod jest znak d'Alembert
tutaj i odpowiednio n-ty i (n + 1) -ty wyraz szeregu, a zbieżność wyznacza wartość D: Jeżeli D< 1 - ряд сходится, если D >
Jako przykład zbadajmy zbieżność szeregu za pomocą testu d'Alemberta. Najpierw piszemy wyrażenia dla i. Teraz znajdźmy odpowiedni limit:
Ponieważ, zgodnie ze znakiem d'Alemberta, seria zbiega się.
Inną metodą sprawdzenia zbieżności szeregu jest radykalny znak Cauchyego który jest napisany w następujący sposób:
oto n-ty wyraz szeregu, a zbieżność, jak w przypadku testu d'Alemberta, określa wartość D: Jeżeli D< 1 - ряд сходится, если D >1 - rozbieżne. Gdy D = 1, ten znak nie daje odpowiedzi i potrzebne są dodatkowe badania.
Jako przykład przeanalizujmy zbieżność szeregu za pomocą radykalnego testu Cauchy'ego. Najpierw napiszmy wyrażenie dla. Teraz znajdźmy odpowiedni limit:
Ponieważ tytuł = "15625/64> 1">, zgodnie z radykalnym znakiem Cauchy'ego, seria jest rozbieżna.
Warto zauważyć, że obok powyższego istnieją inne kryteria zbieżności szeregów, takie jak test całkowy Cauchy'ego, test Raabego itp.
Nasz kalkulator online, zbudowany w oparciu o system Wolfram Alpha, pozwala na przetestowanie zbieżności serii. Co więcej, jeśli kalkulator podaje określoną liczbę jako sumę szeregu, to szereg jest zbieżny. W przeciwnym razie należy zwrócić uwagę na pozycję „Test zbieżności serii”. Jeśli występuje wyrażenie „serie zbieżne”, oznacza to, że seria jest zbieżna. Jeśli występuje fraza „seria rozbieżna”, oznacza to, że seria jest rozbieżna.
Poniżej znajduje się tłumaczenie wszystkich możliwych wartości pozycji „Test zbieżności serii”:
| Tekst włączony język angielski | Tekst rosyjski |
|---|---|
| W teście szeregów harmonicznych szereg jest rozbieżny. | Porównując badany szereg z szeregiem harmonicznym, szereg pierwotny jest rozbieżny. |
| Test współczynnika jest niejednoznaczny. | Test d'Alemberta nie może dać odpowiedzi na temat zbieżności serii. |
| Test root jest niejednoznaczny. | Radykalne kryterium Cauchy'ego nie może dać odpowiedzi na temat zbieżności szeregu. |
| W teście porównawczym szereg jest zbieżny. | Na podstawie porównania szereg zbiega się |
| W teście współczynnika szereg jest zbieżny. | Na podstawie d'Alemberta seria zbiega się |
| W teście granicznym seria jest rozbieżna. | Opierając się na fakcie, że tytuł = "(! LANG: Granica n-tego elementu szeregu przy n->oo nie jest równa zero lub nie istnieje"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !} |
Znajdźmy sumę szeregu liczb. Jeśli nie możesz go znaleźć, system oblicza sumę serii z określoną dokładnością.
Zbieżność serii
Ten kalkulator jest w stanie określić, czy szereg jest zbieżny, a także pokazuje, które znaki zbieżności działają, a które nie.
Umie również wyznaczyć zbieżność szeregów potęgowych.
Zbudowany jest również wykres szeregowy, na którym można zobaczyć tempo zbieżności szeregu (lub rozbieżności).
Zasady wprowadzania wyrażeń i funkcji
Wyrażenia mogą składać się z funkcji (oznaczenia podano w kolejności alfabetycznej): bezwzględny (x) Całkowita wartość x
(moduł x lub |x |)
arccos (x) Funkcja - odwrotność cosinusa x arccosh (x) Arccosine hiperboliczny z x arcus sinus (x) Arcsine of x arcsinh (x) Arcsine hiperboliczny z x arctg (x) Funkcja - arcus tangens z x arctgh (x) Arcus tangens hiperboliczny z x mi mi liczba w przybliżeniu 2,7 exp (x) Funkcja - wykładnik od x(NS mi^x)
dziennik (x) lub W (x) Logarytm naturalny z x
(Pozyskać log7 (x), należy wpisać log (x) / log (7) (lub np. dla log10 (x)= log (x) / log (10)) Liczba Pi Liczba to Pi, czyli około 3,14 grzech (x) Funkcja - sinus x cos (x) Funkcja - Cosinus x grzech (x) Funkcja — sinus hiperboliczny z x cosz (x) Funkcja — cosinus hiperboliczny z x sqrt (x) Funkcja - Pierwiastek kwadratowy z x sqr (x) lub x ^ 2 Funkcja - Kwadrat x tg (x) Funkcja — tangens z x tg (x) Funkcja — styczna hiperboliczna z x cbrt (x) Funkcja - pierwiastek sześcienny z x
W wyrażeniach można używać następujących operacji: Liczby rzeczywiste wpisz w formularzu 7.5
, nie 7,5
2 * x- mnożenie 3 / x- podział x ^ 3- potęgowanie x + 7- dodatek x - 6- odejmowanie
Inne funkcje: piętro (x) Funkcja - zaokrąglanie x w dół (przykładowa podłoga (4,5) == 4,0) sufit (x) Funkcja - zaokrąglanie x w górę (przykład sufitu (4,5) == 5,0) znak (x) Funkcja - znak x erf (x) Funkcja błędu (lub całka prawdopodobieństwa) Laplace (x) Funkcja Laplace'a
Szeregi harmoniczne- suma, złożona z nieskończonej liczby wyrazów, odwrotność kolejnych liczb szeregu naturalnego:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\ displaystyle \ suma _ (k = 1) ^ (\ mathcal (\ infty)) (\ frac (1 ) (k)) = 1 + (\ frac (1) (2)) + (\ frac (1) (3)) + (\ frac (1) (4)) + \ cdots + (\ frac (1) (k)) + \ cdots).Kolegium YouTube
1 / 5
✪ Seria liczb. Podstawowe pojęcia - bezbotvy
✪ Dowód rozbieżności szeregu harmonicznego
✪ Ponumeruj rzędy-9. Zbieżność i dywergencja szeregu Dirichleta
✪ Konsultacja nr 1. Mata. analiza. Szeregi Fouriera w układzie trygonometrycznym. Najprostsze właściwości
✪ SERIA. Przegląd
Napisy na filmie obcojęzycznym
Suma pierwszych n członków szeregu
Poszczególne elementy szeregu dążą do zera, ale jego suma jest rozbieżna. n-ta suma częściowa s n szeregu harmonicznego nazywana jest n-tą liczbą harmoniczną:
sn = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\ displaystyle s_ (n) = \ suma _ (k = 1) ^ (n) (\ frac (1 ) (k)) = 1 + (\ frac (1) (2)) + (\ frac (1) (3)) + (\ frac (1) (4)) + \ cdots + (\ frac (1) (n)))Niektóre wartości sum częściowych
| s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1,5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 s 5 = 137 60 ≈ 2,283 (\ styl wyświetlania (\ początek (macierz) s_ (1) & = & 1 \ \\\ s_ (2) & = & (\ frac (3) (2)) & = & 1 (,) 5 \\\\ s_ (3) & = & (\ frac (11) (6)) & \ około & 1 (,) 833 \\\\ s_ (4) & = & (\ frac (25) (12)) & \ około & 2 (,) 083 \\\\ s_ (5) & = & ( \ frac (137) (60)) & \ ok & 2 (,) 283 \ koniec (matryca))) | s 6 = 49 20 = 2,45 s 7 = 363 140 ≈ 2,593 s 8 = 761 280 ≈ 2,718 s 10 3 ≈ 7,484 s 10 6 ≈ 14,393 (\ displaystyle (\ początek (macierz) s_ (6) & = & ( \ frac (49) (20)) & = & 2 (,) 45 \\\\ s_ (7) & = & (\ frac (363) (140)) & \ ok & 2 (,) 593 \\\\ s_ (8) & = & (\ frac (761) (280)) & \ w przybliżeniu & 2 (,) 718 \\\\ s_ (10 ^ (3)) & \ w przybliżeniu & 7 (,) 484 \\\\ s_ ( 10 ^ (6)) & \ ok & 14 (,) 393 \ koniec (matryca))) |
Wzór Eulera
Kiedy wartość ε n → 0 (\ styl wyświetlania \ varepsilon _ (n) \ strzałka w prawo 0), zatem dla dużych n (\ styl wyświetlania n):
s n ≈ ln (n) + γ (\ displaystyle s_ (n) \ ok \ ln (n) + \ gamma)- wzór Eulera na sumę pierwszych n (\ styl wyświetlania n) członkowie szeregu harmonicznego.| n (\ styl wyświetlania n) | s n = ∑ k = 1 n 1 k (\ displaystyle s_ (n) = \ suma _ (k = 1) ^ (n) (\ frac (1) (k))) | ln (n) + γ (\ styl wyświetlania \ ln (n) + \ gamma) | ε n (\ styl wyświetlania \ varepsilon _ (n)), (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Dokładniejszy wzór asymptotyczny na sumę częściową szeregu harmonicznego:
sn ≍ ln (n) + γ + 1 2 n - 1 12 n 2 + 1 120 n 4 - 1 252 n 6 ⋯ = ln (n) + γ + 1 2 n - ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 kn 2 k (\ displaystyle s_ (n) \ asymp \ ln (n) + \ gamma + (\ frac (1) (2n)) - (\ frac (1) (12n ^ (2))) + (\ frac (1) (120n ^ (4))) - (\ frac (1) (252n ^ (6))) \ kropki = \ ln (n) + \ gamma + (\ frac (1) (2n)) - \ suma _ (k = 1) ^ (\ infty) (\ frac (B_ (2k)) (2k \, n ^ (2k)))), gdzie B 2 k (\ styl wyświetlania B_ (2k))- Liczby Bernoulliego.Szereg ten jest rozbieżny, ale błąd obliczeniowy dla niego nigdy nie przekracza połowy pierwszego odrzuconego członu.
Teoretyczne własności liczb cząstkowych
∀ n> 1 s n ∉ N (\ displaystyle \ forall n> 1 \; \; \; \; s_ (n) \ notin \ mathbb (N))
Rozbieżność serii
S n → ∞ (\ styl wyświetlania s_ (n) \ rightarrow \ infty) w n → ∞ (\ styl wyświetlania n \ strzałka w prawo \ infty)
Szereg harmoniczny rozchodzi się bardzo powoli (aby suma częściowa przekroczyła 100, potrzeba około 10 43 elementów serii).
Rozbieżność szeregu harmonicznego można wykazać porównując go z szeregiem teleskopowym:
vn = ln (n + 1) - ln n = ln (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\ displaystyle v_ (n) = \ ln (n + 1) - \ ln n = \ ln \ lewo (1 + (\ frac (1) (n)) \ prawo) (\ underset (+ \ infty) (\ sim)) (\ frac (1) (n))),którego suma częściowa jest oczywiście równa:
∑ i = 1 n - 1 v i = ln n ∼ s n (\ styl wyświetlania \ suma _ (i = 1) ^ (n-1) v_ (i) = \ ln n \ sim s_ (n)).Dowód Orema
Rozbieżność można udowodnić, grupując terminy w następujący sposób:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [1 2] + [1 3 + 1 4] + [1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8] + [1 9 + ⋯] + ⋯> 1 + [1 2] + [1 4 + 1 4] + [1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8] + [1 16 + ⋯] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯. (\ displaystyle (\ begin (wyrównany) \ sum _ (k = 1) ^ (\ infty) (\ frac (1) (k)) & () = 1+ \ left [(\ frac (1) (2) ) \ prawo] + \ lewo [(\ frac (1) (3)) + (\ frac (1) (4)) \ prawo] + \ lewo [(\ frac (1) (5)) + (\ frac (1) (6)) + (\ frac (1) (7)) + (\ frac (1) (8)) \ prawo] + \ lewo [(\ frac (1) (9)) + \ cdots \ prawo] + \ cdots \\ & ()> 1+ \ lewo [(\ frac (1) (2)) \ prawo] + \ lewo [(\ frac (1) (4)) + (\ frac (1) (4)) \ prawo] + \ lewo [(\ frac (1) (8)) + (\ frac (1) (8)) + (\ frac (1) (8)) + (\ frac (1) (8)) \ prawo] + \ lewo [(\ frac (1) (16)) + \ cdots \ prawo] + \ cdots \\ & () = 1+ \ (\ frac (1) (2)) \ \ \ + \ quad (\ frac (1) (2)) \ \ quad + \ \ qquad \ quad (\ frac (1) (2)) \ qquad \ \ quad \ + \ quad \ \ (\ frac (1 ) (2)) \ \ quad + \ \ cdots. \ Koniec (wyrównany)))Ostatni rząd jest oczywiście rozbieżny. Ten dowód należy do średniowiecznego uczonego Nikołaja Orema (ok. 1350).
Alternatywny dowód rozbieżności
zachęcamy czytelnika do przekonania się o błędności tego dowodu
Różnica pomiędzy n (\ styl wyświetlania n)-ta liczba harmoniczna i logarytm naturalny n (\ styl wyświetlania n) zbiega się ze stałą Eulera-Mascheroniego.
Różnica między różnymi liczbami harmonicznymi nigdy nie jest liczbą całkowitą ani liczbą harmoniczną inną niż H 1 = 1 (\ styl wyświetlania H_ (1) = 1) nie jest cały.
Powiązane wiersze
Seria Dirichleta
Uogólniony szereg harmoniczny (lub szereg Dirichleta) nazywa się szeregiem
∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\ displaystyle \ sum _ (k = 1) ^ (\ infty) (\ frac ( 1) (k ^ (\ alpha))) = 1 + (\ frac (1) (2 ^ (\ alpha))) + (\ frac (1) (3 ^ (\ alpha))) + (\ frac ( 1) (4 ^ (\ alfa))) + \ cdots + (\ frac (1) (k ^ (\ alfa))) + \ cdots).Uogólniony szereg harmoniczny rozchodzi się przy α ⩽ 1 (\ styl wyświetlania \ alfa \ leqslant 1) i zbiega się w α> 1 (\ styl wyświetlania \ alfa> 1) .
Suma uogólnionego szeregu harmonicznego rzędu α (\ styl wyświetlania \ alfa) jest równa wartości funkcji zeta Riemanna:
∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\ displaystyle \ suma _ (k = 1) ^ (\ infty) (\ frac (1) (k ^ (\ alpha)))) = \ zeta (\ alpha ))W przypadku parzystej wartość ta jest wyraźnie wyrażona przez liczbę pi, na przykład ζ (2) = π 2 6 (\ displaystyle \ zeta (2) = (\ frac (\ pi ^ (2)) (6))), a już dla α = 3 jego wartość jest analitycznie nieznana.
Inną ilustracją rozbieżności szeregu harmonicznego jest relacja ζ (1 + 1 n) ∼ n (\ styl wyświetlania \ zeta (1 + (\ frac (1) (n))) \ sim n). Dlatego mówią, że taki szereg ma prawdopodobieństwo 1, a suma szeregu jest zmienną losową o ciekawych własnościach. Na przykład funkcja gęstości prawdopodobieństwa obliczona w punktach +2 lub -2 ma następującą wartość:
0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,różniące się od ⅛ o mniej niż 10-42.
„Rozrzedzone” serie harmoniczne
Seria Kempner (Język angielski)Jeśli weźmiemy pod uwagę szereg harmoniczny, w którym pozostały tylko wyrazy, których mianowniki nie zawierają liczby 9, to okazuje się, że pozostała suma jest zbieżna do liczby<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\ styl wyświetlania n), coraz mniej wyrazów jest brane pod uwagę jako suma „uszczuplonej” serii. Oznacza to, że w końcu przytłaczająca większość elementów tworzących sumę szeregu harmonicznego jest odrzucana, aby nie przekroczyć progu geometrycznego ograniczonego od góry.
Odpowiadać: rząd się rozchodzi.
Przykład nr 3
Znajdź sumę szeregu $ \ sum \ limity_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $.
Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wspólny wyraz szeregu zapisujemy pod znakiem sumy: $ u_n = \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Skomponujmy n-tą sumę częściową szeregu, tj. Zsumujmy pierwsze składowe $ n $ danej serii liczbowej:
$$ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ ldots + u_n = \ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9 ) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Dlaczego piszę dokładnie $\frac (2) (3\cdot 5)$, a nie $\frac (2) (15)$, to będzie jasne z dalszej narracji. Jednak nagranie częściowej kwoty nie zbliżyło nas ani o jotę do celu. Musimy znaleźć $ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $, ale jeśli tylko napiszemy:
$$ \ lim_ (n \ do \ infty) S_n = \ lim_ (n \ do \ infty) \ left (\ frac (2) (3 \ cdot 5) + \ frac (2) (5 \ cdot 7) + \ frac (2) (7 \ cdot 9) + \ frac (2) (9 \ cdot 11) + \ ldots + \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \ prawy), $$
wtedy ten zapis, całkowicie poprawny w formie, w istocie nic nam nie da. Aby znaleźć granicę, należy najpierw uprościć wyrażenie na sumę częściową.
W tym celu istnieje standardowe przekształcenie, które polega na rozwinięciu ułamka $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $, który reprezentuje wspólny wyraz szeregu, na ułamki elementarne. Osobny temat poświęcony jest zagadnieniu rozkładu ułamków wymiernych na elementarne (patrz na przykład przykład nr 3 na tej stronie). Rozszerzając ułamek $ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ na ułamki elementarne, będziemy mieli:
$$ \ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) = \ frac (A) (2n + 1) + \ frac (B) (2n + 3) = \ frac (A \ cdot (2n +3) + B \ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Zrównujemy liczniki ułamków po lewej i prawej stronie wynikowej równości:
$ 2 = A \ cdot (2n + 3) + B \ cdot (2n + 1). $$
Istnieją dwa sposoby na znalezienie wartości $ A $ i $ B $. Możesz rozwinąć nawiasy i zmienić kolejność terminów lub po prostu podstawić odpowiednie wartości za $ n $. Ściśle dla odmiany, w tym przykładzie pójdziemy pierwszą drogą, a następną - podstawimy wartości prywatne $n $. Rozszerzając nawiasy i przestawiając terminy, otrzymujemy:
$ 2 = 2An + 3A + 2Bn + B; \\ 2 = (2A + 2B) n + 3A + B. $$
Po lewej stronie równości przed $ n $ znajduje się zero. Jeśli chcesz, lewa strona równości może być reprezentowana jako $ 0 \ cdot n + 2 $ dla jasności. Ponieważ po lewej stronie równości przed $ n $ jest zero, a po prawej stronie równości przed $ n $ jest 2A + 2B $, mamy pierwsze równanie: $ 2A + 2B = 0 $. Od razu dzielimy obie strony tego równania przez 2, po czym otrzymujemy $ A + B = 0 $.
Ponieważ wyraz wolny jest równy 2 po lewej stronie równości, a wyraz wolny jest równy 3A + B $ po prawej stronie równości, to 3A + B = 2 $. Mamy więc system:
$$ \ lewo \ (\ początek (wyrównany) & A + B = 0; \\ & 3A + B = 2. \ koniec (wyrównany) \ prawo. $$
Dowód zostanie przeprowadzony metodą indukcji matematycznej. W pierwszym kroku należy sprawdzić, czy udowodniona równość jest zachowana: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ dla $ n = 1 $. Wiemy, że $ S_1 = u_1 = \ frac (2) (15) $, ale czy wyrażenie $ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ da wartość $ \ frac ( 2 ) (15) $, jeśli zastąpisz $ n = 1 $? Sprawdźmy:
$$ \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) = \ frac (5-3) (15) = \ frac (2) (15). $$
Tak więc, dla $ n = 1 $, równość $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ jest zachowana. To kończy pierwszy krok metody indukcji matematycznej.
Załóżmy, że dla $ n = k $ zachodzi równość, czyli $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $. Udowodnijmy, że ta sama równość utrzyma się dla $ n = k + 1 $. Aby to zrobić, rozważ $ S_ (k + 1) $:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1). $$
Ponieważ $ u_n = \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) $, to $ u_ (k + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. Zgodnie z powyższym założeniem $ S_k = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) $, zatem formuła $ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) $ przyjmuje postać:
$$ S_ (k + 1) = S_k + u_ (k + 1) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2k + 3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2 (k + 1) +3). $$
Wniosek: formuła $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ jest poprawna dla $ n = k + 1 $. Dlatego zgodnie z metodą indukcji matematycznej formuła $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $ jest prawdziwa dla dowolnego $ n \ w N $. Równość jest udowodniona.
Na standardowym kursie matematyki wyższej zazwyczaj zadowalają się „przekreśleniem” warunków skreślających bez konieczności dowodu. Tak więc otrzymaliśmy wyrażenie dla n-tej sumy częściowej: $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Znajdź wartość $ \ lim_ (n \ do \ infty) S_n $:
Wniosek: dany szereg jest zbieżny i jego suma wynosi $ S = \ frac (1) (3) $.
Drugi sposób uproszczenia wzoru na sumę częściową.
Szczerze mówiąc, sam wolę tę metodę :) Zapiszmy sumę częściową w formie skróconej:
$$ S_n = \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$
Wcześniej otrzymaliśmy, że $ u_k = \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) $, czyli:
$$ S_n = \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ prawo). $$
Suma $S_n $ zawiera skończoną liczbę terminów, więc możemy je dowolnie zmieniać. Chcę najpierw dodać wszystkie warunki formularza $ \ frac (1) (2k + 1) $, a dopiero potem przejść do warunków formularza $ \ frac (1) (2k + 3) $. Oznacza to, że kwotę częściową przedstawimy w postaci:
$$ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (5) + \ frac (1) (5) - \ frac (1) (7) + \ frac (1) (7) - \ frac (1) (9) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (11) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \\ = \ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 1 ) - \ po lewej (\ frac (1) (5) + \ frac (1) (7) + \ frac (1) (9) + \ ldots + \ frac (1) (2n + 3) \ po prawej) . $$
Oczywiście rozszerzona notacja jest wyjątkowo niewygodna, więc przedstawioną powyżej równość można sformatować bardziej zwięźle:
$$ S_n = \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ lewo (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ prawo) = \ suma \ limity_ ( k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3). $$
Teraz przekształcamy wyrażenia $ \ frac (1) (2k + 1) $ i $ \ frac (1) (2k + 3) $ do tej samej postaci. Myślę, że wygodnie jest doprowadzić do postaci większej frakcji (choć można ją zmniejszyć, to kwestia gustu). Ponieważ $ \ frac (1) (2k + 1)> \ frac (1) (2k + 3) $ (im większy mianownik, tym mniejszy ułamek), zmniejszymy ułamek $ \ frac (1) (2k + 3) $ do postaci $ \ frac (1) (2k + 1) $.
Przedstawię wyrażenie w mianowniku ułamka $ \ frac (1) (2k + 3) $ w następujący sposób:
$$ \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (2k + 2 + 1) = \ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$
A sumę $ \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) $ można teraz zapisać w następujący sposób:
$$ \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) ) +1) = \ suma \ limity_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1). $$
Jeśli równość $ \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $ nie rodzi pytań, przejdźmy dalej. Jeśli masz jakieś pytania, rozwiń notatkę.
Jak otrzymaliśmy przeliczoną kwotę? Pokaż ukryj
Mieliśmy szereg $ \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 ( k + 1) + 1) zł. Wprowadźmy nową zmienną zamiast $k + 1 $ - na przykład $ t $. Tak więc $ t = k + 1 $.
Jak zmieniła się stara zmienna $k $? I zmienił się z 1 na $ n $. Dowiedzmy się, jak zmieni się nowa zmienna $ t $. Jeśli $ k = 1 $, to $ t = 1 + 1 = 2 $. Jeśli $ k = n $, to $ t = n + 1 $. Zatem wyrażenie $ \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) $ jest teraz $ \ sum \ limity_ (t = 2) ^ (n +1 ) \ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2t + 1). $$
Mamy sumę $ \ sum \ limity_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) $. Pytanie brzmi: czy to naprawdę ma znaczenie, którego listu użyć w tej ilości? :) Trite pisząc literę $k $ zamiast $t $, otrzymujemy:
$$ \ sum \ limits_ (t = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2t + 1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1). $$
W ten sposób otrzymujemy równość $ \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2 (k + 1) +1) = \ sum \ limity_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $.
Zatem częściową kwotę można przedstawić w następujący sposób:
$$ S_n = \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1 ). $$
Zauważ, że sumy $ \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ i $ \ sum \ limity_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1 ) (2k + 1) $ różnią się tylko granicami sumowania. Uczyńmy te ograniczenia takimi samymi. Biorąc pierwszy element z sumy $ \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) $ otrzymamy:
$$ \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (2 \ cdot 1 + 1) + \ sum \ limity_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limity_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1). $$
Biorąc ostatni element z sumy $ \ sum \ limity_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) $, otrzymujemy:
$$ \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k + 1) = \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2 (n + 1) +1) = \ suma \ limity_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3) $$
Wtedy wyrażenie na sumę częściową przyjmie postać:
$$ S_n = \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ suma \ limity_ (k = 2) ^ (n + 1) \ frac (1) (2k +1) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limity_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ lewo (\ sum \ limity_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) + \ frac (1) (2n + 3) \ prawo) = \\ = \ frac (1) (3) + \ sum \ limity_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ suma \ limity_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2n + 3) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Jeśli pominiemy wszystkie wyjaśnienia, to proces znajdowania skróconej formuły dla n-tej sumy cząstkowej przyjmie następującą postać:
$$ S_n = \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) u_k = \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ left (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ right) = \\ = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3) = \ frac (1) (3) + \ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ left (\ sum \ limits_ (k = 2) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1 ) + \ frac (1) (2n + 3) \ prawo) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Przypomnę, że zmniejszyliśmy ułamek $ \ frac (1) (2k + 3) $ do postaci $ \ frac (1) (2k + 1) $. Oczywiście możesz zrobić odwrotnie, tj. reprezentują ułamek $ \ frac (1) (2k + 1) $ jako $ \ frac (1) (2k + 3) $. Ostateczne wyrażenie kwoty częściowej nie ulegnie zmianie. W takim przypadku ukryję proces znajdowania częściowej sumy pod notatką.
Jak możemy znaleźć $S_n $, jeśli sprowadzimy je do innego ułamka? Pokaż ukryj
$$ S_n = \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 1) - \ sum \ limity_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \ sum \ limits_ (k = 0) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) \ frac (1) (2k + 3 ) = \\ = \ frac (1) (3) + \ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) - \ lewo (\ suma \ limity_ (k = 1) ^ (n-1) \ frac (1) (2k + 3) + \ frac (1) (2n + 3) \ prawo) = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3). $$
Więc $ S_n = \ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) $. Znajdź limit $ \ lim_ (n \ do \ infty) S_n $:
$$ \ lim_ (n \ do \ infty) S_n = \ lim_ (n \ do \ infty) \ left (\ frac (1) (3) - \ frac (1) (2n + 3) \ right) = \ frac (1) (3) -0 = \ ułamek (1) (3). $$
Dany szereg jest zbieżny, a jego suma wynosi $ S = \ frac (1) (3) $.
Odpowiadać: $S = \frac (1) (3) $.
Kontynuacja tematu znajdowania sumy serii zostanie rozważona w drugiej i trzeciej części.
Ten artykuł jest uporządkowany i dokładna informacja, które mogą się przydać podczas analizy ćwiczeń i zadań. Przyjrzymy się tematowi serii liczb.
Ten artykuł zaczyna się od podstawowych definicji i pojęć. Następnie omówimy standardowe opcje i zbadamy podstawowe formuły. W celu utrwalenia materiału w artykule podano podstawowe przykłady i zadania.
Tezy podstawowe
Najpierw wyobraźmy sobie system: a 1, a 2. ... ... , NS,. ... ... , gdzie a k R, k = 1, 2. ... ... ...
Na przykład weź liczby takie jak: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16,. ... ... ...
Definicja 1
Szereg liczb jest sumą wyrazów ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 +. ... ... + n +. ... ... ...
Aby lepiej zrozumieć definicję, rozważmy przypadek, w którym q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. ... ... = ∑ k = 1 ∞ (- 16) - 1 2 k.
Definicja 2
k jest ogólne lub k th członek serii.
Wygląda to mniej więcej tak - 16 · - 1 2 tys.
Definicja 3
Suma częściowa szeregu wygląda tak S n = a 1 + a 2 +. ... ... + n, w którym n-Jakikolwiek numer. S n jest n-ty suma serii.
Na przykład ∑ k = 1 ∞ (-16) · - 1 2 k to S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.
S 1, S 2,. ... ... , Sn ,. ... ... tworzą nieskończoną sekwencję liczb.
Na numer n-ty sumę określa wzór S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 1 - - 1 2 n. Używamy następującego ciągu sum częściowych: 8, 4, 6, 5,. ... ... , 16 3 1 - - 1 2 n,. ... ... ...
Definicja 4
Szereg ∑ k = 1 ∞ a k is zbieżny jeśli ciąg ma skończoną granicę S = lim S n n → + ∞. Jeżeli nie ma granicy lub ciąg jest nieskończony, to szereg ∑ k = 1 ∞ a k nazywamy rozbieżny.
Definicja 5
Suma szeregu zbieżnego∑ k = 1 ∞ a k jest granicą ciągu ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S.
W ten przykład lim S nn → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, szereg ∑ k = 1 ∞ (- 16) - 1 2 tys. zbiega się. Suma wynosi 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3.
Przykład 1
Przykładem szeregu rozbieżnego jest suma postęp geometryczny z mianownikiem większym niż jeden: 1 + 2 + 4 + 8 +. ... ... + 2 n - 1 +. ... ... = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.
N-ta suma częściowa jest określona przez wyrażenie S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, a granica sum częściowych jest nieskończona: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞.
Innym przykładem rozbieżnego szeregu liczbowego jest suma postaci ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 +. ... ... ... W takim przypadku n-tą sumę częściową można obliczyć jako S n = 5 n. Granica sum częściowych jest nieskończona lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.
Definicja 6
Suma podobna do tej ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 +. ... ... + 1 n +. ... ... - Ten harmoniczny seria liczb.
Definicja 7
Suma ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. ... ... + 1 n +. ... ... , gdzie s- liczba rzeczywista, to uogólniona seria liczb harmonicznych.
Omówione powyżej definicje pomogą w rozwiązaniu większości przykładów i problemów.
Aby uzupełnić definicje, konieczne jest udowodnienie pewnych równań.
- ∑ k = 1 ∞ 1 k jest rozbieżne.
Działamy metodą odwrotną. Jeśli jest zbieżny, granica jest skończona. Możesz zapisać równanie jako lim n → + ∞ S n = S i lim n → + ∞ S 2 n = S. Po pewnych działaniach otrzymujemy równość l ja m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.
Przeciwko,
S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. ... ... + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. ... ... + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. ... ... + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. ... ... + 1 2 n
Zachodzą następujące nierówności: 1 n + 1> 1 2 n, 1 n + 1> 1 2 n. ... ... , 1 2 n - 1 > 1 2 n. Otrzymujemy, że S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. ... ... + 1 2 n> 1 2 n + 1 2 n +. ... ... + 1 2 n = n 2 n = 1 2. Wyrażenie S 2 n - S n> 1 2 wskazuje, że lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 nie zostało osiągnięte. Rząd jest rozbieżny.
- b 1 + b 1 q + b 1 q 2 +. ... ... + b 1 q n +. ... ... = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1
Konieczne jest potwierdzenie, że suma ciągu liczb jest zbieżna dla q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
Zgodnie z powyższymi definicjami kwota n warunki określa się według wzoru S n = b 1 · (q n - 1) q - 1.
Jeśli q< 1 верно
lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1
Udowodniliśmy, że szeregi liczbowe są zbieżne.
Dla q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. ... ... ∑ k = 1 ∞ b 1. Sumy można znaleźć za pomocą wzoru S n = b 1 n, granica jest nieskończona lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 n = ∞. W prezentowanej wersji rząd jest rozbieżny.
Jeśli q = - 1, wtedy rząd wygląda jak b 1 - b 1 + b 1 -. ... ... = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1. Sumy częściowe wyglądają tak: S n = b 1 dla nieparzystych n, a S n = 0 dla parzystego n... Rozważając ten przypadek, upewnimy się, że nie ma limitu, a seria jest rozbieżna.
Dla q> 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞
Udowodniliśmy, że szeregi liczbowe są rozbieżne.
- Szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k s jest zbieżny, jeśli s> 1 i odbiega, jeśli s ≤ 1.
Do s = 1 otrzymujemy ∑ k = 1 ∞ 1 k, szereg jest rozbieżny.
Dla s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,Liczba naturalna... Ponieważ szereg jest rozbieżny ∑ k = 1 ∞ 1 k, nie ma limitu. Następnie sekwencja ∑ k = 1 ∞ 1 k s jest nieograniczona. Dochodzimy do wniosku, że wybrany wiersz rozchodzi się o s< 1 .
Konieczne jest dostarczenie dowodów, że szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k s jest zbieżny dla s> 1.
Reprezentujmy S 2 n - 1 - S n - 1:
S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. ... ... + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s +. ... ... + 1 (2 n-1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. ... ... + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s +. ... ... + 1 (2 n - 1) s
Załóżmy, że 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Przedstawmy równanie dla liczb, które są naturalne, a nawet n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
Otrzymujemy:
∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 12 s + 13 s + 14 s +. ... ... + 17 s + 18 s +. ... ... + 1 15 s +. ... ... = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. ... ...< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
Wyrażenie 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. ... ... Czy suma postępu geometrycznego q = 1 2 s - 1. Według wstępnych danych w s> 1, to 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s> 1 wzrasta i jest ograniczona od powyżej 1 1 - 1 2 s - 1. Wyobraź sobie, że istnieje granica, a szereg jest zbieżny ∑ k = 1 ∞ 1 k s.
Definicja 8
Szereg ∑ k = 1 ∞ a k pozytywne w tym przypadku jeśli jego wyrazy> 0 a k> 0, k = 1, 2,. ... ... ...
Szereg ∑ k = 1 ∞ b k zmienny jeśli znaki liczb są różne. Przykład ten jest przedstawiony jako ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k ak lub ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 ak, gdzie ak> 0 , k = 1, 2,. ... ... ...
Szereg ∑ k = 1 ∞ b k zmienny, ponieważ zawiera wiele liczb, ujemnych i dodatnich.
Drugi wiersz opcji to szczególny przypadek trzeciej opcji.
Podajmy przykłady odpowiednio dla każdego przypadku:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
W przypadku trzeciej opcji można również zdefiniować zbieżność bezwzględną i warunkową.
Definicja 9
Szereg przemienny ∑ k = 1 ∞ b k jest zbieżny bezwzględnie, jeśli ∑ k = 1 ∞ b k jest również uważany za zbieżny.
Przyjrzyjmy się bliżej kilku typowym opcjom.
Przykład 2
Jeśli wiersze to 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. ... ... i 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. ... ... są zdefiniowane jako zbieżne, wtedy można przyjąć, że 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. ... ...
Definicja 10
Szereg przemienny ∑ k = 1 ∞ b k jest uważany za zbieżny warunkowo, jeśli ∑ k = 1 ∞ b k jest rozbieżny, a szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest uważany za zbieżny.
Przykład 3
Przeanalizujmy szczegółowo opcję ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 +. ... ... ... Szereg ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k, który składa się z wartości bezwzględnych, definiuje się jako rozbieżny. Ta opcja jest uważana za zbieżną, ponieważ jest łatwa do ustalenia. Z tego przykładu dowiadujemy się, że szereg ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 +. ... ... będą uważane za zbieżne warunkowo.
Cechy serii zbieżnych
Przeanalizujmy właściwości dla określonych przypadków
- Jeżeli ∑ k = 1 ∞ a k jest zbieżny, wówczas szereg ∑ k = m + 1 ∞ a k jest również uznawany za zbieżny. Można zauważyć, że wiersz bez m członkowie są również uważani za zbieżnych. Jeśli dodamy kilka liczb do ∑ k = m + 1 ∞ a k, to wynik również będzie zbieżny.
- Jeśli ∑ k = 1 ∞ a k jest zbieżne i suma = S, to szereg ∑ k = 1 ∞ A a k, ∑ k = 1 ∞ A a k = A S również jest zbieżny, gdzie A-stały.
- Jeżeli ∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k są zbieżne, sumy A oraz b również szeregi ∑ k = 1 ∞ a k + b k i ∑ k = 1 ∞ a k - b k również są zbieżne. Kwoty będą równe A + B oraz A - B odpowiednio.
Ustal, że szereg jest zbieżny ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3.
Zmień wyrażenie ∑ k = 1 ∞ 2 3 k k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 1 k 4 3. Szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 uważa się za zbieżny, ponieważ szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k s jest zbieżny dla s> 1... Zgodnie z drugą właściwością ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3.
Przykład 5
Określ, czy szereg ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 jest zbieżny.
Przekształcamy oryginalną wersję ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2.
Otrzymujemy sumę ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 i ∑ n = 1 ∞ 1 n 2. Każdy wiersz jest rozpoznawany jako zbieżny zgodnie z jego właściwością. Ponieważ wiersze są zbieżne, to także wersja oryginalna.
Przykład 6
Oblicz, czy szereg 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + jest zbieżny. ... ... i obliczyć kwotę.
Rozwińmy oryginalną wersję:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 18 - 2 9 +. ... ... = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. ... ... - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. ... ... = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2
Każdy wiersz zbiega się, ponieważ jest to jeden z członków ciąg liczb... Zgodnie z trzecią własnością możemy obliczyć, że oryginalny wariant jest również zbieżny. Obliczamy sumę: Pierwszy wyraz szeregu ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, a mianownik = 0. 5, po czym następuje ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0. 5 = 2. Pierwszy wyraz to ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3, a mianownik malejącego ciągu liczbowego = 1 3. Otrzymujemy: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2.
Wyrażeń otrzymanych powyżej używamy w celu wyznaczenia sumy 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. ... ... = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7
Warunek konieczny do określenia, czy szereg jest zbieżny
Definicja 11Jeżeli szereg ∑ k = 1 ∞ a k jest zbieżny, to jego granica k-ty wyraz = 0: lim k → + ∞ a k = 0.
Jeśli zaznaczymy jakąkolwiek opcję, to nie możemy zapomnieć o sine qua non. Jeśli nie jest spełniony, to seria jest rozbieżna. Jeżeli lim k → + ∞ a k ≠ 0, to szereg jest rozbieżny.
Należy wyjaśnić, że warunek jest ważny, ale niewystarczający. Jeśli zachodzi równość lim k → + ∞ a k = 0, to nie gwarantuje to, że ∑ k = 1 ∞ a k jest zbieżne.
Podajmy przykład. Dla szeregu harmonicznego ∑ k = 1 ∞ 1 k warunek jest spełniony lim k → + ∞ 1 k = 0, ale szereg nadal jest rozbieżny.
Przykład 7
Określ zbieżność ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n.
Sprawdźmy oryginalne wyrażenie pod kątem warunku lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Limit n-ty członek nie jest równy 0. Udowodniliśmy, że podana seria jest rozbieżna.
Jak określić zbieżność szeregu dodatniego.
Jeśli ciągle używasz te znaki, będziesz musiał stale obliczać limity. Ta sekcja pomoże Ci uniknąć komplikacji przy rozwiązywaniu przykładów i problemów. Aby określić zbieżność szeregu dodatniego, istnieje pewien warunek.
Dla zbieżności dodatniej ∑ k = 1 ∞ a k, a k> 0 ∀ k = 1, 2, 3,. ... ... konieczne jest określenie ograniczonej sekwencji kwot.
Jak porównywać rangi
Istnieje kilka przesłanek porównania serii. Porównujemy szeregi, których zbieżność proponuje się wyznaczyć, z szeregami, których zbieżność jest znana.
Pierwszy znak
∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k są szeregami dodatnimi. Nierówność a k ≤ b k obowiązuje dla k = 1, 2, 3, ... Wynika z tego, że z szeregu ∑ k = 1 ∞ b k możemy otrzymać ∑ k = 1 ∞ a k. Ponieważ ∑ k = 1 ∞ a k jest rozbieżny, szereg ∑ k = 1 ∞ b k można zdefiniować jako rozbieżny.
Ta zasada jest stale używana do rozwiązywania równań i jest mocnym argumentem, który pomoże określić zbieżność. Trudność może polegać na tym, że nie w każdym przypadku można znaleźć odpowiedni przykład do porównania. Dość często seria jest wybierana zgodnie z zasadą, że wskaźnik k-ty wyraz będzie równy wynikowi odjęcia wykładników licznika i mianownika k-ty członek serii. Załóżmy, że a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, różnica będzie 2 – 3 = - 1 ... W tym przypadku można stwierdzić, że dla porównania szereg z k-ty wyraz b k = k - 1 = 1 k, który jest harmoniczną.
Aby skonsolidować powstały materiał, szczegółowo rozważymy kilka typowych opcji.
Przykład 8
Określ, czym jest szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 .
Ponieważ granica = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, wykonaliśmy warunek konieczny... Nierówność będzie ważna 1 k< 1 k - 1 2 для k, które są naturalne. Z poprzednich akapitów dowiedzieliśmy się, że szereg harmoniczny ∑ k = 1 ∞ 1 k jest rozbieżny. Według pierwszego kryterium można wykazać, że wariant pierwotny jest rozbieżny.
Przykład 9
Określ, czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1.
W tym przykładzie warunek konieczny jest spełniony, ponieważ lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Reprezentujemy jako nierówność 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k... Szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 jest zbieżny, ponieważ szereg harmoniczny ∑ k = 1 ∞ 1 k s jest zbieżny dla s> 1... Zgodnie z pierwszym znakiem możemy stwierdzić, że szereg liczb jest zbieżny.
Przykład 10
Określ, czym jest szereg ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k). lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0.
W tej opcji możesz zaznaczyć spełnienie żądanego warunku. Zdefiniujmy serię dla porównania. Na przykład ∑ k = 1 ∞ 1 k s. Aby określić, jaki jest stopień, rozważ sekwencję (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. ... ... ... Członkowie sekwencji ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5). ... ... wzrasta do nieskończoności. Po przeanalizowaniu równania można zauważyć, że przyjmując za wartość N = 1619, to elementy ciągu są >2. Dla tego ciągu nierówność 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
Drugi znak
Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k są dodatnimi szeregami liczbowymi.
Jeżeli lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞, to szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest zbieżny, a ∑ k = 1 ∞ a k również jest zbieżny.
Jeżeli lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, to skoro szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest rozbieżny, to ∑ k = 1 ∞ a k również jest rozbieżny.
Jeżeli lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, to zbieżność lub rozbieżność szeregu oznacza zbieżność lub rozbieżność drugiego.
Rozważ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 używając drugiej cechy. Dla porównania, ∑ k = 1 ∞ b k weź szereg zbieżny ∑ k = 1 ∞ 1 k 3. Definiujemy granicę: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1
Zgodnie z drugim kryterium można stwierdzić, że szereg zbieżny ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 oznacza, że oryginalna wersja również jest zbieżna.
Przykład 11
Określ, czym jest szereg ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5.
Przeanalizujmy warunek konieczny lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, który jest spełniony w tym wariancie. Zgodnie z drugim kryterium, weź szereg ∑ k = 1 ∞ 1 k. Szukamy granicy: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4
Zgodnie z powyższymi tezami, seria rozbieżna pociąga za sobą rozbieżność serii oryginalnej.
Trzeci znak
Rozważ trzecią cechę porównania.
Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k i _ ∑ k = 1 ∞ b k są dodatnimi szeregami liczbowymi. Jeżeli warunek jest spełniony dla pewnej liczby a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k, to zbieżność tego szeregu ∑ k = 1 ∞ b k oznacza, że szereg ∑ k = 1 ∞ a k jest również zbieżny. Szereg rozbieżny ∑ k = 1 ∞ a k implikuje rozbieżność ∑ k = 1 ∞ b k.
Znak d'Alembert
Wyobraź sobie, że ∑ k = 1 ∞ a k jest szeregiem liczb dodatnich. Jeśli lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, a następnie rozbieżne.
Uwaga 1
Test d'Alemberta jest ważny, jeśli granica jest nieskończona.
Jeżeli lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞, to szereg jest zbieżny, jeżeli lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞, to jest rozbieżny.
Jeśli lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, to test d'Alemberta nie pomoże i będzie wymagane kilka dodatkowych badań.
Przykład 12
Określ, czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k za pomocą kryterium d'Alemberta.
Należy sprawdzić, czy spełniony jest konieczny warunek zbieżności. Obliczmy granicę za pomocą reguły L'Hôpitala: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0
Widzimy, że warunek jest spełniony. Stosujemy test d'Alemberta: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1
Seria jest zbieżna.
Przykład 13
Określ, czy szereg jest rozbieżny ∑ k = 1 ∞ k k k! ...
Użyjemy testu d'Alemberta do wyznaczenia rozbieżności szeregu: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1)! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k! k k (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e> 1
Dlatego seria jest rozbieżna.
radykalny znak Cauchy'ego
Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k jest szeregiem dodatnim. Jeśli lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, a następnie rozbieżne.
Uwaga 2
Jeżeli lim k → + ∞ a k k = 1, to ten atrybut nie dostarcza żadnych informacji - wymagana jest dodatkowa analiza.
Ta funkcja może być używana w przykładach, które są łatwe do zdefiniowania. Przypadek będzie typowy, gdy człon szeregu liczbowego jest wykładniczym wyrażeniem wykładniczym.
Aby skonsolidować otrzymane informacje, rozważymy kilka typowych przykładów.
Przykład 14
Określ, czy szereg dodatni ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k jest zbieżny.
Wymagany warunek uważa się za spełniony, ponieważ lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0.
Zgodnie z rozważanym powyżej kryterium otrzymujemy lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.
Przykład 15
Czy szereg liczb ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 jest zbieżny.
Korzystamy z funkcji opisanej w poprzednim akapicie lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
Cauchy test Cauchy
Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k jest szeregiem dodatnim. Niezbędne jest oznaczenie funkcji ciągłego argumentu y = f (x) co pasuje do n = f (n). Jeśli y = f (x) jest większa od zera, nie jest przerywana i zmniejsza się o [a; + ∞), gdzie a ≥ 1
Wtedy w przypadku Niewłaściwa integralność∫ a + ∞ f (x) d x jest zbieżny, to rozważany szereg również jest zbieżny. Jeśli jest rozbieżny, to w rozważanym przykładzie szereg również się rozchodzi.
Sprawdzając funkcję malejącą, możesz skorzystać z materiału omówionego w poprzednich lekcjach.
Przykład 16
Rozważmy przykład ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k dla zbieżności.
Warunek zbieżności szeregu uważa się za spełniony, ponieważ lim k → + ∞ 1 k ln k = 1 + ∞ = 0. Rozważ y = 1 x ln x. Jest większa od zera, nie jest przerywana i zmniejsza się o [2; + ). Pierwsze dwa punkty są znane na pewno, ale trzeci powinien zostać bardziej szczegółowo omówiony. Znajdź pochodną: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Jest mniejsza od zera na [2 ; + ∞).Dowodzi to tezy o malejącej funkcji.
W rzeczywistości funkcja y = 1 x · ln x odpowiada cechom zasady, którą rozważaliśmy powyżej. Używamy go: ∫ 2 + ∞ dxx ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞
Zgodnie z uzyskanymi wynikami, oryginalny przykład jest rozbieżny, ponieważ całka niewłaściwa jest rozbieżna.
Przykład 17
Udowodnij zbieżność szeregu ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8))) 3.
Ponieważ lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, warunek uważa się za spełniony.
Zaczynając od k = 4, poprawnym wyrażeniem jest 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Jeżeli szereg ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 jest uważany za zbieżny, to zgodnie z jedną z zasad porównania szereg ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 będą również uważane za zbieżne. W ten sposób możemy określić, że oryginalne wyrażenie jest również zbieżne.
Przechodzimy do dowodu ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8))) 3.
Ponieważ funkcja y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 jest większa od zera, nie jest przerywana i zmniejsza się o [4; + ). Korzystamy z funkcji opisanej w poprzednim akapicie:
∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8))) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8))) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 ln 28 2
W otrzymanym szeregu zbieżnym, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, możemy zdefiniować, że ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 również jest zbieżny.
Objaw Raabe
Załóżmy, że ∑ k = 1 ∞ a k jest szeregiem znaków dodatnich.
Jeśli lim k → + ∞ k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, a następnie zbiega się.
Ta metoda oznaczania może być stosowana, jeśli techniki opisane powyżej nie dają widocznych wyników.
Badanie pod kątem bezwzględnej konwergencji
Do badań przyjmujemy ∑ k = 1 ∞ b k. Użyj dodatniego ∑ k = 1 ∞ b k. Możemy użyć dowolnej z odpowiednich cech, które opisaliśmy powyżej. Jeżeli szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest zbieżny, to szereg pierwotny jest zbieżny całkowicie.
Przykład 18
Zbadaj szereg ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 dla zbieżności ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 tys. - 1.
Warunek jest spełniony lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0. Używamy ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 i używamy drugiej cechy: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3.
Szereg ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 jest zbieżny. Oryginalna seria jest również absolutnie zbieżna.
Rozbieżność szeregów przemiennych
Jeżeli szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest rozbieżny, to odpowiedni szereg przemienny ∑ k = 1 ∞ b k jest albo rozbieżny, albo warunkowo zbieżny.
Tylko test d'Alemberta i radykalny test Cauchy'ego pomogą wyciągnąć wnioski o ∑ k = 1 ∞ b k z rozbieżności z modułów ∑ k = 1 ∞ b k. Szereg ∑ k = 1 ∞ b k również jest rozbieżny, jeśli konieczny warunek zbieżności nie jest spełniony, to znaczy, jeśli lim k → ∞ + b k ≠ 0.
Przykład 19
Sprawdź rozbieżność 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6,. ... ... ...
Moduł k-ty wyraz jest reprezentowany jako b k = k! 7 tys.
Przeanalizujmy szereg ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k dla zbieżności d'Alemberta: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1)! 7 tys + 1 tys! 7 k = 1 7 lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞.
∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k różni się w taki sam sposób, jak wersja oryginalna.
Przykład 20
Czy ∑ k = 1 ∞ (- 1) k k 2 + 1 ln (k + 1) zbieżne.
Rozważ warunek konieczny lim k → + ∞ bk = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞. Warunek nie jest spełniony, dlatego ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) jest szeregiem rozbieżnym. Limit został obliczony zgodnie z regułą L'Hôpitala.
Testy warunkowej zbieżności
Objaw Leibniza
Definicja 12Jeśli wartości członków serii naprzemiennej zmniejszą się b 1> b 2> b 3>. ... ... >. ... ... a granica modułu = 0 jako k → + ∞, wtedy szereg ∑ k = 1 ∞ b k jest zbieżny.
Przykład 17
Rozważ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) dla zbieżności.
Szereg jest reprezentowany jako ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 15 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 15 k (k + 1). Wymagany warunek jest spełniony lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0. Rozważ ∑ k = 1 ∞ 1 k przez drugie kryterium porównania lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5
Otrzymujemy, że ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) jest rozbieżne. Szereg ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) jest zbieżny według kryterium Leibniza: ciąg 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1,. ... ... zmniejsza się i lim k → + ∞ = 2 k + 15 k (k + 1) = 0.
Szereg jest warunkowo zbieżny.
Test Abela-Dirichleta
Definicja 13∑ k = 1 + ∞ u k v k jest zbieżny, jeśli (uk) nie rośnie, a ciąg ∑ k = 1 + ∞ v k jest ograniczony.
Przykład 17
Eksploruj 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. ... ... dla konwergencji.
Wyobrażać sobie
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. ... ... = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k
gdzie (u k) = 1, 1 2, 1 3,. ... ... - nierosnący, a ciąg (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. ... ... ograniczony (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. ... ... ... Seria zbiega się.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter
Ładowanie...