Ограниченията създават много проблеми на всички студенти по математика. За да разрешите границата, понякога трябва да използвате много трикове и да изберете от множество решения точно това, което е подходящо за конкретен пример.

В тази статия няма да ви помогнем да разберете границите на вашите способности или да разберете границите на контрола, но ще се опитаме да отговорим на въпроса: как да разберете границите на висшата математика? Разбирането идва с опит, така че в същото време ще дадем някои подробни примери за решаване на граници с обяснения.

Концепцията за лимит в математиката

Първият въпрос е: каква е границата и границата на какво? Можем да говорим за граници на числови последователности и функции. Интересуваме се от понятието граница на функция, тъй като именно с тях учениците най-често се сблъскват. Но първо, най-общата дефиниция на лимит:

Да кажем, че има някаква променлива. Ако тази стойност в процеса на промяна се доближава за неопределено време до определено число а , тогава а е границата на тази стойност.

За функция, дефинирана в някакъв интервал f(x)=y границата е броят А , към които функцията клони, когато х клонящи към определена точка а . Точка а принадлежи на интервала, на който е дефинирана функцията.

Звучи тромаво, но е написано много просто:

Лим- от английски лимит- лимит.

Има и геометрично обяснение за дефиницията на границата, но тук няма да навлизаме в теорията, тъй като се интересуваме повече от практическата, отколкото от теоретичната страна на въпроса. Когато казваме това х клони към някаква стойност, това означава, че променливата не приема стойността на число, а се приближава безкрайно близо до нея.

Да вземем конкретен пример. Предизвикателството е да се намери границата.

За да решим този пример, заместваме стойността х=3 във функция. Получаваме:

Между другото, ако се интересувате, прочетете отделна статия по тази тема.

В примерите х може да клони към всяка стойност. Може да бъде произволно число или безкрайност. Ето един пример кога х клони към безкрайност:

Интуитивно е ясно, че колкото по-голямо е числото в знаменателя, толкова по-малка стойност ще приеме функцията. И така, с неограничен растеж х значение 1/x ще намалява и ще се доближава до нула.

Както можете да видите, за да разрешите границата, просто трябва да замените стойността, към която да се стремите, във функцията х . Това обаче е най-простият случай. Често намирането на границата не е толкова очевидно. В границите има несигурност на типа 0/0 или безкрайност/безкрайност . Какво да правим в такива случаи? Използвайте трикове!

Вътрешна несигурност

Неопределеност на формата безкрайност/безкрайност

Нека има ограничение:

Ако се опитаме да заместим безкрайност във функцията, ще получим безкрайност както в числителя, така и в знаменателя. Като цяло си струва да се каже, че има известен елемент на изкуство в разрешаването на такива несигурности: човек трябва да забележи как една функция може да бъде трансформирана по такъв начин, че несигурността да изчезне. В нашия случай разделяме числителя и знаменателя на х в старша степен. Какво ще се случи?

От вече разгледания по-горе пример знаем, че членовете, съдържащи x в знаменателя, ще клонят към нула. Тогава решението на лимита е:

За разкриване на неясноти по типа безкрайност/безкрайностразделете числителя и знаменателя на хв най-висока степен.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Друг вид несигурност: 0/0

Както винаги, заместване във функцията на стойността х=-1 дава 0 в числителя и знаменателя. Погледнете малко по-внимателно и ще забележите, че имаме квадратно уравнение в числителя. Нека намерим корените и напишем:

Нека намалим и получим:

Така че, ако срещнете неяснота на типа 0/0 - разложете на множители числителя и знаменателя.

За да ви улесним при решаването на примери, ето таблица с ограниченията на някои функции:

Правилото на L'Hopital в рамките

Друг мощен начин за премахване на двата вида несигурност. Каква е същността на метода?

Ако има несигурност в границата, вземаме производната на числителя и знаменателя, докато несигурността изчезне.

Визуално правилото на L'Hopital изглежда така:

Важен момент : границата, в която производните на числителя и знаменателя са вместо числителя и знаменателя, трябва да съществува.

А сега реален пример:

Има типична несигурност 0/0 . Вземете производните на числителя и знаменателя:

Воала, несигурността се елиминира бързо и елегантно.

Надяваме се, че ще можете да използвате тази информация на практика и да намерите отговора на въпроса "как да решаваме граници във висшата математика". Ако трябва да изчислите границата на последователност или границата на функция в точка и няма време за тази работа от думата „абсолютно“, свържете се с професионална студентска служба за бързо и подробно решение.



Освен това той е дълъг двадесет и осем години и двадесет и осем зими,

Пазеше една тайна в себе си и беше примерен съпруг в семейството.
Всичко беше както винаги: съпругата приготвяше вечеря ...
Но изведнъж се случи нещастие: той го взе и си спомни тайната.
Под шума и киселата миризма на зелева супа, мърморене стеснено сутрин,
Спомняше си всичко до най-малкия детайл, сякаш беше вчера ...
... Тя седеше до прозореца и меката прекрасна лунна светлина
Нарисува красивия си силует в бледи тонове ...
Кичури течаха по раменете, плъзгаха змии по гърдите ...
И си помисли в разгара на мига: „Някой ден ще се оженя за нея!“
Помнеше всичко до най-малката подробност: извивките на линиите, мекотата на устните...
И топлината на нейните прости речи, и извън прозореца огромен дъб.
Преплитане на ръце… Сливане на тела… Каскада от кафяви коси…
И начинът, по който я искаше до лудост, до сълзи!
Признания на трепетен поток, както той ги шепне в ухото му!
Смешна къдрица над ухото, която трепереше от дъх ...
Тя го погледна с очи, влажни като нощта.
Думите бяха опияняващи като вино: „Обичам те… Роди ми дъщеря…“
На сутринта той загуби спокойствието си: той се суетеше, после му беше скучно ...
След това, като покри лицето си с ръка, седна на един стол и замълча.
Съпругата измърмори, както винаги. Скара се на избягалата супа ...
И отбеляза, че възрастта й, остаряла, не й отива.
Как не й отива бял цвят и кичури боядисана коса.
И в продължение на двадесет и осем години всичко беше някак несериозно ...
Изведнъж той скочи, грабна палтото си, забрави за шапката и чорапите.
Всички двадесет и осем години - не това ... Всички двадесет и осем зими - меланхолия.
Намерих тази къща. Къщата е дъбова. Тичаше по стълбите като стрела...
Да успокои треперещите от студените устни, и гадната страхливост - долу!
Вероятно сега пие чай и се увива в шал ...
И от красивите й очи струи тиха тъга ...
Или може би сте започнали да плетете? Може би тъкане на дантела?
Толкова много да й кажа! И най-важното, съжалявам...
Тя отвори вратата ... В очите - въпрос. Тя отново беше на двайсет...
Каскада от кестенява коса… Познат силует…
Над ухото - лека къдрица ... Както преди много години - точно същата ...
— Не грешите? - Не, не можах ... Аня ли си? " Вера. Нейната дъщеря…"
„А Аня?“ - „Мама вече я няма ... Кой си ти?“ Той се обърна назад:
„Двадесет и осем години ходя при нея…“ – Тя те чака… Двадесет и пет…
Колко замаяно ... Как сърцето ми потъна в гърдите ми!
И си спомни думите й с молба: "Не си отивай!"
Той се прегърби. Залута се. Сплитът на ръцете ... Сливането на телата ...
Обичам те... Дай ми дъщеря... Но той много искаше дъщеря.
Колко странно. Аня вече я няма ... Плаках ... Хвърлих в тишина: „Ще те обичам много, много години ... Ти сам ...“

P.S. ПАЗЕТЕ ЛЮБОВТА - тя е в основата на вашето щастие...



Жена, която много често прощава и търпи много дълго, често си отива неочаквано и завинаги!



Знайте, че всеки има различна „болка“,
Знайте, че всеки има различно „страшно“.
Не съдете от вашата камбанария
Неизвестен брой етажи.

Не поставяйте граници
Не мислете за ограничения с мозъка си.
Какво сънуваш в ужасен сън,
За някои това е както обикновено.

Знайте, че всеки има различна „нужда“,
Знайте, че всеки има различна „трудност“.
Въпреки това, представянето на ада
Невъзможно е да се обобщава и сравнява.

Знайте, че истината е друга
Не тази, която идва на тепсия.
Погледнете по-отблизо тези, чиято съдба плаши
Това са най-силните хора.

Не казвай, че не те помня
Помня всичко и то по много пъти на ден
Повтарям телефонния номер
Но никога няма да ти се обадя.
Имах чувството, че сърцето ми ще се разбие
И на ръба на самотните дни

Отидоха зад хоризонта в душата ми.
Имаше любов, имаше любов, имаше!
И няма какво да се добави към тази фраза.
Нашият магически замък изгоря до основи
И пепелта не ни остави за спомен.
Помня всичко и помня една цъфтяща градина,
И през листата - лъчи от всички страни,
Като от бяла-бяла камбанария
В душата - чуваш - тих звън се лее.
Любовта си отиде и няма да се върне
И за да не копнееш за нея вечно,
Очите ти са като две тъжни слънца
Отидоха зад хоризонта в душата ми.

За щастие преследването отново е неуспешно ...
И вечерта е дъждовна, навън е мрачно ...
И в детството ... Намазах кифла със сладко
И просто щастлив, до степен на смайване ...

Блясък, етикет, диаманти, джакузи...
Сега, в допълнение към щастието, в съдбата на "All inclusive",
И в детството ядох слънчогледови семки,
И за щастие изглеждаше, че няма да има ограничение ...

Много станахме като клоуни...
Всеки има грим, който се смее навън...
А в детството ... само слънцето си проправи път от небето
И щастливото сърце се усмихна така...

Ние избираме хора, както в "Пепеляшка" елда ...
Всичко необходимо - в контакти ... Неблагоприятно във фурната ...
И в детството ясно небе вярваше в нас ...
Къде е радостта от миризмата на пресен хляб?

И приятелството сега също се купува ...
Оцеля ... Живеем в свят на кожи и кожи ...
И като дете мелез беше спасен от проливен дъжд ...
И давайки щастие, те го получиха.

С годините сме загубили искреност, чувствителност...
Границите и рамките сме измислени от нас самите ...
Имате ли руло и буркан сладко от череши?
Така че бъдете адски щастливи!

Гледам те и разбирам, че все още те обичам. Тази любов е хронична болест на последните години. Носи такава непоносима болка, че се хвърлям към напълно непознати, опитвайки се да бъда измамен от тях, с тях изведнъж в тези ръце ще намеря самото болкоуспокояващо, което според собствениците на набръчкани сърца изобщо не съществува. Разбирам, че ме лъжат, но продължавам да се прегръщам, не мога да се убия иначе, боли ме, измъчва ме, не ми дава да спя нощем, така че седя на перваза на прозореца и , още минута ще крещя сърцераздирателно от мъчението на илюзиите. да се свържа с вас за помощ? Безполезна. Знаеш за моята любов, но не се нуждаеш от нея, „уста, пълна с твоите неизказани чувства“. Ние сме в една мрежа от безотговорност, но не можем да си помогнем. Увиваш ръце около тънки бели конци и пръчки и гледаш някъде отвъд пределите на реалността, надявайки се дявол знае чия помощ. И само една разлика има между нас: любовта ми към теб почти ме повали, а любовта ти към някого - храни, съживява те с очакване, макар и измамно. Вече не искам да те гледам, прогонвам възможността за теб от сърцето си, но това боли още повече. Така че преминавате през шепот, за да страдате, също надявайки се дявол знае чия помощ. Време?..

Животът ви е пълен с лъжи, порно, ежедневие, пристрастяване към интернет и клетъчно-мобилно робство. Е, не съм ли прав? Кажете ми, правил ли си някога нещо наистина необичайно? Никога. И не можеш. Знаеш ли защо? Защото всичко е извън вашата зона на комфорт. Вие сте обвити в него. Като в полипропиленова торба. Вие сте парчета месо, притиснати от рамките на живота и работата. Или греша? Може би греша? Поправи ме.
Например, можете ли да дадете мобилния си телефон на първия срещнат? НО? Сложен въпрос. Можете ли да форматирате винт на компютъра си точно сега? тъпо? Огай се? Знаеш ли защо не го правиш? Защото е равносилно на самоубийство. Без него не съществуваш.