Будь-яке число помножити на 0. Уроки математики: множення на нуль – головне правило

МКОУ Сарибалицька ЗОШ

Вчитель початкових класів: Маковєєва Марина Валентинівна

Урок математики у 4 класі. (підручник для спеціальних (корекційних) освітніх установVIIIвиду, автор М. Н. Перова)

Тема: «Умноження числа нуль і нуль. Розподіл нуля».

Ціль: ознайомити з правилом множення числа 0 і 0, поділу 0; закріплювати знання таблиці множення, вміння вирішувати завдання вивчених видів; вчити міркувати та робити висновки.

Заплановані результати: учні навчаться виконувати множення 0 на число, число 0, ділити 0; користуватися таблицею множення та поділу; вирішувати завдання вивчених видів; оцінювати правильність виконання действий.

Обладнання: картки для гри "Листоноша"; таблиці з геометричними фігурами, роздатковий матеріал,персональний комп'ютер, медіа-проектор, підручник «Математика» М. Н. Перова(4 клас).

Тип уроку: Нова тема.

Вигляд уроку: урок-гра.

Хід уроку

I . Орг. момент:

Перевірка домашнього завдання.

II . Усний рахунок.

Вчитель: згадуємо табличне множення та поділ. Наразі ми пограємо у гру “Листони”. Світла, ти будеш листоношою. На дошці будиночки із номерами. Твоє завдання - взяти приклад-лист, правильно його вирішити і визначити, в який будинок нам потрібно віднести лист.

3х4 2х2 9х2 3х1 3х8 25:5

6х2 16:4 3х6 9:3 6х4 5:1

4:1 3:1

Вчитель: Вставте пропущений знак дії.

4…0=4 1…3=4 5…1=6

4…4=0 1…3=3 5…1=5

3…3=0 1…0=1 9…0=0

III . Знайомство з новим матеріалом

ПРО НУЛЬ

Даремно думають, що нуль

Грає невелику роль,

Колись багато хто вважав

Що нуль не означає нічого

І, як не дивно вважали

Що він зовсім не число.

Але про його особливі властивості

Ми поведемо тепер оповідання

Якщо нуль до числа ти додаєш

Чи забираєш від нього

У відповіді відразу отримуєш

Знову те саме число

Потрапивши як множник серед чисел

Він миттю зводить все нанівець

І тому у творі

Один за всіх відповідає

А щодо поділу

Нам твердо пам'ятати треба те,

Що вже давно у науковому світі

Ділити на нуль заборонено

І справді: яке з відомих

Число за приватне нам взяти

Коли з нулем у твір

Усі числа нуль лише можуть дати

Вчитель: Давай перевіримо, чи всі у вірші правильно

7+0=7 7-0=7 7·0=0 7:0

Вчитель: застосуємо переміщувальну властивість множення та замінимо множення додаванням: 7·0=0·7=0+0+0+0+0+0+0=0

Що вийшло?

Вчитель: ми знаємо, що розподіл перевіряється множенням: тоді приватне помножимо на 0 - має вийти 7, але це неможливо! Яке число ми не множили б на 0, завжди у творі буде 0.

IV . Фізхвилинка

V . Закріплення вивченого матеріалу

1.Рішення задачі (с.143 № 7)

Вчитель: про що йдеться в задачі?

Учень: про ремонт, фундамент, цеглу.

Вчитель: що потрібно дізнатися?

Учень: скільки цегли залишилося вкласти.

Вчитель: чи зможемо ми одразу відповісти на це питання?

Учень: ні.

Вчитель: чому?

Учень: тому що ми не знаємо, скільки цегли робітник використав.

Вчитель: чи зможемо ми це дізнатися?

Учень: так.

Вчитель: якою дією?

Учень: поділом.

Вчитель: чи зможемо ми відповісти на запитання завдання?

Учень: так.

Вчитель: якою дією?

Учень: відніманням.

Вчитель: скільки ж цегли залишилося укласти робітнику?

Учень: (40:5 = 8, 40-8 = 32) 32 цегли.

2. Самостійна робота (с. 144 № 18)

7*0 7:1 3*0 8:1

7*1 0*7 0*3 0:8

1*6 0*1 3*1 0*8

0*6 0:1 1*3 0*1

3. Робота біля дошки (с. 144 № 11)

7*0 0*8 0:5 1*3 5+0

7+1 0:8 6*0 1+3 5*0

7-1 8+0 8-0 4-1 5-1

VI. Повторення

1.Кругові приклади

Вчитель: Ми будемо лісниками. Нам треба визначити висоту деяких дерев, при цьому необхідно вирішити кругові приклади.

2. Арифметичний диктант

Вчитель: А зараз будемо стенографістами Я диктую, а ти записуєш – стенографуєш за допомогою карток.

Суму чисел 45 і 18 (45 +18 = 63)

Добуток чисел 8 і 3 (8*3=24)

Різниця чисел 35 та 7 (35-7=22)

Частка чисел 20 і 4 (20:4=5)

3.Геометричний матеріал.

Вчитель: останнє завдання Які геометричні фігури ви бачите?

Порахуйте та скажіть, скільки разів зустрічається кожна фігура.

(Коло - 12, квадрат - 6, трикутник - 6, прямокутник - 5.)

VII . Рефлексія

Самостійне виконання с. 144 №17 (1,2 ст.). Відповіді записані на дошці: 0,0,0; 5,5,5.

Оціни свою роботу на уроці смайликом.

VIII. Домашнє завдання

З. 144 № 12.

Євген Ширяєв, викладач та керівник Лабораторії математики Політехнічного музею, розповів АіФ.ru про поділ на нуль:

1. Юрисдикція питання

Погодьтеся, особливу провокаційність правилу надає заборона. Як це не можна? Хто заборонив? А як же наші громадянські права?

Ні конституція РФ, ні Кримінальний кодекс, ні навіть статут вашої школи не заперечують проти інтелектуальної дії, що цікавить нас. Отже, заборона не має юридичної сили, і ніщо не заважає прямо тут, на сторінках АіФ.ru, спробувати щось поділити на нуль. Наприклад, тисячу.

2. Розділимо, як вчили

Згадайте, коли ви тільки дізналися, як ділити, перші приклади вирішували з перевіркою множенням: результат, помножений на дільник, мав збігтися зробленим. Не збігся — не вирішили.

приклад 1. 1000: 0 =...

Забудемо на хвилину про заборонене правило і зробимо кілька спроб відгадати відповідь.

Неправильні відсіче перевірка. Перебирайте варіанти: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для кожного з них перевірка дасть той самий результат:

100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0

Нуль множенням все перетворює на себе і ніколи на тисячу. Висновок сформулювати нескладно: жодна кількість не пройде перевірку. Т. е. жодне число не може бути результатом розподілу ненульового числа на нуль. Такий поділ не заборонено, а просто не має результату.

3. Нюанс

Ледве не прогавили одну можливість спростувати заборону. Так, ми визнаємо, що ненульове число не розділиться на 0. Але, може, сам 0 зможе?

приклад 2. 0: 0 = ...

Ваші пропозиції для приватного? 100? Будь ласка: приватна 100, помножена на дільник 0, дорівнює ділимому 0.

Ще варіанти! 1? Теж підходить. І -23, і 17, і все-все-все. У цьому прикладі перевірка на результат буде позитивною для будь-якого числа. І чесно, рішенням у цьому прикладі треба називати не число, а безліч чисел. Усіх. А так недовго домовитися і до того, що Аліса це не Аліса, а Мері-Енн, а обидві — сон кролика.

4. Що там про вищу математику?

Проблема вирішена, нюанси враховані, точки розставлені, все прояснилося — відповіддю для прикладу з розподілом на нуль не може бути жодне число. Такі завдання вирішувати - справа безнадійна і неможлива. А значить… цікаве! Дубль два.

приклад 3. Придумати, як поділити 1000 на 0.

А ніяк. Зате 1000 можна легко ділити на інші числа. Ну, давайте хоча б робити, що виходить, хай навіть змінивши поставлене завдання. А там, дивишся, захопимося, і відповідь сама собою з'явиться. Забуваємо на хвилину про нуль і ділимо на сто:

Сотня далека від нуля. Зробимо крок до нього, зменшивши дільник:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очевидна динаміка: що ближче дільник до нуля, то більше приватна. Тенденцію можна спостерігати і далі, переходячи до дробів і продовжуючи зменшувати чисельник:

Залишилося зауважити, що до нуля ми можемо підійти як завгодно близько, роблячи приватне скільки завгодно великим.

У цьому процесі немає нуля та немає останнього приватного. Ми позначили рух до них, замінивши число на послідовність, що сходить до числа, що нас цікавить:

При цьому мається на увазі аналогічна заміна і для ділимого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Стрілки недаремно поставлені двосторонніми: деякі послідовності можуть сходитися до чисел. Тоді ми можемо поставити у відповідність послідовності її числову межу.

Подивимося на послідовність приватних:

Вона росте необмежено, не прагнучи ні до якого числа і перевершуючи будь-яке. Математики додають до числа символ ∞ щоб мати можливість поряд з такою послідовністю поставити двосторонню стрілку:

Зіставлення числам послідовностей, що мають межу, дозволяє запропонувати рішення до третього прикладу:

При поелементному розподілі послідовності, що сходить до 1000, на послідовність з позитивних чисел, що сходить до 0, отримаємо послідовність, що сходить до ∞.

5. І тут нюанс із двома нулями

Що буде результатом поділу двох послідовностей позитивних чисел, що сходяться на нуль? Якщо вони однакові, то тотожна одиниця. Якщо до нуля швидше сходиться послідовність-ділене, то в приватному послідовність нульовою межею. А коли елементи дільника зменшуються набагато швидше, ніж у діленого, послідовність приватного сильно зростатиме:

Невизначена ситуація. І так і називається: невизначеність виду 0/0 . Коли математики бачать послідовності, відповідні таку невизначеність, де вони кидаються ділити два однакових числа друг на друга, а розуміються, яка з послідовностей швидше біжить до нуля як саме. І в кожному прикладі буде своя конкретна відповідь!

6. У житті

Закон Ома пов'язує силу струму, напругу та опір у ланцюгу. Часто його записують у такій формі:

Дозволимо собі знехтувати акуратним фізичним розумінням та формально подивимося на праву частину як на приватне двох чисел. Уявімо, що вирішуємо шкільне завдання з електрики. В умові дано напругу у вольтах та опір в омах. Питання очевидне, рішення в одну дію.

А тепер заглянемо у визначення надпровідності: це властивість деяких металів мати нульовий електричний опір.

Ну що, вирішимо завдання для надпровідного ланцюга? Просто так підставити R = 0 не вийде, фізика підкидає цікаве завдання, за яким, очевидно, стоїть наукове відкриття. І люди, які зуміли поділити на нуль у цій ситуації, здобули Нобелівську премію. Будь-які заборони корисно вміти оминати!

Нуль сам собою цифра дуже цікава. Сам собою означає порожнечу, відсутність значення, а поруч із іншою цифрою збільшує її значимість удесятеро. Будь-які числа в нульовій мірі завжди дають 1. Цей знак використовували ще в цивілізації майя, причому він у них позначав поняття «початок, причина». Навіть календар починався з нульового дня. А ще ця цифра пов'язана із суворою забороною.

Ще з початкових шкільних років ми чітко засвоїли правило «на нуль ділити не можна». Але якщо в дитинстві багато сприймаєш на віру і слова дорослого рідко викликають сумніви, то згодом іноді хочеться все-таки розібратися в причинах, зрозуміти чому були встановлені ті чи інші правила.

Чому не можна ділити на нуль? На це питання хочеться отримати зрозуміле логічне пояснення. У першому класі вчителя це зробити було неможливо, оскільки у математиці правила пояснюються з допомогою рівнянь, а тому віці ми й уявлення не мали у тому, що таке. А тепер настав час розібратися і отримати зрозуміле логічне пояснення того, чому не можна ділити на нуль.

Справа в тому, що в математиці лише дві з чотирьох основних операцій (+, -, х, /) з числами визнаються незалежними: множення та додавання. Інші операції прийнято вважати похідними. Розглянемо простенький приклад.

Ось скажіть, скільки вийде, якщо від 20 відібрати 18? Звичайно, в нашій голові миттєво виникає відповідь: це буде 2. А як ми дійшли такого результату? Комусь це питання здасться дивним - адже й так все ясно, що вийде 2, хтось пояснить, що від 20 копійок забрав 18 і у нього вийшло дві копійки. Логічно всі ці відповіді не викликають сумнівів, проте з погляду математики вирішувати це завдання слід інакше. Ще раз нагадаємо, що головними операціями в математиці є множення і додавання і тому в нашому випадку відповідь у вирішенні наступного рівняння: х + 18 = 20. З якого і випливає, що х = 20 - 18, х = 2. Здавалося б, навіщо так детально все розписувати? Адже і так все просто. Однак без цього важко пояснити, чому не можна ділити на нуль.

А тепер подивимося що вийде, якщо ми побажаємо 18 розділити на нуль. Знову складемо рівняння: 18: 0 = х. Оскільки операція поділу є похідною від процедури множення, то перетворивши наше рівняння отримаємо х * 0 = 18. Ось тут якраз і починається глухий кут. Будь-яке число на місці ікса при множенні на нуль дасть 0 і отримати 18 нам не вдасться. Тепер стає цілком ясно чому не можна ділити на нуль. Сам нуль можна ділити на будь-яке число, а от навпаки - на жаль, ніяк не можна.

А що вийде, якщо нуль розділити на себе? Це можна записати в такому вигляді: 0: 0 = х, або х * 0 = 0. Це рівняння має безліч рішень. Тому в результаті виходить нескінченність. Тому операція й у разі теж немає сенсу.

Поділ на 0 лежить докорінно багатьох уявних математичних жартів, якими за бажання можна спантеличити будь-яку необізнану людину. Наприклад, розглянемо рівняння: 4*х - 20 = 7*х - 35. Винесемо за дужки у лівій частині 4, а правої 7. Отримаємо: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Тепер помножимо ліву та праву частину рівняння на дріб 1/(х – 5). Рівняння набуде такого вигляду: 4*(х - 5)/(х - 5) = 7*(х - 5)/(х - 5). Скоротимо дроби на (х - 5) і ми вийде, що 4 = 7. З цього можна дійти невтішного висновку, що 2*2 = 7! Звичайно, підступ тут у тому, що дорівнює 5 і скорочувати дроби було не можна, оскільки це призводило до поділу на нуль. Тому при скороченні дробів потрібно завжди перевіряти, щоб нуль випадково не опинився в знаменнику, інакше результат вийде зовсім непередбачуваним.

Вперше з такою арифметикою, як множення, учні знайомляться на шкільній лаві. Вчитель математики серед численних правил порушує тему «множення на нуль». Незважаючи на однозначність формулювання, у учнів виникає безліч запитань. Розгляньмо, що буде, якщо помножити на 0.

Правило, за яким множити на нуль не можна, породжує масу суперечок між викладачами та його учнями. Важливо розуміти, що множення на нуль є спірним аспектом через свою неоднозначність.

Насамперед наголошується на відсутності достатнього рівня знань у учнів середньої загальноосвітньої школи. Переступаючи поріг навчального закладу, учасник освітнього процесу здебільшого не замислюється про головну мету, яку слід переслідувати.

Протягом навчання викладач висвітлює різноманітні питання. До них входить ситуація, що вийде, якщо множити на 0. Прагнучи передбачити розповідь викладача, деякі учні вступають у полеміку. Вони доводять, по крайнього заходу, намагаються, що множення на 0 припустимо. Але, на жаль, це негаразд. При множенні на 0 будь-якого числа виходить зовсім нічого.У деяких літературних джерелах навіть зустрічається згадка, будь-яке число, помножене на нуль, утворює порожнечу.

Важливо!Уважні слухачі аудиторії відразу схоплюють, що й число помножити на 0, то результаті вийде 0. Інше розвиток подій простежується у разі учнів, хто систематично пропускає заняття. Неуважні чи недобросовісні учні частіше за інших замислюються, скільки буде, якщо множити на нуль.

Внаслідок відсутності знань на тему викладач та недбайливий учень виявляються по протилежні сторони суперечливій ситуації.

Відмінність у поглядах на тему спору полягає в ступені освіченості на предмет того, чи можна множити на 0 чи все-таки ні. Єдиний допустимий вихід із ситуації – спробувати звернутися до логічного мислення для пошуку правильної відповіді.

Для пояснення правила не рекомендується використати такий приклад. У Вані в сумці лежать 2 яблука на перекус. В обід він задумався про те, щоб покласти в портфель ще скільки-небудь яблук. Але на той момент поряд не виявилося жодного фрукта. Ваня не поклав нічого. Іншими словами, до 2 яблук він помістив 0 яблук.

У плані арифметики в цьому прикладі виходить, що якщо 2 помножити на 0, то не виходить порожнечі. Відповідь у цьому випадку однозначна. Для цього прикладу правило множення на нуль не є актуальним. Вірне рішення полягає у підсумовуванні. Саме тому правильна відповідь полягає у 2 яблуках.

В іншому випадку вчителю не залишається нічого іншого, окрім як скласти низку завдань. Остання міра – повторно задати проходження теми та провести опитування на винятки у множенні.

Суть дії

Вивчення алгоритму дій при множенні на нуль доцільно розпочинати з позначення суті арифметичної дії.

Сутність дії помножити спочатку визначалася винятково для натурального числа. Якщо розкривати механізм дії, то кілька, що у обчисленні, додається до себе.

При цьому важливо враховувати кількість додатків. Залежно від цього критерію виходить різний результат. Додавання числа щодо самого себе визначає таку його властивість, як натуральність.

Розглянемо з прикладу. Необхідно число 15 помножити на 3. При множенні на 3 число 15 втричі збільшується у своїй величині. Іншими словами, дія виглядає як 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Ґрунтуючись на механізмі розрахунку, стає очевидним, якщо число помножити на інше натуральне число, виникає подібність до складання в спрощеному вигляді.

Алгоритм дій при множенні на 0 доцільно починати з надання характеристики на нуль.

Зверніть увагу!Відповідно до загальноприйнятої думки нуль означає ціле ніщо. Для порожнечі такого роду в арифметиці передбачено позначення. Незважаючи на цей факт, нульове значення не несе під собою нічого.

Слід зазначити, що подібна думка у сучасному світовому науковому суспільстві відрізняється від погляду давніх східних учених. Відповідно до теорії, якої вони дотримувалися, нуль дорівнював нескінченності.

Іншими словами, якщо помножити на нуль, то вийде різноманіття варіантів. У нульовому значенні вчені розглядали подібність глибини світобудови.

Як підтвердження можливості помножити на 0 математики наводили такий факт. Якщо поруч із будь-яким натуральним числом поставити 0, то вийде значення, що перевищує вихідне в десятки разів.

Наведений приклад є одним із аргументів. Крім доказу подібного роду існує безліч інших прикладів. Саме вони лежать в основі безперервних суперечок при множенні на порожнечу.

Доцільність спроб

Серед учнів досить часто спочатку освоєння навчального матеріалу зустрічаються спроби число помножити на 0. Подібна дія є грубою помилкою.

По суті, від таких спроб нічого не станеться, але й користі не буде. Якщо зробити множення на нульове значення, то вийде у щоденнику незадовільна позначка.

Єдина думка, яка має виникати при множенні на порожнечу, – неможливість дії. Запам'ятовування у разі грає важливу роль. Вивчивши правило раз і назавжди, учень запобігає появі спірних ситуацій.

Як приклад, який застосовується при множенні на нульове значення, дозволяється використовувати таку ситуацію. Сашко вирішила купити яблука. Поки вона була у супермаркеті, вона зупинила вибір на 5 великих стиглих яблуках. Сходячи до відділу молочної продукції, вона вважала, що цього їй буде недостатньо. Дівчинка поклала до себе ще 5 штук.

Подумавши ще трохи, вона взяла ще 5. У результаті на касі у Сашка вийшло: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблук. Якби вона поклала по 5 яблук лише 2 рази, то було б 5*2=5+5=10. + 0 + 0 + 0 = 0. Іншими словами, купити яблука 0 разів означає не купити жодного.

Якщо ми можемо покладатися інші закони арифметики, цей окремий факт можна довести.

Припустимо, що є число x, для якого x * 0 = x ", причому x" - це не нуль (будемо для простоти вважати, що x"> 0)

Тоді, з одного боку, x * 0 = x ", з іншого боку x * 0 = x * (1 - 1) = x - x

Виходить, що x – x = x", звідки x = x + x", тобто x > x, що не може бути правдою.

Значить, наше припущення веде до суперечності і немає такого числа x, для якого x * 0 не дорівнювало б нулю.

припущення не може бути правдою тому що це лише припущення! ні хто простою мовою не може пояснити чи важко! якщо 0 * х = 0 то 0 * х = (0 +0) * х = 0 * х + 0 * х і в результаті скоротили право ліво 0 = 0 * х це нібито доказуха математична! але нісенітниця така з цим банкрутом страшно суперечить і на мою думку 0 не повинен бути числом, а тільки абстрактним поняттям! Щоб простим смертним не викликало печіння в мозку той факт, що фізична наявність предметів при чудовому множенні на ніщо породжувало ніщо!

P/s не зовсім зрозуміло мені не математику, а простому смертному звідки у тебе в рівнянні-міркуванні з'явилися одиниці (типо 0 це те саме, що і 1-1)

я балдею з міркувань нібито є якийсь Х і нехай він буде числом будь-яким

є в рівнянні 0 і при множенні на нього ми обнулюємо всі числові значення

отже Х це числове значення, а 0 це кількість дій виконаних над числом Х (а дії у свою чергу теж відображаються в числовому форматі)

ПРИКЛАД на яблучках)) :

було у Колі 5 яблук, взяв він ці яблучка і на ринок пішов щоб капітал примножити, але день виявився дощовий, похмурий продаж не задалася і повернувся Калок додому ні з чим. Математичною мовою історія про Колю та яблука виглядає так

5 яблук * 0 продажів = отримали 0 прибутку 5 * 0 = 0

Перед тим як піти на базар, Коля пішов і зірвав з дерева 5 яблук, а завтра пішов зривати та не дійшов з якихось там своїх причин.

Яблук 5 , дерево 1 , 5*1=5 (5 яблук Коля зібрав 1 день)

Яблук 0, дерево 1, 0*1=0 (власне результат праці Колі на другий день)

Бічом математики є слово "Припустимо"

Відповісти

А якщо інакше, 5 яблук на 0 яблук = скільки яблук, з математики має бути нуль, так от

Насправді будь-які цифри мають сенс лише тоді, коли вони пов'язані з матеріальними предметами, типу 1 корова, 2 корови ну чи що завгодно, і з'явився рахунок для того, щоб рахувати предмети, а не просто так і тут парадокс, якщо у мене немає корови , а в сусіда є корова, і ми помножимо мою відсутність на корову сусіда, то його корова має зникнути, множення взагалі придумано для полегшення складання великих кількостей однакових предметів, коли їх важко порахувати методом складання, наприклад, гроші складали в стовпчики по 10 монет, а потім кількість стовпчиків множили на кількість монет у стовпчику, набагато простіше, ніж складати. але якщо кількість стовпчиків помножити на нуль монет то природно вийде нуль, але якщо є і стовпчики і монети, то як їх не помножуй на нуль, монети нікуди не подінуться бо їх є, і навіть якщо це одна монета, то і стовпчик складається з однієї монети, так що тут нікуди не дінешся, так от нуль при множенні на нуль виходить тільки за певних умов, тобто за відсутності матеріальної складової, а якщо у мене є 2 шкарпетки, то як їх не множи на нуль, вони нікуди не подінуться .