Сума 100 натуральних чисел дорівнює 5130. Наведемо інше рішення пункту в)

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класу, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) і завдання 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтися ні стобалльніку, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки і секрети ЄДІ. Розібрані всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПІ. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тим, за 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання і теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми вирішення задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня і логарифми, функція і похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

На дошці написано 100 різних натуральних чисел з сумою 5120.

а) Чи може бути записано число 230?

б) Чи можна обійтися без числа 14?

в) Яку найменшу кількість чисел, кратних 14, може бути на дошці?

Рішення.

а) Нехай на дошці написано число 230 і 99 інших різних натуральних чисел. Мінімально можлива сума чисел на дошці досягається за умови, що сума 99 різних натуральних чисел мінімальна. А це, в свою чергу, можливо, якщо 99 різних натуральних числа - арифметична прогресія з першим членом і різницею Сума цих чисел, за формулою суми арифметичної прогресії, Складе:

Сума всіх чисел на дошці S буде дорівнює:

Неважко помітити, що отримана сума більше, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких є 230, більше 5120, отже, числа 230 на дошці бути не може.

б) Нехай дошка буде записано число 14. У такому випадку, мінімально можлива сума S чисел на дошці буде складатися з двох сум арифметичних прогресій: суми перших 13 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 1,2,3, .. 13) і суми перших 87 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 15,16,17, .. 101). Знайдемо цю суму:

Неважко помітити, що отримана сума більше, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких немає 14, більше 5120, отже, без числа 14 на дошці обійтися не можна.

в) Припустимо, що на дошці виписані всі числа від 1 до 100. Тоді виходить, що отриманий ряд становить арифметичну прогресію з першим членом, різницею За формулою для суми арифметичної прогресії знайдемо суму всіх чисел на дошці:

Отримана сума не задовольняє умові завдання. Тепер, щоб збільшити суму всіх чисел, написаних на дошці до позначеної в умови, спробуємо замінити числа, кратні 14 на інші числа, які йдуть за сотнею: 70 замінимо на 110, 84 - на 104, а 98 - на 108. Отримана сума S буде дорівнює:

При подальшій заміні чисел, кратних 14 на числа, великі 100, сума буде збільшуватися і не відповідати умові завдання. Таким чином, найменша кількість чисел, кратних 14 дорівнює 4.

Наведемо інше рішення пункту в).

Наведемо приклад, коли на дошці написано чотири числа, кратних 14 (14, 28, 42, 56):

1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.

Доведемо, що не може бути трьох чисел, кратних 14. Щоб прибрати максимальну кількість чисел, кратних 14, необхідно, щоб різниці між новими і старими числами були мінімальними. Тобто замінювати треба найбільші числа, Кратні 14, на найменші можливі, більші ста числа. Нехай кількість чисел, кратних 14, дорівнює 3. Тоді мінімальна сума записаних на дошці чисел дорівнює:

Отримана сума більше, ніж 5120. При подальшій заміні чисел, кратних 14, на числа, великі 100, сума буде збільшуватися, отже, на дошці не може бути менше чотирьох чисел, кратних 14.

А) Ні б) Ні в) 4.