Решение с решението за остатъчни вещества. Разделяне на естествени числа с остатъка: правила, примери и решения

Преди да опишем подробно всички стъпки на алгоритъма на дивизията на естествените числа с остатъка, ще отговорим на три въпроса: това, което първоначално ни е известно, че трябва да намерим и въз основа на какви съображения ще направим това? Първоначално знаем Делими А и разделител Б. Трябва да намерим непълна частна С и остатък d. Равенството A \u003d B · C + D поставя връзката между делима, делител, непълна частна и остатъка. От записаното равенство следва, че ако представяме делима А под формата на сумата b · C + D, в която D е по-малко от b (тъй като остатъкът е винаги по-малък от разделителя), тогава ще видим и непълен Частно С и остатъкът d.

Остава само да разбере как Delimi A е под формата на сумата b · C + D. Алгоритъмът, който позволява това е много подобен на алгоритъма за разделяне на естествени числа без остатък. Ние описваме всички стъпки и в същото време ще запазим примера за пример за по-голяма яснота. Разделяме 899 на 47.

Първите пет точки на алгоритъма ще бъде позволено да се подават делима като сума от няколко термина. Трябва да се отбележи, че действията от тези позиции се повтарят циклично и отново, докато не бъдат намерени всички термини, управляващи в размера на делимостта. В последния шести параграф, получената сума се превръща във формата B · C + D (ако получената сума няма да има такава форма), когато желаният непълен личен и остатък се виждат.

Така че, пристъпи към подаването на разделителна способност 899 като сума от няколко термина.

Първо, изчислете колко броя на знаците в разделителния запис е по-голям от броя на знаците в записа на разделителя и помнете този номер.

В нашия пример, в записите за разделяне на 3 знака (899 - трицифрен номер), и в записа на разделителя - два знака (47 - двуцифрено число), следователно, в записа на неделима за един знак повече и ние си спомняме номер 1.

Сега в записите на разделителя надясно фигурите 0 в сумата, определена от номера, получен в предишния параграф. В същото време, ако записаният номер е по-делителен, номерът се помни в предишния параграф.

Върнете се в нашия пример. В записа на разделителя 47 добавете една цифра 0 и получаваме числото 470. От 470.<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

След това до фигура 1, вие атрибут номера 0 в сума, определена от номера, който се съхранява в предишния параграф. В същото време получаваме единица освобождаване, с която ще работим по-нататък.

В нашия пример, до фигурата 1 приписваме 1 цифра 0, докато получаваме номер 10, т.е. ще работим с изхвърлянето на десетки.

Сега последователно умножават разделителя на 1, 2, 3, ... единиците на работния разряд до момента получаваме номер, повече или равен на разделение.

Разкрихме, че в нашия пример работата на изхвърлянето е изхвърлянето на десетки. Затова първо умножаваме разделител на една единица за разреждане на десетки, т.е. ние се размножаваме 47 на 10, получаваме 47 · 10 \u003d 470. Полученият номер 470 е по-малко разделен 899, така че се обръщаме към умножаването на разделителя в два единици от изхвърлянето на десетки, т.е. 47 се размножават с 20. Имаме 47 · 20 \u003d 940. Имаме номер, който е повече от 899.

Номерът, получен в предпоследната стъпка с последователно умножение, е първият от желаните термини.

В разглобен пример, желаният термин е номер 470 (този номер е равен на продукта 47 · 100, това е равенство, което използваме по-късно).

След това откриваме разликата между делимата и първата намерена категория. Ако полученият номер е по-делител, след това продължете към намирането на втория план. За да направите това, повтарям всички стъпки на алгоритъма, но полученият тук броя вече е приет като делик. Ако номерът отново се получи в този момент, след това продължаваме да намираме третия термини, още веднъж повтаряме стъпките на алгоритъма, като приемаме произходния номер като делителен. И така действат по-нататък, намирането на четвърти, пети и последващи термини, докато броят им, получен в този момент, няма да бъде по-малък от разделителя. Веднага щом това се случи, номерът, получен тук, се приема като последните желани термини (минавайки напред, нека кажем, че е равно на остатъка) и отидете на последния етап.

Върнете се в нашия пример. На тази стъпка имаме 899-470 \u003d 429. От 429\u003e 47, ние приемаме този номер като делик и повторим с него всички етапи на алгоритъма.

В записа на числото 429 на един знак, повече, отколкото в броя на числата 47, затова запомнете номера 1.

Сега в записите на разделението завършваме една цифра 0, получаваме числото 470, което е по-голямо от числото 429. Ето защо, от едно, съхранявано в предишния параграф 1, ние изваждаме 1, получаваме номер 0, който си спомням.

Тъй като в предходния параграф си спомняме числото 0, след това на фигура 1 не е необходимо да се приписва на всеки номер 0. В същото време имаме номер 1, т.е. изхвърлянето на работата е освобождаването на единици.

Сега постоянно умножете разделител 47 на 1, 2, 3, ... ние няма да спрем това подробно. Нека просто кажем, че 47 · 9 \u003d 423<429 , а 47·10=470>429. Вторият желан срок е числото 423 (което е 47 · 9, което използваме).

Разликата между 429 и 423 е 6. Този номер е по-малък от разделителя 47, така че е третата (и последната) на желаните термини. Сега можем да преминем към последния етап.

Е, стигнахме до последен етап. Всички предишни действия бяха насочени към подаване на делител под формата на сума от няколко термина. Сега получената сума остава да конвертирате b · c + d. С тази задача ще помогнем да се справят с разпределителното свойство на умножаването спрямо допълнение. След това ще бъдат наблюдавани желаните непълни частни и остатъци.

В нашия пример Deli-899 е равен на сумата от трите термина 470, 423 и 6. Сумата от 470 + 423 + 6 може да бъде пренаписана във формата 47 · 10 + 47 · 9 + 6 (не забравяйте, обърнахме внимание на равенството 470 \u003d 47 · 10 и 423 \u003d 47 · 9). Сега приложите свойството за умножаване на естествен номер в количеството, докато получаваме 47 · 10 + 47 · 9 + 6 \u003d 47 · (10 + 9) + 6 \u003d 47 · 19 + 6. По този начин, делима се трансформира до горната форма 899 \u003d 47 · 19 + 6, откъдето е лесно да е непълна частна 19 и остатък 6.

Така, 899: 47 \u003d 19 (Ost. 6).

Разбира се, когато решавате примери, няма да опишете в такъв план разделението на ремисия.

Прочетете урока: "Решение с остатъка". Какво вече знаете по тази тема?

Можете ли да разложите 8 сливи еднакво на две плочи (фиг. 1)?

Фиг. 1. Илюстрация например

Във всяка платка можете да поставите 4 сливи (фиг. 2).

Фиг. 2. Илюстрация например

Действието, което извършихме, може да бъде написано така.

8: 2 = 4

Какво мислите, че е възможно да се постави 8 капки, за да се разложи на 3 чинии (фиг. 3)?

Фиг. 3. Илюстрация например

Ще действаме така. Първо, поставете на всяка плоча на една слива, след това на втората слива. Ще имаме 2 сливи, но 3 чинии. Така че не можем да се разложи още повече. Слагаме във всяка табела с 2 сливи и 2 плитките наляво (фиг. 4).

Фиг. 4. Илюстрация например

Продължаване на наблюдението.

Четене на номера. Сред тези числа намират тези, които са разделени на 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Проверете себе си.

Останалите числа (11, 13, 14, 16, 17, 19) не са разделени на 3, или казват "Споделете с останалите."

Намерете стойността на частните.

Научаваме колко пъти 3 се съдържат между 17 (фиг. 5).

Фиг. 5. Илюстрация например

Виждаме, че тя се вписва в 3 овални 5 пъти и остава 2 овални.

Извършеното действие може да бъде написано така.

17: 3 \u003d 5 (Ost. 2)

Може да бъде записан в колоната (фиг. 6)

Фиг. 6. Илюстрация например

Помислете за рисунки. Обяснете подписите към тези чертежи (фиг. 7).

Фиг. 7. Илюстрация например

Помислете за първия чертеж (фиг. 8).

Фиг. 8. Илюстрация например

Виждаме, че 15 овала са разделени на 2. На 2, повтаря се 7 пъти, в остатъка - 1 овал.

Помислете за втория чертеж (фиг. 9).

Фиг. 9. Илюстрация например

На тази цифра, 15 квадрата са разделени на 4. 4, той се повтаря 3 пъти, в остатъка - 3 квадрати.

Помислете за третия чертеж (фиг. 10).

Фиг. 10. Илюстрация например

Може да се каже, че 15 овала са разделени на 3. 3 с 3 многократно 5 пъти по-скоро. В такива случаи те казват, че остатъкът е 0.

Изпълнете разделение.

Седем квадрата се разделят три. Получаваме две групи и един квадрат ще остане. Ние записваме решението (фиг. 11).

Фиг. 11. Илюстрация например

Изпълнете разделение.

Научаваме колко пъти четири са четири сред 10. Виждаме, че сред 10-четири четири съдържа 2 пъти и 2 квадрата остават. Записваме разтвора (фиг. 12).

Фиг. 12. Илюстрация например

Изпълнете разделение.

Научаваме колко пъти две се съдържат сред 11. Виждаме, че сред 11 две два съдържания 5 пъти и 1 квадрат остава. Записваме разтвора (фиг. 13).

Фиг. 13. Илюстрация например

Направете заключение. Разделете с остатъка - това означава да се знае колко пъти разделителят се съдържа в разделянето и колко единици ще останат.

Разделението с остатъка може да се извърши на цифровия лъч.

На числовия лъч отразяваме сегментите от 3 дивизии и виждаме, че три дивизии се оказаха три пъти и оставаше едно разделение (фиг. 14).

Фиг. 14. Илюстрация например

Ние записваме решението.

10: 3 \u003d 3 (OST.1)

Изпълнете разделение.

На цифровия лъч отразяваме сегментите от 3 дивизии и виждаме, че три дивизии се оказаха три пъти и останаха две разделения (фиг. 15).

Фиг. 15. Илюстрация например

Ние записваме решението.

11: 3 \u003d 3 (OST.2)

Изпълнете разделение.

На цифровия лъч отразяваме сегментите от 3 дивизии и виждаме, че имаме точно 4 пъти, остатъкът отсъства (фиг. 16).

Фиг. 16. Илюстрация например

Ние записваме решението.

12: 3 = 4

Днес, в урока, ние срещнахме разделението с остатъка, научихме се да извършим наречения ефект, използвайки чертежа и цифровия лъч, бяха обучени в решаването на примери по темата на урока.

Библиография

1. M.i. Моро, ма. Бантова и др. Математика: урок. Степен 3: в 2 части, част 1. - m.: Просвещение, 2012.
2. M.i. Моро, ма. Бантова и др. Математика: урок. Степен 3: в 2 части, част 2. - m.: "Образование", 2012.
3. M.i. Моро. Уроци по математика: Насоки за учител. Степен 3. - m.: Просвещение, 2012.
4. Регулаторен документ. Контрол и оценка на резултатите от обучението. - m.: "Просветление", 2011.
5. "Училище на Русия": програми за основно училище. - m.: "Просветление", 2011.
6. S.i. Волков. Математика: Проверка. Степен 3. - m.: Просвещение, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Тестове. - м.: Изпит, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашна работа

1. Номера на напитки, които са разделени на 2 без остатък.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Вземете разделение с остатъка с чертежа.

3. Подходяща разделяне с остатъка с цифров лъч.

4. Направете задание за другарите си по темата на урока.

Разделение с останалите - Това е разделението на един номер на друг, при който остатъкът не е равен на нула.

Отделът не винаги е възможно, тъй като има случаи, когато един номер не е разделен на друг. Например, номер 11 не е разделен на 3, тъй като няма такъв естествен брой, когато се умножи 3 ще бъде 11.

Когато дивизията не може да се направи, не е възможно да се раздели всичко, но само най-голямата му част, която може да бъде разделена на разделител. В този пример Най-голямата част от разделението, която може да бъде разделена на 3 - това е 9 (в резултат на това получаваме 3), оставащата по-малка част от разделението - 2 не е разделена на 3.

Говоренето на дивизия 11 на 3, 11 все още се нарича делима, 3 - разделител, резултатът от разделението - номерът 3 се нарича непълна частнаи номер 2 - остатък от дивизия. Самото разделение в този случай се нарича разделение с остатъка.

Непълна частна извика най-голямото числокоито при умножаване на дивизора дава продукт, който не надвишава разделението. Разликата между делима и този продукт се нарича остатък. Остатъкът винаги е по-малък от разделител, в противен случай може да бъде разделен и на разделител.

Дивизията с остатъка може да бъде записана като тази:

11: 3 \u003d 3 (остатък 2)

Ако, когато разделяте един естествен номер на друг в остатъка, се оказва 0, се казва, че първият номер е разделен на втория. Например 4 е разделена на 2 целта. Номер 5 не е разделен на 2 целта. Думата обикновено се понижава за краткост и казва: Този брой е разделен на друг, например: 4 е разделен на 2 и 5 не е разделен на 2.

Проверка на разделението с остатъка

Проверете резултата от разделянето с остатъка по следния начин: Непълна частна умножена към разделителя (или обратно) и добавете остатъка до получения продукт. Ако резултатът е разделение, равно на разделяне, разделянето с остатъка се извършва правилно:

11: 3 \u003d 3 (остатък 2)

В тази статия внимателно разглеждаме разделение с останалите. Да започнем от S. общо изглед за това действие, след това разберете значението на разделението на естествените числа с остатъкаИ ние въвеждаме необходимите термини. След това очертайте обхвата на задачите, решени чрез разделяне на естествени числа с остатъка. В заключение ще живеем на всякакви връзки между делима, дива, непълна частна и спасителна остатъка.

Навигация.

Отговор:

Delimiya е 79.

Трябва също да се отбележи, че проверката на резултата от разделянето на естествени числа с остатъка се извършва чрез проверка на справедливостта на равенството, получено A \u003d B · C + D.

Намиране на остатъка, ако знаете delimi, разделител и непълна частна

По отношение на неговото значение, остатъкът d е броят на елементите, които остават в оригиналния сет след изключването от неговите елементи b пъти според елементите на С. Следователно, поради смисъла на умножаване на естествените числа и значението на изваждането на естествените числа, равенството е справедливо d \u003d a-b · c . По този начин, остатъкът D от разделението на естествения номер А на естествения номер Б е равен на разликата в разделянето на А и на продукта на разделителя Б на непълна частна С.

Получената връзка D \u003d A-B · C ви позволява да намерите остатък, когато се разделяте, разделителя и непълни частни. Помислете за решението на примера.

Как да научим детето да се раздели? Най-лесният метод е - да научите разделението на колоната. Това е много по-лесно, отколкото да се извършат изчисленията в ума, той помага да не се обърка, не "губи" числа и да развие ментална схема, която ще продължи да работи автоматично.

Във връзка с

Как да бягате

Доставката с остатъка е метод, в който броят им не може да бъде разделен точно на няколко части. В резултат на това математическо действие, в допълнение към цялата част, остава неделимо парче.

Нека дадем прост пример Как да споделяте с остатъка:

Има банка за 5 литра вода и 2 кутии от 2 литра. Когато от пет литра кутии водата се прелива в два литра, 1 литър не използвана вода ще остане в пет литра. Това е балансът. В цифровата версия изглежда така:

5: 2 \u003d 2 OST (1). Откъде идват 1? 2x2 \u003d 4, 5-4 \u003d 1.

Сега разгледайте реда на разделянето в колона с остатъка. Това визуално улеснява процеса на изчисление и спомага за загуба на числа.

Алгоритъмът определя местоположението на всички елементи и последователността на действията, върху които се извършва изчислението. Като пример ние разделяме 17 до 5.

Основни стъпки.:

1. Правилен запис. Delimi (17) - разположен от лявата страна. Правото на дивидера пише разделителя (5). Между тях извършват вертикална линия (означаващ знак за делене), а след това от този ред те прекарват хоризонтални, подчертавайки разделителя. Основните характеристики са маркирани с оранжево.
2. Търсене за едно цяло. Освен това се извършва първото и просто изчисление - колко разделители се вписват в Delim. Ние използваме таблицата за умножение и проверяваме: 5 * 1 \u003d 5 - е поставен, 5 * 2 \u003d 10 - е поставен, 5 * 3 \u003d 15 - поставен, 5 * 4 \u003d 20 - не е поставен. Пет пъти четири - повече от седемнадесет, това означава, че четвъртата пет не се вписва. Връщане на три. В 17-литровия буркан, 3 пет литра ще се поберат. Запишете резултата във форма: 3 пишете под линията, под разделителя. 3 е непълна частна.
3. Определяне на баланса. 3 * 5 \u003d 15. 15 Писане под делима. Нека да получим линия (показва знака "\u003d"). Ние изваждаме от диминирания номер: 17-15 \u003d 2. Ние записваме резултата по-долу под линията - в колоната (следователно името на алгоритъма). 2 е остатъкът.

Забележка! Когато се разделя по този начин, остатъкът трябва винаги да бъде по-малък от разделителя.

Когато разделителят е по-голям

Причиняват случаи на трудност, когато разделителят се окаже по-делителен. Десетични фракции Програмата за третия клас все още не е проучена, но като следва логиката, отговорът трябва да бъде записан под формата на фракция - в най-добрия десетичен знак, в най-лошия - просто. Но (!) В допълнение към програмата, методологията за изчисление ограничава задачата: Необходимо е да не се разделя и да намери останалото! Част от тях не е! Как да решавате такава задача?

Забележка! Има правило за случаи, когато разделителят е по-делителен: непълна частна равна на 0, остатъкът е делик.

Как да разделим номер 5 по номер 6, подчертавайки остатъка? Колко 6-литрови кутии влизат в пет литра? защото 6 повече от 5.

На задачата трябва да попълните 5 литра - нито един не е запълнен. Така че, всички 5. Отговор: непълна частна \u003d 0, остатък \u003d 5.

Дивизията започва да учи в третия клас в училище. По това време учениците трябва вече да могат да направят разделението на двуцифрени числа до недвусмислени.

Решете задачата: 18 бонбони трябва да получат пет деца. Колко бонбони ще останат?

Примери:

Ние откриваме непълна частна: 3 * 1 \u003d 3, 3 * 2 \u003d 6, 3 * 3 \u003d 9, 3 * 4 \u003d 12, 3 * 5 \u003d 15. 5 - Бюст. Връщане към 4.

Остатъкът: 3 * 4 \u003d 12, 14-12 \u003d 2.

Отговор: Непълна частна 4, 2 ляво.

Можете да зададете защо, когато разделяте 2, остатъкът е равен на 1 или 0. върху таблицата за умножение, между числа, множество две има разлика в едно.

Друга задача: 3 паячета трябва да бъдат разделени за две.

4 Pies се разделят за две.

5 Pies се разделят за две.

Работете с многоценки

Програмата за степен 4 предлага по-сложен процес на разделяне с увеличаване на изчислените номера. Ако в третия клас изчисленията се извършват въз основа на таблицата за умножение на базата данни, варираща от 1 до 10, тогава четвъртотослойните на изчислението се извършват с много ценени числа над 100.

Това действие е най-удобно за изпълнение в колоната, тъй като непълното лично ще бъде двуцифрено число (в повечето случаи), а алгоритъмът на колона улеснява изчисленията и ги прави по-визуални.

Отслабване многоваленни номера на двуцифрена: 386:25

Този пример се различава от предишното количество нива на изчисление, въпреки че изчисленията се извършват от същия принцип, както преди. Помислете за прочетете повече:

386 - Delimi, 25 - разделител. Необходимо е да се намери непълна частна и да се разпредели остатъка.

Първо ниво

Разделителят е двуцифрено число. Delimi - трицифрена. Ние разпределяме първите два левия брой от дивидера - тя е 38. Сравнете ги с разделител. 38 повече 25? Да, това означава, че 38 могат да бъдат разделени на 25. Колко като цяло 25 са в 38?

25 * 1 \u003d 25, 25 * 2 \u003d 50. 50 Повече от 38, върнете се назад назад.

Отговор - 1. Запишете единица в зоната не е пълна с частна.

38-25 \u003d 13. Напишете номер 13 под функцията.

Второ ниво

13 още 25? Не - това означава, че можете да "пропуснете" числото 6 надолу, добавяйки го до 13, дясно. Оказа се 136. 136 повече от 25? Да, това означава, че можете да го извадите. Колко пъти 25 годни в 136?

25 * 1 \u003d 25, 25 * 2 \u003d 50, 25 * 3 \u003d 75, 25 * 4 \u003d 100, 25 * 5 \u003d 125, 256 * \u003d 150. 150 повече 136 - връщаме се обратно към една стъпка. Пишем 5 в непълната частна зона, вдясно от едно.

Изчислете остатъка:

136-125 \u003d 11. Написани под функцията. 11 още 25? Не - разделението е невъзможно. Delimo ляво фигури? Не - няма нищо повече да споделяте. Изчисленията са завършени.

Отговор: Непълна частна равна на 15, в остатъка 11.

И ако такова разделение се предлага, когато двуцифреният разделител повече първи Две цифри на многоцереното разделение? В този случай третата (четвърта, пета и последваща) дивизионна фигура участва незабавно в изчисленията.

Даваме примери За разделяне с три- и четирицифрени числа:

75 - двуцифрено число. 386 - трицифрена. Сравнете първите две цифри отляво с разделителя. 38 повече 75? Не - разделението е невъзможно. Вземете всичките 3 цифри. 386 повече от 75? Да - може да се направи разделение. Изчисли.

75 * 1 \u003d 75, 75 * 2 \u003d 150, 75 * 3 \u003d 225, 75 * 4 \u003d 300, 75 * 5 \u003d 375, 75 * 6 \u003d 450. 450 повече 386 - връщаме стъпка назад. Пишем 5 до непълната частна зона.

Ние намираме остатъка: 386-375 \u003d 11. 11 повече от 75? Не. Все още оставиха фигури от разделянето? Не. Изчисленията са завършени.

Отговор: Непълна частна \u003d 5, в остатъка - 11.

Проверка на проверката: 11 Повече от 35? Не - разделението е невъзможно. Заместваме третото число - 119 повече от 35? Да - можем да провеждаме действие.

35 * 1 \u003d 35, 35 * 2 \u003d 70, 35 * 3 \u003d 105, 35 * 4 \u003d 140. 140 повече 119 - връщаме една крачка назад. Пишем 3 в зоната на непълна баланс.

Ние намираме остатъка: 119-105 \u003d 14. 14 повече от 35? Не. Предоставени номера остават? Не. Изчисленията са завършени.

Отговор: Непълна частна \u003d 3, ляво - 14.

Проверете: 11 Повече от 99? Не - заместваме друга фигура. 119 Повече от 99? Да - Стартиране на изчисления.

11<99, 119>99.

99 * 1 \u003d 99, 99 * 2 \u003d 198 - Бюст. Пишем 1 на непълна частна.

Ние намираме остатъка: 119-99 \u003d 20. Двадесет<99. Опускаем 5. 205>99. Изчислете.

99 * 1 \u003d 99, 99 * 2 \u003d 198, 99 * 3 \u003d 297. BRUEP. Пишем 2 в непълна частна.

Ние намираме остатъка: 205-198 \u003d 7.

Отговор: Непълна частна \u003d 12, остатък - 7.

Решение с остатъка - примери

Да се \u200b\u200bнаучат да се разделят в колона с остатъка

Изход

По този начин се извършват изчисления. Ако сте внимателни и изпълнете правилата, тогава нищо не се усложнява. Всеки ученик може да се научи да се счита за колона, защото е бърз и удобен.