Bir üçgenin açıları her zaman vardır. Bilimsel elektronik kütüphane

Teorem. Bir üçgenin iç açılarının toplamı iki dik açıya eşittir.

Biraz ABC üçgeni alın (Şekil 208). İç açılarını 1, 2 ve 3 sayılarıyla gösterelim. Bunu ispatlayalım.

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 °.

Bir üçgenin bir köşesini çizelim, örneğin B, АС'ye paralel düz bir МN doğrusu.

B köşesinde üç açımız var: ∠4, ∠2 ve ∠5. Toplamları açılmamış açıdır, bu nedenle 180 ° 'ye eşittir:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180 °.

Ancak ∠4 = ∠1, МN ve АС paralel doğrularında ve AB sekantında iç çapraz açılardır.

∠5 = ∠3 paralel düz çizgiler МN ve АС ve sekant ВС üzerindeki iç çapraz açılardır.

Dolayısıyla, ∠4 ve 5, eşit ∠1 ve ∠3 ile değiştirilebilir.

Bu nedenle, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 °. Teorem kanıtlanmıştır.

2. Bir üçgenin dış köşesinin özelliği.

Nitekim, ABC üçgeninde (Şekil 209) ∠1 + ∠2 = 180 ° - ∠3, aynı zamanda ∠BCD, bu üçgenin ∠1 ve ∠2'ye bitişik olmayan dış açısı da 180 ° - ∠3'tür. ...

Böylece:

∠1 + ∠2 = 180 ° - ∠3;

∠BCD = 180 ° - ∠3.

Bu nedenle, ∠1 + ∠2 = ∠BCD.

Bir üçgenin dış açısının türetilmiş özelliği, bir üçgenin dış açısı üzerinde daha önce kanıtlanmış teoremin içeriğini açıklığa kavuşturur; burada sadece bir üçgenin dış açısının, bir üçgenin her bir iç açısından daha büyük olduğu belirtilir. yanında değil; şimdi dış açının, kendisine bitişik olmayan her iki iç açının toplamına eşit olduğu belirlendi.

3. 30 ° açılı dik açılı bir üçgenin özelliği.

Dik açılı bir ACB üçgenindeki B açısının 30 ° 'ye eşit olmasına izin verin (Şek. 210). O zaman diğer dar açısı 60 ° 'ye eşit olacaktır.

AC bacağının AB hipotenüsünün yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. AC ayağını C dik açısının tepe noktasının ötesine uzatalım ve AC doğru parçasına eşit CM doğru parçasını bir kenara koyalım. M noktasını B noktasına bağlarız. Ortaya çıkan BCM üçgeni üçgene eşittir ASV. ABM üçgeninin her bir açısının 60 ° olduğunu görüyoruz, bu nedenle bu üçgen eşkenardır.

AC bacağı AM'nin yarısına eşittir ve AM, AB'ye eşit olduğundan, AC bacağı AB hipotenüsünün yarısına eşit olacaktır.

Amaçlar ve hedefler:

eğitici:

• üçgen hakkındaki bilgileri tekrarlayın ve genelleştirin;
• teoremi bir üçgenin açılarının toplamı üzerinde ispatlayın;
• teoremin ifadesinin doğruluğunu pratik olarak doğrulayın;
• Problem çözmede edindiği bilgileri uygulamayı öğrenir.

Geliştirme:

• geometrik düşünme, konuya ilgi, öğrencilerin bilişsel ve yaratıcı etkinlikleri, matematiksel konuşma, bağımsız olarak bilgi edinme yeteneği geliştirmek.

eğitici:

• geliştirmek kişisel nitelikleriöğrenciler, özveri, azim, doğruluk, takım halinde çalışma yeteneği gibi.

Teçhizat: multimedya projektörü, renkli kağıt üçgenler, "Yaşayan Matematik" eğitim kompleksi, bilgisayar, ekran.

Hazırlık aşaması:öğretmen öğrenciye hazırlamasını söyler Tarihsel arka plan"Bir üçgenin açılarının toplamı" teoremi üzerine.

ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Dersler sırasında

I. Organizasyonel an

Selamlar. Öğrencilerin işe karşı psikolojik tutumları.

II. Isınmak

Geometrik şekil "üçgen" ile önceki derslerde tanışmıştık. Üçgen hakkında bildiklerimizi tekrarlayalım mı?

Öğrenciler gruplar halinde çalışır. Her birine bağımsız olarak biliş sürecini inşa etmek için birbirleriyle iletişim kurma fırsatı verilir.

Ne oldu? Her grup önerilerini yapar, öğretmen bunları tahtaya yazar. Sonuçlar tartışılır:

Resim 1

III. Dersin görevini formüle ediyoruz

Yani, üçgen hakkında zaten çok şey biliyoruz. Fakat hepsi değil. Her birinizin masanızda üçgenler ve açıölçerler var. Sizce hangi görevi formüle edebiliriz?

Öğrenciler dersin görevini formüle eder - bir üçgenin açılarının toplamını bulun.

IV. Yeni malzemenin açıklaması

pratik kısım(bilgi ve kendini tanıma becerilerinin güncellenmesine katkıda bulunur) Bir açıölçer kullanarak açıları ölçün ve toplamlarını bulun. Sonuçları bir not defterine yazın (alınan cevapları dinleyin). Açıların toplamının herkes için farklı olduğunu öğreniyoruz (bu, açıölçer yanlış takıldığı için olabilir, hesaplama dikkatsizdi, vb.).

Noktalı çizgiler boyunca bükün ve üçgenin açılarının toplamının başka neye eşit olduğunu bulun:

ancak)
şekil 2

B)
Figür 3

içinde)
Şekil 4

G)
Şekil 5

e)
Şekil 6

Pratik çalışmayı tamamladıktan sonra öğrenciler cevabı formüle ederler: Üçgenin açılarının toplamı, açılmamış açının derece ölçüsüne eşittir, yani. 180 °.

Öğretmen: Matematikte pratik iş sadece bazı açıklamalar yapmayı mümkün kılar, ancak kanıtlanması gerekir. Geçerliliği ispatla belirlenen ifadeye teorem denir. Hangi teoremi formüle edip kanıtlayabiliriz?

öğrenciler: Üçgenin açılarının toplamı 180 derecedir.

Tarihsel referans: Bir üçgenin açılarının toplamının özelliği, daha önce kuruldu. Antik Mısır... Kanıt belirtilen modern ders kitapları, Proclus to Euclid's Beginnings'in yorumlarında yer almaktadır. Proclus, bu kanıtın (Şekil 8) Pisagorcular tarafından (MÖ 5. yy) keşfedildiğini iddia eder. Elementlerin ilk kitabında, Öklid, bir üçgenin açılarının toplamıyla ilgili teoremin başka bir kanıtını ortaya koyar, bu çizim yardımıyla anlaşılması kolaydır (Şekil 7):

Şekil 7

Şekil 8

Çizimler bir projektör aracılığıyla ekranda görüntülenir.

Öğretmen, teoremi kanıtlamak için çizimlerin kullanılmasını önerir.

Daha sonra ispat, CMK "Yaşayan Matematik" kullanılarak gerçekleştirilir.... Öğretmen teoremin kanıtını bilgisayara yansıtır.

Bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teorem: "Bir üçgenin açılarının toplamı 180 °"

Şekil 9

Kanıt:

ancak)

Şekil 10

B)

Şekil 11

içinde)

Şekil 12

Bir defterdeki öğrenciler, teoremin ispatını kısa bir not alır:

teorem: Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir.

Şekil 13

Verilen:Δ ABC

Kanıtlamak: A + B + C = 180 °.

Kanıt:

Neyin kanıtlanması gerekiyordu.

V. Fizik. Bir dakika.

VI. Yeni malzemenin açıklaması (devamı)

Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremin sonucu, öğrenciler tarafından bağımsız olarak çıkarılır, bu, kendi bakış açılarını formüle etme, ifade etme ve bunun için tartışma yeteneğinin geliştirilmesine katkıda bulunur:

Herhangi bir üçgende, ya tüm köşeler dardır veya iki dar açıdır ve üçüncüsü geniş veya düzdür..

Üçgenin tüm açıları keskin ise üçgen denir dar açılı.

Üçgenin açılarından biri geniş ise denir. geniş.

Üçgenin açılarından biri düz bir çizgi ise denir. dikdörtgen.

Üçgen toplamı teoremi, üçgenleri yalnızca kenarlarına göre değil, açılarına göre de sınıflandırmanıza olanak tanır. (Üçgen çeşitlerinin tanıtılması sırasında öğrenciler tabloyu doldurur)

tablo 1

Üçgen görünüm	İkizkenar	Eşkenar	Çok yönlü
dikdörtgen
Geniş
dar açılı

vii. İncelenen materyalin konsolidasyonu.

1. Sorunları sözlü olarak çözün:

(Çizimler bir projektör aracılığıyla ekranda görüntülenir)

(destekleyici özet)

Görsel geometri 7. sınıf. 4 numaralı destek notu Üçgenin açılarının toplamı.

17. yüzyılın büyük Fransız bilim adamı Blaise Pascal çocukken uğraşmayı severdi geometrik şekiller... İletkiye aşinaydı ve açıları nasıl ölçeceğini biliyordu. Genç araştırmacı, tüm üçgenlerin aynı toplam üç açıya sahip olduğunu fark etti - 180 °. "Bunu nasıl kanıtlayabiliriz? Pascal'ı düşündü. "Sonuçta, tüm üçgenlerin açılarının toplamını kontrol edemezsiniz - sonsuz sayıda vardır." Sonra üçgenin iki köşesini makasla kesip üçüncü köşeye yapıştırdı. Sonuç, bildiğiniz gibi 180 ° 'ye eşit olan konuşlandırılmış bir açıdır. Bu onun ilk kendi keşfiydi. Daha fazla kaderçocuk önceden belirlenmişti.

Bu konuda, dik üçgenler için beş eşitlik işareti ve 30° açılı bir dik üçgenin belki de en popüler özelliğini öğreneceksiniz. Kulağa şöyle geliyor: 30 ° 'lik bir açıyla uzanan bacak, hipotenüsün yarısına eşittir. Bir eşkenar üçgeni yüksekliğine bölerek hemen bu özelliğin bir kanıtını elde ederiz.

TEOREM. Üçgenin açılarının toplamı 180°'dir. Kanıt için, tepe noktasından tabana paralel düz bir çizgi çizin. Koyu köşeler eşittir ve gri köşeler, paralel çizgiler boyunca uzandıkları için eşittir. Karanlık köşe, gri köşe ve tepe açısı düz bir açı oluşturur ve bunların toplamı 180°'dir. Teoremden, açıların eşkenar üçgen 60 ° 'ye eşittir ve bir dik açılı üçgenin dar açılarının toplamı 90 °'dir.

Dış köşeüçgenin açısına komşu açı denir. Bu nedenle bazen üçgenin kendi açılarına iç açılar denir.

Bir üçgenin dış açısı üzerinde TEOREM... Bir üçgenin dış köşesi, ona bitişik olmayan iki iç köşenin toplamına eşittir. Gerçekten de, dış köşe ve ona bitişik olmayan iki iç köşe, gölgeli köşeyi 180 ° 'ye kadar tamamlar. Teoremden, dış açının, kendisine bitişik olmayan herhangi bir iç açıdan daha büyük olduğu sonucu çıkar.

Bir üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler üzerine TEOREM... Bir üçgende büyük kenar büyük kenarın karşısındadır ve büyük kenar büyük kenarın karşısındadır. Dolayısıyla aşağıdaki gibidir: 1) Bacak hipotenüsten küçüktür. 2) Dikey daha az eğimlidir.

Noktadan çizgiye uzaklık ... Dik, aynı noktadan çizilen herhangi bir eğikten daha küçük olduğundan, uzunluğu noktadan düz çizgiye olan mesafe olarak alınır.

Üçgen eşitsizliği ... Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının toplamından küçüktür, yani. ancak< b + с , B< а + с , ile birlikte< а + B . Sonuçlar... Çoklu çizginin uzunluğu, uçlarını birleştiren çizgi parçasından daha büyüktür.

EŞİTLİK İŞARETLERİ
DİKDÖRTGEN ÜÇGENLER

iki ayak üzerinde... Bir dik üçgenin iki bacağı sırasıyla başka bir üçgenin iki bacağına eşitse, bu üçgenler eşittir.

Bacak ve bitişik akut köşe boyunca... Bir dik üçgenin bacağı ve bitişik dar açısı sırasıyla diğer üçgenin bacağına ve bitişik dar açısına eşitse, bu tür üçgenler eşittir.

Bacak boyunca ve karşı keskin köşe... Bir dik üçgenin ayağı ve karşısındaki dar açı sırasıyla diğer üçgenin ayağına ve karşısındaki dar açıya eşitse, bu üçgenler eşittir.

Hipotenüs ve dar açı ile... Bir dik üçgenin hipotenüsü ve dar açısı, başka bir üçgenin hipotenüsüne ve dar açısına sırasıyla eşitse, bu üçgenler eşittir.

Bu işaretlerin ispatı hemen üçgenlerin eşitliği kriterlerinden birine iner.

Bacak ve hipotenüs üzerinde... Bir dik üçgenin bacağı ve hipotenüsü sırasıyla diğer dik üçgenin bacağına ve hipotenüsüne eşitse, bu üçgenler eşittir.

Kanıt. Üçgenleri eşit bacaklarla tutturuyoruz. Bir ikizkenar üçgen elde ederiz. Üstten çizilen yüksekliği de medyan olacaktır. Sonra üçgenlerin ikinci ayakları eşittir ve üçgenler üç tarafta eşittir.

TEOREM 30 ° 'lik bir açının karşısında duran bacağın özelliği üzerine... 30 ° 'lik bir açının karşısında duran bacak, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu, üçgenin eşkenar olana genişletilmesiyle kanıtlanır.

Bir açının açıortayının noktalarının özelliği üzerine TEOREM... Bir açının açıortayının herhangi bir noktası, kenarlarından eşit uzaklıktadır. Nokta, açının kenarlarından eşit uzaklıktaysa, açının açıortayı üzerindedir. Bu, köşenin kenarlarına iki dik çizilerek ve dik açılı üçgenler dikkate alınarak kanıtlanır.

İkinci büyük nokta ... Üçgenin bisektörleri bir noktada kesişir.

Paralel çizgiler arasındaki mesafe. TEOREM... İki paralel çizginin her birinin tüm noktaları diğer çizgiden eşit uzaklıktadır. Teorem, paralel çizgiler arasındaki mesafenin tanımını ifade eder.

Tanım... İki paralel doğru arasındaki uzaklık, paralel doğrulardan birinin herhangi bir noktasından diğerine olan uzaklıktır.

Ayrıntılı teorem ispatları

Bu, 7. sınıf geometri üzerine 4 numaralı çok önemli bir derstir. Diğer işlemleri seçin:

Üçgen . Dar açılı, geniş açılı ve dik açılı üçgenler.

Bacaklar ve hipotenüs. İkizkenar ve eşkenar üçgen.

Bir üçgenin açılarının toplamı.

Üçgenin dış köşesi. Üçgenlerin eşitlik belirtileri.

Üçgendeki harika çizgiler ve noktalar: yükseklikler, medyanlar,

bisektörler, ortanca e dikeyler, ortocenter,

ağırlık merkezi, yazılı dairenin merkezi, yazılı dairenin merkezi.

Pisagor teoremi. Rastgele bir üçgende en boy oranı.

Üçgen Üç kenarı (veya üç köşesi) olan bir çokgendir. Bir üçgenin kenarları genellikle aşağıdakilere karşılık gelen küçük harflerle gösterilir. büyük harflerle zıt köşeleri gösterir.

Her üç köşe de keskinse (Şekil 20), o zaman bu dar açılı üçgen ... Köşelerden biri düz ise(C, şek. 21), yani sağ üçgen; partilerbir, bdik açı oluşturmaya denir bacaklar; tarafCdik açının tersi denir hipotenüs... eğer biri geniş açılar (B, şek. 22), yani geniş açılı üçgen.


ABC Üçgeni (şek. 23) - ikizkenar, Eğer 2 kenarları eşittir (a= C); bu eşit kenarlara denir yanal, üçüncü taraf denir temelüçgen. Üçgen ABC (şek. 24) - eşkenar, Eğer tüm kenarları eşittir (a = B = C). Genel olarak ( a ≠ B ≠ C) sahibiz skalenüçgen .

Üçgenlerin temel özellikleri. Herhangi bir üçgende:

1. Daha büyük tarafa karşı daha büyük bir açı vardır ve bunun tersi de geçerlidir.

2. Eşit taraflara karşı yalan eşit açılar, ve tersi.

Özellikle tüm açılar eşkenarüçgen eşittir.

3. Üçgenin açılarının toplamı 180'dir º .

Son iki özellikten, bir eşkenardaki her açının

üçgen 60 º.

4. Üçgenin kenarlarından birinden devam ederek (AC, şek. 25), alırız harici

açı BCD . Üçgenin dış açısı iç açılarının toplamına eşittir,

ona bitişik değil : BCD = A + B.

5. Herhangi bir üçgenin bir kenarı diğer iki kenarın toplamından küçüktür ve daha fazladır

onların farklılıkları (a < B + C, a > B – C;B < a + C, B > a – C;C < a + B,C > a – B).

Üçgenlerin eşitlik belirtileri.

Üçgenler sırasıyla eşitse eşittir:

a ) iki taraf ve aralarındaki açı;

B ) iki köşe ve onlara bitişik taraf;

c) üç taraf.

Dik açılı üçgenlerin eşitlik işaretleri.

2 dikdörtgen Aşağıdaki koşullardan biri doğruysa üçgenler eşittir:

1) bacakları eşittir;

2) bir üçgenin bacağı ve hipotenüsü, diğerinin bacağına ve hipotenüsüne eşittir;

3) bir üçgenin hipotenüsü ve dar açısı diğerinin hipotenüsüne ve dar açısına eşittir;

4) bir üçgenin bacağı ve bitişik dar açısı, diğerinin bacağa ve bitişik dar açısına eşittir;

5) bacak ve bir üçgenin zıt dar açısı bacağa eşittir ve diğerinin karşı keskin köşesi.

Üçgendeki harika çizgiler ve noktalar.

Boy uzunluğu üçgendik,herhangi bir tepe noktasından karşı tarafa düştü ( veya devamı). Bu taraf denirüçgenin tabanı . Bir üçgenin üç yüksekliği her zaman kesişirbir noktadaisminde diklik merkeziüçgen. Dar açılı bir üçgenin ortocenter (noktaÖ , şek. 26) üçgenin içinde bulunur vegeniş bir üçgenin ortomerkezi (noktaÖ , şek. 27) – dışarıda; dik açılı bir üçgenin ortomerkezi, dik açının tepe noktasıyla çakışır.

Medyan - Bu çizgi segmenti üçgenin herhangi bir köşesini karşı tarafın orta noktasına bağlamak. Bir üçgenin üç medyanı (AD, BE, CF, şek. 28) bir noktada kesişmek Ö her zaman üçgenin içinde yatan ve onun olmak ağırlık merkezi. Bu nokta, her medyanı üstten 2: 1 oranında böler.

Açıortay - Bu bisektör segmenti tepe noktasından bir noktaya köşe karşı taraf ile kesişme. Bir üçgenin üç bisektörü (AD, BE, CF, şek. 29) bir noktada kesişmek Oh her zaman bir üçgenin içinde yatıyor ve yapı yazılı dairenin merkezi("Yazılıve açıklanan çokgenler ").

Bisektör, karşı tarafı bitişik taraflarla orantılı parçalara böler. ; örneğin, şekil 29'da AE: CE = AB: M.Ö.

medyan dik Ortadan çizilen bir dik segment noktaları (yanlar). ABC üçgeninin üç ortanca dikmesi(KO, MO, HAYIR, şek. 30 ) bir O noktasında kesişir, ki bu merkez sınırlı daire (K, M, N noktaları - üçgenin kenarlarının orta noktaları ABC).

Dar açılı bir üçgende bu nokta üçgenin içindedir; geniş - dışarıda; dikdörtgen olarak - hipotenüsün ortasında. Ortocenter, ağırlık merkezi, çevrelenmiş dairenin merkezi ve yazılı dairenin merkezi sadece bir eşkenar üçgende çakışır.

Pisagor teoremi. Bir dik üçgende, uzunluğun karesihipotenüs, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.

Pisagor teoreminin kanıtı açıkça Şekil 31'den gelmektedir. Bir dik üçgen düşünün bacaklar ile ABC bir, b ve hipotenüs C.

Hadi bir kare inşa edelim AKMB hipotenüs kullanarak AB taraf olarak. Sonrasağ üçgenin kenarlarını uzat ABC yani bir kare elde etmek için CDEF kimin kenarı eşittirbir + b.Şimdi bir karenin alanının CDEF ( bir + b) 2 ... Öte yandan, bu alan toplamına eşittir kareler dört dik üçgen ve kare AKMB, yani

C 2 + 4 (ab / 2) = C 2 + 2 ab,

buradan,

C 2 + 2 ab= (bir + b) 2 ,

ve sonunda elimizde:

C 2 =a 2 + b 2 .

Rastgele bir üçgende en boy oranı.

Genel durumda (keyfi bir üçgen için) elimizde:

C 2 =a 2 + b 2 – 2ab· çünkü C,

nerede C - kenarlar arasındaki açıa ve B .

>> Geometri: Bir üçgenin açılarının toplamı. Dersleri tamamla

DERS KONUSU: Bir üçgenin açılarının toplamı.

Dersin Hedefleri:

• Öğrencilerin konuyla ilgili bilgilerinin birleştirilmesi ve test edilmesi: "Bir üçgenin açılarının toplamı";
• Bir üçgenin açılarının özelliğinin kanıtı;
• Bu özelliğin en basit problemlerin çözümünde kullanılması;
• Geliştirme için tarihi materyali kullanma bilişsel aktiviteöğrenciler;
• Çizimler oluştururken doğruluk becerisini aşılamak.

Dersin Hedefleri:

• Öğrencilerin problem çözme yeteneklerini test edin.

Ders planı:

1. Üçgen;
2. Bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teorem;
3. Örnek görevler.

Üçgen.

Dosya: O.gif Üçgeni- 3 köşesi (köşesi) ve 3 kenarı olan en basit çokgen; düzlemin üç nokta ile sınırlanmış parçası ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç doğru parçası.
Tek bir doğru üzerinde yer almayan uzayın üç noktası bir ve yalnızca bir düzleme karşılık gelir.
Herhangi bir çokgen üçgenlere bölünebilir - bu işleme denir üçgenleme.
Tamamen üçgen yasalarının incelenmesine ayrılmış bir matematik bölümü var - Trigonometri.

Bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teorem.

Dosya: T.gif Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teorem, bir üçgenin açılarının toplamının 180 ° olduğunu belirten Öklid geometrisinin klasik bir teoremidir.

Kanıt" :

Δ ABC verilsin. (AC)'ye B köşesi boyunca paralel bir çizgi çizin ve D noktasını işaretleyin, böylece A ve D noktaları BC çizgisinin zıt taraflarında olsun. O zaman açı (DBC) ve açı (ACB), BD ve AC paralel çizgilerinde ve sekantta (BC) iç çapraz geçişe eşittir. O zaman üçgenin B ve C köşelerindeki açılarının toplamı (ABD) açısına eşittir. Ancak ABC üçgeninin A köşesindeki açı (ABD) ve açı (BAC), BD ve AC paralel doğruları ve sekant (AB) ile iç tek taraflıdır ve toplamları 180 ° 'dir. Bu nedenle üçgenin iç açıları toplamı 180° dir. Teorem kanıtlanmıştır.

Sonuçlar.

Bir üçgenin dış açısı, üçgenin kendisine bitişik olmayan iki açısının toplamına eşittir.

Kanıt:

Δ ABC verilsin. D noktası AC doğrusu üzerindedir, böylece A, C ve D arasındadır. O zaman BAD, A köşesinde üçgenin açısının dışındadır ve A + BAD = 180 °. Ama A + B + C = 180 ° ve dolayısıyla B + C = 180 ° - A. Dolayısıyla KÖTÜ = B + C. Sonuç kanıtlandı.

Sonuçlar.

Bir üçgenin dış köşesi, üçgenin kendisine bitişik olmayan herhangi bir köşesinden daha büyüktür.

Bir görev.

Bir üçgenin dış köşesi, bu üçgenin herhangi bir köşesine bitişik olan açıdır. Bir üçgenin dış açısının, kendisine bitişik olmayan iki açının toplamına eşit olduğunu kanıtlayın.
(Şek. 1)

Çözüm:

Δ ABC ∠DAC - harici (Şekil 1) girelim. Daha sonra ∠DAC = 180 ° -∠BAC (komşu açıların özelliği ile), teorem ile bir üçgenin açılarının toplamı üzerine ∠B + ∠C = 180 ° -∠BAC. Bu eşitliklerden ∠DАС = ∠В + ∠С elde ederiz.

İlginç gerçek:

Bir üçgenin açılarının toplamı " :

Lobachevsky'nin geometrisinde, bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180'den küçüktür. Öklid'in geometrisinde, her zaman 180'e eşittir. Riemann geometrisinde bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180'den büyüktür.

Matematik tarihinden:

Öklid (MÖ III yy) "Başlangıçlar" adlı çalışmasında şu tanımı verir: "Paralel, aynı düzlemde olan ve her iki yönde de süresiz olarak devam eden, her iki tarafta da birbiriyle buluşmayan düz çizgilerdir" ...
Posidonius (MÖ 1. yüzyıl) "Aynı düzlemde, birbirinden eşit uzaklıkta uzanan iki düz çizgi"
Antik Yunan bilim adamı Pappus (MÖ III. Yüzyıl) paralel düz çizgilerin sembolünü tanıttı - = işareti. daha sonra İngiliz ekonomist Ricardo (1720-1823) bu sembolü eşittir işareti olarak kullandı.
Sadece 18. yüzyılda düz çizgilerin paralellik sembolünü kullanmaya başladı - || işareti.
Nesiller arasındaki canlı bağlantı bir an bile kesintiye uğramaz, atalarımızın biriktirdiği deneyimi her gün özümseriz. Eski Yunanlılar, gözlemlere ve pratik deneyimlere dayanarak, sonuçlar çıkardılar, hipotezler dile getirdiler ve daha sonra bilim adamlarının toplantılarında - sempozyum (kelimenin tam anlamıyla "ziyafet") - bu hipotezleri doğrulamaya ve kanıtlamaya çalıştılar. O zaman, ifade oluşturuldu: "Bir anlaşmazlıkta gerçek doğar."

Sorular:

1. üçgen nedir?
2. Üçgen toplam teoremi ne diyor?
3. Üçgenin dış açısı nedir?