Як знайти зворотну до твору матриць. Як знайти зворотну матрицю

Матриця А -1 називається оберненою матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е, де Е - одинична матриця n-го порядку. Зворотній матриця може існувати тільки для квадратних матриць.

призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти алгебраїчні доповнення, транспоновану матрицю A T, союзну матрицю і зворотний матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в он-лайн режимі) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються в звіті формату Word і в форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). см. приклад оформлення.

Інструкція. Для отримання рішення необхідно задати розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповніть матрицю A.

Див. Також Зворотній матриця методом Жордана-Гаусса

Алгоритм знаходження оберненої матриці

1. Знаходження транспонованою матриці A T.
2. Визначення алгебраїчних доповнень. Замінюють кожен елемент матриці його алгебраїчним доповненням.
3. складання оберненої матриціз алгебраїчних доповнень: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.

наступний алгоритм знаходження оберненої матриціаналогічний попередньому за винятком деяких кроків: спочатку обчислюються алгебраїчні доповнення, а потім визначається союзна матриця C.

1. Визначають, квадратна чи матриця. Якщо немає, то зворотної матриці для неї не існує.
2. Обчислення визначника матриці A. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше - оберненої матриці не існує.
3. Визначення алгебраїчних доповнень.
4. Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці C.
5. Складання оберненої матриці з алгебраїчних доповнень: кожен елемент приєднаної матриці C ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
6. Роблять перевірку: перемножують вихідну і отриману матриці. У результаті повинна вийти одинична матриця.

Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:

Алгебраїчні доповнення. Δ 1,2 = - (2 · 4 - (- 2 · (-2))) = -4 Δ 2,1 = - (2 · 4-5 · 3) = 7 Δ 2,3 = - (- 1 · 5 - (- 2 · 2)) = 1 Δ 3,2 = - (- 1 · (-2) -2 · 3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Інший алгоритм знаходження оберненої матриці

Наведемо іншу схему знаходження оберненої матриці.

1. Знаходимо визначник даної квадратної матриці A.
2. Знаходимо алгебраїчні доповнення до всіх елементів матриці A.
3. Записуємо алгебраїчні доповнення елементів рядків в стовпці (транспонування).
4. Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці A.

Як бачимо, операція транспонування може застосовуватися як на початку, над вихідної матрицею, так і в кінці, над отриманими алгебраїчними доповненнями.

Особливий випадок: Зворотною, по відношенню до одиничної матриці E, є одинична матриця E.

Нехай є квадратна матриця n-го порядку

Матриця А -1 називається зворотною матрицеюпо відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е, де Е - одинична матриця n-го порядку.

Одинична матриця- така квадратна матриця, у якої всі елементи по головній діагоналі, що проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута, - одиниці, а решта - нулі, наприклад:

зворотна матрицяможе існувати тільки для квадратних матрицьтобто для тих матриць, у яких число рядків і стовпців збігаються.

Теорема умови існування оберненої матриці

Для того щоб матриця мала зворотний матрицю необхідно і достатньо, щоб вона була невироджених.

Матриця А = (А1, А2, ... А n) називається невироджених, Якщо вектори-стовпці є лінійно незалежними. Число лінійно незалежних векторів-стовпців матриці називається рангом матриці. Тому можна сказати, що для того, щоб існувала обернена матриця, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював її розмірності, тобто r = n.

Алгоритм знаходження оберненої матриці

1. Записати в таблицю для вирішення систем рівнянь методом Гаусса матрицю А і праворуч (на місце правих частин рівнянь) приписати до неї матрицю Е.
2. Використовуючи перетворення Жордана, привести матрицю А до матриці, що складається з одиничних стовпців; при цьому необхідно одночасно перетворити матрицю Е.
3. Якщо необхідно, то переставити рядки (рівняння) останньої таблиці так, щоб під матрицею А вихідної таблиці вийшла одинична матриця Е.
4. Записати зворотну матрицю А -1, яка знаходиться в останній таблиці під матрицею Е вихідної таблиці.

приклад 1

Для матриці А знайти зворотну матрицю А -1

Рішення: Записуємо матрицю А і праворуч приписуємо одиничну матрицю Е. Використовуючи перетворення Жордана, наводимо матрицю А до одиничної матриці Є. Обчислення приведені в таблиці 31.1.

Перевіримо правильність обчислень множенням вихідної матриці А і оберненої матриці А-1.

В результаті множення матриць вийшла одинична матриця. Отже, обчислення зроблені правильно.

відповідь:

Рішення матричних рівнянь

Матричні рівняння можуть мати вигляд:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

де А, В, С - задаються матриці, Х- шукана матриця.

Матричні рівняння вирішуються за допомогою множення рівняння на зворотні матриці.

Наприклад, щоб знайти матрицю з рівняння, необхідно помножити це рівняння на зліва.

Отже, щоб знайти рішення рівняння, потрібно знайти зворотну матрицю і помножити її на матрицю, що стоять в правій частині рівняння.

Аналогічно вирішуються інші рівняння.

приклад 2

Вирішити рівняння АХ = В, якщо

Рішення: Так як зворотна матриця дорівнює (див. Приклад 1)

Матричний метод в економічному аналізі

Поряд з іншими в знаходять застосування також матричні методи. Ці методи базуються на лінійній і векторно-матричної алгебри. Такі методи застосовуються для цілей аналізу складних і багатовимірних економічних явищ. Найчастіше ці методи використовуються при необхідності порівняльної оцінки функціонування організацій і їх структурних підрозділів.

В процесі застосування матричних методів аналізу можна виділити кілька етапів.

На першому етапіздійснюється формування системи економічних показників і на її основі складається матриця вихідних даних, яка являє собою таблицю, в якій по її окремих рядках показуються номера систем (I = 1,2, ...., n), А по вертикальних графах - номери показників (J = 1,2, ...., m).

На другому етапіпо кожній вертикальній графі виявляється найбільше з наявних значень показників, яке і приймається за одиницю.

Після цього всі суми, відображені в цій графі ділять на найбільше значенняі формується матриця стандартизованих коефіцієнтів.

На третьому етапівсі складові частини матриці зводять в квадрат. Якщо вони мають різну значимість, то кожному показнику матриці присвоюється певний ваговий коефіцієнт k. Величина останнього визначається експертним шляхом.

На останньому, четвертому етапізнайдені величини рейтингових оцінок R jгрупуються в порядку їх збільшення або зменшення.

Викладені матричні методи слід використовувати, наприклад, при порівняльному аналізірізних інвестиційних проектів, а також при оцінці інших економічних показників діяльності організацій.

Матрична алгебра - Зворотній матриця

зворотна матриця

зворотною матрицеюназивається матриця, яка при множенні як справа, так і зліва на дану матрицю дає одиничну матрицю.
Позначимо зворотну матрицю до матриці Ачерез, тоді як визначено отримаємо:

де Е- одинична матриця.
квадратна матрицяназивається неособенной (невироджених), Якщо її визначник не дорівнює нулю. В іншому випадку вона називається особливою (виродження) або сингулярной.

Має місце теорема: всяка неособлива матриця має обернену матрицю.

Операція знаходження оберненої матриці називається зверненнямматриці. Розглянемо алгоритм звернення матриці. Нехай дана неособлива матриця n-го порядку:

де Δ = det A ≠ 0.

Алгебраїчним доповненням елементаматриці n-го порядку Аназивається взятий з певним знаком визначник матриці ( n-1) -го порядку, отриманої викреслюванням i-ої рядки і j-го стовпця матриці А:

Складемо так звану приєднануматрицю:

де- алгебраїчні доповнення відповідних елементовматріци А.
Зауважимо, що алгебраїчні доповнення елементів рядків матриці Арозміщуються у шпальтах матриці Ã , Тобто одночасно проводиться транспонування матриці.
Розділивши всі елементи матриці Ã на Δ - величину визначника матриці А, Отримаємо в результаті зворотний матрицю:

Відзначимо ряд особливих властивостей зворотної матриці:
1) для даної матриці Аїї зворотна матриця є єдиною;
2) якщо існує зворотна матриця, то права зворотнаі ліва зворотнаматриці збігаються з нею;
3) особлива (вироджена) квадратна матриця не має зворотної матриці.

Основні властивості оберненої матриці:
1) визначник оберненої матриці та визначник вихідної матриці є зворотними величинами;
2) зворотна матриця твори квадратних матриць дорівнює проізведеніюобратних матриць сомножителей, взятому в зворотному порядку:

3) транспонована зворотна матриця дорівнює зворотної матриці від даної транспонованою матриці:

П р и м і р. Обчислити матрицю, зворотну даної.

Ця тема є однією з найбільш ненависних серед студентів. Гірше, напевно, тільки визначники.

Фішка в тому, що саме поняття зворотного елемента (і я зараз не тільки про матрицях) відсилає нас до операції множення. Навіть у шкільній програмімноження вважається складною операцією, а вже множення матриць - взагалі окрема тема, якої у мене присвячений цілий параграф і видеоурок.

Сьогодні ми не будемо вдаватися в подробиці матричних обчислень. Просто згадаємо: як позначаються матриці, як вони множаться і що з цього випливає.

Повторення: множення матриць

Перш за все домовимося про позначеннях. Матрицею $ A $ розміру $ \ left [m \ times n \ right] $ називається просто таблиця з чисел, в якій рівно $ m $ рядків і $ n $ стовпців:

\ = \ Underbrace (\ left [\ begin (matrix) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) \\ (( a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (m1)) & ((a) _ (m2)) & ... & ((a) _ (mn)) \\\ end (matrix) \ right]) _ (n) \]

Щоб випадково не переплутати рядки і стовпці місцями (повірте, на іспиті можна і одиницю з двійкою переплутати - що вже казати про якісь там рядки), просто погляньте на картинку:

Визначення індексів для клітин матриці

Що відбувається? Якщо розмістити стандартну систему координат $ OXY $ в лівому верхньому кутку і направити осі так, щоб вони охоплювали всю матрицю, то кожній клітині цієї матриці можна однозначно зіставити координати $ \ left (x; y \ right) $ - це і буде номер рядка і номер стовпчика.

Чому система координат розміщена саме в лівому верхньому кутку? Та тому що саме звідти ми починаємо читати будь-які тексти. Це дуже просто запам'ятати.

А чому вісь $ x $ спрямована саме вниз, а не вправо? Знову все просто: візьміть стандартну систему координат (вісь $ x $ йде вправо, вісь $ y $ - вгору) і поверніть її так, щоб вона охоплювала матрицю. Це поворот на 90 градусів за годинниковою стрілкою - його результат ми і бачимо на зображенні.

Загалом, як визначати індекси у елементів матриці, ми розібралися. Тепер давайте розберемося з множенням.

Визначення. Матриці $ A = \ left [m \ times n \ right] $ і $ B = \ left [n \ times k \ right] $, коли кількість стовпців у першому збігається з кількістю рядків у другій, називаються узгодженими.

Саме в такому порядку. Можна змудрував і сказати, мовляв, матриці $ A $ і $ B $ утворюють впорядковану пару $ \ left (A; B \ right) $: якщо вони узгоджені в такому порядку, то зовсім необов'язково, що $ B $ і $ A $, тобто пара $ \ left (B; A \ right) $ - теж узгоджена.

Множити можна тільки узгоджені матриці.

Визначення. Твір узгоджених матриць $ A = \ left [m \ times n \ right] $ і $ B = \ left [n \ times k \ right] $ - це нова матриця $ C = \ left [m \ times k \ right] $ , елементи якої $ ((c) _ (ij)) $ вважаються за формулою:

\ [((C) _ (ij)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) (((a) _ (ik))) \ cdot ((b) _ (kj)) \]

Іншими словами: щоб отримати елемент $ ((c) _ (ij)) $ матриці $ C = A \ cdot B $, потрібно взяти $ i $ -строку першої матриці, $ j $ -й стовпець другуматриці, а потім попарно перемножити елементи з цього рядка і стовпця. Результати скласти.

Так, ось таке суворе визначення. З нього одразу слід кілька фактів:

1. Множення матриць, взагалі кажучи, некомутативними: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $;
2. Однак множення асоціативно: $ \ left (A \ cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $;
3. І навіть дистрибутивно: $ \ left (A + B \ right) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $;
4. І ще раз дистрибутивно: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $.

Дистрибутивність множення довелося окремо описувати для лівого і правого множника-суми якраз через некомутативності операції множення.

Якщо все ж виходить так, що $ A \ cdot B = B \ cdot A $, такі матриці називаються перестановки.

Серед всіх матриць, які там на щось множаться, є особливі - ті, які при множенні на будь-яку матрицю $ A $ знову дають $ A $:

Визначення. Матриця $ E $ називається одиничною, якщо $ A \ cdot E = A $ або $ E \ cdot A = A $. У випадку з квадратною матрицею $ A $ можемо записати:

Одинична матриця - частий гість при вирішенні матричних рівнянь. І взагалі частий гість в світі матриць. :)

А ще через цю $ E $ дехто придумав всю ту дичину, яка буде написана далі.

Що таке зворотна матриця

Оскільки множення матриць - вельми трудомістка операція (доводиться множити купу рядків і стовпців), то поняття зворотної матриці теж виявляється не самим тривіальним. І вимагає деяких пояснень.

ключове визначення

Що ж, пора пізнати істину.

Визначення. Матриця $ B $ називається оберненою до матриці $ A $, якщо

Зворотній матриця позначається через $ ((A) ^ (- 1)) $ (не плутати зі ступенем!), Тому визначення можна переписати так:

Здавалося б, все гранично просто і ясно. Але при аналізі такого визначення відразу виникає кілька питань:

1. Чи завжди існує зворотна матриця? І якщо не завжди, то як визначити: коли вона існує, а коли - ні?
2. А хто сказав, що така матриця рівно одна? Раптом для деякої вихідної матриці $ A $ знайдеться ціла юрба зворотних?
3. Як виглядають всі ці «зворотні»? І як, власне, їх рахувати?

Щодо алгоритмів обчислення - про це ми поговоримо трохи пізніше. Але на інші питання відповімо прямо зараз. Оформимо їх у вигляді окремих тверджень-лем.

Основні властивості

Почнемо з того, як в принципі повинна виглядати матриця $ A $, щоб для неї існувала $ ((A) ^ (- 1)) $. Зараз ми переконаємося в тому, що обидві ці матриці повинні бути квадратними, причому одного розміру: $ \ left [n \ times n \ right] $.

Лемма 1. Дана матриця $ A $ і зворотна їй $ ((A) ^ (- 1)) $. Тоді обидві ці матриці - квадратні, причому однакового порядку $ n $.

Доведення. Все просто. Нехай матриця $ A = \ left [m \ times n \ right] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ left [a \ times b \ right] $. Оскільки твір $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $ за визначенням існує, матриці $ A $ і $ ((A) ^ (- 1)) $ узгоджені в зазначеному порядку:

\ [\ Begin (align) & \ left [m \ times n \ right] \ cdot \ left [a \ times b \ right] = \ left [m \ times b \ right] \\ & n = a \ end ( align) \]

Це прямий наслідок з алгоритму множення матриць: коефіцієнти $ n $ і $ a $ є «транзитними» і повинні бути рівні.

Разом з тим визначено і зворотне множення: $ ((A) ^ (- 1)) \ cdot A = E $, тому матриці $ ((A) ^ (- 1)) $ і $ A $ теж узгоджені в зазначеному порядку:

\ [\ Begin (align) & \ left [a \ times b \ right] \ cdot \ left [m \ times n \ right] = \ left [a \ times n \ right] \\ & b = m \ end ( align) \]

Таким чином, без обмеження спільності можемо вважати, що $ A = \ left [m \ times n \ right] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ left [n \ times m \ right] $. Однак згідно з визначенням $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = ((A) ^ (- 1)) \ cdot A $, тому розміри матриць строго збігаються:

\ [\ Begin (align) & \ left [m \ times n \ right] = \ left [n \ times m \ right] \\ & m = n \ end (align) \]

Ось і виходить, що всі три матриці - $ A $, $ ((A) ^ (- 1)) $ і $ E $ - є квадратними розміром $ \ left [n \ times n \ right] $. Лема доведена.

Що ж, вже непогано. Ми бачимо, що оборотними бувають лише квадратні матриці. Тепер давайте переконаємося, що зворотна матриця завжди одна.

Лемма 2. Дана матриця $ A $ і зворотна їй $ ((A) ^ (- 1)) $. Тоді ця зворотна матриця - єдина.

Доведення. Підемо від противного: нехай у матриці $ A $ є хоча б два примірника зворотних - $ B $ і $ C $. Тоді, згідно з визначенням, вірні такі рівності:

\ [\ Begin (align) & A \ cdot B = B \ cdot A = E; \\ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \ end (align) \]

З леми 1 ми робимо висновок, що всі чотири матриці - $ A $, $ B $, $ C $ і $ E $ - є квадратними однакового порядку: $ \ left [n \ times n \ right] $. Отже, визначено твір:

Оскільки множення матриць асоціативно (але не коммутативно!), Ми можемо записати:

\ [\ Begin (align) & B \ cdot A \ cdot C = \ left (B \ cdot A \ right) \ cdot C = E \ cdot C = C; \\ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ left (A \ cdot C \ right) = B \ cdot E = B; \\ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ Rightarrow B = C. \\ \ end (align) \]

отримали єдино можливий варіант: Два примірника оберненої матриці рівні. Лема доведена.

Наведені міркування майже дослівно повторюють доказ єдиність зворотного елемента для всіх дійсних чисел $ b \ ne 0 $. Єдине суттєве доповнення - облік розмірності матриць.

Втім, ми до сих пір нічого не знаємо про те, чи всяка квадратна матриця є оборотною. Тут нам на допомогу приходить визначник - це ключова характеристика для всіх квадратних матриць.

Лемма 3. Дана матриця $ A $. Якщо обернена до неї матриця $ ((A) ^ (- 1)) $ існує, то визначник вихідної матриці відмінний від нуля:

\ [\ Left | A \ right | \ ne 0 \]

Доведення. Ми вже знаємо, що $ A $ і $ ((A) ^ (- 1)) $ - квадратні матриці розміру $ \ left [n \ times n \ right] $. Отже, для кожної з них можна обчислити визначник: $ \ left | A \ right | $ і $ \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | $. Однак визначник добутку дорівнює добутку визначників:

\ [\ Left | A \ cdot B \ right | = \ left | A \ right | \ cdot \ left | B \ right | \ Rightarrow \ left | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ right | = \ left | A \ right | \ cdot \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | \]

Але згідно з визначенням $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $, а визначник $ E $ завжди дорівнює 1, тому

\ [\ Begin (align) & A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E; \\ & \ left | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ right | = \ left | E \ right |; \\ & \ left | A \ right | \ cdot \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | = 1. \\ \ end (align) \]

Твір двох чисел дорівнює одиниці тільки в тому випадку, коли кожне з цих чисел відмінно від нуля:

\ [\ Left | A \ right | \ ne 0; \ quad \ left | ((A) ^ (- 1)) \ right | \ ne 0. \]

Ось і виходить, що $ \ left | A \ right | \ ne 0 $. Лема доведена.

Насправді це вимога цілком логічно. Зараз ми розберемо алгоритм знаходження оберненої матриці - і стане зрозуміло, чому при нульовому визначнику ніякої зворотної матриці в принципі не може існувати.

Але для початку сформулюємо «допоміжне» визначення:

Визначення. Вироджена матриця - це квадратна матриця розміру $ \ left [n \ times n \ right] $, чий визначник дорівнює нулю.

Таким чином, ми можемо стверджувати, що будь-яка оборотна матриця є невироджених.

Як знайти зворотну матрицю

Зараз ми розглянемо універсальний алгоритм знаходження зворотних матриць. Взагалі, існує два загальноприйнятих алгоритму, і другий ми теж сьогодні розглянемо.

Той, який буде розглянутий зараз, дуже ефективний для матриць розміру $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ і - частково - розміру $ \ left [3 \ times 3 \ right] $. А ось починаючи з розміру $ \ left [4 \ times 4 \ right] $ його краще не застосовувати. Чому - зараз самі все зрозумієте.

алгебраїчні доповнення

Готуйтеся. Зараз буде біль. Ні, не переживайте: до вас не йде красива медсестра в спідниці, панчохах з мереживами і не зробить укол в сідницю. Все куди прозаїчніше: до вас ідуть алгебраїчні доповнення та Її Величність «Союзна Матриця».

Почнемо з головного. Нехай є квадратна матриця розміру $ A = \ left [n \ times n \ right] $, елементи якої називаються $ ((a) _ (ij)) $. Тоді для кожного такого елемента можна визначити алгебраїчне доповнення:

Визначення. Алгебраїчне доповнення $ ((A) _ (ij)) $ до елементу $ ((a) _ (ij)) $, що стоїть в $ i $ -му рядку і $ j $ -м стовпці матриці $ A = \ left [n \ times n \ right] $ - це конструкція виду

\ [((A) _ (ij)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (i + j)) \ cdot M_ (ij) ^ (*) \]

Де $ M_ (ij) ^ (*) $ - визначник матриці, отриманої з вихідної $ A $ викреслюванням тієї самої $ i $ го рядка і $ j $ -го стовпчика.

Ще раз. Алгебраїчне доповнення до елемента матриці з координатами $ \ left (i; j \ right) $ позначається як $ ((A) _ (ij)) $ і вважається за схемою:

1. Спочатку викреслюємо з вихідної матриці $ i $ -рядок і $ j $ -й стовпець. Отримаємо нову квадратну матрицю, і її визначник ми позначаємо як $ M_ (ij) ^ (*) $.
2. Потім множимо цей визначник на $ ((\ left (-1 \ right)) ^ (i + j)) $ - спочатку це вираз може здатися мозговиносящім, але по суті ми просто з'ясовуємо знак перед $ M_ (ij) ^ (*) $.
3. Вважаємо - отримуємо конкретне число. Тобто алгебраїчне доповнення - це саме число, а не якась нова матриця і т.д.

Саму матрицю $ M_ (ij) ^ (*) $ називають додатковим мінор до елемента $ ((a) _ (ij)) $. І в цьому сенсі наведене вище визначення алгебраїчного доповнення є окремим випадком більш складного визначення - того, що ми розглядали в уроці про визначник.

Важливе зауваження. Взагалі-то в «дорослій» математики алгебраїчні доповнення визначаються так:

1. Беремо в квадратній матриці $ k $ рядків і $ k $ стовпців. На їх перетині вийде матриця розміру $ \ left [k \ times k \ right] $ - її визначник називається мінор порядку $ k $ і позначається $ ((M) _ (k)) $.
2. Потім викреслюємо ці «обрані» $ k $ рядків і $ k $ стовпців. Знову вийде квадратна матриця - її визначник називається додатковим мінор і позначається $ M_ (k) ^ (*) $.
3. Множимо $ M_ (k) ^ (*) $ на $ ((\ left (-1 \ right)) ^ (t)) $, де $ t $ - це (ось зараз увага!) Сума номерів всіх обраних рядків і стовпців . Це і буде алгебраїчне доповнення.

Погляньте на третій крок: там взагалі-то сума $ 2k $ доданків! Інша справа, що для $ k = 1 $ ми отримаємо лише 2 доданків - це і будуть ті самі $ i + j $ - «координати» елемента $ ((a) _ (ij)) $, для якого ми шукаємо алгебраїчне доповнення.

Таким чином сьогодні ми використовуємо злегка спрощене визначення. Але як ми побачимо надалі, його виявиться більш ніж достатньо. Куди важливіше наступна штука:

Визначення. Союзна матриця $ S $ до квадратної матриці $ A = \ left [n \ times n \ right] $ - це нова матриця розміру $ \ left [n \ times n \ right] $, яка виходить з $ A $ заміною $ (( a) _ (ij)) $ алгебраїчними доповненнями $ ((A) _ (ij)) $:

\\ Rightarrow S = \ left [\ begin (matrix) ((A) _ (11)) & ((A) _ (12)) & ... & ((A) _ (1n)) \\ (( A) _ (21)) & ((A) _ (22)) & ... & ((A) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A) _ (n1)) & ((A) _ (n2)) & ... & ((A) _ (nn)) \\\ end (matrix) \ right] \]

Перша думка, яка виникає в момент усвідомлення цього визначення - «це скільки ж доведеться за все вважати!» Розслабтеся: вважати доведеться, але не так вже й багато. :)

Що ж, все це дуже мило, але навіщо це потрібно? А ось навіщо.

Основна теорема

Повернемося трохи назад. Пам'ятайте, в Лемме 3 стверджувалося, що оборотна матриця $ A $ НІКОЛИ НЕ МАЄ вироджена (тобто її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $).

Так ось, вірно і зворотне: якщо матриця $ A $ не виродилися, то вона завжди оборотна. І навіть існує схема пошуку $ ((A) ^ (- 1)) $. Зацініть:

Теорема про зворотну матриці. Нехай дана квадратна матриця $ A = \ left [n \ times n \ right] $, причому її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $. Тоді обернена матриця $ ((A) ^ (- 1)) $ існує і обчислюється за формулою:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ left | A \ right |) \ cdot ((S) ^ (T)) \]

А тепер - все те ж саме, але розбірливим почерком. Щоб знайти зворотну матрицю, потрібно:

1. Порахувати визначник $ \ left | A \ right | $ і переконатися, що він відмінний від нуля.
2. Скласти союзну матрицю $ S $, тобто порахувати 100500 алгебраїчних доповнень $ ((A) _ (ij)) $ і розставити їх на місці $ ((a) _ (ij)) $.
3. Транспонувати цю матрицю $ S $, а потім помножити її на якесь число $ q = (1) / (\ left | A \ right |) \; $.

І все! Зворотній матриця $ ((A) ^ (- 1)) $ знайдено. Давайте подивимося на приклади:

\ [\ Left [\ begin (matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end (matrix) \ right] \]

Рішення. Перевіримо оборотність. Порахуємо визначник:

\ [\ Left | A \ right | = \ left | \ Begin (matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end (matrix) \ right | = 3 \ cdot 2-1 \ cdot 5 = 6-5 = 1 \]

Визначник відмінний від нуля. Значить, матриця оборотна. Складемо союзну матрицю:

Порахуємо алгебраїчні доповнення:

\ [\ Begin (align) & ((A) _ (11)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ left | 2 \ right | = 2; \\ & ((A) _ (12)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ left | 5 \ right | = -5; \\ & ((A) _ (21)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ left | 1 \ right | = -1; \\ & ((A) _ (22)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (2 + 2)) \ cdot \ left | 3 \ right | = 3. \\ \ end (align) \]

Зверніть увагу: визначники | 2 |, | 5 |, | 1 | і | 3 | - це саме визначники матриць розміру $ \ left [1 \ times 1 \ right] $, а не модулі. Тобто якщо в визначниках стояли негативні числа, Прибирати «мінус» не треба.

Разом наша союзна матриця виглядає так:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ left | A \ right |) \ cdot ((S) ^ (T)) = \ frac (1) (1) \ cdot ( (\ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ end (array) \ right]) ^ (T)) = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end (array) \ right] \]

Ну от і все. Завдання вирішена.

Відповідь. $ \ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end (array) \ right] $

Завдання. Знайдіть обернену матрицю:

\ [\ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Рішення. Знову вважаємо визначник:

\ [\ Begin (align) & \ left | \ Begin (array) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right | = \ begin (matrix ) \ left (1 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ left (-1 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right) \ cdot 1 + 2 \ cdot 0 \ cdot 0 \ right) - \\ - \ left (2 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ left (-1 \ right) \ cdot 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ left (-1 \ right) \ cdot 0 \ right) \\\ end (matrix) = \ \ & = \ left (2 + 1 + 0 \ right) - \ left (4 + 0 + 0 \ right) = - 1 \ ne 0. \\ \ end (align) \]

Визначник відмінний від нуля - матриця оборотна. А ось зараз буде сама жесть: треба порахувати аж 9 (дев'ять, мати їх!) Алгебраїчних доповнень. І кожне з них буде містити визначник $ \ left [2 \ times 2 \ right] $. полетіли:

\ [\ Begin (matrix) ((A) _ (11)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ left | \ Begin (matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right | = 2; \\ ((A) _ (12)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ left | \ Begin (matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ end (matrix) \ right | = -1; \\ ((A) _ (13)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ left | \ Begin (matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right | = -2; \\ ... \\ ((A) _ (33)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (3 + 3)) \ cdot \ left | \ Begin (matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ end (matrix) \ right | = 2; \\ \ end (matrix) \]

Коротше, союзна матриця буде виглядати так:

Отже, зворотна матриця буде такою:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (- 1) \ cdot \ left [\ begin (matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ end (matrix) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) - 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\ end (array) \ right] \]

Ось і все. Ось і відповідь.

Відповідь. $ \ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ end (array) \ right ] $

Як бачите, в кінці кожного прикладу ми виконували перевірку. У зв'язку з цим важливе зауваження:

Не лінуйтеся виконувати перевірку. Помножте вихідну матрицю на знайдену зворотний - повинна вийти $ E $.

Виконати цю перевірку набагато простіше і швидше, ніж шукати помилку в подальших обчисленнях, коли, наприклад, ви вирішуєте матричне рівняння.

альтернативний спосіб

Як я і говорив, теорема про зворотну матриці прекрасно працює для розмірів $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ і $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ (в останньому випадку- вже не так вже й «прекрасно»), а ось для матриць великих розмірів починається прям печаль.

Але не переживайте: є альтернативний алгоритм, за допомогою якого можна незворушно знайти зворотну хоч для матриці $ \ left [10 \ times 10 \ right] $. Але, як це часто буває, для розгляду цього алгоритму нам буде потрібно невелика теоретична вступна.

елементарні перетворення

Серед всіляких перетворень матриці є кілька особливих - їх називають елементарними. Таких перетворень рівно три:

1. Множення. Можна взяти $ i $ -ю рядок (стовпець) і помножити її на будь-яке число $ k \ ne 0 $;
2. Додавання. Додати до $ i $ -му рядку (стовпцю) будь-яку іншу $ j $ -ю рядок (стовпець), помножену на будь-яке число $ k \ ne 0 $ (можна, звичайно, і $ k = 0 $, але який у цьому сенс ? Нічого не зміниться ж).
3. Перестановка. Взяти $ i $ -ю і $ j $ -ю рядки (стовпці) і поміняти місцями.

Чому ці перетворення називаються елементарними (для великих матриць вони виглядають не такими вже елементарними) і чому їх тільки три - ці питання виходять за рамки сьогоднішнього уроку. Тому не будемо вдаватися в подробиці.

Важливо інше: всі ці збочення нам належить виконувати над приєднаної матрицею. Так, так: ви не помилилися. Зараз буде ще одне визначення - останнім в сьогоднішньому уроці.

Приєднана матриця

Напевно в школі ви вирішували системи рівнянь методом складання. Ну, там, відняти з одного рядка іншу, помножити якусь рядок на число - ось це ось все.

Так ось: зараз буде все той же, але вже «по-дорослому». Чи готові?

Визначення. Нехай дана матриця $ A = \ left [n \ times n \ right] $ і одинична матриця $ E $ такого ж розміру $ n $. Тоді приєднана матриця $ \ left [A \ left | E \ right. \ Right] $ - це нова матриця розміру $ \ left [n \ times 2n \ right] $, яка виглядає так:

\ [\ Left [A \ left | E \ right. \ Right] = \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (n1)) & ((a) _ (n2)) & ... & ((a) _ (nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Коротше кажучи, беремо матрицю $ A $, праворуч приписуємо до неї одиничну матрицю $ E $ потрібного розміру, поділяємо їх вертикальною лінією для краси - ось вам і приєднана. :)

У чому прикол? А ось в чому:

Теорема. Нехай матриця $ A $ оборотна. Розглянемо приєднану матрицю $ \ left [A \ left | E \ right. \ Right] $. Якщо за допомогою елементарних перетворень рядківпривести її до виду $ \ left [E \ left | B \ right. \ Right] $, тобто шляхом множення, віднімання і перестановки рядків отримати з $ A $ матрицю $ E $ справа, то отримана зліва матриця $ B $ - це зворотна до $ A $:

\ [\ Left [A \ left | E \ right. \ Right] \ to \ left [E \ left | B \ right. \ Right] \ Rightarrow B = ((A) ^ (- 1)) \]

Ось так все просто! Коротше кажучи, алгоритм знаходження оберненої матриці виглядає так:

1. Записати приєднану матрицю $ \ left [A \ left | E \ right. \ Right] $;
2. Виконувати елементарні перетворення рядків до тих пір, поки права замість $ A $ не з'явиться $ E $;
3. Зрозуміло, зліва теж щось з'явиться - якась матриця $ B $. Це і буде зворотна;
4. PROFIT! :)

Звичайно, сказати набагато простіше, ніж зробити. Тому давайте розглянемо кілька прикладів: для розмірів $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ і $ \ left [4 \ times 4 \ right] $.

Завдання. Знайдіть обернену матрицю:

\ [\ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ end (array) \ right] \ ]

Рішення. Складаємо приєднану матрицю:

\ [\ Left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Оскільки останній стовпець початкової матриці заповнений одиницями, віднімемо перший рядок з інших:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \ begin (matrix) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Більше одиниць немає, крім першого рядка. Але її ми не чіпаємо, інакше в третьому стовпці почнуть «розмножуватися» щойно прибрані одиниці.

Зате можемо відняти другий рядок двічі з останньої - отримаємо одиницю в лівому нижньому кутку:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \ begin (matrix) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ end (matrix) \ to \\ & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Тепер можна відняти останній рядок з першої і двічі з другої - таким чином ми «занулити» перший стовпець:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (array) \ right] \ begin (matrix) -1 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Помножимо другий рядок на -1, а потім віднімемо її 6 разів з першої і додамо 1 раз до останньої:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (array) \ right] \ begin (matrix) \ \\ \ left | \ Cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ \ \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end (array) \ right] \ begin (matrix) -6 \\ \ updownarrow \\ +1 \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrr | rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Залишилося лише поміняти місцями рядки 1 і 3:

\ [\ Left [\ begin (array) (rrr | rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\ end (array) \ right] \]

Готово! Праворуч - шукана зворотна матриця.

Відповідь. $ \ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ end (array) \ right ] $

Завдання. Знайдіть обернену матрицю:

\ [\ Left [\ begin (matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\ end (matrix) \ right] \]

Рішення. Знову складаємо приєднану:

\ [\ Left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Трохи позалімаем, попечалімся від того, скільки зараз доведеться рахувати ... і почнемо рахувати. Для початку «обнулив» перший стовпець, віднімаючи рядок 1 з рядків 2 і 3:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \ begin (matrix) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Спостерігаємо занадто багато «мінусів» в рядках 2-4. Помножимо всі три рядки на -1, а потім «випалимо» третій стовпець, віднімаючи рядок 3 з інших:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end (array) \ right] \ begin (matrix) \ \\ \ left | \ Cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ \ left | \ Cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ \ left | \ Cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\ end (array) \ right] \ begin (matrix) -2 \\ -1 \\ \ updownarrow \\ -2 \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Тепер саме час «підсмажити» останній рядок вихідної матриці: віднімаємо рядок 4 з інших:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (array ) \ right] \ begin (matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

Фінальний кидок: «випалюємо» другий стовпець, віднімаючи рядок 2 з рядка 1 і 3:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end ( array) \ right] \ begin (matrix) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\\ end (matrix) \ to \\ & \ to \ left [\ begin (array) (rrrr | rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (array) \ right] \\ \ end (align) \]

І знову зліва одинична матриця, значить справа - зворотна. :)

Відповідь. $ \ Left [\ begin (matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ end (matrix) \ right] $

Ну от і все. Перевірку зробіть самі - мені в лом. :)

Для будь-якої невиродженої матриці А існує і притому єдина матриця A -1 така, що

A * A -1 = A -1 * A = E,

де E - одинична матриця тих же порядків, що і А. Матриця A -1 називається оберненою до матриці A.

Якщо хтось забув, в одиничної матриці, крім діагоналі, заповненої одиницями, всі інші позиції заповнені нулями, приклад одиничної матриці:

Знаходження оберненої матриці методом приєднаної матриці

Зворотній матриця визначається формулою:

де A ij - елементів a ij.

Тобто для обчислення зворотної матриці, потрібно обчислити визначник цієї матриці. Потім знайти алгебраїчні доповнення для всіх її елементів і скласти з них нову матрицю. Далі потрібно транспортувати цю матрицю. І кожен елемент нової матриці поділити на визначник вихідної матриці.

Розглянемо кілька прикладів.

Знайти A -1 для матриці

Р і ш е н і е. Знайдемо A -1 методом приєднаної матриці. Маємо det A = 2. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці A. В даному випадку алгебраїчними доповненнями елементів матриці будуть відповідні елементи самої матриці, взяті зі знаком відповідно до формули

Маємо A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Утворити приєднану матрицю

Транспортуємо матрицю A *:

Знаходимо обернену матрицю за формулою:

отримуємо:

Методом приєднаної матриці знайти A -1, якщо

Р і ш е н і е. Перш за все обчислюємо визначитеся даної матриці, щоб переконатися в існуванні оберненої матриці. маємо

Тут ми додали до елементів другого рядка елементи третього рядка, помножені попередньо на (-1), а потім розкрили визначник по другому рядку. Так як визначитеся даної матриці відмінний від нуля, то обернена до неї матриця існує. Для побудови приєднаної матриці знаходимо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці. маємо

Відповідно до формули

транспортуємо матрицю A *:

Тоді за формулою

Знаходження оберненої матриці методом елементарних перетворень

Крім методу знаходження зворотної матриці, що випливає з формули (метод приєднаної матриці), існує метод знаходження зворотної матриці, званий методом елементарних перетворень.

Елементарні перетворення матриці

Елементарними перетвореннями матриці називаються такі перетворення:

1) перестановка рядків (стовпців);

2) множення рядка (стовпчика) на число, відмінне від нуля;

3) додаток до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), попередньо помножених на деяке число.

Для знаходження матриці A -1 побудуємо прямокутну матрицюВ = (А | Е) порядків (n; 2n), приписуючи до матриці А справа одиничну матрицю Е через роздільну лінію:

Розглянемо приклад.

Методом елементарних перетворень знайти A -1, якщо

Р і ш е н і е. Утворити матрицю B:

Позначимо рядки матриці B через α 1, α 2, α 3. Зробимо над рядками матриці B наступні перетворення.