Презентація систематизація арифметична прогресія і геометрична. Презентація - арифметична і геометрична прогресії

слайд 22

1. Рішення: b2 \u003d 3q, b3 \u003d 3q2, q \u003d -5; -4; -3; -2; -1 3; -15; 75 3; -12; 48; ... 3; -9; 27; ... 3; -6; 12; ... 3; -3; 3; ... Відповідь:

слайд 23

2. Три числа утворюють арифметичну прогресію. Якщо до першого числа додати 8, вийде геометрична прогресія з сумою членів 26. Знайдіть ці числа. Рішення: Відповідь: -6; 6; 18 або 10; 6; 2

слайд 24

3. Рівняння має коріння, а рівняння - коріння. Визначте k і m, якщо числа - послідовні члени зростаючої геометричної прогресії. підказка Рішення: - геометрична прогресія Відповідь: k \u003d 2, m \u003d 32

слайд 25

Теорема Вієта: сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.

слайд 26

література

Подивитися всі слайди

конспект

МБОУ «Воронежская кадетська

школа ім. А.В. Суворова »

Семьянінова Е. Н.

Уміння вирішувати завдання - практичне мистецтво,

подібне плавання або катання на лижах, або

наслідуючи обраним зразкам і постійно тренуючись.

Знайдіть суму одинадцяти членів арифметичної прогресії, перший член якої дорівнює - 5, а шостий дорівнює - 3,5.

Відповідь: 77дм

Відповідь: 18 тонн

Відповідь: 4 секунди

равлик

метрам. (Слайд 12)

Відповідь: 30 днів

Відповідь 1900

Інший приклад.

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Неважко здогадатися:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

V. Кросснамбер. (Слайд 19-20)

Робота в групах.

По горизонталі:

;

127; -119; …;

По вертикалі:

Дана геометрична прогресія 3; b2; b3; ..., знаменник якої - ціле число. Знайдіть цю прогресію, якщо

12q2 + 72q +35 \u003d 0

Значить, q \u003d -5; -4; -3; -2; -1

Відповідь: -6; 6; 18 або 10; 6; 2

k і m

По теоремі Вієта

Шукані числа: 1; 2; 4; 8.

відповідь: k \u003d2, m \u003d32

VII. Домашнє завдання.

Вирішіть завдання.

література:

Алгебра 9 клас. Завдання дл навчання і розвитку учнів / сост. Бєлєнкова Є.Ю. «Інтелект - Центр». 2005.

Бібліотека журналу «Математика в школі». Випуск 23.Математіка в ребусах, кросвордах, чайнворд, криптограми. Худадатова С.С. Москва. 2003.

Математика. Додаток до газети «Перше вересня». 2000. №46.

різнорівневі дидактичні матеріали з алгебри для 9 класу / уклад. Тобто Бондаренко. Воронеж. 2001.

МБОУ «Воронежская кадетська

школа ім. А.В. Суворова »

Семьянінова Е. Н.

Тема «Арифметична та геометрична прогресії».

1) узагальнити інформацію по прогресу; удосконалювати навички знаходження n-го члена і суми n перших членів даних прогресій за допомогою формул; рішення задач, в яких використовуються обидві послідовності;

2) продовжити формування практичних навичок;

3) розвивати пізнавальний інтерес учнів, вчити їх бачити зв'язок між математикою і навколишнім життям.

Уміння вирішувати завдання - практичне мистецтво,

подібне плавання або катання на лижах, або

грі на фортепіано; навчитися цьому можна лише,

наслідуючи обраним зразкам і постійно тренуючись.

I. організаційний момент. Пояснення цілей уроку. (Слайд 2)

II. Розминка. У світі цікавого. (Слайд 3-6)

Французьке слово «десерт» означає солодкі страви, що подаються в кінці обіду. Назви деяких десертів, тістечок і морозива, також мають французьке походження. Наприклад, морозиво «пломбір» отримало свою назву від французького міста Пломб'єр. Де воно вперше було виготовлено за особливою рецептурою.

Використовуючи знайдений відповідь і дані таблиці, дізнайтеся, як перекладається французьке слово «безе» (легке тістечко зі збитих яєчних білків і цукру)?

Знайдіть суму одинадцяти членів арифметичної прогресії, перший член якої дорівнює - 5, а шостий дорівнює - 3,5.

Французьке слово «безе» в перекладі означає поцілунок. Друге із запропонованих слів - «блискавка», є перекладом французького слова «еклер» (тістечко з заварного тіста з кремом усередині).

III. Прогресії в житті і побуті. (Слайд 7)

Завдання на прогресію - це не абстрактні формули. Вони беруться з самої нашому житті, пов'язані з нею і допомагають вирішувати деякі практичні питання.

Вертикальні стержні ферми мають наступну довжину: найменший 5 дм, а кожен наступний - на 2 дм довший. Знайдіть довжину семи таких стрижнів. (Слайд 8)

Відповідь: 77дм

У сприятливих умовах бактерія розмножується так, що за 1 секунду ділиться на три. Скільки бактерій буде в пробірці через 5 секунд? (Слайд 9)

Вантажівка перевозить партію щебеню масою 210 тонн, щодня збільшуючи норму перевезення на одне і те ж число тонн. Відомо, що за перший день було перевезено 2 тонни щебеню. Визначте, скільки тонн щебеню було перевезено на дев'ятий день, якщо вся робота була виконана за 14 днів. (Слайд 10)

Відповідь: 18 тонн

Тіло падає з вежі, висотою 6 м. У першу секунду проходить 2м, за кожну наступну секунду - на 3 м більше, ніж за попередню. Скільки секунд пройде тіло до землі? (Слайд 11)

Відповідь: 4 секунди

Уліткаползет від одного дерева до іншого. Кожен день вона проповзає на одне і те ж відстань більше, ніж в попередній день. Відомо, що за перший і останній дні равлик проповзла в цілому 10 метрів. Визначте, скільки днів равлик витратила на весь шлях, якщо відстань між деревами дорівнює 150

метрам. (Слайд 12)

Відповідь: 30 днів

З пункту А виїхав вантажний автомобіль зі швидкістю 40 км / ч. Одночасно з пункту В назустріч йому відправився другий автомобіль, який в першу годину пройшов 20 км, а кожен наступний проходив на 5 км більше, ніж в попередній. Через скільки годин вони зустрінуться, якщо відстань від А до В одно 125 км? (Слайд 13) Відповідь 2 години

Амфітеатр складається з 10 рядів, причому в кожному наступному ряду на 20 місць більше, ніж в попередньому, а в останньому ряду 280 місць. Скільки людей вміщує амфітеатр? (Слайд 14)

Відповідь 1900

IV.Немного історії. (Слайд 15-16)

Завдання на геометричні та арифметичні прогресії зустрічаються у вавилонян, в єгипетському папірусі, в древнекитайском трактаті «Математика в 9 книгах». На зв'язок між прогресіями першим, мабуть, звернув увагу Архімед. У 1544 р вийшла книга німецького математика М. Штіфеля «Загальна арифметика». Штіфель склав таку таблицю (Слайд 17):

У верхньому рядку - арифметична прогресія з різницею 1. У нижній - геометрична прогресія зі знаменником 2. Розташовані так, що нулю арифметичної прогресії відповідає одиниця геометричній прогресії. Це дуже важливий факт.

А тепер уявіть, що ми не вміємо множити і ділити. Необхідно помножити, наприклад, на 128. У таблиці над написано -3, а над 128 написано 7. Складемо ці числа. Вийшло 4. Під 4 читаємо 16. Це є шукане твір.

Інший приклад.

Розділимо 64 на. Вступаємо аналогічно:

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Нижню сходинку таблиці Штіфеля можна переписати так:

2-4; 2-3; 2-2; 2-1; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27.

Неважко здогадатися:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

Можна сказати, що якщо показники становлять арифметичну прогресію, то самі ступеня складають геометричну прогресію. (Слайд 18)

V. Кросснамбер. (Слайд 19-20)

Робота в групах.

Кросснамбер - один з видів числових ребусів. У перекладі з англійського слово «Кросснамбер» означає «кресточісліца». При складанні кросснамберов застосовується той же принцип, що і при складанні кросвордів: в кожну клітину вписується один знак, що «працює» на горизонталь і на вертикаль.

В кожну клітину кресточісліци вписується по одній цифрі (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). А щоб не було плутанини, номери завдань позначаються буквами. Числа, що підлягають відгадування, - тільки цілі позитивні; запис таких чисел не може починатися з нуля (тобто 42 не можна записувати як 042).

Деякі завдання з кросснамберов можуть здатися розпливчастими і допускають кілька (а іноді і дуже багато) відповідей. Але такий стиль кросснамберов. Якби вони завжди давали тільки однозначні відповіді, то це не було б грою.

По горизонталі:

а) кількість непарних чисел натурального ряду, починаючи з 13, сума яких дорівнює 3213;

в) сума п'яти перших членів геометричної прогресії, четвертий член якої дорівнює 3, а сьомий дорівнює ;

д) сума перших шести позитивних членів арифметичної прогресії

127; -119; …;

е) третій член геометричної прогресії (bn), у якій перший член дорівнює 5, а знаменник g дорівнює 10;

ж) сума -13 + (-9) + (-5) + ... + 63, якщо її складові - послідовні члени арифметичної прогресії.

По вертикалі:

А) сума всіх двозначних чисел, кратних дев'яти;

Б) подвоєний двадцять перше член арифметичної прогресії, у якої перший член дорівнює -5, а різниця дорівнює 3;

В) шостий член послідовності, яка задана формулою n-го члена

Г) різниця арифметичної прогресії, якщо.

VI. Рішення нестандартних завдань. (Слайд 21)

Дана геометрична прогресія 3; b2; b3; ..., знаменник якої - ціле число. Знайдіть цю прогресію, якщо

b2 \u003d 3q, b3 \u003d 3q2, тоді. Вирішимо нерівність.

12q2 + 72q +35 \u003d 0

Значить, q \u003d -5; -4; -3; -2; -1

Шукані послідовності: 3; -15; 75; ...

Три числа утворюють арифметичну прогресію. Якщо до першого числа додати 8, вийде геометрична прогресія з сумою членів 26. Знайдіть ці числа. (Слайд 23).

В, з - шукані числа. Складемо таблицю.

За умовою сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 26, тобто , В \u003d 6

Використовуємо властивість членів геометричної прогресії. Отримаємо рівняння:

Відповідь: -6; 6; 18 або 10; 6; 2

Рівняння має коріння, а рівняння - коріння. Визначте k і m, Якщо числа - послідовні члени зростаючої геометричної прогресії. (Слайд 24-25)

Так як числа утворюють геометричну прогресію, маємо:

По теоремі Вієта

Отримуємо, так як послідовність зростаюча.

Шукані числа: 1; 2; 4; 8.

відповідь: k \u003d2, m \u003d32

VII. Домашнє завдання.

Вирішіть завдання.

Знайдіть геометричну прогресію, якщо сума перших трьох членів її дорівнює 7, а їх добуток дорівнює 8.

Розділіть число 2912 на 6 частин так, щоб відношення кожної частини до наступної дорівнювало

В арифметичній прогресії становить і. Скільки потрібно взяти членів цієї прогресії, щоб їх сума дорівнювала 104?

література:

Алгебра 9 клас. Завдання дл навчання і розвитку учнів / сост. Бєлєнкова Є.Ю. «Інтелект - Центр». 2005.

Бібліотека журналу «Математика в школі». Випуск 23.Математіка в ребусах, кросвордах, чайнворд, криптограми. Худадатова С.С. Москва. 2003.

Математика. Додаток до газети «Перше вересня». 2000. №46.

Різнорівневі дидактичні матеріали з алгебри для 9 класу / уклад. Тобто Бондаренко. Воронеж. 2001.

Визначення арифметичної і геометричної прогресії. Формула n-го члена арифметичної і геометричної прогресії.

"Все пізнається в порівнянні"

Знайдіть закономірності

усна робота

Арифметична прогресія

1) 1, 3, 5, 7, 9, …

2) 5, 8, 11, 14, …

3) -1, -2, -3, -4, …

4) -2, -4, -6, -8, …

Геометрична прогресія

1) 1, 2, 4, 8, …

2) 5, 15, 45, 135, …

3) 1; 0,1; 0,001;0,0001;

4) 1, 2/3, 4/9, 8/27, …

d- різницю

q-знаменник

визначення

арифметичної Геометричною

прогресією

називається п оследовательность,

відмінних від нуля чисел

кожен член якої, починаючи з другого,

дорівнює попередньому члену,

складеному з одним

і тим же числом.

помноженому на одне

і те ж число.

визначення

• числова послідовність

а 1, а 2, а 3, ... а n, .. b 1, b 2, b 3, ... b n, ...

називається

арифметичної геометричній

якщо для всіх натуральних n

виконується рівність

a n + 1 \u003d a n + d b n + 1 \u003d b n * q

арифметична прогресія зростаюча

арифметична прогресія спадна

геометрична прогресія зростаюча

геометрична прогресія спадна

Формула n-го члена прогресії

• Нехай задані а 1 і d

a 3 \u003d a 2 + d \u003d a 1 + d + d \u003d а 1 + 2d

a 4 \u003d a 3 + d \u003d а 1 + 3d

…………………………… ..

a n \u003d a 1 + (N-1) d

• Нехай задані b 1 і q

b 3 \u003d b 2 * q \u003d b 1 * q * q \u003d b 1 * q 2

................................................... .. b n \u003d b 1 * q n-1

щоб задати

арифметичну геометричну

прогресію, досить вказати її

перший член і перший член і

різницю знаменник

Складіть геометричну прогресію:

• Щодня кожен вболіває грипом

може заразити чотирьох навколишніх.

1; 4; 16; 64;…

• Діма на перерві з'їв булочку. Під час їжі в
• кишечник потрапило 30 дизентерійних паличок. через
• кожні 20 хвилин відбувається розподіл бактерій (вони
• подвоюються).

30; 60; 120; 240;…

• Кожен курець викурює в середньому

8 сигарет на добу. Після викурювання однієї

сигарети в легких осідає 0,0002 грама

нікотину і тютюнового дьогтю. З кожною

подальшої сигаретою це кількість

збільшується в два рази.

0,0002; 0,0004; 0,0008;…

Робота в зошитах Завдання 1.

Дано: ( b n) - геометрична прогресія

b 1 = 5 q \u003d 3

знайти: b 3 ; b 5 .

Рішення: використовуючи формулу b n = b 1 q n-1

b 3 \u003d b 1 q 2 = 5 . 3 2 =5 . 9=45

b 5 \u003d b 1 q 4 = 5 . 3 4 =5 . 81=405

відповідь: 45; 405.

Рішення

Знайдіть

дев'ятнадцятий член

арифметичної

прогресії, якщо

а 1 = 30 і d \u003d - 2.

Знайдіть

вісімнадцятий член

арифметичної

прогресії, якщо

а 1 \u003d 7 і d \u003d 4 .

Рішення:

• скористаємося

формулою n -го члена:

a n = а 1 +( n -1) d .

отримаємо:

а 18 =7 +(18 -1)∙ 4=

=7+17∙4=7+68=75

відповідь: а 18 =75.

• скористаємося

формулою n -го члена:

a n = а 1 +( n -1) d .

отримаємо:

а 19 =30+(19-1)∙(- 2)=

= 30+18∙(-2)=30-36=-6

відповідь: а 19 = – 6.

Робота в зошитах Завдання 2.

Дано: ( b n) - геометрична прогресія

b 4 = 40 q \u003d 2

знайти: b 1 .

Рішення: використовуючи формулу b n = b 1 q n-1

b 4 \u003d b 1 q 3 ; b 1 = b 4 : q 3 =40:2 3 =40 : 8=5

відповідь: 5.

Рішення

Робота в зошитах Завдання 3.

Дано: ( b n) - геометрична прогресія

b 1 = -2, b 4 =-54.

Знайти: q .

Рішення: використовуючи формулу b n = b 1 q n-1

b 4 \u003d b 1 q 3 ; -54 \u003d (- 2) q 3 ; q 3 = -54:(-2)=27;

відповідь: 3.

Рішення

Математику повинні вчити в школі

ще з тією метою, щоб пізнання,

тут придбані були

достатніми для звичайних

потреб життя.

І.Л.Лобачевскій

Біологія

Кожне найпростіше одноклітинне тварина інфузорія туфелька розмножується поділом на 2 частини. Скільки інфузорій було спочатку, якщо після шестиразового поділу їх стало 320.

5 інфузорій

Легка промисловість

Зростання дріжджових клітин відбувається поділом кожної

клітини на дві частини. Скільки стало клітин після їх десятикратного поділу, якщо спочатку було

6144 клітки

фізика

Є радіоактивну речовину масою 256г, маса якого за добу зменшується вдвічі. Яка стане маса речовини на другу добу? На третю? На п'яту?

128; 64; 16

Екологія

Гідра розмножується брунькуванням, причому при кожному діленні виходить 5 нових особин. Яка кількість поділів необхідно для отримання 625 особин?

4 поділу

Підготовка до ДПА

не є ні геометричній, ні арифметичною прогресією.

Вкажіть її.

В 1; 4; 16; ...

Підготовка до ДПА

Задані три перших члена числових послідовностей. Відомо що

одна з цих послідовностей

не є геометричній

прогресією. Вкажіть її.

Б. -3; -9; -27; ...

У 3; 5; -7; ...

Г. -3; ; -1; ...

Підготовка до ДПА

• Послідовності (a n), (b n), (c n)

задані формулами n-го члена.

Поставте у відповідність кожній

послідовності вірне твердження.

ЗАТВЕРДЖЕННЯ

• послідовність -

арифметична прогресія

2) Послідовність -

геометрична прогресія

3) Послідовність НЕ

є ні арифметичної,

ні геометричною прогресією

• Придумайте або знайдіть завдання, що дозволяють використовувати геометричну прогресію; оформите їх рішення в зошит.

МАНГУСТ

Мангуст - пухнастий звірок, батьківщина якого - Індія.

Довжина тіла ~ 50-60см. Дає потомство 3 рази в рік, в посліді в середньому по 4 дитинчати.

1 пара \u003d 2 мангуста

через рік

4 дитинчати

4 дитинчати

4 дитинчати

• 1-й рік - 2 мангуста
• 2-й рік - 12 дитинчат

• 3-й рік - 72 дитинчати !!!

Скільки дитинчат мангустов з'явиться на 10-й рік?

в 10 \u003d 20 155 392 дитинчати

Арифметична і геометрична прогресія Яка тема об'єднує поняття:

1) Різниця 2) Сума n перших членів 3) Знаменник 4) Перший член

5) Середнє арифметичне

6) Середнє геометричне?

арифметична

і

геометрична

прогресії

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

прогресії арифметична Геометрична

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

Слово прогресія походить від латинського "Прогрес".

Отже, прогрес перекладається як "рух вперед".

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

Слово прогрес застосовується в інших областях наук, наприклад, в історії для характеристики процесу розвитку суспільства в цілому і окремої особистості. При наявності певних умов будь-який процес може протікати як в прямому, так і в зворотному напрямку. Зворотній напрямок називається регресом, дослівно - "рух назад".

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

ЛЕГЕНДА ПРО творців ШАХІВ

Перший раз на керуючу кнопку, другий раз на мудреця

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

Завдання з ЄДІ Юнак подарував дівчині в перший день 3 квітки, а в кожний наступний день дарував на 2 квітки більше, ніж в попередній день. Скільки грошей він витратив на квіти за два тижні, якщо одна квітка коштує 10 рублів?

224 квітки

224 * 10 \u003d 2240 руб.

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

http://uztest.ru

Виконати завдання А6 і А1

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

Зарядка для очей

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

21-24 бали оцінка «5»

17-20 балів -оцінка «4»

12-16 балів -оцінка «3»

0-11 балів - оцінка «2»

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

Демокріт

“ добрими люди стають більше від вправ, ніж від природи "

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

100 000 р. за 1 копійку

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

100 000 за 1 копійку

• Богач-мільйонер повернувся з відлучки надзвичайно радісний: у нього була в дорозі щаслива зустріч, що обіцяла великі вигоди.
• «Бувають же такі удачі, - розповідав він домашнім.- Зустрівся мені в дорозі незнайомець, з себе не видатний. І таке до кінця розмови запропонував вигідну справу, що у мене дух захопило.
• Зробимо, - каже, - з тобою такий договір. Я буду цілий місяць приносити тобі щодня по сотні тисяч рублів. Недарма, зрозуміло, але плата пустяшная. У перший день я повинен за домовленістю заплатити - смішно вимовити - все тільки одну копійку.
• Одну копійку? - перепитую.
• Одну копійку, - каже.- За другу сотню тисяч заплатиш 2 копійки.
• Ну, - не терпиться мені.- А далі?
• А далі: за третю сотню тисяч 4 копійки, за четверту 8, за п'яту - 16. І так цілий місяць, кожен день вдвічі більше проти попереднього.

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

отримав за

віддав

отримав за

віддав

21-ю сотню

22-ю сотню

10 485 р.76 коп.

20 971 р.52 коп.

23-у сотню

20 971 р.52 коп.

24-ю сотню

41 943 р. 04 коп.

25-ю сотню

167 772 р. 16 коп.

26-ю сотню

335 544 р. 32 коп.

27-ю сотню

128 коп. \u003d 1р.28 к.

671 088 р. 64 коп.

10-ю сотню

28-ю сотню

1 342 177 р. 28 коп.

29-ю сотню

30-ю сотню

2 684 354 р. 56 коп.

5 368 709 р. 12 коп.

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ

Богач віддав: S 30

дано: b 1 \u003d 1; q \u003d 2; n \u003d 30.

S 30 =?

Рішення

S n =

b 30 =1∙2 29 = 2 29

S 30 =2∙2 29 – 1= 2 ∙ 5 368 709 р.12 коп.-1коп. \u003d

= 10 737 418 р. 23 коп.

10 737 418 р. 23 коп. - 3 000 000 р. \u003d 7 737 418 р. 23 коп. - отримав незнайомець

відповідь : 10 737 418 р. 23 коп.

Устімкіна Л.І. Большеберезниковского ЗОШ