Formuła progresji Geom. Postęp geometryczny
Ważna jest progresja geometryczna wraz z arytmetykami szeregi liczbowe, który uczy się na szkolnym kursie algebry w 9 klasie. W tym artykule rozważymy mianownik postępu geometrycznego i jak jego wartość wpływa na jego właściwości.
Definicja postępu geometrycznego
Na początek podajemy definicję tego seria liczb... Postęp geometryczny nazywa się serią liczb wymiernych, która powstaje przez sekwencyjne mnożenie pierwszego elementu przez stałą liczbę zwaną mianownikiem.
Na przykład liczby w rzędzie 3, 6, 12, 24, ... są postępem geometrycznym, ponieważ jeśli pomnożysz 3 (pierwszy element) przez 2, otrzymasz 6. Jeśli pomnożysz 6 przez 2, otrzymasz 12 i tak dalej.
Elementy rozważanego ciągu są zwykle oznaczane symbolem ai, gdzie i jest liczbą całkowitą wskazującą numer elementu w rzędzie.
Powyższą definicję progresji można zapisać w języku matematyki w następujący sposób: an = bn-1 * a1, gdzie b jest mianownikiem. Łatwo sprawdzić ten wzór: jeśli n = 1, to b1-1 = 1 i otrzymujemy a1 = a1. Jeśli n = 2, to an = b * a1 i ponownie dochodzimy do definicji rozważanego szeregu liczb. Podobne rozumowanie można kontynuować dla dużych wartości n.
Mianownik postępu geometrycznego
Liczba b całkowicie określa, jaki znak będzie miała cała seria liczb. Mianownik b może być dodatni, ujemny lub większy niż jeden lub mniejszy. Wszystkie te opcje prowadzą do różnych sekwencji:
- b> 1. Istnieje rosnący szereg liczb wymiernych. Na przykład 1, 2, 4, 8, ... Jeżeli element a1 jest ujemny, to cały ciąg będzie rósł tylko w wartości bezwzględnej, ale zmniejszy się biorąc pod uwagę znak liczb.
- b = 1. Taki przypadek często nie jest nazywany postępem, ponieważ istnieje zwykły szereg identycznych liczb wymiernych. Na przykład -4, -4, -4.
Wzór na kwotę
Przed przystąpieniem do przeglądu specyficzne zadania posługując się mianownikiem rozważanego typu progresji, należy podać ważny wzór na sumę jego pierwszych n elementów. Wzór to: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Możesz uzyskać to wyrażenie samodzielnie, jeśli weźmiesz pod uwagę rekurencyjną sekwencję elementów progresji. Zauważ też, że w powyższym wzorze wystarczy znać tylko pierwszy element i mianownik, aby znaleźć sumę dowolnej liczby wyrazów.
Nieskończenie malejąca sekwencja
Powyżej podano wyjaśnienie, co to jest. Teraz, znając wzór na Sn, zastosuj go do tej serii liczb. Ponieważ dowolna liczba, której moduł nie przekracza 1, po podniesieniu do duże stopnie dąży do zera, czyli b∞ => 0, jeśli -1
Ponieważ różnica (1 - b) zawsze będzie dodatnia, niezależnie od wartości mianownika, znak sumy malejącego nieskończonego postępu geometrycznego S∞ jest jednoznacznie określony przez znak jego pierwszego elementu a1.
Teraz rozważymy kilka zadań, w których pokażemy, jak zastosować zdobytą wiedzę na konkretnych liczbach.
Numer zadania 1. Obliczanie nieznanych elementów progresji i sumy
Dostajesz ciąg geometryczny, mianownik ciągu wynosi 2, a jego pierwszy element to 3. Jaki będzie jego siódmy i dziesiąty wyraz i jaka jest suma jego siedmiu początkowych elementów?
Warunek problemu składa się dość prosto i zakłada bezpośrednie użycie powyższych wzorów. Tak więc, aby obliczyć element o liczbie n, używamy wyrażenia an = bn-1 * a1. Dla 7. elementu mamy: a7 = b6 * a1, podstawiając znane dane, otrzymujemy: a7 = 26 * 3 = 192. Robimy to samo dla 10. członu: a10 = 29 * 3 = 1536.
Użyjmy znanego wzoru na sumę i wyznaczmy tę wartość dla pierwszych 7 elementów szeregu. Mamy: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Zadanie nr 2. Wyznaczenie sumy dowolnych elementów progresji
Niech -2 będzie mianownikiem postępu wykładniczego bn-1 * 4, gdzie n jest liczbą całkowitą. Konieczne jest określenie kwoty od 5 do 10 elementu tej serii włącznie.
Postawionego problemu nie da się rozwiązać bezpośrednio przy użyciu znanych formuł. Można go rozwiązać 2 różnymi metodami. W trosce o kompletność przedstawiamy oba.
Metoda 1. Jej idea jest prosta: należy obliczyć dwie odpowiadające sobie sumy pierwszych członów, a następnie odjąć drugą od jednego. Obliczamy mniejszą kwotę: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz obliczamy dużą sumę: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Zauważ, że w ostatnim wyrażeniu zsumowano tylko 4 terminy, ponieważ piąty jest już zawarty w sumie, którą należy obliczyć zgodnie ze stanem problemu. Na koniec weź różnicę: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Przed podstawieniem liczb i policzeniem możesz otrzymać wzór na sumę między członkami m i n danego szeregu. Robimy dokładnie to samo, co w metodzie 1, tylko najpierw pracujemy z symboliczną reprezentacją sumy. Mamy: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . W wynikowym wyrażeniu możesz podstawić znane liczby i obliczyć wynik końcowy: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.
Problem numer 3. Jaki jest mianownik?
Niech a1 = 2, znajdź mianownik postępu geometrycznego, pod warunkiem, że jego nieskończona suma wynosi 3 i wiadomo, że jest to malejący szereg liczb.
W zależności od stanu problemu łatwo zgadnąć, jaką formułę należy zastosować do jego rozwiązania. Oczywiście, bo suma progresji nieskończenie maleje. Mamy: S∞ = a1 / (1 - b). Skąd wyrażamy mianownik: b = 1 - a1 / S∞. Pozostaje zastąpić znane wartości i uzyskać wymaganą liczbę: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 lub -0,333 (3). Wynik ten można jakościowo sprawdzić, jeśli przypomnimy sobie, że dla tego typu sekwencji moduł b nie powinien przekraczać 1. Jak widać, |-1/3 |
Problem numer 4. Odzyskiwanie szeregu liczb
Niech zostaną podane 2 elementy szeregu liczbowego, np. 5 jest równy 30, a 10 jest równy 60. Z tych danych należy zrekonstruować cały szereg, wiedząc, że spełnia on właściwości postępu geometrycznego.
Aby rozwiązać problem, musisz najpierw zapisać odpowiednie wyrażenie dla każdego znanego terminu. Mamy: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Teraz dzielimy drugie wyrażenie przez pierwsze, otrzymujemy: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Stąd określamy mianownik, biorąc piąty pierwiastek ze stosunku wyrazów znanych z warunku problemu, b = 1,148698. Otrzymaną liczbę podstawiamy do jednego z wyrażeń dla znanego elementu, otrzymujemy: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.
W ten sposób ustaliliśmy, jaki jest mianownik postępu bn, a postęp geometryczny bn-1 * 17,2304966 = an, gdzie b = 1,148698.
Gdzie są używane progresje geometryczne?
Gdyby nie było zastosowania tej serii liczbowej w praktyce, to jej badanie sprowadzałoby się do czysto teoretycznego zainteresowania. Ale jest taka aplikacja.
Poniżej 3 najbardziej znane przykłady:
- Paradoks Zenona, w którym sprytny Achilles nie może dogonić powolnego żółwia, rozwiązuje się za pomocą koncepcji nieskończenie malejącego ciągu liczb.
- Jeśli umieścisz ziarna pszenicy na każdym kwadracie szachownicy tak, aby 1 ziarno znalazło się na 1 kwadracie, 2 - na 2, 3 - na 3 itd., to do wypełnienia wszystkich pól szachownicy potrzeba 18446744073709551615 ziaren. tablica!
- W grze Tower of Hanoi, aby przestawiać dyski z jednego pręta na drugi, należy wykonać 2n-1 operacji, to znaczy ich liczba rośnie wykładniczo wraz z liczbą n użytych dysków.
ulica Kievyan, 16 0016 Armenia, Erewan +374 11 233 255
Postęp geometryczny to nowy rodzaj ciąg liczb, z którym będziemy się zapoznawać. Dla udanej znajomości nie zaszkodzi przynajmniej wiedzieć i rozumieć. Wtedy nie będzie problemów z postępem geometrycznym.)
Co postęp geometryczny? Koncepcja postępu geometrycznego.
Wycieczkę jak zwykle zaczynamy od rzeczy elementarnych. Piszę niedokończony ciąg liczb:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Czy potrafisz uchwycić wzór i powiedzieć, które liczby pójdą dalej? Pieprz jest jasny, liczby 100 000, 1 000 000 i tak dalej pójdą dalej. Nawet bez dużego stresu psychicznego wszystko jest jasne, prawda?)
OK. Inny przykład. Piszę tę sekwencję:
1, 2, 4, 8, 16, …
Będziesz mógł powiedzieć, które numery pójdą dalej, po numerze 16 i zadzwoń ósma członek sekwencji? Jeśli zorientowałeś się, że to będzie liczba 128, to bardzo dobrze. Więc to połowa sukcesu w zrozumieniu oznaczający oraz Kluczowe punkty postęp geometryczny został już wykonany. Możesz dalej się rozwijać.)
A teraz znów zwracamy się od wrażeń do rygorystycznej matematyki.
Kluczowe punkty postępu geometrycznego.
Kluczowy punkt nr 1
Postęp geometryczny to ciąg liczb. Jak również postęp. Nic trudnego. Tylko ta sekwencja jest ułożona różnie. Stąd oczywiście ma inną nazwę, tak…
Kluczowy punkt nr 2
Z drugim kluczowym punktem pytanie będzie bardziej przebiegłe. Cofnijmy się trochę i przypomnijmy kluczową właściwość progresji arytmetycznej. Oto on: każdy termin różni się od poprzedniego o tę samą kwotę.
Czy można sformułować podobną kluczową właściwość dla postępu geometrycznego? Pomyśl trochę ... Przyjrzyj się bliżej podanym przykładom. Zgadłeś? TAk! W postępie geometrycznym (dowolnym!) Każdy z jego członków różni się od poprzedniego tyle samo razy. Zawsze!
W pierwszym przykładzie ta liczba to dziesięć. Niezależnie od tego, który element sekwencji, który weźmiesz, jest większy niż poprzedni dziesięciokrotnie.
W drugim przykładzie jest to dwójka: każdy termin jest dłuższy niż poprzedni. dwa razy.
To jest ten kluczowy punkt, że postęp geometryczny różni się od arytmetycznego. W postępie arytmetycznym uzyskuje się każdy kolejny termin dodawanie taką samą wartość do poprzedniego terminu. I tu - mnożenie poprzedni termin o tę samą kwotę. Na tym polega cała różnica.)
Kluczowy punkt nr 3
Ten kluczowy punkt jest całkowicie identyczny z postępem arytmetycznym. Mianowicie: każdy członek postępu geometrycznego stoi na swoim miejscu. Wszystko jest dokładnie takie samo jak w postępie arytmetycznym, a komentarze, jak sądzę, są zbędne. Jest pierwszy termin, jest sto pierwszy itd. Przestawmy przynajmniej dwa wyrazy - zniknie regularność (a wraz z nią postęp geometryczny). Będzie tylko ciąg liczb bez żadnej logiki.
To wszystko. To jest cały punkt postępu geometrycznego.
Terminy i oznaczenia.
Ale teraz, po ustaleniu znaczenia i kluczowych punktów postępu geometrycznego, możemy przejść do teorii. W przeciwnym razie, jaka jest teoria bez zrozumienia znaczenia, prawda?
Jak oznaczyć postęp geometryczny?
Jak zapisany jest postęp geometryczny? ogólna perspektywa? Nie ma problemu! Każdy członek progresji jest również napisany w formie listu. Tylko do postępu arytmetycznego zwykle używa się litery "ale", dla geometrycznych - litera "b". Numer członkowski jak zwykle jest to wskazane indeks w prawym dolnym rogu... Po prostu wymieniamy członków progresji oddzielonych przecinkami lub średnikami.
Lubię to:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
W skrócie taka progresja jest napisana tak: (b n) .
Lub tak, dla skończonych progresji:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, ..., b 29, b 30.
Lub w skrócie:
(b n), n=30 .
To jest w rzeczywistości wszystkie oznaczenia. Wszystko jest takie samo, tylko litera jest inna, tak.) A teraz przechodzimy bezpośrednio do definicji.
Definicja postępu geometrycznego.
Postęp geometryczny to ciąg liczb, którego pierwszy termin jest niezerowy, a każdy kolejny termin jest równy poprzedniemu terminowi pomnożonemu przez tę samą niezerową liczbę.
To cała definicja. Większość słów i wyrażeń jest ci jasna i znajoma. Jeśli oczywiście rozumiesz znaczenie postępu geometrycznego „na palcach” i ogólnie. Ale jest też kilka nowych fraz, na które chciałbym zwrócić szczególną uwagę.
Najpierw słowa: „pierwszy członek którego niezerowe".
To ograniczenie na pierwszy termin nie zostało wprowadzone przypadkowo. Jak myślisz, co się stanie, jeśli pierwszy semestr? b 1 będzie równa zero? Jaki będzie drugi składnik, jeśli każdy składnik jest większy niż poprzedni? tyle samo razy? Powiedzmy, że trzy razy? Zobaczmy... Pomnóż pierwszy wyraz (tzn. 0) przez 3 i otrzymaj... zero! A trzeci semestr? Również zero! A czwarty termin to również zero! Itp…
Otrzymujemy tylko worek bajgli ciąg zer:
0, 0, 0, 0, …
Oczywiście taka sekwencja ma prawo do życia, ale nie ma to praktycznego znaczenia. Wszystko jasne. Każdy jej członek to zero. Suma dowolnej liczby członków również wynosi zero... Jakie ciekawe rzeczy można z tym zrobić? Nic…
Następujące słowa kluczowe: „pomnożone przez tę samą niezerową liczbę”.
Ten sam numer ma również swoją specjalną nazwę - mianownik postępu geometrycznego... Zacznijmy naszą znajomość.)
Mianownik postępu geometrycznego.
Wszystko jest tak proste, jak łuskanie gruszek.
Mianownikiem postępu geometrycznego jest niezerowa liczba (lub wielkość) wskazująca ile razykażdy członek progresji więcej niż poprzedni.
Ponownie, przez analogię do postępu arytmetycznego, kluczowym słowem, na które należy zwrócić uwagę w tej definicji, jest słowo "jeszcze"... Oznacza to, że otrzymujemy każdy wyraz postępu geometrycznego mnożenie na tym samym mianowniku poprzedniego członka.
Pozwól mi wyjaśnić.
Do obliczeń, powiedzmy druga członek, musisz wziąć pierwszy członek i zwielokrotniać jej na mianowniku. Do obliczeń dziesiąty członek, musisz wziąć dziewiąty członek i zwielokrotniać jej na mianowniku.
Mianownik samego postępu geometrycznego może być dowolny. Absolutnie każdy! Całe, ułamkowe, pozytywne, negatywne, irracjonalne - cokolwiek. Z wyjątkiem zera. O tym mówi nam słowo „niezerowe” w definicji. Dlaczego to słowo jest tutaj potrzebne - o tym później.
Mianownik postępu geometrycznego oznaczany najczęściej literą Q.
Jak znaleźć to bardzo Q? Nie ma problemu! Konieczne jest zabranie dowolnego członka progresji i podziel według poprzedniego terminu... Podział to frakcja... Stąd nazwa - "mianownik progresji". Mianownik, to zwykle ułamek, tak...) Chociaż, logicznie rzecz biorąc, wartość Q powinno się nazywać prywatny postęp geometryczny, przez analogię z różnica do progresji arytmetycznej. Ale zgodziłem się zadzwonić mianownik... I nie wymyślimy koła na nowo.)
Zdefiniujmy na przykład ilość Q dla takiego postępu geometrycznego:
2, 6, 18, 54, …
Wszystko jest elementarne. Bierzemy każdy numer sekwencji. Bierzemy co chcemy. Z wyjątkiem pierwszego. Na przykład 18. I podziel przez poprzedni numer... To znaczy o 6.
Otrzymujemy:
Q = 18/6 = 3
To wszystko. To jest prawidłowa odpowiedź. Dla danego postępu geometrycznego mianownik wynosi trzy.
Znajdźmy teraz mianownik Q dla kolejnego postępu geometrycznego. Na przykład tak:
1, -2, 4, -8, 16, …
Wszystkie takie same. Jakiekolwiek znaki mają sami członkowie, my nadal przyjmujemy każdy numer kolejny (na przykład 16) i podziel przez poprzedni numer(tj. -8).
Otrzymujemy:
D = 16/(-8) = -2
I to wszystko.) Tym razem mianownik progresji okazał się ujemny. Minus dwa. Zdarza się.)
Weźmy teraz następujący postęp:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
I znowu, niezależnie od rodzaju liczb w ciągu (parzyste liczby całkowite, nawet ułamkowe, nawet ujemne, aczkolwiek irracjonalne), weź dowolną liczbę (na przykład 1/9) i podziel przez poprzednią liczbę (1/3). Oczywiście zgodnie z zasadami postępowania z ułamkami.
Otrzymujemy:
I to wszystko.) Tutaj mianownik okazał się ułamkowy: Q = 1/3.
Ale taki „postęp” jak ty?
3, 3, 3, 3, 3, …
Oczywiście tutaj Q = 1 ... Formalnie jest to również postęp geometryczny, tylko z równych członków.) Ale takie progresje do nauki i praktyczne zastosowanie nieinteresujące. Tak samo jak progresje z pełnymi zerami. Dlatego nie będziemy ich rozważać.
Jak widać, mianownikiem progresji może być wszystko – całe, ułamkowe, pozytywne, negatywne – cokolwiek! Nie może być po prostu zerem. Nie zgadłeś dlaczego?
Cóż, weźmy konkretny przykład, aby zobaczyć, co się stanie, jeśli weźmiemy za mianownik Q zero.) Miejmy na przykład b 1 = 2 , ale Q = 0 ... Czemu zatem będzie równy drugi wyraz?
Rozważamy:
b 2 = b 1 · Q= 2 0 = 0
A trzeci semestr?
b 3 = b 2 · Q= 0 0 = 0
Rodzaje i zachowanie ciągów geometrycznych.
Wszystko było mniej więcej jasne: jeśli różnica w progresji D jest pozytywny, progresja wzrasta. Jeśli różnica jest ujemna, progresja maleje. Są tylko dwie opcje. Nie ma trzeciego.)
Ale z zachowaniem postępu geometrycznego wszystko będzie o wiele ciekawsze i bardziej zróżnicowane!)
Gdy tylko warunki nie zachowują się tutaj: zarówno rosną, jak i maleją i zbliżają się do zera bez ograniczeń, a nawet zmieniają znaki, na przemian rzucając się w „plus”, a następnie w „minus”! I w całej tej różnorodności trzeba umieć dobrze rozumieć, tak...
Rozumiesz?) Zaczynamy od najprostszego przypadku.
Mianownik jest dodatni ( Q >0)
Z dodatnim mianownikiem, po pierwsze, elementy postępu geometrycznego mogą przejść do plus nieskończoność(tj. wzrost w nieskończoność) i może przejść do minus nieskończoność(tj. zmniejszać się w nieskończoność). Przyzwyczailiśmy się już do tego zachowania progresji.
Na przykład:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Tutaj wszystko jest proste. Każdy członek progresji okazuje się więcej niż poprzednie... Co więcej, każdy członek okazuje się mnożenie poprzedni członek do pozytywny liczba +2 (tj. Q = 2 ). Zachowanie takiej progresji jest oczywiste: wszyscy członkowie progresji rosną w nieskończoność, wchodząc w przestrzeń. Plus nieskończoność ...
A teraz oto progresja:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Tutaj też okazuje się każdy członek progresji mnożenie poprzedni członek do pozytywny numer +2. Ale zachowanie takiej progresji jest już dokładnie odwrotne: każdy członek progresji okazuje się mniej niż poprzednie, a wszystkie jego elementy zmniejszają się w nieskończoność, przechodząc w minus nieskończoność.
Zastanówmy się teraz: co mają wspólnego te dwie progresje? Zgadza się, mianownik! Tu i tam Q = +2 . Liczba dodatnia. Licho. I tu zachowanie te dwie progresje są zasadniczo różne! Nie zgadłeś dlaczego? TAk! To wszystko o pierwszy warunek! To on, jak mówią, woła melodię.) Przekonaj się sam.
W pierwszym przypadku pierwszy termin progresji pozytywny(+1), a zatem wszystkie kolejne wyrazy otrzymane przez pomnożenie przez pozytywny mianownik Q = +2 Będzie również pozytywny.
Ale w drugim przypadku pierwszy termin negatywny(-jeden). Dlatego wszystkie kolejne wyrazy progresji uzyskane przez pomnożenie przez pozytywny Q = +2 też dostanie negatywny. Ponieważ „minus” do „plus” zawsze daje „minus”, tak.)
Jak widać, w przeciwieństwie do ciągu arytmetycznego, ciąg geometryczny może zachowywać się zupełnie inaczej, nie tylko w zależności od z mianownikaQ, ale także w zależności od pierwszego członka, TAk.)
Pamiętaj: zachowanie ciągu geometrycznego jest jednoznacznie zdeterminowane przez jego pierwszy człon b 1 i mianownikQ .
A teraz zaczynamy analizę mniej znanych, ale znacznie ciekawszych przypadków!
Weźmy na przykład następującą sekwencję:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Ta sekwencja to także postęp geometryczny! Każdy członek tej progresji również się okazuje mnożenie poprzedniego członka o tym samym numerze. Tylko liczba to - frakcyjny: Q = +1/2 ... Lub +0,5 ... Ponadto (ważne!) Liczba, mniej niż jeden:Q = 1/2<1.
Co jest interesującego w tym postępie geometrycznym? Dokąd zmierzają jego członkowie? Zobaczmy:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Co warto tu zobaczyć? Po pierwsze, spadek liczby członków progresji jest natychmiast widoczny: każdy z jej członków mniej poprzedni dokładnie 2 razy. Lub, zgodnie z definicją postępu geometrycznego, każdy termin jeszcze Poprzedni 1/2 razy od mianownik progresji Q = 1/2 ... I z mnożenia przez Liczba dodatnia, mniej niż jeden, wynik zwykle maleje, tak...
Co jeszcze widać w zachowaniu tej progresji? Czy jego członkowie maleją? bez limitu wchodząc w minus nieskończoność? Nie! Zmniejszają się w szczególny sposób. Początkowo zmniejszają się dość szybko, a potem coraz wolniej. I cały czas zostaje pozytywny... Choć bardzo, bardzo mały. A do czego oni sami dążą? Nie zgadłeś? TAk! Mają tendencję do zerowania!) Co więcej, zwróć uwagę, bardzo zerowych członków naszej progresji nigdy nie osiągaj! Tylko nieskończenie blisko niego zbliża się. To jest bardzo ważne.)
Podobna sytuacja będzie w takiej progresji:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Tutaj b 1 = -1 , ale Q = 1/2 ... Wszystko jest takie samo, tylko teraz warunki zbliżą się do zera z drugiej strony, od dołu. Zostaję cały czas negatywny.)
Taki postęp geometryczny, którego członkowie zbliża się do zera w nieskończoność(nie ma znaczenia, po stronie pozytywnej czy negatywnej), w matematyce ma specjalną nazwę - nieskończenie zmniejszający się postęp geometryczny. Ta progresja jest tak ciekawa i niezwykła, że nawet będzie oddzielna lekcja .)
Więc rozważyliśmy wszystkie możliwe pozytywny mianowniki są zarówno duże, jak i mniejsze. Nie uważamy samej jednostki za mianownik z powodów podanych powyżej (przypomnijmy przykład z sekwencją trojaczków...)
Podsumujmy:
pozytywnyoraz więcej niż jeden (Q> 1), to członkowie progresji:
a) wzrastać w nieskończoność (jeślib 1 >0);
b) zmniejszać w nieskończoność (jeślib 1 <0).
Jeśli mianownik jest postępem geometrycznym pozytywny oraz mniej niż jeden (0< Q<1), то члены прогрессии:
a) nieskończenie blisko zera nad(Jeślib 1 >0);
b) nieskończenie blisko zera od dołu(Jeślib 1 <0).
Pozostaje teraz rozważyć sprawę ujemny mianownik.
Mianownik jest ujemny ( Q <0)
Na przykład nie zajdziemy daleko. Dlaczego właściwie kudłata babcia?!) Niech na przykład pierwszy członek progresji będzie b 1 = 1 i weź mianownik q = -2.
Otrzymujemy następującą sekwencję:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
I tak dalej.) Każdy członek progresji okazuje się mnożenie poprzedni członek do Liczba ujemna-2. W takim przypadku wszyscy członkowie na nieparzystych miejscach (pierwszy, trzeci, piąty itd.) będą pozytywny, a w miejscach parzystych (drugi, czwarty itd.) - negatywny. Znaki naprzemiennie ściśle. Plus-minus-plus-minus ... Ten postęp geometryczny nazywa się - rosnący znak na przemian.
Dokąd zmierzają jego członkowie? I nigdzie.) Tak, w wartości bezwzględnej (tj. modulo) członkowie naszego postępu rosną w nieskończoność (stąd nazwa „rosnący”). Ale w tym samym czasie każdy członek progresji naprzemiennie wrzuca go w upał, a następnie w zimno. Teraz w „plusie”, potem w „minusie”. Nasza progresja się zmienia… Co więcej, zakres fluktuacji gwałtownie rośnie z każdym krokiem, tak.) Dlatego aspiracje członków progresji są gdzieś konkretnie tutaj nie. Ani plus nieskończoność, ani minus nieskończoność, ani zero - nigdzie.
Rozważmy teraz jakiś mianownik ułamkowy od zera do minus jeden.
Na przykład niech tak będzie b 1 = 1 , ale q = -1/2.
Następnie otrzymujemy progresję:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
I znowu mamy naprzemiennie znaki! Ale, w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, istnieje już wyraźna tendencja do zbliżania się członków do zera). Tylko tym razem nasze terminy zbliżają się do zera nie ściśle z góry lub z dołu, ale ponownie wahanie... Naprzemiennie przyjmowanie wartości dodatnich i ujemnych. Ale jednocześnie ich moduły zbliżają się do upragnionego zera.)
Taki postęp geometryczny nazywa się nieskończenie malejący znak na przemian.
Dlaczego te dwa przykłady są interesujące? A fakt, że w obu przypadkach jest zmiana znaków! Taka cecha jest typowa tylko dla progresji z ujemnym mianownikiem, tak.) Jeśli więc w jakimś zadaniu zobaczysz progresję geometryczną z naprzemiennymi wyrazami, będziesz już mocno wiedział, że jej mianownik jest w 100% ujemny i nie pomylisz się w Znak.)
Nawiasem mówiąc, w przypadku ujemnego mianownika znak pierwszego wyrazu nie ma absolutnie żadnego wpływu na zachowanie samej progresji. Bez względu na to, jak znajomy jest pierwszy członek progresji, w każdym przypadku obserwowana będzie zmiana członków. Całe pytanie jest po prostu w jakich miejscach?(parzyste lub nieparzyste) będą członkowie z określonymi znakami.
Pamiętać:
Jeśli mianownik jest postępem geometrycznym negatywny , to znaki członków progresji są zawsze alternatywny.
Ponadto sami członkowie:
a) wzrastać w nieskończonośćmodułowy, JeśliQ<-1;
b) nieskończenie zbliża się do zera, jeśli -1< Q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
To wszystko. Wszystkie typowe przypadki są rozwiązane.)
W procesie analizowania różnych przykładów postępów geometrycznych okresowo używałem słów: „zmierza do zera”, "ma tendencję do plus nieskończoność", „ma tendencję do minus nieskończoności”...W porządku.) Te zwroty (i konkretne przykłady) to tylko wstępna znajomość zachowanie szeroka gama sekwencji numerów. Na przykładzie postępu geometrycznego.
Dlaczego w ogóle musimy znać zachowanie progresji? Jaką różnicę robi to, dokąd tam zmierza? Czy do zera, do plus nieskończoności, do minus nieskończoności... Jakie to ma dla nas znaczenie?
Chodzi o to, że już na studiach, na studiach wyższych matematyki, będziesz potrzebować umiejętności pracy z różnymi ciągami liczbowymi (z dowolnymi, nie tylko progresjami!) i umiejętności wyobrażenia sobie dokładnie, jak zachowuje się ten lub inny ciąg - czy rośnie bez ograniczeń, czy maleje, czy dąży do określonej liczby (a niekoniecznie do zera), czy w ogóle do niczego nie dąży... Cały dział poświęcony jest temu tematowi w toku matematycznym analiza - teoria granic. I trochę bardziej konkretnie - koncepcja granica ciągu liczb. Bardzo ciekawy temat! To ma sens, aby iść do college'u i to rozgryźć.)
Niektóre przykłady z tego rozdziału (sekwencje posiadające limit), a w szczególności, nieskończenie malejący postęp geometryczny geometric zacząć uczyć się w szkole. Przyzwyczajmy się do tego.)
Co więcej, umiejętność dobrego studiowania zachowania sekwencji w przyszłości świetnie sprawdzi się w rękach i będzie bardzo przydatna w badanie funkcji. Najbardziej różnorodny. Ale umiejętność kompetentnej pracy z funkcjami (obliczanie pochodnych, pełne badanie ich, budowanie ich wykresów) już dramatycznie podnosi Twój poziom matematyczny! Wątpić? Nie ma potrzeby. Zapamiętaj też moje słowa.)
Spójrzmy na postęp geometryczny w życiu?
W otaczającym nas życiu bardzo, bardzo często spotykamy się z postępem wykładniczym. Nawet nie wiedząc o tym.)
Na przykład różne mikroorganizmy, które otaczają nas wszędzie w ogromnych ilościach i których nie możemy nawet zobaczyć bez mikroskopu, mnożą się dokładnie w postępie geometrycznym.
Powiedzmy, że jedna bakteria rozmnaża się dzieląc na pół, dając potomstwo 2 bakterii. Z kolei każda z nich, rozmnażając się, również dzieli się na pół, dając w sumie potomstwo 4 bakterii. Następne pokolenie da 8 bakterii, potem 16 bakterii, 32, 64 i tak dalej. Z każdym kolejnym pokoleniem liczba bakterii podwaja się. Typowy przykład postępu geometrycznego.)
Również niektóre owady rozmnażają się wykładniczo - mszyce, muchy. A tak przy okazji, króliki.)
Innym przykładem postępu geometrycznego, bliższym życiu codziennemu, jest tzw procent składany. Tak ciekawe zjawisko często występuje w lokatach bankowych i nazywa się kapitalizacja odsetek. Co to jest?
Oczywiście ty sam jesteś jeszcze młody. Ucz się w szkole, nie chodź do banków. Ale twoi rodzice to dorośli i niezależni ludzie. Chodzą do pracy, zarabiają na chleb powszedni, część pieniędzy odkładają w banku, oszczędzając.)
Powiedzmy, że twój tata chce zaoszczędzić pewną sumę pieniędzy na rodzinne wakacje w Turcji i włożyć do banku 50 000 rubli po 10% rocznie na okres trzech lat z roczną kapitalizacją odsetek. Co więcej, przez cały ten okres nic nie można zrobić z depozytem. Nie możesz ani uzupełnić depozytu, ani wypłacić pieniędzy z konta. Jaki zysk zarobi w ciągu tych trzech lat?
Cóż, po pierwsze, musisz dowiedzieć się, ile wynosi 10% rocznie. To znaczy, że za rok bank doliczy 10% do początkowej kwoty wpłaty. Od czego? Oczywiście od początkowa kwota depozytu.
Obliczamy wielkość konta za rok. Jeśli początkowa kwota depozytu wynosiła 50 000 rubli (tj. 100%), to za rok ile odsetek będzie na koncie? Zgadza się, 110%! Od 50 000 rubli.
Rozważamy więc 110% z 50 000 rubli:
50 000 1,1 = 55 000 rubli.
Mam nadzieję, że rozumiesz, że znalezienie 110% wartości oznacza pomnożenie tej wartości przez 1,1? Jeśli nie rozumiesz, dlaczego tak jest, pamiętaj o klasie piątej i szóstej. Mianowicie - połączenie procentów z ułamkami i częściami.)
Tak więc wzrost za pierwszy rok wyniesie 5000 rubli.
Ile pieniędzy będzie na koncie za dwa lata? 60 000 rubli? Niestety (a raczej na szczęście) sprawy nie są takie proste. Cały cel kapitalizacji odsetek polega na tym, że przy każdym nowym naliczaniu odsetek te same odsetki będą już brane pod uwagę od nowej kwoty! Od tego, który już liczy się W tym momencie. A odsetki naliczone za poprzedni okres są dodawane do pierwotnej kwoty depozytu, a tym samym sami uczestniczą w naliczaniu nowych odsetek! Oznacza to, że stają się pełnoprawną częścią konta ogólnego. Lub ogólne stolica. Stąd nazwa - kapitalizacja odsetek.
To jest w gospodarce. A w matematyce takie wartości procentowe nazywają się procent składany. Lub procent odsetek.) Ich sztuczka polega na tym, że w obliczeniach sekwencyjnych wartości procentowe są obliczane za każdym razem od nowej wartości. I nie z oryginału...
Dlatego, aby obliczyć kwotę przez dwa lata, musimy obliczyć 110% kwoty, która będzie na koncie za rok. To znaczy od 55 000 rubli.
Uważamy, że 110% z 55 000 rubli:
55 000 1,1 = 60 500 rubli.
Oznacza to, że procentowy wzrost w drugim roku wyniesie 5500 rubli, a za dwa lata - 10500 rubli.
Teraz już można się domyślać, że za trzy lata kwota na koncie wyniesie 110% z 60 500 rubli. To znowu 110% z poprzedniego (zeszłego roku) ilość.
Rozważamy więc:
60 500 1,1 = 66 550 rubli.
A teraz ustawiamy nasze sumy pieniędzy na przestrzeni lat w kolejności:
50000;
55 000 = 50 000 1,1;
60 500 = 55 000 1,1 = (50 000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50 000 1,1) 1,1) 1,1
Więc jak? Czy to nie postęp geometryczny? Pierwszy warunek b 1 = 50000 i mianownik Q = 1,1 ... Każdy termin jest dokładnie 1,1 raza większy niż poprzedni. Wszystko jest zgodne z definicją.)
A ile dodatkowych premii odsetkowych „kropie” twój tata, gdy jego 50 000 rubli będzie przez trzy lata na koncie bankowym?
Rozważamy:
66 550 - 50 000 = 16 550 rubli
Oczywiście rzadko. Ale dzieje się tak, jeśli początkowa kwota depozytu jest niewielka. A jeśli więcej? Powiedz nie 50, ale 200 tysięcy rubli? Wtedy wzrost za trzy lata wyniesie już 66200 rubli (jeśli liczyć). Co już jest bardzo dobre.) A czy wkład jest jeszcze większy? Otóż to ...
Wniosek: im wyższy wkład początkowy, tym bardziej opłacalna staje się kapitalizacja odsetek. Dlatego lokaty z kapitalizacją odsetek są udzielane przez banki na długie okresy. Powiedzmy, że od pięciu lat.
Ponadto wszelkiego rodzaju złe choroby, takie jak grypa, odra i jeszcze bardziej straszne choroby (to samo atypowe zapalenie płuc na początku 2000 roku lub dżuma w średniowieczu) lubią się rozprzestrzeniać wykładniczo. Stąd skala epidemii, tak...) A wszystko przez to, że postęp geometryczny z cały pozytywny mianownik (Q>1) - rzecz, która rośnie bardzo szybko! Pamiętaj o rozmnażaniu bakterii: z jednej bakterii uzyskuje się dwie, od dwóch do czterech, od czterech do ośmiu itd. Wraz z rozprzestrzenianiem się jakiejkolwiek infekcji wszystko jest takie samo.)
Najprostsze problemy postępu geometrycznego.
Zacznijmy, jak zawsze, od prostego problemu. Czysto dla zrozumienia znaczenia.
1. Wiadomo, że drugi wyraz postępu geometrycznego to 6, a mianownik to -0,5. Znajdź pierwszego, trzeciego i czwartego członka.
Więc mamy dane nieskończony postęp geometryczny, ale znany drugi termin ta progresja:
b 2 = 6
Ponadto wiemy też also mianownik progresji:
q = -0,5
I musisz znaleźć pierwszy, trzeci oraz czwarty członków tej progresji.
Więc działamy. Sekwencję zapisujemy zgodnie ze stanem problemu. Bezpośrednio ogólnie, gdzie drugi termin to szóstka:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
Teraz zacznijmy szukać. Zaczynamy, jak zawsze, od najprostszego. Możesz liczyć na przykład trzeci termin b 3? Mogą! Wiemy już (bezpośrednio ze znaczenia postępu geometrycznego), że trzeci wyraz (b 3) więcej niż drugi (b 2 ) w "Q" raz!
Piszemy więc:
b 3 =b 2 · Q
Zastępujemy szóstkę zamiast b 2 i -0,5 zamiast Q i liczyć. I oczywiście nie ignorujemy minusa ...
b 3 = 6 (-0,5) = -3
Lubię to. Trzeci termin był negatywny. Nic dziwnego: nasz mianownik Q- negatywny. A plus pomnożony przez minus, oczywiście będzie minus.)
Rozważmy teraz kolejny, czwarty termin progresji:
b 4 =b 3 · Q
b 4 = -3 (-0,5) = 1,5
Czwarty termin - znowu z plusem. Piąty wyraz będzie znowu z minusem, szósty z plusem i tak dalej. Znaki naprzemiennie!
Tak więc znaleziono trzeciego i czwartego członka. Okazało się, że następująca sekwencja:
b1; 6; -3; 1,5; ...
Pozostaje teraz znaleźć pierwszy termin b 1 według znanego drugiego. W tym celu idziemy w drugą stronę, w lewo. Oznacza to, że w tym przypadku nie musimy mnożyć drugiego wyrazu progresji przez mianownik, ale udział.
Podziel i zdobądź:
To wszystko.) Odpowiedź na problem będzie następująca:
-12; 6; -3; 1,5; …
Jak widać, zasada rozwiązania jest taka sama jak w. Wiemy każdy członek i mianownik postęp geometryczny - możemy znaleźć dowolny z jego pozostałych członków. Znajdziemy to, czego chcemy.) Jedyna różnica polega na tym, że dodawanie / odejmowanie zastępuje się mnożeniem / dzieleniem.
Pamiętaj: jeśli znamy przynajmniej jeden wyraz i mianownik postępu geometrycznego, to zawsze możemy znaleźć innego członka tego postępu.
Poniższy problem, zgodnie z tradycją, z prawdziwej wersji OGE:
2.
...; 150; NS; 6; 1.2; ...
Więc jak? Tym razem nie ma pierwszego wyrazu, nie ma mianownika Q, podana jest tylko sekwencja liczb ... Coś już znajomego, prawda? TAk! Podobny problem został już zrozumiany w postępie arytmetycznym!
Więc nie boimy się. Wszystkie takie same. Odwracamy głowę i pamiętamy elementarne znaczenie postępu geometrycznego. Przyglądamy się uważnie naszej sekwencji i dowiadujemy się, które parametry postępu geometrycznego trzech głównych (pierwszy wyraz, mianownik, numer wyrazu) są w nim ukryte.
Numery członkowskie? Nie ma numerów członkowskich, tak… Ale są cztery kolejny liczby. Nie widzę sensu wyjaśniania, co to słowo oznacza na tym etapie.) Czy są dwa sąsiednich znanych numerów? Jest! Są to 6 i 1.2. Więc możemy znaleźć mianownik progresji. Więc bierzemy liczbę 1.2 i dzielimy do poprzedniego numeru. Sześć.
Otrzymujemy:
Otrzymujemy:
x= 150 0,2 = 30
Odpowiadać: x = 30 .
Jak widać, wszystko jest dość proste. Główna trudność tkwi tylko w obliczeniach. Jest to szczególnie trudne w przypadku mianowników ujemnych i ułamkowych. Więc dla tych, którzy mają problemy, powtórz arytmetykę! Jak pracować z ułamkami, jak pracować z liczbami ujemnymi i tak dalej ... W przeciwnym razie tutaj bezlitośnie zwolnisz.
Teraz trochę zmieńmy problem. Teraz będzie ciekawie! Usuńmy z niego ostatnią liczbę 1.2. Rozwiążmy teraz ten problem:
3. Wypisano kilka kolejnych członków postępu geometrycznego:
...; 150; NS; 6; ...
Znajdź termin w progresji oznaczonej literą x.
Wszystko jest takie samo, tylko dwa sąsiednie sławny teraz nie mamy członków progresji. To jest główny problem. Ponieważ wielkość Q dzięki dwóm sąsiednim terminom jesteśmy już tak łatwo określić nie możemy. Czy mamy szansę podołać zadaniu? Pewnie!
Podpiszmy nieznanego członka ” x"bezpośrednio w sensie postępu geometrycznego! Ogólnie.
Tak tak! Prosto z nieznanym mianownikiem!
Z jednej strony dla x możemy zapisać następujący stosunek:
x= 150Q
Z drugiej strony mamy pełne prawo przemalować ten sam X przez Następny członek przez sześć! Dzieląc sześć przez mianownik.
Lubię to:
x = 6/ Q
Oczywiście teraz możesz zrównać oba te wskaźniki. Ponieważ wyrażamy ten sam wielkość (x), ale dwa różne sposoby.
Otrzymujemy równanie:
Mnożenie wszystkiego przez Q, upraszczając, redukując, otrzymujemy równanie:
q 2 = 1/25
Rozwiązujemy i otrzymujemy:
q = ± 1/5 = ± 0,2
Ups! Mianownik jest podwójny! +0,2 i -0,2. A który wybrać? Ślepy zaułek?
Spokój! Tak, zadanie naprawdę ma dwa rozwiązania! Nic w tym złego. Zdarza się.) Nie jesteś zaskoczony, gdy na przykład masz dwa pierwiastki, rozwiązując zwykłe? Oto ta sama historia.)
Do q = +0,2 dostaniemy:
X = 150 0,2 = 30
I dla Q = -0,2 będzie:
X = 150 (-0,2) = -30
Otrzymujemy podwójną odpowiedź: x = 30; x = -30.
Co oznacza ten interesujący fakt? A co istnieje dwie progresje zaspokojenie stanu problemu!
Jak te:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Oba pasują. Jak myślisz, co jest powodem naszych podzielonych odpowiedzi? Właśnie ze względu na eliminację konkretnego członka progresji (1,2), która następuje po szóstce. A znając tylko poprzedni (n-1)-ty i kolejne (n+1)-ty wyraz postępu geometrycznego, nie możemy już nic jednoznacznie powiedzieć o n-tym wyrazie stojącym między nimi. Istnieją dwie opcje - z plusem i minusem.
Ale to nie ma znaczenia. Z reguły w zadaniach postępu geometrycznego znajdują się dodatkowe informacje, które dają jednoznaczną odpowiedź. Powiedzmy słowa: „progresja naprzemienna” lub „progresja dodatniego mianownika” i tak dalej... To właśnie te słowa powinny służyć jako wskazówka, który znak plus lub minus wybrać przy udzielaniu ostatecznej odpowiedzi. Jeśli nie ma takich informacji, to tak, zadanie będzie miało dwa rozwiązania.)
A teraz sami decydujemy.
4. Określ, czy liczba 20 będzie elementem postępu geometrycznego:
4 ; 6; 9; …
5. Podawany jest naprzemienny postęp geometryczny:
…; 5; x ; 45; …
Znajdź termin w progresji wskazanej literą x .
6. Znajdź czwarty dodatni wyraz postępu geometrycznego:
625; -250; 100; …
7. Drugi termin postępu geometrycznego to -360, a piąty termin to 23.04. Znajdź pierwszego członka tego postępu.
Odpowiedzi (w nieładzie): -15; 900; Nie; 2.56.
Gratulacje, jeśli wszystko się udało!
Coś nie pasuje? Czy dostałeś gdzieś podwójną odpowiedź? Uważnie czytamy warunki zlecenia!
Ostatni problem nie zadziała? Nie ma nic skomplikowanego.) Pracujemy bezpośrednio w sensie postępu geometrycznego. Cóż, możesz narysować obrazek. To pomaga.)
Jak widać, wszystko jest elementarne. Jeśli progresja jest krótka. A jeśli to długo? A może liczba pożądanego członka jest bardzo duża? Chciałbym, przez analogię z postępem arytmetycznym, jakoś uzyskać wygodny wzór, który ułatwia znalezienie każdy członek dowolnego postępu geometrycznego według jego numeru. Bez mnożenia wiele, wiele razy przez Q... I jest taka formuła!) Szczegóły w następnej lekcji.
Wzór na n-ty wyraz postępu geometrycznego jest bardzo prosty. Zarówno w znaczeniu, jak iw ogólnym wyglądzie. Ale z formułą n-tego członu wiążą się różne problemy - od bardzo prymitywnych do dość poważnych. A w trakcie naszej znajomości na pewno rozważymy oba. Cóż, zapoznajmy się?)
A więc na początek sama formułan
Tutaj jest:
b n = b 1 · q n -1
Formuła jako formuła, nic nadnaturalnego. Wygląda na jeszcze prostszą i bardziej zwartą niż podobna formuła. Znaczenie formuły jest również proste, jak filcowy but.
Ta formuła pozwala znaleźć KAŻDEGO członka ciągu geometrycznego WEDŁUG JEGO NUMERU " n".
Jak widać, znaczenie jest całkowitą analogią z postępem arytmetycznym. Znamy liczbę n - możemy również obliczyć wyraz pod tą liczbą. Czego chcemy. Bez mnożenia po kolei przez „q” wiele, wiele razy. To jest cały punkt.)
Rozumiem, że na tym poziomie pracy z progresjami wszystkie wartości zawarte w formule powinny być już dla Ciebie jasne, ale uważam za swój obowiązek rozszyfrowanie każdej z nich. W razie czego.
Więc chodźmy:
b 1 – pierwszy członek postępu geometrycznego;
Q – ;
n- numer członkowski;
b n – n-ty (nNS) członek postępu geometrycznego.
Ta formuła łączy cztery główne parametry dowolnego postępu geometrycznego - bn, b 1 , Q oraz n... A wokół tych czterech kluczowych postaci obracają się wszystkie zadania w postępie.
"Jak jest wyświetlany?"- słyszę ciekawe pytanie... Elementarne! Wyglądać!
Co jest równe druga członek progresji? Nie ma problemu! Piszemy bezpośrednio:
b 2 = b 1 q
A trzeci semestr? To też nie problem! Mnożymy drugi wyraz jeszcze razQ.
Lubię to:
B 3 = b 2 q
Przypomnijmy teraz, że drugi wyraz jest z kolei równy b 1 q i zastępujemy to wyrażenie naszą równością:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Otrzymujemy:
b 3 = b 1 q 2
Przeczytajmy teraz nasz wpis w języku rosyjskim: trzeci wyraz jest równy pierwszemu wyrazowi razy q in druga stopień. Rozumiesz? Jeszcze nie? OK, jeszcze jeden krok.
Jaki jest czwarty termin? Wszystkie takie same! Zwielokrotniać Poprzedni(tj. trzeci termin) przez q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Całkowity:
b 4 = b 1 q 3
I znowu tłumaczymy na rosyjski: czwarty wyraz jest równy pierwszemu wyrazowi razy q in trzeci stopień.
Itp. Więc jak? Masz wzór? TAk! Dla dowolnego wyrazu o dowolnej liczbie liczba identycznych czynników q (tj. stopień mianownika) będzie zawsze równa o jeden mniej niż liczba wymaganego terminun.
Dlatego nasza formuła będzie bez opcji:
b n =b 1 · q n -1
To wszystko.)
Cóż, prawdopodobnie rozwiążmy problemy?)
Rozwiązywanie problemów z formułaminczłonek postępu geometrycznego.
Zacznijmy, jak zwykle, od bezpośredniego zastosowania formuły. Oto typowy problem:
Wykładniczo wiadomo, że b 1 = 512 i Q = -1/2. Znajdź dziesiąty termin w progresji.
Oczywiście ten problem można rozwiązać bez żadnych formuł. Bezpośrednio w rozumieniu postępu geometrycznego. Ale musimy rozgrzać się wzorem na n-ty semestr, prawda? Więc rozgrzewamy się.
Nasze dane do zastosowania wzoru są następujące.
Znany jest pierwszy termin. Jest 512.
b 1 = 512.
Znany jest również mianownik progresji: Q = -1/2.
Pozostaje tylko dowiedzieć się, jaka jest liczba członka n. Nie ma problemu! Czy interesuje nas dziesiąty semestr? Więc podstawiamy dziesięć zamiast n w ogólnym wzorze.
I dokładnie liczymy arytmetykę:
Odpowiedź 1
Jak widać, dziesiąty termin progresji okazał się z minusem. Nic dziwnego: mianownik progresji to -1/2, czyli negatywny numer. A to mówi nam, że oznaki naszego postępu zmieniają się, tak).
Tutaj wszystko jest proste. A tutaj podobne zadanie, ale trochę bardziej skomplikowane pod względem obliczeń.
Wykładniczo wiadomo, że:
b 1 = 3
Znajdź trzynasty termin w progresji.
Wszystko jest takie samo, tylko tym razem mianownikiem progresji jest irracjonalny... Korzeń dwóch. Cóż, w porządku. Formuła jest uniwersalna, radzi sobie z dowolnymi liczbami.
Pracujemy bezpośrednio według wzoru:
Formuła oczywiście zadziałała jak należy, ale… tutaj niektórzy zamarzną. Co dalej z korzeniem? Jak podnieść korzeń do dwunastej potęgi?
Jak-jak... Musisz zrozumieć, że każda formuła to oczywiście dobra rzecz, ale znajomość całej poprzedniej matematyki nie jest anulowana! Jak zbudować? Tak, właściwości stopni do zapamiętania! Zmieńmy korzeń w wykładnik ułamkowy oraz - zgodnie ze wzorem potęgowania.
Lubię to:
Odpowiedź: 192
I to wszystko.)
Jaka jest główna trudność w bezpośrednim stosowaniu formuły n-okresowej? TAk! Główną trudnością jest pracuj ze stopniami! Mianowicie - podnoszenie do potęgi liczb ujemnych, ułamków, pierwiastków i tym podobnych. A więc ci, którzy mają z tym problemy, pilna prośba o powtórzenie stopni i ich właściwości! W przeciwnym razie zwolnisz w tym temacie, tak ...)
Rozwiążmy teraz typowe problemy z wyszukiwaniem jeden z elementów formuły jeśli wszystkie inne są podane. Aby pomyślnie rozwiązać takie problemy, przepis jest jednolity i strasznie prosty - pisanie formułynth członek w ogóle! W notatniku obok stanu. A potem z warunku dowiadujemy się, co zostało nam dane, a czego nam brakuje. I wyrażamy wymaganą wartość ze wzoru. Wszystko!
Na przykład takie nieszkodliwe zadanie.
Piąty wyraz ciągu geometrycznego z mianownikiem 3 to 567. Znajdź pierwszy wyraz tego ciągu.
Nic skomplikowanego. Działamy bezpośrednio przez zaklęcie.
Piszemy wzór na n-ty semestr!
b n = b 1 · q n -1
Co zostało nam dane? Najpierw podaje się mianownik progresji: Q = 3.
Ponadto otrzymujemy piąta kadencja: b 5 = 567 .
Wszystko? Nie! Otrzymujemy również liczbę n! To jest piątka: n = 5.
Mam nadzieję, że już rozumiesz, co jest w nagraniu b 5 = 567 dwa parametry są ukryte jednocześnie - jest to sam piąty termin (567) i jego numer (5). W podobnej lekcji już o tym mówiłem, ale tutaj myślę, że nie jest zbyteczne przypominanie.)
Teraz podstawiamy nasze dane do wzoru:
567 = b 1 · 3 5-1
Liczymy arytmetycznie, upraszczamy i otrzymujemy proste równanie liniowe:
81 b 1 = 567
Rozwiązujemy i otrzymujemy:
b 1 = 7
Jak widać, nie ma problemów ze znalezieniem pierwszego członka. Ale szukając mianownika Q i numery n mogą być niespodzianki. I trzeba też być na nie przygotowanym (na niespodzianki), tak.)
Na przykład ten problem:
Piąty wyraz postępu geometrycznego z dodatnim mianownikiem to 162, a pierwszy wyraz tego ciągu to 2. Znajdź mianownik ciągu.
Tym razem otrzymujemy pierwszy i piąty wyraz i prosimy o znalezienie mianownika progresji. Więc zacznijmy.
Piszemy formułęnczłonek!
b n = b 1 · q n -1
Nasze wstępne dane będą wyglądały następująco:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Za mało znaczenia Q... Nie ma problemu! Teraz to znajdziemy.) Podstawiamy wszystko, co wiemy, do formuły.
Otrzymujemy:
162 = 2Q 5-1
2 Q 4 = 162
Q 4 = 81
Proste równanie czwartego stopnia. Ale teraz - ostrożnie! Na tym etapie rozwiązania wielu uczniów natychmiast z radością wydobywa korzeń (czwarty stopień) i otrzymuje odpowiedź. Q=3 .
Lubię to:
q 4 = 81
Q = 3
Ale tak naprawdę jest to niedokończona odpowiedź. Dokładniej, niekompletny. Czemu? Chodzi o to, że odpowiedź brzmi Q = -3 pasuje również: (-3) 4 to też 81!
Wynika to z faktu, że równanie mocy x n = a zawsze ma dwa przeciwstawne korzenie w nawetn . Z plusem i minusem:
Oba pasują.
Na przykład rozwiązywanie (tj. druga stopień)
x 2 = 9
Z jakiegoś powodu nie jesteś zaskoczony wyglądem dwa pierwiastki x = ± 3? Oto to samo. I z każdym innym nawet stopień (czwarty, szósty, dziesiąty itd.) będzie taki sam. Szczegóły - w temacie o
Dlatego prawidłowe rozwiązanie wyglądałoby tak:
Q 4 = 81
Q= ± 3
Dobra, zrozumieliśmy znaki. Który jest poprawny - plus czy minus? Cóż, po raz kolejny czytamy stan problemu w poszukiwaniu Dodatkowe informacje. To oczywiście może nie być, ale w tym zadaniu takie informacje do dyspozycji. W naszym stanie jest powiedziane zwykłym tekstem, że progresja jest podana z pozytywny mianownik.
Dlatego odpowiedź jest oczywista:
Q = 3
Tutaj wszystko jest proste. Jak myślisz, co by było, gdyby opis problemu wyglądał tak:
Piąty wyraz postępu geometrycznego to 162, a pierwszy wyraz tego ciągu to 2. Znajdź mianownik postępu.
Co za różnica? TAk! W stanie nic nie powiedziano o znaku mianownika. Ani bezpośrednio, ani pośrednio. A tutaj zadanie już by było dwa rozwiązania!
Q = 3 oraz Q = -3
Tak tak! I z plusem i minusem). Matematycznie ten fakt oznaczałby, że są dwie progresje które pasują do stanu problemu. A dla każdego - własny mianownik. Dla zabawy poćwicz i zapisz pierwszych pięciu członków każdego z nich.)
Teraz przećwiczmy znajdowanie numeru członka. To najtrudniejsze zadanie, tak. Ale także bardziej kreatywny.)
Podano postęp geometryczny:
3; 6; 12; 24; …
Jaka jest liczba 768 w tej progresji?
Pierwszy krok jest nadal taki sam: pisanie formułynczłonek!
b n = b 1 · q n -1
A teraz, jak zwykle, podstawiamy w to dane, które znamy. Um ... nie zastąpiony! Gdzie jest pierwszy wyraz, gdzie jest mianownik, gdzie jest wszystko inne?!
Gdzie, gdzie... Po co nam oczy? Zaklaskać w rzęsy? Tym razem progresja jest nam przekazywana bezpośrednio w formularzu sekwencja. Widzisz pierwszy semestr? Widzimy! To jest trójka (b 1 = 3). A co z mianownikiem? Jeszcze tego nie widzimy, ale bardzo łatwo to policzyć. Jeśli oczywiście rozumiesz.
Więc liczymy. Bezpośrednio w rozumieniu postępu geometrycznego: bierzemy dowolny z jego członków (poza pierwszym) i dzielimy przez poprzedni.
Przynajmniej tak:
Q = 24/12 = 2
Co jeszcze wiemy? Znamy również pewnego członka tej progresji, równego 768. Pod pewną liczbą n:
b n = 768
Nie znamy jego numeru, ale naszym zadaniem jest właśnie go znaleźć.) A więc szukamy. Pobraliśmy już wszystkie niezbędne dane do podmiany do formuły. Bez wiedzy siebie.)
Więc podstawiamy:
768 = 3,2n -1
Wykonujemy elementarne - dzielimy obie części na trzy i przepisujemy równanie w zwykłej postaci: nieznane po lewej, znane - po prawej.
Otrzymujemy:
2 n -1 = 256
Oto interesujące równanie. Musimy znaleźć „n”. Co jest niezwykłego? Tak, nie kłócę się. Właściwie to jest najprostsze. Jest to tak zwane ze względu na to, że niewiadoma (w tym przypadku jest to liczba n) stoi w wskaźnik stopień.
Na etapie znajomości postępu geometrycznego (jest to dziewiąta klasa), równań wykładniczych nie uczy się rozwiązywania, tak ... To temat dla liceum. Ale nie ma nic strasznego. Nawet jeśli nie wiesz, jak rozwiązywane są takie równania, postaramy się znaleźć nasze n kierując się prostą logiką i zdrowym rozsądkiem.
Zaczynamy rozumować. Po lewej mamy dwójkę w pewnym stopniu... Nie wiemy jeszcze, czym dokładnie jest ten stopień, ale to nie jest przerażające. Ale z drugiej strony dobrze wiemy, że ten stopień jest równy 256! Więc pamiętamy, w jakim stopniu dwoje daje nam 256. Pamiętasz? TAk! W ósma stopień!
256 = 2 8
Jeśli nie pamiętasz lub nie rozpoznajesz stopni problemu, to też jest w porządku: po prostu kolejno podnosimy te dwa do kwadratu, do sześcianu, do czwartego stopnia, piątego i tak dalej. Wybór w zasadzie, ale na tym poziomie - niezła jazda.
Tak czy inaczej, otrzymujemy:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Więc 768 to dziewiąty członek naszej progresji. To wszystko, problem został rozwiązany.)
Odpowiedź: 9
Co? Nudy? Masz dość podstawowych rzeczy? Zgadzam się. I ja też. Przejdźmy do następnego poziomu.)
Bardziej wymagające zadania.
A teraz szybciej rozwiązujemy problemy. Niezupełnie super fajne, ale wciąż mają trochę pracy, aby znaleźć odpowiedź.
Na przykład to.
Znajdź drugi wyraz postępu geometrycznego, jeśli czwarty wyraz to -24, a siódmy wyraz to 192.
To klasyka gatunku. Znani są dwaj różni członkowie progresji, ale trzeba znaleźć jeszcze jednego członka. Co więcej, wszyscy członkowie NIE sąsiadują ze sobą. Co jest na początku krępujące, tak...
Podobnie jak w przypadku, rozważymy dwa sposoby rozwiązania takich problemów. Pierwsza metoda jest uniwersalna. Algebraiczny. Działa bezbłędnie z dowolnymi danymi źródłowymi. Dlatego zaczniemy od niego.)
Każdy termin zapisujemy według wzoru nczłonek!
Wszystko jest dokładnie tak, jak z postępem arytmetycznym. Tylko tym razem współpracujemy inne ogólna formuła. To wszystko.) Ale istota jest taka sama: bierzemy i jeden po drugim podstawiamy nasze dane wyjściowe do formuły n-tego członu. Dla każdego członka - własny.
Dla czwartego członka piszemy:
b 4 = b 1 · Q 3
-24 = b 1 · Q 3
Jest. Jedno równanie jest gotowe.
Dla siódmego członka piszemy:
b 7 = b 1 · Q 6
192 = b 1 · Q 6
W sumie mamy dwa równania dla ta sama progresja .
Odbieramy od nich system:
Mimo budzącego grozę wyglądu system jest dość prosty. Najbardziej oczywistym rozwiązaniem jest zwykła zamiana. Wyrażamy b 1 z górnego równania i podstaw do dolnego:
Po majstrowaniu trochę przy niższym równaniu (zmniejszając potęgi i dzieląc przez -24), otrzymujemy:
Q 3 = -8
Przy okazji, możesz dojść do tego samego równania w prostszy sposób! Jak? Teraz pokażę wam kolejny sekretny, ale bardzo piękny, potężny i użyteczny sposób rozwiązywania takich systemów. Takie układy, w których równaniach siedzą tylko działa. Przynajmniej jeden. Zwany metoda dzielenia terminów jedno równanie do drugiego.
Tak więc przed nami jest system:
W obu równaniach po lewej stronie - Praca a po prawej jest tylko liczba. To bardzo dobry znak.) Weźmy i… podzielmy, powiedzmy, dolne równanie przez górne! Co znaczy, podzielić jedno równanie przez drugie? Bardzo prosta. Bierzemy lewa strona jedno równanie (niższe) i dzielić ona na lewa strona inne równanie (na górze). Prawa strona jest podobna: prawa strona jedno równanie dzielić na prawa strona inne.
Cały proces podziału wygląda tak:
Teraz, po zredukowaniu wszystkiego, co jest zredukowane, otrzymujemy:
Q 3 = -8
Dlaczego ta metoda jest dobra? Tak, bo w procesie takiego podziału wszystko, co złe i niewygodne można spokojnie zredukować i pozostaje zupełnie nieszkodliwe równanie! Dlatego tak ważne jest posiadanie tylko mnożenia w co najmniej jednym z równań układu. Nie ma mnożenia - nie ma co redukować, tak...
Ogólnie ta metoda (podobnie jak wiele innych nietrywialnych sposobów rozwiązywania systemów) zasługuje nawet na osobną lekcję. Na pewno przeanalizuję to bardziej szczegółowo. Pewnego dnia…
Jednak nie ma znaczenia, jak rozwiążesz system, w każdym razie teraz musimy rozwiązać wynikowe równanie:
Q 3 = -8
Nie ma problemu: wyodrębnij korzeń (sześcienny) i gotowe!
Należy pamiętać, że podczas wyodrębniania nie trzeba tutaj wstawiać plusa / minusa. Mamy pierwiastek nieparzysty (trzeciego) stopnia. A odpowiedź jest taka sama, tak.)
Tak więc znaleziono mianownik progresji. Minus dwa. Doskonały! Proces jest w toku).
Dla pierwszego członu (powiedzmy z górnego równania) otrzymujemy:
Doskonały! Znamy pierwszy wyraz, znamy mianownik. A teraz mamy możliwość znalezienia dowolnego członka progresji. Łącznie z drugim.)
W drugim semestrze wszystko jest dość proste:
b 2 = b 1 · Q= 3 (-2) = -6
Odpowiedź: -6
Tak więc przedstawiliśmy algebraiczny sposób rozwiązania problemu. Ciężko? Nie bardzo, zgadzam się. Długie i nudne? Tak, absolutnie. Ale czasami możesz znacznie zmniejszyć ilość pracy. Do tego jest sposób graficzny. Dobre stare i znane nam.)
Rysowanie problemu!
TAk! Dokładnie. Ponownie przedstawiamy nasz postęp na osi liczbowej. Nie trzeba podążać za linijką, nie trzeba utrzymywać równych odstępów między członkami (które, nawiasem mówiąc, nie będą takie same, ponieważ progresja jest geometryczna!), Ale po prostu schematycznie narysuj naszą sekwencję.
Mam to tak:
A teraz patrzymy na obraz i myślimy. Ile identycznych czynników „q” współdzieli czwarty oraz siódmy członkowie? Zgadza się, trzy!
Dlatego mamy pełne prawo spisać:
-24Q 3 = 192
Dlatego q jest teraz łatwo wyszukiwane:
Q 3 = -8
Q = -2
Świetnie, mianownik jest już w naszej kieszeni. A teraz znowu patrzymy na obrazek: ile takich mianowników znajduje się między druga oraz czwarty członkowie? Dwa! Dlatego, aby zarejestrować związek między tymi terminami, mianownik będzie do kwadratu.
Piszemy więc:
b 2 · Q 2 = -24 , gdzie b 2 = -24/ Q 2
Podstawiamy nasz znaleziony mianownik do wyrażenia na b 2, policz i otrzymaj:
Odpowiedź: -6
Jak widać, wszystko jest o wiele prostsze i szybsze niż przez system. Co więcej, tutaj nawet nie musieliśmy w ogóle liczyć pierwszego semestru! W ogóle.)
Oto prosty i intuicyjny sposób na oświetlenie. Ale ma też poważną wadę. Zgadłeś? TAk! Działa tylko dla bardzo krótkich fragmentów progresji. Takie, w których odległości między interesującymi nas członkami nie są bardzo duże. Ale we wszystkich innych przypadkach już trudno jest narysować obraz, tak ... Wtedy rozwiązujemy problem analitycznie, poprzez system.) A systemy są rzeczą uniwersalną. Można zajmować się dowolnymi liczbami.
Kolejne epickie wyzwanie:
Drugi wyraz postępu geometrycznego jest o 10 większy niż pierwszy, a trzeci wyraz jest o 30 większy niż drugi. Znajdź mianownik progresji.
Co jest fajne? Zupełnie nie! Wszystkie takie same. Ponownie tłumaczymy stwierdzenie problemu na czystą algebrę.
1) Każdy termin wypisujemy według wzoru nczłonek!
Drugi człon: b 2 = b 1 q
Trzeci człon: b 3 = b 1 q 2
2) Zapisujemy połączenie między członkami z opisu problemu.
Czytamy warunek: „Drugi termin postępu geometrycznego jest o 10 więcej niż pierwszy”. Przestań, to jest cenne!
Piszemy więc:
b 2 = b 1 +10
I tłumaczymy to zdanie na czystą matematykę:
b 3 = b 2 +30
Mamy dwa równania. Łączymy je w system:
System wygląda na prosty. Ale istnieje wiele różnych indeksów dla liter. Zastąpmy zamiast drugiego i trzeciego wyrazu ich wyrażenie pierwszym wyrazem i mianownikiem! Czy na próżno je malowaliśmy?
Otrzymujemy:
Ale taki system to już nie prezent, tak... Jak to rozwiązać? Niestety uniwersalne tajne zaklęcie do rozwiązywania kompleksów nieliniowy nie ma systemów w matematyce i nie może być. To jest fantastyczne! Ale pierwszą rzeczą, która powinna ci się przyjrzeć, próbując złamać tak twardy orzech, jest wymyślenie: ale czy jedno z równań układu nie daje się zredukować do pięknej formy, która pozwala na przykład łatwo wyrazić jedną ze zmiennych w kategoriach drugiej?
Więc oszacujmy. Pierwsze równanie układu jest wyraźnie prostsze niż drugie. Będziemy go torturować.) Czy nie powinniśmy próbować z pierwszego równania? coś ekspresowe przez coś? Ponieważ chcemy znaleźć mianownik Q, wtedy byłoby dla nas najkorzystniejsze wyrazić b 1 przez Q.
Spróbujmy więc wykonać tę procedurę z pierwszym równaniem, używając starych dobrych równań:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q - b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Wszystko! Więc wyraziliśmy niepotrzebne nam zmienna (b 1) do niezbędny(Q). Tak, nie otrzymali najprostszego wyrażenia. Trochę ułamka ... Ale nasz system jest na przyzwoitym poziomie, tak.)
Typowy. Wiemy, co robić.
Piszemy ODZ (koniecznie!) :
q 1
Mnożymy wszystko przez mianownik (q-1) i anulujemy wszystkie ułamki:
10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)
Dzielimy wszystko przez dziesięć, otwieramy nawiasy, zbieramy wszystko po lewej:
Q 2 – 4 Q + 3 = 0
Rozwiązujemy wynik i otrzymujemy dwa pierwiastki:
Q 1 = 1
Q 2 = 3
Jest tylko jedna ostateczna odpowiedź: Q = 3 .
Odpowiedź: 3
Jak widać, sposób rozwiązania większości problemów dla wzoru n-tego członu ciągu geometrycznego jest zawsze taki sam: przeczytaj ostrożnie warunek zadania i korzystając ze wzoru na n-ty wyraz, przenosimy wszystkie przydatne informacje do czystej algebry.
Mianowicie:
1) Każdy termin podany w zadaniu piszemy osobno wzoremnczłonek.
2) Od stanu problemu tłumaczymy związek między terminami na formę matematyczną. Tworzymy równanie lub układ równań.
3) Rozwiązujemy powstałe równanie lub układ równań, znajdujemy nieznane parametry progresji.
4) W przypadku niejednoznacznej odpowiedzi dokładnie zapoznajemy się ze stanem problemu w poszukiwaniu dodatkowych informacji (jeśli są). Otrzymaną odpowiedź sprawdzamy również z warunkami DLO (jeśli takie istnieją).
A teraz wymieńmy główne problemy, które najczęściej prowadzą do błędów w procesie rozwiązywania problemów na postępie geometrycznym.
1. Arytmetyka elementarna. Działania z ułamkami i liczbami ujemnymi.
2. Jeśli masz problemy z przynajmniej jednym z tych trzech punktów, nieuchronnie pomylisz się w tym temacie. Niestety... Więc nie bądźcie leniwi i powtarzajcie to, co zostało wspomniane powyżej. I podążaj za linkami - idź. Czasami to pomaga.)
Zmodyfikowane i powtarzające się formuły.
Przyjrzyjmy się teraz kilku typowym problemom egzaminacyjnym z mniej znanym przedstawieniem stanu. Tak, zgadłeś! To jest zmodyfikowany oraz nawracający formuły n-tego terminu. Zetknęliśmy się już z takimi formułami i pracowaliśmy w postępie arytmetycznym. Tutaj wszystko jest takie samo. Istota jest taka sama.
Na przykład takie zadanie z OGE:
Postęp geometryczny określa wzór b n = 3 2 n ... Znajdź sumę pierwszego i czwartego członka.
Tym razem progresja nie jest nam do końca znana. W formie jakiejś formuły. Więc co? Ta formuła - także formułanczłonek! Wszyscy wiemy, że wzór na n-ty termin można zapisać zarówno w formie ogólnej, za pomocą liter, jak i dla konkretny postęp... Z konkretny pierwszy wyraz i mianownik.
W naszym przypadku w rzeczywistości otrzymaliśmy wspólny terminowy wzór na postęp geometryczny o następujących parametrach:
b 1 = 6
Q = 2
Sprawdźmy to?) Zapiszmy wzór n-tego wyrazu w formie ogólnej i podstaw go do niego b 1 oraz Q... Otrzymujemy:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 2n -1
Uprość to za pomocą faktoryzacji i właściwości mocy, aby uzyskać:
b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Jak widać, wszystko jest sprawiedliwe. Ale naszym celem z wami nie jest pokazanie wyprowadzenia określonej formuły. To liryczna dygresja. Czysto dla zrozumienia.) Naszym celem jest rozwiązanie problemu według wzoru podanego nam w warunku. Złapać?) Więc pracujemy bezpośrednio ze zmodyfikowaną formułą.
Liczymy pierwszy termin. Zastąpić n=1 do wzoru ogólnego:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Lubię to. Swoją drogą nie będę leniwy i jeszcze raz zwrócę waszą uwagę na typowego wpadkę z wyliczeniem pierwszego członka. NIE MUSISZ patrzeć na formułę b n= 3 2n, od razu spieszcie napisać, że pierwszy termin to trójka! To poważny błąd, tak ...)
Kontynuujmy. Zastąpić n=4 i policz czwarty termin:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
I na koniec obliczamy wymaganą kwotę:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Odpowiedź: 54
Kolejny problem.
Postęp geometryczny określają warunki:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Znajdź czwarty termin w progresji.
Tutaj progresja jest określona przez formułę rekurencyjną. No dobrze.) Jak pracować z taką formułą - my też wiemy.
Więc działamy. Krok po kroku.
1) Policz dwa kolejny członek progresji.
Pierwszy termin został nam już wyznaczony. Minus siedem. Ale następny, drugi termin, można łatwo obliczyć za pomocą wzoru rekurencyjnego. Oczywiście, jeśli rozumiesz, jak to działa.)
Więc liczymy drugi termin według znanego pierwszego:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Uważamy za mianownik progresji
Nie ma też problemu. Prosto, dziel druga członek włączony pierwszy.
Otrzymujemy:
Q = -21/(-7) = 3
3) Piszemy wzórnczłonka w zwykłej formie i rozważ żądanego członka.
Tak więc znamy pierwszy wyraz, a także mianownik. Piszemy więc:
b n= -7 3n -1
b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189
Odpowiedź: -189
Jak widać, praca z takimi wzorami dla postępu geometrycznego z natury nie różni się od pracy dla postępu arytmetycznego. Ważne jest tylko zrozumienie ogólnej istoty i znaczenia tych formuł. Cóż, znaczenie postępu geometrycznego musi być również zrozumiane, tak.) I wtedy nie będzie głupich błędów.
Cóż, rozwiążmy to sami?)
Dość podstawowe zadania na rozgrzewkę:
1. Podano postęp geometryczny, w którym b 1 = 243 i Q = -2/3. Znajdź szósty semestr w progresji.
2. Ogólny termin postępu geometrycznego określa wzór b n = 5∙2 n +1 . Znajdź numer ostatniego trzycyfrowego członka tej progresji.
3. Postęp geometryczny określają warunki:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Znajdź piąty termin w progresji.
Nieco bardziej skomplikowane:
4. Podano postęp geometryczny:
b 1 =2048; Q =-0,5
Jaki jest szósty negatywny termin?
Co wydaje się bardzo trudne? Zupełnie nie. Logika i zrozumienie znaczenia postępu geometrycznego uratuje Cię. Cóż, oczywiście wzór na n-ty semestr.
5. Trzeci wyraz postępu geometrycznego to -14, a ósmy wyraz to 112. Znajdź mianownik ciągu.
6. Suma pierwszego i drugiego wyrazu ciągu geometrycznego wynosi 75, a drugiego i trzeciego wyrazu 150. Znajdź szósty wyraz ciągu.
Odpowiedzi (w nieładzie): 6; -3888; -jeden; 800; -32; 448.
To prawie wszystko. Pozostaje tylko nauczyć się liczyć suma pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego tak odkryj nieskończenie malejący postęp geometryczny geometric i jego ilość. Nawiasem mówiąc, bardzo ciekawa i niezwykła rzecz! Więcej na ten temat w kolejnych lekcjach.)
Matematyka polega na tymludzie kontrolują naturę i siebie.
Radziecki matematyk, akademik A.N. Kołmogorów
Postęp geometryczny.
Oprócz problemów dotyczących progresji arytmetycznych, na egzaminach wstępnych z matematyki często pojawiają się również problemy związane z pojęciem progresji geometrycznej. Aby skutecznie rozwiązywać takie problemy, trzeba znać właściwości postępu geometrycznego i umieć dobrze je wykorzystywać.
Artykuł poświęcony jest przedstawieniu podstawowych własności ciągu geometrycznego. Zawiera również przykłady rozwiązywania typowych zadań., pożyczone z zadań egzaminów wstępnych z matematyki.
Wstępnie odnotowujemy główne właściwości postępu geometrycznego i przywołujemy najważniejsze wzory i twierdzenia, związane z tą koncepcją.
Definicja. Ciąg liczb nazywamy postępem geometrycznym, jeśli każda z jego liczb, począwszy od drugiej, jest równa poprzedniej pomnożonej przez tę samą liczbę. Liczba nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego.
Dla postępu geometrycznegoformuły są prawidłowe
, (1)
gdzie . Formuła (1) nazywana jest formułą ogólnego terminu postępu geometrycznego, a formuła (2) jest główną właściwością postępu geometrycznego: każdy termin postępu pokrywa się ze średnią geometryczną sąsiednich elementów i.
Notatka, że właśnie z powodu tej właściwości rozważany postęp nazywa się „geometrycznym”.
Powyższe wzory (1) i (2) uogólnia się następująco:
, (3)
Aby obliczyć kwotę pierwszy członkowie postępu geometrycznegoformuła jest stosowana
Jeśli oznaczamy, to
gdzie . Ponieważ zatem wzór (6) jest uogólnieniem wzoru (5).
W przypadku, gdy i, postęp geometrycznyjest nieskończenie malejąca. Aby obliczyć kwotęze wszystkich członków nieskończenie malejącego postępu geometrycznego stosuje się wzór
. (7)
Na przykład , za pomocą wzoru (7) można pokazać, Co
gdzie . Równości te otrzymuje się ze wzoru (7) pod warunkiem, że (pierwsza równość) i (druga równość).
Twierdzenie. Jeśli następnie
Dowód. Jeśli następnie,
Twierdzenie jest udowodnione.
Przejdźmy do rozważenia przykładów rozwiązywania problemów na temat „Progresja geometryczna”.
Przykład 1. Biorąc pod uwagę: i. Znaleźć .
Rozwiązanie. Jeśli zastosujemy wzór (5), to
Odpowiadać: .
Przykład 2. Niech i. Znaleźć .
Rozwiązanie. Ponieważ i użyjemy wzorów (5), (6) i otrzymamy układ równań
Jeśli drugie równanie układu (9) jest podzielone przez pierwsze, wtedy lub. Stąd wynika i ... Rozważmy dwa przypadki.
1. Jeśli, to z pierwszego równania układu (9) mamy.
2. Jeśli, to.
Przykład 3. Niech i. Znaleźć .
Rozwiązanie. Ze wzoru (2) wynika, że lub. Od tego czasu lub.
Według warunku. Jednak dlatego. Ponieważ i, to tutaj mamy układ równań
Jeśli drugie równanie układu jest podzielone przez pierwsze, to lub.
Od tego czasu równanie ma jeden odpowiedni pierwiastek. W tym przypadku wynika to z pierwszego równania układu.
Biorąc pod uwagę wzór (7), otrzymujemy.
Odpowiadać: .
Przykład 4. Biorąc pod uwagę: i. Znaleźć .
Rozwiązanie. Od tego czasu.
Od tego czasu albo
Zgodnie ze wzorem (2) mamy. W związku z tym z równości (10) otrzymujemy lub.
Jednak pod warunkiem zatem.
Przykład 5. Wiadomo, że . Znaleźć .
Rozwiązanie. Zgodnie z twierdzeniem mamy dwie równości
Od tego czasu lub. Od tego czasu.
Odpowiadać: .
Przykład 6. Biorąc pod uwagę: i. Znaleźć .
Rozwiązanie. Uwzględniając wzór (5) otrzymujemy
Od tego czasu. Od i wtedy.
Przykład 7. Niech i. Znaleźć .
Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (1) możemy napisać
Dlatego mamy lub. Wiadomo, że i dlatego i.
Odpowiadać: .
Przykład 8. Znajdź mianownik nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, jeśli
oraz .
Rozwiązanie. Ze wzoru (7) wynika oraz ... Z tego i stanu problemu otrzymujemy układ równań
Jeśli pierwsze równanie układu jest podniesione do kwadratu, a następnie podziel otrzymane równanie przez drugie równanie, wtedy dostajemy
Lub .
Odpowiadać: .
Przykład 9. Znajdź wszystkie wartości, dla których sekwencja jest postępem geometrycznym.
Rozwiązanie. Niech i. Zgodnie ze wzorem (2), który określa główną właściwość postępu geometrycznego, można pisać lub.
Z tego otrzymujemy równanie kwadratowe, którego korzenie są oraz .
Sprawdźmy, czy, wtedy i; jeśli, to i.
W pierwszym przypadku mamy i, aw drugim - i.
Odpowiadać: , .
Przykład 10.Rozwiązać równanie
, (11)
gdzie i.
Rozwiązanie. Lewa strona równania (11) jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, w którym i, pod warunkiem: i.
Ze wzoru (7) wynika, Co ... W związku z tym równanie (11) przyjmuje postać lub ... Odpowiedni korzeń równanie kwadratowe to
Odpowiadać: .
Przykład 11. NS ciąg liczb dodatnichtworzy postęp arytmetyczny, ale - postęp geometryczny, co to ma wspólnego z . Znaleźć .
Rozwiązanie. NS ciąg arytmetyczny, następnie (główna właściwość postępu arytmetycznego). Ponieważ, wtedy lub. Oznacza to, że postęp geometryczny ma postać... Zgodnie ze wzorem (2), potem to zapisujemy.
Od i wtedy ... W tym przypadku wyrażenie przyjmuje formę lub. Według warunku , dlatego z równaniauzyskujemy unikalne rozwiązanie rozważanego problemu, tj. ...
Odpowiadać: .
Przykład 12. Oblicz kwotę
. (12)
Rozwiązanie. Mnożymy obie strony równości (12) przez 5 i otrzymujemy
Jeśli odejmiemy od otrzymanego wyrażenia (12), następnie
lub .
Aby obliczyć, podstawiamy wartości we wzorze (7) i otrzymujemy. Od tego czasu.
Odpowiadać: .
Podane tutaj przykłady rozwiązywania problemów przydadzą się kandydatom w przygotowaniu do egzaminów wstępnych. Do głębszego zbadania metod rozwiązywania problemów, wykładniczo powiązany, możesz skorzystać z samouczków z listy polecanych lektur.
1. Zbiór problemów matematycznych dla kandydatów na uczelnie techniczne / wyd. MI. Skanawi. - M .: Pokój i edukacja, 2013 .-- 608 s.
2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych: dodatkowe działy programu szkolnego. - M.: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 s.
3. Medyński M.M. Kompletny kurs matematyki elementarnej w zadaniach i ćwiczeniach. Książka 2: Sekwencje liczbowe i progresje. - M.: Edithus, 2015 .-- 208 s.
Masz pytania?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora - zarejestruj się.
strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Progresje arytmetyczne i geometryczne
Informacje teoretyczne
Informacje teoretyczne
Postęp arytmetyczny |
Postęp geometryczny |
|
Definicja |
Postęp arytmetyczny NS wywoływany jest ciąg, z którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy wyrazowi poprzedniemu dodanemu o tym samym numerze D (D- różnica progresji) |
Postęp geometryczny b n jest ciągiem liczb niezerowych, z których każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez tę samą liczbę Q (Q jest mianownikiem progresji) |
Formuła cykliczna |
Dla każdego naturalnego n |
Dla każdego naturalnego n |
Formuła N-tego terminu |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Charakterystyczna właściwość |  |
|
| Suma n-pierwszych członków |  |
 |
Przykłady zadań z komentarzami
Ćwiczenie 1
W postępie arytmetycznym ( NS) 1 = -6, 2
Zgodnie ze wzorem n-tego terminu:
22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 dni
Według warunku:
1= -6, więc 22= -6 + 21 dni.
Konieczne jest znalezienie różnicy między progresjami:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Odpowiadać : 22 = -48.
Zadanie 2
Znajdź piąty wyraz postępu geometrycznego: -3; 6; ....
Pierwszy sposób (przy użyciu wzoru n-terminowego)
Zgodnie ze wzorem n-tego elementu ciągu geometrycznego:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
NS b 1 = -3,
Drugi sposób (przy użyciu formuły rekurencyjnej)
Ponieważ mianownik progresji wynosi -2 (q = -2), to:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Odpowiadać : b 5 = -48.
Zadanie 3
W postępie arytmetycznym ( a n) 74 = 34; 76= 156. Znajdź siedemdziesiąty piąty termin tego progresji.
Dla ciągu arytmetycznego charakterystyczną własnością jest 
.
W związku z tym:
.
Zamieńmy dane do wzoru:
Odpowiedź: 95.
Zadanie 4
W postępie arytmetycznym ( za n) za n= 3n - 4. Znajdź sumę pierwszych siedemnastu wyrazów.
Aby znaleźć sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego, stosuje się dwa wzory:
.
Który w tym przypadku jest wygodniejszy w użyciu?
Pod warunkiem znany jest wzór na n-ty wyraz oryginalnej progresji ( NS) NS= 3n - 4. Możesz natychmiast znaleźć i 1, oraz 16 bez znalezienia re. Dlatego użyjemy pierwszej formuły.
Odpowiedź: 368.
Zadanie 5
W postępie arytmetycznym ( NS) 1 = -6; 2= -8. Znajdź dwudziesty drugi termin w progresji.
Zgodnie ze wzorem n-tego terminu:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21d.
Według stanu, jeśli 1= -6, to 22= -6 + 21 dni. Konieczne jest znalezienie różnicy między progresjami:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Odpowiadać : 22 = -48.
Zadanie 6
Kilka kolejnych elementów postępu geometrycznego jest zapisanych:
Znajdź termin w ciągu oznaczonym literą x.
Przy rozwiązywaniu posługujemy się wzorem na n-ty wyraz b n = b 1 ∙ q n - 1 dla postępów geometrycznych. Pierwszy członek progresji. Aby znaleźć mianownik progresji q, musisz wziąć dowolny z podanych elementów progresji i podzielić przez poprzedni. W naszym przykładzie możesz wziąć i podzielić przez. Otrzymujemy, że q = 3. Zamiast n we wzorze podstawiamy 3, ponieważ konieczne jest znalezienie trzeciego wyrazu określonego przez postęp geometryczny.
Podstawiając znalezione wartości do formuły, otrzymujemy:
.
Odpowiadać : .
Zadanie 7
Z ciągów arytmetycznych podanych przez formułę n-tego członu wybierz ten, dla którego warunek 27 > 9:
Ponieważ dany warunek musi być spełniony w 27. semestrze progresji, podstawiamy 27 zamiast n w każdej z czterech progresji. W 4 progresji otrzymujemy:
.
Odpowiedź: 4.
Zadanie 8
W postępie arytmetycznym 1= 3, d = -1,5. Podaj największą wartość n, dla której zachodzi nierówność NS > -6.
Ładowanie...