Какво е графика на функцията на мощността. Функция

Запознат ли си с функциите y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1 / xи т. н. Всички тези функции са специални случаи на степенна функция, тоест функциите y = x стркъдето p е дадено реално число. Свойствата и графиката на степенната функция по същество зависят от свойствата на степента с реален експонент и по-специално от това какви стойности хи стрима смисъл степен х стр... Нека да преминем към подобно разглеждане на различни случаи в зависимост от степента стр.

Индекс p = 2nе четно естествено число.

В този случай функцията за мощност y = x 2n, където н- естествено число, има следното

Имоти:

област на дефиниция - всички реални числа, тоест множеството R;

наборът от стойности е неотрицателни числа, тоест y е по-голямо или равно на 0;

функция y = x 2nдори оттогава х 2n = (- x) 2n

функцията намалява в интервала х<0 и се увеличава в интервала x> 0.

Графика на функциите y = x 2nима същата форма като например графика на функция y = x 4 .

2. Индикатор p = 2n-1е нечетно естествено число В този случай степенната функция y = x 2n-1, където е естествено число, има следните свойства:

област на дефиниция - множество R;

набор от стойности - набор R;

функция y = x 2n-1странно, тъй като (- х) 2n-1 =х 2n-1 ;

функцията се увеличава по цялата реална ос.

Графика на функциите y = x2n-1има същата форма като например графиката на функцията y = x3.

3.Индикатор p = -2n, където н -естествено число.

В този случай функцията за мощност y = x -2n = 1 / х 2n има следните свойства:

набор от стойности - положителни числа y> 0;

функция y = 1 / х 2nдори оттогава 1 / (- x) 2n =1 / х 2n ;

функцията се увеличава на интервала x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Функция y график = 1 / х 2nима същата форма като например графиката на функцията y = 1 / х 2 .

4.Индикатор p = - (2n-1), където н- естествено число. В този случай функцията за мощност y = x - (2n-1)има следните свойства:

област на дефиниция - множество R, с изключение на x = 0;

набор от стойности - набор R, с изключение на y = 0;

функция y = x - (2n-1)странно, тъй като (- х) - (2n-1) =-х - (2n-1) ;

функцията намалява в интервалите х<0 и x> 0.

Графика на функциите y = x - (2n-1)има същата форма като например графиката на функцията y = 1 / x 3 .

1. Обратни тригонометрични функции, техните свойства и графики.

Обратни тригонометрични функции, техните свойства и графики.Обратни тригонометрични функции (кръгови функции, дъгови функции) - математически функции, които са обратни на тригонометричните функции.

1. Функция Arcsin

Графика на функциите .

Арксинусчислата мтази стойност на ъгъла се нарича х, за което

Функцията е непрекъсната и ограничена по цялата си числова права. Функция се увеличава стриктно.

1. [Редактиране] Свойства на функцията arcsin

1. [Редактиране] Получаване на функцията arcsin

Функцията е дадена във всичките си области на дефинициятя случайно е на парчета монотонен, а оттам и обратното съответствие не е функция. Следователно ще разгледаме сегмент, на който той стриктно нараства и приема всички стойности диапазон от стойности-. Тъй като за функция на интервала всяка стойност на аргумента съответства на уникална стойност на функцията, то на този интервал има обратна функция чиято графика е симетрична на графиката на функция върху отсечка спрямо права линия

Следните формули са валидни в областта на дефиниране на степенната функция y = x p:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства на степенните функции и техните графики

Степенна функция с експонент, равен на нула, p = 0

Ако експонентът на степенната функция y = x p е равен на нула, p = 0, тогава степенната функция е дефинирана за всички x ≠ 0 и е постоянна, равна на единица:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Степенна функция с естествен нечетен показател, p = n = 1, 3, 5, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен нечетен показател n = 1, 3, 5, .... Такъв индикатор може да бъде записан и във вида: n = 2k + 1, където k = 0, 1, 2, 3, ... е цяло неотрицателно число. По-долу са свойствата и графиките на такива функции.

Графиката на степенната функция y = x n с естествен нечетен показател at различни значениястепен n = 1, 3, 5, ....

Домейн: -∞ < x < ∞
Много стойности: -∞ < y < ∞
паритет:нечетно, y (-x) = - y (x)
монотонно:нараства монотонно
крайности:Не
изпъкнал:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Прегъващи точки: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1,
y (-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k + 1 = -1
за x = 0, y (0) = 0 n = 0
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = 1, функцията е обратна на себе си: x = y
за n ≠ 1, обратна функцияе корен от степен n:

Степенна функция с естествен четен показател, p = n = 2, 4, 6, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен четен показател n = 2, 4, 6, .... Този индикатор може да се запише и като: n = 2k, където k = 1, 2, 3, ... - естествено. Свойствата и графиките на такива функции са дадени по-долу.

Графика на степенна функция y = x n с естествен четен показател за различни стойности на степента n = 2, 4, 6, ....

Домейн: -∞ < x < ∞
Много стойности: 0 ≤ y< ∞
паритет:четно, y (-x) = y (x)
монотонно:
за x ≤ 0 намалява монотонно
за x ≥ 0 монотонно нараства
крайности:минимум, x = 0, y = 0
изпъкнал:изпъкнала надолу
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси: x = 0, y = 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y (-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
за x = 0, y (0) = 0 n = 0
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = 2, Корен квадратен:
за n ≠ 2, корен от степен n:

Степенна функция с отрицателен целочислен експонент, p = n = -1, -2, -3, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с отрицателен целочислен показател n = -1, -2, -3, .... Ако поставим n = -k, където k = 1, 2, 3, ... е естествено число, то може да бъде представено като:

Графиката на степенната функция y = x n с цяло число отрицателна степен за различни стойности на степента n = -1, -2, -3, ....

Нечетен показател, n = -1, -3, -5, ...

По-долу са дадени свойствата на функцията y = x n с нечетен отрицателен показател n = -1, -3, -5, ....

Домейн: x ≠ 0
Много стойности: y ≠ 0
паритет:нечетно, y (-x) = - y (x)
монотонно:намалява монотонно
крайности:Не
изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вверх
за x> 0: изпъкнал надолу
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x> 0, y> 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = -1,
за n< -2 ,

Четен показател, n = -2, -4, -6, ...

По-долу са дадени свойствата на функцията y = x n с четен отрицателен показател n = -2, -4, -6, ....

Домейн: x ≠ 0
Много стойности: y> 0
паритет:четно, y (-x) = y (x)
монотонно:
при х< 0 : монотонно возрастает
за x> 0: намалява монотонно
крайности:Не
изпъкнал:изпъкнала надолу
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак: y> 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = -2,
за n< -2 ,

Степенна функция с рационален (дробен) показател

Да разгледаме степенна функция y = x p с рационален (дробен) показател, където n е цяло число и m> 1 е естествено число. Освен това n, m нямат общи делители.

Знаменателят на дробната степен е нечетен

Нека знаменателят на дробната степен е нечетен: m = 3, 5, 7, .... В този случай експоненциалната функция x p е дефинирана както за положителни, така и за отрицателни стойности на аргумента x. Нека разгледаме свойствата на такива степенни функции, когато експонентът p е в определени граници.

Индикатор p е отрицателен, p< 0

Нека рационалният показател (с нечетен знаменател m = 3, 5, 7, ...) е по-малък от нула:.

Графики на степенни функции с рационален отрицателен показател за различни стойности на степента, където m = 3, 5, 7, ... е нечетно.

Нечетен числител, n = -1, -3, -5, ...

Представяме свойствата на степенна функция y = xp с рационален отрицателен показател, където n = -1, -3, -5, ... е нечетно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е странно естествено.

Домейн: x ≠ 0
Много стойности: y ≠ 0
паритет:нечетно, y (-x) = - y (x)
монотонно:намалява монотонно
крайности:Не
изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вверх
за x> 0: изпъкнал надолу
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x> 0, y> 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = -1, y (-1) = (-1) n = -1
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функция:

Четен числител, n = -2, -4, -6, ...

Свойства на степенната функция y = xp с рационален отрицателен показател, където n = -2, -4, -6, ... е четно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно положително число .

Домейн: x ≠ 0
Много стойности: y> 0
паритет:четно, y (-x) = y (x)
монотонно:
при х< 0 : монотонно возрастает
за x> 0: намалява монотонно
крайности:Не
изпъкнал:изпъкнала надолу
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак: y> 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = -1, y (-1) = (-1) n = 1
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функция:

Показателят p е положителен, по-малък от едно, 0< p < 1

Графика на степенната функция с рационален експонента (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетен числител, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домейн: -∞ < x < +∞
Много стойности: -∞ < y < +∞
паритет:нечетно, y (-x) = - y (x)
монотонно:нараства монотонно
крайности:Не
изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вниз
за x> 0: изпъкнала нагоре
Прегъващи точки: x = 0, y = 0
Пресечни точки с координатни оси: x = 0, y = 0
Знак:
при х< 0, y < 0
за x> 0, y> 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y (-1) = -1
за x = 0, y (0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функция:

Четен числител, n = 2, 4, 6, ...

Свойствата на степенната функция y = x p с рационален показател в рамките на 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домейн: -∞ < x < +∞
Много стойности: 0 ≤ y< +∞
паритет:четно, y (-x) = y (x)
монотонно:
при х< 0 : монотонно убывает
за x> 0: монотонно нараства
крайности:минимум при x = 0, y = 0
изпъкнал:е изпъкнала нагоре за x ≠ 0
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси: x = 0, y = 0
Знак:за x ≠ 0, y> 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y (-1) = 1
за x = 0, y (0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функция:

P е по-голямо от единица, p> 1

Графиката на степенна функция с рационален показател (p> 1) за различни стойности на експонента, където m = 3, 5, 7, ... е нечетно.

Нечетен числител, n = 5, 7, 9, ...

Свойства на степенната функция y = x p с рационален показател, по-голям от един:. Където n = 5, 7, 9, ... е нечетно естествено, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено.

Домейн: -∞ < x < ∞
Много стойности: -∞ < y < ∞
паритет:нечетно, y (-x) = - y (x)
монотонно:нараства монотонно
крайности:Не
изпъкнал:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Прегъващи точки: x = 0, y = 0
Пресечни точки с координатни оси: x = 0, y = 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y (-1) = -1
за x = 0, y (0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функция:

Четен числител, n = 4, 6, 8, ...

Свойства на степенната функция y = x p с рационален показател, по-голям от един:. Където n = 4, 6, 8, ... е четно естествено, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено.

Домейн: -∞ < x < ∞
Много стойности: 0 ≤ y< ∞
паритет:четно, y (-x) = y (x)
монотонно:
при х< 0 монотонно убывает
за x> 0 монотонно нараства
крайности:минимум при x = 0, y = 0
изпъкнал:изпъкнала надолу
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси: x = 0, y = 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y (-1) = 1
за x = 0, y (0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функция:

Знаменателят на дробната степен е четен

Нека знаменателят на дробната степен е четен: m = 2, 4, 6, .... В този случай степенната функция x p е недефинирана за отрицателни стойности на аргумента. Неговите свойства са същите като тези на степенна функция с ирационален показател (вижте следващия раздел).

Степенна функция с ирационален показател

Да разгледаме степенна функция y = x p с ирационален показател p. Свойствата на такива функции се различават от разгледаните по-горе по това, че не са дефинирани за отрицателни стойности на аргумента x. За положителни стойности на аргумента свойствата зависят само от величината на експонента p и не зависят от това дали p е цяло число, рационално или ирационално.

y = x p за различни стойности на експонента p.

Степенна функция с отрицателен показател p< 0

Домейн: x> 0
Много стойности: y> 0
монотонно:намалява монотонно
изпъкнал:изпъкнала надолу
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Ограничения: ;
Частна стойност:За x = 1, y (1) = 1 p = 1

Степенна функция с положителен показател p> 0

Индикатор по-малък от една 0< p < 1

Домейн: x ≥ 0
Много стойности: y ≥ 0
монотонно:нараства монотонно
изпъкнал:изпъкнал нагоре
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси: x = 0, y = 0
Ограничения:
Частни стойности:За x = 0, y (0) = 0 p = 0.
За x = 1, y (1) = 1 p = 1

Индикатор по-голям от едно p>1

Домейн: x ≥ 0
Много стойности: y ≥ 0
монотонно:нараства монотонно
изпъкнал:изпъкнала надолу
Прегъващи точки:Не
Пресечни точки с координатни оси: x = 0, y = 0
Ограничения:
Частни стойности:За x = 0, y (0) = 0 p = 0.
За x = 1, y (1) = 1 p = 1

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от технически институции, "Лан", 2009.

Вижте също:

Изучаването на свойствата на функциите и техните графики заема значително място както в училищната математика, така и в следващите курсове. И не само в курсовете по математика и функционален анализ, и дори не само в други раздели висша математикано и по повечето тясно професионални предмети. Например в икономиката - функции на полезност, разходи, търсене, предлагане и потребление ..., в радиотехниката - функции за управление и функции за реакция, в статистиката - функции на разпределение ... За да улесните по-нататъшното изучаване на специални функции, трябва да се научите как да работите свободно с графики елементарни функции... За да направите това, след като изучите следната таблица, препоръчвам да следвате връзката „Трансформации на функционалната графика“.

В училищния курс по математика се изучават следното
елементарни функции.

Име на функцията	Функционална формула	Графика на функциите	Име на диаграмата	Коментар
Линеен	y = kx		Направо	Най-простият частен случай на линейна зависимост е пряката пропорционалност y = kx, където к≠ 0 - коефициент на пропорционалност. Фигурата показва пример за к= 1, т.е. всъщност дадената графика илюстрира функционалната зависимост, която задава равенството на стойността на функцията на стойността на аргумента.
Линеен	г = kx + б		Направо	Общ случай на линейна зависимост: коефициенти ки б- всякакви реални числа. Тук к = 0.5, б = -1.
Квадратичен	y = x 2		парабола	Най-простият случай на квадратична зависимост е симетрична парабола с връх в началото.
Квадратичен	y = ax 2 + bx + ° С		парабола	Общ случай на квадратична зависимост: коефициент а- произволно реално число, което не е равно на нула ( апринадлежи на R, а ≠ 0), б, ° С- всякакви реални числа.
Мощност	y = x 3		Кубична парабола	Най-простият случай е за нечетно цяло число. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики".
Мощност	y = x 1/2		Графика на функциите г = √х	Най-простият случай за дробна степен ( х 1/2 = √х). Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики".
Мощност	y = k / x		Хипербола	Най-простият случай за отрицателна степен на цяло число ( 1 / х = х-1) - обратно пропорционална връзка. Тук к = 1.
Показателен	г = д х		Изложител	Експоненциалната зависимост се нарича експоненциална функция за основата д - ирационално числоприблизително равно на 2,7182818284590 ...
Показателен	y = a x		Графика на експоненциална функция	а> 0 и а а... Ето един пример за y = 2 x (а = 2 > 1).
Показателен	y = a x		Графика на експоненциална функция	Експоненциална функцияопределени за а> 0 и а≠ 1. Графиките на функцията по същество зависят от стойността на параметъра а... Ето един пример за y = 0,5 x (а = 1/2 < 1).
Логаритмичен	г= ln х			Графика на логаритмичната функция за основата д(естествен логаритъм) понякога се нарича логаритъм.
Логаритмичен	г= дневник а х		Графика на логаритмична функция	Логаритмите са определени за а> 0 и а≠ 1. Графиките на функцията по същество зависят от стойността на параметъра а... Ето един пример за г= дневник 2 х (а = 2 > 1).
Логаритмичен	y = дневник а х		Графика на логаритмична функция	Логаритмите са определени за а> 0 и а≠ 1. Графиките на функцията по същество зависят от стойността на параметъра а... Ето един пример за г= log 0,5 х (а = 1/2 < 1).
Синус	г= грях х		Синусоида	Тригонометрична функциясинус. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики".
косинус	г= cos х		косинус	Тригонометрична косинус функция. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики".
Тангента	г= tg х		Тангентоидна	Тригонометрична допирателна функция. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики".
Котангенс	г= ctg х		Котангенсоид	Тригонометрична котангентна функция. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики".

Обратни тригонометрични функции.

Име на функцията	Функционална формула	Графика на функциите	Име на диаграмата

Запознат ли си с функциите y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / xи т.н. Всички тези функции са специални случаи на степенна функция, тоест функциите y = x pкъдето p е дадено реално число.
Свойствата и графиката на степенната функция по същество зависят от свойствата на степента с реален експонент и по-специално от това какви стойности хи стрима смисъл степен х стр... Нека преминем към подобно разглеждане на различни случаи, в зависимост от
експонент стр.

1. Индекс p = 2nе четно естествено число.

y = x 2n, където н- естествено число, има следното

Имоти:

• област на дефиниция - всички реални числа, тоест множеството R;
• наборът от стойности е неотрицателни числа, тоест y е по-голямо или равно на 0;
• функция y = x 2nдори оттогава x 2n=(- x) 2n
• функцията намалява в интервалах<0 и се увеличава в интервала x> 0.

Графика на функциите y = x 2nима същата форма като например графика на функция y = x 4.

2. Индикатор p = 2n-1- нечетно естествено число
В този случай функцията за мощност y = x 2n-1, където е естествено число, има следните свойства:

• област на дефиниция - множество R;
• набор от стойности - набор R;
• функция y = x 2n-1странно, тъй като (- x) 2n-1=х 2n-1;
• функцията се увеличава по цялата реална ос.

Графика на функциите y = x 2n-1 има същата форма като например графиката на функцията y = x 3 .

3.Индикатор p = -2n, където н -естествено число.

В този случай функцията за мощност y = x -2n = 1 / x 2nима следните свойства:

• област на дефиниция - множество R, с изключение на x = 0;
• набор от стойности - положителни числа y> 0;
• функция y = 1 / x 2nдори оттогава 1 / (- x) 2n=1 / х 2n;
• функцията се увеличава на интервала x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Функция y график = 1 / x 2nима същата форма като например графиката на функцията y = 1 / x 2.

1. Силова функция, нейните свойства и графика;

2. Трансформации:

Паралелен трансфер;

Симетрия спрямо координатните оси;

Симетрия относно произхода;

Симетрия спрямо правата y = x;

Разтягане и свиване по координатните оси.

3. Експоненциална функция, нейните свойства и графика, подобни трансформации;

4. Логаритмична функция, нейните свойства и графика;

5. Тригонометрична функция, нейните свойства и графика, подобни трансформации (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Функция: y = x \ n - нейните свойства и графика.

Силова функция, нейните свойства и графика

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / xи т.н. Всички тези функции са специални случаи на степенна функция, тоест функциите y = x pкъдето p е дадено реално число.
Свойствата и графиката на степенната функция по същество зависят от свойствата на степента с реален експонент и по-специално от това какви стойности хи стрима смисъл степен х стр... Нека преминем към подобно разглеждане на различни случаи, в зависимост от
експонент стр.

1. Индекс p = 2n- четно естествено число.

y = x 2n, където н- естествено число, има следните свойства:

• област на дефиниция - всички реални числа, тоест множеството R;
• наборът от стойности е неотрицателни числа, тоест y е по-голямо или равно на 0;
• функция y = x 2nдори оттогава x 2n = (-x) 2n
• функцията намалява в интервала х< 0 и се увеличава в интервала x> 0.

Графика на функциите y = x 2nима същата форма като например графика на функция y = x 4.

2. Индикатор p = 2n - 1- нечетно естествено число

В този случай функцията за мощност y = x 2n-1, където е естествено число, има следните свойства:

• област на дефиниция - множество R;
• набор от стойности - набор R;
• функция y = x 2n-1странно, тъй като (- x) 2n-1= х 2n-1;
• функцията се увеличава по цялата реална ос.

Графика на функциите y = x 2n-1 y = x 3.

3. Индикатор p = -2n, където н -естествено число.

В този случай функцията за мощност y = x -2n = 1 / x 2nима следните свойства:

• набор от стойности - положителни числа y> 0;
• функция y = 1 / x 2nдори оттогава 1 / (- x) 2n= 1 / х 2n;
• функцията се увеличава на интервала x0.

Функция y график = 1 / x 2nима същата форма като например графиката на функцията y = 1 / x 2.

4. Индикатор p = - (2n-1), където н- естествено число.
В този случай функцията за мощност y = x - (2n-1)има следните свойства:

• област на дефиниция - множество R, с изключение на x = 0;
• набор от стойности - набор R, с изключение на y = 0;
• функция y = x - (2n-1)странно, тъй като (- x) - (2n-1) = -x - (2n-1);
• функцията намалява в интервалите х< 0 и x> 0.

Графика на функциите y = x - (2n-1)има същата форма като например графиката на функцията y = 1 / x 3.