Bu makale, sayısal saflar konusundaki hemen hemen her örneği çözmek için gerekli olan bilgileri, bir sayımın toplamını, yakınsama için çalışmadan önce bir numaranın toplamını bulmaktan oluşmaktadır.

Makaleye genel bakış.

Hizalama, alternatif seri ve yakınsama kavramının tanımları ile başlayalım. Daha sonra, bir harmonik serisi, genelleştirilmiş bir harmonik serisi gibi standart sıralamaları düşünüyoruz, formülünü sonsuz şekilde azalan geometrik ilerlemenin toplamını bulmak için hatırlatıyoruz. Bundan sonra, yakınsak serilerinin özelliklerine devam ediyoruz, bir dizi ve sesin bir dizinin yakınsamanının yeterli belirtilerinin yakınlaşması için gerekli şartlara odaklanacağız. Teori, ayrıntılı açıklamalar ile karakteristik örneklerin çözeltisi ile seyreltilecektir.

Gezinme sayfası.

Temel tanımlar ve kavramlar.

Sayısal bir sıraya sahip olalım. .

Örnek sayısal diziyi verelim: .

Sayısal satır - Bu, formun sayısal dizisinin üyelerinin toplamıdır. .

Sayısal bir serinin örneği olarak, infazinator q \u003d -0.5 ile geometrik ilerlemeyi azaltmanın toplamı verilebilir: .

Aramak sayısal serilerin genel üyesi veya bir sayının K-TH üyesi.

Önceki örnekten, sayısal serilerin genel üyesi formu vardır.

Kısmi sayısal satır miktarı - Bu, N'nin belirli bir doğal numara olduğu türlerin toplamıdır. Ayrıca, N-OH kısmi sayısal dizinin toplamını ifade ederler.

Örneğin, satırın dördüncü kısmi miktarı var .

Kısmi toplamlar Sayısal dizinin sonsuz bir kısmi toplamı oluşturulması.

Bizim serimiz için, N, geometrik ilerlemenin ilk N üyesinin formülüne göre bir kısmi bir miktardır. , yani, aşağıdaki kısmi toplamlar dizisine sahip olacağız: .

Sayısal satır denir yakınsakKısmi miktar dizisinin sonlu bir sınırı varsa. Sayısal serilerin kısmi toplamı dizisinin sınırı mevcut değilse veya sonsuz, daha sonra aralık denir Çizilmiş.

İlgili sayısal serilerin toplamı Kısmi toplamlarının sırasının sınırı olarak adlandırılır, yani, .

Örneğimizde, bu nedenle bir sayı Yaklaşıyor ve tutarı on altı üçte: .

Örnek olarak, ayrılan seriler, paydan daha büyük olan payda daha büyük olan geometrik ilerleme miktarına verilebilir: . N-AYA Kısmi miktar, ifade tarafından belirlenir. ve kısmi toplamların sınırı sonsuzdur: .

Farklı bir sayısal serinin bir başka örneği, türlerin miktarıdır. . Bu durumda, N-Aya kısmi miktar olarak hesaplanabilir. Kısmi toplamların sınırı sonsuzdur .

Tür miktarı aranan harmonik Sayısal.

Tür miktarı s adında bazı geçerli bir numara yakında genelleştirilmiş uyumlu sayısal.

Belirtilen tanımlar, aşağıdaki sıklıkla kullanılan ifadeleri kanıtlamak için yeterlidir, onları hatırlamanızı öneririz.

Harmonik satır farklıdır.

Harmonik dizinin farklılığını kanıtlıyoruz.

Bir sayının birleştiğini varsayalım. Sonra kısmi toplamlarının sınırlı bir sınırı var. Bu durumda, bizi eşitliğe yönlendirebilir ve kaydedebilirsiniz. .

Diğer yandan,


Aşağıdaki eşitsizliklerden şüphelere neden olmayın. Böylece, . Nihai eşitsizlik bize bu eşitliği gösteriyor Harmonik serilerin yakınsama hakkındaki varsayımımızı çelişen elde edilemez.

Sonuç: Harmonik sıra birbirinden ayrılır.

Formun Geometrik Progresyonunun Morominator Q ile toplamı, yanında ve birbirinin yanında, yanında ve yanında bir yakınsak sayısaldır.

Bunu kanıtladık.

Geometrik ilerlemenin ilk N üyelerinin toplamının formül tarafından olduğunu biliyoruz. .

Adil ile


Sayısal bir serinin yakınsama nesi var.

Q \u003d 1'de sayısal bir seri var . Kısmi toplamları gibiydi ve kısmi toplamların sınırı sonsuz Bu durumda bir numaranın ayrışmasına ne işaret eder?

Eğer Q \u003d -1 ise, sayısal sayı formu alır . Kısmi toplamlar garip n ve hatta n için bir değer alır. Bundan, kısmi toplamların sınırının mevcut olmadığı ve satırın ayrıldığı sonucuna varabiliriz.

Adil ile


Sayısal bir serinin farklılığına ne işaret eder?

Genelleştirilmiş bir harmonik serisi S\u003e 1'de birleşir ve ayrılır.

Kanıt.

S \u003d 1 için, harmonik bir satır elde ediyoruz ve yukarıda belirttik.

İçin tüm doğal k için adil eşitsizlik. Harmonik serilerin ayrışması nedeniyle, kısmi toplamlarının sekansının sınırsız olduğu söylenebilir (sonlu bir sınır olmadığı için). Daha sonra, sayısal serilerin kısmi toplamlarının dizisi daha sınırsızdır (bu serinin her bir üyesi, harmonik serilerin ilgili elemanından daha büyüktür), bu nedenle, genelleştirilmiş bir harmonik satır S'de ayrılır.

S\u003e 1'deki dizinin yakınsamasını kanıtlamak için kalır.

Bir fark yazıyoruz:



Açıkçası, sonra


N \u003d 2, 4, 8, 16, ... için ortaya çıkan eşitsizliği kesin.



Bu sonuçları kullanarak, aşağıdaki işlemler ilk sayısal sayı ile gerçekleştirilebilir:



İfade Ödüncünün eşit olduğu bir geometrik progresyon miktarıdır. Davayı S\u003e 1'de gördüğümüz için. bu nedenle
. Böylece, S\u003e 1'deki genelleştirilmiş harmonik serilerin kısmi toplamlarının dizisi artmaktadır ve aynı zamanda değerinin yukarıdan sınırlıdır, bu nedenle, satırın yakınsamasını gösteren bir sınırı vardır. Kanıt tamamlandı.

Sayısal satır denir hizalamaTüm üyeleri olumlu ise, yani, .

Sayısal satır denir hizalamaKomşu üyelerinin belirtileri farklı ise. Sayısal satır şarkı söylemek veya nerede .

Sayısal satır denir İmzalanmışHem pozitif hem de olumsuz elemanların sonsuz bir setini içeriyorsa.

Alternatif bir sayısının alternatif sayısı, alternatif bir serinin özel bir durumdur.

Satır

sırasıyla hizalama, hizalama ve alternatif.

Yasaklanmış bir seri için, mutlak ve şartlı yakınsama kavramı var.

kesinlikle yakınsakBir satır, üyelerinin mutlak değerlerinden birleşirse, yani hizalama sayısal serisi birleşir.

Örneğin, sayısal satırlar ve Kesinlikle birleşimi, çünkü bir sayı birleşir , bu, geometrik ilerlemenin sonsuz şekilde azaltılmasının toplamıdır.

Açıklanan satır denilen Şartlı olarak yakınsakBir satır ayrılırsa ve seri birleşir.

Örnek olarak, geleneksel olarak birleşen bir sayısal serisi getirilebilir . Sayısal satır İlk seri üyelerinin mutlak değerlerinden, harmonik olduğu için gönderilir. Aynı zamanda, başlangıç \u200b\u200bnumarası kolayca kurulur. Böylece, sayısal bir alternatif seri Şartlı olarak hareket ediyor.

Rekolasyonlu sayısal satırların özellikleri.

Misal.

Sayısal bir serinin yakınsamasını kanıtlayın.

Karar.

Başka bir biçimde bir satır yazıyoruz . Sayısal seri, genelleştirilmiş harmonik seriler S\u003e 1'de birleştiğinden ve yakınsak sayısal serilerin ikinci özelliğinin erdemiyle de sayısal bir katsayı ile birleştirilecektir.

Misal.

Küçük satır yakınlar.

Karar.

Kaynak satırını dönüştürüyoruz: . Böylece, iki sayısal satırın toplamını aldık ve her birinin birleşimi (önceki örneğe bakın). Bu nedenle, sayısal satırların üçüncü özelliği nedeniyle, ilk seri birleşir.

Misal.

Sayısal serilerin yakınsamasını kanıtlamak Ve miktarını hesaplar.

Karar.

Bu sayısal seri iki satırın bir farkı olarak gösterilebilir:

Bu satırların her biri, geometrik ilerlemenin sonsuz şekilde azaltılmasının toplamıdır, bu nedenle yakınsaktır. Converging serisinin üçüncü özelliği, ilk sayısal dizinin birleştiğini göstermektedir. Tutarını hesaplarım.

Serinin ilk üyesi bir birimdir ve karşılık gelen geometrik ilerlemenin paydası 0.5, bu nedenle, .

Satırın ilk üyesi 3'tür ve karşılık gelen sonsuz geometrik ilerlemenin azaltılması 1/3'tür. .

Orijinal sayısal serilerin miktarını bulmak için elde edilen sonuçları kullanıyoruz:

Serinin yakınsama için gerekli şart.

Bir sayısal serisi yakınlarsa, K-C üyesinin sınırı sıfırdır :.

Yakınsama için herhangi bir sayısal dizinin çalışmasında, her şeyden önce, gerekli yakınsama durumunun uygulanması doğrulanmalıdır. Bu duruma uyulmaması, sayısal serilerin farklılığını gösterir, yani sıra, sıra ayrılır.

Öte yandan, bu durumun yeterli olmadığını anlamak gerekir. Yani, eşitliğin yerine getirilmesi, sayısal dizinin yakınsama hakkında konuşmuyor. Örneğin, harmonik seriler için, gerekli yakınsama durumu yapılır ve sıra birbirinden ayrılır.

Misal.

Yakınsama konusunda sayısal bir satır keşfedin.

Karar.

Sayısal serilerin yakınsama için gerekli durumu kontrol edin:

Sınırlamak sayısal sayısının N-TH üyesi sıfır değildir, bu nedenle sıra ayrılır.

Hizalama serisinin yeterince yakınsama belirtileri.

Sayısal satırların incelenmesi için yeterli işaretler kullanırken, yakınsama sürekli olarak karşı karşıya kalır, bu yüzden bu bölümde zorlukla iletişim kurmanızı öneririz.

Hizalama sayısal serisinin yakınsama için gerekli ve yeterli durum.

Hizalama sayısal serisinin yakınsama için Kısmi toplamlarının dizisi için gereklidir ve yeterlidir.

Satırların karşılaştırılması belirtileri ile başlayalım. Özleri, incelenen sayısal serilerin bir sayı, yakınsama veya ayrılma ile karşılaştırılmasından oluşur.

Karşılaştırmanın ilk, ikinci ve üçüncü işareti.

Rütbeleri karşılaştırmanın ilk işareti.

Hem iki hizalama sayısal satır hem de tüm K \u003d 1, 2, 3, ... daha sonra bir takım yakınsamanın birleşiminden ve serilerin ayrılığından ayrılmadan ayrılsın.

Karşılaştırmanın ilk belirtisi çok sık kullanılmaktadır ve yakınsama için sayısal satırların incelenmesi için çok güçlü bir araçtır. Asıl sorun karşılaştırma için uygun bir satırın seçimidir. Genellikle (ancak her zaman) karşılaştırma için bir sayı, K-C üyesinin göstergesinin, sayısal derecenin derecesindeki farkın farkına eşit olması ve çalışılan sayısal serilerin bir üyesi olmadan K cinsinin farkına eşit olduğu şekilde seçilir. Örneğin, numeratörün derecesindeki farkın ve paymin göstergelerinin derecesinde fark 2 - 3 \u003d -1, bu nedenle karşılaştırma için, bir K-TH üyesi olan bir armonik satır olan bir satır seçiyoruz. Birkaç örnek düşünün.

Misal.

Satırın yakınsama veya ayrışmasını takın.

Karar.

Serinin toplam üyesinin limiti sıfır olduğundan, dizinin yakınsama için gerekli koşulu yapılır.

Eşitsizliğin tüm doğal K için adil olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle, harmonik sıranın farklılaştığını, bu nedenle, ilk karşılaştırmada, ilk seri de farklıdır.

Misal.

Yakınsama üzerinde sayısal bir satır keşfedin.

Karar.

Sayısal serilerin yakınsama için gerekli koşulu, çünkü . Açıkçası eşitsizliğin yerine getirilmesi Herhangi bir doğal değer için k. Bir sayı yakınlar, çünkü genelleştirilmiş bir harmonik serisi S\u003e 1 için birleşiyor. Böylece, satırların ilk karşılaştırılmasının ilk işareti, orijinal sayısal serilerin yakınsamasını belirtmenize olanak sağlar.

Misal.

Sayısal serilerin yakınsama veya ayrışmasını belirler.

Karar.

Bu nedenle, sayısal serilerin yakınsama için gerekli koşulu yerine getirilir. Karşılaştırma için hangi numarayı seçecek? Sayısal bir seri tarafından önerilmektedir ve S'yi belirlemek için, sayısal diziyi dikkatlice inceleyin. Sayısal dizinin üyeleri sonsuzluğa artar. Böylece, bazı numaralardan başlayarak (yani N \u003d 1619 ile), bu dizinin üyeleri 2'den büyük olacaktır. Bu numaradan başlayarak, eşitsizlik doğrudur. Sayısal seri, yakınsak serilerinin ilk özelliğinin erdeminde, yakınsak seriden çıktığı için, ilk N'nin atılması 1 üyedir. Böylece, ilk karşılaştırmanın ilk belirtisinde, bir çok yakınsama vardır ve yakınsak sayısal satırların ilk özelliği sayesinde da birleşir.

Karşılaştırmanın ikinci işareti.

Her ikisinin de sayısal satırları hizalayalım. Eğer öyleyse, dizinin yakınsamı yakınsama izler. Eğer, sayısal serilerin farklılığından, ayrışmayı takip ederse.

Corollary.

Öyleyse, bir satırın yakınsama, diğerinin yakınsamasını takip eder ve ayrışma saptana ayrılmalıdır.

Karşılaştırmanın ikinci işareti kullanılarak yakınsama üzerine bir satır keşfediyoruz. Bir numara olarak, bir satır alın. Sayısal serilerin K-boyutlandırılmış üyelerinin ilişkisinin sınırını bulacağız:

Böylece, ikinci karşılaştırma belirtisine göre, sayısal dizinin yakınsama, orijinal serisinin yakınsamasını takip eder.

Misal.

Sayısal bir satırın yakınsamasını keşfedin.

Karar.

Serinin yakınsama için gerekli durumu kontrol edin . Durum yerine getirildi. İkinci karşılaştırma belirtisini uygulamak için harmonik satır alıyoruz. K-S üyesinin ilişkisinin sınırını bulacağız:

Sonuç olarak, harmonik serilerin farkından itibaren, ikinci karşılaştırma belirtisinin ilk serisinin farkını takip eder.

Bilgi için, rütbelerin karşılaştırılmasının üçüncü işareti veriyoruz.

Üçüncü İşaret Karşılaştırma.

Her ikisinin de sayısal satırları hizalayalım. Bir durumun bir numaralı numaradan memnun kaldıysa, yakınsaması, dizinin yakınsamasından birleşmelidir.

Dalamber'in işareti.

Yorum Yap.

Dalamber'in işareti, limit sonsuz ise geçerlidir, bu, , sonra bir seri ise , sonra bir sıra birbirinden ayrılır.

Dalamber'in işareti, dizinin yakınsama veya ayrışması hakkında bilgi vermezse ve ek araştırma gereklidir.

Misal.

Dalamber'in yakınsamasında sayısal satırı keşfedin.

Karar.

Sayısal seri yakınsama için gerekli durumun yerine getirilmesini kontrol ediyoruz, limit aşağıdaki şekilde hesaplanır:

Durum yerine getirildi.

Dalamber'in işaretini kullanıyoruz:

Böylece, seri birleşir.

Radikal işareti cauchy.

Bir işaret kaplama sayısal satır olun. Eğer sayısal seri ise, eğer satır ayrılırsa birleşir.

Yorum Yap.

Sınır sonsuz ise, Cauchy'nin radikal işareti doğrudur, bu , sonra bir seri ise , sonra bir sıra birbirinden ayrılır.

Eğer, Cauchy radikal işareti, bir sayının yakınsama veya ayrışması hakkında bilgi vermezse ve ek araştırma gerektirmez.

Kauchy'nin radikal bir işareti kullanması en iyisi olduğunda, genellikle durumları görmek genellikle kolaydır. Bir durum, bir sayısal serisinin genel bir üyesi önemli bir ifadeyi temsil ettiğinde bir durumdur. Birkaç örnek düşünün.

Misal.

Cauchy'nin radikal bir işareti kullanılarak yakınsama üzerindeki hizalama sayısal satırını keşfedin.

Karar.

. Cauchy'nin radikal işareti üzerine .

Sonuç olarak, bir seri birleşir.

Misal.

Sayısal sıranın birleşmesi olup olmadığı .

Karar.

Cauchy'nin radikal işaretini kullanıyoruz Bu nedenle, sayısal seri birleşir.

İntegral işareti cauchy.

Bir işaret kaplama sayısal satır olun. Y \u003d F (x), benzer fonksiyonların sürekli argüman fonksiyonunu oluşturacağız. Y \u003d F (x) işlevinin pozitif, sürekli ve aralıkta azalmasına izin verin. Sonra yakınsama durumunda uyumsuz ayrılmaz Çalışılan sayısal seri birleşir. Değişmez integral ayrılırsa, başlangıç \u200b\u200bnumarası da ayrılır.

Y \u003d F (x) işlevindeki düşüşü kontrol ederken, teori bölümden aralıkta faydalı olabilir.

Misal.

Yakınsama için pozitif üye ile sayısal bir satır keşfedin.

Karar.

Numaranın yakınsama için gerekli koşulu, çünkü . Bir işlevi düşünün. Aralıkta pozitif, sürekli ve azalan. Süreklilik ve bu fonksiyonun pozitifliği şüpheye neden olmaz, ancak azalan, daha fazla ayrıntı durduracağız. Bir türev bulun:
. Aralıkta negatiftir, bu nedenle fonksiyon bu aralıkta azalır.

DALAMBER RADİKALARININ YANGINLANMIŞTIRMASI CAUCHY CONVERSENCENCESİN BÜYÜKLÜĞÜ

Pratik örneklerde bulunan ortak karşılaştırma belirtilerinden biri, Dalamber'in bir işaretidir. Cauchy işaretleri daha az yaygındır, aynı zamanda çok popülerdir. Her zaman olduğu gibi, malzemeyi basit, erişilebilir ve anlaşılabilir hale getirmeye çalışacağım. Konu en zor değildir ve bir dereceye kadar tüm görevler şablondur.

Jean Lerone daember, 18. yüzyılın ünlü Fransız matematiğidir. Genel olarak, Da Dember diferansiyel denklemlerde uzmanlaşmış ve araştırmalarına dayanarak balistik olarak meşguldü, böylece Majesteleri anlatik çekirdekleri uçtu. Aynı zamanda, boşuna olmayan sayısal çubukları unutmadılar, daha sonra Sherngi Napolyon birlikleri çok açıkça birleşti ve kullanılmış.

İşareti formüle etmeden önce, önemli bir soruyu düşünün:
Dalamber'in yakınsaklığının bir işaretini ne zaman kullanmanız gerekir?

İlk önce, tekrarı ile başlayalım. En çok şasiyi uygulamanız gerektiğinde dava açar karşılaştırmanın Pazarlama İşareti. Karşılaştırmanın sınırlayıcı işareti, Serinin Toplam Üyesi'nde uygulanır:
1) payda bir polinom var.
2) Polinomlar, numeratörde ve payda.
3) Bir veya iki polinomu kökün altında olabilir.

DALAMBER özelliğinin kullanımı için ana ön koşullar aşağıdaki gibidir:

1) Serinin genel üyesinde (bir sayının "doldurulması", örneğin ve benzeri bir dereceye kadar bir sayı içerir. Dahası, bu şeyin bulunduğu yer, bir rakamda veya payda var - orada bulunmasının önemli olması önemlidir.

2) Serinin genel üyesi faktör içerir. Faktörlerle kılıçları hala derste geçtik. Sayı sırası ve limiti. Bununla birlikte, dokunmatik masa örtüsünü yaymak için tekrar önlemeyecektir:





…


…

! Dalamber'in bir işareti kullanırken, sadece faktörü detaylı olarak boyamak zorundayız. Önceki paragrafta olduğu gibi, faktör, fraksiyonun üstünde veya altına yerleştirilebilir.

3) Serinin toplam üyelerinde, örneğin bir "çarpan zinciri" varsa, örneğin, Bu dava nadirdir, ancak! Böyle bir dizi çalışmasında, genellikle bir hata yapar - Örnek 6'ya bakınız.

Bir sayının doldurulmasındaki derece veya (ve) faktörleri ile birlikte sıklıkla polinomlarla tanışır, bir şeyleri değiştirmez - Dalamber'in bir işareti kullanmanız gerekir.

Ayrıca, bir sayının toplam üyesinde, bir derece ve faktör aynı anda buluşabilir; iki faktörle tanışabilir, iki derece, orada olmak önemlidir. en azından bir şey Şekiller olarak kabul edilir - ve bu, Dalamber'in bir işareti kullanımı için sadece bir önkoşuldur.

Dalamber: Düşünmek olumlu sayısal serisi . Bir sonraki kişiye müteakip üyenin bir sınırı varsa: o zaman:
a) bir numara ile yakınlaşmak. Özellikle, seri birleşir.
b) bir sayı ile sapmak. Özellikle, satırda ayrılır.
c) için İşaret cevap vermiyor. Başka bir özelliği kullanmanız gerekir. En sık, birim, Dalamber'in işareti bir karşılaştırma işareti kullanmak için gerekli olduğu yerde uygulamaya çalıştığı durumlarda birim elde edilir.

Hala limitler veya yanlış anlama sınırları ile ilgili sorunları olan, bir ders danışın Sınırlar. Çözüm örnekleri. Belirsizliği daha da açıklayabilme, ne yazık ki, hareket etmemek.

Ve şimdi uzun zamandır beklenen örnekler.

Örnek 1.

Bir numaranın genel üyesinde olduğumuzu görüyoruz ve bu, Dalamber'in bir işareti kullanmanız gereken sadık bir önkoşuldur. İlk olarak, tam çözüm ve örnek tasarım, aşağıdaki yorumlar.

Dalamber'in bir işareti kullanıyoruz:

yakınlar.

(1) Serinin bir sonraki üyesinin bir öncekine oranını derleyin:. Koşultan, dizinin genel üyesinin olduğunu görüyoruz. İhtiyacınız olan dizinin aşağıdaki üyesini almak için yedek yerine: .
(2) Dört katlı kesirlerden kurtulun. Belirli bir deney ile, bu adım atlanabilir.
(3) Numarada parantezleri ortaya çıkarır. Payda dördüncü derece alıyoruz.
(4) azaltılması. Sabit, limitin sınırını çıkardık. Parantezdeki sayısal, bu tür bileşenleri veriyoruz.
(5) Belirsizlik standart yöntemle ortadan kaldırılır - sayısının bölünmesi ve "TR" üzerindeki payda yüksek dereceye kadar.
(6) Rakamları paydaşlara böleriz ve sıfıra arayan terimleri gösteririz.
(7) Cevabı basitleştirir ve, DALABBER'in temelinde, çalışma altındaki serinin birleştiği sonucuna dikkat edin.

Dikkate alınan örnekte, dizinin toplam üyesinde, bir polinom 2. derece ile tanıştık. Ya bir polinom 3, 4. veya daha yüksekse? Gerçek şu ki, eğer çok yüksek bir derece verilirse, parantezlerin açıklanmasıyla ilgili zorluklar ortaya çıkacaktır. Bu durumda, bir "turbo" çözümü kullanılabilir.

Örnek 2.

Benzer bir aralıktan alın ve yakınsama için keşfedin.

İlk önce tam bir çözüm, o zaman yorumlar:

Dalamber'in bir işareti kullanıyoruz:

Böylece, çalışma altındaki seri yakınlaşmak.

(1) Bir ilişki kurmak.
(2) Dört katlı kesirlerden kurtulun.
(3) Paylaşatördeki ifadeyi ve payda ifadedeki ifadeyi göz önünde bulundurun. Numarator'da parantez parçalarını ifşa etmeniz ve dördüncü derecede dikmeniz gerektiğini görüyoruz: Ne yapmak istemiyorum. Buna ek olarak, Binom Newton'a aşina olmayanlar için, bu görev pratik olmayabilir. En büyük dereceleri analiz edelim: üst kısımdaki parantezleri ortaya çıkarırsak, en eski dereceyi alacağız. Alt kısımda aynı üst düzey dereceye sahibiz :. Önceki örneğe göre analoji ile, sayısının derinlik bölünmesi ve limitimizdeki payda, bir birim alacağı açıktır. Veya matematik olarak, polinomlar ve - bir büyüme sırası. Böylece, basit bir kalemle ilişkiyi daire içine almak oldukça mümkündür ve hemen bu şeyin bir birim için çaba gösterdiğini gösterir. Benzer şekilde, ikinci polinom çifti ile boyadık: ve onlar da bir büyüme sırasıve onların tutumları bir birim arar.

Aslında, böyle bir "Halica" Örnek No. 1'de kontrol edilebilir, ancak bir polinom 2. derece için, böyle bir çözüm hala bir şekilde gerçekleşmez. Şahsen bunu yapıyorum: birinci veya ikinci dereceden bir polinom (veya polinom) varsa, "uzun" bir örneği çözme yöntemini kullanıyorum. "Örnek 2'ye göre model.

Örnek 3.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Ders Sayısal Dizilerin Sonunda Komple Çözüm ve Örnek Tasarım.
(4) azaltılabilecek her şeyi yeniden kuşur.
(5) Sabit Sınırı sınırını çıkardık. Numaroda parantezleri ortaya çıkarır.
(6) Belirsizlik Standart yöntemi ortadan kaldırır - sayısının bölünmesi ve "TR" üzerindeki payda yüksek dereceye kadar.

Örnek 5.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım

Örnek 6.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Bazen, doldurmalarında, çarpanların "zinciri" içerdiği satırlar vardır, bu tür seriler henüz düşünülmedi. Çarpanların "zinciri" ile bir satır nasıl keşfedilir? Dalamber'in bir işareti kullanın. Ancak ilk önce, satır detayının çöküşüyle \u200b\u200bneler olduğunu anlamak için:

Ayrıştırmadaki her bir sonraki kişinin her bir sonraki üyesinin, bir dizinin ortak bir üyesi, daha sonra serisinin bir sonraki üyesi varsa, payda ek bir faktör eklediğini görüyoruz.
. Burada genellikle algoritma kaydıyla resmen bir hata yapar.

Örnek bir örnek çözümü şöyle görünebilir:

Dalamber'in bir işareti kullanıyoruz:

Böylece, çalışma altındaki seri yakınlar.

Bu konuyla çalışmaya başlamadan önce, sayısal satırlar için terminoloji ile bir bölümü görüntülemenizi tavsiye ederim. Özellikle serilerin ortak bir üyesi kavramına dikkat etmeye değerdir. Bir yakınsama işaretini seçme konusunda şüpheleriniz varsa, "Sayısal satırların bir yakınsamasını seçmek" konusuna bakmanızı tavsiye ederim.

D "Alamber (veya Dalamber'in bir işareti) işareti, genel üyenin sıfırdan kesinlikle daha büyük olan Seri'nin yakınsamasını incelemek için kullanılır, yani $ U_N\u003e 0 $ Bu tür satırlar denir kesinlikle olumlu. Standart örneklerde, Sınır formunda Alamber özelliği kullanılır.

D "Alamber (limit formunda)

$ \\ Sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) U_N $ kesinlikle pozitif ve $$ \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (U_ (n + 1)) (u_n) \u003d l, $ $ sonra $ l ile<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (ve $ l \u003d \\ infty $) bir sıra birbirinden ayrılır.

İfadeler oldukça basittir, ancak bir sonraki soru açık kalır: $ l \u003d 1 $ olursa ne olacak? Bu sorunun cevabı bir işaret veremiyor. $ L \u003d 1 $ ise, bir satırın hem birleşmesi hem de dağılmasını sağlayabilir.

En sık standart örneklerde, Serinin ortak bir üyesinin ifadesinde $ n $ 'dan bir polinom varsa, Alamber özelliği uygulanır (polinom root altında olabilir) ve Tip $ a ^ n $ veya $ n! $. Örneğin, $ U_N \u003d \\ Frac (5 ^ n \\ CDOT (3N + 7)) (2N ^ 3-1) $ (bkz. Örnek No. 1) veya $ U_N \u003d \\ Frac (\\ SQRT (4N) + 5)) ((3N-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

"N!" İfadesini belirtir. Gösteri \\ gizlemek

"N!" Kayıt ("EN Fakfor" okuyun), tüm doğal sayıların ürününü 1'den N'ye, yani

$$ N! \u003d 1 \\ CDOT2 \\ CDOT 3 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT N $$

Tanım olarak, 0 $! \u003d 1! \u003d 1 dolar olduğu varsayılmaktadır. Örneğin, 5'i bulun!:

$$ 5! \u003d 1 \\ CDOT 2 \\ CDOT 3 \\ CDOT 4 \\ CDOT 5 \u003d 120. $$.

Ek olarak, D "Alamber'in belirtisi, genel üyenin bu tür bir yapının bir ürününü içeren bir seri yakınsamasını belirlemek için kullanılır: $ U_N \u003d \\ FRAC (3 \\ CDOT 5 \\ CDOT 7 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (2N + 1)) (2 \\ CDOT 5 \\ CDOT 8 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (3N-1)) $.

Örnek №1

Bir sayı $ \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (5 ^ n \\ CDOT (3N + 7)) (5 \u200b\u200b^ n \\ CDOT (3N + 7)) (2n ^ 3-1) $ 'ı keşfedin.

Aşağı toplama sınırı 1 olduğundan, satırın toplam üyesi, miktarın toplamı altında kaydedilir: $ U_N \u003d \\ Frac (5 ^ n \\ CDOT (3N + 7)) (2N ^ 3-1) $. $ N≥ 1 $ ile 3n + 7\u003e 0 $, 5 ^ n\u003e 0 $ ve 2n ^ 3-1\u003e 0 $, sonra $ U_N\u003e 0 $ var. Sonuç olarak, satırımız kesinlikle olumlu.

$$ 5 \\ CDOT \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac ((3n + 10) \\ sol (2n ^ 3-1 \\ sağ)) (\\ sol (2 (n + 1) ^ 3-1 \\ sağ ) (3n + 7)) \u003d \\ Sol | \\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ sağ | \u003d 5 \\ CDOT \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ frac (((3n + 10) \\ Sol (2n ^ 3-1 \\ sağ)) (n ^ 4)) (\\ Frac (\\ sol (2 (n + 1) ^ 3-1 \\ sağ) (3N + 7)) (n ^ 4)) \u003d 5 \\ CDOT \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ frac (3n + 10) (n) \\ cdot \\ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3)) (\\ frac (\\ sol (2 ( N + 1) ^ 3-1 \\ sağ)) (n ^ 3) \\ CDOT \\ Frac (3N + 7) (n)) \u003d \\\\ \u003d 5 \\ CDOT \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ Sol (\\ frac (3n) (n) + \\ frac (10) (n) \\ sağ) \\ CDOT \\ sol (\\ Frac (2n ^ 3) (n ^ 3) - \\ frac (1) (n ^ 3) \\ Sağda)) (\\ sola (2 \\ sol (\\ frac (n) (n) + \\ frac (1) (n) \\ sağ) ^ 3- \\ Frac (1) (n ^ 3) \\ sağ) \\ CDOT \\ sol (\\ frac (3n) (n) + \\ frac (7) (n) \\ sağ)) \u003d 5 \\ CDOT \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ sol (3+ \\ frac (10) (n) \\ sağ) \\ CDOT \\ Sol (2- \\ Frac (1) (n ^ 3) \\ sağ)) (\\ sol (2 \\ sol (1+ \\ frac (1) (n) \\ sağ) ^ 3 - \\ frac (1) (n ^ 3) \\ sağ) \\ CDOT \\ Sol (3+ \\ frac (7) (n) \\ sağ)) \u003d 5 \\ CDOT \\ Frac (3 \\ CDOT 2) (2 \\ CDOT 3) ) \u003d 5. $$.

$ \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (U_ (n + 1)) (U_N) \u003d 5\u003e 1, 1 $, daha sonra belirtilen satıra göre ayrılır.

Dürüst olmak gerekirse, D "Alamber'in bir işareti bu durumdaki tek seçenek değildir. Örneğin, bir Cauchy'nin radikal bir işareti kullanabilirsiniz. Ancak, bir Cauchy'nin radikal bir işareti kullanımı, ek formüllerin bilgi (veya kanıtları) gerektirecektir. . Bu nedenle, bir işaretin kullanımı d "bu durumdaki Alamber'in kullanımı daha uygundur.

Cevap: Bir satır birbirinden ayrılır.

Örnek 2.

Bir sayı $ \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (\\ sqrt (4n + 5)) keşfedin ((3N-2)$ на сходимость.!}

Aşağı toplama sınırı 1 olduğundan, satırın toplam üyesi, miktarın toplamı altında kaydedilir: $ U_N \u003d \\ Frac (\\ SQRT (4N + 5)) ((3N-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Satırın genel üyesi, kök altında bir polinom içerir, yani. $ \\ Sqrt (4n + 5) $ ve Faktoryali $ (3N-2)! $. Standart bir örnekte bir faktörün varlığı, D "Alamber'in uygulanmasının neredeyse% 100 garantisidir.

Bu özelliği uygulamak için $ \\ frac (U_ (n + 1)) (U_N) $ 'nın derecelendirme sınırını bulmalıyız. $ U_ (n + 1) $ kaydetmek için, bir Formula $ U_n \u003d \\ Frac (\\ sqrt (4N + 5)) ((3N-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ U_ (n + 1) \u003d \\ frac (\\ sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

$ (3N + 1)! \u003d (3N-2)! \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1) $, daha sonra $ U_ (N + 1) $ formülü kaydedilebilir çeşitli:

$$ U_ (n + 1) \u003d \\ frac (\\ sqrt (4n + 9)) ((3N + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Bu giriş, sınırın altındaki fraksiyonu kısaltmak zorunda kaldığımızda başka bir çözüm için uygundur. Faktörler olan eşitlik açıklamalar gerektiriyorsa, lütfen aşağıdaki notu ortaya koyun.

Nasıl eşitlik var (3N + 1)! \u003d (3N-2)! \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1) $? Gösteri \\ gizlemek

Kayıt $ (3N + 1)! $, Tüm doğal sayıların ürününün 1 ila 3NN + 1 $ 'lık ürün anlamına gelir. Şunlar. Bu ifade böyle yazılabilir:

$$ (3n + 1)! \u003d 1 \\ CDOT 2 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (3N + 1). $$.

Doğrudan 3NN + 1 $ sayısının önünde, birim daha küçük, yani bir numara var. Sayı 3N + 1-1 \u003d 3N $ 'dır. Ve 3n $ $ sayısından hemen önce 3NN-1 $ değerinde maliyet. Peki, 3NN-1 $ sayısından hemen önce 3N-1-1 \u003d 3N-2 $ 'lık numara var. Formülü $ (3N + 1) için yeniden yazıyoruz! $:

$$ (3n + 1)! \u003d 1 \\ CDOT2 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (3N-2) \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1) $$

$ 1 \\ CDOT2 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (3N-2) $ 'nın bir ürün nedir? Bu ürün $ (3N-2)! $. Sonuç olarak, $ (3N + 1) için ifade, bu formda yeniden yazabilir:

$$ (3n + 1)! \u003d (3N-2)! \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1) $$

Bu giriş, sınırın altındaki fraksiyonu kısaltmak zorunda kaldığımızda başka bir çözüm için uygundur.

$ \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (U_ (n + 1)) (U_N) $ değerini hesaplayın:

$$ \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (U_ (n + 1)) (U_n) \u003d \\ Lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ frac (\\ sqrt (4n + 9)) (( 3N-2)! \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1))) (\\ Frac (\\ SQRT (4N + 5)) ((3N-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

$ \\ LIM_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (u_ (n + 1)) (u_n) \u003d 0<1$, то согласно

Satırların yakınsama belirtileri.
Dalamber'in işareti. Cauchy belirtileri

İş, iş - ve anlayış daha sonra gelecek
J.L. Daember

Herkesi okul yılının başlangıcında tebrik ediyorum! Günümüzde, 1 Eylül'de ve öğrenmek için sabırsızlanıyoruz ve öğrenmek için sabırsızlanıyorsanız, tatil onuruna okuyucuları tanıtmaya karar verdim - sayısal pozitif satırların yakınsama işaretleri. Eylül ayının ilk ve tebriklerim her zaman alakalı, korkunç bir şey, eğer aslında, pencere dışındaki yaz, bu sayfaya gittiyseniz, şimdi üçüncü kez sınavı giderirsiniz!

Sadece rütbeleri incelemeye başlayanlar için, makaleyle tanışmayı öneririm. Çaydanlıklar için sayısal satırlar. Aslında, bu sepet ziyafetin devamıdır. Yani bugün derste, temalardaki örnekleri ve kararları düşüneceğiz:

Pratik örneklerde bulunan ortak karşılaştırma belirtilerinden biri, Dalamber'in bir işaretidir. Cauchy işaretleri daha az yaygındır, aynı zamanda çok popülerdir. Her zaman olduğu gibi, malzemeyi basit, erişilebilir ve anlaşılabilir hale getirmeye çalışacağım. Konu en zor değildir ve bir dereceye kadar tüm görevler şablondur.

Dalamber'in yakınsama işareti

Jean Lerone daember, 18. yüzyılın ünlü Fransız matematiğidir. Genel olarak, Da Dember diferansiyel denklemlerde uzmanlaşmış ve araştırmalarına dayanarak balistik olarak meşguldü, böylece Majesteleri anlatik çekirdekleri uçtu. Aynı zamanda, boşuna olmayan sayısal çubukları unutmadılar, daha sonra Sherngi Napolyon birlikleri çok açıkça birleşti ve kullanılmış.

İşareti formüle etmeden önce, önemli bir soruyu düşünün:
Dalamber'in yakınsaklığının bir işaretini ne zaman kullanmanız gerekir?

İlk önce, tekrarı ile başlayalım. En çok şasiyi uygulamanız gerektiğinde dava açar karşılaştırmanın Pazarlama İşareti. Karşılaştırmanın sınırlayıcı işareti, Serinin Toplam Üyesi'nde uygulanır:

1) payda bir polinom var.
2) Polinomlar, numeratörde ve payda.
3) Bir veya iki polinomu kökün altında olabilir.
4) Polinomlar ve kökler, elbette, belki daha fazla.

DALAMBER özelliğinin kullanımı için ana ön koşullar aşağıdaki gibidir:

1) Serinin genel üyesinde (bir numaranın "doldurma", örneğin, vb. Bir dereceye kadar bir sayı içerir. Dahası, bu şeyin bulunduğu yer, bir rakamda veya payda var - orada bulunmasının önemli olması önemlidir.

2) Serinin genel üyesi faktör içerir. Factoria ile, kılıçları, numara dizisi ve limitini bile geçtik. Bununla birlikte, dokunmatik masa örtüsünü yaymak için tekrar önlemeyecektir:





…


…

! Dalamber'in bir işareti kullanırken, sadece faktörü detaylı olarak boyamak zorundayız. Önceki paragrafta olduğu gibi, faktör, fraksiyonun üstünde veya altına yerleştirilebilir.

3) Serinin toplam üyesinde bir "çarpma zinciri" varsa, örneğin, . Bu dava nadirdir, ancak! Böyle bir dizi çalışmasında, genellikle bir hata yapar - Örnek 6'ya bakınız.

Bir sayının doldurulmasındaki derece veya (ve) faktörleri ile birlikte sıklıkla polinomlarla tanışır, bir şeyleri değiştirmez - Dalamber'in bir işareti kullanmanız gerekir.

Ayrıca, bir sayının toplam üyesinde, bir derece ve faktör aynı anda buluşabilir; iki faktörle tanışabilir, iki derece, orada olmak önemlidir. en azından bir şey Görülen eşyalardan - ve bu, Dalamber'in işaretinin kullanımı için sadece bir önkoşuldur.

Dalamber: Düşünmek olumlu sayısal serisi . Bir sonraki kişiye müteakip üyenin bir sınırı varsa: o zaman:
a) bir numara ile yakınlaşmak
b) bir sayı ile sapmak
c) için İşaret cevap vermiyor. Başka bir özelliği kullanmanız gerekir. En sık, birim, Dalamber'in işareti bir karşılaştırma işareti kullanmak için gerekli olduğu yerde uygulamaya çalıştığı durumlarda birim elde edilir.

Hala limitler veya yanlış anlama sınırları ile ilgili sorunları olan, bir ders danışın Sınırlar. Çözüm örnekleri. Belirsizliği daha da açıklayabilme, ne yazık ki, hareket etmemek.

Ve şimdi uzun zamandır beklenen örnekler.

Örnek 1.

Bir numaranın genel üyesinde olduğumuzu görüyoruz ve bu, Dalamber'in bir işareti kullanmanız gereken sadık bir önkoşuldur. İlk olarak, tam çözüm ve örnek tasarım, aşağıdaki yorumlar.

Dalamber'in bir işareti kullanıyoruz:


yakınlar.
(1) Serinin bir sonraki üyesinin bir öncekine oranını derleyin:. Koşultan, dizinin genel üyesinin olduğunu görüyoruz. İhtiyacınız olan dizinin bir sonraki üyesini almak için Yedek yerine: .
(2) Dört katlı kesirlerden kurtulun. Belirli bir deney ile, bu adım atlanabilir.
(3) Numarada parantezleri ortaya çıkarır. Payda dördüncü derece alıyoruz.
(4) azaltılması. Sabit, limitin sınırını çıkardık. Parantezdeki sayısal, bu tür bileşenleri veriyoruz.
(5) Belirsizlik standart yöntemle ortadan kaldırılır - sayısının bölünmesi ve "TR" üzerindeki payda yüksek dereceye kadar.
(6) Rakamları paydaşlara böleriz ve sıfıra arayan terimleri gösteririz.
(7) Cevabı basitleştirir ve, DALABBER'in temelinde, çalışma altındaki serinin birleştiği sonucuna dikkat edin.

Dikkate alınan örnekte, bir sayının toplam üyesinde, bir polinom 2. derece ile tanıştık. Ya bir polinom 3, 4. veya daha yüksekse? Gerçek şu ki, eğer çok yüksek bir derece verilirse, parantezlerin açıklanmasıyla ilgili zorluklar ortaya çıkacaktır. Bu durumda, bir "turbo" çözümü kullanılabilir.

Örnek 2.

Benzer bir aralıktan alın ve yakınsama için keşfedin.

İlk önce tam bir çözüm, o zaman yorumlar:

Dalamber'in bir işareti kullanıyoruz:


Böylece, çalışma altındaki seri yakınlaşmak.

(1) Bir ilişki kurmak.

(3) ifadeyi düşünün Payda sayısal ve ifadede. Numarator'da parantez parçalarını ifşa etmeniz ve dördüncü derecede dikmeniz gerektiğini görüyoruz: Ne yapmak istemiyorum. Ve Binom Newton'a aşina olmayanlar için, bu görev daha da zor olacak. Daha eski dereceleri analiz edelim: eğer üst kısımdaki paraları ortaya çıkarırsak , Daha büyük dereceyi alıyorum. Alt kısımda aynı üst düzey dereceye sahibiz :. Önceki örneğe göre analoji ile, sayısının derinlik bölünmesi ve limitimizdeki payda, bir birim alacağı açıktır. Veya, matematik olarak söylüyor, polinomlar ve - bir büyüme sırası. Böylece, dolaşımı oldukça mümkün Basit kalem ve hemen bu şeyin bir birim için çaba gösterdiğini gösterir. Benzer şekilde, ikinci polinom çifti ile boyadık: ve onlar da bir büyüme sırasıve onların tutumları bir birim arar.

Aslında, böyle bir "HackTur" Örnek 1'de kontrol edilebilir, ancak 2. derecenin polinomu için, böyle bir çözüm hala bir şekilde çözülmemiş görünüyor. Şahsen, bunu yapıyorum: birinci veya ikinci derecenin bir polinomu (veya polinomu) varsa, "uzun" örneğini çözme yöntemini kullanıyorum 1. 3. ve daha yüksek derecelerin polinomu ise, " Turbo "Örnek 2 örneğine göre yöntem.

Örnek 3.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Faktörlerle tipik örnekleri düşünün:

Örnek 4.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Serilerin genel üyesi bir derece ve faktör içerir. Dalamber'in bir işareti kullanmanın nasıl gerekli olduğu gün açıktır. Karar veriyoruz.

Böylece, çalışma altındaki seri sapmak.
(1) Bir ilişki kurmak. Tekrar tekrarlıyoruz. Koşullu, Serinin Genel Üyesi: . Aşağıdaki satırın üyesini almak için bunun yerine senin yerine ihtiyacın var, Böylece: .
(2) Dört katlı kesirlerden kurtulun.
(3) Yedi tuşuna basın. Faktörler ayrıntılı olarak tanımlamak. Nasıl yapılır - Dersin başlangıcını veya sayısal diziler hakkındaki makalenin başlangıcını görün.
(4) azaltılabilecek her şeyi yeniden kuşur.
(5) Sabit Sınırı sınırını çıkardık. Numaroda parantezleri ortaya çıkarır.
(6) Belirsizlik Standart yöntemi ortadan kaldırır - sayısının bölünmesi ve "TR" üzerindeki payda yüksek dereceye kadar.

Örnek 5.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım

Örnek 6.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Bazen, doldurmalarında, çarpanların "zinciri" içerdiği satırlar vardır, bu tür seriler henüz düşünülmedi. Çarpanların "zinciri" ile bir satır nasıl keşfedilir? Dalamber'in bir işareti kullanın. Ancak ilk önce, satır detayının çöküşüyle \u200b\u200bneler olduğunu anlamak için:

Ayrıştırmadaki her bir sonraki kişinin her bir sonraki üyesinin, dizi genel üyesi varsa, dizinin her bir sonraki üyesinin ek bir çarpan eklediğini görüyoruz. , sonra dizinin bir sonraki üyesi:
. Burada genellikle algoritma kaydıyla resmen bir hata yapar.

Örnek bir örnek çözümü şöyle görünebilir:

Dalamber'in bir işareti kullanıyoruz:

Böylece, çalışma altındaki seri yakınlar.

Cauchy radikal işareti

Augusten Louis Cauchy daha da ünlü bir Fransız matematikçisidir. Cauchy'nin biyografisi, teknik bir uzmanlık öğrencisine söyleyebilirsiniz. En güzel boyalarda. Bu soyadın Eyfel Kulesi'nin birinci katında oyulması tesadüfen değil.

Pozitif sayısal satırlar için Cauchy'nin yakınsama işareti, az önce Dalamber'in dikkate alındığında benzer bir şeydir.

Cauchy radikal işareti:Düşünmek olumlu sayısal serisi . Bir sınır varsa: o zaman:
a) bir numara ile yakınlaşmak. Özellikle, seri birleşir.
b) bir sayı ile sapmak. Özellikle, satırda ayrılır.
c) için İşaret cevap vermiyor. Başka bir özelliği kullanmanız gerekir. Cauchy işareti bize bir sayının yakınsama sorusuna bir cevap vermezse, Dalamber'in işareti de bir cevap vermeyeceğini not etmek ilginçtir. Ancak, Dalamber'in belirtisi bir cevap vermezse, Cauch'ın işareti iyi "iş" olabilir. Yani, Cauchy'nin belirtisi bu anlamda daha güçlü bir işarettir.

Kauchi radikal işaretini ne zaman kullanmalıyım? Cauchy'nin radikal işareti, genellikle "iyi" kökünün serilerin toplam üyesinden çıkarıldığı durumlarda kullanır. Kural olarak, bu biber derecede, hangi bağlıdır . Hala egzotik durumlar var, ancak kafa atmayacaklar.

Örnek 7.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Kesirin "TR" e bağlı olarak tamamen derece altında olduğunu görüyoruz ve bu nedenle, bir Cauchy'nin radikal bir işareti kullanmanız gerekir:


Böylece, çalışma altındaki seri sapmak.

(1) Biz bir dizi kökün ortak üyesi hazırlıyoruz.

(2) Aynı şeyi tekrar yazın, sadece bir kök olmadan, derecelerin özelliklerini kullanarak.
(3) Göstergede, payda sayısal, gösteren
(4) Sonuç olarak belirsizlik ortaya çıktık. Burada uzun bir yoldan gitmek mümkündü: bir küp halinde inşa etmek, bir küp içine inşa etmek, ardından rakam ve paydayı Küba'da "tr" üzerine bölün. Ancak bu durumda daha verimli bir çözümdür: Bu alım doğrudan sabit derecesi altında kullanılabilir. Belirsizliği ortadan kaldırmak için sayısal ve paydayı bölün (daha büyük polinomlar).

(5) Toprak bölümünü yürütüyoruz ve sıfıra arayan terimleri belirtiyoruz.
(6) Aklıma cevabı getiriyorum, bir satırın birbirinden ayrıldığını sandık.

Ancak bağımsız bir çözüm için daha basit bir örnek:

Örnek 8.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Ve birkaç tipik örnek.

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım

Örnek 9.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin
Kauchi radikal işaretini kullanıyoruz:


Böylece, çalışma altındaki seri yakınlaşmak.

(1) Biz genel bir üst üste koyuyoruz.

(2) Aynı şeyi yeniden yazın, ancak zaten bir kök olmadan, kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak braketleri açığa çıkarırken: .
(3) Göstergede, payderindeki numseratör yenilenmiştir ve bunu gösterir.
(4) Türlerin belirsizliği elde edilir ve burada da doğrudan Derecesi altında bölünme yapabilirsiniz. Ancak bir durumla: Kıdemli derecede polinomlar için katsayılar farklı olmalıdır. Biz farklı (5 ve 6) var ve bu nedenle her iki katı da bölmek için mümkün (ve gerekli). Eğer bu katsayılar varsa aynısı, örneğin (1 ve 1):, böylece böyle bir odak geçmez ve kullanmanız gerekir İkinci harika limit. Eğer hatırlarsanız, bu incelikler makalenin son paragrafında değerlendirildi. Sınırları Çözme Yöntemleri.

(5) Aslında toprak bölünmesini gerçekleştirin ve hangi terimleri sıfıra koyduğumuzu gösterir.
(6) Belirsizlik ortadan kaldırıldı, en basit sınıra sahibiz :. Neden içinde sonsuz büyük derece sıfıra mı giriyor? Çünkü derecenin temeli eşitsizliği tatmin eder. Herhangi biri limitin adaleti hakkında şüpheleri varsa , Ben tembel değilim, ellerimde bir hesap makinesi alacağım:
Eğer o zaman
Eğer o zaman
Eğer o zaman
Eğer o zaman
Eğer o zaman
… vb. Sonsuzluğa - yani sınırda:

Kötülük sonsuz Geometrik İlerlemeyi Düşen parmaklarda \u003d)
! Bu tekniği asla kanıt olarak kullanmayın! Çünkü bir şey açıksa, doğru olduğu anlamına gelmez.

(7) Serinin birleştiğini sonlandırdığımızı belirtiyoruz.

Örnek 10.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir.

Bazen provokatif bir örnek çözmek için önerilmektedir, örneğin: Burada bir göstergede hayır "en", sadece sabit. Burada kareye bir rakam ve paydayı oluşturmanız gerekir (polinomlar elde edilir) ve daha sonra makalenin algoritmasına yapışır. Çaydanlıklar için satırlar. Böyle bir örnekte, bir sayının yakınsamasının veya bir karşılaştırmanın sınırlandırılmasının gerekli işareti yapılmalıdır.

İntegral işareti cauchy

Veya sadece bir ayrılmaz işaret. İlk kurs materyalini kötü öğrenenler hayal kırıklığı yaratıyor. Cauchy'nin ayrılmaz özelliğini uygulamak için, türevleri, integralleri, hem de hesaplama becerisine sahip olmanın daha az ya da daha az güvenle bulabilmek için gereklidir. uyumsuz ayrılmaz İlk tür.

Matematiksel analiz üzerine ders kitaplarında integral işareti cauchy Dan matematiksel olarak kesinlikle, ama çok titrek, bu yüzden çok kesinlikle bir işaret formüle ederim, ama açık:

Düşünmek olumlu sayısal serisi . Değişmez bir integral varsa, bir seri bu integral ile birleşir veya ayrıştırır.

Ve hemen açıklama için örnekler:

Örnek 11.

Yakınsama üzerine bir satırı inceleyin

Neredeyse klasik. Doğal logaritma ve bir çeşit bjaka.

Cauchy'nin ayrılmaz bir şekilde kullanıldığı için ana ön şart Bir sayının toplam üyesinin, bazı fonksiyonlara ve türevlerine benzer çarpanları içermesidir. Konudan