Desigualdades con la suma de raíces. Resolviendo desigualdades irracionales

Metas:

Educación general: sistematizar, generalizar, ampliar los conocimientos y habilidades de los estudiantes relacionados con la aplicación de métodos para la solución de desigualdades.
Desarrollo: desarrollar la capacidad de los estudiantes para escuchar una conferencia, escribiéndola de forma concisa en un cuaderno.
Educativo: para formar motivación cognitiva para el estudio de las matemáticas.

Durante las clases

I. Conversación introductoria:

Hemos terminado el tema “Resolver ecuaciones irracionales” y hoy estamos empezando a aprender a resolver desigualdades irracionales.

Primero, recordemos qué tipos de desigualdades puedes resolver y con qué métodos.

Respuesta: Lineal, cuadrado, racional, trigonométrico. Resolvemos lineales en base a las propiedades de las desigualdades, reducimos las trigonométricas a las trigonométricas más simples, resueltas mediante el círculo trigonométrico, y el resto, principalmente, por el método de los intervalos.

Pregunta: ¿En qué enunciado se basa el método de espaciado?

Respuesta: Sobre un teorema que afirma que una función continua que no desaparece en algún intervalo conserva su signo en este intervalo.

II. Consideremos una desigualdad irracional como>

Pregunta: ¿Es posible aplicar el método de intervalos para resolverlo?

Respuesta: Sí, ya que la función y =- continuo en D (años).

Resolvemos esta desigualdad método de intervalo .

Conclusión: resolvimos con bastante facilidad esta desigualdad irracional por el método de los intervalos, de hecho, reduciéndola a resolver una ecuación irracional.

Intentemos resolver otra desigualdad con este método.

3)f (x) continuo en D (f)

4) Ceros de función:

Búsqueda larga D (f).
Difícil de calcular los puntos de ruptura.

Surge la pregunta: "¿No hay otras formas de solucionar esta desigualdad?"

Evidentemente la hay, y ahora las conoceremos.

III. Entonces, tema de hoy lección: "Métodos para resolver desigualdades irracionales".

La lección se llevará a cabo en forma de conferencia, ya que el tutorial no proporciona un análisis detallado de todos los métodos. Por lo tanto, nuestra importante tarea es redactar un resumen detallado de esta conferencia.

IV. Ya hemos hablado del primer método para resolver desigualdades irracionales.

Eso - método de intervalo , un método universal para resolver todo tipo de desigualdades. Pero no siempre conduce a la meta de una manera breve y sencilla.

V. Al resolver desigualdades irracionales, puede usar las mismas ideas que al resolver ecuaciones irracionales, pero dado que la verificación simple de las soluciones es imposible (después de todo, las soluciones a las desigualdades suelen ser intervalos numéricos enteros), es necesario usar la equivalencia.

Presentamos esquemas para resolver los principales tipos de desigualdades irracionales método de transiciones equivalentes de una desigualdad a un sistema de desigualdades.

2. Se puede probar de manera similar que

Escribamos estos diagramas en una pizarra de referencia. Piense en las pruebas de los tipos 3 y 4 en casa, las discutiremos en la próxima lección.

Vi. Resolvamos la desigualdad de una manera nueva.

La desigualdad original equivale a un conjunto de sistemas.

Vii. Y hay un tercer método que a menudo ayuda a resolver desigualdades irracionales complejas. Ya lo hemos hablado en relación con las desigualdades con módulo. eso método de sustitución de funciones (sustitución de multiplicadores)... Permítanme recordarles que la esencia del método de reemplazo es que la diferencia en los valores de las funciones monótonas se puede reemplazar por la diferencia en los valores de sus argumentos.

Considere una desigualdad irracional de la forma<,

es decir -< 0.

Por el teorema, si p (x) aumenta a lo largo de un intervalo en el que el a y B, y a>B, luego las desigualdades p (a) - p (b)> 0 y a - b> 0 son equivalentes a D (p), es decir

VIII. Resolvamos la desigualdad reemplazando los factores.

Por tanto, esta desigualdad es equivalente al sistema

Por lo tanto, hemos visto que la aplicación del método de intercambio de factores para reducir la solución de una desigualdad a un método de intervalo reduce significativamente la cantidad de trabajo.

IX. Ahora que hemos cubierto los tres métodos principales para resolver ecuaciones, hagamos Trabajo independiente con autocomprobación.

Es necesario realizar los siguientes números (de acuerdo con el libro de texto de AM Mordkovich): 1790 (a) - resolver_ por el método de_ transiciones equivalentes, _ 1791 (a) - resolver por el método de reemplazo de factores Para resolver desigualdades irracionales, Se propone utilizar los métodos previamente analizados a la hora de resolver ecuaciones irracionales:

cambio de variables;
uso de LDZ;
utilizando las propiedades de la monotonicidad de las funciones.

La finalización del estudio del tema es la prueba.

Análisis trabajo de prueba muestra:

los errores típicos de los estudiantes débiles, además de los aritméticos y algebraicos, son transiciones equivalentes incorrectas a un sistema de desigualdades;
el método de sustitución del multiplicador ha sido utilizado con éxito sólo por estudiantes fuertes.

Etc. Ivanova

MÉTODOS PARA SOLUCIONAR DESIGUALDADES IRRACIONALES

CDO y NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22.1Ya72

Compilado por T. D. Ivanova

Revisor: M. I. Baisheva - Candidato de Ciencias Pedagógicas, Profesor Asociado del Departamento

análisis matemático de la Facultad de Matemáticas

Instituto de Matemáticas e Informática de Yakutsk

Universidad Estatal

Métodos para resolver desigualdades irracionales: guía metodológica

M 34 para estudiantes en los grados 9-11 / comp. Ivanova T.D. de Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, - 56 p.

El manual está dirigido a estudiantes de secundaria de escuelas secundarias, así como a aquellos que ingresan a las universidades como una guía metodológica para resolver desigualdades irracionales. En el manual, se discuten en detalle los principales métodos para resolver desigualdades irracionales, se dan ejemplos de cómo resolver desigualdades irracionales con parámetros y se proponen ejemplos para una solución independiente. Los profesores pueden utilizar el manual como material didáctico para el trabajo independiente, con una encuesta de repetición del tema "Desigualdades irracionales".

El manual refleja la experiencia del docente en el estudio del tema "Desigualdades irracionales" con los estudiantes.

Las tareas se toman de los materiales Examen de admisión, periódicos y revistas metodológicos, material didáctico, cuya lista se incluye al final del manual

UDC 511 (O75.3)

BBK 22.1Ya72

 T.D. Ivanova, comp., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Prólogo 5

Introducción 6

Sección I.Ejemplos de resolución de las desigualdades irracionales más simples 7

Sección II Desigualdades de la forma
> g (x), g (x), g (x) 9

Sección III. Desigualdades de la forma
;
;

;
13

Sección IV. Desigualdades con múltiples raíces de potencia par de 16

Sección V.Método de reemplazo (introducción de una nueva variable) 20

Sección VI. Desigualdades de la forma f (x)
0; f (x) 0;

Sección VII. Desigualdades de la forma
25

Sección VIII. Usando transformaciones de expresión radical

en desigualdades irracionales 26

Sección IX. Solución gráfica de desigualdades irracionales 27

Sección X. Desigualdades mixtas 31

Sección XI. Usar la propiedad de monotonicidad de una función 41

Sección XII. Método de sustitución de funciones 43

Sección XIII. Ejemplos de resolución directa de desigualdades

por el método de intervalos 45

Sección XIV. Ejemplos de resolución de desigualdades irracionales con parámetros 46

Literatura 56

REVISIÓN

Esta ayuda didáctica está destinada a estudiantes en los grados 10-11. Como muestra la práctica, los escolares y los solicitantes experimentan dificultades especiales para resolver desigualdades irracionales. Esto se debe a que en la matemática escolar este apartado se considera insuficientemente, no se consideran de manera más amplia varios métodos para resolver tales desigualdades. Además, los profesores de escuela sienten una falta de literatura metodológica, que se manifiesta en una cantidad limitada de material de problemas con una indicación de varios enfoques y métodos de solución.

El tutorial analiza métodos para resolver desigualdades irracionales. Ivanova T.D. al comienzo de cada sección presenta a los estudiantes la idea principal del método, luego se muestran ejemplos con explicaciones y también ofrece problemas para su solución independiente.

El compilador utiliza los métodos más "efectivos" para resolver desigualdades irracionales que se encuentran al ingresar establecimientos educativos con mayores requisitos para el conocimiento de los estudiantes.

Los estudiantes pueden adquirir una experiencia y una habilidad invaluables para resolver desigualdades irracionales complejas al leer este manual. Creo que este manual también será útil para los profesores de matemáticas que trabajan en clases especializadas, así como para los desarrolladores de cursos electivos.

Candidato de Pedagogía, Profesor Asociado del Departamento de Análisis Matemático de la Facultad de Matemáticas del Instituto de Matemáticas e Informática, Universidad Estatal de Yakutsk

Baisheva M.I.

PREFACIO

El manual está dirigido a estudiantes de secundaria de escuelas secundarias, así como a aquellos que ingresan a las universidades como una guía metodológica para resolver desigualdades irracionales. En el manual, se analizan en detalle los principales métodos para resolver desigualdades irracionales, se dan ejemplos aproximados de cómo resolver desigualdades irracionales, se dan ejemplos de cómo resolver desigualdades irracionales con parámetros y se proponen ejemplos para una solución independiente, para algunos de ellos se dan breves respuestas e instrucciones.

Al analizar ejemplos, auto-resolución de desigualdades, se asume que el estudiante es capaz de resolver desigualdades lineales, cuadradas y otras, posee varios métodos para resolver desigualdades, en particular, el método de intervalos. Se propone resolver la desigualdad de varias formas.

Los profesores pueden utilizar el manual como material didáctico para la realización de un trabajo independiente, al revisar el tema "Desigualdades irracionales".

El manual refleja la experiencia del docente en el estudio del tema "Desigualdades irracionales" con los estudiantes.

Los problemas se seleccionan de materiales de exámenes de ingreso a instituciones de educación superior, periódicos y revistas metodológicas sobre matemáticas "1 de septiembre", "Matemáticas en la escuela", "Quant", libros de texto, cuya lista se incluye al final del manual.

INTRODUCCIÓN

Las desigualdades irracionales se denominan desigualdades en las que las variables o una función de una variable se incluyen bajo el signo de la raíz.

El principal método estándar para resolver desigualdades irracionales es el aumento secuencial de ambos lados de la desigualdad a una potencia para deshacerse de la raíz. Pero esta operación a menudo conduce a la aparición de raíces extrañas o, incluso, a la pérdida de raíces, es decir, conduce a una desigualdad que no es igual a la original. Por lo tanto, se debe monitorear con mucho cuidado la equivalencia de las transformaciones y considerar solo aquellos valores de la variable para los cuales la desigualdad tiene sentido:

si la raíz es par, entonces la expresión radical debe ser no negativa y el valor de la raíz también es un número no negativo.

si la raíz del grado es un número impar, entonces la expresión radical puede tomar cualquier número real y el signo de la raíz coincide con el signo de la expresión radical.

ambas partes de la desigualdad pueden elevarse a una potencia par solo después de asegurarse de que no son negativas;

elevar ambos lados de la desigualdad a la misma potencia impar es siempre una transformación equivalente.

CapítuloI... Ejemplos de resolución de las desigualdades irracionales más simples

Ejemplos 1- 6:

Solución:

1.a)
.

B)
.

2.a)

3.a)
.

B)
.

4.a)

5.a)
.

6.a)
.

B)
.

8.a)
.

9.a)
.

11.

12. Encuentre el entero positivo más pequeño x que satisfaga la desigualdad

13.a) Encuentra el punto medio del intervalo de la solución a la desigualdad

b) Encuentre la media aritmética de todos los valores enteros x para los cuales la desigualdad tiene una solución 4

14. Encuentra la solución negativa más pequeña de la desigualdad.

15.a)
;

Sección II. Desigualdades de la forma> g (x), g (x),g (x)

De manera similar, como en la solución de los ejemplos 1-4, argumentamos al resolver desigualdades de la forma indicada.

Ejemplo 7 : Resuelve la desigualdad
> NS + 1

Solución: Desigualdad ODZ: NS-3. Hay dos casos posibles para el lado derecho:

a) NS+ 10 (el lado derecho no es negativo) ob) NS + 1

Considere a) Si NS+10, es decir NS- 1, entonces ambos lados de la desigualdad son no negativos. Cuadramos ambas partes: NS + 3 >NS+ 2NS+ 1. Obtenemos la desigualdad al cuadrado NS+ NS – 2 X x - 1, obtenemos -1

Considere b) Si NS+1 x x -3

Combinando las soluciones de los casos a) -1 yb) NS-3, anotamos la respuesta: NS
.

Es conveniente escribir todo el razonamiento al resolver el Ejemplo 7 de la siguiente manera:

La desigualdad original es equivalente a un conjunto de sistemas de desigualdades
.

Respuesta: .

Razonamiento al resolver desigualdades de la forma

1.> gramo(X); 2. gramo(X); 3. gramo(X); 4. gramo(X) se puede escribir brevemente en forma de los siguientes esquemas:

I. > gramo(X)

2. gramo(X)

3. gramo(X)

4. gramo(X)
.

Ejemplo 8 :
NS.

Solución: La desigualdad original es equivalente al sistema

x> 0

Respuesta: NS
.

Tareas para una solución independiente:

B)
.

20.a)
X

21. a)

V Esta lección consideraremos la solución de desigualdades irracionales, dé varios ejemplos.

Tema: Ecuaciones y desigualdades. Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Lección:Desigualdades irracionales

Al resolver desigualdades irracionales, a menudo es necesario aumentar ambos lados de la desigualdad hasta cierto punto, esta es una operación bastante importante. Recordemos las características.

Ambos lados de la desigualdad se pueden elevar al cuadrado si ambos no son negativos, solo entonces obtenemos la desigualdad correcta a partir de la desigualdad verdadera.

Ambos lados de la desigualdad pueden ser un cubo en cualquier caso, si la desigualdad original era verdadera, entonces cuando hacemos el cubo, obtenemos la desigualdad correcta.

Considere una desigualdad de la forma:

La expresión radical debe ser no negativa. La función puede tomar cualquier valor, hay dos casos a considerar.

En el primer caso, ambos lados de la desigualdad no son negativos, tenemos derecho a elevar al cuadrado. En el segundo caso, el lado derecho es negativo y no tenemos derecho a cuadrar. En este caso, es necesario mirar el significado de la desigualdad: aquí una expresión positiva ( Raíz cuadrada) es mayor que una expresión negativa, lo que significa que la desigualdad siempre se satisface.

Entonces, tenemos el siguiente esquema de solución:

En el primer sistema, no protegemos la expresión radical por separado, ya que cuando se satisface la segunda desigualdad del sistema, la expresión radical debe ser automáticamente positiva.

Ejemplo 1 - Resolver desigualdad:

Según el esquema, pasamos al conjunto equivalente de dos sistemas de desigualdades:

Ilustremos:

Arroz. 1 - ilustración de la solución del ejemplo 1

Como podemos ver, al deshacernos de la irracionalidad, por ejemplo, al cuadrar, obtenemos un conjunto de sistemas. A veces, este diseño complejo se puede simplificar. En el conjunto resultante, tenemos derecho a simplificar el primer sistema y obtener un conjunto equivalente:

Como ejercicio independiente, es necesario probar la equivalencia de estas poblaciones.

Considere una desigualdad de la forma:

De manera similar a la desigualdad anterior, consideramos dos casos:

En el primer caso, ambos lados de la desigualdad no son negativos, tenemos derecho a elevar al cuadrado. En el segundo caso, el lado derecho es negativo y no tenemos derecho a cuadrar. En este caso, es necesario mirar el significado de desigualdad: aquí una expresión positiva (raíz cuadrada) es menor que una expresión negativa, lo que significa que la desigualdad es contradictoria. No es necesario considerar el segundo sistema.

Tenemos un sistema equivalente:

A veces, una desigualdad irracional se puede resolver gráficamente. Este método es aplicable cuando los gráficos correspondientes se pueden construir fácilmente y se pueden encontrar sus puntos de intersección.

Ejemplo 2 - Resolver desigualdades gráficamente:

Ya hemos resuelto la primera desigualdad y sabemos la respuesta.

Para resolver desigualdades gráficamente, debe trazar la función en el lado izquierdo y la función en el lado derecho.

Arroz. 2. Gráficas de funciones y

Para trazar la gráfica de la función, es necesario transformar la parábola en una parábola (reflejarla sobre el eje y), desplazar la curva resultante 7 unidades hacia la derecha. El gráfico confirma que esta función disminuye monótonamente en su dominio de definición.

La gráfica de la función es una línea recta, es fácil trazarla. La intersección con el eje y es (0; -1).

La primera función disminuye monótonamente, la segunda aumenta monótonamente. Si la ecuación tiene una raíz, entonces es la única, es fácil de adivinar a partir de la gráfica :.

Cuando el argumento es menor que la raíz, la parábola está por encima de la línea recta. Cuando el argumento está entre tres y siete, la línea está por encima de la parábola.

Tenemos la respuesta:

Método efectivo resolver desigualdades irracionales es el método de los intervalos.

Ejemplo 3 - Resolver desigualdades usando el método de intervalo:

según el método de los intervalos, es necesario alejarse temporalmente de la desigualdad. Para hacer esto, transfiera todo en la desigualdad dada a lado izquierdo(obtenga cero a la derecha) e ingrese una función igual al lado izquierdo:

ahora es necesario examinar la función resultante.

ODZ:

Ya hemos resuelto esta ecuación gráficamente, por lo que no nos detenemos en determinar la raíz.

Ahora es necesario seleccionar intervalos de constancia y determinar el signo de la función en cada intervalo:

Arroz. 3. Intervalos de constancia, por ejemplo 3

Recuerde que para determinar los signos en un intervalo, es necesario tomar un punto muestral y sustituirlo en la función; el signo resultante será retenido por la función durante todo el intervalo.

Comprobemos el valor en el punto límite:

La respuesta obvia es:

Considere el siguiente tipo de desigualdad:

Primero, anotemos la ODZ:

Las raíces existen, no son negativas, podemos cuadrar ambos lados. Obtenemos:

Tenemos un sistema equivalente:

El sistema resultante se puede simplificar. Cuando se satisfacen las desigualdades segunda y tercera, la primera se cumple automáticamente. Tenemos:

Ejemplo 4 - Resolver desigualdad:

Actuamos de acuerdo con el esquema: obtenemos un sistema equivalente.

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Metas:

Educación general: sistematizar, generalizar, ampliar los conocimientos y habilidades de los estudiantes relacionados con la aplicación de métodos para la solución de desigualdades.
Desarrollo: desarrollar la capacidad de los estudiantes para escuchar una conferencia, escribiéndola de forma concisa en un cuaderno.
Educativo: para formar motivación cognitiva para el estudio de las matemáticas.

Durante las clases

I. Conversación introductoria:

Hemos terminado el tema “Resolver ecuaciones irracionales” y hoy estamos empezando a aprender a resolver desigualdades irracionales.

Primero, recordemos qué tipos de desigualdades puedes resolver y con qué métodos.

Pregunta: ¿En qué enunciado se basa el método de espaciado?

Respuesta: Sobre un teorema que afirma que una función continua que no desaparece en algún intervalo conserva su signo en este intervalo.

II. Consideremos una desigualdad irracional como>

Pregunta: ¿Es posible aplicar el método de intervalos para resolverlo?

Respuesta: Sí, ya que la función y =- continuo en D (años).

Resolvemos esta desigualdad método de intervalo .

Conclusión: resolvimos con bastante facilidad esta desigualdad irracional por el método de los intervalos, de hecho, reduciéndola a resolver una ecuación irracional.

Intentemos resolver otra desigualdad con este método.

3)f (x) continuo en D (f)

4) Ceros de función:

Búsqueda larga D (f).
Difícil de calcular los puntos de ruptura.

Surge la pregunta: "¿No hay otras formas de solucionar esta desigualdad?"

Evidentemente la hay, y ahora las conoceremos.

III. Entonces, tema de hoy lección: "Métodos para resolver desigualdades irracionales".

IV. Ya hemos hablado del primer método para resolver desigualdades irracionales.

Eso - método de intervalo , un método universal para resolver todo tipo de desigualdades. Pero no siempre conduce a la meta de una manera breve y sencilla.

Presentamos esquemas para resolver los principales tipos de desigualdades irracionales método de transiciones equivalentes de una desigualdad a un sistema de desigualdades.

2. Se puede probar de manera similar que

Escribamos estos diagramas en una pizarra de referencia. Piense en las pruebas de los tipos 3 y 4 en casa, las discutiremos en la próxima lección.

Vi. Resolvamos la desigualdad de una manera nueva.

La desigualdad original equivale a un conjunto de sistemas.

Considere una desigualdad irracional de la forma<,

es decir -< 0.

Por el teorema, si p (x) aumenta a lo largo de un intervalo en el que el a y B, y a>B, luego las desigualdades p (a) - p (b)> 0 y a - b> 0 son equivalentes a D (p), es decir

VIII. Resolvamos la desigualdad reemplazando los factores.

Por tanto, esta desigualdad es equivalente al sistema

IX. Ahora que hemos cubierto los tres métodos principales para resolver ecuaciones, hagamos trabajo independiente con autodiagnóstico.

cambio de variables;
uso de LDZ;
utilizando las propiedades de la monotonicidad de las funciones.

La finalización del estudio del tema es la prueba.

El análisis de la prueba muestra:

los errores típicos de los estudiantes débiles, además de los aritméticos y algebraicos, son transiciones equivalentes incorrectas a un sistema de desigualdades;
el método de sustitución del multiplicador ha sido utilizado con éxito sólo por estudiantes fuertes.