La raíz enésima de z. Grado con exponente racional arbitrario

Con Y número natural norte 2 .

Número complejo Z llamado raíznorte– C, Si Z norte = C.

Encuentra todos los valores de la raíz norte– grado de un número complejo Con. Dejar C=| C|·(porque Argentina C+ i· pecado ArgentinaCon), A Z = | Z|·(consistema operativo Argentina Z + i· pecado Argentina Z) , Dónde Z raíz norte- grado de un número complejo Con. Entonces debe ser = C = | C|·(porque Argentina C+ i· pecado ArgentinaCon). De ahí se sigue que
Y norte· Argentina Z = ArgentinaCon
Argentina Z =
(k=0,1,…) . Por eso, Z =
(porque
+ i· pecado
), (k=0,1,…) . Es fácil ver que cualquiera de los valores
, (k=0,1,…) diferente de uno de los valores correspondientes
,(k = 0,1,…, norte-1) a un múltiplo 2π. Es por eso , (k = 0,1,…, norte-1) .

Ejemplo.

Calcular la raíz de (-1).

, obviamente |-1| = 1, argumento (-1) = π

-1 = 1 (porque π + i· pecado π )

, (k = 0, 1).

= i

Grado con exponente racional arbitrario

Tomemos un arbitrario Número complejo Con. Si norte número natural, entonces Con norte = | C| norte ·(Consistema operativo nArgcon +i· pecado nArgCon)(6). Esta fórmula también es cierta en el caso norte = 0 (c≠0)
. Dejar norte < 0 Y norte Z Y do ≠ 0, Entonces

Con norte =
(porque nArgCon+yo peco nArgCon) = (porque nArgCon+ yo peco nArgCon) . Por lo tanto, la fórmula (6) es válida para cualquier norte.

Tomemos un número racional , Dónde q número natural, y R es un número entero.

Entonces bajo grado C r entendamos el numero
.

eso lo conseguimos ,

(k = 0, 1, …, q-1). Estos valores q piezas, si la fracción no se reduce.

Conferencia №3 El límite de una sucesión de números complejos

Una función de valor complejo de un argumento natural se llama secuencia de números complejos y denotado (Con norte ) o Con 1 , Con 2 , ..., Con norte . Con norte = un norte + b norte · i (norte = 1,2, ...) números complejos.

Con 1 , Con 2 , … - miembros de la secuencia; Con norte - miembro común

Número complejo Con = a+ b· i llamado límite de una sucesión de números complejos (C norte ) , Dónde Con norte = un norte + b norte · i (norte = 1, 2, …) , donde para cualquier

, que para todos norte > norte la desigualdad
. Una sucesión que tiene un límite finito se llama convergente secuencia.

Teorema.

Para una sucesión de números complejos (con norte ) (Con norte = un norte + b norte · i) convergió a un número con = a+ b· i, es necesario y suficiente para la igualdadlímite a norte = a, límite b norte = b.

Prueba.

Probaremos el teorema basándonos en la siguiente doble desigualdad obvia

, Dónde Z = X + y· i (2)

Necesidad. Dejar límite(Con norte ) = con. Demostremos que las igualdades límite a norte = a Y límite b norte = b (3).

obviamente (4)

Porque
, Cuando norte → ∞ , entonces se sigue del lado izquierdo de la desigualdad (4) que
Y
, Cuando norte → ∞ . por lo tanto, las igualdades (3) se mantienen. La necesidad ha sido probada.

Adecuación. Ahora dejemos que se mantengan las igualdades (3). De la igualdad (3) se sigue que
Y
, Cuando norte → ∞ , por lo tanto, debido al lado derecho de la desigualdad (4), será
, Cuando norte→∞ , Medio límite(Con norte )=s. Se ha probado la suficiencia.

Entonces, la cuestión de la convergencia de una secuencia de números complejos es equivalente a la convergencia de dos secuencias de números reales, por lo tanto, todas las propiedades básicas de los límites de las secuencias de números reales se aplican a las secuencias de números complejos.

Por ejemplo, para sucesiones de números complejos, el criterio de Cauchy es válido: para una secuencia de números complejos (con norte ) convergido, es necesario y suficiente que para cualquier

, que para cualquiernorte, metro > nortela desigualdad
.

Teorema.

Sea una secuencia de números complejos (con norte ) Y (z norte ) convergen respectivamente a con yz, entonces la igualdadlímite(Con norte z norte ) = C z, límite(Con norte · z norte ) = C· z. Si se sabe con certeza quezno es igual a 0, entonces la igualdad
.

números en forma trigonométrica.

fórmula de moivre

Sean z 1 = r 1 (cos  1 + isen  1) y z 2 = r 2 (cos  2 + isen  2).

La forma trigonométrica de un número complejo es conveniente para realizar las operaciones de multiplicación, división, elevación a una potencia entera y extracción de una raíz de grado n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Al multiplicar dos números complejos en forma trigonométrica, sus módulos se multiplican y sus argumentos se suman. al dividir sus módulos se dividen y sus argumentos se restan.

Una consecuencia de la regla para multiplicar un número complejo es la regla para elevar un número complejo a una potencia.

z = r(cos  + i sen ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Esta relación se llama Fórmula de De Moivre.

Ejemplo 8.1 Encuentra el producto y el cociente de números:

Y

Solución

z1∙z2
∙

=

;

Ejemplo 8.2 Escribe un número en forma trigonométrica.

∙
-i) 7 .

Solución

Denotar
y z 2 =
- i.

r1 = |z1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argz 1 = arctg ;

z1 =
;

r2 = |z2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = argumento z 2 = arco
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Extraer la raíz de un número complejo

Definición. raíznorteª potencia de un número complejo z (que denota
) es un número complejo w tal que w n = z. Si z = 0, entonces
= 0.

Sea z  0, z = r(cos + isen). Denotamos w = (cos + sin), luego escribimos la ecuación w n = z de la siguiente forma

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).

Por lo tanto  n = r,

 =

Así w k =
·
.

Hay exactamente n valores distintos entre estos valores.

Por lo tanto, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

En el plano complejo, estos puntos son los vértices de un n-ágono regular inscrito en una circunferencia de radio
centrado en el punto O (Figura 12).

Figura 12

Ejemplo 9.1 Encuentra todos los valores
.

Solución.

Representemos este número en forma trigonométrica. Encuentre su módulo y argumento.

w k =
, donde k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

En el plano complejo, estos puntos son los vértices de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio
centrado en el origen (Figura 13).

Figura 13 Figura 14

Ejemplo 9.2 Encuentra todos los valores
.

Solución.

z = - 64 = 64(cos + isen);

w k =
, donde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

En el plano complejo, estos puntos son los vértices de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 2 con centro en el punto O (0; 0) - Figura 14.

§ 10 La forma exponencial de un número complejo.

fórmula de Euler

Denotar
= cos  + isen  y
= cos  - isen  . Estas proporciones se llaman Fórmulas de Euler .

Función
tiene las propiedades habituales de una función exponencial:

Sea el número complejo z escrito en la forma trigonométrica z = r(cos + isin).

Usando la fórmula de Euler, podemos escribir:

z = r
.

Esta entrada se llama forma indicativa Número complejo. Utilizándolo, obtenemos las reglas para la multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces.

Si z 1 = r 1
y z 2 = r 2
?Eso

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z norte = r norte

, donde k = 0, 1, … , n – 1.

Ejemplo 10.1 Escribe un número en forma algebraica.

z=
.

Solución.

Ejemplo 10.2 Resuelve la ecuación z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.

Solución.

Para cualquier coeficiente complejo, esta ecuación tiene dos raíces z 1 y z 1 (posiblemente coincidentes). Estas raíces se pueden encontrar usando la misma fórmula que en el caso real. Porque
toma dos valores que difieren solo en el signo, entonces esta fórmula tiene la forma:

Dado que –9 \u003d 9 e  i, entonces los valores
los números serán:

Entonces
Y
.

Solución.

Las raíces deseadas de la ecuación serán los valores
.

Para z = –1 tenemos r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Ejercicios

9 Presenta en forma exponencial los números:

10 Escribe en las formas exponencial y algebraica del número:

11 Escribe en forma algebraica y geométrica los números:

12 números dados

Presentándolos en forma exponencial, encuentre
.

13 Usando la forma exponencial de un número complejo, haga lo siguiente:

A)
b)

V)
GRAMO)