Завдання креслимо коло за допомогою циркуля. Відеоурок «Кількість

§ 1 Окружність. Основні поняття

У математиці зустрічаються речення, у яких пояснюється сенс тієї чи іншої назви чи висловлювання. Такі речення називають визначеннями.

Дамо визначення поняття коло. Колом називається геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, розташованих на заданій відстані від цієї точки.

Ця точка, назвемо її точка О, називається центром кола.

Відрізок, що з'єднує центр з будь-якою точкою кола, називається радіусомокружності. Таких відрізків можна провести багато, наприклад ОА, ОВ, ОС. Всі вони матимуть одну й ту саму довжину.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається хордою. MN - хорда кола.

Хорда, що проходить через цент кола, називається діаметром. АВ – діаметр кола. Діаметр складається з двох радіусів, отже, довжина діаметра вдвічі більша за радіус. Центр кола є серединою будь-якого діаметра.

Будь-які дві точки кола поділяють її на дві частини. Ці частини називаються дугами кола.

АNВ та АМВ - дуги кола.

Частину площини, яка обмежена колом, називають колом.

Для зображення кола на кресленні користуються циркулем. Окружність можна провести і місцевості. Для цього достатньо скористатися мотузкою. Один кінець мотузки закріпити на вбитий у землю кілочок, а іншим кінцем описати коло.

§ 2 Побудови циркулем та лінійкою

У геометрії багато побудов можна виконати, користуючись лише циркулем і лінійкою без масштабних поділів.

За допомогою тільки лінійки можна провести довільну пряму, а також довільну пряму, що проходить через дану точку, або пряму, що проходить через дві точки.

Циркуль дозволяє провести коло довільного радіусу, а також коло з центром у цій точці та радіусом, рівним даному відрізку.

Окремо кожен із цих інструментів дає можливість зробити найпростіші побудови, а ось за допомогою цих двох інструментів можна вже виконати складніші операції, наприклад,

вирішити такі завдання на побудову, як

Побудувати кут, рівний цьому,

Побудувати трикутник з цими сторонами,

Розділити відрізок навпіл,

Через дану точку провести пряму перпендикулярну до цієї прямої і т.д.

Розглянемо завдання.

Завдання: На даному промені від початку відкласти відрізок, рівний даному.

Дано промінь ОС і відрізок АВ. Необхідно побудувати відрізок ОD, що дорівнює відрізку АВ.

За допомогою циркуля побудуємо коло радіусу, що дорівнює довжині відрізка АВ, з центром у точці О. Це коло перетне даний промінь ОС у деякій точці D. Відрізок ОD - шуканий відрізок.

Список використаної литературы:

1. Геометрія. 7-9 класи: навч. для загальноосвіт. організацій/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін. – М.: Просвітництво, 2013. – 383 с.: іл.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочні розробки з геометрії 7 клас. – М.: «ВАКО», 2004. – 288с. – (На допомогу шкільному вчителю).
3. Білицька О.В. Геометрія. 7 клас. Ч.1. Тести. - Саратов: Ліцей, 2014. - 64 с.

Окружністю називається замкнута крива лінія, кожна точка якої розташована на однаковій відстані від однієї точки, званої центром.

Прямі лінії, що з'єднують будь-яку точку кола з її центром, називають радіусами R.

Пряма АВ, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр О, називається діаметром D.

Частини кіл називаються дугами.

Пряма СD, що з'єднує дві точки на колі, називається хордий.

Пряма МN,яка має тільки одну загальну точку з колом називається дотичної.

Частина кола, обмежена хордою СD та дугою, називається сигментом.

Частина кола, обмежена двома радіусами та дугою, називається сектором.

Дві взаємно перпендикулярні горизонтальна та вертикальна лінії, що перетинаються в центрі кола, називаються осями кола.

Кут, утворений двома радіусами КОА, називається центральним кутом.

Два взаємно перпендикулярний радіусскладають кут 90 0 і обмежують 1/4 кола.

Проводимо коло з горизонтальною і вертикальною осями, які ділять її на 4 рівні рівні. Проведені за допомогою циркуля або косинця під 45 0 дві взаємно перпендикулярні лінії ділять коло на 8-м рівних частин.

Розподіл кола на 3 та 6 рівних частин (кратні 3 трьом)

Для розподілу кола на 3, 6 і кратне їм кількість частин, проводимо коло заданого радіусу та відповідні осі. Поділ можна починати від точки перетину горизонтальної або вертикальної осі з колом. Заданий радіус кола послідовно відкладається 6 разів. Потім отримані точки на колі послідовно з'єднуються прямими лініями та утворюють правильний вписаний шестикутник. З'єднання точок через одну дає рівносторонній трикутник, і розподіл кола на три рівні частини.

Побудова правильного п'ятикутника виконується в такий спосіб. Проводимо дві взаємно перпендикулярні осі кола рівні діаметру кола. Ділимо праву половину горизонтального діаметра навпіл за допомогою дуги R1. З отриманої точки "а" у середині цього відрізка радіусом R2 проводимо дугу кола до перетину з горизонтальним діаметром у точці "b". Радіусом R3 з точки "1" проводять дугу кола до перетину із заданим колом (т.5) і отримують бік правильного п'ятикутника. Відстань "b-О" дає сторону правильного десятикутника.

Розподіл кола на N-ну кількість однакових частин (побудова правильного багатокутника з N сторін)

Виконується в такий спосіб. Проводимо горизонтальну та вертикальну взаємно перпендикулярні осі кола. З верхньої точки "1" кола проводимо під довільним кутом до вертикальної осі пряму лінію. На ній відкладаємо рівні відрізки довільної довжини, число яких дорівнює числу частин на яке ми ділимо це коло, наприклад 9. Кінець останнього відрізка з'єднуємо з нижньою точкою вертикального діаметра. Проводимо лінії, паралельні отриманій, з кінців відкладених відрізків до перетину з вертикальним діаметром, розділивши таким чином вертикальний діаметр даного кола на задану кількість частин. Радіусом рівним діаметру кола, з нижньої точки вертикальної осі проводимо дугу MN до перетину з продовженням горизонтальної осі кола. З точок M і N проводимо промені через парні (чи непарні) точки поділу вертикального діаметра до перетину з колом. Отримані відрізки кола будуть шуканими, т.к. точки 1, 2, …. 9 ділять коло на 9 (N) рівних частин.

Цілі:

закріпити в учнів поняття «коло», «коло»; вивести поняття «радіус кола»; навчитися будувати кола заданого радіусу; розвивати вміння розмірковувати, аналізувати.

Особистісні УУД:
формувати позитивне ставлення до уроків математики;
інтерес до предметно-дослідницької діяльності;

Метапредметні завдання

Регулятивні УУД:
приймати та зберігати навчальне завдання;
у співпраці з учителем та класом знаходити кілька варіантів рішень;

Пізнавальні УУД:
постановка та вирішення проблем:
самостійно виділяти та формулювати проблему;
загальнонавчальні:
знаходити необхідну інформацію у підручнику;
будувати коло заданого радіусу за допомогою циркуля;
логічні:
формувати поняття «радіус»;
проводити класифікацію, порівняння;
самостійно формулювати висновки;

Комунікативні УУД:
брати активну участь у колективній роботі, використовуючи при цьому мовні засоби;
аргументувати свою думку;

Предметні вміння:
виявляти суттєві ознаки понять «радіус кола»;
будувати кола з різними радіусами;
розпізнавати радіуси на кресленні.

Хід уроку

Мотивація навчальної діяльності

- Давайте перевіримо, чи готові до уроку?

«Емоційне входження до уроку»:

Усміхніться як сонечка.

Похмуріться як хмарки

Заплачте як дощі

Здивуйтеся, ніби побачили веселку

А тепер повторіть за мною

Гра «Дружна луна»

2.Актуалізація знань

Усний рахунок

а) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Розгадайте закономірність. Продовжіть низку.

Відповідь: 20, 48,30,46,40,44 50,42

б) Розв'яжи задачу:

1. Першого дня у магазині продали 42 кг фруктів, а другого на 2 кг більше. Скільки кілограмів продали другого дня?

Що потрібно змінити, щоб завдання вирішувалося на 2 дії.

М'ячів-16шт.

Скакалок – 28 шт.

Знайдіть рішення до цієї задачі.

28-16 28+16

Змініть питання так, щоб завдання вирішувалося відніманням.

3. Постановка навчального завдання

1. Назвіть геометричні фігури

Коло коло овал куля

Яка фігура зайва?

Що спільного у фігур? (Коло, коло, куля мають однакову форму)

Чим відрізняються?

2. У

Які точки належать колу? Які точки поза колом?

Що означає точка О? (Центр кола)

Як називається відрізок ВВ?

Скільки радіусів можна провести у колі?

Який відрізок не є радіусом? Чому?

Який можна зробити висновок?

Висновок: всі радіуси мають однакову довжину .

3. Скільки кіл на малюнку?

Чим відрізняються кола? (розміром)

Що визначає розмір кола?

Який можна зробити висновок?

Висновок: чим більше коло, тим більше його радіус.

Визначте тему уроку.

Тема: Побудова кола даного радіусу за допомогою циркуля.

Які завдання ми можемо поставити собі на цей урок?

4. Робота над темою

а) Побудова кола.

Що потрібно знати, щоб накреслити коло заданого розміру?

Накресліть коло з радіусом 3 див.

б) Підготовка до проектної діяльності

1) Розгляньте малюнок

З яких фігур складається метелик? Кола з однаковим радіусом?

2) Робота у парах.

Поновіть порядок етапів над проектом.

Презентація чи демонстрація проекту

Задум (зробити малюнок)

Побудувати фігури для здійснення задуму

Обміркувати, який радіус має бути у фігур

в) робота над проектом.

Робота в групах за складеним алгоритмом

При виготовленні чи обробці деталей з деревини у деяких випадках потрібно визначити, де знаходиться їхній геометричний центр. Якщо деталь має квадратну або прямокутну форму, то зробити це не становить жодних труднощів. Достатньо поєднати протилежні кути діагоналями, які при цьому перетнуться точно в центрі нашої фігури.
Для виробів, що мають форму кола, таке рішення не підійде, оскільки вони не мають кутів, а значить і діагоналей. І тут необхідний якийсь інший підхід, заснований інших принципах.

І вони існують, причому у численних варіаціях. Одні з них досить складні і вимагають кількох інструментів, інші – легкі у реалізації та їх здійснення не потрібен цілий набір пристосувань.
Зараз ми розглянемо один із найпростіших способів знаходження центру кола за допомогою лише звичайної лінійки та олівця.

Послідовність знаходження центру кола:

1. Для початку нам треба згадати, що хордою називають пряму лінію, що з'єднує дві точки кола, і не проходить через центр кола. Відтворити її зовсім неважко: необхідно лише покласти лінійку на коло в будь-якому місці так, щоб вона перетинала коло у двох місцях, і провести олівцем пряму лінію. Відрізок усередині кола і буде хордою.
В принципі можна обійтися однією хордою, але для підвищення точності встановлення центру кола намалюємо хоча б пару, а ще краще – 3, 4 або 5 різних по довжині хорд. Це дозволить нам нівелювати похибки наших побудов та точніше впоратися з поставленим завданням.

2. Далі, використовуючи ту саму лінійку, знаходимо середини відтворених нами хорд. Наприклад, якщо загальна довжина однієї хорди дорівнює 28 см, то її центр перебуватиме в точці, яка відстоїть по прямій від місця перетину хорди з колом на 14 см.
Визначивши у такий спосіб центри всіх хорд, проводимо крізь них перпендикулярні прямі, використовуючи, наприклад, прямокутний трикутник.

3. Якщо ми тепер продовжимо ці перпендикулярні до хордів прямі у напрямі до центру кола, вони перетнуться приблизно однієї точці, що й буде центром кола.

4. Встановивши розташування центру нашого конкретного кола, ми можемо використовувати цей факт у різних цілях. Так, якщо в цю точку помістити ніжку столярного циркуля, то можна накреслити ідеальне коло, а потім вирізати коло, використовуючи відповідний ріжучий інструмент і певну точку центру кола.

Пропозиція, в якій пояснюється зміст того чи іншого виразу чи назви, називається визначенням. Ми вже зустрічалися з визначеннями, наприклад з визначенням кута, суміжних кутів, рівнобедреного трикутника і т. д. Дамо визначення ще однієї геометричної фігури – кола.

Визначення

Ця точка називається центром кола, А відрізок, що з'єднує центр з будь-якою точкою кола, - радіусом кола(Мал. 77). З визначення кола випливає, що всі радіуси мають ту саму довжину.

Рис. 77

Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається її хордою. Хорда, що проходить через центр кола, називається її діаметром.

На малюнку 78 відрізки АВ та EF - хорди кола, відрізок CD - діаметр кола. Очевидно, діаметр кола в два рази більший за її радіус. Центр кола є серединою будь-якого діаметра.

Рис. 78

Будь-які дві точки кола поділяють її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугою кола. На малюнку 79 ALB та АМВ - дуги, обмежені точками А та В.

Рис. 79

Для зображення кола на кресленні користуються циркулем(Рис. 80).

Рис. 80

Щоб провести коло на місцевості, можна скористатися мотузкою (рис. 81).

Рис. 81

Частина площини, обмежена коло, називається колом (рис. 82).

Рис. 82

Побудови циркулем та лінійкою

Ми мали справу з геометричними побудовами: проводили прямі, відкладали відрізки, рівні даним, креслили кути, трикутники та інші постаті. При цьому ми користувалися масштабною лінійкою, циркулем, транспортиром, креслярським косинцем.

Виявляється, що багато побудов можна виконати за допомогою тільки циркуля і лінійки без масштабних поділів. Тому в геометрії спеціально виділяють ті завдання на побудову, які вирішуються за допомогою цих двох інструментів.

Що можна робити з їхньою допомогою? Зрозуміло, що лінійка дозволяє провести довільну пряму, а також побудувати пряму через дві дані точки. За допомогою циркуля можна провести коло довільного радіусу, а також коло з центром у даній точці та радіусом, рівним даному відрізку . Виконуючи ці нескладні операції, ми зможемо вирішити багато цікавих завдань на побудову:

побудувати кут, що дорівнює цьому;
через дану точку провести пряму, перпендикулярну до цієї прямої;
розділити цей відрізок навпіл та інші завдання.

Почнемо з простого завдання.

Завдання

На даному промені від початку відкласти відрізок, рівний даному.

Рішення

Зобразимо фігури, дані за умови завдання: промінь ОС і відрізок АВ (рис. 83, а). Потім циркулем побудуємо коло радіусу АВ із центром О (рис. 83, б). Це коло перетне промінь ОС у певній точці D. Відрізок OD - шуканий.

Рис. 83

Приклади завдань на побудову

Побудова кута, що дорівнює даному

Завдання

Відкласти від даного променя кут, що дорівнює даному.

Рішення

Даний кут з вершиною А і промінь ОМ зображені на малюнку 84. Потрібно побудувати кут, що дорівнює куту А, так, щоб одна з його сторін збіглася з променем ОМ.

Рис. 84

Проведемо коло довільного радіусу з центром у вершині А даного кута. Це коло перетинає сторони кута в точках і С (рис. 85, а). Потім проведемо коло того ж радіуса з центром у порахуванні даного променя ЗМ. Вона перетинає промінь у точці D (рис. 85 б). Після цього побудуємо коло з центром D, радіус якого дорівнює ВС. Кола з центрами Про і D перетинаються у двох точках. Одну з цих точок позначимо буквою Е. Доведемо, що кут МОЄ – шуканий.

Рис. 85

Розглянемо трикутники АВС та ODE. Відрізки АВ та АС є радіусами кола з центром А, а відрізки OD та ОЕ – радіусами кола з центром О (див. рис. 85, б). Оскільки за побудовою ці кола мають рівні радіуси, то AB = OD, АС = ОЕ. Також з побудови ВС = DE.

Отже, ΔАВС = ΔODE по трьох сторонах. Тому ∠DOE = ∠BAC, тобто побудований кут МОЄ дорівнює даному куту А.

Таку ж будову можна виконати і на місцевості, якщо замість циркуля скористатися мотузкою.

Побудова бісектриси кута

Завдання

Побудувати бісектрису даного кута.

Рішення

Даний кут ВАС зображений на малюнку 86. Проведемо коло довільного радіусу з центром у вершині А. Вона перетне сторони кута в точках В і С.

Рис. 86

Потім проведемо два кола однакового радіусу ВС із центрами в точках В і С (на малюнку зображені лише частини цих кіл). Вони перетнуться у двох точках, з яких хоча б одна лежить усередині кута. Позначимо її буквою Е. Доведемо, що промінь АЕ є бісектрисою даного кута ВАС.

Розглянемо трикутники АСЕ та АВЕ. Вони рівні за трьома сторонами. Справді, АЕ – спільна сторона; АС і АВ рівні як радіуси одного і того ж кола; СЕ = BE за побудовою.

З рівності трикутників АСЕ та АВЕ випливає, що ∠CAE = ∠BAE, тобто промінь АЕ - бісектриса даного кута ВАС.

Зауваження

Чи можна за допомогою циркуля та лінійки розділити даний кут на два рівні кути? Зрозуміло, що можна, - для цього потрібно провести бісектрису цього кута.

Цей кут можна розділити також на чотири рівні кути. Для цього потрібно розділити його навпіл, а потім кожну половину розділити ще раз навпіл.

А чи можна за допомогою циркуля та лінійки розділити цей кут на три рівні кути? Це завдання, яке отримало назву завдання про трисекцію кута, протягом багатьох століть привертала увагу математиків. Лише у XIX столітті було доведено, що для довільного кута така побудова неможлива.

Побудова перпендикулярних прямих

Завдання

Дано пряму і точку на ній. Побудувати пряму, що проходить через дану точку і перпендикулярну до цієї прямої.

Рішення

Дана пряма а та дана точка М, що належить цій прямій, зображені на малюнку 87.

Рис. 87

На променях прямої а, що виходять із точки М, відкладемо рівні відрізки МА та МВ. Потім збудуємо два кола з центрами А і В радіусу АВ. Вони перетинаються у двох точках: Р та Q.

Проведемо пряму через точку М і одну з цих точок, наприклад пряму МР (див. рис. 87), і доведемо, що ця пряма - шукана, тобто вона перпендикулярна до даної прямої а.

Справді, оскільки медіана РМ рівнобедреного трикутника РАВ є також висотою, то PM ⊥ а.

Побудова середини відрізка

Завдання

Побудувати середину цього відрізка.

Рішення

Нехай АВ – даний відрізок. Побудуємо два кола з центрами А та В радіусу АВ. Вони перетинаються в точках Р та Q. Проведемо пряму PQ. Точка Про перетин цієї прямої з відрізком АВ і є шукана середина відрізка АВ.

Справді, трикутники APQ і BPQ дорівнюють трьом сторонам, тому ∠1 =∠2 (рис. 89).

Рис. 89

Отже, відрізок РВ - бісектриса рівнобедреного трикутника АРВ, а значить, і медіана, тобто точка О - середина відрізка АВ.

Завдання

143. Які із відрізків, зображених на малюнку 90, є: а) хордами кола; б) діаметрами кола; в) радіусами кола?

Рис. 90

144. Відрізки АВ та CD - діаметри кола. Доведіть, що: а) хорди BD та АС рівні; б) хорди AD та НД рівні; в) ∠BAD = ∠BCD.

145. Відрізок МК - діаметр кола з центром О, а МР і РК - рівні хорди цього кола. Знайдіть ∠POM.

146. Відрізки АВ та CD - діаметри кола з центром О. Знайдіть периметр трикутника AOD, якщо відомо, що СВ = 13 см, АВ = 16 см.

147. На колі з центром О відзначені точки А та В так, що кут АОВ – прямий. Відрізок НД - діаметр кола. Доведіть, що хорди АВ та АС рівні.

148. На прямій дано дві точки А і В. На продовженні променя ВА відкладіть відрізок ВС так, щоб ВС = 2АВ.

149. Дано пряму а, точку В, що не лежить на ній, і відрізок PQ. Побудуйте точку М на прямій так, щоб BM = PQ. Чи завжди має завдання вирішення?

150. Дано коло, точка А, що не лежить на ній, і відрізок PQ. Побудуйте точку М на колі так, щоб AM = PQ. Чи завжди має завдання вирішення?

151. Дано гострий кут ВАС та промінь XY. Побудуйте кут YXZ так, щоб ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Даний тупий кут АОВ. Побудуйте промінь ОХ так, щоб кути ХОА та ХОВ були рівними тупими кутами.

153. Дано пряму а і точку М, яка не лежить на ній. Побудуйте пряму, що проходить через точку М і перпендикулярну до прямої а.

Рішення

Побудуємо коло з центром у даній точці М, яка перетинає дану пряму а у двох точках, які позначимо літерами А та В (рис. 91). Потім побудуємо два кола з центрами А і В, що проходять через точку М. Ці кола перетинаються в точці М і ще в одній точці, яку позначимо буквою N. Проведемо пряму MN і доведемо, що ця пряма - шукана, тобто вона перпендикулярна до прямої а.

Рис. 91

Насправді трикутники AMN і BMN рівні по трьох сторонах, тому ∠1 = ∠2. Звідси випливає, що відрізок МС (С - точка перетину прямих а і MN) є бісектриса рівнобедреного трикутника АМВ, а значить, і висотою. Таким чином, MN ⊥ АВ, тобто MN ⊥ а.

154. Дано трикутник АВС. Побудуйте: а) бісектрису АК; б) медіану ВМ; в) висоту СН трикутника. 155. За допомогою циркуля та лінійки побудуйте кут, що дорівнює: а) 45°; б) 22 ° 30 ".

Відповіді до завдань

152. Вказівка. Спочатку побудувати бісектрису кута АОВ.